ESTADISTICA II Setiembre

Experimentos Aleatorios Simples y Compuestos

Un experimento aleatorio es aquel que, repetido bajo las mismas condiciones iniciales, da lugar a resultados distintos. Si consideramos varios experimentos aleatorios ejecutados simultáneamente o por etapas, estamos ante un experimento aleatorio compuesto. Un resultado elemental de este experimento será el conjunto de resultados obtenidos en los experimentos simples que lo componen.

En este apartado vamos a considerar dos experimentos simples ejecutados simultáneamente y estudiaremos ambos por separado y en conjunto:

Las siguientes escenas muestran una curiosa diana rectangular. Vamos a considerar el experimento en el que un tirador "ideal" clava un dardo en esta diana de manera totalmente aleatoria (ni se tiene en cuenta su experiencia o destreza, ni apunta a ninguna zona en especial). Vamos a considerar dos observaciones sobre el dardo:

1. Color de la zona en la que se ha clavado (Rojo, Verde, Azul). 2. Si ha caído dentro o fuera del rectángulo central que a partir de ahora llamaremos

Zona de Bonus.

Propiedades

Si los resultados se pueden contar se le llama experimento aleatorio numerable; y

si no se pueden contar, se le llama experimento aleatorio no numerable.

Si es posible conocer previamente todos los posibles resultados (el espacio

muestral, constituido por diferentes sucesos) o por lo menos nombrar al último

resultado se le llama experimento aleatorio finito; y si no se puede nombrar al

último resultado, se le llama experimento aleatorio infinito.

Es imposible predecir el resultado exacto del mismo antes de realizarlo.

A cada realización de un experimento se le llama experiencia o prueba (ver Evento

estadístico).

EXPERIMENTOS ALEATORIOS SIMPLES:

Se habla de azar cuando no podemos predecir el resultado de un fenómeno porque

desconocemos las causas que lo determinan.

Un experimento aleatorio es aquel del que no podemos predecir el resultado. Tienen las

siguientes características:

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- se pueden repetir en las mismas condiciones tantas veces como se quiera

- hay un conjunto de resultados posibles

- no se sabe el resultado de un experimento concreto antes de realizarlo

- si repetimos el experimento muchas veces, podemos predecir cuántas veces

aparecerá cada resultado.

Ejemplos:

- El lanzamiento de dos monedas al aire.

- La extracción de tres cartas de una baraja.

- La esperanza de vida de una persona.

Espacio muestral

Llamamos espacio muestral o universo al conjunto de todos los resultados posibles de un

experimento aleatorio. Lo vamos a representar por .

Ejemplos:

1- El experimento aleatorio “lanzar un dado” tiene como espacio muestral:

1 2 3 4 5 6, , , , ,

2- El experimento aleatorio “lanzar dos monedas” tiene como espacio muestral:

Llamando C=“sacar cara” y X=“sacar cruz”

C C C X X C X X. , , , , , ,

Suceso

Es cada uno de los subconjuntos o partes de . Se designan poniendo entre llaves los

resultados de que se componen.

Clases de sucesos

- Suceso elemental: es cada resultado del experimento aleatorio

- Suceso seguro

- Suceso imposible

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- Suceso contrario a uno dado: es aquel que no se verifica cuando se verifica el

dado. Al suceso contrario de A lo designaremos por A’

- Sucesos compatibles: son aquellos que tienen algún suceso elemental común

- Sucesos incompatibles: son aquellos que no tienen ningún suceso elemental

común

Dos sucesos contrarios son siempre incompatibles, pero no siempre dos sucesos

incompatibles son contrarios.

EXPERIMENTOS ALEATORIOS COMPUESTOS

Los experimentos aleatorios compuestos resultan de realizar uno tras otro, varios

experimentos aleatorios simples.

Se puede calcular la probabilidad de un suceso en un experimento compuesto

determinando el espacio muestral y aplicando la regla de Laplace, una vez conocidos el nº

de casos favorables y el nº de casos posibles. Sin embargo, no siempre se puede

determinar el espacio muestral del experimento compuesto y entonces debemos seguir

otro camino, el de determinar la probabilidad del suceso compuesto a partir de las

probabilidades de los sucesos simples que lo componen.

En las experiencias compuestas por sucesivas extracciones (de una baraja, de una

bolsa,.....) pueden darse dos modalidades, que es muy importante distinguir:

Extracciones con reemplazamiento: son aquellas en las que, después de cada

extracción, el elemento extraído se repone. De este modo, cada extracción se realiza

en las mismas condiciones que la anterior.

Extracciones sin reemplazamiento: las sucesivas extracciones se realizan sin devolver

el elemento anteriormente extraído. Las condiciones de cada extracción son distintas y

dependen de cuál o cuáles sean los elementos anteriormente extraídos.

Dos o más experiencias se llaman independientes cuando el resultado de cada una de

ellas no depende del resultado de las demás.

Dos o más experiencias se llaman dependientes cuando el resultado de cada una de ellas

influye en las probabilidades de las siguientes.

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PROBABILIDAD DE SUCESOS COMPUESTOS DEPENDIENTES.

Probabilidad de un suceso compuesto de dos sucesos

La probabilidad de que se realicen dos sucesos A y B es igual a la probabilidad de que se

realice el primero (A) por la probabilidad de que se realice el segundo habiéndose

realizado el primero(B/A). Se escribe de una de estas tres formas:

P(AB)=P(A B)=P(A y B)= P(A). P(B/A)

Probabilidad de un suceso compuesto de tres sucesos

Si en lugar de dos sucesos fueran tres sucesos A, B y C:

P(ABC) = P(A). P(B/A). P(C/AB)

La probabilidad de que se realicen los sucesos A, B y C es igual a la probabilidad de que se

realice el primero, P(A), por la probabilidad de que se realice el segundo habiéndose

realizado el primero, P(B/A), y por la probabilidad de que se realice el tercero, habiéndose

realizado el primero y el segundo, P(C/AB).

PROBABILIDAD EN EXPERIMENTOS COMPUESTOS INDEPENDIENTES

Si A y B son dos sucesos independientes: P(AB)= P(A).P(B)

Si A, B y C son tres sucesos independientes: P(ABC)= P(A).P(B).P(C)

(Hay que tener muy en cuenta en los enunciados de actividades si son extracciones de

cartas o de bolas con o sin devolución. Cuando se especifica que es con devolución, el

segundo suceso no depende del primero, son independientes. Sin embargo, cuando es sin

devolución o son extracciones simultáneas, el segundo suceso depende del primero y por

tanto son dependientes.)