Explicación Matrices Materia

©Dr. Arturo Sanchez Carmona

Capítulo 1Matrices

Uso de las matrices:w Realizar cálculos de manera eficientew Resolver sistemas de ecuaciones lineales (sels)w Representar objetos abstractos como

“transformaciones lineales”, “ cambios de bases”, “formas cuadráticas”, etc.


1.1. Definiciones

w Matriz A es un arreglo rectangular de escalares

11 12 1

21 22 2

1 2

...

...

...

n

nij

m m mn

a a aa a a

A a

a a a

= =

M M M M

Elemento , ij-ésimo elemento ijam renglones, n columnas tamaño

•Matrices A y B son iguales (A=B) si son del mismo tamaño y los elementos correspondientes son iguales

m n×


1.2. Adición de matrices y multiplicación con escalares

Sean , ij ijA a B b = = matrices del mismo tamaño

•Suma A B+

11 11 12 12 1 1

21 21 22 22 2 2

1 1 2 2

n n

n n

m m m m mn mn

a b a b a ba b a b a b

a b a b a b

+ + + + + +

+ + +

……

M M M…

•Multiplicación por escalar ijkA k a =

•Negativa de A, ( 1)A A− = −

•Resta ( )A B A B− = + −


1.3. Multiplicación de Matrices

•Sean

•AB es una matriz m x n con

•Número de columnas de A igual al número de renglones de B(e.g. A es m p x y B es p x n)

, ij ijA a B b = =

1 1 2 21

p

ij i j i j ip pj ik kjk

c a b a b a b a b=

= + + + = ∑L

11 1 11 1 11 1

1

1 1 1

p ij n n

i ip ij

m mp p pj pn m mn

a a b b b c c

a a c

a a b b b c c

=

L L L LM M M M M M M

L M M MM M M M M M M

L L L L

•AB no está definido si A es m x p y B es q x n y p?q


1.3. Multiplicación de Matrices

•Multiplicación no es conmutativa, i.e. en general, AB? BA

•Asociativa, (AB)C=A(BC)

•Distributiva por la derecha, A(B+C)=AB+AC

•Distributiva por la izquierda, (B+C)A=BA+CA

•Multiplicación por escalar conmuta, k(AB)=(kA)B=AkB


1.4. Matriz Transpuesta

w La transpuesta de A, AT, se obtiene escribiendo las columnas de A como renglones.

w Si A=[aij], tamaño m x n, entonces AT=[bij], tamaño n x m, donde bij=aji

•Algunas propiedades• (A+B)T=AT+BT

• (AT)T=A• (kA)T=kAT

• (AB)T=BTAT


1.5. Matriz Cuadrada

w Mismo número de renglones y columnas, n x n (orden n)w Diagonal (o diagonal principal), conjunto de elementos con

mismos índices, i.e. a11, a22, …, ann

w Traza de A, tr(A) es la suma de los elementos diagonales

Algunas propiedades:Sean A, B matrices cuadradas

n tr(A+B)= tr(A)+ tr(B)n tr(kA)= k tr(A)n tr(AT)= tr(A)n tr(AB)= tr(BA)


1.6. Matriz Identidad (Unitaria)

w I o In : matriz cuadrada con unos en la diagonalw AI=IA=Aw Si B es m x n, entonces BIn=ImB=Bw Función delta de Kronecker

0 si 1 si ij

i ji j

δ≠

= =

Matriz Identidad ijI δ ∴ =


1.7. Matriz Invertible

w DefiniciónMatriz cuadrada A es invertible (no singular), si existe matriz B (la inversa de A, A-1) tal que AB=BA=I

•TeoremaSi B existe, entonces es única

1 1 2 2Entonces y AB B A I AB B A I= = = =

1 1 1 2 1 2 2 2Entonces ( ) ( )B B I B AB B A B IB B= = = = =

1 2B B∴ =

•DemostraciónSean B1, B2 matrices cuadradas que son inversas de A


1.7. Matriz Invertible

w Algunas propiedades. A y B invertibles

1 1 1 es invertible y ( )AB AB B A− − −=1 1 1 1 1

1 2 1 2 1En general ( )k k kA A A A A A A− − − − −−=L L


Fórmula para obtener la Inversa de una Matriz de Orden 2

1 2

1 2

1 00 1

x xa by yc d

=

1 1 2 2

1 1 2 2

1 00 1

ax by ax bycx dy cx dy

+ + = + +

Sea a b

Ac d

=

1 2 1 2Buscar 4 escalares , , , tal quex x y y

1 1

2 2

1 1

2 2

1

0

0

1

ax by

ax by

cx dy

cx dy

+ =+ =+ =+ =

Haciendo operaciones

Sistema de ecuaciones

lineales(capítulo 2)

1 2 3 4Resolviendo para , , y x x x x

1 2

1 2

;

;

d bx x

ad bc ad bcc a

y yad bc ad bc

−= =

− −−

= =− −

determinante de ad bc A−


w Teoreman det(A)=0 si y solo si A no tiene inversa

w Encontrar la inversa de una matriz de orden n es equivalente a encontrar la solución de un SEL de orden n

w Como encontrar estas soluciones de manera eficiente?n Respuesta: parte del material del capítulo 2


1.8. Algunas Matrices Especiales

( )Matriz cuadrada diagonal . Elementos no diagonales son ceroijD d=

11 22( , , , )nnD diag d d d= L

( )Matriz cuadrada triangular (superior)

Elementos por debajo de la diagonal son cero.Esto es, 0 para

ij

ij

A a

a i j

=

= >

( ) ( )Algunas propiedades para , , triangulares de orden ij ijA a B b n= =

1. A+b, kA, AB son triangulares con diagonales

11 11 11 11 11( , , ), ( , , ), ( , , ) respectivamentenn nn nn nn nna b a b ka ka a b a b+ +… … …

2. A es invertible si y solo si cada elemento diagonal aii?0. Si A-1 existe, entonces es triangular

•Idem para matrices triangulares inferiores


1.8. Algunas Matrices Especiales

w Matriz Simétrica. A=AT.Elementos simétricos con respecto a la diagonal son iguales (aij=aji)

•Matriz antisimétrica. –A=AT.Elementos simétricos con respecto a la diagonal son los complementos (negativos) (aij=-aji). Como aii=-aii, entonces aii=0


1.8. Algunas Matrices Especiales Matrices Ortogonales

2 2 21 2 3

1 1 2 2 3 3

1 1 2 2 3 3

1

0

0

c c c

a c a c a c

b c b c b c

+ + =

+ + =+ + =

•Matriz cuadrada A es ortogonal si y solo si AT=A-1

Esto es, AAT=ATA=I

•Porqué ortogonal?

1 1 2 3 2 1 2 3

3 1 2 3

Sean ( , , ), ( , , ),

( , , ) vectores que forman

los renglones de A

u a a a u b b b

u c c c

= ==

1 2 3 1 1 1

1 2 3 2 2 2

1 2 3 3 3 3

Entonces

1 0 00 1 00 0 1

TAA I

a a a a b cb b b a b cc c c a b c

=

=

Haciendo operaciones

2 2 21 2 3

1 1 2 2 3 3

1 1 2 2 3 3

1

0

0

a a a

a b a b a b

a c a c a c

+ + =+ + =+ + =

1 1

1 2

1, paralelos0, ortogonales

u uu u

→ • =→ • =

2 2 21 2 3

1 1 2 2 3 3

1 1 2 2 3 3

1

0

0

b b b

a b a b a b

b c b c b c

+ + =+ + =

+ + =

i.e. 1 si

0 si i j ij

i j

u u i j

u u i j

δ• = = =

• = ≠

∴ u1, u2, u3 son vectores unitariosy ortogonales entre si

(conjunto ortonormal de vectores)


1)

2) renglones de es conjunto ortonormal de vectores

3) columnas de es conjunto ortonormal de vectores

T T

T

T

AA I A A

AA A

A A A

= =

→

→

Entonces, las siguientes afirmaciones son equivalentes1. A es ortogonal2. Renglones de A son un conjunto ortonormal3. Columnas de A son un conjunto ortonormal

Definición. Matriz NormalA es normal si conmuta con su transpuesta. Esto es T TAA A A=

TeoremaSi A es simétrica y ortogonal, entonces A es normal


Ejemplo matriz normal

6 3 6 3 45 03 6 3 6 0 45

6 3 6 3 45 03 6 3 6 0 45

T

T

AA

A A

− = = −

− = = −

-1 1

d bA

c aA

− = −

6 33 6

A−

=

Normal?Simétrica?Ortogonal?

a bA

c d

=

1

45

6 313 645

A ad bc

A−

= − =

= −

sino (por inspección)no 1TA A−≠

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