Modelo Gamma

Modelo Gamma

Algunas variables aleatorias son siempre no negativas y tienen distribuciones asimtricas a derecha.

La mayor parte del rea bajo la funcin densidad se encuentra cerca del origen y la funcin densidad disminuye gradualmente cuando X aumenta. Por ejemplo: los intervalos de tiempo entre dos fallas del motor de un avin posee una distribucin de frecuencias sesgada que puede modelarse con dicha distribucin Gamma.

Se dice que una v.a. X tiene distribucin Gamma si su funcin densidad tiene la siguiente expresin:

x > 0, ( > 0, >0Sus parmetros son: ( (parmetro de forma) y ( ( parmetro de escala)

Donde la funcin Gamma se define como: ( > 0

Esta funcin Gamma es tambin llamada funcin factorial, ya que cuando ( >0, se puede probar y cuando ( es un entero positivo (Adems ((1/2)=

I- Modelo exponencial negativo (( =1 en el modelo Gamma)

Modela problemas del tipo tiempo- fallas.

Es una importante distribucin continua que est relacionada con la distribucin de Poisson, ya estudiada en la Unidad II.

Estas dos distribuciones tienen muchas aplicaciones en la investigacin de operaciones, especialmente en la teora de colas (lneas de espera). Estn relacionadas con dichas aplicaciones por el hecho de que, si se supone que los sucesos ocurren de acuerdo a la distribucin de Poisson, entonces puede usarse la distribucin exponencial para determinar la distribucin probabilstica del tiempo transcurrido entre tales sucesos.

Por ejemplo, si la llegada de los clientes a un banco se produce de acuerdo con la distribucin de Poisson, podemos utilizar el modelo exponencial para determinar la distribucin probabilstica de los intervalos de tiempo entre llegadas.

La distribucin exponencial tiene el mismo parmetro ( que la distribucin de Poisson.

Se dice que una v.a. X tiene distribucin exponencial si su funcin densidad tiene la siguiente expresin:

El espacio de parmetros es:

y para cada valor de ( existe una funcin densidad.

Siendo ( = 1 en el modelo Gamma, podemos encontrar la E(X), var (X) y la funcin generadora de momentos:

donde

Ejemplo 1

Se ha comprobado que la duracin del tiempo de vida de ciertos elementos electrnicos sigue una distribucin exponencial con tiempo medio de 8 meses. Calcule:

a) La probabilidad que un elemento tenga una vida entre 3 y 12 meses.

b) El cuantil 0,95 de la distribucin e interprete el valor obtenido.

c) La probabilidad de que un elemento que ha vivido ya ms de 10 meses, viva ms de

25 meses.

Solucin:

X: tiempo de duracin (en meses) de cierto elemento electrnico

X ( Exponencial (( = 1/8)

E(X) = 8 ( ( = 1/8

En el ejemplo, los resultados de cada inciso se obtuvieron con el software R:

a) P (3 < X < 12) =

> pexp(12,1/8)-pexp(3,1/8)

[1] 0.4641591

b)

> qexp(0.95,1/8)

[1] 23.96586

c)

> 1-pexp(25-10,1/8)

[1] 0.1533550

Ejemplo 2

Las fallas mecnicas ocurridas en una planta industrial, tiene una distribucin de Poisson con parmetro ( = por hora (1 falla cada dos horas).

Si el jefe de personal llega a las 8:00 horas del da lunes y se define a X como el tiempo (desde la llegada) hasta la primera falla:

Calcule:

a) la probabilidad de que no pasen ms de 4 horas antes de la primera falla

> pexp(4,1/2)

[1] 0.8646647

b) la probabilidad de que transcurra al menos 1 hora antes que aparezca la primera

falla

> 1-pexp(1,1/2)

[1] 0.6065307

c) la probabilidad de que el tiempo para la siguiente falla sea mayor que el promedio.

La esperanza es : )

> 1-pexp(2,1/2)

[1] 0.3678794

Modelo normal o gaussiano:

Decimos que una variable aleatoria X tiene distribucin normal si la mayora de sus valores estn concentrados alrededor de su promedio ( o valor medio y los valores de esta variable son cada vez menos frecuentes a medida que nos alejamos de este valor medio.

En este modelo la variable aleatoria X puede tomar cualquier valor en el conjunto de los nmeros reales. Dos son los parmetros que lo describen: la media ( y la varianza (2. Decimos que:

X ( N (( , ( 2) y su funcin densidad es: fX : R( R+, tal que

( x ( R ,

, ( , e constantes

El espacio de parmetros es:

= R x R+

Si observamos la ecuacin de la funcin densidad, para cada par de valores de y existe una curva, por lo tanto, existe una familia de curvas normales.

En los siguientes grficos observamos distribuciones normales con medias iguales o distintas y varianzas iguales o distintas:

Caractersticas de la distribucin normal

( La curva normal tiene forma de campana.

( La distribucin probabilstica normal es simtrica respecto de su media.

La funcin densidad es estrictamente positiva: fX (x) >0 (x ( R ( por ser una funcin exponencial)

Es asinttica respecto al eje x, es decir, se verifica que: = 0 =

y la ecuacin de la asntota horizontal es y = 0 Tiene un mximo en x = (, llamado modo o moda de la distribucin que vale

Utilizando una metodologa para hallar (si existen) los extremos relativos de una funcin:

(condicin necesaria)

EMBED Equation.3entonces, (x-() = 0 ( x = ( (valor crtico)

Analizamos el signo de la derivada segunda:

= (1)

Luego, la derivada segunda es negativa, ( en x = ( la funcin fX tiene un mximo que vale:

Puntos de inflexin

Hallamos para qu valores de x la derivada segunda es igual a cero:

En (1):

(x-() 2 =( 2 ( x - ( = ( ( ( x = ( ( ( y reemplazando en la

funcin densidad obtenemos:

fX (( -( ) = fX ((+() =

Si analizamos el comportamiento de la funcin respecto a la concavidad en los intervalos (-(, (-(), ((-(; (+() y ((+(;() podemos concluir que:

en (-(, (-() y ((+(;+() fX es convexa.

y en ((-(; (+() fX es cncava, luego los puntos cuyas coordenadas son:

((-( ,) y (( +( , ) son puntos de inflexin de la curva normal.

Grficamente:

reas bajo la curva la curva normal

En una distribucin probabilstica normal:

Aproximadamente el 68 % del rea bajo la curva normal se encuentra en el intervalo

Aproximadamente el 95 % del rea bajo la curva normal se encuentra en el intervalo

Aproximadamente el 99.73 % del rea bajo la curva normal se encuentra en el intervalo

En el grfico observamos:

Podemos decir que, el rea dentro de tres desviaciones estndares respecto de la media es aproximadamente 0.9973

Distribucin normal estndar

Si una variable X tiene distribucin normal, es decir:

X ( N (( , (2)

es posible definir una nueva variable aleatoria Z del siguiente modo:

Esta nueva variable tiene tambin una distribucin normal con media:

y desviacin tpica: , es decir: Z ( N(0, 1)

Utilizando propiedades de Esperanza y Varianza de una v.a. se puede calcular E (Z) y var (Z).

Luego: Z ( N(0, 1)

Ahora, podemos concluir: Si X ( N (( , (2), entonces Z ( N (0, 1)

Su funcin densidad es:

( )

Su grfica es:

A la variable Z se le denomina variable tipificada o estndar de X y a la curva que representa a su funcin densidad: curva normal tipificada o estndar.En la distribucin normal estndar es posible observar que:

No depende de ningn parmetro.

Su media, varianza y desviacin tpica son:

EMBED Equation.3 La curva f Z es simtrica respecto al eje z = 0, y tiene un mximo en este eje y dos puntos de inflexin en z = -1 y z = 1.

La gran utilidad de la variable estndar Z es que nos permite calcular reas (o abscisas) de cualquier variable con distribucin normal:

Si X ( N (( , (2), entonces:

Este proceso se llama estandarizacin de la v.a. XEjemplo:

Los ingresos mensuales de un gran conjunto de operarios tienen una distribucin normal de media igual a $1.000 y una desviacin estndar igual a $100. Cul es la probabilidad que un operario cualquiera gane entre $900 y $1.100?

X: ingreso mensual de un operario X ( N (1.000, 10.000)

P(900 < X < 1.100) = FX (1.100) - FX (900)=

Estandarizando:

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