INTRODUCCION

Imagina que quieres saber de cuntas formas pueden acomodarse 15 libros en un estante sin importar el orden en que stos vayan, o imagina que quieres escoger 5 personas de 100 que estn excelentemente calificadas para realizar una importante labor en tu empresa, o imagina que quieres conocer de cuntas formas distintas se puede llegar de Bello a Envigado, pasando por Medelln y utilizando todas las rutas de buses posibles.Ser que existe una forma rpida y poco tediosa de hallar todos estos eventos para cada uno de estos experimentos?Pues, s. La respuesta la podemos encontrar en el anlisis combinatorio.

DEFINICIONES

EXPERIMENTO: Es el conjunto de pruebas realizadas en las mismas condiciones. Una definicin mas rigurosa de experimento, es aquel que al ejecutarlo no podemos predeterminar sus resultados dentro de un conjunto de posibles salidas y podamos repetir cuantas veces queramos manteniendo las condiciones externas que lo caracterizan constante. Ejemplos: Lanzamiento de una moneda, un dado, etc.

RESULTADO: Es el valor particular de un experimento.

EVENTO SUCESO: Es un grupo de resultados del espacio muestral cuyos miembros comparten una caracterstica particular y ocurrir o no dependiendo del azar. ESPACIO MUESRAL: Es el conjunto de todos los posibles resultados del experimento.

Un Evento es la coleccin de uno o ms resultados del experimentoUn Resultado es el valor particular de un experimento.Experimento: lanzar un dado.Posibles resultados: Los nmeros 1, 2, 3, 4, 5, 6 (Espacio muestral) Un posible evento: Que al lanzar el dado se obtenga numero par: 2, 4, y 6.Otro posible evento: Que sean divisores de 12 2,3,4 y6

ANALISIS COMBINATORIO O TECNICAS DE CONTEO

Las tcnicas de conteo anlisis combinatorio son estrategias que permiten determinar el nmero de elementos de un espacio muestral sin necesidad de determinar uno a uno los elementos que los conforman.

Las tcnicas de conteo son de gran ayuda en el calculo de probabilidades ; porque por medio de ellas obtenemos el espacio muestral de un experimento

Las tcnicas de conteo se definen teniendo en cuenta dos conceptos importantes: ORDEN Y REPETICION.

ORDEN: Se dice que un experimento, es ordenado, cuando se tiene en cuenta el orden en la seleccin de los eventos del espacio muestral. Por ejemplo, si se quiere conformar una junta directiva formada por tres personas, elegidas entre 10 representantes. En la junta existe un presidente, un tesorero y un secretario. La poblacin estar constituida por los representantes que puedan ser elegidos. Al seleccionar la muestra de tres personas es necesario considerar el orden, ya que no es lo mismo ser el presidente que el tesorero. Luego interesa el orden en que se seleccione.

REPETICIN: Se dice que en un experimento hay repeticin si es posible que algunos elementos o eventos del espacio muestral se repitan. Por ejemplo, en el caso de la eleccin de la junta del caso anterior no se puede considerar la repeticin puesto que una persona no puede ocupar dos cargos. Es decir, un elemento de la poblacin no puede repetirse en la misma muestra.

EJEMPLOS DE EXPERIMENTOS O ACONTECIMIENTOS DONDE INTERESA O NO EL ORDEN Y DONDE SE REPITEN O NO SUS EVENTOS ELEMENTOS.

Competencia atltica donde se premian el primero, segundo y el tercero en cruzar la meta con oro, plata y bronce respectivamente.

Importa o influye el orden: Si, no es lo mismo llegar de primero que de tercero.Se puede repetir: No un mismo atleta no puede que dar de primero y segundo a la vez.Carlos y Josefa tienen una bolsa con fichas numeradas de 1 a 5. Juegan a sacar dos fichas con los ojos cerrados .

Importa o influye el orden: No, pueden sacar indistintamente dos fichas entre cinco.Se puede repetir: No, las fichas estn numeradas del uno al cinco y no hay la posibilidad de repetir.

3. De un grupo de cuatro candidatos se van a elegir dos representantes al comit acadmico del colegio. Si los cuatro candidatos son Hugo, Jos, Camilo y Judith. Asumiendo que los cuatro cumplen con los requisitos exigidos para integrar el comit.Importa o influye el orden: No, es importante el orden , por ejemplo, la pareja Camila y Hugo es la misma pareja Hugo y Camila.Se puede repetir: No, pues un candidato no puede ocupar los dos cargos.

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PRINCIPALES TECNICAS DE CONTEOS

Regla multiplicativaVariacionesPermutacinCombinacin

PRINCIPIO FUNDAMENTAL DEL CONTEO REGLA MULTIPLICATIVA

Si un proceso consta de varias etapas, en la primera de las cuales hay n1 opciones distintas entre las que elegir, en la segunda hay n2 opciones, en la tercera hay n3 opciones, etc. ... el nmero total de opciones en la construccin de ese proceso es el producto n1 n2 n3 . . . formas distintas.

Ejemplo 1

La Uniremington desea regalar dos seminarios, uno de la facultad de sistemas y otro de la facultad de administracin, al mejor egresado de la ltima promocin. De cuntas formas diferentes puede el estudiante hacer selecciones de dos seminarios, teniendo en cuenta lo siguiente? :n1 n2C++Comercio ExteriorVisual BasicEconoma y finanzasJava ScripTcnicas de control internoAccessGestin administrativa con nfasis en el liderazgoAspAuditoria administrativaFront PagePhoto ShopCorel Draw n1 = 8n2 = 5 n1 * n2 = 40

Ejemplo 2Cuantas representaciones diferentes sern posibles formar, si se desea que consten de Presidente, Secretario, Tesorero, Primer Vocal y Segundo Vocal?, s esta representacin puede ser formada de entre 25 miembros del sindicato de una pequea empresa.

n1 = 25 ; n2= 24 ; n3 = 23 ; n4 = 22 ; n5 = 21, por el principio multiplicativo, tenemos que:25 x 24 x 23 x 22 x 21 = 6,375,600 maneras de formar una representacin de ese sindicato que conste de presidente, secretario, Tesorero, Primer Vocal y Segundo Vocal.

PERMUTACIONES

Definicin:Las permutaciones o, tambin llamadas, ordenaciones son aquellas formas de agrupar los elementos de un conjunto teniendo en cuenta que: Influye el orden en que se colocan. Tomamos todos los elementos de que se disponen. Sern Permutaciones SIN repeticin cuando todos los elementos de que disponemos son distintos. Sern Permutaciones CON repeticin si disponemos de elementos repetidos. (Ese es el n de veces que se repite elemento en cuestin).

PERMUTACIONES SIN REPETICION

Las permutaciones sin repeticin de n elementos se definen como las distintas formas de ordenar todos esos elementos distintos, por lo que la nica diferencia entre ellas es el orden de colocacin de sus elementos. El nmero de estas permutaciones ser:

EJEMPLOS PERMUTACIONES SIN REPETICION

1. El nmero de permutaciones sin repeticin de 123 es 3! = 6 y esas permutaciones son: 123 132 213 231 312 321

2. El nmero de permutaciones sin repeticin de 1234 es: 4! = 24 y esas permutaciones son: 1234 1243 1324 1342 1423 1432 2134 2143 2314 2341 2413 2431 3124 3142 3214 3241 3412 3421 4123 4132 4213 4231 4312 4321

EJEMPLOS PERMUTACIONES SIN REPETICION

3. Cuantos nmeros de cinco cifras diferentes se puede formar con los dgitos: 1,2,3,4,5?

Anlisis:Importa el orden: SiSe repiten los elementos: NoEntran todos los elementos: Si

P5 = 5! = 5*4*3*2*1 = 120

Algunos nmeros son: 12345, 24531, 54321,.............

4. De cuntas formas distintas pueden sentarse ocho personas en una fila de butacas?

Anlisis:1. Entran los elementos: Si, tienen que sentarse las 8, personas.

2. Importa el orden: Si

3. Se repiten los elementos: No, una persona no se puede repetir.

PERMUTACIONES CON REPETICION

Llamamos a las permutaciones con repeticin de n elementos tomados de a en a, de b en b, de c en c, etc, cuando en los n elementos existen elementos repetidos (un elemento aparece a veces, otro b veces, otro c veces, etc) verificndose que a+b+c+...=n. El nmero de estas permutaciones ser:

1. Sean los elementos aa - bbb - cc - d, para permutar con repeticin, tendremos 8 elementos repartidos as: dos del primero, tres del segundo, dos del tercero y uno del cuarto, entonces las permutaciones se presentarn as: y la formula ser:

2. De cuntas maneras distribuiramos 3 monedas de $200 y 4 monedas de $500 en una misma lnea?

La frmula respectiva ser:

3. De cuntas maneras ordenaramos los nmeros 11122? El nmero de permutaciones con repeticin de esos 5 elementos tomados de 3 en 3 y de 2 en 2 es 10. La frmula respectiva ser:

y esas permutaciones son:

11122 11212 11221 12112 12121 12211 21112 21121 21211 22111

4. Queremos ordenar los 7 libros que tenemos: 4 son de Matemticas, 2 de Astronoma y 1 de Fsica (los de una misma materia son iguales). De cuntas formas podemos ordenarlos en el estante?

Planteamiento:

a: Nos ponemos un ejemplo de lo que nos pide. Si llamamos a los 7 libros {m, m, m, m, a, a, f}, una posible forma de ordenarlos es mmamfma. Es decir, disponemos de 7 (n=7) elementos y vamos a formar agrupaciones con los 7. b: Influye el orden en el que colocamos los elementos? Claro que si, son por tanto permutaciones.

c: Cada elemento se tiene que repetir tantas veces como elementos disponemos igual que l: 4 de matemticas (a=4), 2 de astronoma (b=2) y de fsica (c=1) . Son por tanto con repeticin.

d: Usamos todos los elementos de que disponemos? Por supuesto, una ordenacin consiste en cogerlos todos y ordenarlos. Son por tanto permutaciones.

R/. El nmero de formas de ordenar esos libros es igual al nmero de permutaciones de esos 7 elementos tomados de 4 en 4, de 2 en 2 y de 1 en 1, que es 105.

VARIACIONES

Las variaciones corresponden a aquellas permutaciones donde los elementos no se toman en su totalidad. Las variaciones pueden:

Variaciones con repeticinVariaciones sin repeticin

VARIACIONES CON REPETICINDefinicin:

Las variaciones con repeticin de n elementos tomados de p en p se definen como las distintas agrupaciones formadas con p elementos que pueden repetirse, eligindolos de entre los n elementos de que disponemos, considerando una variacin distinta a otra tanto si difieren en algn elemento como si estn situados en distinto orden. El nmero de variaciones que se pueden construir se puede calcular mediante la frmula:

Ejemplos de variaciones con repeticin

1. El nmero de variaciones con repeticin que se pueden hacer con los nmeros 1,2 (n =2; p = 2) tomados de 2 en 2 es 22 = 4 y esas variaciones son: 1112 21 222. El nmero de variaciones con repeticin que se puede hacer con los nmeros 1,2 y 3 (n=3; p=2) tomados de 2 en 2 es 32= 9 y esas variaciones son: 11 12 13 21 22 23 31 32 333. El nmero de variaciones con repeticin que se puede hacer con los nmeros 1,2 y 3 (n =3; p = 3) tomados de 3 en 3 es 33 = 27

111 112 113 121 122 123 131 132 133211 212 213 221 222 223 231 232 233 311 312 313 321 322 323 331 332 333

Ejemplos de variaciones con repeticin

4. Sea A={a,b,c,d}, cuntas "palabras" de dos letras se pueden obtener?

Anlisis:1. Se repiten los elementos: si2. Importa el orden: si

En este caso n= 4 y p=2, entonces 42 = 16

Las "palabras" formadas son: aa, ab, ac, ad, ba, bb, bc, bd, ca, cb, cc, cd, da, db, dc, dd. En total son 16.

VARIACIONES SIN REPETICIN

Definicin:

Las variaciones sin repeticin de n elementos tomados de p en p se definen como las distintas agrupaciones formadas con p elementos distintos, eligindolos de entre los n elementos de que disponemos, considerando una variacin distinta a otra tanto si difieren en algn elemento como si estn situados en distinto orden.

El nmero de variaciones que se pueden construir se puede calcular mediante la frmula:

EJEMPLOS DE VARIACIONES SIN REPETICION

1. El nmero de variaciones sin repeticin de esos 2 (12) elementos tomados de 2!/(2-1)! = 2 en 2 es 2 y esas variaciones son:

12 212. El nmero de variaciones sin repeticin de esos 3 (123) elementos tomados de 2 en 2 es 3!/(3-2)! = 6 y esas variaciones son:

12 13 21 23 31 32

3. El nmero de variaciones sin repeticin de esos 3 (123) elementos tomados de 3 en 3; es 3!/(3-3)! = 6 y esas variaciones son: 123 132 213 231 312 321

EJEMPLOS DE VARIACIONES SIN REPETICION

4. Sea el mismo conjunto A={a,b,c,d}, cuntas variaciones de dos elementos, sin repeticin se pueden obtener?

Anlisis:

Importa el orden: siSe repiten los elementos: no

Lo que resulta es: ab, ac, ad, ba, bc, bd, ca, cb, cd, da, db, dc. Son 12 en total.

Realzalo utilizando la frmula.

5. Se va celebrar la final de salto de longitud en un torneo de atletismo. Participan 8 atletas. De cuntas formas pueden repartirse las tres medallas: oro, plata y bronce?

Planteamiento:

a: Si llamamos a los 8 atletas {a, b, c, d, e, f, g, h}, una posible forma de repartir las medallas es hef, entendiendo que el oro es para h, la plata para e y el bronce para f. Es decir, disponemos de 8 (n=8) elementos y vamos a formar agrupaciones con 3 de ellos (p=3).

b: Influye el orden en el que colocamos los elementos? Claro que si. Son por tanto o bien variaciones o bien permutaciones.

c: Se pueden repetir los elementos? No, un mismo atleta no puede llevarse ms de una medalla. Son por tanto, sin repeticin.

d: Usamos todos los elementos de que disponemos? No, solo 3 de ellos. Son por tanto variaciones.

R/ Se trata de variaciones sin repeticin de esos 8 elementos tomados de 3 en 3, que son 336 (formas de repartir las medallas).

6. Cuantas representaciones diferentes sern posibles formar, si se desea que consten de Presidente, Secretario, Tesorero, Primer Vocal y Segundo Vocal?, s esta representacin puede ser formada de entre 25 miembros del sindicato de una pequea empresa.

n = 25 y p = 5

25V5 = 25!/ (25 5)! = 25! / 20! = (25 x 24 x 23 x 22 x 21 x....x 1) = (20 x 19 x 18 x ... x 1)

6,375,600 maneras de formar la representacin

7. Cuntos nmeros de tres cifras diferentes se puede formar con los dgitos: 1, 2,3 ,4 , 5? n = 5, p = 3, n p .

Entran todos los elementos: No, de 5 dgitos entran slo 3.

Importa el orden: Si, son nmeros distintos el 123, 231, 321.

Se repiten los elementos: No, el enunciado nos pide que las cifras sean diferentes.

COMBINACIONES

Las combinaciones son aquellas formas de agrupar los elementos de un conjunto teniendo en cuenta que:

NO influye el orden en que se colocan. Si permitimos que se repitan los elementos, podemos hacerlo hasta tantas veces como elementos tenga la agrupacin.

Existen dos tipos de combinaciones que son:

1. Combinaciones con repeticin2. Combinaciones sin repeticin

COMBINACIONES SIN REPETICION

Definicin:

Las combinaciones sin repeticin de n elementos tomados de p en p se definen como las distintas agrupaciones formadas con p elementos distintos, eligindolos de entre los n elementos de que disponemos, considerando una variacin distinta a otra slo si difieren en algn elemento, (No influye el orden de colocacin de sus elementos). El nmero de combinaciones que se pueden construir se puede calcular mediante la frmula:

EJEMPLO DE COMBINACIONES SIN REPETICION

1. En la primera ronda de un campeonato de ajedrez cada participante debe jugar contra todos los dems una sola partida. Participan 23 jugadores. Cuntas partidas se disputarn?

Planteamiento:

a: Se trata de formar parejas, no?. Cada pareja representa una partida. Es decir, disponemos de 23 (n=23) elementos y vamos a formar agrupaciones con 2 de ellos (p=2). b: Influye el orden en el que colocamos los elementos? No, al ser una solo partida, seria lo mismo a contra b que b contra a. Son por tanto, combinaciones.

c: Se pueden repetir los elementos? No, un mismo participante no juega contra si mismo. O sea, son sin repeticin.

R/. Son combinaciones sin repeticin de 23 elementos tomados de 2 en 2, es decir: 253.

2. El nmero de combinaciones sin repeticin que se pueden hacer con los nmeros 1, 2, y 3 elementos tomados de 2 en 2 es 3 y esas combinaciones son: 1213 23

3. El nmero de combinaciones sin repeticin de esos 3 elementos tomados de 2 en 2 es 3(ABC) y esas combinaciones son: AB AC BC

4. Suponga que un saln de clase est constituido por 35 alumnos. El maestro desea que tres de los alumnos lo ayuden en actividades tales como mantener el aula limpia o entregar material a los alumnos cuando as sea necesario.

Anlisis:Importa el orden: Reflexionando al respecto nos damos cuenta de que el orden en este caso no tiene importancia, ya que lo nico que nos interesara es el contenido de cada grupo, dicho de otra forma, quines estn en el grupo? Se repiten los elementos: No, un alumno no puede repetirse.

n = 35 ; p = 5

nCp = 35! / ((5!*(35 5)!) =

EJEMPLOS DE COMBINACIONES CON REPETICIN

Definicin:

Las combinaciones con repeticin de n elementos tomados de p en p se definen como las distintas agrupaciones formadas con p elementos que pueden repetirse, eligindolos de entre los n elementos de que disponemos, considerando una variacin distinta a otra slo si difieren en algn elemento, (No influye el orden de colocacin de sus elementos).

El nmero de combinaciones que se pueden construir se puede calcular mediante la frmula:

EJEMPLO DE COMBINACIONES CON REPETICIN

1. Queremos realizar una encuesta a 150 personas, pero vamos a usar una muestra de slo 10 personas. Cuntas muestras podramos usar? (Nota: En Estadstica las muestras se suelen usar con reemplazamiento, es decir, una persona puede estar varias veces en la muestra).

Planteamiento:

a: Se trata de formar grupos de 10 personas eligindolas entre las 150. Es decir, disponemos de 150 (n=150) elementos y vamos a formar agrupaciones tomando 10 de ellos (p=10).

b: Influye el orden en el que colocamos los elementos? No, lo nico que importa es que elementos estn. Son por tanto, combinaciones.

c: Se pueden repetir los elementos? Si, por ser con reemplazamiento, son pues con repeticin.

R/. Son combinaciones con repeticin de 150 elementos tomados de 10 en 10, es decir: 2131920831862965 (ms de dos mil billones de muestras).

2. El nmero de combinaciones con repeticin que se pueden hacer con los nmeros 1,2 y 3 tomados de 2 en 2 es 6 y esas combinaciones son: 11 12 13 22 23 33

3. El nmero de combinaciones con repeticin que se pueden hacer con los nmeros 1, 2 y 3 tomados de 3 en 3 es 10 y esas combinaciones son:

111 112 113 122 123 133 222 223 233 333

4. El nmero de combinaciones con repeticin que se pueden hacer con los nmeros 1,2,3, y 4) tomados de 3 en 3 es 20 y esas combinaciones son:

111 112 113 114 122 123 124 133 134 144 222 223 224 233 234 244 333 334 344 444

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