CAÍDA LIBRE

En cinemática, la caída libre es un movimiento de un cuerpo dónde solamente influye la gravedad. En este movimiento se desprecia el rozamiento del cuerpo con el aire, es decir, se estudia en el vacío. El movimiento de la caída libre es un movimiento uniformemente acelerado. La aceleración instantánea es independiente de la masa del cuerpo, es decir, si dejamos caer un coche y una pulga, ambos cuerpo tendrán la misma aceleración, que coincide con la aceleración de la gravedad (g). Esto lo podemos demostrar del siguiente modo:

Aceleración en caída libre Sabemos por la segunda ley de Newton que la fuerza es igual al producto entre la masa del cuerpo y la aceleración.

F=ma

P=m(−g j⃗)

F=P

Dónde:

F: es la fuerza neta que actúa sobre el cuerpo.

m: es la masa del cuerpo.

a: es la aceleración del cuerpo.

P: es el peso del cuerpo, la fuerza con que la tierra lo atrae.

g: es la aceleración de la gravedad.

La aceleración de la gravedad se indica con signo negativo, porque tomamos el eje de referencia desde él, los vectores ascendentes los consideraremos positivos y los descendentes negativos, la aceleración de la gravedad es descendente, por eso el signo -.

Luego:

ma=m (−g j⃗ )

a=m (−g j⃗)m

a=−g j⃗

Por lo tanto nos queda que la aceleración del cuerpo siempre coincide con la constante gravitatoria (−g j⃗ ¿.

La aceleración de la gravedad en la Tierra varía según la altura respecto a la superficie. En la superficie de la Tierra está definida por 9.80665 m/s².

Por lo tanto a=(−g j⃗ )=9.80665 ms2

.

MODELO: CAIDA LIBRE.

Para construir un modelo matemático del movimiento de un cuerpo que se mueve en un campo de fuerza, suele empezarse con la segunda ley de Newton del movimiento, la cual indica que cuando la fuerza neta que actúa en un cuerpo no es cero, entonces la fuerza neta es proporcional a su aceleración(a) o, de manera más precisa:

F=ma

Ahora suponga que se lanza hacia arriba una roca desde el techo de un edificio como se muestra en la figura 1.22. ¿Cuál es la posición s (t) de la roca respecto al suelo en el tiempo t? La aceleración de la roca es la segunda derivada de la posición de la roca con respecto al tiempo, esto es:

a=d2 sd t 2

Si se supone que la dirección hacia arriba es positiva y que ninguna otra fuerza además de la fuerza de la gravedad actúa sobre la roca, entonces con la segunda ley de Newton se obtiene.

md2 sd t2

=−mgo d2 sd t 2

=−g

En otras palabras, la fuerza neta es simplemente el peso F=F1=−W de la roca cerca de la superficie de la tierra. Recuerde que la magnitud del peso es W=mg, donde m es la masa del cuerpo y g es la aceleración debida a la gravedad. El signo menos se usa porque el peso de la roca es una fuerza dirigida hacia abajo, que es opuesta a la

dirección positiva. Si la altura del edificio es s0 y la velocidad inicial de la roca es v0, entonces s se determina del problema de valores iniciales de segundo orden.

d2 sd t 2

=−g , s (0 )=s0 , s' (0 )=v0 . (13)

Aunque no se ha hecho énfasis en las soluciones de las ecuaciones que se han construido, observe que (13) al integrar la constante –g dos veces con respecto a t. Las condiciones iniciales determinan las dos constantes de integración. De la física elemental se podría reconocer la solución de (13) como la formula.

s ( t )=−12g t 2+v0 t+s0

Solución de (13):

Se sabe que la aceleración es d2 sd t 2

=−g; pero como la aceleración es la derivada de la

velocidad con respecto al tiempo, entonces tenemos:

d2 sd t 2

=−g

dvdt

=−g ,a=v ' (t)

dv=−gd t

∫ dv=−g∫ dt

v=−¿+c (1)

Como s' (0 )=v0, entonces sustituyendo en (1) tenemos:

v0=−g (0 )+c

c=v0

Sustituyendo c=v0, en (1) se obtiene:

v=−¿+¿ v0 .

La velocidad es la primera derivada de la posición de la roca con respecto al tiempo, por lo tanto se tiene.

v=−¿+¿ v0

dsdt

=−¿+¿ v0

ds=¿ v0¿dt

∫ ds=∫(−¿+v0)dt

s=−12g t 2+v0 t+c (2)

Como s (0 )=s0, sustituyendo en (2) tenemos:

s0=−12

(0 )2+v0 (0 )+c

c=s0

Sustituyendo c=s0 en (2) se obtiene:

s ( t )=−12g t 2+v0 t+s0