Exposicion ecuaciones
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SISTEMAS LINEALESHOMOGENEOS
![Page 2: Exposicion ecuaciones](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022032503/55c06022bb61eb224c8b4600/html5/thumbnails/2.jpg)
DEFINICION SE LLAMA SISTEMA LINEAL CON COEFICIENTES
CONSTANTES AL SIGUIENTE SISTEMA DE ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN:
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'1 11 1 12 2 1 1
'2 21 1 22 2 2 2
'1 1 2 2
( )
( )
.
.
.
( )
n n
n n
n n nn n nn
x a x a x a x b t
x a x a x a x b t
x a x a x a x b t
![Page 4: Exposicion ecuaciones](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022032503/55c06022bb61eb224c8b4600/html5/thumbnails/4.jpg)
DONDE ES LA VARIABLE INDEPENDIENTE Y SON FUNCIONES DE (VARIABLE DEPENDIENTE).
(t),1 i ix x i n
![Page 5: Exposicion ecuaciones](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022032503/55c06022bb61eb224c8b4600/html5/thumbnails/5.jpg)
SISTEMAS Y ECUACIONES LINEALES
TODA ECUACIÓN LINEAL DE COEFICIENTES CONSTANTES
( ) ( 1) '0 1 1 ( )n n
n na y a y a y a y b t
![Page 6: Exposicion ecuaciones](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022032503/55c06022bb61eb224c8b4600/html5/thumbnails/6.jpg)
DONDE “” ES LA VARIABLE INDEPENDIENTE E “” LA DEPENDIENTE, SE PUEDE TRANSFORMAR EN UN SISTEMA LINEAL DE ORDEN CON COEFICIENTES CONSTANTES LLAMANDO CON LO QUE SE LLEGA AL SISTEMA
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1 2
2 3
1
.
.
'
'
.
'n n
X X
X X
X X
1 11 2
0 0 0 0
( )' n nn n
a a a b tX X X X
a a a a
![Page 8: Exposicion ecuaciones](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022032503/55c06022bb61eb224c8b4600/html5/thumbnails/8.jpg)
LA SOLUCIÓN DE EN EL SISTEMA SERÁ LA SOLUCIÓN DE EN LA ECUACIÓN DIFERENCIAL. TODO SISTEMA LINEAL
X AX B
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SE PUEDE TRANSFORMAR MEDIANTE ELIMINACIÓN ( POR COMBINACIONES LINEALES DE ECUACIONES Y DERIVADAS DE ELLAS) EN UNA ECUACIÓN LINEAL DE ORDEN EN ALGUNA DE LAS VARIABLES .
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RESOLVIENDO ESTA ECUACIÓN Y HALLANDO LAS DEMÁS VARIABLES
SE TIENE RESUELTO EL SISTEMA. ESTE MÉTODO DE ELIMINACIÓN NO SE PUEDE SISTEMATIZAR Y PUEDE RESULTAR EN OCASIONES MUY COMPLICADO.
jX , j i
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EJEMPLO 5 SECCION 8.1 SOLUCION GENERAL DEL SISTEMA (6) EN EL EJEMPLO 2 VIMOS QUE
21
1
1tX e
6
2
3
5tX e
![Page 12: Exposicion ecuaciones](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022032503/55c06022bb61eb224c8b4600/html5/thumbnails/12.jpg)
SON SOLUCIONES LINEALMENTE INDEPENDIENTES DE (6) EN ;
POR LO TANTO, Y FORMAN UN CONJUNTO FUNDAMENTAL DE
SOLUCIONESEN EL INTERVALO.
( , ) 1X 2X
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EN CONSECUENCIA, LA SOLUCION GENERAL DEL SISTEMA EN EL INTERVALO ES
2 61 1 1 1 1 2
1 3
1 5t tX c X c X c e c e
![Page 14: Exposicion ecuaciones](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022032503/55c06022bb61eb224c8b4600/html5/thumbnails/14.jpg)
SE VIO EN EL EJEMPLO 5 DE LA SECCION 8.1 QUE LA SOLUCION GENERAL DEL SISTEMA HOMOGENEO
ES:
DEBIDO A QUE AMBOS VECTORES SOLUCION TIENEN LA FORMA
1 3'
5 3X X
2 61 1 2 2 1 2
1 3
1 5t tX c X c X c e c e
1
2
, 1, 2iti
kX e i
k
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DONDE Y SON CONSTANTES,SE MOTIVA A PREGUNTAR SIEMPRE SI SIEMPRE ES POSIBLE ENCONTRAR UNA SOLUCION DE LA FORMA
(1)
PARA EL SISTEMA LINEAL HOMOGENEO GENERAL DE PRIMER ORDEN (2)DONDE “A” ES UNA MATRIZ DE CONSTANTES .
1
2
.
.
.
t t
n
k
k
X e Ke
k
'X AXn n
1 2 1k ,k , 2
![Page 16: Exposicion ecuaciones](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022032503/55c06022bb61eb224c8b4600/html5/thumbnails/16.jpg)
DEMOSTRACION
( ) 0A K
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LO PRIMERO ES DETERMINAR NUESTRA VARIABLE DEPENDIENTE QUE TENDRA LA FORMA SIGUIENTE:
X AX
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DE (1) OBTENEMOS QUE
tX Ke
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DERIVANDO PARA “” OBTENEMOS X’
![Page 20: Exposicion ecuaciones](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022032503/55c06022bb61eb224c8b4600/html5/thumbnails/20.jpg)
tX K e
![Page 21: Exposicion ecuaciones](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022032503/55c06022bb61eb224c8b4600/html5/thumbnails/21.jpg)
IGUALAMOS CON
Y SUSTITUIMOS “X”
X AX
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QUEDANDO ASI
t tK e AKe
![Page 23: Exposicion ecuaciones](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022032503/55c06022bb61eb224c8b4600/html5/thumbnails/23.jpg)
DIVIDIMOS LA ECUACION ENTRE
te
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OBTENEMOS
K AK
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AGRUPANDO A UN LADO DE LA ECUCION
![Page 26: Exposicion ecuaciones](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022032503/55c06022bb61eb224c8b4600/html5/thumbnails/26.jpg)
( ) 0A K
![Page 27: Exposicion ecuaciones](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022032503/55c06022bb61eb224c8b4600/html5/thumbnails/27.jpg)
VALORES PROPIOS REALES Y DISTINTOS
![Page 28: Exposicion ecuaciones](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022032503/55c06022bb61eb224c8b4600/html5/thumbnails/28.jpg)
TEOREMA 8.7SOLUCION GENERAL,
SISTEMAS HOMOGENEOS
![Page 29: Exposicion ecuaciones](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022032503/55c06022bb61eb224c8b4600/html5/thumbnails/29.jpg)
SEAN VALORES PROPIOS REALES Y DISTINTOS DE LA MATRIZ DE COEFICIENTES “A” DEL SISTEMA HOMOGENEO (2), Y SEAN LOS VECTORES PROPIOS CORRESPONDIENTES.
1 2, , , n
1 2K ,K , ,Kn
![Page 30: Exposicion ecuaciones](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022032503/55c06022bb61eb224c8b4600/html5/thumbnails/30.jpg)
ENTONCES LA SOUCION GENERAL DE (2) EN EL INTERVALO ESTA DADA POR( , )
1 21 1 2 2 ... ntt t
n nX c K e c K e c K e
![Page 31: Exposicion ecuaciones](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022032503/55c06022bb61eb224c8b4600/html5/thumbnails/31.jpg)
VALORES PROPIOS REPETIDOS
![Page 32: Exposicion ecuaciones](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022032503/55c06022bb61eb224c8b4600/html5/thumbnails/32.jpg)
EN RESUMEN, NO TODOS LOS VALORESPROPIOS DE UNA MATRIZ “A”
DEBEN SER DISTINTOS; ES DECIR, QUE EN ALGUNOS CASOS LOS VALORES PROPIOS PODRIAN SER REPETIDOS.
n
n n1 2, , , n
![Page 33: Exposicion ecuaciones](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022032503/55c06022bb61eb224c8b4600/html5/thumbnails/33.jpg)
EN GENERAL SI m ES UN ENTERO POSTIVO Y ES UN FACTOR DE LA ECUACION CARACTERISTICA, MIENTRAS QUE
NO ES UN FACTOR, ENTONCES SE DICE QUE ES UN VALOR PROPIO DE MULTIPLICIDAD .
1( )m 1
1( )m
2
![Page 34: Exposicion ecuaciones](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022032503/55c06022bb61eb224c8b4600/html5/thumbnails/34.jpg)
EXISTEN 2 CASOS IMPORTANTES PARA LOS VALORES PROPIOS REPETIDOS
![Page 35: Exposicion ecuaciones](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022032503/55c06022bb61eb224c8b4600/html5/thumbnails/35.jpg)
PRIMER CASO PARA ALGUNAS MATRICES “A” DE PODRIA SER POSIBLE ENCONTRAR
VECTORES PROPIOS LINEALMENTE INDEPENDIENTES QUE CORRESPONDEN A UN VALOR PROPIO DE
MULTIPLICDAD .
n nm
1 2, ,..., mK K K
m n1
![Page 36: Exposicion ecuaciones](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022032503/55c06022bb61eb224c8b4600/html5/thumbnails/36.jpg)
EN ESTE CASO, LA SOLUCION GENERAL DEL SISTEMA CONTIENE LA COMBINACION LINEAL
1 1 11 1 2 2 ...t t t
m mc K e c K e c K e
![Page 37: Exposicion ecuaciones](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022032503/55c06022bb61eb224c8b4600/html5/thumbnails/37.jpg)
SEGUNDO CASO SI SOLO HAY UN VECTOR PROPIO QUE
CORRESPONDE AL VALOR PROPIODE MULTIPLICIDAD , ENTONCES SE PUEDE ENCONTRAR SOLUCIONES LINEALMENTE INDEPENDIENTES DE LA FORMA
1mm
![Page 38: Exposicion ecuaciones](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022032503/55c06022bb61eb224c8b4600/html5/thumbnails/38.jpg)
DONDE SON VECTORES COLUMNA.
1
1 1
1 1 1
1 11
2 21 22
1 2
1 2
.
.
.
( 1)! ( 2)!
t
t t
m mt t t
m m m mm
X K e
X K te K e
t tX K e K e K e
m m
ijK
![Page 39: Exposicion ecuaciones](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022032503/55c06022bb61eb224c8b4600/html5/thumbnails/39.jpg)
VALORES PROPIOS COMPLEJOS
![Page 40: Exposicion ecuaciones](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022032503/55c06022bb61eb224c8b4600/html5/thumbnails/40.jpg)
SI Y SON VALORES PROPIOS COMPLEJOS DE LA MATRIZ DE COEFICIENTES A, ENTONCES SE PUEDE ESPERAR DE HECHO QUE SUS VECTORES PROPIOS CORRESPONDIENTES TAMBIEN TENGAN ELEMENTOS COMPLEJOS.
1 i 22 , 0, 1i i >
![Page 41: Exposicion ecuaciones](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022032503/55c06022bb61eb224c8b4600/html5/thumbnails/41.jpg)
TEOREMA 8.8SOLUCIONES
CORRESPONDIENTES A UN VALOR COMPLEJO
![Page 42: Exposicion ecuaciones](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022032503/55c06022bb61eb224c8b4600/html5/thumbnails/42.jpg)
SEA “A” LA MATRIZ DE COEFICIENTES CON ELEMENTOS REALES DEL SISTEMA HOMOGENEO (2), Y SEA “” UN VECTOR PROPIO CORRESPONDIENTE AL VALOR PROPIO COMPLEJO , Y REALES. ENTONCES
YSON SOLUCIONES DE (2).
1 i
11
tK e 11
tK e
![Page 43: Exposicion ecuaciones](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022032503/55c06022bb61eb224c8b4600/html5/thumbnails/43.jpg)
TEOREMA 8.9SOLUCIONES REALES QUE
CORRESPONDEN A UN VALOR COMPLEJO
![Page 44: Exposicion ecuaciones](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022032503/55c06022bb61eb224c8b4600/html5/thumbnails/44.jpg)
SEA UN VALOR PROPIO COMPLEJO DE LA MATRIZ DE COEFICIENTES “A” EN EL SISTEMA HOMOGENEO (2) Y SEAN Y LOS VECTORES COLUMNA DEFINIDOS EN:
1 i
1B2B
![Page 45: Exposicion ecuaciones](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022032503/55c06022bb61eb224c8b4600/html5/thumbnails/45.jpg)
1 1 1
1( )
2B K K
2 1 1( )2
iB K K
DONDE Y SON MATRICES.1K 1K
![Page 46: Exposicion ecuaciones](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022032503/55c06022bb61eb224c8b4600/html5/thumbnails/46.jpg)
ENTONCES
(23)
SON SOLUCIONES LINEALMENTE INDEPENDIENTES DE (2) EN .
1 1 2[ cos( ) ( )] tX B t B sen t e
2 2 1[ cos( ) ( )] tX B t B sen t e
( , )
![Page 47: Exposicion ecuaciones](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022032503/55c06022bb61eb224c8b4600/html5/thumbnails/47.jpg)
EJERCICIOS
![Page 48: Exposicion ecuaciones](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022032503/55c06022bb61eb224c8b4600/html5/thumbnails/48.jpg)
DETERMINE LA SOLUCION GENERAL PARA CADA SISTEMA
![Page 49: Exposicion ecuaciones](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022032503/55c06022bb61eb224c8b4600/html5/thumbnails/49.jpg)
EJERCICIO 1
2
4 3
dxx y
dtdy
x ydt
![Page 50: Exposicion ecuaciones](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022032503/55c06022bb61eb224c8b4600/html5/thumbnails/50.jpg)
PRIMERO AGRUPAMOS DE LA SIGUIENTE FORMA
![Page 51: Exposicion ecuaciones](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022032503/55c06022bb61eb224c8b4600/html5/thumbnails/51.jpg)
1 2
4 3X X
![Page 52: Exposicion ecuaciones](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022032503/55c06022bb61eb224c8b4600/html5/thumbnails/52.jpg)
BUSCAMOS ENCONTRAR
1 2det( ) 0
4 3A I
![Page 53: Exposicion ecuaciones](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022032503/55c06022bb61eb224c8b4600/html5/thumbnails/53.jpg)
Y OBTENEMOS
(1 )(3 ) (4)(2) 0
![Page 54: Exposicion ecuaciones](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022032503/55c06022bb61eb224c8b4600/html5/thumbnails/54.jpg)
AL HACER EL PRODUCTO OBTENEMOS
2 4 5 0
![Page 55: Exposicion ecuaciones](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022032503/55c06022bb61eb224c8b4600/html5/thumbnails/55.jpg)
POR MEDIO DE LA RESOLUCION DE ECUACIONES CUADRATICAS OBTENEMOS VALORES PARA LAMBDA. DETERMINAMOS QUE SON VALORES PROPIOS DISTINTOS.
1
2
5
1
![Page 56: Exposicion ecuaciones](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022032503/55c06022bb61eb224c8b4600/html5/thumbnails/56.jpg)
SUSTITUIMOS LAMBDA EN LA MATRIZ DE LA CUAL OBTUVIMOS EL DETERMINANTE Y FORMAMOS ECUACIONES QUE NOS PERMITEN ENCONTRAR Y Y ASI OBTENEMOS
1K 2K
![Page 57: Exposicion ecuaciones](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022032503/55c06022bb61eb224c8b4600/html5/thumbnails/57.jpg)
PARA 5
4 2 0
4 2 0
![Page 58: Exposicion ecuaciones](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022032503/55c06022bb61eb224c8b4600/html5/thumbnails/58.jpg)
SUSTITUIMOS LA PRIMERA FILA EN LA SEGUNDA Y OBTENEMOS
4 2 0
0 0 0
![Page 59: Exposicion ecuaciones](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022032503/55c06022bb61eb224c8b4600/html5/thumbnails/59.jpg)
OBTENEMOS UN SISTEMA CON INFINITAS SOLUCIONES
1 24 2 0k k
![Page 60: Exposicion ecuaciones](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022032503/55c06022bb61eb224c8b4600/html5/thumbnails/60.jpg)
HACEMOS
Y OBTENEMOS
2 2k
1 1k
![Page 61: Exposicion ecuaciones](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022032503/55c06022bb61eb224c8b4600/html5/thumbnails/61.jpg)
LUEGO SUSTITUIMOS
1
2 2 0
4 4 0
![Page 62: Exposicion ecuaciones](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022032503/55c06022bb61eb224c8b4600/html5/thumbnails/62.jpg)
SIMPLIFICANDO NOS QUEDA
1 1 0
0 0 0
![Page 63: Exposicion ecuaciones](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022032503/55c06022bb61eb224c8b4600/html5/thumbnails/63.jpg)
DE NUEVO OBTENEMOS UN SISTEMA CON INFINITAS SOLUCIONES
1 2 0k k
![Page 64: Exposicion ecuaciones](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022032503/55c06022bb61eb224c8b4600/html5/thumbnails/64.jpg)
HACEMOS
Y OBTENEMOS
2 1k
1 1k
![Page 65: Exposicion ecuaciones](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022032503/55c06022bb61eb224c8b4600/html5/thumbnails/65.jpg)
COMO
1
2
.
.
.
t t
n
k
k
X e Ke
k
![Page 66: Exposicion ecuaciones](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022032503/55c06022bb61eb224c8b4600/html5/thumbnails/66.jpg)
HACEMOS
1
1
2K
2
1
1K
![Page 67: Exposicion ecuaciones](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022032503/55c06022bb61eb224c8b4600/html5/thumbnails/67.jpg)
ASI OBTENEMOS QUE
51
1
2tX e
2
1
1tX e
![Page 68: Exposicion ecuaciones](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022032503/55c06022bb61eb224c8b4600/html5/thumbnails/68.jpg)
AHORA OBTENEMOS LA SOLUCION
51 2
1 1
2 1t tX c e c e
![Page 69: Exposicion ecuaciones](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022032503/55c06022bb61eb224c8b4600/html5/thumbnails/69.jpg)
EJERCICIO 2
2
dxx y z
dtdy
ydtdz
y zdt
![Page 70: Exposicion ecuaciones](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022032503/55c06022bb61eb224c8b4600/html5/thumbnails/70.jpg)
AGRUPAMOS
1 1 1
0 2 0
0 1 1
X X
![Page 71: Exposicion ecuaciones](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022032503/55c06022bb61eb224c8b4600/html5/thumbnails/71.jpg)
HACEMOS EL DETERMINANTE
1 1 1
det( ) 0 2 0 0
0 1 1
A I
![Page 72: Exposicion ecuaciones](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022032503/55c06022bb61eb224c8b4600/html5/thumbnails/72.jpg)
OBTENIENDO ASI
det( ) (1 )(2 )( 1 )A I
![Page 73: Exposicion ecuaciones](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022032503/55c06022bb61eb224c8b4600/html5/thumbnails/73.jpg)
COMO YA ESTA FACTORIZADO ENCONTRAMOS
1
2
3
1
2
1
![Page 74: Exposicion ecuaciones](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022032503/55c06022bb61eb224c8b4600/html5/thumbnails/74.jpg)
CON
OBTENEMOS
1
0 1 1
0 1 0 0
0 1 2
![Page 75: Exposicion ecuaciones](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022032503/55c06022bb61eb224c8b4600/html5/thumbnails/75.jpg)
DE TAL FORMA QUECUALQUIER VALOR DEBIDO AQUE SU COEFICIENTE ES CEROPOR COMODIDAD TOMAREMOS “1”
1k
2
3 2
0
0
k
k k
![Page 76: Exposicion ecuaciones](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022032503/55c06022bb61eb224c8b4600/html5/thumbnails/76.jpg)
CON
OBTENEMOS
2
1 1 1
0 0 0 0
0 1 3
![Page 77: Exposicion ecuaciones](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022032503/55c06022bb61eb224c8b4600/html5/thumbnails/77.jpg)
NOS QUEDA EL SIGUIENTE SISTEMA DE ECUACIONES
1 2 3
1 2 3
1 2 3
0
0 0 0 0
0 3 0
k k k
k k k
k k k
![Page 78: Exposicion ecuaciones](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022032503/55c06022bb61eb224c8b4600/html5/thumbnails/78.jpg)
DEL CUAL OBTENEMOS
1 2 3
3 2
1
3
k k k
k k
1
2
3
2
3
1
k
k
k
![Page 79: Exposicion ecuaciones](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022032503/55c06022bb61eb224c8b4600/html5/thumbnails/79.jpg)
AHORA CON
OBTENEMOS
1
2 1 1
0 3 0 0
0 1 0
![Page 80: Exposicion ecuaciones](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022032503/55c06022bb61eb224c8b4600/html5/thumbnails/80.jpg)
OBTENEMOS EL SISTEMA DE ECUACIONES
1 2 3
2
2
2 0
3 0
0
k k k
k
k
![Page 81: Exposicion ecuaciones](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022032503/55c06022bb61eb224c8b4600/html5/thumbnails/81.jpg)
LAS SOLUCIONES
PUEDE SER CUALQUIER VALOR POR COMODIDAD USAMOS 2
2
3
1
0
2
1
k
k
k
3k
![Page 82: Exposicion ecuaciones](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022032503/55c06022bb61eb224c8b4600/html5/thumbnails/82.jpg)
AHORA NUESTRA SOLUCION
21 2 3
1 2 1
0 3 0
0 1 2
t t tX c e c e c e
![Page 83: Exposicion ecuaciones](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022032503/55c06022bb61eb224c8b4600/html5/thumbnails/83.jpg)
EJERCICIO 3
3
9 3
dxX Y
dtdy
X Ydt
![Page 84: Exposicion ecuaciones](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022032503/55c06022bb61eb224c8b4600/html5/thumbnails/84.jpg)
SE COPIAN LOS COEFICIENTES DE CADA VARIABLE Y DE ACUERDO A QUE VARIABLE SEA LA DEPENDIENTE DE LAS ECUACIONES SE LE RESTARA
![Page 85: Exposicion ecuaciones](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022032503/55c06022bb61eb224c8b4600/html5/thumbnails/85.jpg)
3 10
9 3Det A I
![Page 86: Exposicion ecuaciones](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022032503/55c06022bb61eb224c8b4600/html5/thumbnails/86.jpg)
Se realiza de manera normal la matriz para saber los valores de luego se despeja obteniéndolo de la siguiente manera
![Page 87: Exposicion ecuaciones](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022032503/55c06022bb61eb224c8b4600/html5/thumbnails/87.jpg)
3 3 9 1 0Det A I
![Page 88: Exposicion ecuaciones](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022032503/55c06022bb61eb224c8b4600/html5/thumbnails/88.jpg)
29 3 3 9 0
![Page 89: Exposicion ecuaciones](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022032503/55c06022bb61eb224c8b4600/html5/thumbnails/89.jpg)
2 0
![Page 90: Exposicion ecuaciones](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022032503/55c06022bb61eb224c8b4600/html5/thumbnails/90.jpg)
HACIENDO
SE OBTIENE
1 0
1 2
1 2
3 0
9 3 0
K K
K K
![Page 91: Exposicion ecuaciones](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022032503/55c06022bb61eb224c8b4600/html5/thumbnails/91.jpg)
AL SER MÚLTIPLO DE TRES LA SEGUNDA ECUACIÓN SE DESPEJA PARA CUALQUIER VARIABLE DESCONOCIDA PARA SABER LAS DE LA SOLUCIÓN GENERAL
![Page 92: Exposicion ecuaciones](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022032503/55c06022bb61eb224c8b4600/html5/thumbnails/92.jpg)
*SI TOMAMOS VALORES ENTEROS Y SENCILLOS PARA SABER NUESTRAS
1 23K K
1 21 3K K
![Page 93: Exposicion ecuaciones](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022032503/55c06022bb61eb224c8b4600/html5/thumbnails/93.jpg)
ASI QUE UNA PARTE DE NUESTRA SOLUCIÓN GENERAL SERÁ
01 1X
1 1
3 3tC e C
![Page 94: Exposicion ecuaciones](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022032503/55c06022bb61eb224c8b4600/html5/thumbnails/94.jpg)
AL SER DEL CASO DE “VALORES PROPIOS REPETIDOS” VALOR PROPIO DE MULTIPLICIDAD m A LA SOLUCIÓN
tX Ke
![Page 95: Exposicion ecuaciones](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022032503/55c06022bb61eb224c8b4600/html5/thumbnails/95.jpg)
PARA QUE NO SE DE UN RESULTADO REPETIDO LA TRABAJAREMOS CON
OBTENIENDO
( )I P KA
1 2
1 2
3 1
9 3 3
K K
K K
![Page 96: Exposicion ecuaciones](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022032503/55c06022bb61eb224c8b4600/html5/thumbnails/96.jpg)
VEMOS QUE LOS DE LA SIGUIENTE PARTE DE LA SOLUCIÓN GENERAL SERÁN LOS MISMOS ,POR LO QUE DEBEREMOS DE USAR EL TEOREMA 8.2 Y NUESTRA SOLUCIÓN QUEDARÍA DE LA SIGUIENTE MANERA
![Page 97: Exposicion ecuaciones](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022032503/55c06022bb61eb224c8b4600/html5/thumbnails/97.jpg)
2 2
1 1
3 2X C t
![Page 98: Exposicion ecuaciones](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022032503/55c06022bb61eb224c8b4600/html5/thumbnails/98.jpg)
Y LA SOLUCIÓN FINAL SERIA
1 2
1 1 1
3 3 2X C C t
![Page 99: Exposicion ecuaciones](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022032503/55c06022bb61eb224c8b4600/html5/thumbnails/99.jpg)
EJERCICIO 4
6
5 2
dxX Y
dtdy
X Ydt
![Page 100: Exposicion ecuaciones](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022032503/55c06022bb61eb224c8b4600/html5/thumbnails/100.jpg)
6 10
5 2Det a I
![Page 101: Exposicion ecuaciones](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022032503/55c06022bb61eb224c8b4600/html5/thumbnails/101.jpg)
6 2 5 1 0
![Page 102: Exposicion ecuaciones](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022032503/55c06022bb61eb224c8b4600/html5/thumbnails/102.jpg)
2 8 17 0
![Page 103: Exposicion ecuaciones](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022032503/55c06022bb61eb224c8b4600/html5/thumbnails/103.jpg)
ESTE ES EL CASO DE VALORES PROPIOS COMPLEJOS ÓSEA QUE LAS SOLUCIONES DE CONTIENEN UNA PARTE REAL Y OTRA PARTE IMAGINARIA.
QUEDANDO ASÍ
![Page 104: Exposicion ecuaciones](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022032503/55c06022bb61eb224c8b4600/html5/thumbnails/104.jpg)
1
2
4
4
i
i
![Page 105: Exposicion ecuaciones](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022032503/55c06022bb61eb224c8b4600/html5/thumbnails/105.jpg)
SE SIGUE TRABAJANDO DE LA MISMA FORMA.
![Page 106: Exposicion ecuaciones](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022032503/55c06022bb61eb224c8b4600/html5/thumbnails/106.jpg)
SI 1 4 i
1 2
1 2
6 4 0
5 [2 4 ] 0
i k k
k i k
![Page 107: Exposicion ecuaciones](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022032503/55c06022bb61eb224c8b4600/html5/thumbnails/107.jpg)
SE OBTIENE
1 2
1 2
2 0 (1)
5 2 0 2
i k k
k i k
![Page 108: Exposicion ecuaciones](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022032503/55c06022bb61eb224c8b4600/html5/thumbnails/108.jpg)
DE (1) SE DESPEJA PARA
DONDE 1 22 i k k
1 21 (2 )k y k i
![Page 109: Exposicion ecuaciones](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022032503/55c06022bb61eb224c8b4600/html5/thumbnails/109.jpg)
Y NUESTRA PRIMERA PARTE DE LA SOLUCIÓN QUEDARÍA DE LA SIGUIENTE MANERA
![Page 110: Exposicion ecuaciones](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022032503/55c06022bb61eb224c8b4600/html5/thumbnails/110.jpg)
AHORA SI 2 4 i
1 2
1 2
6 4 0 (3)
5 [2 4 0 (4)
i k k
k i k
![Page 111: Exposicion ecuaciones](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022032503/55c06022bb61eb224c8b4600/html5/thumbnails/111.jpg)
SE OBTIENE
1 2
1 2
2 0
5 2 0
i k k
k i k
![Page 112: Exposicion ecuaciones](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022032503/55c06022bb61eb224c8b4600/html5/thumbnails/112.jpg)
AL DESPEJAR PARA SE OBTIENE QUE
Y
1 22 i k k
1 1k 2 (2 )k i
![Page 113: Exposicion ecuaciones](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022032503/55c06022bb61eb224c8b4600/html5/thumbnails/113.jpg)
LOS Y SON DE ESTA NUEVA ECUACIÓN NO CONFUNDIRLOS CON LA ANTERIOR.
1k 2k
![Page 114: Exposicion ecuaciones](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022032503/55c06022bb61eb224c8b4600/html5/thumbnails/114.jpg)
NUESTRA SEGUNDA PARTE DE LA SOLUCIÓN GENERAL NOS QUEDARÍA DE LA SIGUIENTE FORMA
![Page 115: Exposicion ecuaciones](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022032503/55c06022bb61eb224c8b4600/html5/thumbnails/115.jpg)
PERO YA QUE EN NUESTRA CLASE DE ECUACIONES DIFERENCIALES NO QUEREMOS QUE LAS SOLUCIONES NOS QUEDEN EXPRESADAS COMO NÚMEROS IMAGINARIO UTILIZAMOS LA ECUACIÓN DE EULER POR LO QUE SE ACONSEJA EXPRESAR UNA SOLUCIÓN EN TÉRMINOS DE FUNCIONES REALES.
![Page 116: Exposicion ecuaciones](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022032503/55c06022bb61eb224c8b4600/html5/thumbnails/116.jpg)
QUE QUEDA EXPRESADA DE LA SIGUIENTE MANERA
1 1 2
2 2 1
t
t
X B cos t B sen t e
X B cos t B sen t e
![Page 117: Exposicion ecuaciones](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022032503/55c06022bb61eb224c8b4600/html5/thumbnails/117.jpg)
DONDE
1 1 1
1( )
2B K K
2 1 1( )2
iB K K
![Page 118: Exposicion ecuaciones](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022032503/55c06022bb61eb224c8b4600/html5/thumbnails/118.jpg)
1
1 0 1 0
2 2 1
ik i
i
1
1
2B
2
0
1B
![Page 119: Exposicion ecuaciones](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022032503/55c06022bb61eb224c8b4600/html5/thumbnails/119.jpg)
1
1
2K
i
1
1
2K
i
![Page 120: Exposicion ecuaciones](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022032503/55c06022bb61eb224c8b4600/html5/thumbnails/120.jpg)
1 1 1
1 11 1( )
2 22 2B K K
i i
![Page 121: Exposicion ecuaciones](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022032503/55c06022bb61eb224c8b4600/html5/thumbnails/121.jpg)
1
21
42B
1
1
2B
![Page 122: Exposicion ecuaciones](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022032503/55c06022bb61eb224c8b4600/html5/thumbnails/122.jpg)
2
1 1
2 22
iB
i i
![Page 123: Exposicion ecuaciones](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022032503/55c06022bb61eb224c8b4600/html5/thumbnails/123.jpg)
2
2
0
22
0
4
iB
i
B
![Page 124: Exposicion ecuaciones](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022032503/55c06022bb61eb224c8b4600/html5/thumbnails/124.jpg)
LA SOLUCION TIENE LA FORMA
1 1 2 2X c X c X
![Page 125: Exposicion ecuaciones](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022032503/55c06022bb61eb224c8b4600/html5/thumbnails/125.jpg)
LA CUAL OBTENEMOS A CONTINUACION
4 41 2
1 0 0 1cos( ) ( ) cos( ) ( )
2 1 1 2t tX c t sen t e c t sen t e
![Page 126: Exposicion ecuaciones](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022032503/55c06022bb61eb224c8b4600/html5/thumbnails/126.jpg)
4 41 2
cos( ) 0 0 ( )
2cos( ) ( ) cos( ) 2 ( )t tt sen t
X c e c et sen t t sen t
![Page 127: Exposicion ecuaciones](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022032503/55c06022bb61eb224c8b4600/html5/thumbnails/127.jpg)
Y FINALMENTE LA SOLUCION
4 41 1
cos( ) ( )
2cos( ) ( ) 2 ( ) cos( )t tt sen t
X c e c et sen t sen t t