EXPRESIONES ALGEBRAICAS SU CLASIFICACIN Y OPERACIONES

Margarita Patio - Carlos Villa

Las matemticas son el alfabeto con el cual Dios ha escrito el Universo.GALILEO GALILEI

INTRODUCCIN A LA UNIDADEn ocasiones has visto expresiones como la siguiente: a+b=b+a

Con ella representamos la propiedad conmutativa de la suma. Esta propiedad es cierta para cualquier par de nmeros y por ello utilizamos letras en lugar de valores concretos. En Matemticas es frecuente utilizar expresiones que combine nmeros y letras o solamente letras. Esto lo hacemos cuando, como en el caso anterior, expresamos relaciones que se dan para todos los nmeros. Tambin cuando desconocemos el valor de algn dato lo representamos con una letra hasta que lo hallamos. Y tambin cuando no conocemos el valor numrico de algn dato y hemos de escribir una expresin en la que interviene aunque no se trate de hallar su valor. Las expresiones que resultan de combinar nmeros y letras relacionndolos con las operaciones habituales se llaman expresiones algebraicas. La parte de las Matemticas que utiliza las expresiones algebraicas se llama lgebra.

COMPETENCIAS: Utilizar adecuadamente las expresiones algebraicas, sus propiedades bsicas y operaciones para resolver situaciones problema en distintos contextos. Saber interpretar la informacin lingstica en su expresin numrica en un texto dado. Dominar el uso de la calculadora como ayuda para la resolucin de problemas matemticos. Utilizar adecuadamente las expresiones algebraicas, sus propiedades bsicas y operaciones para resolver situaciones problema en distintos contextos. Resuelve expresiones algebraicas utilizando las propiedades y operaciones algebraicas. En una situacin especfica: Realiza operaciones con polinomios.

CONOCIMIENTOS PREVIOS

1. Para un buen desempeo con el tema de las expresiones algebraicas, es necesario un buen dominio en las propiedades y operaciones descritas en el captulo de conjuntos numricos. 2. Tener muy en cuenta la ley de los signos.

3. Tener buena habilidad y destreza en realizacin de clculos en los que intervienen operaciones con signos de agrupacin.

Para estudiar esta unidad, debes conocer los siguientes conceptos:

1. EXPRESIN ALGEBRAICA: Una expresin algebraica es unacombinacin de nmeros y letras relacionados mediante operaciones aritmticas. Adicin, sustraccin, multiplicacin, divisin y potenciacin Expresin algebraica

3y 2xy + 8trmin os

La expresin algebraica conformada por TRMINOS

esta

Nuestra expresin Algebraica modelo est conformada por tres trminos: (3y ), (-2xy), (8)

Entonces, UN TRMINO es una expresin algebraica que consta de un solo smbolo o de varios smbolos separados nicamente por la multiplicacin o la divisin. Aqu no hay sumas ni restas para separarlos.

GRADO ABSOLUTO DE UN TRMINO: Se denomina grado absoluto de un trmino algebraico a la suma de los exponentes de su factores literales:

3x3, este trmino es de grado tres -5x2y3, es de grado 5, porque la suma de los exponentes de sus factores literales es 2 + 3 = 5 GRADO RELATIVO: RELATIVO Est dado por el

exponente de la variable considerada. -5x2y3 : Es de 2 grado con respecto a la variable x. -5x2y3: Es de 3er grado con respecto a la variable y.

CLASIFICACIN DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Las expresiones Algebraicas se clasifican de acuerdo al nmero de trminos que la componen en: MONOMIOS, BINOMIOS, TRINOMIOS Y POLINOMIOS MONOMIOS. POLINOMIO GRADO DE UN POLINOMIO OPERACIONES CON POLINOMIOS: SUMA Y RESTA MULTIPLICACIN DIVISIN REGLADE RUFFINI

MONOMIOS. Los monomios son expresiones algebraica de un solo trmino. Ejemplos: 1) 7xy 2) 0,5xy 3) 4ab 4) -5xyz 5) 52abc 6) 3xz

Debes tener en cuenta que en un monomio hay: 1. un factor numrico que se llama coeficiente , que en los ejemplos anteriores seran : 7 ,-0.5, 4 ,-5, 52, 3 respectivamente, 2. Una parte constituida por letras y sus exponentes que se llama parte literal, como son xy, xy , ab, xyz para nuestros ejemplos anteriores. Los monomios que tienen la misma parte literal se llaman monomios semejantes, o simplemente trminos semejantes, como son : 5xy2, -7xy2, 3xy2.

POLINOMIO Un Polinomio es una expresin algebraica que consta de dos o ms trminos algebraicos: Ejemplos: 1) -7x2 + 4x 5xy 2) 6x4 - 5x3 + x2 + 4x + 9 3) 5a2 + 3ab - ab2 - 2 4) 6x3 + 2x2 x +1

De acuerdo a la cantidad de sumandos el polinomio recibe otras denominaciones que son: Binomio y Trinomio:

BINOMIO Binomio: es un Polinomio que consta de dos trminos. Ejemplos: 1) 5x2y + 2x2y3 2) -4x + 3y TRINOMIO Trinomio: es un Polinomio que consta de tres trminos. Ejemplos: 1) 5x + 6y + 3z 2) 1 + ab + 3a2b 3) 4mn2 + 2m2n 3mn 4) -3xy2z + 3x2y2z +x2y2z3 5) a2+b2 + 3ab3 + ab 6) x3y2 + xy2 +3xy 3) 4a2b + 4a3b3 4) 6x2y2z - 3xy 5) 8m3n2 - 2mn2 6) 4x -2xy

GRADO DE UN POLINOMIO El grado de un polinomio est determinado por el trmino de mayor grado absoluto. Ejemplo: 2x3y + 5xy2 - x z + 1 es de grado 4, OBSERVA : el trmino 2x3y que es de grado 4. El grado de un polinomio respecto de una variable es el mayor exponente con que figura dicha variable . As en el ejemplo anterior es de grado 3 respecto de x , de grado 2 respecto de y, de grado 1 respecto de z

Taller para identificar las caractersticas de las expresiones algebraicas

OPERACIONES CON POLINOMIOS

Los Polinomios pueden sumarse, restarse, multiplicarse, dividirse y elevarse a cualquier potencia real. Por ejemplo una SUMA de polinomios puede expresarse como:

P(y) : 2y2 + y-1 y Q(y) : 3y3 + 4y2 - 5

Hallar :P(y) + Q(y)

SUMA y RESTA 1. Solo se pueden sumar o restar TRMINOS SEMEJANTES. 2. La suma o resta de dos o ms monomios semejantes es otro monomio semejante a los anteriores y que tiene por coeficiente la suma o resta de los coeficientes de cada monomio. 3. Si no son semejantes se deja la operacin indicada YA QUE NO SE PODRN SUMAR. EJEMPLO 1: 4 b + b = 5b 4 + 1 = 5 EJEMPLO2: 7xy 3xy = 4xy EJEMPLO3: - 5xy2 3xy2 = - 8xy2 EJEMPLO4: 2x3y2 + 2xy = No se pueden sumar, pues no se cuenta con trminos semejantes

Se asume, que si no existe un valor numrico (coeficiente) antes de la letra, se asume que vale uno (1)

La suma de dos o ms polinomios puede realizarse sumando sus trminos semejantes. Esta operacin puede hacerse en forma vertical o en horizontal o fila. Su representacin sera como se presenta a continuacin:EJEMPLO: Sume los dos Polinomios siguientes

P(y) + Q(y)

P(y) : 2y2 + y-1 y Q(y) : 3y3 + 4y2 - 5

Hallar :P(y) + Q(y)

Primero ordenemos en forma descendente el polinomio P(y), con relacin a la variable y. Como segundo paso, es conveniente disponer los polinomios en forma vertical de tal manera que coincidan los trminos semejantes de ambos polinomios, as obtienes la siguiente presentacin y podrs sumarlos ms fcilmente:

P(y) :

2y2 + y- 1

Q(y) : +3y3 + 4y2 -5 P(y) + Q(y): 3y3 + 6y2 + y - 6EJEMPLO: Resuelve la siguiente suma de polinomios utilizando el mtodo horizontal:

(3x 3 - 7x + 2) + (7x 2 + 2x - 7)

Para dar solucin a este ejercicio, sigue los pasos que se describen a continuacin: 1. Agrupa trminos semejantes utilizando las propiedades conmutativa y asociativa de la adicin.

3x 3 +7x 2 + (-7x + 2x) + (2 + (-7))Sigue

2. Ahora podrs reducir trminos semejantes, es decir, smalos:

3x 3 +7x 2 + (-5x) + 5 = 3x 3 +7x 2 - 5x + 5.Otro ejemplo:

Es tu respuesta

( -8x

3

+ 5x + 3 ) + ( 4x 2 + x 3 + 3x )

Realizar la suma de polinomios indicada: Para dar solucin a esta suma, debes proceder de igual manera que en el ejemplo anterior: 8x 3 + 5x + 3

4x 2 + x 3 + 3x 4x 2 - 7x 3 + 8x + 3Como ltimo paso, debes ordenar el polinomio, esto lo haces teniendo en cuenta los exponentes de la variable x; entonces Ordena de mayor a menor (orden descendente), y te quedar as: - 7x3 +4x2 +8x +3

RESTA DE POLINOMIOS

EJEMPLO1: Realizar la siguiente resta de monomios: 15x 10x Para dar solucin debes restar los coeficientes 15 -10, ya que estamos operando con trminos semejantes; por lo tanto, tu respuesta ser igual a 5x. Respuesta: 15x 10x = 5x

EJEMPLO2: realizar la siguiente resta de polinomios: P(x) Q(x). (4x 3 + 5x - 6) y Q(x) = (3x 3 - 2x 2 + 7x) Sea P(x) = 1. Para dar solucin a esta resta observemos la siguiente disposicin en 3 3 2 forma horizontal: P(x) - Q(x) = (4x + 5x - 6) - (3x - 2x + 7x) = ?

2. Destruye el parntesis aplicando la ley de signos: (4x 3 + 5x - 6) - (3x 3 - 2x 2 + 7x) = 4x 3 + 5x - 6 - 3x 3 + 2x 2 - 7x = 3. Operando con los trminos semejantes, se obtiene: 4x 3 + 5x - 6 - 3x 3 + 2x 2 - 7x = x 3 + 2x 2 - 2x - 6, Es tu respuesta

EJEMPLO3: Realizar la siguiente resta de polinomios, utilizando la forma vertical : (2x 2 + 4x - 3)- (5x 2 - 6) = ? Para dar solucin, observa de nuevo como el signo menos afecta el sustraendo: 2x 2 + 4x - 3 Minuendo - 5x 2 + 6 Sustraendo 3x 2 + 4x + 3 Diferencia No olvides que para restar dos polinomios deben cambiarse todos los signos al sustraendo y sumar algebraicamente. algebraicamente

EJEMPLO 4: Realizar la siguiente resta utilizando el mtodo horizontal: (4x 2 3xy + 2y2 ) (3x 2 4y2 ) = ? Para dar solucin, no olvides escribir en forma horizontal los polinomios cuidando de cambiar el signo a los trminos del sustraendo. Teniendo en cuenta el cambio de los signos, la operacin se convierte en una suma de polinomios: 4x 2 3xy + 2y2 3x 2 + 4y2 = Ahora, efecta las operaciones: 4x 2 3xy + 2y2 3x 2 + 4y2 = 7x 2 3xy + 6y2

Taller para practicar la suma y resta depolinomios

MULTIPLICACIN DE POLINOMIOS 1. MULTIPLICACIN DE UN MONOMIO POR OTRO MONOMIO:Para multiplicar dos monomios entre s se procede de la siguiente manera: 1. Se multiplican los signos (Es decir, se aplica ley de signos) 2. Se multiplican sus coeficientes. 3. Cuando tenemos letras iguales o bases, se suman los exponentes para cada una.

Ejemplo 1: 3x2 (-5x3y) = - 15 x2+3 y = -15x5y

Ejemplo 2: -3

-2x y -9x -4 y 2 5 11

=

( -2 ) ( -9 ) x ( 5 ) ( 11)

-3 - 4

y1 + 2 =

18 -7 3 x y 55

2. MULTIPLICACIN DE UNA CONSTANTE POR UN POLINOMIO Al efectuar esta multiplicacin, se utiliza la propiedad distributiva del producto, y el resultado es otro polinomio que tiene de grado el mismo del polinomio inicial y como coeficientes el producto de los coeficientes del polinomio por la constante. 3(4y2 10y + 5xy 7) = 12y2 - 30y + 15xy -21

3. Multiplicacin de un monomio por un polinomio: Se multiplica el monomio por todos y cada uno de los monomios que forman el polinomio, aplicando la propiedad distributiva de la multiplicacin y las propiedades de potenciacin, es decir se suman los exponentes de los trminos semejantes, sin olvidar aplicar la ley de los signos.

EJEMPLO

:

Realizar

la

siguiente

multiplicacin de un monomio (11x3) por el polinomio 2x5 4x2 + 5x 12

El producto resultante multiplicacin es:

de

esta

3 11x( 2x5 -4x2 +5x-12)=22x 8 44x 5 + 55X 4 132x 3

4. MULTIPLICACIN DE POLINOMIOS: Para multiplicar dos polinomios entre s, se multiplica cada trmino del primer polinomio por todos y cada uno de los trminos del segundo polinomio con sus correspondientes signos, es decir, se est utilizando nuevamente la propiedad distributiva del producto lo mismo que las propiedades de la potenciacin. Esta operacin la podrs realizar de forma horizontal o vertical

5. MULTIPLICACIN DE POLINOMIOS UTILIZANDO EL MTODO HORIZONTAL: EJEMPLO1: Efectuar la siguiente multiplicacin del polinomio (2x 2 + 5x) por (3x 2 2x + 3) Para realizar la multiplicacin expresamos cada factor as: (2x 2 + 5x)(3x 2 2x + 3) = Multiplicando cada trmino del primer polinomio por cada uno del segundo te obtiene: (2x 2 + 5x)(3x 2 2x + 3) =

6x4 - 4x3 + 6x2 + 15x3 - 10x2 + 15x

6. MULTIPLICACIN DE POLINOMIOS UTILIZANDO EL MTODO VERTICAL: EJEMPLO 1: multiplicar los polinomios: P(x) = 7 x3 - 5 x + 2 = 2 x2 + 5 x - 1 Para realizar la multiplicacin disponemos los polinomios de la siguiente forma, para multiplicar cada trmino, y luego sumar los trminos semejantes: 7 x3 5x+2 y Q(x)

2 x2 + 5 x - 1 - 7 x3 + 5x- 2 35 x 4 25 x 2 + 10 x 14 x 5 - 10 x 3 + 4 x 2 14 x 5 +35 x 4 -17 x 3 - 21 x 2 + 15 x - 2

EJEMPLO 2: Realizar la siguiente multiplicacin de polinomios: 7x2 +3x -1 6x2 - 2x + 4 28x2 + 12x - 4 -14x3 - 6x2 + 2x 42x4 +18x3 - 6x2 42x4 + 4x3 + 16x2 + 14x - 4

DIVISIN 1. DIVISIN DE MONOMIOS Para dividir dos monomios se dividen sus coeficientes y para cada letra comn en el dividendo y divisor se restan sus exponentes. EJEMPLO 1: Realizar las siguientes divisiones de monomios 18x7 y5 a) = 6x7 4 y53 = 6x3 y2 3x 4 y33 7

Note que el exponente de x en el 32x y b) = 8x 35 y7 = 8x 2 y7 numerador es menor que el exponente 4x5 de x en el denominador, por lo tanto, al realizar la resta de stos su diferencia es negativa e igual a -2; lo que significa que debemos representarlo como exponente positivo, por lo tanto, se podr lograr llevndolo al denominador, segn propiedades de los exponentes.

Algunas propiedades de los exponentes para tener en cuenta: a0 = 1 y a 11 =a = a0 = 1 a

1 a0 01 1 = =a =a a a 1 1 Por lo tanto : a = a Ejemplo: 3 2 4y3 5x -2 5y 4 = 3x 2 ; = 2x -1; 2 = 4x -2 y3 ; -4 = 2 -2 x x x 3y 3x

2. DIVISIN DE UN POLINOMIO POR UN MONOMIO:

En el caso de que el dividendo sea un polinomio y el divisor un monomio, se puede representar indicando la divisin de cada uno de los monomios del dividendo entre el monomio divisor. EJEMPLO1: 18x3 y - 6x6 + 3x 4 z 18x3 y 6x6 3x 4 z = + 3x 3x 3x 3x Observe que ya tiene tres divisiones de monomios, y su resultado es: 18x3 y 6x6 3x 4 z + = 6x 2 y 2x 5 + x 3 z 3x 3x 3x

EJEMPLO2: Realizar la siguiente divisin de un polinomio por un monomio: 57x5 y2 + 12x 4 y3 - 11x2 y4 - 9y5 + 23 =? 4 y5 3x Para dar solucin dividimos cada uno de los trminos del polinomio del dividendo por el monomio 3x 4 y5 , veamos 57x5 y2 12x 4 y3 11x2 y4 9y5 23 + + = 4 y5 4 y5 4 y5 4 y5 3x 4 y5 3x 3x 3x 3x Realizando la divisin de monomios, obtenemos: 57xy-3 12y-2 11x-2 y-1 9x 4 y0 23x -4 y-5 + + = 3 3 3 3 3 19x 11 3 23 = + 3 2 y x 4 3x 4 y5 y 3x

DIVISIN DE POLINOMIOS: Para dividir dos polinomios siempre, el grado del dividendo debe ser mayor o igual al grado del divisor. Adems, siempre deben estar ambos polinomios ordenados en forma descendente. En el caso de que falte algn trmino del divisor , debe dejarse su espacio o colocar un cero (0) para poder operar correctamente. Para que no te quede ninguna duda, estdiate las siguientes reglas:

REGLAS PARA LA DIVISIN DE POLINOMIOS: 1. El dividendo y el divisor se deben expresar en orden descendente con respecto a una misma letra. 2. Procede luego a dividir el primer trmino del dividendo entre el primer trmino del divisor y obtendrs as el primer trmino del cociente. 3. Este primer trmino del cociente se multiplica por todo el divisor y el producto se resta del dividendo, para lo cual se le cambia el signo, escribiendo cada trmino debajo de su semejante. Si algn trmino de ste producto no tiene trmino semejante en el dividendo se escribe en el lugar que le corresponde de acuerdo con la ordenacin del dividendo y el divisor. 4. Para continuar se divide el primer trmino del resto entre el primer trmino del divisor y tendremos el segundo trmino del cociente. 5. Este segundo trmino del cociente se multiplica por todo el divisor y el producto se resta del dividendo, cambiando los signos. Y as sucesivamente.

Debes recordar estos nombres y su ubicacin: DIVIDENDO RESIDUO DIVISOR COCIENTE

El grado del cociente siempre es la resta entre el grado del dividendo y el grado del divisor

EJEMPLO: Realizar la siguiente divisin de polinomios: 4x 3 + 2x 2 - 4x + 3 entre Para dar solucin a esta divisin, realizaremos paso a paso las reglas enunciadas para esta divisin: 1. El dividendo y el divisor se deben expresar en orden descendente con respecto a una misma letra. Observa que los polinomios2x 2 estar + 3 ordenados: 4x 3 + ya - 4x estn Este es el dividendo: 2x 2 - x + 1 Este es el divisor: 2. Ahora procede a dividir el primer trmino del dividendo entre el primer trmino del divisor y obtendrs as el primer trmino del cociente. 2x 2 - x + 1

4x 3 = 2x Corresponde al primer trmino de tu cociente. 2 2x 3. Este primer trmino del cociente se multiplica por todo el divisor y el producto se resta del dividendo, para lo cual se le cambia el signo, escribiendo cada trmino debajo de su semejante. Si algn trmino de ste producto no tiene trmino semejante en el dividendo se escribe en el lugar que le corresponde de acuerdo con la ordenacin del dividendo y el divisor, veamos: 4x + 2x - 4x + 3 - 4x 3 + 2x 2 - 2x3 2

2x 2 - x + 1 2x

Observa que multiplicaste 2x (2x2 x + 1) = + 4x3 - 4x2 + 2x, pero para restar del dividendo lo pasas con el signo contrario: - 4x3 + 4x2 - 2x

Ahora realizamos la resta: 4x 3 + 2x 2 - 4x + 3 - 4x 3 + 2x 2 - 2x 0x 3 + 4x 2 6x + 3 Resto 2x 2 - x + 1 2x Primer trmino del Cociente

4. Para continuar se divide el primer trmino del resto (4x2) entre el primer trmino del divisor (2x2) y tendremos el segundo trmino del cociente que es 2. 4x 3 + 2x 2 - 4x + 3 - 4x 3 + 2x 2 - 2x 0x 3 + 4x 2 - 6x + 3 2x 2 - x + 1 2x + 2

5. Este segundo trmino del cociente se multiplica por todo el divisor y el producto se resta del dividendo, cambiando los signos. Y as sucesivamente. Dividendo Divisor 4x 3 + 2x 2 - 4x + 3 2x 2 - x + 1 - 4x 3 + 2x 2 - 2x + 4x 2 - 6x + 3 - 4x 2 + 2x - 2 - 4x + 1 Residuo 2x + 2 Cociente

La respuesta a esta divisin se debe expresar de la siguiente forma:

DIVIDENDO RESIDUO = COCIENTE + DIVISOR DIVISOR 4X 3 + 2X 2 4X + 3 4X + 1 = 2X + 2 + 2X 2 X + 1 2X 2 X + 1

PARA TENER EN CUENTA:

Al igual que en una divisin normal , se puede comprobar que : dividendo = divisor por cociente + residuo Si los coeficientes del primer trmino del dividendo y del divisor no dan una divisin decimales exacta si no debemos son utilizar fracciones (algunas veces se usan peridicos), veamos un ejemplo1:

EJEMPLO 1: realizar la divisin: 3x 3 + 2x 2 + 3 entre 2x 2 + 6x + 1 La disposicin de ambos polinomios es la siguiente: 3x 3 + 2x 2 + 3 2x 2 + 6x + 1

Observa que debes dejar este espacio o colocar cero porque la variable x no existe y a dems, el polinomio es t ordenado en forma de scendente

Realizando la divisin obtenemos: 3x 3 + 2x 2 +3 2x 2 + 6x + 1 3 7 x2 2

3 -3x 3 - 9x 2 - x 2 3 - 7x 2 - x + 3 2 7 2 + 7x +21x + 2 39 13 + x+ 2 2

Observa que cuando en el resto queda la letra principal con un exponente de grado menor que el del divisor, se ha concluido la divisin.

EJEMPLO 2: Efectuar la siguiente divisin del polinomio P(x) entre Q(x), 1 2 P(x) = 2 x 4 5 x 2 - 3 y Q(x) = x - 4x -1 si 2

P(x) = Q(x)

2 x 4 0x 3 5 x 2 0x - 3

1 2 x - 4x -1 2

e han Observa que aqu s en el colocado los ceros an las spacio que ocupar e usta ms, 3 ables x y x, si te g vari acios. uedes dejar los esp p

Realizando la divisin, obtenemos: 1 2 x - 4 x - 1 2 4x 2 + 32 x + 254

2x

4

0x 5 x3

2

0x - 3

-2x 4 + 16x 3 + 4x 2 0x 4 + 16x 3 - 1x 2 + 0 x - 16x 3 + 128x 2 + 32x 0x 3 + 127x 2 + 32x - 3 - 127x 2 +1016x + 254 0x 2 + 1048x + 251

REGLADE RUFFINI La regla de Ruffini es un algoritmo que permite obtener fcilmente el cociente y el resto de la divisin de un polinomio por un binomio de la forma x a, donde a es cualquier numerito. Esta regla nos dice que un polinomio tiene por factor (x a) si al reemplazar el valor x por a en el polinomio, el resultado es cero. El valor de a de los posibles factores de la expresin, es un divisor del trmino independiente del polinomio.Paolo Ruffini (1765-1822). Matemtico y mdico italiano. En el ao 1799 public el libro Teora general de las ecuaciones, en el cual aparece la regla que lleva su nombre.

EJEMPLO 1: Realizar la siguiente divisin, 5X 4 3X 3 + 2X 2 7X + 3 entre x 1, utilizando la regla de Ruffini: Para dar solucin a este polinomio utilizaremos el mtodo que ya hemos estudiado, y luego compararemos comparemos con el mtodo de Ruffini: 5X 4 3X 3 + 2X 2 7X + 3 5x 4 + 5x 3 2x 3 + 2x 2 2x 3 + 2x 2 4x 2 7x 4x 2 + 4x 3x + 3 + 3x 3 0 x 1 5x 3 + 2x 2 + 4x + 3

Ahora realizaremos la divisin utilizando el mtodo de Ruffini y compararemos los resultados de ambas divisiones y lo fcil que es aplicar ste mtodo

Aplicando la regla de Ruffini tenemos: 1. Recordemos el polinomio que vamos a dividir: 5X 4 3X 3 + 2X 2 7X + 3 x 1

2. Para dividir polinomios usando la regla de Ruffini, seguimos los siguientes pasos que aplicamos al ejemplo: 5X 4 3X 3 + 2X 2 7X + 3 x 1 3. Ordenar el polinomio (dividendo) de forma decreciente. 5X 4 3X 3 + 2X 2 7X + 3 4. Se escriben los coeficientes del dividendo (recuerde que si faltan trminos se deben dejar los espacios o colocar los ceros como ya se estudi en la divisin): 5 -3 2 -7 3

5. Ahora ya se puede preparar la tabla de Ruffini, como se ver a continuacin:

5 3 2 7 3

6. Colocamos el trmino independiente del divisor x -1, que en este caso es 1, entonces el trmino independiente pasar con signo contrario +1Trmino independiente del divisor con signo contrario

Coeficientes del dividendo

1

5 3 2 7 3

7. Bajamos el primer coeficiente (5 para este ejemplo). 1 5 3 2 7 5 8. Realizamos un proceso repetitivo, de izquierda a derecha, que consiste primero multiplicar el primer coeficiente (5) por el divisor (1), el resultado se coloca a la derecha del segundo coeficiente del dividendo. 5 3 2 7 5 5 3 3

1

Al multiplicar 5 x 1= 5

Ahora se suma esta segunda columna y este resultado nuevamente se multiplica por el divisor (1). Este procedimiento se repite hasta el ltimo trmino del diivdendo. 5 3 2 7 3 5 2 4 3 5 2 4 3 0 Residuo Cociente 9. El ltimo nmero obtenido es el residuo de la divisin, que en nuestro ejemplo es cero (0). Los anteriores a la izquierda del cero representan el cociente.

1

La respuesta para la divisin utilizando el mtodo de Ruffini, se expresa de la siguiente manera: 1. Se toman los valores correspondientes al cociente y se les asigna la letra definida en el dividendo, pero empezando con un exponente disminuido en 1 respecto al dividendo: 5x 3 + 2x 2 + 4x 3 Que es tu respuesta para la divisin 5 2 4 3

Taller para practicar las operaciones de multiplicacin, divisin de polinomios y la regla de Ruffini