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Expresiones racionales
MATE 0008
Departamento de Matemáticas
UPRA
EXPRESIONES RACIONALES
En las matemáticas, la palabra “racional” se asocia a expresiones con forma de fracción; o sea que tienen un numerador y un denominador.
𝑎
𝑏
Expresiones en las cuales el numerador y el denominador son polinomios se conocen como las expresiones racionales.
425
13
Veamos algunos ejemplos.
22
35
yx
yx
52
9
x
x
xx 23
bca
cab
103
842
3
52
2
32 nn
425
13
Manejar expresiones racionales
• Al manejar expresiones racionales debemos
saber realizar las mismas operaciones que
hacemos con las fracciones:
• Simplificar
• Sumar
• Restar
• Multiplicar
• Dividir
425
13
Evaluar una expresión racional
• En una expresión racional podemos sustituir la(s)
variable(s) por cualquier valor excepto por aquellos
que producen 0 en el denominador.
• Ejemplo: Evaluar la expresión 4𝑥+3
𝑥−2 para x=3
• Ejemplo: Evaluar la expresión 3𝑥2−2
5−𝑥 para x=0
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Dominio de una Expresión
Racional • Al conjunto de valores numéricos que producen un
valor distinto de 0 en el denominador al sustituirse por la variable en una expresión racional , se le llama el dominio de la expresión.
• Ejemplo: Determinar el dominio de la expresión
2
43
x
xObservamos que
x + 2 = 0
si
x = -2.
Por lo tanto el dominio de esta expresión es el conjunto
de todos los números reales distintos de -2.
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Dominio de una Expresión Racional • Al conjunto de valores numéricos que producen un valor
distinto de 0 en el denominador al sustituirse por la variable en una expresión racional , se le llama el dominio de la expresión.
• Ejemplo: Determinar el dominio de la expresión
2
43
x
x
Solución: Observamos que x + 2 = 0 si x = -2.
Por lo tanto el dominio de esta expresión es el conjunto
de todos los números reales distintos de -2.
= {x R | x ≠ -2}.
2
43
x
xDom
En notación de conjunto, escribimos −∞, −2 ∪ −2, ∞ .
425
13
Ejemplo: Determinar el dominio de n
n
25
82 2
Observamos que
5 – 2n = 0
si
-2n = -5.
𝑛 =−5
−2
𝑛 =5
2
Dominio de una Expresión
Racional
= {n R | n ≠ 𝟓
𝟐}.
n
n
25
82 2
Dom
En notación de conjunto,
escribimos
−∞,5
2∪
5
2, ∞
425
13
Ejemplos: Determinar el dominio de
n
na
5
82)
2
Dominio de una Expresión
Racional
1545
8)
p
pb
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II. Simplificar Expresiones
Racionales
• Existe una propiedad de la aritmética, que establece
que:
0 c,b
a
bc
ac
Esta es la propiedad que utilizamos para simplificar
fracciones y obtener fracciones equivalentes entre si.
.
425
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Simplificar expresiones racionales
• Por ejemplo:
27
21
A este proceso de eliminar factores repetidos en
un numerador y un denominador se conoce como
simplificación, reducción o minimalización de
expresiones racionales.
))((
))((
39
37
9
7
425
13
• Con las expresiones racionales hacemos algo similar
cuando factorizamos los polinomios en el numerador
y en el denominador, para luego eliminar los factores
en común:
3
2
3
126
a
aa
1. Factorizar el numerador y el denominador
2. Realizar la simplificación
3
2
3
126
a
aa33
26
a
)a(a
2
22
a
)a(
Esta simplicificación es posible porque asumimos
que la variable a nunca es cero.
425
13
Simplificar cada expresión
9
124)
2
x
xa
23
22)
2
3
xx
xxb
30
25)
2
2
yy
yc
425
13
Práctica I.
• Determine el dominio de cada expresión racional.
1)
2)
3)
4)
1
13
a
a
11
25
n
n
y7
3
8
34 x
425
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Práctica I - Soluciones
• Determine el dominio de cada expresión racional.
1)
2)
3)
4)
1a
1a3
11
25
n
n
y37
3
8
34 x
Dom𝟑𝒂+𝟏
𝒂−𝟏 {a R | a ≠ 𝟏}, −∞, 𝟏 ∪ 𝟏, ∞
Dom𝟓+𝟐𝒏
𝒏+𝟏𝟏 {a R | n ≠ -𝟏𝟏} , −∞, −𝟏𝟏 ∪ −𝟏𝟏, ∞ .
Dom𝟑
𝟕−𝟑𝒚 {y R | y ≠
𝟕
𝟑} , −∞,
𝟕
𝟑∪
𝟕
𝟑, ∞ .
Dom𝟒𝒙+𝟑
𝟖 {x R}, −∞, ∞ .
425
13
Práctica II.
9
32
2
x
axax
24
3253
20
1510
yx
yxyx
189
147
x
x
• Simplifique completamente las expresiones racionales.
1) 2) 3)
4) 5) 6) 5
23 6
n
nn
4113
1272
2
rr
rr23
35
xx
xx
425
13
Práctica II - Soluciones
1) o
2) 7
9
3)
4)
5)
6) o
3
x
ax
2
2
4
)32(
x
xyy
3n
6n
1r3
3r
1x
)1x(x 2
2
3
4
32
x
yxy
1x
xx3
Práctica II