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EXTENCIONES DE LOS MODELOS ARCH Y GARCH
Dr. Luis Miguel Galindo
“The gods love the obscure and hate the obvious”Brihadaranyaka UpanishadBrihadaranyaka Upanishad
“When I say a Word it is supposed to meanWhen I say a Word, it is supposed to mean exactly what I want it to mean, nothing more,
nothing less”nothing less
Alicia en el país de las maravillasAlicia en el país de las maravillas
INTRODUCCIÓN:
“I have heard it said that too much academicresearch is focused on finding very preciseanswers to irrelevant questions”
Carol Alexander (2001)
Dr. Galindo
MODELOS GARCH
1 ARCH( )1. ARCH(ρ):
(1) 22110
2ttt e...e α++α+α=σ
10
110
00ttt
,,,e...e
≥αα⟩α
α++α+ασ
ρ
ρ−ρ−
K
( )20 tt
t ,NIe σ∼
Dr. Galindo
MODELOS APLICADOS:
2. GARCH(ρ,q):
(5) ∑ ∑ −− ++=q
itijtjt ew1 1
222ρ
ασβσ= =j i1 1
Dr. Galindo
MODELOS GENERALES:
El GARCH es estacionario:
∑ ∑ρ
= =
⟨α+β1 1
1i
q
jji
1 1i j
Dr. Galindo
MODELOS APLICADOS:
1. GARCH(1,1):
(4)(4)
La varianza condicional es función de:
21
21
2−− ++= ttt ew βσασ
• Constante• Noticias sobre la volatilidad del periodo previop p
• La varianza pronosticado del periodo anterior:2
1:ARCH −te
21:GARCH −tσ
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MODELOS APLICADOS:
3. GARCH-M:
(6.1) ( ) tttt exy ++= 2' log σχθ
4. Regresores en la ecuación de varianza:
(6.2) πασβσ
ρ'222titijt
q
jt zew +++= ∑∑ −−11 i
jj
j ∑∑==
Dr. Galindo
MODELOS GENERALES:
4. Integrated GARCH : IGARCH
CCon ∑ ∑ρ
= =
=β+α1 1
1i
q
jji
La varianza incondicional es infinita
Dr. Galindo
MODELOS GARCH:
IGARCH:
Con y suponiendo que :1=β+α χ=β
(7) ( )10
1 21
21
2
≤≤+−+= −−
χχσχσ ttt ew
Tipo de cambio: media y varianza no estacionariaC 0 ⇒ IGARCH i il EWMA
10 ≤≤ χ
Con w = 0 ⇒ IGARCH similar a EWMA
Dr. Galindo
EXTENCIONES DEL GARCH
La varianza condicional ( ) de et debe ser no negativa2tσ
Imponiendo restricciones en los coeficientes se obtieneque las variables y sean positivas2e 2σque las variables y sean positivas
Alternativas:
ite − tσ
• ABSGARCHEGARCH• EGARCH
Dr. Galindo
EXTENCIONES DEL GARCH
O ió E ti l GARCH l i l d ó+ −Opción: Estimar el GARCH normal incluyendo ó pero no ambos
+−1te −1te
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EXTENCIONES DEL GARCH: ABSGARCH
5. ABSGARCH
El modelo absoluto GARCH utiliza |et|
GARCH(ρ,q):
ρq(1) ∑∑
ρ
=−
=− σβ+α+α=σ
1j
2jtj
q
1iit10
2t |e|
Al remplazar |et-i| por entonces los errores muygrandes disminuyen su importancia
21te −
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EXTENCIONES DEL GARCH: TARCH
Glosten, Jagannathan y Runkle (1993) (GJR) desarrollan un modelo que permite asimetrías
6. Modelo GJR ó TARCH:
(1) 1t2
1t2
1t2
1t102t ee −−−− Γγ+βσ+α+α=σ
Donde: Гt-1 = 1 si et-1 < 0 = 0 en otro caso= 0 en otro caso
Dr. Galindo
EXTENCIONES DEL GARCH: TARCH
En el caso donde exista “leverage effect” (existe mas l tilid d íd d i ) 0volatilidad con caídas de precios) γ>0
Con γ distinto de 0 existe asimetría.
Condición de no negatividad:0,0,0 110 ≥γ+α≥β≥α≥α 110
Dr. Galindo
MODELOS GENERALES:
GJR GARCH (Gl t J th R kl 1993)GJR-GARCH: (Glosten, Jagannathan Runkle, 1993):
(1) ( )δ+α+β+=ρ
= =−−−−∑ ∑
1 1
21
2
i
q
jjtjttjtjitit eDehwh
⎩⎨⎧
≥⟨
=−
−− 00
01
1
11
t
tt esi
esiD
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MODELOS APLICADOS:
TARCHTARCH
(1) 2222 Ieewq
ktktkitijtjt +++= −−−−∑ ∑ ∑ρ γ
γασβσ
casootroen00si11 1 1
yeI tt
j i kktktkitijtjt
⟨=−
= = =∑ ∑ ∑
Con γ1>0 malas noticias incrementan la volatilidad(leverage effect)(leverage effect)
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TGARCH
EXTENCIONES DEL GARCH
TGARCH:
Threshold GARCH:
(1) ∑∑∑ρ
−−−
−++
+ σβ+α+α+α=σ1j
jtj
q
1iiti
q
1i1ti0t ee
1. para et-1 > 0o para et 1 > 0
11 −+− = tt ee
=== 1j1i1i
p t-1
2. para et-1 < 0≥0
11 −−− = tt ee
o para et-1 ≥0
Dr. Galindo
d l i l GA C ( GA C ) ( l
EXTENCIONES DEL GARCH: EGARCH
Modelo exponencial GARCH (EGARCH) (Nelson,1991)
Características:
1. Modela el . Ello asegura que sea)log( 2tσ 2
tσg qpositiva porque incluso con un número negativo en ellado derecho, el antilog lo hace positivo
)g( t t
2. Permite efectos asimétricos
3 Problema: es necesario asegurarse que todos los3. Problema: es necesario asegurarse que todos losvalores sean positivos
Dr. Galindo
MODELOS APLICADOS:
7 EGARCH:7. EGARCH:
(1) ( ) ( ) ∑∑ ∑ −−− ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++=
γρ
σγ
σασβσ 22 )(loglog kt
k
qit
ijtjteeabsw
Leverage effect?:
= −= = −⎟⎠
⎜⎝
⎟⎠
⎜⎝ σσ 11 1 k ktj i it
0⟨γg
El impacto es asimétrico si
0⟨iγ
0≠iγ iγ
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EXTENCIONES DEL GARCH: EGARCH
• EGARCH utiliza errores normalmente distribuidos(e ) y GED y logs que garantiza resultado positivo(et) y GED y logs que garantiza resultado positivo
• El dividir a los errores por et por la desviaciónestándar condicional (σt) se obtienen los shocksestándar condicional (σt) se obtienen los shocksestandarizados
• El otro término se obtiene de incluir el valor absolutode los shocks estandarizados
• Esta especificación permite que shocks positivos oti t f t dif i d Ef tnegativos tengan efectos diferenciados Efectos
asimétricos⇒
Dr. Galindo
MODELOS GENERALES:
8. FIGARCH
bi lGARCH con cambio estructural:
(1) 2 β+α+++ heDwDwh( )
9. Components GARCH : CGARCH:1111111 −−++ β+α+++= tt!RRt heDwDwh K
(1)
bi i l d i lttt umv +=
mt = cambios ocasionales de nivel
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MODELOS GENERALES:
(21.2) += − η1 tttt qmm
( )⎩⎨⎧
−=
ρρ
1adprobabilidcon1adprobabilidcon0
tq ( )⎩ ρp
Dr. Galindo
MODELOS GENERALES:
(27.3) ( ) ( ) ( )( )2
1112
1 −−−− −+−=− tttttt mhmemh βα
m = tendencia variable en el tiempo o el componente
( )12
11 −−− −++= tttt hePmwm φ
mt tendencia variable en el tiempo o el componente permanente en volatilidad
Dr. Galindo
MODELOS APLICADOS:
9. CGARCH
( ) ( )(9) ( ) ( )( ) ( )2
12
11
21
21
2
−−−
−−
−+−+=
−+−+=−
tttt
tttt
ewmwm
wwewm
σφρ
σβασ
Variables transitorias = Impacto en el C.P. en volatilidadVariables permanentes = Impacto en el nivel del L P de la
( ) ( )111 −−− tttt φρ
Variables permanentes = Impacto en el nivel del L.P. de lavolatilidad
Efecto asimétrico TARCHqt = es la volatilidad de L.P.
Dr. Galindo
MODELOS GENERALES:
10. Quadratic GARCH : QGARCHQ Q
(19)
( ) 12
1 −− β+γ−α+= ttt hewh
Dr. Galindo
MODELOS GENERALES:
10. Regime Switching GARCH : RS-GARCH
(23) 111
21111 ++= −−−−−−− tttttttt shseswssh βα
régimen=ts
Dr. Galindo
MODELOS GENERALES:
11. Asymmetric Dynamic covariance (Abc)y y ( )
(24.1)
( )1ttt mee −++= μγ
(24.2)
( )th0,N~te
iitiith θ=(24.3)
iitiit
ijtijjjtiitijtijt hhPh θφ+=
Dr. Galindo
MODELOS GENERALES:
(25)jttittijtiijtijt ghhgeeabHbw '
11''
11'
1'
−−−−− ++++= Kθ
1.VECH: P12= 0
2 BEKK2. BEKK
3. FARCH
10 1212 == φP
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PRUEBAS DE ASIMETRIA
2. Prueba del signo y el tamaño del sesgo (Engle y Ny,1993)
2.1. Prueba del sesgo del signo
1. Definir a como una dummy que toma el valord 1
−ts
de 1Si y 0 en otro caso
H φ 00ˆ 1 <−tu
H0: φ = 0
(26) ttt vse ++= −−110
2 φφ
Dr. Galindo
PRUEBAS DE ASIMETRIA
2.2. Prueba del sesgo del tamaño:
1. Definir una variable dummy dependiente
(27) ttt vse ++= −−110
2 φφ
Dr. Galindo
3 P b i l d l i l ñ d l
PRUEBAS DE ASIMETRIA
3. Prueba simultanea del signo y el tamaño del sesgo
Definiendo: −−
+− −= 11 1 tt ss
(28)11 tt
ttttttt vesesse ++++= −+−−
−−
−− 113112110
2 φφφφ
H0: φ1 = 0 “Sign bias” (importa el signo)H0: φ 2 = φ 3 = 0 “Size bias” (importa la magnitud)
⇒⇒
Prueba conjunta: TR2 de (21.3) con χ2(3):
H0: No existen efectos asimétricos
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GARCH MULTIVARIADOS
11. Objetivo: Cuantificar las relaciones entre lavolatilidad de varias variablesvolatilidad de varias variables
Modelo GARCH multivariado⇒ Modelo GARCH multivariado⇒
( )Ntttt yyyy ,...,, 21=
La varianza condicional: Ht tiene las varianzas en la
( )Ntttt yyyy , ,, 21
La varianza condicional: Ht tiene las varianzas en ladiagonal
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GARCH MULTIVARIADOS
Modelo VECH:
(29) ( ) ( )∑∑=
−−− ++=ρ
β1
10 )()(
iit
hi
q
itith
ih
th HveceevecAAvecHvec
Donde:
son los términos de error asociados alas medias condicionales de
( )ntttt eeee ,...,, 21=Nttt yyy ,...,, 21las medias condicionales de Nttt yyy , ,, 21
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ió i i l 2 (d i bl )
GARCH MULTIVARIADOS
Representación matricial: N = 2 (dos variables)
⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡ 20h(30)
⎥⎥⎥⎤
⎢⎢⎢⎡
⎥⎥⎥⎤
⎢⎢⎢⎡
+⎥⎥⎥⎤
⎢⎢⎢⎡
=⎥⎥⎥⎤
⎢⎢⎢⎡
−−
−
12*
11
211
232212
131211
012
011
12
11
tt
t
t
t
eee
aaaaaa
aa
hh
H = varianza condicional asociada con y
⎥⎦⎢⎣⎥⎦⎢⎣⎥⎦⎢⎣⎥⎦⎢⎣ −
212333213
02222 tt eaaaah
H11t = varianza condicional asociada con y1t
H12t = covarianza condicional entre los errores
H22t = varianza condicional con y2t
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GARCH MULTIVARIADOS
Representación diagonal (reduce el número deparámetros):parámetros):
(31) ⎥⎥⎤
⎢⎢⎡
⎥⎥⎤
⎢⎢⎡
+⎥⎥⎤
⎢⎢⎡
⎥⎥⎤
⎢⎢⎡
+⎥⎥⎤
⎢⎢⎡
=⎥⎥⎤
⎢⎢⎡ −− 11111
21111
0
01111
0000
0000 ttt
hh
bb
eee
aa
aa
hh
(31)⎥⎥⎦⎢
⎢⎣⎥⎥⎦⎢
⎢⎣
+⎥⎥⎦⎢
⎢⎣⎥⎥⎦⎢
⎢⎣
+⎥⎥⎦⎢
⎢⎣
=⎥⎥⎦⎢
⎢⎣ −
−
−
−−
122
112
33
22
212
1211
33
22
022
12
22
12
0000
0000
t
t
t
tt
t
t
hh
bb
eee
aa
aa
hh
Dr. Galindo
ió ( i d fi id
GARCH MULTIVARIADOS
Representación BEKK: (asegura una matriz definidapositiva)
(32) ∑ ∑= =
−−− ++=q
i i
iiitiiititit HAeeAAH
1 1
**1*1*0
ρ
ββi i1 1
⎥⎤
⎢⎡⎥⎤
⎢⎡⎥⎤
⎢⎡
+⎥⎤
⎢⎡
=⎥⎤
⎢⎡ −−−
*12
*111211
211
*12
*11
012
0111211 aaeeeaaaahh ttttt
⎤⎡⎤⎡⎤⎡
⎥⎦
⎢⎣⎥⎦
⎢⎣⎥⎦
⎢⎣
+⎥⎦
⎢⎣
⎥⎦
⎢⎣ −−−
*12
*11112111
*12
*11
*22
*21
2121211
*22
*21
022
0212221
bbhhbb
aaeeeaaaahh
tt
ttttt
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+
−−
−−
*22
*21
1211
122121
112111
*22
*21
1211
bbhhbb tt
tt
Dr. Galindo
CONSIDERACIONES GENERALES
1. Modelos ARCH suponen que los shocks positivos ynegativos tienen el mismo efecto por que dependennegativos tienen el mismo efecto por que dependendel cuadrado de los shocks pasados
2. El modelo ARCH es bastante restrictivo2. El modelo ARCH es bastante restrictivo3. El modelo ARCH no explica las fuentes de
variación4. EL modelo ARCH tiende a sobrepredecir la
volatilidad porque responde lentamente a shocksi l d f taislados fuertes
Dr. Galindo
EXTENCIONES DE LOS MODELOS ARCH Y GARCH
Dr. Luis Miguel Galindo