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Resolución de sistemas 2 × 2 mediante determinantes

Resuelve, aplicando x = e y = , los siguientes sistemas de ecuaciones:

a) b) c)

Comprueba, en cada caso, la solución que obtengas.

a) |A|= = 26; |Ax|= = 156;

|Ay|= = –286;

Por tanto: x = = 6; y = = –11

b) |A|= = –83; |Ax|= = –415;

|Ay|= = –166;

Por tanto: x = = 5; y = = 2

c) |A|= = 64; |Ax|= = 192;

|Ay|= = –320;

Por tanto: x = = 3; y = = –5–32064

19264

6 8–5 –60

8 2–60 9

6 2–5 9

6x + 2y = 8–5x + 9y = –60

–166–83

–415–83

5 337 13

33 413 –11

5 47 –11

5x + 4y = 337x – 11y = 13

–28626

15626

3 734 2

73 –52 2

3 –54 2

3x – 5y = 734x + 2y = 2

6x + 2y = 8–5x + 9y = –60

5x + 4y = 337x – 11y = 13

3x – 5y = 734x + 2y = 2

Ay

A

Ax

A

1Unidad 4. Resolución de sistemas mediante determinantes

RESOLUCIÓNDE SISTEMAS MEDIANTEDETERMINANTES

UNIDAD 4

Extensión del resultado a sistemas 3 × 3

¿Cómo crees que sería la solución de un sistema de tres ecuaciones con tresincógnitas según la regla anterior? Pon las fórmulas correspondientes y aplí-calas a la resolución de los sistemas siguientes:

a) b)

Comprueba las soluciones.

Si tenemos un sistema 3 × 3:

y llamamos: A = ( );Ax = ( ); Ay = ( ); Az = ( );entonces: x = , y = , z =

(siempre que |A| ≠ 0).

Si aplicamos las fórmulas a la resolución de los sistemas propuestos, tenemos que:

a)|A|= = –10

|Ax|= = –50; |Ay|= = 10; |Az|= = –30

Por tanto: x = = 5; y = = –1; z = = 3

b)|A|= = 2

|Ax|= = 8; |Ay|= = 2; |Az|= = –4

Por tanto: x = = 4; y = = 1; z = = –2–42

22

82

1 1 31 –1 11 –2 2

1 3 11 1 11 2 0

3 1 11 –1 12 –2 0

1 1 11 –1 11 –2 0

x + y + z = 3x – y + z = 1x – 2y = 2

–30–10

10–10

–50–10

3 –2 201 0 140 1 –4

3 20 11 14 30 –4 –1

20 –2 114 0 3–4 1 –1

3 –2 11 0 30 1 –1

3x – 2y + z = 20x + 3z = 14

y – z = –4

Az

A

Ay

A

Ax

A

a11 a12 c1a21 a22 c2a31 a32 c3

a11 c1 a13a21 c2 a23a31 c3 a33

c1 a12 a13c2 a22 a23c3 a32 a33

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

a11 x + a12 y + a13 z = c1a21 x + a22 y + a23 z = c2a31 x + a32 y + a33 z = c3

x + y + z = 3x – y + z = 1x – 2y = 2

3x – 2y + z = 20x + 3z = 14

y – z = –4


Inversa de una matriz 2 × 2

x = , y = . Obtén, de forma similar, las expresiones de z y de t. Lle-

garás, así, a la siguiente conclusión:

A–1 = ( )

z = = ; t = =

Por tanto: A–1 = ( )Comprueba, efectuando el producto, que: A · A–1 = I

A · A–1 = ( ) · ( ) = ( ) =

= ( ) = ( ) = I

Aplica la expresión anterior para calcular M –1 siendo: M = ( )M –1 = ( ) = ( ) = ( )

Haz los productos M · M –1 y M –1 · M y comprueba que, en ambos casos, ob-tienes la matriz unidad.

M · M –1 = ( ) · ( ) = ( )M –1 · M = ( ) · ( ) = ( )¿Por qué crees que es necesario que A ≠ 0 para que una matriz cuadrada searegular (tenga inversa)?

En su obtención, dividimos por |A|.

Es necesario que |A|≠ 0 para que el sistema que obtenemos tenga solución única.

1 00 1

4 72 6

3/5 –7/10–1/5 2/5

1 00 1

3/5 –7/10–1/5 2/5

4 72 6

3/5 –7/10–1/5 2/5

6 –7–2 4

110

6 –7–2 4

1

M

4 72 6

1 00 1

|A| 00 |A|

1

A

a11a22 – a12a21 00 –a12a21 + a11a22

1

A

a22 –a12–a21 a11

1

A

a11 a12a21 a22

a22 –a12–a21 a11

1

A

a11

A

a11 0 a21 1

A

–a12

A

0 a12 1 a22

A

a11z + a12t = 0a21z + a22t = 1

a22 –a12–a21 a11

1

A

–a21

A

a22

A


1. Aplica el teorema de Rouché para averiguar si los siguientes sistemas son com-patibles o incompatibles:

a) b) c)

a)A = ( ) A' = ( )

= 11 ≠ 0 → ran (A) = 2

|A'|= 0 → ran (A' ) = 2

El sistema es compatible.

b)A = ( ) A' = ( )

|A'|= 147 ≠ 0 → ran (A' ) = 3 ≠ ran (A) = 2

El sistema es incompatible.

c)A = ( ) A' = ( )

Calculamos el rango de A:

= –4 ≠ 0; = 0; = 0 → ran (A) = 2

Calculamos el rango de A' :

= –76 → ran (A' ) = 3 ≠ ran (A)


1 1 73 –1 11 –3 6

1 1 03 –1 41 –3 4

1 1 23 –1 01 –3 –4

1 13 –1

1 1 2 0 73 –1 0 4 11 –3 –4 4 6

1 1 2 03 –1 0 41 –3 –4 4

x + y + 2z = 73x – y + 4t = 1x – 3y – 4z + 4t = 6

4 5 72 –1 07 11 4

4 52 –17 11

4x + 5y = 72x – y = 07x + 11y = 4

3 –21 3

3 –2 51 3 –22 –1 3

3 –21 32 –1

3x – 2y = 5x + 3y = –2

2x – y = 3

x + y + 2z = 73x – y + 4t = 1

x – 3y – 4z + 4t = 6

4x + 5y = 72x – y = 07x + 11y = 4

3x – 2y = 5x + 3y = –2

2x – y = 3


2. Siguiendo el mismo proceso que en el ejercicio anterior, averigua si los si-guientes sistemas son compatibles o incompatibles:

a) b) c)

a)A = ( ) A' = ( )


= –6 ≠ 0 y |A|= 0 → ran (A) = 2


= 0 (pues la 1-ª y la 3-ª columna son iguales) → ran (A' ) = 2 = ran (A)


Observación: Como la 4-ª columna de A' y la 1-ª son iguales, necesariamenteran (A' ) = ran (A); es decir, el sistema es compatible.

b)A = ( ) A' = ( )

Sabemos que ran (A) = 2 (ver apartado a) de este ejercicio).


= –30 ≠ 0 → ran (A' ) = 3 ≠ ran (A)


c)A = ( ) A' = ( )

Sabemos que ran (A) = 2 (ver apartado c) del ejercicio anterior).


= 0 → ran (A' ) = 2 = ran (A)


1 1 73 –1 11 –3 –13

1 1 2 0 73 –1 0 4 11 –3 –4 4 –13

1 1 2 03 –1 0 41 –3 –4 4

x + y + 2z = 73x – y + 4t = 1x – 3y – 4z + 4t = –13

1 3 12 0 20 2 5

1 3 –1 12 0 1 20 2 –1 5

1 3 –12 0 10 2 –1

x + 3y – z = 12x + z = 2

2y – z = 5

1 3 12 0 20 2 0

1 32 0

1 3 –1 12 0 1 20 2 –1 0

1 3 –12 0 10 2 –1

x + 3y – z = 12x + z = 2

2y – z = 0

x + y + 2z = 73x – y + 4t = 1x – 3y – 4z + 4t = –13

x + 3y – z = 12x + z = 2

2y – z = 5

x + 3y – z = 12x + z = 2

2y – z = 0


1. Enuncia la regla de Cramer para un sistema de tres ecuaciones con tres incóg-nitas:

Si |A|= ≠ 0 → ran (A) = 3 = ran (A' )

Por tanto, el sistema es compatible.

Su solución es: x = , y = , z = ,

siendo Ax la matriz que resulta de sustituir en la matriz A la columna de los coefi-cientes de x por la columna de los términos independientes. Análogamente, Ay yAz se obtienen sustituyendo en A la columna de los coeficientes de la incógnitacorrespondiente por la de los términos independientes.

2. Utilizando la regla de Cramer, resuelve el siguiente sistema:

|A|= = – 1 ≠ 0

|Ax|= = –7; |Ay|= = –2; |Az|= = 5

Por tanto: x = 7, y = 2, z = –5

Página 105

3. Demuestra la regla de Cramer para un sistema de tres ecuaciones con tres in-cógnitas.

Procede de forma análoga a como se ha hecho en esta página.

Tenemos un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas:

, con |A|= ≠ 0

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

a11x + a12y + a13z = c1a21x + a22y + a23z = c2a31x + a32y + a33z = c3

1 –3 –242 –1 –81 1 9

1 –24 52 –8 41 9 0

–24 –3 5–8 –1 49 1 0

1 –3 52 –1 41 1 0

x – 3y + 5z = –242x – y + 4z = –8x + y = 9

x – 3y + 5z = –242x – y + 4z = –8x + y = 9

Az

A

Ay

A

Ax

A

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

a11x + a12 y + a13z = c1a21x + a22 y + a23z = c2a31x + a32 y + a33z = c3


Hemos de despejar cada una de las incógnitas. Empecemos por la x.

Para despejar x, hemos de eliminar y, z. Esto se consigue multiplicando las tres ecua-ciones, que llamamos (1), (2), (3), por los adjuntos de los coeficientes de la x:

(1) · A11 → a11 A11 x + a12 A11 y + a13 A11 z = c1 A11

(2) · A21 → a21 A21 x + a22 A21 y + a23 A21 z = c2 A21

(3) · A31 → a31 A31 x + a32 A31 y + a33 A31 z = c3 A31

Sumando, obtenemos una igualdad que vamos a analizar por partes:

– El coeficiente de la x es:

a11 A11 + a21 A21 + a31 A31 = |A|

– El coeficiente de la y es:

a12 A11 + a22 A21 + a32 A31 = 0

Análogamente, se ve que el coeficiente de z es cero.

– El término independiente es:

c1 A11 + c2 A21 + c3 A31, que es el determinante de la matriz Ax que resulta alsustituor en A la columna de los coeficientes de x por la columna de los tér-minos independientes:

Ax = ( )Recapitulamos: al efectuar la suma (1) · A11 + (2) · A21 + (3) · A31, obtenemos:

|A|x + 0y + 0z = |Ax|

Puesto que |A|≠ 0, podemos despejar la x, y obtenemos:

x =

Para despejar la y habría que multiplicar las ecuaciones (1), (2), (3) por A12, A22, A32,respectivamente. Y análogamente procederíamos para despejar z, obteniéndose:

y = , z =

Página 107

1. Halla los valores de las incógnitas en los siguientes sistemas de ecuaciones:

a) b) x – y + 3z = 1

3x – y + 2z = 3– 2y + 7z = 10

x – y + 3z = 13x – y + 2z = 3

– 2y + 7z = 0

Az

A

Ay

A

Ax

A

c1 a12 a13c2 a22 a23c3 a32 a33


a)A = ( ) A' = ( )


= –2 ≠ 0 y |A|= 0 → ran (A) = 2


= 0 (la 1-ª y la 3-ª columna son iguales) → ran (A' ) = 2

El sistema es compatible indeterminado. Para resolverlo, podemos prescindir de la2-ª ecuación:

Solución: x = 1 + λ, y = 7λ, z = 2λ

b)A = ( ) A' = ( )

Sabemos, por el apartado a), que ran (A) = 2.


= 20 ≠ 0 → ran (A' ) = 3 ≠ ran (A)


2. Resuelve estos sistemas de ecuaciones:

a) b)

a)

A = ( ) A' = ( )1 1 0 30 1 1 51 0 1 | 45 –1 1 6

1 1 00 1 11 0 15 –1 1

x + y = 3y + z = 5

x + z = 45x – y + z = 6

3x + 4y = 42x + 6y = 23

–2x + 3y = 1

x + y = 3y + z = 5

x + z = 45x – y + z = 6

1 –1 13 –1 30 –2 10

1 –1 3 13 –1 2 | 30 –2 7 10

1 –1 33 –1 20 –2 7

x – y + 3z = 13x – y + 2z = 3

– 2y + 7z = 10

z→ x = y + 1 – 3z = 1 + —2

7z→ y = —2

x – y = 1 – 3z

–2y = –7z

x – y + 3z = 1

–2y + 7z = 0

1 –1 13 –1 30 –2 0

1 –10 –2

1 –1 3 13 –1 2 | 30 –2 7 0

1 –1 33 –1 20 –2 7

x – y + 3z = 13x – y + 2z = 3

– 2y + 7z = 0


Como = 2 ≠ 0 → ran (A) = 3


|A'|= 0 → ran (A' ) = 3

El sistema es compatible determinado. Para resolverlo, podemos prescindir de la úl-tima ecuación y aplicar la regla de Cramer:

x = = = 1; y = = = 2; z = = = 3

Solución: x = 1, y = 2, z = 3

b)A = ( ) A' = ( )

Como |A'|= –309 ≠ 0, entonces ran (A' ) = 3 ≠ ran (A).


Página 108

1. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones:

a) b)

c) d)

a)|A|= = –5 ≠ 0

Por tanto, ran (A) = 3 = n-º incógnitas.

El sistema solo tiene la solución trivial: x = 0, y = 0, z = 0

b)|A|= = 0

1 –1 –11 1 31 –5 –9

x – y – z = 0x + y + 3z = 0x – 5y – 9z = 0

3 –5 11 –2 11 1 0

3x – 5y + z = 0x – 2y + z = 0x + y = 0

x + y + 5z = 03x – y – 2t = 0x – y + z – t = 0

x + 11y – 4z = 0–2x + 4y + z = 0

x + y – 2z = 02x – 16y + 5z = 0

x – y – z = 0x + y + 3z = 0x – 5y – 9z = 0

3x – 5y + z = 0x – 2y + z = 0x + y = 0

3 4 42 6 | 23–2 3 1

3 42 6–2 3

3x + 4y = 42x + 6y = 23

–2x + 3y = 1

62

1 1 3

0 1 5 1 0 4

242

1 3 0

0 5 1 1 4 1

222

3 1 0

5 1 1 4 0 1

2

1 1 00 1 11 0 1


Seleccionamos el menor = 2 ≠ 0 → ran (A) = 2

Podemos suprimir la 3-ª ecuación y pasar la z al segundo miembro:

Solución: x = –λ, y = –2λ, z = λ

c)

= –18 → ran (A) = 3 = n-º de incógnitas


d)A = ( )

= –14 ≠ 0 → ran (A) = 3

Para resolverlo, pasamos la t al 2-º miembro:

x = = = ;

y = = = ; z = = = 0

Solución: x = λ, y = –λ, z = 0, t = 2λ

2. Resuelve:

a) b)

a)

A = ( )1 –2 30 1 11 –3 2–1 5 0

x – 2y + 3z = 0y + z = 0

x – 3y + 2z = 0–x + 5y = 0

x + 3z = 0y – t = 0

x + y + 2t = 02x + 2y + 3z + t = 0

x – 2y + 3z = 0y + z = 0

x – 3y + 2z = 0–x + 5y = 0

0–14

1 1 0

3 –1 2t1 –1 t

–14– t2

7t–14

1 0 5

3 2t 0 1 t 1

–14

t2

–7t–14

0 1 5

2t –1 0 t –1 1

–14

x + y + 5z = 03x – y = 2tx – y + z = t

1 1 53 –1 01 –1 1

1 1 5 03 –1 0 –21 –1 1 –1

x + y + 5z = 03x – y – 2t = 0x – y + z – t = 0

1 11 –4–2 4 11 1 –2

x + 11y – 4z = 0–2x + 4y + z = 0

x + y – 2z = 02x – 16y + 5z = 0

x = –zy = –2z

x – y = zx + y = –3z

1 –11 1



= 1 ≠ 0; = 0; = 0

Por tanto, ran (A) = 2. El sistema es compatible indeterminado.

Para resolverlo, podemos prescindir de las dos últimas ecuaciones y pasar la z al2-º miembro:

Solución: x = –5λ, y = –λ, z = λ

b)

A = ( ) ; |A|= 0

= –3 ≠ 0 → ran (A) = 3 < n-º incógnitas

El sistema es compatible indeterminado. Para resolverlo, podemos prescindir de la4-ª ecuación y pasar la t al 2-º miembro:

Solución: x = –3λ, y = λ, z = λ, t = λ

Página 110

1. Discute y resuelve:

a) b)

a)A = ( ) A' = ( )

|A|= 4a2 – 5a – 6 = 0 → a = = = a = 2

–3a = —

4

5 ± 118

5 ± √1218

5 ± √25 + 968

1 1 a 0a –1 0 | –11 4 6 0

1 1 aa –1 01 4 6

x + y + az = 0ax – y = –1

x + 4y + 6z = 0

x + y = kkx – y = 135x + 3y = 16

x + y + az = 0ax – y = –1

x + 4y + 6z = 0

–x 3tz = — = — = t

3 3

y = t

x = –2t – y = –2t – t = –3t

x – 3z = 0

y = t

x + y = –2t

1 0 30 1 01 1 0

1 0 3 00 1 0 –11 1 0 22 2 3 1

x + 3z = 0y – t = 0

x + y + 2t = 02x + 2y + 3z + t = 0

x = –3z + 2y = –3z – 2z = –5zy = –z

x – 2y = –3zy = –z

1 –2 30 1 1–1 5 0

1 –2 30 1 11 –3 2

1 –20 1


• Si a = 2, queda:

A' = ( ) = –3 ≠ 0 → ran (A) = 2

A

= 3 ≠ 0 → ran (A' ) = 3 ≠ ran (A)


• Si a = –3/4, queda:

A' = ( ) = ≠ 0 → ran (A) = 2

A

= 3 ≠ 0 → ran (A' ) = 3 ≠ ran (A)


• Si a ≠ 2 y a ≠ –3/4 → ran (A) = ran (A' ) = n-º incógnitas = 3, el sistema escompatible determinado. Lo resolvemos:

x = = ; y = = ;

z = =

Solución: x = , y = , z =

b)A' = ( )

|A'|= 3k2 – 11k + 10 = 0 → k = = k = 2

5k = —

3

11 ± 16

11 ± √121 – 1206

1 1 kk –1 | 135 3 16

x + y = kkx – y = 135x + 3y = 16

34a2 – 5a – 6

a – 64a2 – 5a – 6

6 – 4a4a2 – 5a – 6

34a2 – 5a – 6

1 1 0

a –1 –11 4 0

4a2 – 5a – 6

a – 64a2 – 5a – 6

1 0 a

a –1 0 1 0 6

4a2 – 5a – 66 – 4a

4a2 – 5a – 6

0 1 a

–1 –1 0 0 4 6

4a2 – 5a – 6

1 1 0–3/4 –1 –1

1 4 0

–14

1 1–3/4 –1

1 1 –3/4 0–3/4 –1 0 –1

1 4 6 0

1 1 02 –1 –11 4 0

1 12 –1

1 1 2 02 –1 0 | –11 4 6 0


A

• Si k = 2, queda:

A' = ( ) = –3 ≠ 0 → ran (A) = ran (A' ) = 2 = n-º incógnitas

A

El sistema es compatible determinado. Para resolverlo, podemos prescindir de la3-ª ecuación:

Sumando: 3x = 15 → x = 5; y = 2 – x = 2 – 5 = –3

Solución: x = 5, y = –3

• Si k = 5/3, queda:

A' = ( )A

= ≠ 0 → ran (A) = ran (A' ) = 2 = n-º incógnitas

El sistema es compatible determinado. Para resolverlo, podemos prescindir de la3-ª ecuación:

Sumando: x = → x = =

y = – x = – =

Solución: x = , y =

• Si k ≠ 2 y k ≠ 5/3 → ran (A' ) = 3 ≠ ran (A), el sistema es incompatible.

2. Discute y resuelve, en función del parámetro a, el siguiente sistema de ecua-

ciones:

A = ( )|A|= (a – 1) = (a – 1) (a + 1 – 1) = a (a – 1) = 0

a = 0

a = 1

1 11 a + 1

a – 1 1a – 1 a + 1

(a – 1)x + y = 0(a – 1)x + (a + 1)y = 0

(a – 1)x + y = 0(a – 1)x + (a + 1)y = 0

–236

112

–236

112

53

53

112

448

443

83

5x + y = —

35—x – y = 133

–83

1 15/3 –1

1 1 5/35/3 –1 | 135 3 16

x + y = 22x – y = 13

1 12 –1

1 1 22 –1 | 135 3 16



y = x. Sistema compatible indeterminado.

Solución: x = λ, y = λ


Sistema compatible indeterminado.

Solución: x = λ, y = 0

• Si a ≠ 0 y a ≠ 1 → ran (A) = 2

El sistema solo tiene la solución trivial: x = 0, y = 0

Página 112

1. Calcula la inversa de cada una de las siguientes matrices:

A = ( ) B = ( )Calculamos la inversa de la matriz A:

|A|= –1 ≠ 0 → existe A–1

αij → Adj (A) → (Adj (A))t → (Adj (A))t

( ) → ( ) → ( ) → ( ) = A–1

Calculamos la inversa de la matriz B:

|B|= –3 ≠ 0 → existe B–1

αij → Adj (B) → (Adj (B))t → (Adj (B))t

( ) → ( ) → ( ) → ( ) = B–1

2. Calcula la inversa de estas matrices:

A = ( ) B = ( )1 1 0 00 1 1 00 0 1 10 0 0 1

1 –2 –3 –20 1 2 00 2 3 13 –2 0 1

–2 1–1 2

–13

–2 1–1 2

–2 –11 2

–2 1–1 2

1|B|

15 8 39 5 25 3 1

–15 –8 –3–9 –5 –2–5 –3 –1

–15 –9 –5–8 –5 –3–3 –2 –1

–15 9 –58 –5 3–3 2 –1

1|A|

2 –11 –2

1 –1 –1–1 0 3–2 5 –3

y = 02y = 0

–x + y = 0–x + y = 0


Calculamos la inversa de la matriz A:

|A|= –8 ≠ 0 → existe A–1


( ) → ( ) → ( ) →

→ ( ) = A–1

Calculamos la inversa de la matriz B:

|B|= 1 ≠ 0 → existe B–1


( ) → ( ) → ( ) →

→ ( ) = B–1

Página 113

1. Expresa en forma matricial y resuelve (ten en cuenta el ejercicio 1 de la páginaanterior):

a) b)

a) ( ) · ( ) = ( )A · X = B

En el ejercicio 1 de la página 112 hemos calculado A–1.

620

xyz

1 –1 –1–1 0 3–2 5 –3

x – y – z = 6–x + 3z = 2

–2x + 5y – 3z = 0

2x – y = 7x – 2y =11

x – y – z = 6–x + 3z = 2

–2x + 5y – 3z = 0

1 –1 1 –10 1 –1 10 0 1 –10 0 0 1

1 –1 1 –10 1 –1 10 0 1 –10 0 0 1

1 0 0 0–1 1 0 01 –1 1 0–1 1 –1 1

1 0 0 01 1 0 01 1 1 01 1 1 1

1|B|

5 –6 9 16 –12 14 –2–3 10 –7 1–3 –6 1 1

18

–5 6 –9 –1–6 12 –14 23 –10 7 –13 6 –1 –1

–5 –6 3 36 12 –10 6–9 –14 7 –1–1 2 –1 –1

–5 6 3 –3–6 12 10 6–9 14 7 11 2 1 –1

1|A|


{ {

A · X = B → X = A–1 · B = ( ) · ( ) = ( )Solución: x = 106, y = 64, z = 36

b) ( ) · ( ) = ( )B · X = C

En el ejercicio 1 de la página 112 hemos calculado B–1.

B · X = C → X = B–1 · C = ( ) · ( ) = ( ) = ( )Solución: x = 1, y = –5

2. Expresa en forma matricial y resuelve:

a) b)

a) ( ) · ( ) = ( )A · X = B

Calculamos la inversa de la matriz A:

|A|= –5 ≠ 0 → existe A–1

A–1 = ( )A · X = B → X = A–1 · B = –1

= ( ) · ( ) = · ( ) = ( )Solución: x = 35, y = , z = – , t = – 108

5685

1965

35(196/5)–(68/5)–(108/5)

–175–19668108

–15

1912165

–5 0 –5 0–6 3 –8 23 –4 4 –13 6 –1 –1

–15

–5 0 –5 0–6 3 –8 23 –4 4 –13 6 –1 –1

–15

1912165

xyzt

1 –2 –3 –10 1 2 00 2 3 13 –2 0 1

x – 2y – 3z – t = 19y + 2z = 12

2y + 3z + t = 163x – 2y + t = 5

x + y = 5y + z = –1

z + t = 4t = 2

x – 2y – 3z – t = 19y + 2z = 12

2y + 3z + t = 163x – 2y + t = 5

1–5

–315

–13

711

–2 1–1 2

–13

711

xy

2 –11 –2

2x – y = 7x – 2y =11

1066436

620

15 8 39 5 25 3 1


{ {

{ {

b)

· =

B · X = C

En el ejercicio 2 de la página anterior hemos calculado B–1.

B · X = C → X = B–1 · C = ( ) · ( ) = ( )Solución: x = 8, y = –3, z = 2, t = 2

Página 119

EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS

PARA PRACTICAR

1 Escribe en forma matricial los siguientes sistemas:

a) b)

a) ( ) ( ) = ( ) b) ( ) ( ) = ( )2 Escribe en la forma habitual estos sistemas:

a) ( ) ( ) = ( ) b) ( ) ( ) = ( )a)

b)

3 Estudia la compatibilidad de estos sistemas:

a) b) c) 2x + 3y – z = 3–x – 5y + z = 03x + y – z = 6

x + y – z = –22x – y – 3z = –3x – 2y – 2z = 0

x – y = 64x + y = –15x + 2y = –5

x + y = 43x – y = 02x – y = 1

x + 3y + 2z = 4x – y – z = 0

401

xy

1 13 –12 –1

40

xyz

1 3 21 –1 –1

210

xyzt

1 –1 1 –10 3 0 12 1 0 –1

1–120

xyz

1 1 –12 0 11 –1 10 2 –1

x – y + z – t = 23y + t = 1

2x + y – t = 0

x + y – z = 12x + z = –1

x – y + z = 22y – z = 0

8–322

5–142

1 –1 1 –10 1 –1 10 0 1 –10 0 0 1

)5–142

()xyzt

()1 1 0 00 1 1 00 0 1 10 0 0 1

(

x + y = 5y + z = –1

z + t = 4t = 2


{ {

d) e) f)

a)A' = ( ). Como = 5 ≠ 0 y |A'|= 0,

A

tenemos que: ran (A) = ran (A' ) = n-º incógnitas = 2

El sistema es compatible determinado. Para resolverlo, podemos prescindir de latercera ecuación:

Solución: (1, –5)

b)A' = ( ).

A

Tenemos que |A|= 0 y que = –3 ≠ 0 → ran (A) = 2

Como = –3 ≠ 0 → ran (A' ) = 2 ≠ ran (A) = 2

Por tanto, el sistema es incompatible.

c)A' = ( )

A

Como |A|= 0 y = –7 ≠ 0, tenemos que ran (A) = 2.

Además, = 0. Luego ran (A' ) = 2 = ran (A) < n-º incógnitas.

El sistema es compatible indeterminado. Para resolverlo, podemos prescindir dela tercera ecuación:

Soluciones: x = 3 + 2λ, y = λ, z = 3 + 7λ

Sumando: x = 3 + 2yz = 5y + x = 5y + 3 + 2y = 3 + 7y

2x – z = 3 – 3y–x + z = 5y

2x + 3y – z = 3–x – 5y + z = 0

2 3 3–1 –5 03 1 6

2 3–1 –5

2 3 –1 3–1 –5 1 | 03 1 –1 6

2x + 3y – z = 3–x – 5y + z = 03x + y – z = 6

1 1 –22 –1 –31 –2 0

1 12 –1

1 1 –1 –22 –1 –3 | –31 –2 –2 0

x + y – z = –22x – y – 3z = –3x – 2y – 2z = 0

Sumando: 5x = 5 → x = 1y = –1 – 4x = –1 – 4 = –5

x – y = 64x + y = –1

1 –14 1

1 –1 64 1 | –15 2 –5

x – y = 64x + y = –15x + 2y = –5

x+ 3y + z = –1x – y – z = –1

2x + y + 3z = 5

x+ y + z = 2x – 2y – 7z = 0

y + z = –12x+ 3y = 0

x – y – 2z = 22x + y + 3z = 13x + z = 3


d)A' = ( )

A

Como |A|= 0 y = –3 ≠ 0, tenemos que ran (A) = 2.

Además, = 0. Luego, ran (A' ) = 2 = ran (A) < n-º incógnitas.

El sistema es compatible indeterminado. Para resolverlo, podemos prescindir dela primera ecuación:

Hacemos z = 3λ

Soluciones: x = 1 – λ, y = –1 –7λ, z = 3λ

e)

A' = ( )A

Como = 5 ≠ 0 y |A'|= 0,

tenemos que: ran (A) = ran (A' ) = n-º incógnitas = 3

El sistema es compatible determinado. Para resolverlo, podemos prescindir de lacuarta ecuación. Aplicamos la regla de Cramer:

x = = = 3; y = = = –2;

z = = = 1

Solución: x = 3, y = –2, z = 1

55

1 1 2

1 –2 0 0 1 –1

5

–105

1 2 1

1 0 –7 0 –1 1

5

155

2 1 1

0 –2 –7 –1 1 1

5

1 1 11 –2 –70 1 1

1 1 1 21 –2 –7 00 1 1 | –12 3 0 0

x + y + z = 2x – 2y – 7z = 0

y + z = –12x + 3y = 0

3 – z zx = —–––– = 1 – ––

3 37z

y = 1 – 3z – 2x = –1 – —3

2x + y = 1 – 3z3x = 3 – z

2x + y + 3z = 13x + z = 3

1 –1 22 1 13 0 3

2 13 0

1 –1 –2 22 1 3 | 13 0 1 3

x – y – 2z = 22x + y + 3z = 13x + z = 3


f)A' = ( )

A

Como |A|= –14 ≠ 0, tenemos que: ran (A) = ran (A' ) = n-º incógnitas = 3

El sistema es compatible determinado. Lo resolvemos mediante la regla de Cra-mer:

x = = = 0; y = = = –1;

z = = = 2

Solución: x = 0, y = –1, z = 2

4 Resuelve los siguientes sistemas aplicando la regla de Cramer:

a) b) c)

d) e) f)

a) A' = ( ) → |A| = –82 ≠ 0

x = = = 2; y = = = –1

Solución: x = 2, y = –1

b)A' = ( ) → |A|= –4 ≠ 0

A

1 1 –1 11 –1 1 | 1–1 1 1 1

x + y – z = 1x – y + z = 1

–x + y + z = 1

82–82

8 2 3 11

–82–164–82

2 14 11 –5

–82

8 14 23 –5 11

8x + 14y = 23x – 5y = 11

x – y – z + t = 4x + y + z – t = 2

x + y – z + t =1x – y – t =2

z – t =0

2x + y + z = –2x – 2y – 3z = 1

–x – y + z = –3

3x – y = 22x + y + z = 0

3y + 2z = –1

x + y – z = 1x – y + z = 1

–x + y + z = 1

8x + 14y = 23x – 5y =11

–28–14

1 3 –1

1 –1 –1 2 1 5

–14

14–14

1 –1 1

1 –1 –1 2 5 3

–14

0–14

–1 3 1

–1 –1 –1 5 1 3

–14

1 3 1 –11 –1 –1 | –12 1 3 5

x + 3y + z = –1x – y – z = –1

2x + y + 3z = 5


x = = = 1; y = = = 1;

z = = = 1

Solución: x = 1, y = 1, z = 1

c)A' = ( ) → |A|= 1 ≠ 0

A

x = = = –1; y = = = –5;

z = = = 7

Solución: x = –1, y = –5, z = 7

d)A' = ( ) → |A|= –11 ≠ 0

A

x = = = –1; y = = = 2;

z = = = –2

Solución: x = –1, y = 2, z = –2

22–11

2 1 –2

1 –2 1 –1 –1 –3

–11

–22–11

2 –2 1

1 1 –3 –1 –3 1

–11

11–11

–2 1 1

1 –2 –3 –3 –1 1

–11

2 1 1 –21 –2 –3 | 1–1 –1 1 –3

2x + y + z = –2x – 2y – 3z = 1

–x – y + z = –3

71

3 –1 2

2 1 0 0 3 –1

1

–51

3 2 0

2 0 1 0 –1 2

1

–11

2 –1 0

0 1 1 –1 3 2

1

3 –1 0 22 1 1 | 00 3 2 –1

3x – y = 22x + y + z = 0

3y + 2z = –1

–4–4

1 1 1

1 –1 1 –1 1 1

–4

–4–4

1 1 –1

1 1 1 –1 1 1

–4

–4–4

1 1 –1

1 –1 1 1 1 1

–4


e)A' = ( ). Tenemos que = –2 ≠ 0.

A

x = = = ; y = = =

z = = = t. Soluciones: ( , , λ, λ)f) = 2 ≠ 0

x = = = 3; y = = = –1 – z + t

Soluciones: x = 3, y = –1 – λ + µ, z = λ, t = µ

5 Calcula la inversa de cada una de las siguientes matrices:

A = ( ) B = ( )|A|= = 1 ≠ 0 → Existe A–1

αij → Adj (A) → (Adj (A))t → A–1 = (Adj (A))t

( ) → ( ) → ( ) → ( ) = A–1

|B|= = 2 ≠ 0 → Existe B–1

αij → Adj (B) → (Adj (B))t → B–1 = (Adj (B))t

( ) → ( ) → ( ) → ( ) = B–1–1 –1/2 3/23 1 –3–1 0 1

–2 –1 36 2 –6–2 0 2

–2 6 –2–1 2 03 –6 2

–2 –6 –21 2 03 6 2

1|B|

2 1 00 1 32 1 1

3 –6 –10 1 0–2 4 1

3 –6 –10 1 0–2 4 1

3 0 –2–6 1 4–1 0 1

3 0 –26 1 –4–1 0 1

1|A|

1 2 10 1 02 0 3

2 1 00 1 32 1 1

1 2 10 1 02 0 3

–2 – 2z + 2t2

1 4 + z – t 1 2 – z + t

262

4 + z – t –1 2 – z + t 1

2

1 –11 1

x – y = 4 + z – tx + y = 2 – z + t

x – y – z + t = 4x + y + z – t = 2

–1 – λ2

3 + λ2

–2t–2

1 1 1 – t

1 –1 2 + t 0 0 t

–2

–1 – t2

1 + t–2

1 1 – t –1

1 2 + t 0 0 t 1

–2

3 + t2

–3 – t–2

1 – t 1 –1

2 + t –1 0 t 0 1

–2

1 1 –11 –1 00 0 1

1 1 –1 1 11 –1 0 –1 | 20 0 1 –1 0

x + y – z + t = 1x – y – t = 2

z – t = 0


6 Estudia y resuelve los sistemas, cuando sea posible:

a) b)

c) d)

a)A' = ( )

A

Como |A|= –6 ≠ 0, tenemos que: ran (A) = ran (A' ) = n-º incógnitas = 3. Elsistema es compatible determinado. Lo resolvemos mediante la regla de Cra-mer.

x = = = ; y = = = ;

z = = =


b)A' = ( )

A

Como = –3 y |A|= 0, tenemos que ran (A) = 2.

Además, = 18 ≠ 0. Luego, ran (A' ) = 3 ≠ ran (A) = 2.

Por tanto, el sistema es incompatible.

1 –2 –2–2 1 –21 1 –2

1 –2–2 1

1 –2 1 –2–2 1 1 | –21 1 –2 –2

x – 2y + z = –2–2x + y + z = –2

x + y – 2z = –2

–13

23

–13

–13

2–6

3 1 0

1 1 0 0 1 1

–6

23

–4–6

3 0 –1

1 0 1 0 1 –1

–6

–13

2–6

0 1 –1

0 1 1 1 1 –1

–6

3 1 –1 01 1 1 | 00 1 –1 1

3x + y – z = 0x + y + z = 0

y – z = 1

x + y = 5x + z = 6

y + z = 72x + y + z =11

x+ 2y + z = 0–x + 4y + 3z + 2t = 0x+ 7y + 7z + 4t = 0

2x + 2z + t =0

x – 2y + z = –2–2x + y + z = –2

x + y – 2z = –2

3x + y – z = 0x + y + z = 0

y – z = 1


c)

Es un sistema homogéneo.

A' = ( ) → |A'|= 0

A

= 16 ≠ 0 → ran (A) = 3. Es compatible indeterminado.

Para resolverlo, podemos prescindir de la 4-ª ecuación y pasar la t al 2-º miem-bro. Así:

x = = = ; y = = =

z = = = . Soluciones: ( λ, λ, λ, λ)d)

A' = ( )A

Tenemos que |A'|= 0 y = –2 ≠ 0.

Luego, ran (A) = ran (A' ) = n-º incógnitas = 3. El sistema es compatible deter-minado. Para resolverlo, podemos prescindir de la 4-ª ecuación:

x = = = 2; y = = = 3;

z = = = 4. Solución: x = 2, y = 3, z = 4–8–2

1 1 5

1 0 6 0 1 7

–2

–6–2

1 5 0

1 6 1 0 7 1

–2

–4–2

5 1 0

6 0 1 7 1 1

–2

1 1 01 0 10 1 1

1 1 0 51 0 1 60 1 1 | 72 1 1 11

x + y = 5x + z = 6

y + z = 72x + y + z = 11

–78

14

38

–7t8

–14t16

1 2 0

–1 4 –2t 1 7 –4t

16

t4

4t16

1 0 1

–1 –2t 3 1 –4t 7

16

3t8

6t16

0 2 1

–2t 4 3 –4t 7 7

16

1 2 1–1 4 31 7 7

1 2 1 0–1 4 3 21 7 7 42 0 2 1

x + 2y + z = 0–x + 4y + 3z + 2t = 0x + 7y + 7z + 4t = 0

2x + 2z + t = 0


7 Resuelve los siguientes sistemas homogéneos:

a) b)

a)A = ( )

Como |A|= 0 y = –3 ≠ 0, entonces, ran (A) = 2.

El sistema es compatible indeterminado. Para resolverlo, podemos prescindir dela 3-ª ecuación y pasar la z al 2º miembro:

x = = = ; y = = =

Soluciones: ( , , λ)b)

A = ( )Como = –35 ≠ 0, entonces: ran (A) = 3 = n-º incógnitas.


8 Expresa en forma matricial y resuelve utilizando la matriz inversa:

a) b)

a) ( ) · ( ) = ( )A · X = B

202

xyz

2 1 00 1 32 1 1

2x + y = 2y + 3z = 0

2x + y + z = 2

x + y – z = 32x + y + z = –2

x – 2y – 3z = 1

2x + y = 2y + 3z = 0

2x + y + z = 2

9 3 23 –1 18 1 4

9 3 23 –1 18 1 41 2 –2

9x + 3y + 2z = 03x – y + z = 08x + y + 4z = 0x + 2y – 2z = 0

2λ3

λ3

2z3

–2z–3

1 z 1 –z

–3z3

–z–3

z 1 –z –2

–3

x + y = zx – 2y = –z

1 –2–2 1

1 1 –11 –2 112 –3 –2

x + y – z = 0x – 2y + z = 0

12x – 3y – 2z = 0

x + y – z = 012x – 3y – 2z = 0

x – 2y + z = 0

9x + 3y + 2z = 03x – y + z = 08x + y + 4z = 0

x + 2y – 2z = 0

x + y – z = 012x – 3y – 2z = 0

x – 2y + z = 0


{ {

|A|= 2 ≠ 0 → Existe A–1. La calculamos:


( ) → ( ) → ( ) → ( ) = A–1

Luego:

A · X = B → A–1 · A · X = A–1 · B →

→ X = A–1 · B = ( ) · ( ) = ( )Por tanto: x = 1, y = 0, z = 0

b) ( ) · ( ) = ( )A · X = B

|A|= 11 ≠ 0 → Existe A–1. La calculamos:


( ) → ( ) → ( ) → ( ) = A–1

Luego:

A · X = B → A–1 · A · X = A–1 · B →

→ X = A–1 · B = ( ) · ( ) = ( ) = ( )Por tanto: x = –1, y = 2, z = –2

9 Encuentra el valor de a para que este sistema sea compatible:

A' = ( ); |A'|= 6 – 7a = 0 → a = ; = 1 ≠ 02 31 2

67

2 3 51 2 | 1a 1 3

2x + 3y = 5x + 2y = 1

ax + y = 3

2x + 3y = 5x + 2y = 1

ax + y = 3

–12–2

–1122–22

111

3–21

–1 5 27 –2 –3–5 3 –1

111

–1 5 27 –2 –3–5 3 –1

111

–1 5 27 –2 –3–5 3 –1

–1 7 –55 –2 32 –3 –1

–1 –7 –5–5 –2 –32 3 –1

1|A|

3–21

xyz

1 1 –12 1 11 –2 –3

x + y – z = 32x + y + z = –2x – 2y – 3z = 1

100

202

–1 –1/2 3/23 1 –3–1 0 1

–1 –1/2 3/23 1 –3–1 0 1

–2 –1 36 2 –6–2 0 2

–2 6 –2–1 2 03 –6 2

–2 –6 –21 2 03 6 2

1|A|


{ {

Si a = , ran (A) = ran (A' ) → Sistema compatible.

Si a ≠ , ran (A) ≠ ran (A' ) → Sistema incompatible.

Página 120

10 Determina si las siguientes ecuaciones tienen solución y hállala si es posi-ble:

a) X ( ) = ( ) b) ( ) X = ( )c) ( ) X = ( )a) X · ( ) = ( )

A

Como |A|= –7 ≠ 0, existe A–1 y la ecuación tiene solución.

X · A = I → X · A · A–1 = I · A–1 → X = A–1. Hallamos A–1:


( ) → ( ) → ( ) → ( ) = A–1

Por tanto: X = ( )b) ( ) X = ( )

A B

Como |A|= 0, no existe A–1. La ecuación no tiene solución.

c) ( ) X = ( )A B

–1 1 23 0 –11 2 3

2 –1 00 1 –23 0 –1

2 –1 00 1 –23 0 –1

–1 1 23 0 –11 2 3

–11 12 –4–4 5 –41 –3 1

–17

–11 12 –4–4 5 –41 –3 1

–17

–11 12 –4–4 5 –41 –3 1

–11 –4 112 5 –3–4 –4 1

–11 4 1–12 5 3–4 4 1

1|A|

1 0 00 1 00 0 1

1 0 40 1 4–1 3 1

–1 1 23 0 –11 2 3

2 –1 00 1 –23 0 –1

2 –1 00 1 –23 0 –1

–1 1 23 0 –11 2 3

1 0 00 1 00 0 1

1 0 40 1 4–1 3 1

67

67


S

Como |A|= 4 ≠ 0, existe A–1 y la ecuación tiene solución.

A · X = B → A–1 · A · X = A–1 · B → X = A–1 · B. Hallamos A–1:


( ) → ( ) → ( ) → ( ) = A–1

Luego:

X = ( ) · ( ) = ( )Por tanto:

X = ( ) = ( )PARA RESOLVER

11 Calcula la matriz inversa de cada una de las siguientes matrices para aque-llos valores de a que sea posible:

a) ( ) b) ( ) c) ( )

a) A = ( ) → |A|= a2 + 1 ≠ 0 para cualquier valor de a.

Luego, existe A–1 para cualquier valor de a. La calculamos:


( ) → ( ) → ( ) → ( ) = A–1

b) A = ( ) → |A|= 2a ≠ 0 si a ≠ 0. Solo existe A–1 si a ≠ 0.

La calculamos en este caso:

αij → Adj (A) → (Adj (A))t → (Adj (A))t1|A|

3 a1 a

a 1—––––– –––––––a2 + 1 a2 + 1

–1 a—––––– –––––––a2 + 1 a2 + 1

a 1–1 a

a –11 a

a 1–1 a

1|A|

a –11 a

a – 2 00 a

3 a1 a

a –11 a

0 3/4 5/41 1/2 1/2–1 1/4 3/4

0 3 54 2 2–4 1 3

14

0 3 54 2 2–4 1 3

14

–1 1 23 0 –11 2 3

–1 –1 2–6 –2 4–3 –3 2

14

–1 –1 2–6 –2 4–3 –3 2

14

–1 –1 2–6 –2 4–3 –3 2

–1 –6 –3–1 –2 –32 4 2

–1 6 –31 –2 32 –4 2

1|A|


S

( ) → ( ) → ( ) → ( ) = A–1

c) A = ( ) → |A|= (a – 2) a ≠ 0 si a ≠ 0 y a ≠ 2

Existe A–1 solo cuando a ≠ 0 y a ≠ 2. La calculamos en este caso:


( ) → ( ) → ( ) → ( ) = A–1

12 Consideramos la matriz siguiente: A = ( )a) Halla los valores de x para los que A tiene inversa.

b) Calcula, si es posible, A–1 para x = 2.

a) Existe A–1 solo cuando |A|≠ 0.

|A|= = x ≠ 0 si x ≠ 0

Luego, existe A–1 para todo x ≠ 0.

b) Para x = 2, tenemos que |A|= 2 ≠ 0, luego existe A–1 en este caso. La cal-culamos:


( ) → ( ) → ( ) → ( ) = A–1

13 Discute los siguientes sistemas según los valores del parámetro m:

a) b) x+ y+ z= m– 1

2x+ y+ mz= mx+ my+ z= 1

mx + y + z = 4x + y + z = mx – y + mz = 2

–1 –1/2 3/23 1 –3–1 0 1

–2 –1 36 2 –6–2 0 2

–2 6 –2–1 2 03 –6 2

–2 –6 –21 2 03 6 2

1|A|

x 1 00 1 3x 1 1

x 1 00 1 3x 1 1

1—––––– 0a – 2

10 –––

a

a 00 a – 2

a 00 a – 2

a 00 a – 2

1|A|

a – 2 00 a

1 –1—– ––––2 2–1 3

—–– ––––2a 2a

a –a–1 3

a –1–a 3

a 1a 3


S

S

c) d)

e) f)

a)A' = ( )

A

|A| = m2 – 1 = 0

• Si m = 1, queda:

A' = ( ) Contradictorias → Sistema incompatible.

• Si m = –1, queda:


• Si m ≠ 1 y m ≠ –1 → ran (A) = ran (A' ) = n-º incógnitas = 3. Sistema com-patible determinado.

b)A' = ( )

A

|A| = –m2 + 3m – 2 = 0 → m = =


A' = ( ) Contradictorias → El sistema es incompatible.


A' = ( ). Las columnas 1-ª, 3-ª y 4-ª son iguales.

A

1 1 1 12 1 2 | 21 2 1 1

1 1 1 02 1 1 | 11 1 1 1

m = 1m = 2

–3 ± 1–2

–3 ± √9 – 8–2

1 1 1 m – 12 1 m | m1 m 1 1

x + y + z = m – 12x + y + mz = mx + my + z = 1

–1 1 1 41 1 1 | –11 –1 –1 2

1 1 1 41 1 1 | 11 –1 1 2

m = 1m = –1

m 1 1 41 1 1 | m1 –1 m 2

mx + y + z = 4x + y + z = mx – y + mz = 2

(1+m)x + y + z = 1x + (1+m)y + z = mx + y + (1+m)z = m2

x + 2z = 33x + y + z = –1

2y – z = –2x – y + mz = –5

x + my + z = 4x + 3y + z = 5

mx + y + z = 4

x + 2y + 3z = 0x + my + z = 0

2x + 3y + 4z = 2


←←

←

←

←

←

Como = –1 ≠ 0 → ran (A' ) = ran (A) = 2 < n-º incógnitas

El sistema es compatible indeterminado.

• Si m ≠ 1 y m ≠ 2 → ran (A) = ran (A' ) = n-º incógnitas = 3. Sistema com-patible determinado.

c)A' = ( )

A

|A| = –2m + 2 = 0 → m = 1


A' = ( ). Como = –1 y = –2 ≠ 0,

entonces: ran (A) = 2 ≠ ran (A' ) = 3. Sistema incompatible.

• Si m ≠ 1, queda: ran (A) = ran (A' ) = n-º incógnitas = 3. Sistema compatibledeterminado.

d)A' = ( )

A

|A| = m2 – 4m + 3 = 0 → m = = =




A' = ( ). La 1-ª y la 3-ª fila son iguales.

A

Además, = 2 ≠ 0. Luego, ran (A) = ran (A' ) = 2 < n-º incógnitas.


• Si m ≠ 3 y m ≠ 1 → ran (A) = ran (A' ) = n-º incógnitas = 3. Sistema com-patible determinado.

1 11 3

1 1 1 41 3 1 | 51 1 1 4

1 3 1 41 3 1 | 53 1 1 4

m = 3m = 1

4 ± 22

4 ± √42

4 ± √16 – 122

1 m 1 41 3 1 | 5m 1 1 4

x + my + z = 4x + 3y + z = 5

mx + y + z = 4

1 2 01 1 02 3 2

1 21 1

1 2 3 01 1 1 | 02 3 4 2

1 2 3 01 m 1 | 02 3 4 2

x + 2y + 3z = 0x + my + z = 0

2x + 3y + 4z = 2

1 12 1


←←

e)

A' = ( )A

|A|= = =

= = =

= = 18 = 18(–9 – m + 7) =

= 18(–m – 2) = 0 → m = –2

Además, = 9 ≠ 0 → ran (A) = 3

• Si m = –2 → ran (A) = ran (A' ) = n-º incógnitas = 3. El sistema es compa-tible determinado.

• Si m ≠ –2 → ran (A' ) = 4 ≠ ran (A) = 3. Sistema incompatible.

f)A' = ( )

A

|A| = m3 + 3m2 = m2(m + 3) = 0


A' = ( )El sistema es incompatible. (La 1-ª ecuación contradice las otras).


A' = ( )A

–2 1 1 11 –2 1 | –31 1 –2 9

1 1 1 11 1 1 | 01 1 1 0

m = 0m = –3

1 + m 1 1 11 1 + m 1 | m1 1 1 + m m2

(1 + m)x + y + z = 1x + (1 + m)y + z = mx + y + (1 + m)z = m2

1 0 23 1 10 2 –1

9 1m – 7 –1

9 18m – 7 –18

1 –5 –100 9 180 m – 7 –18

1-ª

2-ª – 2 · 1-ª

3-ª + 1-ª

1 –5 –102 –1 –2–1 m – 2 –8

1 0 2 30 1 –5 –100 2 –1 –20 –1 m – 2 –8

1-ª

2-ª – 3 · 1-ª

3-ª

4-ª– 1-ª

1 0 2 33 1 1 –10 2 –1 –21 –1 m –5

1 0 2 33 1 1 –10 2 –1 | –21 –1 m –5

x + 2z = 33x + y + z = –1

2y – z = –2x – y + mz = –5


FILAS

FILAS

Como = 3 ≠ 0 → ran (A) = 2

Además, = 21 ≠ 0 → ran (A' ) = 3

Luego el sistema es incompatible.

• Si m ≠ 0 y m ≠ –3 → ran (A) = ran (A' ) = n-º incógnitas = 3. El sistema escompatible determinado.

14 Discute los siguientes sistemas homogéneos en función del parámetro a :

a) b)

c) d)

a)A = ( )

Como es homogéneo, sabemos que ran (A) = ran (A' ).

|A| = –5a – 25 = 0 → a = –5

• Si a = –5 → Como = 5 ≠ 0 → ran (A) = ran (A' ) = 2


• Si a ≠ –5 → Solo tiene la solución trivial (0, 0, 0).

b)A' = ( )


|A| = –a2 – a + 6 = 0 → a = =

• Si a = –3 o a = 2 → Como = 2 ≠ 0 → ran (A) = ran (A' ) = 2


• Si a ≠ –3 y a ≠ 2 → ran (A) = ran (A' ) = 3. Solo existe la solución trivial(0, 0, 0).

1 10 2

a = –3a = 2

1 ± 5–2

1 ± √1 + 24–2

1 1 1a 0 22 –1 a

x + y + z = 0ax + 2z = 02x – y + az = 0

2 –11 2

2 –1 11 2 –33 –4 –a

2x – y + z = 0x + 2y – 3z = 0

3x – 4y – az = 0

3x + 3y – z = 04x + 2y – az = 03x + 4y + 6z = 0

ax + y – z = 0x + 2y + z = 0

3x + 10y + 4z = 0

x + y + z =0ax + 2z =02x – y+ az =0

2x – y + z =0x + 2y – 3z =0

3x – 4y – az =0

–2 1 11 –2 –31 1 9

–2 11 –2


S

c)A' = ( )


|A| = –2a – 5 = 0 → a =

• Si a = – → Como = 3 ≠ 0 → ran (A) = ran (A' ) = 2


• Si a ≠ – → ran (A) = ran (A' ) = 3. Solo existe la solución trivial (0, 0, 0).

d)A' = ( )

|A| = 3a – 46 = 0 → a =

• Si a = → Como = –6 ≠ 0 → ran (A) = ran (A' ) = 2


• Si a ≠ → ran (A) = ran (A' ) = 3. Solo existe la solución trivial (0, 0, 0).

15 Determina los valores de m para los cuales son incompatibles estos sistemas:

a) b)

c)

a)A' = ( )

A

|A| = –m2 – 2m – 1 = –(m + 1)2 = 0 → m = –1


A' = ( ) Contradictorias. El sistema es incompatible.–1 –1 –1 –11 –1 –1 | –11 1 1 –1

m –1 –1 m1 –1 m | m1 1 1 –1

mx – y – z = mx – y + mz = mx + y + z = –1

2x + y – z = m – 4(m – 6) y + 3z = 0

(m + 1) x + 2y = 3

(m + 1) x + y + z = 3x + 2y + mz = 4x + my + 2z = 2

mx – y – z = mx – y + mz = mx + y + z = –1

463

3 34 2

463

463

3 3 –14 2 –a3 4 6

3x + 3y – z = 04x + 2y + az = 03x + 4y + 6z = 0

52

1 –12 1

52

–52

a 1 –11 2 13 10 4

ax + y – z = 0x + 2y + z = 0

3x + 10y + 4z = 0


←

←

S

• Si m ≠ –1, es compatible determinado, pues ran (A) = ran (A' ) = 3.

• Por tanto, solo es incompatible para m = –1.

b)A' = ( )

A

|A| = –m3 – m2 + 6m = –m (m – 2) (m + 3) = 0


A' = ( ) Como = 1 y = 0,

A

entonces: ran (A) = ran (A' ) = 2 → Compatible indeterminado.




A' = ( ) Como = –5 y = –45,

A

entonces: ran (A) = 2 ≠ ran (A' ) = 3 → Sistema incompatible.

• Si m ≠ 0, m ≠ 2 y m ≠ –3 → Sistema compatible determinado, puesran (A) = ran (A' ) = 3.

Por tanto, es incompatible para m = 2 y para m = –3.

c)A' = ( )

A

|A| = m2 – 2m – 15 = 0 → m = =


A' = ( ). Como = –2 ≠ 0 y = 0,

A

entonces ran (A) = ran (A') = 2; el sistema es compatible indeterminado.

2 1 10 –1 06 2 3

2 10 –1

2 1 –1 10 –1 3 | 06 2 0 3

m = 5m = –3

2 ± 82

2 ± √4 + 602

2 1 –1 m – 40 m – 6 3 | 0

m + 1 2 0 3

2x + y – z = m – 4(m – 6)y + 3z = 0

(m + 1)x + 2y = 3

–2 1 31 2 41 –3 2

–2 11 2

–2 1 1 31 2 –3 | 41 –3 2 2

3 1 1 31 2 2 | 41 2 2 2

1 1 31 2 41 0 2

1 11 2

1 1 1 31 2 0 | 41 0 2 2

m = 0m = 2m = –3

(m + 1) 1 1 31 2 m | 41 m 2 2

(m + 1)x + y + z = 3x + 2y + mz = 4x + my + 2z = 2


←←


A' = ( ). Como = –18 y = 72,

A

entonces ran (A) = 2 ≠ ran (A' ) = 3. El sistema es incompatible.

• Si m ≠ 5 y m ≠ –3 → Sistema compatible determinado, puesran (A) = ran (A' ) = 3.

Por tanto, es incompatible solo para m = –3.

16 ¿Existe algún valor de a para el cual estos sistemas tengan infinitas solucio-nes?

a) b) c)

a)A' = ( )

A

|A| = 9a + 27 = 0 → a = –3

• Si a = –3, queda:

A' = ( )Como = –5 y = 20, entonces:

ran (A) = 2 ≠ ran (A' ) = 3 → El sistema es incompatible.

• Si a = –3 → ran (A) = ran (A' ) = 3 → Compatible determinado.

Por tanto, no existe ningún valor de a para el que el sistema tenga infinitas so-luciones.

b)A' = ( )

A

|A| = –a2 + 3a – 2 = 0 → a = = a = 1a = 2

–3 ± 1–2

–3 ± √9 – 8–2

1 1 1 a – 12 1 a | a1 a 1 1

x + y + z = a – 12x + y + az = ax + ay + z = 1

3 –2 22 –3 –41 1 2

3 –22 –3

3 –2 –3 22 –3 –5 | –41 1 2 2

3 –2 –3 22 a –5 | –41 1 2 2

3x – 2y – 3z = 22x + ay – 5z = –4x + y + 2z = 2

(a + 1)x + 2y + z = a + 3ax + y = aax + 3y + z = a + 2

x + y + z = a – 12x + y + az = ax + ay + z = 1

3x – 2y– 3z = 22x+ ay – 5z = –4

x + y+ 2z = 2

2 1 –70 –9 0–2 2 3

2 10 –9

2 1 –1 –70 –9 3 | 0–2 2 0 3


S


A' = ( ) Contradictorias. El sistema es incompatible.


A' = ( ). Las columnas 1-ª, 3-ª y 4-ª son iguales, y = –1 ≠ 0;

A

luego, ran (A) = ran (A' ) = 2. El sistema es compatible indeterminado.

• Si a ≠ 1 y a ≠ 2 → ran (A) = ran (A' ) = 3 → Compatible determinado.

Por tanto, el sistema tiene infinitas soluciones para a = 2.

c)A' = ( )

A

|A| = a + 1 = 0 → a = –1


A' = ( ). La primera fila es la tercera menos la segunda.

= 2 ≠ 0; luego, ran (A) = ran (A' ) = 2.


• Si a ≠ –1 → ran (A) = ran (A' ) = 3 → Compatible determinado.

Por tanto, el sistema tiene infinitas soluciones para a = –1.

17 Discute y resuelve según los valores de m:

A' = ( )A

|A|= m2 – 1 = 0 m = 1m = –1

m 1 2 – 2m1 m m – 1

mx + y = 2 – 2mx + my = m – 1

mx + y = 2 – 2mx + my = m – 1

0 2–1 1

0 2 1 2–1 1 0 | –1–1 3 1 1

a + 1 2 1 a + 3a 1 0 | aa 3 1 a + 2

(a + 1)x + 2y + z = a + 3ax + y = aax + 3y + z = a + 2

1 12 1

1 1 1 12 1 2 | 21 2 1 1

1 1 1 02 1 1 | 11 1 1 1


S

←

←


A' = ( ) El sistema es compatible indeterminado. Lo resolvemos:

x + y = 0 → y = x. Soluciones: x = λ, y = –λ


A' = ( ) Las ecuaciones son contradictorias. El sistema es incompatible.

• Si m ≠ 1 y m ≠ –1 → ran (A) = ran (A') = n-º incógnitas = 2. El sistema es com-patible determinado. Lo resolvemos:

x = = = =

y = = = =

Solución: x = ; y =

18 Resuelve la ecuación A X B = C siendo:

A = ( ) B = ( ) C = ( )☛ Multiplica C por A–1 por la izquierda y por B –1 por la derecha.

AXB = C → A–1 · A · X · B · B–1 = A–1 · C · B–1 → X = A–1 · C · B–1

Calculamos A–1 y B–1 (|A|= 1 y |B|= 1 → existen A–1 y B–1):


( ) → ( ) → ( ) → ( ) = A–1


( ) → ( ) → ( ) → ( ) = B–1

Por tanto:

X = A–1 · C · B–1 = ( ) · ( ) · ( ) = ( ) · ( ) = ( )1 –1–1 1

2 –3–1 2

1 1–1 –1

2 –3–1 2

1 11 1

3 –2–4 3

2 –3–1 2

2 –3–1 2

2 –1–3 2

2 13 2

1|B|

3 –2–4 3

3 –2–4 3

3 –4–2 3

3 42 3

1|A|

1 11 1

2 31 2

3 24 3

m + 2m + 1

–2m – 1m + 1

m + 2m + 1

(m + 2)(m – 1)(m + 1)(m – 1)

m2 + m – 2m2 – 1

m 2 – 2m 1 m – 1

m2 – 1

–2m – 1m + 1

(–2m – 1)(m – 1)(m + 1)(m – 1)

–2m2 + m + 1m2 – 1

2 – 2m 1 m – 1 m

m2 – 1

–1 1 41 –1 –2

1 1 01 1 0


S

19 Dada A = ( ), halla una matriz X tal que A X A = ( ).☛ Multiplica dos veces por A–1, una vez por la izquierda y otra por la derecha.

Calculamos A–1 (|A|= 1 ≠ 0 → existe A–1):


( ) → ( ) → ( ) → ( ) = A–1

Por tanto:

AXA = ( ) → X = A–1 · ( ) · A–1= ( ) · ( ) · ( ) =

= ( ) · ( ) = ( )

20 Dadas las matrices:

A = ( ) B = ( ) C = ( ) D = ( )halla la matriz X que verifica AB + CX = D.

AB + CX = D → CX = D – AB → X = C –1 · (D – AB)

• Calculamos C –1 (|C|= –2 ≠ 0 → existe C –1):

αij → Adj (C ) → (Adj (C ))t → (Adj (C ))t

( ) → ( ) → ( ) → ( ) = C –1

• Calculamos A · B:

A · B = ( ) · ( ) = ( )• Por tanto:

X = ( ) · [( ) – ( )] = ( ) · ( ) = ( )–2 10 1

–2 3–6 7

–2 13/2 –1/2

–7 0–2 10

–9 3–8 17

–2 13/2 –1/2

–7 0–2 10

3 10 1–1 2

–2 0 11 –1 5

–2 13/2 –1/2

4 –2–3 1

4 –3–2 1

4 32 1

1|C|

–9 3–8 17

1 23 4

3 10 1–1 2

–2 0 11 –1 5

–1 –21 1

2 –3–1 2

–4 –73 5

2 –3–1 2

1 12 3

2 –3–1 2

1 12 3

1 12 3

2 –3–1 2

2 –3–1 2

2 –1–3 2

2 13 2

1|A|

1 12 3

2 31 2


S

21 Halla X tal que 3AX = B, siendo: A = ( ), B = ( )3AX = B → X = A–1 · B

Calculamos A–1 (|A|= –1 ≠ 0 → existe A–1):


( ) → ( ) → ( ) → ( ) = A–1

Por tanto:

X = ( ) · ( ) = ( ) = ( )22 Resuelve la ecuación: ( ) ( ) + ( ) = ( )

( ) · ( ) = ( ) Calculamos A–1 (|A|= 16 ≠ 0 → existe A–1):

A · X = B


( ) → ( ) → ( ) → ( ) = A–1

Por tanto:

A · X = B → X = A–1· B = ( ) · ( ) = ( ) = ( )Luego, ( ) = ( ); es decir: x = 1, y = –1, z = 1

1–11

xyz

1–11

16–1616

116

7–2–1

3 5 –51 7 92 –2 2

116

3 5 –51 7 92 –2 2

116

3 5 –51 7 92 –2 2

3 1 25 7 –2–5 9 2

3 –1 2–5 7 2–5 –9 2

1|A|

7–2–1

xyz

2 0 51 1 –2–1 1 1

4–11

–312

xyz

2 0 51 1 –2–1 1 1

1/3 2/3 01/3 1/3 00 –1/3 1/3

1 2 01 1 00 –1 1

13

1 0 21 0 11 1 1

–1 0 2–1 1 11 0 –1

13

–1 0 2–1 1 11 0 –1

1 0 –21 –1 –1–1 0 1

1 1 –10 –1 0–2 –1 1

1 –1 –10 –1 0–2 1 1

1|A|

13

1 0 21 0 11 1 1

1 0 20 1 11 0 1


{ {

S

23 Discute y resuelve, según los diferentes valores del parámetro a, estos sis-temas de ecuaciones:

a) b)

a)A' = ( ) |A| = 1 – a2 = 0

A


A' = ( ). Observamos que la 1-ª y la 3-ª columna son iguales.

A

Además, = –8 ≠ 0; luego, ran (A) = ran (A' ) = 2.

El sistema es compatible indeterminado. Lo resolvemos. Podemos prescindirde la 1-ª ecuación:

8y = 1 – 23z – 1 – z = –24z → y = –3z

Soluciones: (1 + λ, –3λ, λ)


A' = ( ). Como = –8 ≠ 0 y = –2 ≠ 0.

A

Luego, ran (A) = 2 ≠ ran (A' ) = 3. El sistema es incompatible.

• Si a ≠ 1 y a ≠ –1 → ran (A) = ran (A' ) = n-º incógnitas = 3. El sistemaes compatible determinado. Lo resolvemos:

x = = =

y = = = = 31 + a

3(1 – a)(1 – a)(1 + a)

3 – 3a1 – a2

a 1 20

a 1 23 1 1 –a

1 – a2

11 + a

1 – a(1 – a)(1 + a)

1 7 20

1 8 23 1 0 –a

1 – a2

–1 7 1–1 8 11 0 1

–1 81 0

–1 7 20 1–1 8 23 | 11 0 1 1

x + 8y = 1 – 23zx = 1 + z

1 81 0

1 7 20 11 8 23 | 11 0 –1 1

a = 1a = –1

a 7 20 1a 8 23 | 11 0 –a 1

ax + 7y + 20z = 1ax + 8y + 23z = 1

x – az = 1

x + y + z = 1ax = 2

ay + 2z = 0

ax + 7y + 20z = 1ax + 8y + 23z = 1

x – az = 1


S

z = = = =


b)A' = ( )

A

|A| = –a(2 – a) = 0


A' = ( ). Sistema incompatible (la 2-ª ecuación es imposible).


A' = ( ). La 1-ª y la 3-ª columna son iguales.

A

Además, = –2 ≠ 0; luego, ran (A) = ran (A' ) = 2.

El sistema es compatible indeterminado. Lo resolvemos. Podemos prescindirde la 3-ª ecuación:

Soluciones: (1, –λ, λ)

• Si a ≠ 0 y a ≠ 2 → ran (A) = ran (A' ) = n-º incógnitas = 3. El sistema escompatible determinado. Lo resolvemos:

x = = = ; y = = =

z = = = 1; Solución: x = , y = , z = 1–2a

2a

–a(2 – a)–a(2 – a)

1 1 1

a 0 2 0 a 0

–a(2 – a)

–2a

2(2 – a)–a(2 – a)

1 1 1

a 2 0 0 0 2

–a(2 – a)

2a

–2(2 – a)–a(2 – a)

1 1 1

2 0 0 0 a 2

–a(2 – a)

x = 1y = 1 – x – z = –z

x + y + z = 12x = 2

1 12 0

1 1 1 12 0 0 | 20 2 2 0

1 1 1 10 0 0 | 20 0 2 0

a = 0a = 2

1 1 1 1a 0 0 | 20 a 2 0

x + y + z = 1ax = 2

ay + 2z = 0

–11 + a

31 + a

11 + a

–11 + a

–(1 – a)(1 – a)(1 + a)

a – 1(1 – a)(1 + a)

a 7 1

a 8 1 1 0 1

1 – a2


24 Discute el siguiente sistema de ecuaciones según los valores del parámetroa y resuélvelo en el caso a = 2:

A' = ( )A

|A|= 2a2 – 8 = 0


A' = ( ). La 1-ª y la 3-ª fila son iguales.

A

Además, ≠ 0; luego, ran (A) = ran (A') = 2 < n-º incógnitas.

El sistema es compatible indeterminado. Lo resolvemos en este caso. Podemos pres-cindir de la 3-ª ecuación (puesto que es igual que la 1-ª):

= –1

y = = = 3 – x; z = = = –1

Soluciones: x = λ, y = 3 – λ, z = –1


A' = ( )A

Como = 20 y = –128 ≠ 0, entonces ran (A) = 2 ≠ ran (A') = 3.


• Si a ≠ 2 y a ≠ –2 → ran (A) = ran (A' ) = 3 = n-º incógnitas. El sistema es com-patible determinado.

2 6 0–2 4 2–2 6 –4

2 6–2 4

–2 2 6 02 –2 4 | 22 –2 6 –4

1–1

1 –x 1 1 – x

– 1x – 3–1

–x 3 1 – x 2

– 1

1 31 2

y + 3z = –xy + 2z = 1 – x

x + y + 3z = 0x + y + 2z = 1

2x + 2y + 6z = 02x + 2y + 4z = 2

2 62 4

2 2 6 02 2 4 | 22 2 6 0

a = 2a = –2

a 2 6 02 a 4 | 22 a 6 a – 2

ax + 2y + 6z = 02x + ay + 4z = 22x + ay + 6z = a – 2

ax + 2y + 6z = 02x + ay + 4z = 22x + ay + 6z = a – 2


S

25 Averigua los valores de α para los cuales admiten infinitas soluciones lossistemas siguientes. Obtén todas las soluciones e interpreta geométricamen-te los resultados obtenidos:

a) b)

a)A' = ( ) |A| = α – 9 = 0 → α = 9

A

• Si α = 9, queda:

A' = ( ). Como = 1 y = 0, entonces:

A

ran (A) = ran (A' ) = 2 < n-º incógnitas. El sistema es compatible indetermi-nado. Lo resolvemos. Podemos prescindir de la 3-ª ecuación y pasar la z al 2ºmiembro:

x = = 1 + 5z; y = = 2 – 7z

Soluciones: x = 1 + 5λ, y = 2 – 7λ, z = λ

Geométricamente, son tres planos que se cortan en una recta.

• Si α ≠ 9 → ran (A) = ran (A' ) = n-º incógnitas = 3. El sistema es compa-tible determinado. Lo resolvemos:

x = = = 1; y = = = = 2

z = = = 0. Solución: x = 1, y = 2, z = 0

Geométricamente, son tres planos que se cortan en el punto (1, 2, 0).

b) A' = ( )A

|A|= –α2 + 1 = 0 α = 1α = –1

α –1 11 –α 2α – 1

αx – y = 1x – αy = 2α – 1

0α – 9

1 1 3

1 2 5 2 1 4

α – 9

2(α – 9)α – 9

2α – 18α – 9

1 3 2

1 5 α 2 4 –3

α – 9

α – 9α – 9

3 1 2

5 2 α 4 1 –3

α – 9

1 3 – 2z 1 5 – 9z

1

3 – 2z 1 5 – 9z 2

1

x + y = 3 – 2zx + 2y = 5 – 9z

1 1 31 2 52 1 4

1 11 2

1 1 2 31 2 9 | 52 1 –3 4

1 1 2 31 2 α | 52 1 –3 4

x + y + 2z = 3x + 2y + αz = 5

2x + y – 3z = 4

αx – y = 1x – αy = 2α – 1

x + y + 2z = 3x + 2y + αz = 5

2x + y – 3z = 4


S

• Si α = 1, queda:

A' = ( ). Compatible indeterminado. Lo resolvemos:

x – y = 1 → x = 1 + y. Soluciones: x = 1 + λ, y = λ.

Geométricamente son rectas coincidentes (se trata de la misma recta).

• Si α = –1, queda:

A' = ( ). Las ecuaciones son contradictorias. El sistema es incompatible.

Geométricamente, son dos rectas paralelas.

• Si α ≠ 1 y α ≠ –1 → ran (A) = ran (A' ) = n-º incógnitas = 2. El sistema escompatible determinado. Lo resolvemos:

x = = = =

y = = =

Solución: x = ; y =

Geométricamente son dos rectas que se cortan en un punto.

26 Discute la compatibilidad del siguiente sistema según los diversos valores deλ y resuélvelo para λ = –1 y para λ = 2:

A' = ( )A

|A|= –3λ2 – 6λ – 3 = –3(λ + 1)2 = 0 → λ = –1

• Si λ = –1, queda:

A' = ( ). La 1-ª y la 3-ª ecuación son iguales.

A

–1 –1 2 –12 –1 –1 | 2–1 –1 2 –1

–1 λ 2 λ2 λ –1 | 2λ –1 2 λ

–x + λy + 2z = λ2x + λy – z = 2λx – y + 2z = λ

–x + λy + 2z = λ2x + λy – z = 2λx – y + 2z = λ

–2α – 1α + 1

–11 + α

–2α – 1α + 1

(α – 1)(2α + 1)(1 – α)(1 + α)

α 1 1 2α – 1

1 – α2

–11 + α

–(1 – α)(1 – α)(1 + α)

α – 1(1 – α)(1 + α)

1 –1 2α – 1 –α1 – α2

–1 –1 11 1 –3

1 –1 11 –1 1


S

Como = 3 ≠ 0, entonces ran (A) = ran (A') = 2.

El sistema es compatible indeterminado. Lo resolvemos. Podemos prescindir de la3-ª ecuación y pasar la z al 2º miembro:

Sumando: 3x = 3 + 3z → x = 1 + z

y = 1 + 2z – x = 1 + 2z – 1 – z = z

Soluciones: x = 1 + λ, y = λ, z = λ

• Si λ ≠ –1 → ran (A) = ran (A' ) = n-º incógnitas = 3. El sistema es compatibledeterminado. Lo resolvemos para el caso en que λ = 2:

x = = = ; y = = =

z = = = ; Solución: x = , y = , z =

27 Halla, en función de a, el rango de la matriz A = ( ) y calcula, si

existe, la matriz inversa A–1 en los casos a = 1 y a = –1.

A = ( ) → |A|= a2 + 4a + 3 = 0 →

→ a = = =

A = ( ) = –3 ≠ 0

Por tanto:

• Si a = –1 o a = –3 → ran (A) = 2

• Si a ≠ –1 y a ≠ –3 → ran (A) = 3

Así, si a = –1, como |A|= 0, no existe A–1.

Para a = 1, |A|= 8 ≠ 0, sí existe A–1. La calculamos en este caso:

A = ( )1 0 –10 1 –34 1 1

1 –10 –3

1 0 –10 a –34 1 a

a = –1a = –3

–4 ± 22

–4 ± √42

–4 ± √16 – 122

1 0 –10 a –34 1 a

1 0 –10 a –34 1 a

23

23

23

23

–18–27

–1 2 2

2 2 2 2 –1 2

–27

23

–18–27

–1 2 2

2 2 –1 2 2 2

–27

23

–18–27

2 2 2

2 2 –1 2 –1 2

–27

x + y = 1 + 2z2x – y = 2 + z

–x – y = –1 – 2z2x – y = 2 + z

–1 –12 –1


S


( ) → ( ) → ( ) → ( ) = A–1

28 Considera la matriz A = ( ).a) ¿Cuándo el determinante de A es el seno de algún número real?

b) Calcula A–1 cuando exista.

c) Determina todos los pares (a, b) para los que A coincide con su inversa.

a) |A|= b será el seno de algún número real cuando –1 ≤ b ≤ 1.

b) Existirá A–1 cuando |A|≠ 0, es decir, cuando b ≠ 0. La calculamos en este caso:


( ) → ( ) → ( ) → ( ) = A–1

c) ( ) = ( ) →

A = A–1 cuando

29 Halla los valores del parámetro t para los cuales las matrices A y B no soninvertibles y calcula:

a) A–1 si t = 1 b) B–1 si t = 2

A = ( ) B = ( )a) |A|= t2 + 4t – 12 = 0 → t = = =

A no es invertible para t = 2 ni para t = –6.

t = 2t = –6

–4 ± 82

–4 ± √642

–4 ± √16 + 482

1 0 t1 1 0t 0 1

1 0 40 t 4–1 3 t

• a = 0 y b = 1 → (0, 1)• b = –1 y a cualquier número real → (a, –1)

aa = – — → ab + a = 0 → a (b + 1) = 0

b1 b = 1 → a = 0

b = — → b2 = 1 b b = –1 → a ∈ Á

1 0 00 1 0

–a/b 0 1/b

1 0 00 1 0a 0 b

1 0 00 1 0

–a/b 0 1/b

b 0 00 b 0–a 0 1

b 0 –a0 b 00 0 1

b 0 –a0 b 00 0 1

1|A|

1 0 00 1 0a 0 b

4 –1 1–12 5 3–4 –1 1

18

4 –1 1–12 5 3–4 –1 1

4 –12 –4–1 5 –11 3 1

4 12 –41 5 11 –3 1

1|A|


S

S

Calculamos A–1 para t = 1:

A = ( ) → |A|= –7


( ) → ( ) → ( ) → ( ) = A–1

b) |B| = 1 – t2 = 0

B no es invertible para t = 1 ni para t = –1.

Calculamos B–1 para t = 2:

B = ( ) → |B|= –3


( ) → ( ) → ( ) → ( ) = B–1

30 Dadas las matrices A = ( ) y B = ( ) donde λ es cualquier núme-

ro real:

a) Encuentra los valores de λ para los que AB es invertible.

b) Determina los valores de λ para los que BA es invertible.

c) Dados a y b, números reales cualesquiera, ¿puede ser el siguiente siste-ma compatible determinado?

A ( ) = ( )

a) A · B= ( ) · ( ) = ( )

|A · B| = 2λ2 + 3λ – 2 = 0 → λ = = =–3 ± √254

–3 ± √9 + 164

1 + 2λ 3 + 2λ1 – λ 1

1 3λ 00 2

1 2 λ1 –1 –1

ab

xyz

1 3λ 00 2

1 2 λ1 –1 –1

–1 0 21 3 –22 0 –1

13

1 0 –2–1 –3 2–2 0 1

1 –1 –20 –3 0–2 2 1

1 1 –20 –3 0–2 –2 1

1|B|

1 0 21 1 02 0 1

t = 1t = –1

–11 12 –4–4 5 –41 –3 1

–17

–11 12 –4–4 5 –41 –3 1

–11 –4 112 5 –3–4 –4 1

–11 4 1–12 5 3–4 4 1

1|A|

1 0 40 1 4–1 3 1


S

=

A · B es invertible cuando λ ≠ y λ ≠ –2.

b) B · A = ( ) · ( ) = ( )|B · A|= 0 → B · A no es invertible.

c) A' = ( ); = –3 → ran (A) = ran (A' ) = 2 < n-º incógnitas.

A

El sistema es compatible indeterminado, para cualquier valor de a y b. Por tan-to, no puede ser compatible determinado.

Página 122

31 En el supuesto de que exista, calcula una matriz X tal que AX = B en los si-guientes casos:

a) A = ( ) y B = ( ) b) A = ( ) y B = ( )a) |A|= 4 ≠ 0 → Existe A–1. Luego:

AX = B → A–1AX = A–1 · B → X = A–1 · B

Calculamos A–1:


( ) → ( ) → ( ) → ( ) = A–1

Por tanto:

X = ( ) · ( ) = ( )b) Para poder efectuar el producto A · X = B, X debería ser (si existiera) de di-

mensión 2 × 3.

Sea X = ( ).x y za b c

11 1–1 1–18 2

14

1 12 10 3

9 1 –3–3 1 1–14 –2 6

14

9 1 –3–3 1 1–14 –2 6

14

9 1 –3–3 1 1–14 –2 6

9 –3 –141 1 –2–3 1 6

9 3 –14–1 1 2–3 –1 6

1|A|

2 0 11 3 05 1 3

1 12 10 3

1 12 10 3

2 0 11 3 05 1 3

1 21 –1

1 2 λ a1 –1 –1 b

4 –1 λ – 3λ 2λ λ2

2 –2 –2

1 2 λ1 –1 –1

1 3λ 00 2

12

1λ = —2

λ = – 2

–3 ± 54


S

Entonces:

AX = ( ) ( ) = ( ) = ( )x + a = 2 → x = 2 – =

2x + a = 1 → 2x = 1 – = – → x = –

3a = 5 → a =

No tiene solución. Luego no existe X tal que AX = B.

32 Dado el sistema: S:

a) Demuestra que es compatible determinado para cualquier valor de α y β.

b) Resuélvelo para α = β = 1.

a)A' = ( )

A

|A| = = = –2 ≠ 0 → ran (A) = ran (A' ) = 3

El sistema es compatible determinado para cualquier valor de α y β.

b) Si α = β = 1, queda:

A' = ( ), con |A|= –2. Lo resolvemos mediante la regla de Cramer:

A

x = = = ; y = = =

z = = = . Solución: x = , y = , z = 32

32

–12

32

–3–2

1 –1 1

1 0 1 1 0 –2

–2

32

–3–2

1 1 2

1 1 1 1 –2 –1

–2

–12

1–2

1 –1 2

1 0 1 –2 0 –1

–2

1 –1 2 11 0 1 | 11 0 –1 –2

1 11 –1

1 –1 α + β1 0 11 0 –1

1 –1 α + β α1 0 1 | β1 0 –1 α – 3β

x – y + (α + β)z = αx + z = βx – z = α – 3β

x – y + (α + β)z = αx + z = βx – z = α – 3β

53

13

23

53

13

53

2 0 11 3 05 1 3

x + a y + b z + c2x + a 2y + b 2z + c

3a 3b 3c

x y za b c

1 12 10 3


S

33 a) Discute, en función de a, el siguiente sistema:

b) Resuelve el sistema anterior para el caso a = –1.

a)A' = ( )

A

|A| = a3 – 3a + 2 = (a – 1)2 (a + 2) = 0


A' = ( ). El sistema es incompatible.


A' = ( ). Como = 3 y = 0,

A

entonces ran (A) = ran (A' ) = 2 < n-º incógnitas.


b) Para a = –1, queda:

A' = ( ) y sabemos que |A|= 4.

A

El sistema en este caso es compatible determinado. Lo resolvemos aplicando laregla de Cramer:

x = = = ; y = = =

z = = = 0. Solución: x = , y = , z = 0–12

12

04

1 –1 1

1 1 0 –1 1 –1

4

–12

–24

1 1 1

1 0 –1 –1 –1 1

4

12

24

1 –1 1

0 1 –1 –1 1 1

4

1 –1 1 11 1 –1 | 0–1 1 1 –1

1 –2 01 1 2–2 1 –2

1 –21 1

1 –2 1 01 1 –2 | 2–2 1 1 –2

1 1 1 31 1 1 | –41 1 1 1

a = 1a = –2

1 a 1 a + 21 1 a | –2(a + 1)a 1 1 a

x + ay + z = a + 2x + y + az = –2(a + 1)

ax + y + z = a

x+ ay + z = a + 2x+ y + az = –2 (a + 1)

ax+ y + z = a


CUESTIONES TEÓRICAS

34 En un sistema de igual número de ecuaciones que de incógnitas, el determi-nante de la matriz de coeficientes es igual a 0. Responde razonadamente alas siguientes preguntas:

a) ¿Puede ser compatible?

b) ¿Puede tener solución única?

c) ¿Se puede aplicar la regla de Cramer?

a) Sí, podría ser compatible indeterminado si ran (A) = ran (A' ) < n-º incógnitas.

b) No, pues al ser ran (A) < n-º incógnitas, el sistema no puede ser compatible de-terminado.

c) Sí, si es compatible, pasando al 2-º miembro las incógnitas que sea necesario.

35 El rango de la matriz de coeficientes de un sistema homogéneo de cuatroecuaciones y tres incógnitas es igual a 3.

¿Qué puedes decir de su solución? Razona tu respuesta.

Al ser el sistema homogéneo con 3 incógnitas, tenemos que ran (A) = ran (A' ) == n-º incógnitas = 3. El sistema sería compatible determinado. Por tanto, tendría co-mo solución única la solución trivial (0, 0, 0).

36 ¿Qué condición debe cumplir una matriz cuadrada para tener inversa?

La condición necesaria y suficiente para que una matriz, A, cuadrada tenga inver-sa es que su determinante sea distinto de cero, es decir, |A|≠ 0.

37 Sean A y B inversas una de otra. Si A = 4, ¿cuánto vale B?

Si A y B son inversas una de otra, entonces A · B = I. Así:

|A · B|= |A| · |B|= |I|= 1 → |B|= =

38 El rango de la matriz de coeficientes de un sistema de tres ecuaciones contres incógnitas es igual a 1. ¿Qué rango, como máximo, puede tener la ma-triz ampliada?

Como máximo, la matriz ampliada podrá tener rango 2.

39 ¿Existe algún valor de a para el cual la matriz ( ) no tenga inversa?

= a2 – a2 + 2 = 2 ≠ 0 para cualquier valor de a.

Por tanto, no existe ningún valor de a para el que la matriz dada no tenga inversa.

a a2 – 21 a

a a2 – 21 a

14

1|A|


S

S

S

40 Dadas estas ecuaciones:

a) Añade una ecuación para que el sistema sea incompatible.

b) Añade una ecuación para que el sistema sea compatible determinado.

Justifica en cada caso el procedimiento seguido para añadir la ecuación.

a) Por ejemplo, 3x – 2y + z = 1 contradice la 1-ª ecuación; luego, si añadimos estaecuación, el sistema obtenido sería incompatible.

b) Por ejemplo, si añadimos la ecuación y = 0, como

= – = –1 ≠ 0, el sistema sería compatible determinado.

41 Representa matricialmente los sistemas:

s: s':

Resuélvelos y averigua si existe alguna relación entre las soluciones obteni-

das y la inversa de la matriz ( ). Justifica la relación obtenida.

SISTEMA S SISTEMA S'

( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) = ( )Calculamos la inversa de A = ( ) (|A|= 1 ≠ 0):


( ) → ( ) → ( ) → ( ) = A–1

SOLUCIÓN DEL SISTEMA S SOLUCIÓN DEL SISTEMA S'

( ) = ( ) ( ) = ( ) ( ) = ( ) ( ) = ( )Las soluciones obtenidas son cada una de las columnas de la matriz inversa. Obser-vamos que las matrices de los términos independientes de los dos sistemas son lascolumnas de la matriz identidad. Por tanto, las incógnitas que hallamos son los ele-mentos de la matriz inversa.

42 Demuestra que no hay valores de m para los que el siguiente sistema notenga solución:

x + 2y + z = 3x + 3y + 2z = 5x + my + 3z = 7

–13

01

4 –1–11 3

xy

4–11

10

4 –1–11 3

xy

4 –1–11 3

4 –1–11 3

4 –11–1 3

4 111 3

1|A|

3 111 4

01

xy

3 111 4

10

xy

3 111 4

3 111 4

3x + y = 011x + 4y = 1

3x + y = 111x + 4y = 0

3 12 1

3 –2 12 –3 10 1 0

3x – 2y + z = 52x – 3y + z = –4


S

S

S

A' = ( )A

|A|= 4 – m = 0 → m = 4


A' = ( ). La 4-ª columna se obtiene sumando la 2-ª y la 3-ª.

A

Luego, ran (A) = ran (A' ). El sistema es compatible. (En este caso sería compa-

tible indeterminado, pues ≠ 0 → ran (A) = ran (A' ) = 2).

• Si m ≠ 4 → ran (A) = ran (A' ) = n-º incógnitas = 3. El sistema es compatibledeterminado.

Por tanto, no hay ningún valor de m para el que el sistema no tenga solución.

43 Si el rango de la matriz de un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitases dos y el de la matriz ampliada tres, ¿qué interpretaciones geométricas po-demos dar a ese sistema? Pon un ejemplo de un sistema de esas caracterís-ticas y su interpretación geométrica.

Si ran (A) = 2 ≠ ran (A' ) = 3, el sistema es incompatible.

Interpretaciones geométricas posibles:

1) Dos planos paralelos y otro que los corta:

2) Tres planos que se cortan dos a dos,pero sin ningún punto común a los tres:

Un ejemplo de cada uno de los dos casos sería:

1) 2)

x + y + z = 1x + y = 2

2x + 2y + z = 5

x + y + z = 1x + y = 2x + y + z = 3

1 21 3

1 2 1 31 3 2 | 51 4 3 7

1 2 1 31 3 2 | 51 m 3 7

x + 2y + z = 3x + 3y + 2z = 5x + my + 3z = 7


S

44 Si dos sistemas de cuatro ecuaciones lineales con cuatro incógnitas, AX = B yAX = B', tienen una misma matriz de coeficientes A, ¿puede ser incompatibleuno de los dos sistemas mientras que el otro es compatible y determinado?

No. Si uno de ellos es compatible determinado es porque ran (A) = ran (A') = 4.Por tanto, si A es la misma matriz en los dos sistemas, también en el otro seráran (A) = 4. Luego, los dos serían compatibles determinados.

45 ¿Puede ocurrir que un sistema de ecuaciones lineal homogéneo no tenga so-lución? ¿Puede ocurrir que tenga infinitas soluciones? Razona las respuestas.

Un sistema homogéneo siempre tiene, al menos, la solución trivial (0, 0, 0). Ade-más, ran (A) = ran (A'); luego, siempre es compatible. Si ran (A) = n-º incógnitas,entonces solo tendría la solución trivial; y, si ran (A) < n-º incógnitas, sería compati-ble indeterminado, es decir, tendría infinitas soluciones.

46 El rango de la matriz de los coeficientes de un sistema de cuatro ecuacionescon tres incógnitas es 3. ¿Qué rango puede tener la matriz ampliada? En ba-se a ello, ¿cuántas soluciones tendrá el sistema?

La matriz ampliada, A', podría tener rango 3 o rango 4.

• Si ran (A) = ran (A') = 3 = n-º incógnitas → El sistema sería compatible deter-minado, es decir, con una sola solución.

• Si ran (A) = 3 ≠ ran (A') = 4 → El sistema sería incompatible, sin ninguna so-lución.

47 Determina una matriz A para que el sistema homogéneo AX = 0 sea equi-valente a la ecuación matricial:

(x y z) ( ) = (0, 0)

La ecuación matricial dada, la podemos escribir así:

. Si llamamos A = ( ) y X = ( )entonces: AX = 0

Por tanto, la matriz A que buscamos es A = ( ).PARA PROFUNDIZAR

48 a) ¿Para qué valor de a este sistema es compatible determinado?

x – 2y = 1y + z = a

x – 3z = –1y – z = 2

1 2 1–2 1 2

xyz

1 2 1–2 1 2

x + 2y + z = 0–2x + y + 2z = 0

1 –22 11 2


S

S

S

S

b) ¿Puede ser compatible indeterminado?

a)A' = ( )

A

= 1 ≠ 0 → ran (A) = 3 = n-º incógnitas

|A'|= = = = a – 14 = 0

→ a = 14

Por tanto,

b) No, por lo que hemos visto en el apartado anterior.

49 Estudia y resuelve cuando sea posible:

a) b)

a)

A' = ( )A

|A|= 0 y = –3 ≠ 0 → ran (A) = 3

(La 4-ª columna depende linealmente de las tres primeras).

= = =

= 3(a + 1) = 0 → a = –11 1 30 3 40 0 a + 1

1-ª

2-ª + 1-ª

3-ª + 1-ª

1 1 3–1 2 1–1 –1 a – 2

1 1 0 33 –1 1 1–1 2 0 1–1 –1 0 a – 2

1-ª

2-ª

3-ª – 2-ª

4-ª – 2 · 2-ª

1 1 0 33 –1 1 12 1 1 25 –3 2 a

1 1 03 –1 12 1 1

1 1 0 2 33 –1 1 –1 12 1 1 1 | 25 –3 2 –4 a

x + y + 2t = 33x – y + z – t = 15x – 3y + 2z – 4t = a2x + y + z + t = 2

ax + z + t = 1ay + z – t = 1ay + z – 2t = 2

az – t = 0

x + y + 2t = 33x – y + z – t = 15x – 3y + 2z – 4t = a2x + y + z + t = 2

• Si a = 14 → ran (A) = ran (A') = 3 → Compatible determinado• Si a ≠ 14 → ran (A) = 3 ≠ ran (A' ) = 4 → Incompatible

2 –3 –21 –1 21 1 a

1 –2 0 10 2 –3 –20 1 –1 20 1 1 a

1-ª

2-ª – 1-ª

3-ª

4-ª

1 –2 0 11 0 –3 –10 1 –1 20 1 1 a

1 –2 01 0 –30 1 –1

1 –2 0 11 0 –3 –10 1 –1 | 20 1 1 a

x – 2y = 1x – 3z = –1

y – z = 2y + z = 2

x – 2y = 1y + z = a

x – 3z = –1y – z = 2


FILAS

FILAS

FILAS

• Si a = –1 → ran (A) = ran (A' ) = 3 < n-º incógnitas. El sistema es compa-tible indeterminado. Para resolverlo, podemos prescindir de la 4-ª ecuación y pa-sar la t al 2º miembro:

x = = = ; y = = =

z = = =

Soluciones: x = , y = , z = , t = λ

• Si a ≠ –1 → ran (A) = 3 ≠ ran (A' ) = 4. El sistema es incompatible.

b)

A' = ( )A

|A|= = a = a =

= a = a · a2 = a3 = 0 → a = 0


A' = ( ) Incompatible

• Si a ≠ 0 → ran (A) = ran (A') = n-º incógnitas = 4. El sistema es compatibledeterminado. Lo resolvemos:

x = = = 2a + 1a2

(2a + 1)aa3

1 0 1 11 a 1 –12 a 1 –20 0 a –1

a3

→ z = 1→ z = 2→ t = 0

0 0 1 1 10 0 1 –1 10 0 1 –2 20 0 0 –1 0

a 10 a

a 1 –10 0 –10 a –1

1-ª

2-ª – 1-ª

3-ª

a 1 –1a 1 –20 a –1

a 0 1 10 a 1 –10 a 1 –20 0 a –1

a 0 1 1 10 a 1 –1 10 a 1 –2 | 20 0 a –1 0

ax + z + t = 1ay + z – t = 1ay + z – 2t = 2

az – t = 0

–8 + 5λ3

4 – 4λ3

5 – 2λ3

–8 + 5t3

8 – 5t–3

1 1 3 – 2t

3 –1 1 + t 2 1 2 – t

–3

4 – 4t3

4t – 4–3

1 3 – 2t 0

3 1 + t 1 1 2 – t 1

–3

5 – 2t3

2t – 5–3

3 – 2t 1 0

1 + t –1 1 2 – t 1 1

–3

x + y = 3 – 2t3x – y + z = 1 + t2x + y + z = 2 – t


FILAS

y = = =

z = = =

t = = = –1

Soluciones: x = , y = , z = , t = –1

50 Discute los siguientes sistemas según los valores de los parámetros que con-tienen:

a) b)

c) d)

a)A' = ( )

A

|A| = 5a = 0 → a = 0


A' = ( ); = 5 ≠ 0; = 5b + 20 = 0 → b = –4

A

• Si a = 0 y b = –4 → ran (A) = ran (A' ) = 2 < n-º incógnitas. El sistema escompatible indeterminado.

• Si a = 0 y b ≠ –4 → ran (A) = 2 ≠ ran (A' ) = 3. El sistema es incompa-tible.

1 –1 22 3 –84 1 b

1 –12 3

1 –1 1 22 3 –2 | –84 1 0 b

1 –1 1 22 3 –2 | –84 1 a b

x – y + z = 22x + 3y – 2z = –84x + y + az = b

ax + y – z = b – 12x + ay = b + 1–x + z = b

x– 3y + z = ax – z = bx + z = c

x + y + z = a – 12x+ y + az = ax + ay + z = b

x – y + z = 22x+ 3y – 2z = –84x + y + az = b

–1a

1a2

2a + 1a2

–a3

a3

a 0 1 10 a 1 10 a 1 2 0 0 a 0

a3

–1a

–a2

a3

a 0 1 10 a 1 –10 a 2 –20 0 0 –1

a3

1a2

aa3

a 1 1 10 1 1 –10 2 1 –20 0 a –1

a3


• Si a ≠ 0 → ran (A) = ran (A' ) = n-º incógnitas = 3. El sistema es compati-ble determinado, cualquiera que sea el valor de b.

b)A' = ( )

A

|A| = –(a – 1)(a – 2) = 0


A' = ( ) Contradictorias, a no ser que b = 0.

— Si a = 1 y b ≠ 0 → Sistema incompatible.

— Si a = 1 y b = 0, queda:

A' = ( ). La primera fila y la tercera son iguales.

≠ 0 → ran (A) = ran (A' ) = 2 < n-º incógnitas.



A' = ( ) La primera y la tercera columnas son iguales.

≠ 0 → ran (A) = 2

= –(b – 1) = 0 → b = 1

— Si a = 2 y b ≠ 1 → ran (A) = 2 ≠ ran (A' ) = 3 → Sistema incom-patible.

— Si a = 2 y b = 1 → ran (A) = ran (A' ) = 2 < n-º incógnitas → El sis-tema es compatible indeterminado.

— Si a ≠ 1 y a ≠ 2 → ran (A) = ran (A' ) = 3 = n-º incógnitas → El sis-tema es compatible determinado para cualquier valor de b.

1 1 12 1 21 2 b

1 12 1

1 1 1 12 1 2 | 21 2 1 b

1 12 1

1 1 1 02 1 1 | 11 1 1 0

1 1 1 02 1 1 | 11 1 1 b

a = 1a = 2

1 1 1 a – 12 1 a | a1 a 1 b

x + y + z = a – 12x + y + az = ax + ay + z = b


←

←

c)A' = ( )

A

|A| = 6 ≠ 0 → ran (A) = ran (A' ) = n-º incógnitas → El sistema es compati-ble determinado para cualquier valor de a, b y c.

d)A' = ( )

A

|A| = a2 – a – 2 = 0


A' = ( ) ≠ 0 → ran (A) = 2

= –3b = 0 → b = 0

— Si a = –1 y b ≠ 0 → ran (A) = 2 ≠ ran (A' ) = 3 → Sistema in-compatible.

— Si a = –1 y b = 0 → ran (A) = ran (A' ) = 2 < n-º incógnitas → Elsistema es compatible indeterminado.


A' = ( ) ≠ 0 → ran (A) = 2

= 3b – 3 = 0 → b = 1

— Si a = 2 y b ≠ 1 → ran (A) = 2 ≠ ran (A' ) = 3 → Sistema incom-patible.

2 1 b – 12 2 b + 1–1 0 b

2 12 2

2 1 –1 b – 12 2 0 | b + 1–1 0 1 b

–1 1 b – 12 –1 b + 1–1 0 b

–1 12 –1

–1 1 –1 b – 12 –1 0 | b + 1–1 0 1 b

a = –1a = 2

a 1 –1 b – 12 a 0 | b + 1–1 0 1 b

ax + y – z = b – 12x + ay = b + 1–x + z = b

1 –3 1 a1 0 –1 | b1 0 1 c

x – 3y + z = ax – z = bx + z = c


— Si a = 2 y b = 1 → ran (A) = ran (A' ) = 2 < n-º incógnitas → El sis-tema es compatible indeterminado.

— Si a ≠ –1 y a ≠ 2 → ran (A) = ran (A' ) = 3 = n-º incógnitas → Elsistema es compatible determinado para cualquier valor de b.

51 Calcula los valores de a y b para los cuales este sistema tiene infinitas so-luciones. Resuélvelo para esos valores:

a) b)

a)A' = ( )

A

|A| = a3 – 3a + 2 = (a – 1)2 (a + 2) = 0


A' = ( )A

— Si a = 1 y b = 1 → ran (A) = ran (A' ) = 1 → Compatible indeter-minado.

x + y + z = 1 → x = 1 – y – z. Soluciones: x = 1 – λ – µ; y = λ; z = µ

— Si a = 1 y b ≠ 1 → Incompatible.


A' = ( )A

= 3 → ran (A) = 2 = 3b + 6 = 0 → b = –2

— Si a = –2 y b = –2 → ran (A) = ran (A' ) = 2 → Compatible inde-terminado.

–2x + y = 1 – zx – 2y = –2 – z

–2 1 11 –2 b1 1 1

–2 11 –2

–2 1 1 11 –2 1 | b1 1 –2 1

1 1 1 11 1 1 | b1 1 1 1

a = 1a = –2

a 1 1 11 a 1 | b1 1 a 1

ax + y + z = 1x + ay + z = bx + y + az = 1

ax + y + z = 4x + y + z = –bx – ay + z = b

ax + y + z = 1x + ay + z = bx + y + az = 1


x = = = z; y = = = = 1 + z

Soluciones: x = λ, y = 1 + λ, z = λ

— Si a = –2 y b ≠ –2 → ran (A) = 2 ≠ ran (A' ) = 3 → Incompatible.

— Si a ≠ 1 y a ≠ –2 → ran (A) ≠ ran (A' ) = n-º incógnitas = 3. El sis-tema es compatible determinado.

b)A' = ( )

A

|A| = (a + 1) (a – 1) = 0


A' = ( ) Contradictorias a no ser que b = –b → b = 0

— Si a = –1 y b ≠ 0 → Sistema incompatible.

— Si a = –1 y b = 0, queda:

A' = ( ). La 2-ª y 3-ª filas son iguales.

≠ 0 → ran (A) = ran (A' ) = 2 < n-º incógnitas → Sistemacompatible indeterminado.

Sumando las dos ecuaciones:

2y = 4 – 2z →

Soluciones: x = –2, y = 2 – λ, z = λ


A' = ( ) Contradictorias a no ser que –b = 4 → b = –41 1 1 41 1 1 | –b1 –1 1 b

y = 2 – zx = –z – y = –z – 2 + z = –2

–x + y = 4 – zx + y = –z

–x + y + z = 4x + y + z = 0

–1 11 1

–1 1 1 41 1 1 | 01 1 1 0

–1 1 1 41 1 1 | –b1 1 1 b

a = –1a = 1

a 1 1 41 1 1 | –b1 –a 1 b

ax + y + z = 4x + y + z = –bx – ay + z = b

3(z + 1)3

3z + 33

–2 1 – z 1 –2 – z

33z3

1 – z 1 –2 – z –2

3


←←

←←

— Si a = 1 y b ≠ –4 → Sistema incompatible.

— Si a = 1 y b = –4, queda:

A' = ( ) La primera y segunda filas son iguales.

≠ 0 → ran (A) = ran (A' ) = 2 < n-º incógnitas → Sistemacompatible indeterminado.

Sumando las dos ecuaciones:

2x = – 2z →

Soluciones: x = –λ, y = 4, z = λ

• Si a ≠ –1 y a ≠ 1 → ran (A) = ran (A' ) = n-º incógnitas → Sistema com-patible determinado para cualquier valor de b.

52 Discute en función de λ y µ:

A' = ( )A

|A|= λ2 – 4 = 0

• Si λ = 2, queda:

A' = ( )A

= 2 ≠ 0 → ran (A) = 2; = –2µ + 4 = 0 → µ = 2

— Si λ = 2 y µ = 2 → ran (A) = ran (A' ) = 2. Compatible indetermi-nado.

— Si λ = 2 y µ ≠ 2 → ran (A) = 2 ≠ ran (A' ) = 3. Incompatible.

3 2 13 2 µ – 12 2 2

3 22 2

3 3 2 13 3 2 | µ – 12 2 2 2

λ = 2λ = –2

λ + 1 3 λ 13 λ + 1 2 | µ – 1λ 2 λ 2

(λ + 1)x + 3y + λz = 13x + (λ + 1)y + 2z = µ – 1λx + 2y + λz = 2

(λ + 1)x + 3y + λz = 13x + (λ + 1)y + 2z = µ – 1λx + 2y + λz = 2

x = –zy = 4 – z – x = 4 – z + z = 4

x + y = 4 – zx – y = –4 – z

x + y + z = 4x – y + z = –4

1 11 –1

1 1 1 41 1 1 | 41 –1 1 –4


S

• Si λ = –2, queda:

A' = ( )A

= –8 ≠ 0 → ran (A) = 2 = –4µ – 8 = 0 → µ = –2

— Si λ = –2 y µ = –2 → ran (A) = ran (A' ) = 2. Compatible indeter-minado.

— Si λ = –2 y µ ≠ –2 → ran (A) = 2 ≠ ran (A' ) = 3. Incompatible.

• Si λ ≠ 2 y λ ≠ –2 → ran (A) = ran (A' ) = 3. Compatible determinado, cual-quiera que sea el valor de µ.

PARA PENSAR UN POCO MÁS

53 Dada la matriz: A = (aij) = ( )a) Halla la matriz (Aij) formada por los adjuntos de los elementos de A.

b) Calcula A = aij y Aij y halla una relación entre ellos.

a) (Aij) = ( ) b)|A|= |aij|= –13

|Aij|= 169 = (–13)2 = |A|2

54 En general, ¿qué relación existe entre el determinante de una matriz A, deorden 3 × 3, y el determinante de la matriz formada por sus adjuntos? Parademostrarlo, ten en cuenta que: A · B = A B y la expresión de A–1.

• Sabemos que el determinante de una matriz coincide con el de su traspuesta:

|Aij|= |Aji|.

• Por otra parte, tenemos que (suponemos que existe A–1):

A–1 = (Aji) → |A–1|= ( )3 · |Aji|= · |Aij|= |A–1|

• También sabemos que:

A · A–1 = I → |A|· |A–1|= |I|= 1 → |A–1|= 1|A|

1|A|3

1|A|

1|A|

–4 5 31 2 –4–4 –8 3

2 –1 03 0 42 1 1

–1 3 13 –1 µ – 1–2 2 2

–1 33 –1

–1 3 –2 13 –1 2 | µ – 1–2 2 –2 2


• Uniendo las dos igualdades obtenidas, tenemos que:

= · |Aij| → |Aij|= |A|2 (A de orden 3 × 3)

55 Si A es una matriz cuadrada n × n, da el valor de Aij en función de A.

Con el mismo razonamiento que hemos seguido en el ejercicio anterior, llegamos aque si A es n × n:

|A–1|= |Aij|

→ |Aij|= |A|n – 1

|A–1|= 1|A|

1|A|n

1|A|3

1|A|


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