EXTREMADURA Selectividad MATEMÁTICAS II sep 12
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PPP...AAA...UUU... 222000111111---222000111222
SSSeeeppptttiiieeemmmbbbrrreee MATEMÁTICAS II
OOOpppccciiióóónnn AAA 1
a) Al sustituir x por 0 surge la indeterminación:
)·(0·lnlim0
xxx
Y así podemos reescribir el límite:
x
xxx
xx 1ln
lim·lnlim00
Que podemos resolver aplicando la regla de L´Hôpital:
xx
x
x
x
x
xxx
xxxxx 0
2
02
000limlim
1
1lim
1ln
lim·lnlim 0
b) En los extremos relativos la recta tangente es horizontal y por tanto se anula la primera derivada,
lo cual nos vale para determinar los puntos críticos:
1
1ln
01ln
0)(
ex
x
x
xf
Qué al sustituir en la segunda derivada (x
xf1
)( ), resulta 0)( 1 eef , luego en el punto
))(,(),( 11 efeyx existe un mínimo de la función, en concreto:
min f(x) en (x,y)=(e-1 ,-e-1) La función tendría asíntota horizontal si tuviera limite finito y según se observa:
··lnlim xxx
Luego no hay asíntotas horizontales No hay asíntotas verticales dado que en la única discontinuidad (x=0) el límite es finito. Para las asíntotas oblicuas de ecuación y=ax+b, se procede:
xx
xx
x
xfa
xxxlnlim
·lnlim
)(lim
Luego no hay asíntotas oblicuas Para el estudio del signo de la función consideramos los intervalos marcados por las
discontinuidades y los puntos de corte con el eje x (calculados según 1;0·ln;0)( xxxxf , es decir en (x,y)=(1,0)) quedando la recta real dividida en dos
intervalos, esto es (0,1) y (1,∞), con lo que basta con evaluar f(x) en cada uno de ellos, por ejemplo tomando un punto, y así 347,0)5,0( f y podemos afirmar que f(x) es negativa
en (0,1) y 386,1)2( f y f(x) es positiva en (1,∞).
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c) De acuerdo con los datos obtenidos anteriormente, un esbozo de f(x) sería:
2 a) Se dice que una función F(x) es primitiva de otra función f(x) si se verifica que F´(x)=f(x) b) Para el cálculo de la primitiva procederemos calculando la integral:
dxxxdxxfxF 1·)()(
Utilizando el cambio de variable indicado obtenemos:
1 xt 12 tx tdtdx 2 Que al sustituir en la integral:
Ctt
dttdttdttttdtttdxxx 32
5222222·)·1(1·
3524242
Y al deshacer el cambio de variable resulta:
C
xxxF
3
12
5
12)(
35
Y sabiendo que 0)1( F
0
03
112
5
112
35
C
C
Con lo que la primitiva buscada es:
3
12
5
12)(
35
xxxF
3 Si 32B , como 2·2 AB , entonces:
32·2 2 A
De acuerdo con las propiedades de los determinantes nn
n MkMk ·· y como A2 es de orden 3:
32·2 23 A
Como A2=A·A y sabiendo que el determinante de un producto de matrices es igual al producto de los
determinantes: NMNM ·· , resulta:
32·223 A
Luego:
22
323
A
Así que desarrollando el determinante de la matriz A, por ejemplo aplicando la regla de Sarrus:
y
x
f(x)
(1,0)
(e-1,-e-1)
P.A.U. 2011-12
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2320002
201
011
1
aaa
aa
A
Qué igualando al valor calculado: 223 a 223 a
De donde resultan las soluciones a1=4/3 y a2=0 4 Obtengamos sendas expresiones para el cálculo del parámetro c: Distancia de P a π: El problema se reduce a la distancia de P a su proyección ortogonal sobre el
plano (P´), para determinar ésta construimos la recta r que pasa por P y es perpendicular a π, por lo que el vector normal del plano sirve como vector director de la recta y así:
cz
y
x
r 0 , que al sustituir en la ecuación del plano:
2
1;1
cc
, lo cual permite el cálculo de P´ sin más que sustituir en
la ecuación de la recta r, resultando
2
1,0,
2
1 ccP , y así
ccccc
PPdd PPP
12
1
2
10
2
1
2
1,0,
2
12
22
,,
Área del triángulo ABP: El área del triángulo es la mitad del módulo del producto vectorial de dos vectores de origen común, por ejemplo:
122
11,,
2
1
011
012
10,1,1,0,1
2
1
2
1 2
cccc
kji
cABAPAtriángulo
Igualando ambas expresiones:
122
11
2
1 2 cc
De donde surge la solución c=1/4.
N
P
r
P
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OOOpppccciiióóónnn BBB 1
a) Como el dominio de la función es toda la recta real carece de asíntotas verticales Para las asíntotas horizontales calculamos:
0lim)(lim2
eexf x
xx, luego presenta una asíntota horizontal en y=0 cuando x tiende a
infinito
0lim)(lim2
eexf x
xx, luego presenta una asíntota horizontal en y=0 cuando x tiende a
menos infinito Carece de asíntotas oblicuas por ser incompatibles con las horizontales.
b) En los extremos relativos la recta tangente es horizontal y por tanto se anula la primera derivada,
lo cual nos vale para determinar los puntos críticos:
0
02
0)(2
x
xe
xfx
Qué al sustituir en la segunda derivada (22 242)( xx exexf ), resulta 02)0( f , luego en
el punto ))0(,0(),( fyx existe un máximo de la función, en concreto:
máx f(x) en (x,y)=(0 ,1) En los puntos de inflexión se anula la segunda derivada al invertirse el ritmo de crecimiento de la
recta tangente, así:
2
1
0)42(
0)·42(
042
0)(
2
2
2
2
22
x
x
ex
exe
xf
x
xx
Luego los puntos de inflexión se sitúan en
))21(,21(),( fyx y en
))21(,21(),( fyx , en concreto:
Los puntos de inflexión son: )1,21(),( eyx y
)1,21(),( eyx
c) De acuerdo con lo anteriormente calculado un esbozo de la función sería como en la figura:
y
x
f(x)
(0,1)
(-2-1/2,e-1/2) (2-1/2,e-1/2)
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2 La fórmula de la integración por partes es vduvuudv · . El cálculo de la primitiva se realiza
mediante la integral:
senxdxxdxxfxF ·1)()( 2
Adquiriendo la notación:
xvsenxdxdv
dxxduxu
cos
121integrando
derivando2
Y de la aplicación de la fórmula surge:
xdxxxxdxxxxxxF cos12cos11·2·coscos1)( 22
Sobre la cual volvemos a aplicar el método:
senxvxdxdv
dxduxu
integrando
derivando
cos
1
Con lo que resulta:
CxsenxxxxxF
senxdxsenxxxxxF
cos2)1(2cos1)(
12cos1)(
2
2
Y como 1)0( F :
0
121
10cos20)10(20cos10 2
C
C
Csen
Luego la primitiva buscada es:
xsenxxxxxF cos2)1(2cos1)( 2
3 Si la igualdad se cumpliera entonces:
11
11··
11
21
xz
yx
xz
yx
Operando:
xzxz
yxyx
xyzx
xyzx 22
E igualando término a término surge el sistema de ecuaciones:
02
00
02
02
zyx
yx
yx
Que es un sistema homogéneo (siempre compatible) cuya matriz de coeficientes, una vez eliminada la ecuación trivial (0=0) queda:
021
012
112
cuyo determinante es distinto de cero, por lo que es de rango 3, coincidiendo con el de la ampliada y con el número de incógnitas, por lo que se trata de un sistema compatible determinado y por tanto sólo cabe la solución trivial (x,y,z)=(0,0,0), por lo que tal matriz X no existe.
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4 a) Dados los tres puntos A, B y P podemos determinar la ecuación general del plano trazando el
vector genérico zyxAX ,,1
y los vectores 0,1,1
AB y cAP ,0,1
, que han de
ser linealmente dependientes, luego:
0
01
011
1
c
zyx
Y así el plano buscado es 0 czcycx cuyo vector normal es 1,,ccN
Para cálculos posteriores necesitaremos el vector director de la recta (u ), que podemos obtener como el producto vectorial de los vectores normales de los planos secantes que son sus ecuaciones implícitas:
2,1,1
102
011
kji
u
b) Si r y π son paralelos el vector director de r y el normal del plano son perpendiculares y el producto escalar de ambos es nulo:
022
01,,)·(2,1,1
0·
c
cc
Nu
por lo que c = -1 c) Si r y π son perpendiculares el vector director de r y el normal del plano son paralelos y por lo
tanto también son proporcionales:
2
1
1
1,,·2,1,1
·
c
c
cc
Nu
Luego c = 1/2
N
ru
N
r
u