Eym3e Dipolo Plejanos - UPM · • Se denomina cuadripolo a la asociación de tres cargas de...
Transcript of Eym3e Dipolo Plejanos - UPM · • Se denomina cuadripolo a la asociación de tres cargas de...
Electricidad y Magnetismo Curso 2010/2011
Campo y potencial eléctrico en puntos alejados:
dipolo, momento dipolar, polarización de materiales 1
Electrostática
• Definición
• Los conductores en electrostática.
• Campo de una carga puntual.
• Aplicaciones de la Ley de Gauss
• Integrales de superposición.
• Potencial electrostático
– Definición e Interpretación. Integrales de superposición.
– Ecuaciones de Poisson y Laplace. Condiciones de Interfase.Condicionesde regularidad. Teorema de unicidad, teorema del valor medio.
• Campo y potencial eléctrico en puntos alejados: dipolo, momento dipolar, polarización de materiales.
• Método de las imágenes.
• Sistemas de conductores. Condensadores.
• Energía y Fuerzas.
EyM 3c-1J.L. Fernández Jambrina
• Se denomina dipolo a una configuración de doscargas iguales y de signos opuestos.
– Considérese la configuración de la figura.Por superposición el potencial será
– En cartesianas:
Dipolo
−=Φ
−+ rr
q 11
4πε
( ) ( )
+++−
−++=Φ
2222222
1
2
1
4 dzyxdzyx
q
πε
:
d/2
d/2
q
-qx
y
z
rr++++
rr−−−−
r
d
θθθθ
P
EyM 3c-2J.L. Fernández Jambrina
• En realidad el par de cargas iguales y de signo opuestode la situación anterior se denomina dipolo cuando se observan sus efectos a distancias mucho mayores que la separación entre las cargas, d.
• Para aproximar el potencial en dicha situación:
• Por tanto:
• y llamando al vector que une -q y +q queda:
Potencial y Campo Lejanos
21
21
cos2
1cos2
22
22
2
−
+=
−
+=+ θθr
d
r
dr
dr
drr
21
21
cos2
1cos2
22
22
2
+
+=
+
+=− θθr
d
r
dr
dr
drr
+≈+
θcos2
111
r
d
rr
−≈−
θcos2
111
r
d
rr
24
coscos
1
4
11
4 r
qd
r
d
r
q
rr
q
πεθ
=
θπε
≈
−
πε=Φ
−+
( )32
44
ˆ
r
rdq
r
rdqr r
rrr
r
πε
⋅=
πε⋅
=Φdr
d/2
d/2
q
-qx
y
z
rr++++
rr−−−−
r
d
θθθθ
P
EyM 3c-3J.L. Fernández Jambrina
• El vector es una constante propia de la distribución de cargas que se denomina momento dipolar o potencia del dipolo.
• En función del momento dipolar:
• Y el campo:
– Como
• Resulta:
Momento Dipolar
dqprr
=
34 r
rpr
rr
πε
⋅=Φ
( ) ( ) ( )
∇⋅+⋅∇−=
⋅∇−=−∇=
333
11
4
1
4
1
rrprp
rr
rpE
rrrrrr
r
πεπεφ
( ) ( ) ( ) ( )pzpypxpz
zy
yx
xzpypxprp zyxzyx
r44 844 76
rr=++=
•+
•+
•=
•++∇=⋅∇ ˆˆˆˆˆˆ
∂∂
∂∂
∂∂
533
3ˆ
11
r
rr
rrr
r−
=
=
∇∂∂
( )
−⋅
= pr
rrp
rE
rrrr
r
23
3
4
1
πεEyM 3c-4
J.L. Fernández Jambrina
• Si:
– Por simetría el campo no tiene componente φ.
–
–
• El potencial y el campo varían con r como 1/r2 y 1/r3
respectivamente.
• Satisfacen las condiciones de regularidad en el infinito:
Componentes del Campo
( )θ
πεπεπεcos
24
ˆ2ˆ
3
4
1ˆ
3323 r
p
r
rprp
r
rrp
rrEE z
r =⋅
=⋅
−⋅
=⋅=r
rrrr
r
( )θ
πεπεθ
θπε
θθ sen44
ˆˆ3
4
1ˆ3323 r
p
r
pp
r
rrp
rEE z=
⋅−=⋅
−⋅
=⋅=r
rrrr
r
( ) 01
limlim2
=
=∞→∞→ rrrr
rrφ ( ) 0
1limlim
3
22 =
=∞→∞→ rrrEr
rr
zpzqdp zˆˆ ==
r
$ cos $ sen $z r= −θθθθ θθθθθθθθ
EyM 3c-5J.L. Fernández Jambrina
Representación gráfica del potencial y campo creados por un dipolo eléctrico.
Er
1 0.5 0 0.5 1
1
0.5
0
0.5
1
Φ
+1
+2
+0
-1-2
1 0.5 0 0.5 1
1
0.5
0
0.5
1
zppzˆ=
r Se ha cubierto la zona del origen porque
en ella los resultados no son válidos.EyM 3c-6
J.L. Fernández Jambrina
Electricidad y Magnetismo Curso 2010/2011
Campo y potencial eléctrico en puntos alejados:
dipolo, momento dipolar, polarización de materiales 2
+σ
−σ
θθθθ0R
z
x
y
S1
S2
( ) 0cos2cos22
0
2
0=⋅⋅⋅−+⋅⋅⋅= RRq θπσθπσ
( )∫∫∫∫∫∫ −+==21 SS
S dSrdSrdSrprrrr
σσρ
ϕθθθϕθϕθ ddRdSzRyRxRr senˆcosˆsensenˆcossen2=++=
r
0
230
2
3
2
0
3
0
2
0
3
sen2ˆ2
sen22ˆ
sencossencosˆ0
0
θπσθ
πσ
φθθθφθθθσπ
θπθ
π
φ
θ
θ
π
φ
RzRz
ddRddRzp
=⋅⋅=
−= ∫ ∫∫ ∫ −= == =
r
( ) ( )[ ]zr
RE
r
Rr ˆ1cos3ˆsencos3
2
sen
2
cossen 2
3
0
23
2
0
23
−+==Φ θρθθε
θσε
θθσ rr
Ejemplo: Dos casquetes de carga de signo opuesto.
• Se desea obtener el potencial y el campo lejanos (r>>R) de dos casquetes de carga sobre una esferade radio R como se indica en la figura.
– La carga neta es nula:
– El momento dipolar se calcula así:
» Al integrar en j se cancelan las componentes x e y (simetría):
– Y los resultados pedidos se obtiene por sustitución en las expresiones:
EyM 3c-7J.L. Fernández Jambrina
• Se denomina cuadripolo a la asociación de tres cargas de valores -q, -q y 2q dispuestas como se muestra:
– Esta configuración es equivalente a dos dipolos de sentidos contrarios.
– Con la aproximación del dipolo el potencial es nulo.
– Tomando más términos en el desarrollo:
– El potencial en puntos lejanos será:
Cuadripolo
d
d
-q
-q
x
y
z
rrθθθθ
P
+2q
rp
rp
rr1
rr2
3344 r
rp
r
rp
πεπε
rrrr⋅−
+⋅
=Φ
−
++≈ 1cos2
3cos
21
11 2
2
1
θθr
d
r
d
rr
−
+−≈ 1cos2
3cos
21
11 2
2
2
θθr
d
r
d
rr
( ) ( )θπεπεπεπε
2
3
2
21
cos314444
2−=
−+
−+=Φ
r
qd
r
q
r
q
r
qrr
EyM 3c-8J.L. Fernández Jambrina
Desarrollo multipolar del Potencial.
• Partiendo del potencial de una distribución de dimensiones finitas:
• En puntos lejanos:
– El potencial en puntos lejanos está controlado por la carga total.
– Si la carga total es nula, por el momento dipolar:
– Si el momento dipolar también es nulo, por momentos de orden superior.
( ) ( )Vd
rr
rr
V′
′−
′=Φ ∫∫∫ rr
rr ρ
πε41
( ) ( )[ ] [ ]
+′⋅
+≈
′⋅−
′+=
=′⋅−′+=′−⋅′−=′−−
−−−
L
rrrr
rrrrrrrr
22
2
221
112
11
2
21
21
21
r
rr
rr
rr
r
r
r
rrrrrrrrrr
( ) ( ) ( )
( ) ( ) L
rr
L
44 344 21r
rrr
43421
r
L
rrr
rr
rr
+⋅
+=+′′⋅+′≈
+′⋅
+′
≈′−
′=Φ
∫∫∫∫∫∫
∫∫∫∫∫∫
33
2
4
1
4
1'
4
1'
1
4
1
'14
1'
4
1
r
rp
r
q
p
dvrrr
r
q
dvrr
dvr
rr
r
rdv
rr
rr
VV
VV
πεπερ
περ
πε
ρπε
ρπε
( )∫∫∫ ′′′=V
Vdrrprrr
ρ
EyM 3c-9J.L. Fernández Jambrina
Condición de punto lejano.
• Se ha supuesto que un punto es lejano si:
• Esta condición depende claramentedel origen de coordenadas.
• Solución:
– Hacer los cálculos con unorigen de coordenadas próximo a la distribución y hacer un cambio de origen:
– La nueva condición es:
– es un vector de posición un punto arbitrario de la distribución.
– La expresión resultante para el campo eléctrico es:
rr ′>>rr
( ) ( ) ( )
−
−⋅+
−=Φ
−=→
⋅+=Φ
3
1
3
1
1
1
114
1
4
1
d
d
d
d
rr
rrp
rr
qr
rrr
r
rp
r
qr
rr
rrr
rrr
rrr
r
rr
rr
πεπε
( ) ( ) ( )[ ]( )
−−
−
−−⋅+
−
−=
353
3
4
1
dd
dd
d
d
rr
p
rr
rrrrp
rr
rrqrE rr
r
rr
rrrrr
rr
rrrr
πε
ondistribuci la dedimension maxima1
>>−= drrrrrr
O1
O
rr
r′r1
r′r
rr1
rrd
drr
EyM 3c-10J.L. Fernández Jambrina
Invarianza del momento dipolar.
• El momento dipolar no depende del origen de coordenadas escogido siempre que la carga total de la distribución sea nula.
( ) ( )[ ] ( )[ ]
( ) ( ) ( ) 111
11111
111
1
11111
11111
111
11
1
prqp
q
dVrrpdVrr
p
dVrr
dVrrrdVrr
r
rrdVrrp
dV
dV
dV
Vd
Vdd
V
rrr
4434421
rrrrr
44 344 21r
rr
rrrrr
43421r
rrrrr
=+=+=+=
=+=++==
∫∫∫∫∫∫∫∫∫
∫∫∫∫∫∫∫∫∫
ρρρ
ρ
ρ
ρρ
O1
Odrrrrrr
+=1
1rr
drr
EyM 3c-11J.L. Fernández Jambrina
Cargas ligadas.
• Si representa un dieléctrico neutro por las cargas que existen en su interior en el vacío: Las cargas ligadas.
• En presencia de un campo eléctrico las cargas se desplazan: el dieléctrico se polariza.
• Cada elemento básico del dieléctrico: átomo, molécula, dominio...se convierte en un dipolo eléctrico
– Se puede definir una densidad de momento dipolar por unidad de volumen: el vector polarización.
+-
+-
+-
+-
+-
+-
r
E = 0 +-r
E ≠ 0
+-
+-
+-
+-
+-
dV
pd
V
p
VlimP
rrr
=∆∆
→∆=
0
EyM 3c-12J.L. Fernández Jambrina
Electricidad y Magnetismo Curso 2010/2011
Campo y potencial eléctrico en puntos alejados:
dipolo, momento dipolar, polarización de materiales 3
Cargas ligadas. (2)
• El potencial creado por las cargas ligadas se puedeexpresar como la integral de superposición:
• Donde se ha aplicado que:
• Como:
• Resulta:
( ) ( ) ( ) ( )∫∫∫∫∫∫ ′
′−∇′⋅′=′
′−
′−⋅′=Φ
VVVd
rrrPVd
rr
rrrPr rr
rr
rr
rrrr
r 1
4
1
4
1
0
3
0πεπε
′−−∇=
′−
′−=
′−∇′
rrrr
rr
rrrrrr
rr
rr11
3
( ) ( ) ( )
′−∇′⋅′+
′−
′⋅∇′=
′−
′⋅∇′
rrrP
rr
rP
rr
rPrr
rr
rr
rr
rr
rr
1
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )∫∫∫∫∫
∫∫∫∫∫
∫∫∫∫∫∫
′′−
′⋅∇−+′
′−
′⋅′=
=′′−
′⋅∇′−+
′−
′⋅′=
=′′−
′⋅∇′−+′
′−
′⋅∇′=Φ
VS
VS
VV
Vdrr
rPSd
rr
nrP
Vdrr
rP
rr
SdrP
Vdrr
rPVd
rr
rPr
rr
rr
rr
rr
rr
rr
rr
rrr
rr
rr
rr
rr
r
00
00
00
4
1ˆ
4
1
4
1
4
1
4
1
4
1
πεπε
πεπε
πεπε
Vε0
r
Pε0
O
rr
r′r
dV’
EyM 3c-13J.L. Fernández Jambrina
Cargas ligadas. (3)
• Interpretación:
– Las cargas ligadas del dieléctrico son equivalentes a:
» Una densidad volumétrica de carga ligada:
» Una densidad superficial de carga ligadasituada en su superficie:
( ) ( )( )
( )( )
∫∫∫∫∫ ′′−
′
′⋅∇−+′
′−
′
′⋅′=Φ
VS
S
Vdrr
r
rPSd
rr
r
nrPr rr
48476
r
rr
rr
48476
r
rr
r
ρ
πε
ρ
πε 00 4
1ˆ
4
1
SLigadaS nP ˆ, ⋅=
r
ρ
PLigada
r
⋅−∇=ρ
Nota: El efecto de las cargas ligadas queda representado por ε
Vε0
r
Pε0
Vε0
ρ = −∇ ⋅r
P
ρSS
n P= ⋅$r
ε0
Vε
ε0
EyM 3c-14J.L. Fernández Jambrina
Cargas ligadas. (4)
• El desarrollo anterior es válido para puntos exteriores al dieléctrico.Para puntos interiores se puede dividir el volumen de integración en dos:
– Una esfera de radio δ centrada en el punto de evaluación.
– El resto.
• La dificultad está en la esfera de radio δ: puede no converger.– Escogiendo un origen de coordenadas en el centro de la esfera:
– Tomando módulos:
– Calculando el límite cuando δ →0:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫∫∫∫∫∫ ′
′−
′−⋅′+′
′−
′−⋅′=Φ
− δδ πεπε VVVVd
rr
rrrPVd
rr
rrrPr
3
0
3
04
1
4
1rr
rrrr
rr
rrrr
r
( ) ( ) ( )∫∫∫∫∫∫ ′′′′′
′
′⋅′−−′=′
→′′−
′−⋅′δδ
ϕϑθπεπε V
ppppp
p
ppp
Vddrdr
r
rrPrrr
Vdrr
rrrPsen
4
1
4
1 2
3
0
3
0
r
r
rrrrrr
rr
rrrr
( ) ( )( )p
Vpppp
p
pp
Vppppp
p
pprPmaxddrd
r
rrPmaxddrdr
r
rrP′=′′′′
′
′′≤′′′′′
′
′⋅′∫∫∫∫∫∫
rr
r
rrr
r
r
rrr
πδϕϑθϕϑθδδ
4sensen2
3
EyM 3c-15J.L. Fernández Jambrina
Cargas ligadas. (5)
– Calculando el límite cuando δ →0:
– Luego la integral converge y por tanto:
– Por lo que resultados también son válidos para el interior del dieléctrico.
( )( ) 04
0sen
0
2
3=′
→≤′′′′′
′
′⋅′
→ ∫∫∫ rPmaxlimddrdrr
rrPlim
Vppppp
p
pp rrr
r
rrr
πδδ
ϕϑθδ δ
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )∫∫∫∫∫∫
∫∫∫∫∫∫
′′−
′−⋅′=′
′−
′−⋅′
→=
=
′
′−
′−⋅′+′
′−
′−⋅′
→=Φ
−
−
VVV
VVV
Vdrr
rrrPVd
rr
rrrPlim
Vdrr
rrrPVd
rr
rrrPlimr
3
0
3
0
3
0
3
0
4
1
4
1
0
4
1
4
1
0
rr
rrrr
rr
rrrr
rr
rrrr
rr
rrrr
r
πεπεδ
πεπεδ
δ
δδ
EyM 3c-16J.L. Fernández Jambrina