F Encuentre H(s)= V2( ) C1y grafique la respuesta de ...
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Encuentre H(s)= V2(𝑠)
𝑉1(𝑠) y grafique la respuesta de amplitud y fase
V1(s). Muestre que la amplitud pico y la fase ocurren en W=2 [𝑟𝑎𝑑
𝑠].
Solución
LEYES DE ELEMENTOS
VR= RiR ∑ 𝑎𝑛𝑑𝑛𝑣2
𝑑𝑡𝑛 = ∑ 𝑏𝑛 𝑑𝑛
𝑑𝑡𝑛𝑛𝑛=0
2𝑛=0 𝑣1
iC = 𝐶𝑑𝑉𝐶
𝑑𝑡
LEYES DE CONJUNTO
i1=i2+i3 (1)
V1=2i1 + VC1 (2)
V1
R1
2kΩ
C10.16 F
C2
0.5 F
R2
9kΩ
V2
V1
R1
2kΩ
C10.16 F
C2
0.5 F
R2
9kΩ
V2
I1
I2 I3
+ -
+ +
--
-+
VC1 = VC2 + 9i3 (3)
V = 9i3 (4)
DERIVANDO A (3)
𝑑𝑉𝐶1
𝑑𝑡 =
𝑑𝑉𝐶2
𝑑𝑡 + 9 𝑑𝑉𝑖𝑑𝑡
⇒ 6𝑖2 = 12𝑖3 + 9 𝑑𝑖3𝑑𝑡
(5)
DE 1 Y 2
i2 +i3 =𝑣1−𝑉𝐶1
2⇒ 𝑖2 = −𝑖 3 +
𝑉1
2−
𝑉𝑐1
2 (6)
DERIVANDO A (5)
6𝑑𝑖2
𝑑𝑡= 12
𝑑𝑖3
𝑑𝑡+ 9
𝑑𝑖23
𝑑𝑡2 (7)
DERIVANDO A (6)
𝑑𝑖2
𝑑𝑡= −
𝑑𝑖3
𝑑𝑡+
1
2
𝑑𝑣1
𝑑𝑡−
1
2
𝑑𝑣𝐶1
𝑑𝑡 ⇒
𝑑𝑖2
𝑑𝑡= −
𝑑𝑖3
𝑑𝑡+
1
2
𝑑𝑣1
𝑑𝑡−
1
2(6𝑖2)
⇒
𝑑𝑖2
𝑑𝑡= −
𝑑𝑖3
𝑑𝑡+
1
2
𝑑𝑣1
𝑑𝑡− 3𝑖2 (8)
(5) Y (7) EN (8)
12
6
𝑑𝑖3
𝑑𝑡+
9
6
𝑑2𝑖3
𝑑𝑡2 = −𝑑𝑖3
𝑑𝑡+
1
2
𝑑𝑣1
𝑑𝑡− 3 [
12
6𝑖3 +
9
6
𝑑𝑖3
𝑑𝑡]
9
6
𝑑2𝑖3
𝑑𝑡2 + [12
6+ 1 +
3𝑥9
6]
𝑑𝑖3
𝑑𝑡+
3𝑥12
6𝑖3 =
1
2
𝑑𝑣1
𝑑𝑡𝑖3 =
𝑉2
9
9
9𝑥6
𝑑2𝑉2
𝑑𝑡2 +12+6+27
6𝑥
1
9
𝑑𝑉2
𝑑𝑡 +
3𝑥12 𝑉2
6𝑥9=
1
2
𝑑𝑣𝑐
𝑑𝑡
1
6
𝑑2𝑉2
𝑑𝑡2 + 5𝑑𝑉2
𝑑𝑡+
4
6𝑉2 =
1
2
𝑑𝑣1
𝑑𝑡
R= 𝑑2𝑉2
𝑑𝑡2 + 5𝑑𝑉2
𝑑𝑡+ 4𝑉2 = 3
𝑑𝑣1
𝑑𝑡
Obteniendo 𝐻(𝑗𝑤)
𝐻(𝑗𝑤) =3𝑗𝑤
−𝑤2+5𝑗𝑤+4 =
3𝑗𝑤 [90.
√(4−𝑤2)2+(5𝑤)2[tan−1 5𝑤
4−𝑤2
Derivando e igualando a cero para encontrar el máximo
𝑑
𝑑𝑤
3𝑗𝑤
[(4−𝑤2)2+(5𝑤)2]12
= 0
−𝑤4 + 16 = 0 Así 𝑤2 = 𝑍 ⇒ 𝑍2 = 16
𝑍 = ±4 ∴ 𝑤 = ±2 𝑤 = ±𝑗2
𝐻(𝑗𝑤) =6
√0 + 25(4) = 0.6
𝐻(𝑗𝑤) = [90.-tan−1 10
0 = 0
W=2
90.
-90.
FASE
0.6
2
MAGNITU
D
Encuentre la respuesta en frecuencia del siguiente circuito a si como su W. Empleando fasores
Si R=1Ω , L=1
√2 y C = √2𝐹
Solución
V3(s)= 1
𝑆𝐶 𝐼(𝑠) =
1
𝑆𝐶 𝑉1(𝑠)
𝑍(𝑠)
𝑉3(𝑠)
𝑉1(𝑠)=
1
𝑠𝑐
1
𝐿𝑠 +1𝑠𝑐
+ 𝑅
𝑉3(𝑠)
𝑉1(𝑠)=
1
𝑠2𝐶𝐿 + 1 + 𝑠𝑐𝑅 = 𝐻(𝑠)
𝐻(𝑠) =1
𝑠2 + √2𝑆 + 1
𝐻(𝑗𝑤) =1
1 + (𝑗𝑤)2 + √2𝑗𝑤=
1
1 − 𝑤2 + 𝑗√2𝑤
𝐻(𝑗𝑤) =1
√(1−𝑤2)2+2𝑤2 =
1
√2 ∴ (1 − 𝑤2)2 + 2𝑤2 = 2
𝑤4 = 1 si Z=𝑤2 𝑍2 = 1 ∴ Z=±1
𝑤 = ±1 𝑤 = ±𝑗
Vi
V4
0.7H
V3
1.4F
V2
1Ω
i(S)
+ - +
+
-
-
Encuentre en estado senosoidal permanente V
Resolviendo
Circuito equivalente
Resolviendo por impedancias
II1 =𝑉𝑠
𝑗𝑤+1
𝑗𝑤
= 𝑗𝑤
1−𝑤2 𝑉𝑠
𝐼𝐼2 =𝑉𝑠
1𝑗𝑤 + 𝑗𝑤
= 1
1 + (𝑗𝑤)2
𝑗𝑤
𝑉𝑠 = 𝑗𝑤
1 − 𝑤2𝑉𝑠
𝑉𝑜𝑐 = 𝑗𝑤𝐼𝐼2 −1
𝑗𝑤𝐼𝐼1 = 𝑗𝑤
𝑗𝑤
1 − 𝑤2𝑉𝑠 −
1
𝑗𝑤𝑥
𝑗𝑤
1 − 𝑤2𝑉𝑠
2cos2tL1
1H
L2
1H
C1
1F
C2
1F
V
1Ω
V1
L1
1H
C1
1F
V
1Ω
C2
1F
L2
1H
V1
+ -
+
+
+
+
-
-
-
-
(a)
(b)
(c) (d)
+
+
+
+
- -
-
- + . . Voc
-
𝑉𝑜𝑐
𝑉𝑠=
𝑤2
1 − 𝑤2−
1
1 − 𝑤2=
𝑤2 − 1
1 − 𝑤2=
−(1 − 𝑤2)
1 − 𝑤2= −1
Circuito equivalente
Resolviendo
Z(jw)=𝑗𝑤+
1
𝑗𝑤
𝑗𝑤+1
𝑗𝑤
𝑥2 = 2
(𝑗𝑤)2+1
𝑗𝑤
=2𝑗𝑤
1−𝑤2
V = II = 𝑉𝑜𝑐
1+2𝑗𝑤
1−𝑤2
=1−𝑤2
1−𝑤2+2𝑗𝑤𝑉𝑜𝑐
V = 1−4
1−4+𝑗4 𝑥
5
3𝑉𝑠 =
−3
−3+4𝑗𝑥
5
3𝑉𝑠 =
−5
−3+𝑗4𝑉𝑠 =
−5(−3−𝑗4)
(−3+𝑗4)(−3−𝑗4)𝑉𝑠
= −5(3 + 𝑗4)
9 + 16𝑉𝑠 =
1
5𝑥5[53. 1. 𝑥
2
√2
𝑉𝑠 =2
√2[53. 1.
𝑉(𝑡) = 2 cos(2𝑡 + 53. 1.)[𝑉]
L1
1mH
C1
1µF
C2
1µF
L2
1mH(a) (b) (c) (d)
Encuentre C, tal que la impedancia vista por la fuente sea real. Encuentre la potencia que
absorbe el resistor de 6Ω en este caso.
Solución
Reduciendo el circuito
Z1 = 6 + jwL = 6 + j8(1
4)
Z1 = 6 + j2 Z2 = 4(
1
𝑗8𝐶)
4+1
𝑗8𝐶
= 4
1+𝑗32𝐶
Encontrando C
𝑍(𝑗8) = 6 + 𝑗2 +4
1 + 𝑗32𝐶𝑥
1 − 32𝑗𝐶
1 − 32𝑗𝐶 ⇒ 6 + 𝑗2 +
4 − 𝑗4𝐶32
1 + (32𝐶)2
∴ 2 −4𝐶32
1+(32𝐶)2= 0 ⇒ 2 + 2(32𝐶)2 − 4𝐶 𝑋 32 = 0
(32𝐶)2 − 2(32𝐶) + 1 = 0 ⇒ 32𝐶 =2 ± √4 − 4
2 ∴
𝐶 =1
32𝐹
16cos3t
L1
.25H
R1
6Ω
R2
4Ω C
Z1
Z2 [V]
[V]
+ - +
+ +
- -
I1
I2 I3
𝑍(𝑗8) = 6 + 𝑗2 +4
1 + 𝑗321
32
⇒ 6 + 𝑗2 +4
1 + 1 𝑋
1 − 𝑗
1 − 𝑗
6 + 𝑗2 +4(1 − 𝑗)
1 + 1 ⇒ 6 + 𝑗2 + 2 − 𝑗2
𝑍(𝑗8) = 8[Ω] ∠ ∴ 𝐼 =𝑉𝑠
8=
16
√2∠0.
8 =
2
√2∠0.
⇒ 𝑖(𝑡) = 2𝑐𝑜𝑠8𝑡 [𝐴]
P (t) = R i 2 (t)
= 6 [ 2 cos 8 t ]2
= 24 ( 𝑐𝑜𝑠 8 𝑡 )2[𝑤]