"FACTOREO CON GAUSS" / EXPLICACIN DEL EJEMPLO 1

EJEMPLO 1: (Con coeficiente principal distinto de 1)

2x3- 3x2- 11x + 6 =(x + 2).(x - 3).(2x - 1)Segn Gauss, es posible encontrar races de un polinomio entre los divisores del trmino independiente, y sobre los cocientes que forman esos divisores con el coeficiente principal (k/a). Para factorizar, hay que dividir al polinomio por (x - raz), divisin que tiene como resto 0. Luego, como en el Sexto Caso, se factoriza usando el concepto de DIVIDENDO = DIVISOR X COCIENTE.EXPLICACIN:

NOTA: Aqu voy a tratar de explicar solamente los pasos que hago, de la manera que en general se trabaja en el Nivel Medio. Para verlo de una manera ms terica, donde se justifica un poco ms lo que se hace, consultar en la explicacin de la pgina deEJEMPLOS RESUELTOS, y consultar losCONCEPTOS DEL CASO.

1) BUSCAR LAS POSIBLES RACES:

Primero voy a buscar ciertos nmeros que me van a servir para factorizar. Esos nmeros son posibles races del polinomio (races de un polinomio?), pero para factorizar no es obligatorio entender lo que son. Podemos simplemente buscar esos nmeros y aplicar la divisin de Ruffini con esos nmeros (En Nivel Medio suelen verlo de esa manera). Los nmeros que busco pueden ser en primer lugar los divisores del trmino independiente (qu son los divisores?qu es el trmino independiente?). Si me sirve alguno de ellos ya no tendr que buscar ms nada, si no me sirve ninguno tendr que buscar otros nmeros:

Divisores del trmino independiente (6): 1, -1, 2, -2, 3, -3, 6, -6 (esos nmeros son posibles races) (otras posibles races)

2) DIVIDIR POR (X - SUPUESTA RAZ):

Pruebo la divisin de Ruffini con alguno de ellos: con 1, con -1, con 2, pero el resto no d cero. Cuando pruebo con el -2, el resto d 0. Y eso es lo que estaba buscando:

| 2 -3 -11 6||-2| -4 14 -62 -7 3| 0

Cociente: 2x2- 7x + 3 Resto: 0 (cmo se divide por Ruffini?)

Recordemos que si puse el -2, estoy dividiendo por (x + 2) (no entiendo). Entonces, por ahora, la factorizacin va quedando as:

(x + 2).(2x2- 7x + 3) (por qu?)

(DIVISOR) X (COCIENTE)

3) SEGUIR FACTORIZANDO EL COCIENTE SI ES DE GRADO MAYOR QUE 1:

En el polinomio de segundo grado que qued (2x2- 7x + 3) puedo volver a buscar races con Gauss, o aplicar elSptimo Caso(cmo sera?). Voy a seguir con Gauss:

2x2- 7x + 3 =

Divisores del trmino independiente (3): 1, -1, 3, -3

Pruebo con 1, con -1, pero el resto no d cero. Cuando pruebo con el 3, el resto s d cero.

| 2 -7 3||3| 6 -32 -1| 0

Cociente: 2x - 1 Resto: 0

Recordemos que si en Ruffini puse el 3, estoy dividiendo por (x - 3). Entonces, la factorizacin de 2x2- 7x + 3 queda as: (x - 3).(2x - 1). Luego, reemplazo a 2x2- 7x + 3 por (x - 3).(2x - 1):

As qued luego de la primera factorizacin

(x + 2).(2x2- 7x + 3)

Ahora reemplazo, y queda:

(x + 2).(x - 3).(2x - 1) (no entiendo el reemplazo)

(YA ESTABA) X (DIVISOR) X (COCIENTE)

Esto es algo as como un ejercicio combinado, porque factoric varias veces, no una sola.

CONCEPTOS - DUDAS - COMENTARIOS

Los conceptos generales de este Caso estn enCONCEPTOS - FACTOREO CON GAUSS

Por qu debo buscar races del polinomio que quiero factorizar?(qu es una raz?)

Porque en este Caso voy a dividir al polinomio por otro de la forma (x - una raz). Para poner "una raz" restando en ese binomio, es que busco alguna raz. Y hacemos eso porque, si un polinomio tiene alguna raz, entonces elpolinomio es divisible por (x -esaraz).Es decir, porque el Resto de esa divisin d cero. Y entonces as el polinomio se puede factorizar como:

POLINOMIO = (x - una raz).(COCIENTE) (Concepto de Divisin)

En Nivel Medio en general no se habla de esto, sino que simplemente se buscan nmeros para hacer la divisin por Ruffini con ellos, probando hasta encontrar alguno con el cual el Resto de la divisin d 0. Qu relacin hay entre una cosa y la otra?. Voy a tratar de explicarlo:

Cuando en la divisin por Ruffini ponemos a la izquierda-abajo un nmero, por ejemplo 2, estamos dividiendo por el binomio (x - 2). Nos podemos dar cuenta de eso si recordamos que cuando aprendemos a dividir por Ruffini nos ensean a "cambiar el signo" de ese nmero que est en el divisor. Nos dicen as:

"Para dividir por (x - 2), hay que poner el 2, es decir, el nmero cambiado de signo":

|||2|

Bueno, ahora es al revs: si puse el 2 en Ruffini, tengo que pensar que divid por (x - 2), es decir que tengo que "cambiar el signo" para saber por cul polinomio divid. Ese nmero 2 es una raz del polinomio, y el Resto di cero porque todo polinomio es divisible por (x - raz), segn el concepto del cul ya habl. sa es la relacin entre ambas cosas, y podemos traducir una cosa en otra de la siguiente manera:

Lo que se hacen en el Nivel Medio: "Buscar los divisores del trmino independiente y probar Ruffini con cada uno hasta encontrar alguno que haga que la divisin tenga Resto igual a cero. Luego factorizanas: "x con ese nmero cambiado de signo" multiplicado por el cociente de la divisin".

Traduccinde lo que estn haciendo: "Buscar una raz entre los divisores del trmino independiente, y dividir por "x menos ese nmero". Luego se factoriza: (x - raz) multiplicado por el cociente de la divisin". Para saber si un nmero es raz no hace falta hacer la divisin y que el Resto d cero. Se puede reemplazar el nmero en el polinomio y el Valor Numrico debe ser cero.(ms sobre esto)

No slo entre los divisores del trmino independiente puede haber races del polinomio

Tambin pueden hallarse races entre cualquier fraccin que tenga arriba uno de los divisores del trmino independiente, y abajo uno de los divisores del coeficiente principal (qu es el coeficiente principal?). En nuestro EJEMPLO1 (2x3- 3x2- 11x + 6), el trmino independiente es 6 y el coeficiente principal es 2, los respectivos divisores son:

DIVISORES DE 6 (el trmino independiente): 1, -1, 2, -2, 3, -3, 6, -6DIVISORES DE 2 (el coeficiente principal): 1, -1, 2, -2

En toda fraccin formada por un divisor de 6 arriba (en el numerador), y un divisor de 2 abajo (el denominador) podra encontrarse alguna raz del polinomio. Paso a enumerar todas las fracciones posibles, aunque muchos resultados se repetirn:

1/1 = 1-1/1 = -12/1 = 2-2/2 = -23/1 = 3-3/1 = -36/1 = 6-6/1 = -6

Hasta aqu, los resultados son iguales a los divisores del trmino independiente, ya que al tomar como denominador a 1 (el primer divisor del coeficiente principal), las fracciones equivalen al nmero entero que es numerador de ella. Y lo mismo va a pasar si tomamos como denominador a -1 (el segundo divisor del coeficiente principal). De todos modos las voy a anotar:

1/-1 = -1-1/-1 = 12/-1 = -2-2/-1 = 23/-1 = -3-3/-1 = 36/-1 = -6-6/-1 = 6

Como dije, otra vez terminan dando los divisores del trmino independiente. Es decir que ninguna de las precedentes fracciones hara falta tenerlas en cuenta si ya probamos todos los divisores del trmino independiente. Luego, quedan otras fracciones, entre las que quizs s se hallen nmeros nuevos, los cuales remarcar en color:

1/2-1/22/2 = 1-2/2 = -13/2-3/26/2 = 3-6/2 = -3

Y usando como denominador a -2 se obtienen los mismos nmeros (no lo voy a hacer). Luego no hay ms. Es decir que, incorporando a los divisores del coeficiente principal, se obtienen cuatro nmeros ms que podran ser races del polinomio: 1/2, -1/2, 3/2 y -3/2. No hizo falta llegar a este punto en la resolucin del Ejemplo, ya que mucho antes encontr que el "-2" y el "3" eran races. (Ms sobre esto)

Por qu si en la divisin por Ruffini pongo el -2, estoy dividiendo por (x + 2)?

Porque para dividir por la Regla de Ruffini hay que cambiar el signo del nmero del divisor (el trmino independiente del divisor). Entonces, al revs: si en la divisin por Ruffini estoy usando un nmero, tengo que asumir que el trmino independiente del divisor ha de ser su opuesto, es decir, el que tiene el signo contrario. Y el opuesto de -2 es +2 (el opuesto?).

Cmo seguira el ejercicio si usaba el 7mo Caso en vez de seguir con Gauss?

Llegado a este punto:

(x + 2).(2x2- 7x + 3)

puedo factorizar el 2x2- 7x + 3, con elSptimo Caso, ya que es un "trinomio de segundo grado". Busco las races con la frmula resolvente de la cuadrtica:

x1,2=

x1,2=x1= (con la suma)

x2= (con la resta)

La factorizacin de 2x2- 7x + 3 queda entonces as:

2.(x - 3).(x - 1/2) (consultarfactorizacin del Sptimo Caso)

Entonces, la factorizacin total del polinomio es:

(x + 2).2.(x - 3).(x - 1/2) o mejor:

2.(x + 2).(x - 3).(x - 1/2) (pero no di igual que con Gauss!)

Por qu usando el Sptimo Caso "no d igual" que siguiendo con Gauss?

Primero aclaremos que s d igual. Slo que la forma final es distinta, pero las dos formas son expresiones equivalentes, como ya sucedi muchas veces antes en otros casos que expliqu antes. Si aplico en ambas la Propiedad Distributiva, llego a lo mismo, que es el polinomio original: 2x3- 3x2- 11x + 6. As que iguales son.

2.(x + 2).(x - 3).(x - 1/2) y (x + 2).(x - 3).(2x - 1) son iguales

Si miramos bien, hay dos factores que son iguales: (x + 2) y (x - 3), y lo diferente es que en una tenemos el binomio (2x - 1), y en la otra tenemos el binomio (x - 1/2) y el nmero 2 multiplicando delante. Entonces, para convencernos de que son iguales, slo tendramos que poder ver que (2x - 1) es igual a 2.(x - 1/2). Y eso es muy fcil apreciarlo:

2.(x - 1/2) = 2x - 2.1/2 = 2x - 1 Aplicando la Propiedad Distributiva

Ahora: Por qu quedaron con distinta forma?

Bueno, cuando lo hice usando Gauss, tuve que hacer la divisin por (x - 3) y el cociente fue (2x - 1). As como di el cociente lo puse, y por eso qued (x - 3).(2x - 1). Ese cociente no es un polinomio normalizado (normalizado?), porque tiene un nmero (el 2) delante de la x. Si lo hubiera normalizado, hubiera quedado as: 2.(x - 1/2) Igual que como di con el Sptimo Caso! Lo que pasa es que, nadie me obliga a normalizar el polinomio si yo solamente estoy viendo el tema: Factoreo de Polinomios. Por eso no lo hice, porque lo nico que se pide en este tema es tranformar el polinomio en una multiplicacin, pero no se obliga a "descomponer totalmente al polinomio" como se hace en otro tema que se ve, ya no en el Nivel Medio, sino en en Nivel Terciario o ingresos a Terciarios. Por tal razn, una vez que consegu el cociente, factoric de la siguiente manera: (x + 2).(x - 3).(2x - 1), y con eso cumpl con el tema.En cambio, cuando lo hice con el Sptimo Caso, tuve que usar la frmula para factorizar un trinomio de segundo grado: a.(x - x1).(x - x2), donde "a" es el coeficiente principal y x1y x2son las races que encontr con la frmula de la cuadrtica. En esa frmula, los dos binomios estn "normalizados" (no tienen un nmero delante de la x). Por eso, aplicando eseSptimo Caso, todos los polinomios quedan normalizados, y el coeficiente principal (2) queda multiplicando "afuera" de los binomios. Ese 2, es el mismo 2 que queda en (2x - 1) cuando lo hago de la otra forma (con Gauss).

Qu es eso del "reemplazo" luego de la segunda factorizacin?

Como ya coment, este se puede considerar un ejercicio "combinado", ya que se factoriza ms de una vez. En un ejercicio as, a medida que seguimos factorizando tenemos que ir "reemplazando" las partes que factorizamos por los resultados que nos van dando. En nuestro ejemplo, luego de la primera factorizacin nos qued:

(x + 2).(2x2- 7x + 3)

Y despus factorizamos "una parte" de eso: factorizamos a 2x2- 7x + 3. El resultado de esa segunda factorizacin nos di: (x - 3).(2x - 1). Es decir que 2x2- 7x + 3 es igual a(x - 3).(2x - 1). Como son dos cosas iguales, podemos reemplazar a una por la otra, y la igualdad se mantiene. Entonces en:

(x + 2).(2x2- 7x + 3)

Cambio a 2x2- 7x + 3, por su equivalente: (x - 3).(2x - 1)

(x + 2).(x - 3).(2x - 1)

As, mientras pueda, voy factorizando "partes" (factores) de la expresin, y cambindolas por el resultado de su factorizacin. Todo con el objetivo de llegar a un polinomio lo ms factorizado posible, es decir, con factores del menor grado posible, y hasta que no se pueda ms seguir.

Verificacin de la factorizacin:

Comprobemos ahora si (x + 2).(x - 3).(2x - 1) es igual a 2x3- 3x2- 11x + 6. Primero aplico la Propiedad Distributiva entre los dos primeros binomios, y luego entre el resultado y el tercer binomio:

(x + 2).(x - 3).(2x - 1)= (x2- 3x + 2x - 6).(2x - 1) = (x2- x - 6).(2x -1) =

2x3- x2- 2x2+ x - 12x + 6 =2x3- 3x2- 11x + 6

Entonces, puedo decir que est bien la factorizacin que hice, porque, operando en el resultado obtuve el polinomio original.

Ms ejerciciosresueltos, parecidos al Ejemplo 1:

3x3- 2x2- 7x - 2 =(x + 1).(x - 2).(3x + 1)

5x4- 8x3- 49x2+ 72x + 36 =(x - 2).(x - 3).(x + 3).(5x + 2)

2x4+ 11x3+ 14x2- 9x - 18 =(x - 1).(x + 2).(x + 3).(2x + 3)

Para ms informacin, conceptos y ejemplos resueltos, consultar en:FACTOREO CON GAUSS

Explicaciones de otros ejemplos:

EJEMPLO 2 (Con coeficiente principal distinto de "1")