Factores deescala y deaprendizaje

de conceptosAníbal Mendoza Pérez

HUNOERTWASSER, F. l.tJ l/(JffB do In/UI sobre /Ir.; Bak:on9S. 1969

ANIBAl Mf.NOOIA PEREZDOCTOR EN EDUCACIÓN, CURRICULO y fNS[~ANIA, UNIVERSIDAD DE

PUERlO RICO (RIO PIEDRAS), MAGISl[!l EN EDUCACiÓN, UNIVERSIDAD

JAVERIANA -UNIVERSIDAD DEL NORTE. PROH.SOIl EN CI(NCIAS BASICAS,

UNIVERSIDADOElNDR1E

(amendoza@unjnorte.edu.co)

Este es un estudio teórico que tiene zw

como propósito construir las bases :>':::>conceptuales de una metodologla '"w

'"de enseñanza que propicie losprocesos de enseñanza -

aprendizaje dialogante en el aula declase. En este trabajo se describeun modelo matemático acerca de

los factores de escala, el cual setiene en cuenta para analizar una

definición como es el caso delfactor de viabilidad de una célula.Se toma como metáfora ésta paraconstruir otra definición que se ha

denominadofactor de aprendizaje. Se relaciona

esta definición con la teorla deequilibración de Piaget y la zona dedesarrollo próximo de Vygotsky y se

buscan puntos comunes de estas~ This article is a theoretical studytres definiciones con el propósito

de propiciar en los enseñantes e aiming at building the rationale ofa methodology which promotesreflexiones criticas que ayuden a ~ dialoguing learning-teachinggenerar en sus aprendentes las •

transformaciones de sus esquemas processes in c1assroom. In this

cognoscitivos con miras a que work, a mathematical model of

logren la apropiación de conceptos, scale factors is described. It is

tal como los aceptan las used to analyze a definition: the

comunidades cientlficas. viability factor of a cel!. This istaken as a metaphor in order to

PALABRAS CLAve: Factor de viabilidad, construct another definition whichfactores de escala, factor de I have called

aprendizaje. learning factor. This definition isrelated to Piaget's balancingtheory and Vygotsky's proximaldevelopment zone. Commonpoints in these three definitionsare sought in order to promote

N critical reflections in teachers too

produce the transformations of2

" the learners' cognitive schemata- for the appropriation of conceptso

as accepted by scientific

" communities.

"< KEY WOROS: Viability factor, scalefactor, learning factor.

Relación de áreas Relación de volúmenes

se va a utilizar, para explicar en quéconsiste el factor de aprendizaje de unindividuo, la metáfora del factor deviabilidad, según definición dada porCromer (1978, p. 13 Y 14).

Expliquemos a continuación enqué consisten los factores de escala:

Nuestro modelo matemático essencillo, y comenzaremosexplicándolo estableciendo elsiguiente convenio de signos:

Sean L, A, V, respectivamente, lalongitud de un segmento, el área deun cuadrado y el volumen de uncubo.

L , f'!., V ' representan las anterioresfiguras geométricas transformadas. Irepresenta el factor de escala demedición.

Supongamos que tenemos unsegmento de longitud L (por ejemplo1 cm). Si duplicamos ese segmento,la longitud transformada es L ' (2 cm).El factor de escala se establece como

la razón f.= I . les un númeroL

adimensional, e indica en este casoque la longitud L es 2 veces lalongitud L.

Factores de escala

//

l=2cm/

/

L= 1 cm

/1/

L=2cm

L-l cm

En este trabajo se describe unmodelo matemático acerca delos factores de escala y con

base en una definición derivada de labiología denominada factor deviabilidad, defino el factor deaprendizaje, que nos permitiráreflexionar acerca de los procesoscognoscitivos que ocurren en unapersona. Se relaciona esta definicióndel factor de aprendizaje con lateoría de equilibración de Piaget, aslcomo con la definición de la zona dedesarrollo próximo de Vygotsky.Finalmente se analizan puntoscomunes que presentan estasdefiniciones, con el propósito deencontrar elementos conceptualesque propicien la reflexión critica de losprocesos cognoscitivos que acontecenen las acciones educativas de laenseña nza-aprendiza je.

Uno de los interesesfundamentales que me motiva eneste estudio es relacionar lasanteriores teorlas psicológicas con unaidea enmarcada en los procesoscognoscitivos de aprendizaje de losindividuos. Al relacionar la metáforadel funcionamiento del aparatodigestivo que usa Piaget para explicarla teorla de equilibración y la teoríasociocultural de Vygotsky, analizo eneste estudio la aplicabilidad de lastransformaciones cognoscitivas en losindividuos con la definición que hedenominado factor de aprendizaje.Análogo al uso que hizo Piaget delfuncionamiento del aparato digestivopara explicar su teoría de equilibración,

Introducción

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Si ahora construimos uncuadrado de lado L, su área seráA = L" En nuestro caso particular,A = ¡cm'· Si duplicamos ahora lalongitud del cuadrado de lado L,tendremos un nuevo cuadrado de

área A' = (L')', luego ~. ; /'. En

nuestro caso particular, [' = 4, lo cual

indica que la nueva área t\ cuadriplicaal área A.

Análogamente, si ahoraconstruimos un cubo de lado L, suvolumen V será LJ, mientras que alconstruir un cubo con lado ~ su

volumen V' será (L')'; luegov· l-V;/ .

Todo lo anterior lo podemosresumir diciendo que:

La razón entre las longitudes nosda el factor de escala l.

La razón entre las áreas nos da elfactor de escala f2.

La razón entre los volúmenes nosda el factor de escala 13.

El factor de viabilidad

Veamos qué sucede con las anterioresrazones matemáticas aplicadas alcrecimiento celular. Para elloconsideraremos una célula en suproceso de crecimiento, y vamos asuponer que cuando está en sutamaño normal su radio es r y cuando

ha crecido un poco fuera de lo normal(célula gigante) su radio es r '.El factor de escala de las células

gigantes con respecto a la normal es,.-~/ ..,.

Ahora bien, como el volumen dela célula gigante es 13, el volumen dela célula normal, de acuerdo connuestro modelo matemático, entoncesla célula gigante tiene 13 veces elmaterial de metabolismo de la célulanormal, y por lo tanto necesita porminuto f3 veces el oxfgeno y otrassustancias vitales que requiere lacélula normal (por ejemplo, si la célulaen su estado normal tiene un radiode 1 mm y en su estado gigante 2mm, la célula gigante necesita 8 vecesde las sustancias vitales querequerirla la célula normal).

Por otra parte, todas las sustanciasvitales consumidas por las célulasdeben pasar a través de la pared de lamisma, de modo que la cantidad delas sustancias que puede obtener lacélula por minuto es proporcional alárea de la pared celular. Enconsecuencia, la célula gigante puedeobtener a lo sumo f2 veces lassustancias vitales que obtiene la célulanormal. En nuestro ejemplo, la célulagigante puede obtener cuatro veceslas sustancias que obtiene la célulanormal.

Nuestra definición de factor deviabilidad FV para una célula lapodemos presentar en la siguienterelación (Cromer,1978, p. 13 Y 14):

FV = Máximo de sustancias vitales que puede obtener por minutoCantidad de sustancias vitales que necesita por minuto

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Apliquemos esta definición al caso deuna célula gigante FVG yrelacionémosla con los factores deescala descritos anteriormente:

FVG = Máximo de sustancias vitales que puede obtener la célula -1Cantidad de sustancias vitales que necesita la célula I

Donde FVG = 1 es el Factor de1

viabilidad de la célula normal.

Analicemos esta última expresión.Una célula normal o joven tiene unfactor de viabilidad mayor que uno(1). La expresión muestra que cuandola célula crece, el factor de escala /también crece, lo que trae comoconsecuencia que su factor deviabilidad disminuye, aproximándose auno (1). A fin de evitar la asfixia, lacélula debe detener su crecimiento odividirse. Por medio de la división, lacélula gigante con un factor deviabilidad pequeño es reemplazadapor dos células más pequeñas, cadauna de ellas con un factor deviabilidad mayor.

El factor de aprendizaje

De la definición de factor de viabilidadFV derivamos la definición de factorde aprendizaje, FA. El numerador enesa definición habla de las sustanciasvitales que puede obtener por minutouna célula. Relacionaremos estassustancias vitales con los niveles oelementos de un concepto que unapersona está en capacidad de asimilar,teniendo en cuenta qué esquemas oestructuras cognoscitivas posee en un

momento. La expresión deldenominador nos habla de la cantidadde sustancias vitales que necesita lacélula para poder seguir viviendo. Estoúltimo lo podemos asociar con losniveles o elementos conceptuales queun ser humano necesita para podertransformar los esquemas que posefaa un nivel de pensamiento superior.

Se define el factor de aprendizajecomo la relación que existe entre lasideas u elementos de un conceptoque una persona está en capacidad opuede asimilar, de acuerdo con laestructura cognoscitiva que posee enun cierto momento, y aquellos ideasu elementos del concepto quenecesita o le hacen falta comprenderpara modificar su esquema conceptuala un nivel superior.

En slntesis, nuestra definición defactor de aprendizaje la podemosplantear como sigue:

Sea X = Los niveles o elementosconceptuales que el ser humanopuede asimilar de acuerdo con losesquemas conceptuales que posee.

Sea Y = Los niveles o elementosconceptuales que necesita el serhumano para transformar el esquema.

Definimos FA= ~y

Por otra parte, también se puede

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encontrar una relación matemáticaentre lo que el estudiante necesita ylo que pueda asimilar, es decir, unarelación de y como función de X , talcomo se denotó anteriormente. Paraello, designamos por N un parámetroque indica el número de niveles oideas que comprende el concepto. Deacuerdo a como hemos definido Y,X YN se puede establecer que Y = N-X.En el caso particular en que X sea dos( 2 ) Y N igual a seis ( 6 ), entonces Yes igual a cuatro ( 4 ), por lo que elfactor de aprendizaje es FA= 0,5.

De esta manera, el profesor puedeutilizar la relación anterior para tabularlo que cada estudiante necesita,después de haber explorado lo quepuede asimilar. De igual forma puededeterminar el factor de aprendizaje decada estudiante. Si queremos avanzarun poco más, podemos determinar através de una rápida exploración enqué nivel de lo que se puede asimilarse encuentra el grupo de estudiantesde la clase y hallar, en consecuencia,lo que se necesita conocer y su factorde aprendizaje.

Relación entre la teorfa de laequilibración y el desarrollopotencial con el factor deaprendizaje

Newman el al. (1989) consideranalgunos procesos metodológicosacerca del desarrollo cognoscitivo através de las interacciones sociales enel salón de clase, así como larealización de tareas en diferentesescenarios. Según esta metodologia, ladefinición del desarrollo potencial de

Vygotski cobra fuerza al seridentificada en cada tarea que se lepropone a los estudiantes, la zona deconstrucción, en la cual se propicianlos procesos intersubjetivos en variosescenarios, como elementosescenciales para generar los cambioscognoscitivos en los estudiantes.

Esta metodologra que presentanestos autores se apoya en elpensamiento de Vygotski deldesarrollo psicológico. Nos presentanvarios trabajos que ilustran unamanera de investigar en el enfoquecognoscitivo, a la luz de la definiciónde la zona de desarrollo próximo. Paratener una mejor comprensión de lasideas expuestas en este trabajo, aligual que de los elementosconceptuales que le dan apoyo a estametodología de investigación,analizaremos en este sentido loselementos conceptuales de la teorrade Vygotsky.

Según Vygotsky (1960/1979, p.133), se define la zona de desarrollopróximo como la distancia entre elnivel real de desarrollo, determinadopor la capacidad de resolverindependientemente un problema, yel nivel de desarrollo potencial,determinado a través de la resoluciónde un problema bajo la guía de unadulto o en colaboración con otrocompañero más capaz.

En esta definición de la zona dedesarrollo próximo está planteada lagura metodológica que permite alestudiante conseguir, a través de laactividad colaborativa en el salón declase, los elementos que necesita paraacceder a una categoría más

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elaborada. Esta definición facilita, através de la interacción social, eldesarrollo cognoscitivo de los niños. Elproceso de aprendizaje en este casose asemeja a la situación en la que unnovato trabaja muy de cerca con unexperto en la solución de unproblema. El novato se apropia deciertas destrezas que le resultarlaninaccesibles si lo hace en formaindividual. El desarrollo se produce através de la interiorización que elnovato hace de los procesoscognoscitivos compartidos con elexperto.

Según Rogoff (1993), la teorfa deVygotsky ha sido construida sobre lapremisa de que el desarrollointelectual del individuo no puedecomprenderse sin una referencia almundo social en el que el niño estáinmerso. Para Vygotski, el desarrollodel niño debe ser explicado no sólocomo algo que tiene lugar apoyadosocialmente, mediante la interaccióncon los otros, sino también como algoque explica el desarrollo de unacapacidad que se relaciona coninstrumentos, generados socialmente,que mediatizan la actividad intelectual.

Este punto de vista que enfatizaen la influencia que ejerce elcomponente de interacción socialsobre el desarrollo del pensamientoindividual es un punto importantepara tenerlo en cuenta en lacomprensión de cómo ciertosconceptos matemáticos y de lasciencias naturales son derivados oabstrardos de la relación del individuocon su entorno sociocultural.

En un intento de abordar la

relación entre el desarrollocognoscitivo individual y los factoressociales, Piaget (1977, citado porRogoff, 1993, p. 58 a 61) propusoque ambos no podlan separarse,aunque muchos consideran quePiaget no atendió el papel de lainteracción social. En algunos de sustrabajos se refirió directamente a lainfluencia del contexto social en eldesarrollo cognoscitivo del individuo.Sostuvo que el desarrollo del niñosupone una adaptación tanto al mediofísico como social. «La vida social esuna condición necesaria para eldesarrollo de la lógica. Creo que lavida social transforma la verdaderanaturaleza del individuo» (Piaget,1928, 1977, p. 239).

En sus trabajos iniciales Piaget ledio importancia al hecho de que lacooperación con los iguales, cuandolos niños resuelven conflictoscognoscitivos, facilita el desarrolloindividual. Algunas de susafirmaciones Piaget (1918/1977), apropósito de la influencia social en eldesarrollo, son similares a la queaparecen en la teoría de Vygotski. Porejemplo, una de ellas dice: «podemossuponer que es el individuo quienmantiene la verdad frente a lasociedad, pero la independenciaindividual es un hecho social enproducto de la civilización».

Las referencias de Piaget al hechode que la reflexión es un diálogointeriorizado se asemejan al principiofundamental de Vygotsky, de acuerdocon el cual las funciones mentalessuperiores suponen un proceso deinteriorización a partir de la

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instrucción: La reflexión es unadiscusión interna ... «en el conflictosocial surge la discusión, primerocomo una simple disputa, después ladiscusión termina en una conclusión.Es esta última acción la que,interiorizada y referida a uno mismo,llega a ser reflexión» (Piaget, 1928, p.219).

Con las anteriores ideas seargumenta que Piaget si relacionó eldesarrollo cognoscitivo con elambiente sociocultural. Aunque fuepoca la atención que recibió esteúltimo, debido a que centró susreflexiones en las relacionesinterpersonales en cuanto aportan unmarco al conflicto sociocognoscitivo.

Newman y Martin (1983, citadospor Rogoff, 1993, p. 62) critican elmodelo de desarrollo piagetano, yseñalan que aunque Piaget tuvo encuenta la relación entre lo individual yla acción social, dicha relaciónúnicamente se concebía como unaforma general y absoluta libre decontenido. Estos autores amplian lametáfora de equilibración quecompara al aparato digestivo con elsistema cognoscitivo hasta incluir enella el mundo social. Describen as! lametáfora de Piaget: «El aparatodigestivo de un organismo determinael tipo de posibles nutrientes quepuede o no acomodar. La asimilaciónde los nutrientes que puedenadmitirse, producirá cambios lentosdel propio aparato, que a su vezalterará la selección de futurosnutrientes. De modo semfjante, elaparato intelectual determina quétipo de posibles experiencias

nutrientes puede o no asimilar. Laasimilación de experiencias quepueden aceptarse generará lentastransformaciones en el sistema, quealterarán a su vez la futura capacidadde asimilar».

Estos autores amplían este marcohasta incluir el mundo social, pero ladisponibilidad del sustento biológico yla experiencia intelectual no estándeterminados únicamente por losesfuerzos de los individuos. Lospadres y las culturas seleccionan,elaboran y preparan los alimentos alos que los niños pueden acceder. Delmismo modo que los padres preparancuidadosamente la comida de losniños, también los padres (y otraspersonas del entorno infantil)preparan y limitan las experiencias deltipo intelectual a las que los niños severán expuestos.

Hasta ahora hemos analizado enforma global la relación del desarrollocognoscitivo con lo socioculturalapoyándonos en las concepcionesfundamentales del desarrollo dePiaget y Vygotsky. Hemos tomado deestos autores la definición de la zonade desarrollo próximo y la teoría deequilibración, ampliando la metáforaque une esta última al campo de losociocultural. Integremos ahora estasideas de Piaget y Vygotsky con ladefinición que dimos del factor deaprendizaje.

De acuerdo con esta definición,una vez que se han investigado losesquemas que los niños tienen de uncierto concepto, podemos conocercuáles son las ideas u elementos deese concepto que el estudiante

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necesita para transformar aquellosesquemas y, por ende, le proporcionalas ideas a los profesores y profesoraspara que desarrollen las estrategiasmetodológicas para lograrlo.

Considero que conocer el factorde aprendizaje de un estudiante enun tema específico nos da unaherramienta para conocer un caminoadecuado para lograr transformar lasestructuras conceptuales de losestudiantes. Una vez que se logreconocer el esquema que tiene unestudiante acerca de un conceptodeterminado, todo profesor queenseñe una cierta asignatura debeestar en capacidad de identificar, poruna parte, lo que aquel estudiantepuede aprender, y por otra, lo que lehace falta conocer para acceder a unconcepto más desarrollado.

Es en la distancia, entre lo quepuede y lo que le hace falta porconocer, donde debe estar la labormediadora de un profesor que quieraenseñar buscando el desarrollocognoscitivo de sus estudiantes. Elsalón de clase se constituye entoncesen un gran laboratorio para investigarestos procesos de pensamiento yvalidar, de acuerdo con los métodoscualitativos de investigación, las ideasacerca de la determinación del factorde aprendizaje de un estudiante enun tema especifico. Digo un factor deaprendizaje en un tema específico porque pienso que al igual comoacontece con la multiplicidad de lasinteligencias, las personas, de acuerdoal contexto y a las temáticas, tambiéntendrán diversos factores deaprendizaje.

En este sentido, hallar cada factorde aprendizaje se constituirá en unproceso único, como en un análisis demicrogénesis, en que los factoresculturales, sociales, así como losinstrumentos metodológicos paraconocer las estructuras de losestudiantes, deben tenerse muy encuenta a la hora de hacer el análisisacerca del esquema que se estáinvestigando. Con base en estadefinición, nos queda por planteamosde qué manera podemos determinarel factor de aprendizaje de unestudiante en un tema especffico delconocimiento. Si logramos determinarel factor de aprendizaje de unestudiante, estamos en un pasocrucial para hacerle comprender elconcepto que estamos interesado queasimile.

Un ejemplo de la Física

Vamos a puntualizar un poco cómopodrlamos aplicar la definición delfactor de aprendizaje. Para ello, en ladefinición de FV identifiquemos con Xlos niveles u elementos de unconcepto que el estudiante puedeasimilar, mientras que Y serán loselementos o niveles de un conceptoque el estudiante necesita paraalcanzar el grado de comprensión delconcepto a nivel de la aceptada por lacomunidad cientlfica.

Pensemos ahora en el siguienteconcepto de la Flsica, la calda libre deun cuerpo. Estamos interesados enque los estudiantes comprendan elconcepto de carda libre tal como lo haelaborado la comunidad cientlfica. A

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través de una rápida exploración,invitando a los estudiantes a queconsignen en una hoja lo que ellospiensan qué es la carda libre. Hemosencontrado sobre este concepto lassiguientes ideas:

l. Un cuerpo está en caída librecuando parte del reposo, es decir,su velocidad inicial es cero.

2. La trayectoria que sigue el cuerpoes una recta vertical hacia abajo.

3. El cuerpo es sometido a lagravedad (en esta concepción seconfunde fuerza con aceleración).

4. En el movimiento se desprecia lafuerza de resistencia que ofrece elaire al cuerpo.

Las concepciones de losestudiantes que indican el no estadode carda libre de un cuerpo son lassiguientes:

l. La velocidad inicial es diferente decero, es decir, si se lanza el cuerpohacia arriba o hacia abajo.

2. La trayectoria del cuerpo esdiferente a la de una recta, comoen el caso del movimientoparabólico.

En general, estas son las ideas quesurgen de este concepto, y como sepuede apreciar, algunas se aproximanmás que otras a la concepciónaceptada por la comunidad científica,la cual considera a un cuerpo en cardalibre como aquel que está sometidoúnicamente a la fuerza de atraccióngravitacional de la Tierra. Lo que másnos interesa de esta discusión es

cámo podemos determinar el factorde aprendizaje de los estudiantesacerca de este concepto, Para ello,

l· una vez identificadas las distintasconcepciones de calda libre, elsiguiente paso es ordenarlas enniveles de dificultad de acuerdo con elmayor o menor acercamiento alconcepto cientrfico.

Para realizar esta ordenación esimportante el conocimiento delprofesor acerca de los diferentesgrados de dificultad del concepto quese está estudiando. Lo que se buscaes dividir el concepto en varios niveleso ideas de dificultad del mismo, paraluego, cuando el estudiante exprese laidea que tiene, se pueda identificar enqué nivel del concepto se encuentra ymás tarde se pueda determinar losniveles o ideas que necesitacomplementar para que el estudiantepueda llegar al grado de comprensióndeseado del concepto. El establecerlos niveles es relativo y depende dequé tan elaborado tenga el conceptola persona que establezca los nivelesde dificultad.

Si contemplamos el ejemplo dela calda libre, podemos dividir elconcepto en seis niveles o ideas. Si unestudiante al expresar su concepciónlo ubicamos en el nivel dos, entoncessu factor de aprendizaje es 0, 5, locual podrla ser considerado comomalo por ser menor que uno. Por elcontrario, si al dar su opinión quedaubicado en el nivel cuatro, su factor deaprendizaje seria 2, que se puedeconsiderar como muy bueno por estarpróximo al concepto deseado.

Los grados en que se encuentra el

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factor de aprendizaje de losestudiantes se podrlan determinar deacuerdo a si es menor, igualo mayorque uno.

De acuerdo con los anterioresvalores podrramos considerar lossiguientes grados: malo, regular,normal, bueno, muy bueno, excelente,estableciendo, respectivamente,intervalos numéricos en ordencreciente muy alejados de uno (1),alejados de uno (1), cercanos a uno(1), igual a uno (1), un poco mayorque uno (1) Y mucho mayor que uno(1 ).

Conclusiones

La misión del educador debe ser la deun mediador del proceso deaprendizaje del estudiante, en elsentido de que logre identificar ladistancia entre lo que el estudiantepuede y lo que le hace falta porconocer para modificar su estructurade pensamiento.

En srntesis, el profesor puedehacer una conciliación integradoraentre los aspectos socio culturales delpensamiento de Vygotsky, la teorra deequilibración de Piaget y el factor deaprendizaje. Del primero se tendrá encuenta la relación entre lo inter y lointrasubjetivo para lograr determinar eldesaro\lo del esquema del estudiantede manera cooperativa. Del segundose tendrá en cuenta los procesos deinteriorización que debe hacer elestudiante de manera idiosincrásica.Del factor de aprendizaje se dan lasherramientas para que el profesorubique en qué estado o nivel de uncierto concepto se encuentra elestudiante, y a partir de esteconocimiento pueda seleccionar lastareas o situaciones problematológicasadecuadas para lograr la comprensióndel concepto o problema estudiado.

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Referencias

CROMER. A. (1978)Ffsica para las Ciendas de la Vida. Barcelona:Reverté.

NEWMAN D. GRIFFIN, P. & COLE, M. (1993)The COflstruction lone: Working far CognitiveChange in Se/loal. New York: Cambridge Universitypress.

ROGOFF, 8. (1993)Aprendices del pensamiento. Ef desarrollo cognitivoen el contexto social. Barcelona: Paidós.

VYGOTSKY, L. (1979)El Desarrollo de los Procesos Psicol6gicosSuperiores. (Traducción castellana de Silvia Furi6).Barcelona: Crítica.

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