Factorial

El factorial de un entero positivo n, el factorial de n on factorial se define en principio como el producto detodos los números enteros positivos desde 1 (es decir, losnúmeros naturales) hasta n. Por ejemplo,

5! = 1× 2× 3× 4× 5 = 120.

La operación de factorial aparece en muchas áreas de lasmatemáticas, particularmente en combinatoria y análisismatemático. De manera fundamental, el factorial de n re-presenta el número de formas distintas de ordenar n ob-jetos distintos (elementos sin repetición). Este hecho hasido conocido desde hace varios siglos, en el s. XII por losestudiosos hindúes. La notación actual n! fue usada porprimera vez por Christian Kramp en 1803.La definición de la función factorial también se puedeextender a números no naturales manteniendo sus pro-piedades fundamentales, pero se requieren matemáticasavanzadas, particularmente del análisis matemático.

1 Definición

La función factorial es formalmente definida mediante elproducto

n! = 1× 2× 3× 4× ...× (n− 1)× n

La multiplicación anterior se puede simbolizar tambiénutilizando el operador productorio:

n! =n∏

k=1

k

También es posible definirlo mediante la relación de re-currencia

n! =

{1 si,n = 0

(n− 1)!× n si,n > 0

En esta segunda definición el dominio de la función es elconjunto de los enteros no negativos ℤ≥₀ y el codominioes el conjunto de los enteros positivos ℤ₊.[1] En este ca-so hay una sucesión recurrente, el cálculo sucesivo de suselementos se llama proceso recurrente y la igualdad n! =(n - 1)!n se nombra ecuación recurrente.[2]

La segunda definición incorpora la premisa de que

0! = 1

1.1 Cero factorial

La definición indicada de factorial es válida para númerospositivos. Es posible extender la definición a otros contex-tos introduciendo conceptos más sofisticados, en especiales posible definirla para cualquier número real exceptopara los números enteros negativos y para cualquier nú-mero complejo exceptuando de nuevo los números ente-ros negativos.Una extensión común, sin embargo, es la definición defactorial de cero. De acuerdo con la convención matemá-tica de producto vacío, el valor de 0! debe definirse como:

0! = 1

Es posible, sin embargo, dar un argumento intuitivo parajustificar la elección, como sigue:

• Para cada número entero positivo n mayor o igualque 1, es posible determinar el valor del factorial an-terior mediante el uso de la siguiente identidad:

(n− 1)! =n!

n

válida para todo número mayor o igual que 1.Así, si se conoce que 5! es 120, entonces 4! es 24 porque

5!

5=

120

5= 24

y por tanto 3! debe ser necesariamente 6 puesto que

4!

4=

24

4= 6

El mismo proceso justifica el valor de 2! = 2 y 1!=1 yaque:

2! =3!

3=

6

3= 2, 1! =

2!

2=

2

2= 1

1

2 3 PRODUCTOS SIMILARES

Si aplicamos la misma regla para el caso extremo en quen!=1 tendríamos que 0! corresponde a:

0! =1!

1=

1

1= 1

Aunque el argumento puede resultar algo convincente, esimportante tener en cuenta que no es más que un argu-mento informal y que la razón real por la cual se tomala convención de 0! = 1 es por ser un caso especial dela convención de producto vacío usada en muchas otrasramas de las matemáticas.

2 Aplicaciones

Los factoriales se usan mucho en la rama de lamatemática llamada combinatoria, a través del binomiode Newton, que da los coeficientes de la forma desarro-llada de (a + b)n:

(a+b)n =

(n

0

)an+

(n

1

)an−1b+

(n

2

)an−2b2+· · ·+

(n

n− 1

)abn−1+

(n

n

)bn =

n∑k=0

(n

k

)an−kbk

donde(nk

)representa un coeficiente binomial:

(n

k

)=

n!

(n− k)! · k!

De igual forma se puede encontrar en la derivación porla regla del producto para derivadas de orden superior demanera similar que el binomio de newton:

dnx

dxn(f(x)g(x)) = (fg)(n) =

(n

0

)fg(n)+

(n

1

)f

′g(n−1)+

(n

2

)f

′′g(n−2)+· · ·+

(n

n− 1

)f (n−1)g

′+

(n

n

)f (n)g =

n∑k=0

(n

k

)f (k)g(n−k)

Donde f(n) es la derivada enésima de la función f.Por medio de la combinatoria, los factoriales intervienenen el cálculo de las probabilidades. Intervienen tambiénen el ámbito del análisis, en particular a través del desa-rrollo polinomial de las funciones (fórmula de Taylor). Segeneralizan a los reales con la función gamma, de granimportancia en la teoría de números.Para valores grandes de n, existe una expresión aproxima-da para el factorial de n, dado por la fórmula de Stirling:

n! ≈√2πn

(ne

)n(1 +

1

12n+

1

288n2+ · · ·

)La ventaja de esta fórmula es que no precisa inducción y,por lo tanto, permite evaluar n! más rápidamente cuandomayor sea n.

El factorial de n es generalizado para cualquier númeroreal n por la función gamma de manera que

Γ(n) = (n− 1)! =

∫ ∞

0

tn−1e−t dt

sólo para n > 0. Se puede generalizar aún más, para to-do número complejo z que no sea igual a un entero nopositivo, mediante la siguiente definición:

Γ(z) = (z − 1)! = limn→∞

n! nz

z (z + 1) · · · (z + n)

3 Productos similares

3.1 Primorial

El primorial (sucesión A002110 en OEIS) se define deforma similar al factorial, pero sólo se toma el productode los números primos menores o iguales que n.

3.2 Doble factorial

Se define el doble factorial de n mediante la relación derecurrencia:

n!! =

{1 si n ≤ 0(n− 2)!! · n si n > 0

Por ejemplo:

8!! = 2 · 4 · 6 · 8 = 384

9!! = 1 · 3 · 5 · 7 · 9 = 945

La sucesión de dobles factoriales (sucesión A006882 enOEIS) para:

n = 0, 1, 2, . . .

empieza así:

1, 1, 2, 3, 8, 15, 48, 105, 384, 945, 3840, . . .

La definición anterior puede extenderse para definir eldoble factorial de números negativos:

(n− 2)!! =n!!

n

Y esta es la sucesión de dobles factoriales para:

3

n = −1,−3,−5,−7, . . .

1,−1,1

3,− 1

15, . . .

El doble factorial de un número negativo par no está de-finido.Algunas identidades de los dobles factoriales:

1. n! = n!!(n− 1)!!

2. (2n)!! = 2nn!

3. (2n+ 1)!! = (2n+1)!(2n)!! = (2n+1)!

2nn!

4. (2n− 1)!! = (2n−1)!(2n−2)!! =

(2n)!2nn!

5. Γ(n+ 1

2

)=

√π (2n−1)!!

2n

6. Γ(n2 + 1

)=

√π n!!

2(n+1)/2

4 Implementación en lenguajes deprogramación

La función factorial es fácilmente implementable en dis-tintos lenguajes de programación. Se pueden elegir dosmétodos, el iterativo, es decir, realiza un bucle en el quese multiplica una variable temporal por cada número na-tural entre 1 y n, o el recursivo, por el cual la funciónfactorial se llama a sí misma con un argumento cada vezmenor hasta llegar al caso base 0!=1.

4.1 Implementación en C

unsigned int factorial(int c) { unsigned int n = 0, fac = 1,i; if (c%2 == 0) { for(i = c; i > 0; i -= 2) { n += i; fac *= n;} } else { fac = c*factorial(c-1); } return fac; } //Anotherimplementation//otra implementacion //main functionwith example use//funcion main con ejemplo de uso#include <stdio.h> #include <stdlib.h> int factorial(intn); int main() { int numero; scanf("%d”,&numero); if(numero < 0) return −1;//no se puede calcular facto-rial de N negativo else printf(“factorial de %d es %d",numero,factorial(numero)); return 0; } int factorial(intn) { if (n==0) return 1; else return n*factorial(n-1); }//iESebaS

4.2 Implementación en Scheme

(define (! c) (if (even? c) (let loop ((n c) (i (- c 2)) (f 1))(if (>= i 0) (loop (+ n i) (- i 2) (* f n)) f)) (* c (! (- c 1)))))

5 Referencias y citas[1] «Sucesiones recurrentes» deA. I.Markushévich, Editorial

Progreso, 1998

[2] Fuente ut supra

6 Véase también• Productorio

• Subfactorial

• Función gamma

7 Enlaces externos• Algoritmos interesantes(en inglés)

• http://factorielle.free.fr

• Calculadora de factoriales - Hasta 200.000

4 8 ORIGEN DEL TEXTO Y LAS IMÁGENES, COLABORADORES Y LICENCIAS

8 Origen del texto y las imágenes, colaboradores y licencias

8.1 Texto• Factorial Fuente: https://es.wikipedia.org/wiki/Factorial?oldid=87645299 Colaboradores: Romero Schmidtke, Pino, Sabbut, Moriel, Pa-

blo.cl, Robbot, Zwobot, Ejmeza, Crescent Moon, Habbit, Sms, Rsg, Chvsanchez, Tano4595, Txuspe, Airunp, Emijrp, Rembiapo pohyiete(bot), Magister Mathematicae, RobotQuistnix, Alhen, Superzerocool, Chobot, Caiserbot, Yrbot, BOT-Superzerocool, Oscar ., YurikBot,Echani, JAGT, Götz, Barredex, Chlewbot, Sigmanexus6, Rbonvall, Kn, BOTpolicia, Qwertyytrewqqwerty, CEM-bot, Xexito, Marianov,Cusell, Exos, Sclark2006, Antur, Daniel JG, Ingenioso Hidalgo, Fsd141, Thijs!bot, TXiKi, OrionNebula, Miguelo on the road, Hosg, TXi-KiBoT, Pavina, HiTe, Netito777, Rei-bot, Fixertool, Jtico, Biasoli, Dusan, Andres ernesto guzman, Snakeyes, Technopat, Globalphilosophy,Matdrodes, Carmel2007, Muro Bot, Srbanana, SieBot, DaBot~eswiki, Drinibot, Fide07, Mel 23, Greek, AquiLesBailoYo, Jack.chessire,Dnu72, HUB, ToePeu.bot, SmartGenius, DragonBot, Eduardosalg, BetoCG, Raulshc, Açipni-Lovrij, Ricciardelli, Mr freeze360, UA31,AVBOT, Neochalo, Diegusjaimes, MelancholieBot, CarsracBot, Luckas-bot, Nallimbot, Adso Cacer, Andreszules, SuperBraulio13, Ma-nuelt15, Xqbot, Jkbw, Nitrxgen, Igna, Alejandroadan, XD YO, Gaba p, Laura rico garcia, Hprmedina, Jerowiki, PatruBOT, Euclides,Proferichardperez, GrouchoBot, EmausBot, Ddiazcas, MerlIwBot, JABO, Jluisgc, Ginés90, Acratta, Student 1000, Brayandjok, Sytabare-sa, Addbot, Balles2601, Alexandercamposval, JacobRodrigues, Jarould, BenjaBot, Johana valencia12, Jccarlosa, Faty Angeles, IeSebaS yAnónimos: 165

8.2 Imágenes

8.3 Licencia del contenido• Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0