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AQUÍ SE PRESENTA OTRO TIPO DE MODELACIONES O ESTRATEGIAS USADAS PARA RESOLVER PROBLEMAS
SE USA PREFERENTEMENTE CUANDO LOS PROBLEMAS INVOLUCRAN MULTIPLICACIOES ITERADAS. COMO TODO MOELO MATEMÁTICO ES TAMBIÉN UNA HERRAMIENTA Y NO DEBE SER CONFUNDIDA COMO UN CONTENIDO
GENERALMENTE LOS PROBLEMAS INVOLUCRADOS TIENEN QUE VER CON ARREGLOS , PERMUTACIONES Y COMBINATORIAS
DE AQUÌ DERIVA UN CONCEPTO FUNDAMENTAL EN LA TEORÍA CORDINTORIA “ EL PRINCIPIO MULTIPLICATIVO “
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* ESTABLECEREMOS ALGUNOS CONCEPTOS A TRAVÉS DE UN PROBLEMA – LÚDICO
PROBLEMA : EN UNA SALA RECTANGULAR HAY UN RATÓN EN CADA ESQUINA . ¿ CUÁNTOS OJOS VE CADA RATÓN?
EL RAZONAMIENTO PUEDE PENSARSE DEL SIGUIENTE MODO:
1.- UN RATÓN NO PUEDE VER SUS PROPIOS OJOS . 2.- UN RATÓN PUEDE VER ,ESO SI, EL PAR ( 2 ) DE OJOS DE CADA UNO DE LOS TRES ( 3 ) RATONES RESTANTES . Montoya
EN CONSECUENCIA COMO UD. YA BIÉN HA SUPUESTO VERÁ :
3 * 2 = 6 OJOS
HABRÁ NOTADO QUE ESTE NO ES UN PROBLEMA SENCILLO PARA UN ALUMNO DE PRIMARIA, PORQUE ADEMÁS DE MULTIPLICAR (CORRECTAMENTE ) REQUIERE AQUÍ DE UN RAZONAMIENTO MAS ELEVADO .DEBEMOS HABITUARNOS A GESTIONAR PROBLEMAS QUE REQUIERAN PRECISAMENTE DE ÉSTE TIPO DE ANÁLISIS Y NO QUEDARNOS EN EL SIMPLE CÁLCULO ATENDIENDO A MODELOS MECANIZANTES Y A ALGORITMOS PRESTABLECIDOS QUE DE ESOS ABUNDAN LOS TEXTOS OFICIALES
. AHORA LE INVITO A ESTUDIAR OTRO PROBLEMA TANTO O MÁS INTERESANTE QUE EL ANTERIORMENTE EXPUESTO :
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PROBLEMA 2.- SE QUIERE CONFECCIONAR UNA BANDERA DE TRES FRANJAS IGUALES HORIZONTALES . PARA ELLO SE DISPONE CON TELA DE COLORES DIFERENTES : ROJO , AMARLLO , VERDE Y AZÚL . ¿CUÁNTAS DE ESTAS BANDERAS DISTINTAS SE PUEDEN HACER?
UN PROCEDIMIENTO , ES DARSE A LA TAREA DE HACER TODAS LA BANDERAS, ESTA ESTRATEGIA , A PESAR DE LO ENTRETENIDA , QUE PUEDA SIGNIFICAR NO ES MUY RECOMENDABLE E INCONDUCENTE .
ALGUNAS PUEDEN SER :
PERO SI AHORA RAZONAMOS DEL MODOQUE SIGUE : MODELO GRÁFICO SE PUEDE REPRESENTAR COMO SE INDICA :
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1.- PARA LA FRANJA 1 TENGO 5 COLORES DE TELAS DISTINTAS A ELEGIR (ROJO , AMARILLO , VERDE AZÚL Y NEGRO ) 2.- PARA LA SEGUNDA FRANJA ME QUEDAN 4 COLORES A ELEGIR ( RECUERDE QUE YA ELIGIÓ UNO PARA LA PRIMERA FRANJA )3.-PARA LA TERCERA FRANJA NOS QUEDAN NAA MÁS QUE TRES COLORES .
ENTONCES TENDREMOS EN TOTAL 5 * 4 * 3 OPCIONES , O SEA 60 BANDERAS DISTINTAS .
NO CREE UD. QUE SON DEMASIADAS PARA DIBUJARLAS TODAS
VOLVAMOS A NUESTRA BANDERITA TRICOLOR ( POR EL MOMENTO ) .
¿CUÁNTAS BANDERAS DISTINTAS PODEMOS DISEÑAR CON CADA UNA DE LAS TELAS DE MODO QUE LAS TRES FRANJAS TENGAN EL MISMO COLOR .
EFECTIVAMENTE ¡ UNA ¡ . MUY BIEN PENSADO
AQUÍ VA UNA :
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¡ BONITA EH!
INSTITUCIONALIZACIÓN CONCEPTUAL : LLAMAREMOS ARREGLO MONARIO DE m ELEMENTOS AL TOMARLOS DE UNO A LA VEZ
EL MODELO MATEMÁTICO SE ESCRIBE : A = m EN ESTE CASO A = 5 SI AHORA DISEÑAMOS UNA BANDERA CON LOS MISMOS COLORES , PERO CON DOS BANDAS O FRANJAS HORIZONTALES IGUALES
PODEMOS HACER , DE ACUERDO AL PRINCIPIO MULTIPLICATIVO , RAZONADO ANTERIORMENTE 5 * 4 = 20 BANDRAS MONTOYA
CUYO MODELO MATEMÁTICO CORRESPONDE A :
A = m ( m – 1 ) , y para este caso particular :
A = 5 * ( 5 – 1 )
SI VOLVEMOS AL DISEÑO ORIGINAL , ES DECIR :
A = m ( m -1 )( m – 2 ) , y para este caso particular ;
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A = 5 ( 5 – 1 )( 5 – 2 ) ,Y ASÍ CONTINUAMOS
A = m(m – 1)(m – 2 )(m – 3 ) , continuando con este criterio , HASTA GENERALIZAR PARA m ELEMENTOS ( EN ESTE CASO COLORES ) TOMADOS DE n FORMAS ( FRANJAS ) , OBTENEMOS :
Demostración de la igualad anterior :
AHORA BIEN , APLICANDO UN POCO DE ALGEBRA , PODEMOS ESTABLECER QUE :
A = m
A = m( m – 1 ) = A * ( m – 1 )
A =m( m – 1 )(m- 2) = A * ( m – 2)
A = = A * ( m – 3 )
A = A * ( m-n + 1 )
Ahora , si multiplicamos miembro a miembro estas igualdades se obtiene :
A * A * A …………= m * A *(m – 1 ) * A * ( m – 2 ) ……………….
De donde :
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QUE CORRESPONDE AL MODELO MATEMÁTICO DE LOS ARREGLOS O CORDINACIONES QUE SE PUEDEN HACER CON “ m “ ELEMENTOS TOMADOS DE “ n” EN “n” .
EJEMPLO : ¿CUÀNTOS NÙMEROS DISTINTOS DE TRES CIFRAS SE PUEDEN HACER CON LOS DÌGITOS :
EN ESTE CASO TENEMO : A = 9*8*7 = 504 , QUE EXPRESA EL NÚMERO TOTAL DE ARREGLOS QUE SE PUEDEN HACER , ESTO ES EL NÙMERO TOTAL DE NÙMEROS DE 3 CIFRAS QUE SE PUEDEN HACER CON LOS DÌGITOS 1 , 2 , 3 ………..9
AHORA BIEN , ES MÁS APROPIADO APLICAR EL PRINCIPIO MULTIPLICATIVO A ESTE TIPO DE ARREGLOS O COORDINACIONES.
REPRESENTEMOS EL NÙMERO EN CUESTIÒN DE TRES CIFRAS POR CASILLEROS
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ENTONCES EL TOTAL DE ARREGLOS SERA DE ACUERDO AL PRINCIPIO MULTIPLICATIVO : 9*8*7 = 504
AHORA SI EN EL MISMO PROBLEMA CONSIDERAMOS QUE LOS DÌGITOS SE PUEDEN REPETIR , EL RAZONAMIENTO SERÁ :
QUE CORRESPONDE A 9 = 729
LAS VARIACIONES QUE PODEMOS HACER RSPECTO A LAS INTERROGANTES DE ESTE PROBLEMA PUEDEN SER :
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1.-¿CUÀNTOS NÙMEROS DE TRES DÍGITOS SE PUEDEN FORMAR CON LOS DÍGITOS SIN REPETIR 1,2,3,4,5,6,7,8,9
RP. 504
2.-¿CUÁNTOS MÀS SE PUEDEN FORMAR , SI LOS DÌGITOS SE PUEDEN REPETIR?
RP : 729 – 504 = 225
AHORA LE INVITO A UN JUEGO UN TANTO CURIOSO ¡SEA USTED NATURAL!. TOME CUALQUIERA DE LOS NÙMEROS DE TRES DÌGITOS ANTES MENCIONADO . EJEMPLO 537.
PONGAMOS ALGUNAS CONDICIONES 1.-DETERMINE CUANTOS NATURALES SE PUEDEN OBTENER CON TRES DIGITOS DISTINTOS.(LLAMAREMOS A ELLOS LOS SEMEJANTES “)
2.-DEMUESTRE QUE AL DIVIDIR LA SUMA DE TODOS LOS SEMEJANTES POR LA SUMA DE LOS VALORES DE LAS TRES CIFRA, EL CUOCIENTE INVARIABLE ES 222 . ¡CURIOSA PROPIEDAD ADITIVA!
3.-DETERMINE UN CÀLCULO RÀPIDO DE SU SUMA , SIN BUSCAR LOS SEMEJANTES.
4.-CONSTATE QUE LA CURIOSA PROPIEDAD SE CONSERVA CUANDO LAS TRES CIFRAS , O DOS CUALQUIERA ENTRE ELLAS, SON IDÈNTICAS ; ALGUNOS SEMEJANTES SON TAMBIÈN IDENTICOS DESCARANDO SÒLO EL 000.
5.-DEMUESTRE EN VIRTUD DE LA EXTRAÑA PROPIEDAD , SON IGUALES LAS SUMAS QUE CORRESPONDEN A TODOS LOS CONJUNTOS CUYOS SEMEJANTES POSEEN LA MISMA SUMA DE VALORES DE SUS TRES CIFRAS .
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6.-DESCUBRA DE LA MISMA MANERA , Y LUEGO EN FORMA DIRECTA , QUE AL DIVIDIR UN NATURAL DE TRES CIFRAS IGUALES ( SALVO EL 0) POR EL TRIPLE EL VALOR DE ESA CIFRA , EL COCIENTE ES SIEMPRE IGUAL A 37.
SI A CAUSA DE LOS TIEMPOS DIFÌCELES QUE CORREN (¡EN LUGAR DE MARCHAR!) USTED DESEA UN APOYO EFICAZ , HE AQUÍ ALGUNAS INDICACIONS IMPORTANTES , DE VERIFICACIÒN Y DSPUÉS DE INVESTIGACIÒN , SOBRE CADA UNO DE LOS SEIS PUNTOS SUCESIVOS DE ESTA MEDULOSA GUIA.
A.- UN ÀRBOL ES LO INDICADO PARA FORMAR EL CONJUNTO DE LOS SEMEJANTES , CUYO CARDINAL SEA 6 ( 3! ¡ATENCIÒN! )
B.-SE PUEDE EFECTUAR EL CÀLCULO DEL CUOCIENTE PRIMERO EN FORMA NUMÉRICA , POR EJEMPLO CON 2,5,7 O INCLUSO 0,3,4 Y DESPUÉS EN FORMA LITERAL , PERO CONVIENE REALIZAR LA DSCOMPOSICIÒN ORDINAL DA CADA SEMEJANTE ANTES DE ELABORAR UNA TABLA ALGORÍTMICA DE ADICIÓN
C.- ESTE CÀLCULO RÀPIDO ES CONSECUENCIA DIRECTA DE LA FAMOSA PROPIEDAD ; CONSTÁTELO CON LOS NATURALES SEÑALADO ANTERIORMENTE .
D.-LOS ENSAYOS CON 2,8,8 , LUEGO 5,5,5 E INCLUSO 0,0,3 SERÀN CONCLUYENTES , PERO NO CON EL 0,0,0. POR OTRA PARTE…
E.-LAS SUMAS QUE CORRESPONDEN A ESTOS CONJUNTOS “ EQUIVALENTES CONSTITUYEN EL MISMO MÙLTIPLO 222 ; UN CONTROL CON 2 , 4 ,7 Y 4,4,5 ES ALECCIONADOR.
F.- ESTA ÙLTIMA CONSECUENCIA SE VERIFICA CON 5,5,5 O 1,1,1 PERO NO CON 0,0,0 ; EL 222 ES ADEMÁS UN MÚLTIPLO DE 3! Y POR OTRA PARTE , aaa = 111ª
AHORA COMPARE SUS RESPUESTAS.
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SOLUCIONES DE ¡SEA UDTED NATURAL!
1.- SE PUEDE EXPRESAR LOS NATURALES DEL CONJUNTO POR MEDIO DE ÈSTE ÀRBOL , CORRESPONDIENTE AL CONJUNTO DE 3 ELEMENTOS
El conjunto de los semejantes es pues y su cardinalidad o nùmero de elementos 3! = 6
2.- Ejemplo : Càlculo con 2,5,y 7 ,sea
257 +275 + 527 + 572 + 725 + 752 = 3108
2 + 5 +5 = 14
Por consiguiente 3108 : 14 = 222
Cálculo con : 0,3 y 4 sea : 034 , 043 , 304 , 340 , 403 , 430 Cuya suma es : 34 + 43 +304 + 340 + 403 + 430 = 1554Y cuya suma de los dígitos corresponde a 0 + 3 + 4 = 7
Por consiguiente : 1554 : 7 = 222
Ahora generalicemos el problema , o más bien la deducción :
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La descomposición ordinal de los naturales literales del conjunto y su adición en una tabla algorítmica
AHORA DEFINAMOS LA SUMA DE LOS DÍGITOS COMO s = a + b + c
ENTONCES PODEMOS ESCRIBIR :S = 222 s
O bién : = 222
3.- LA IGUALDAD ANTERIOR , S = 222s , permite calcular rápidamente S con s , por medio de una simple multiplicación sin siquiera recurrir a los Naturales del conjunto , así con los Naturales 2 , 5 y 7 S = 222 * ( 2 + 5 + 7 ) = 222 * 14 = 3108
Y con : 0 , 3 y 4 : S = 222 * ( 0 + 3 + 4 ) = 222 * 7 = 1554
4.- prueba co 2 , 8 y 8 y también funciona
5.- PARA DOS CONJUNTOS DE SUMAS S y s ; S’ y s’ , tenemos que :
S = 222 s y además S’ = 222 s’ , luego si : s = s’ , entonces S = S’
VERIFICACIÓN :
CON 2, 4 y 5 : S = 222 * ( 2 + 4 + 5 ) = 222 * 11 = 2442CON 3 , 7 y 1 : S’ = 222 * ( 3+ 7 + 1 ) = 222 * 11 = 2442.
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6.- EN EFECTO: CON 5, 5 y 5 , los números serán
555 , 555 , 555 , 555 , 555 , 555 ( aquí no todos los cincos son iguales , aunque naturalmente se escriben iguales , para ello es más apropiado pensar en cincos de diferentes colores )
Entonces la suma corresponderá a : 555 * 6 = 3330 , o bien :
222 * ( 5 + 5 +5 ) = 222 * 15 = 3330
Ahora bien según la curiosa propiedad : S = 222 * ( a + a + a ) = 222 * 3 a = 666 a
Ahora dando respuesta al problema : con 5 , 5 y 5 ; 555 : 15 = 37
Generalizando : si el número es aaa = 100 a + 10 a + a = 111 a : 3 a = 37
ESTE RESULTADO NO RIGE PARA EL NATURAL 000 , FRANCAMENTE ORDINAL .
ESTE FASCINANTE JUEGO PROBLEMA DE LOS CURIOSOS SEMEJANTES APORTA SENCIALMENTE UNA DEMOSTRACIÓN LITERAL DE UNA PROPIEDAD POR DESCOMPOSICIÓN ORDINAL DE NATURALES Y MEDIANTE UNA TABLA ALGORÍTMICA . REQUIERE COMO ACCESORIOS EL CONOCIMIENTO DE FACTORIALES Y EL USO DE UN ÁRBOL DE PERMUTACIONES .
FINALMENTE LA CALCULADORA PUEDE RESULTAR ÚTIL PARA LAS DEMOSTRACIONES NUMÉRICAS DE VERIFICACIÓN , PERO PARA LA GENERALIZACIÓN SERÍA NECESARIA UNA MICROCOMPUTADORA PROGRAMABLE . POR ÚLTIMO ESTE ES UN PROBLEMA EN QUE EL ALUMNO PUEDE USAR LA CALCULADORA CON UN PROPÓSITO CLARO , CUAL ES , HACER UNA DEDUCCIÓN Y GENERALIZAR LOS MUCHOS CONCEPTOS QUE APARECEN INVOLUCRADOS .
¿QUEDÓ CON GANAS?
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AHORA ME ATREVO A PRESENTARLE UN NUEVO JUEGO - DESAFÍO
¡ UNA VEZ MÁS EL 1089!
1089 , es el número clave de un bonito truco de magia numérica , perfecto para asombrar a los amigos . Ud. Lo conocerá a continuación y espero que también lo comprenda .
Elija un natural cualquiera de tres cifras , tal que la primera sea mayor que la última .Réstele el natural formado por las mismas cifras en orden inverso ( pero que no es su inverso ) Sume a esta diferencia su propio inverso y ….¡ sorpréndase con el resultado! El resultado del cálculo mencionado es independiente del cardinal elegido en primer término , de manera que usted puede adivinarlo y así montar este pequeño ruco , incluso con ayuda de una pequeña calculadora. Me parece que usted se muere de ganas de demostrar la propiedad operatoria que constituye la base de este truco de magia y que es propia de ciertos cardinales de tres cifras . Si esto es verdad , a continuación le doy un bosquejo de demostración posible , accesible y eficaz. Designe el cardinal elegido con “abc” , con a b , y con “d” la diferencia a-b , de una cifra . Demuestre por medio de las descomposiciones ordinales que la diferencia entre abc y cba es un múltiplo invariable de d. Calcule todos los valores posibles de la diferencia anterior . Finalmente a cada diferencia súmele su inverso , para caer siempre en el previsible 1089. No espere que me extienda más sobre este tema , otros interesantes aguardan su turno y me están esperando.
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Recuerde que hemos establecido un modelo matemático para determinar el número de coordinaciones de m elementos tomados de n en n :
Esto es : A = m ( m – 1)( m – 2 ) ……….( m – n + 1 ).
Aquí va un par de ejemplos :1.-¿Cuántos números distintos de 4 cifras se pueden formar con los números 1,2,3,4,5,6,7,8,9? Aquí m = 9 , n= 4 , luego aplicamos la formula ;A = 9 *8 *7 * 6 = 3024
2.- ¿Cuántas patentes distintas se pueden hacer ( solo las letras ) con las letras de alfabeto ,tomando de a dos cada vez .
Aquí : m = 29 n = 2
Luego : A = 29 * 28 * …………………..*28
AHORA BIÉN , SI SE ESTABLECE LA CONDICION DE QUE CIERTO NÚMERO DE ELEMENTOS TIENEN QUE OCUPAR LUGARES FIJOS EN LOS GRUPOS QUE SE FORMEN , AL PLICAR LA FÓRMULA , m y n SE DISMINUYEN EN EL NÚMERO DE ELEMENTOS FIJOS .
EJEMPLOS : CON 10 JUGADORES DE BÁSQUETBOL . ¿DE CUÁNTOS MODOS SE PUEDE DISPONER EL TEAM DE 5 JUGADORES SI LOS PIVOT DEBEN SER SIEMPRE LOS MISMOS? AQUÍ HAY DOS JUGADORES QUE OCUPAN LUGARES FIJOS : m = 10 y N = 5 , PERO TENEMOS QUE DISMINUIR m y n EN 2 , PORQUE HABIENDO 2 JUGADORES FIJOS EN DOS POSICIONES , QUEDAN 8 POSICIONES PARA OCUPAR LAS 3 POSICIONES QUE QUEDAN , LUEGO LOS ARREGLOS DE 3 QUE PODEMOS FORMAR CON LOS 8 JUGADORES SON :
A = 8 * 7 *6 = 336 MODOS . AGREGEMOS A ESTO UNA NUEVA INTERROGANTE
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¿CUÁL ES LA PROBABILIDAD MÍNIMA QUE TIENE UNO DE LOS JUGADORES QUE NO SON FIJOS DE INTEGRAR EL TEAM ELEGIDO POR EL DIRECTOR TÉCNICO? RAZONEMOS DEL SIGUIENTE MODO :1.- UN MISMO JUGADOR PUEDE INTEGRAR MÁS DE UN TEAM ELEGIDO.( EN MÁS DE UNO DE LAS 336 COORDINACIONES DIFERENTES )2.-AL MENOS ESTARÁ INTEGRADO A UNO DE ELLOS ( AL MENOS EN UNO DE LOS 336 ) . POR TANTO , TENEMOS CASOS (MÍNIMO ) FAVORABLE = 1CASOS POSIBLES = 336
P = * 100 = 0,29 %
CON LOS DÍGITOS 1,2,3,4,5,6,7,8,9 . ¿ CUÁNTOS NÚMEROS DE 5 CIFRAS SE PUEDEN FORMAR SI EL 9 DEBE SER SIEMPRE LA CIFRA CENTRAL?
m= 9 m’ = 8 n = 5 n’ = 4 , luego entonces A = 8 * 7 *6 *5 = 1680 ESTE PROBLEMA TAMBIÉN SE PUEDE PLANTEAR DE ACUERDO AL PRINCIPIO MULTIPLICATIVO .
SI EL NUMERO , LO REPRESENTAMOS POR EL MODELO :
RECUERDE QUE EL 9 ES FIJO Y ES LA CIFRA CENTRAL. POR LO TANTO :PARA OCUPAR LA :1° CASILLA HAY 8 OPCIONES ( DESCONTAMOS UNA , EL 9 )2° CASILLA HAY 7 4° CASILLA HAY 65° CASILLA HAY 5 VEAMOSLO ASÍ :
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O BIÉN = 8-*7*6*5 = 1680 .
SUPONGA QUE AHORA SE HACEN FICHAS CON TODOOS (LOS 1680) LOS NÚMEROS DE CINCO CIFRAS ESTABLECIDOS EN EL PROBNLEMA , Y SE PONEN LAS FICHAS EN UNA BOLSA ¿CUÁL ES LA PROBANILIDAD DE “SACAR” DE LA BOLSA EL NÚMERO 15934?
P = *100 = 0,059 %¿CUÁL ES LA PROBABILIDAD DE SACAR EL NÚMERO 35927 o EL NÚMERO 34987
P = P + P = + = * 100 = 0,12 %
EL PRODUCTO :1*2*3*4*5 , SE PUEDE ABREVIAR COMO : 5!ASÍ , TAMBIÉN , EL PRODUCTO : 1*2*3*4*5*6*7*8 = 8!
CUANDO CON LOS n LOS ELEMENTOS DE UN CONJUNTO SE PUEDEN HACER n ARREGLOS TOMADOS DE n FORMAS DISTINTAS , EL NÙMERO TOTAL DE ESTAS COORDINACIONES O ARREGLOS QUEDA EXPRESADO POR
PERMUTACIONES : DE n ELEMENTOS SON LAS
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DISTINTAS FORMAS EN QUE SE PUEDEN ORDENAR DICHOS ELELMENTOS.
EJEMPLOS :
1.- 5 ¡ = 120
2.- ¿ DE CUÀNTAS MANERAS SE UEDEN ORDENAR 5 PERSONAS EN UNA SOLA FILA?.
P = 5! = 120 EN LA PERMUTACIONES DE n ELEMENTOS EL ORDEN EN QUE SE TOMEN DICHAS COORDINACIONES IMPORTA ,
EJEMPLO.
CONSIDEREMOS TODAS LAS PERMUTACIONES QUE SE PUEDEN HACER CON LAS FIGURAS :
ESTAS SON :
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EL TOTAL DE PERMUTACIONES CORRESPONDE A P= 3! = 6
AHORA BIÉN , EL PROBLEMA SE PUEDE RESOLVER ATENDIENDO A CRITERIOS DE ARREGLOS, EN EFECTO :
SUPONGAMOS QUE LAS FIGURAS LAS DISPONEMOS EN EL INTERIOR DE CADA UNO DE LOS RECTANGULOS QUE SE INDICAN :
PARA EL PRIMER RECTÁNGULO SE TIENEN 3 OPCIONES ( SE PUEDE ELEGIR CUALQUIERA DE LAS TRES FIGURAS , PARA LLENAR EL SEGUNDO RECTANGULO QUEDAN DOS OPCIONES , Y, PARA LLENAR EL TERCER RECTÁNGULO QUEDA SOLAMENTE UNA FIGURA.
ESTO ES :
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EJEMPLO : ¿ CUÁNTOS NÙMEROS DISTINTOS DE 4 CIFRAS SE PUEDEN CONSTRUIR CON LOS DÌGITOS 2 , 3 , 4 , 6 TOMANDOLOS TODOS A LA VEZ?
LA PREGUNTA QUE HAY QUE HACERSE ANTES DE PROCEDER ES : ¿ IMPORTA EL ÒRDEN EN QUE SE TOMEN LOS NÙMEROS? SI LA RESPUESTAS ES SI IMPORTA , ENTONCES SE TRATA DE UNA PERMUTACION DE LOS ELELMENTOS , COMO ES ESTE CASO.
LUEGO: P = 4! = 4*3*2*1= 24 PERMUTACIONES DIFERENTES.
¿CUÀLES SON? .
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CONSIDEREMOS LOS ELEMENTOS
Y DETERMINEMOS LAS PERMUTACIONES QUE SE PUEDEN HACER CON ÈLLOS
AL ORDENARLOS , SE OBTIENE:.
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COMO SE OBSERVA HAY EFECTIVAMENTE 24 PERMUTACIONES , SI SE CONSIDERA QUE LOS CUADRADOS SON DISTINTOS ENTRE SÍ. PARA EFECTO DE IDENTIFICAR UN CUADRADO DE OTRO , UNO DE ELOOS SE HA “MARCADO” CON UN CÌRCULO . AHORA CONSIDERANDO LO ANTERIOR :
POR LO TANTO SE REPITEN 2! PERMUTACIONES .ENTONCES EL TORAL DE PERMUTACIONES DISTINTAS EN ESTE CASO QUEDA EXPRESADO POR :
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P = = 12 .
EN GENERAL : SI SE TIENEN “n” ELEMENTOS CO “r” , “ k” ….”z” . ELEMENTOS REPETIDOS , EL NÚMERO TOTAL DE PERMUTACIONES QUE SE PUEDEN OBTENER DE LOS “ n” ELEMENTOS ESTÁ DADO POR EL MODELO MATEMÁTICO :
EJEMPLO : CUÁNTAS PERMUTACIONES SE PUEDEN HACER CON LAS LETRAS DE LA PALABRA” PARALELEPÍPEDO”
SOLUCIÓN :HAY 14 LETRAS EN TOTAL
LA LETRA “P” SE REPITE 3 VECES EN LA PALABRA.LA LETRA “A” SE REPITE 2 VECES.LA LETRA “L” SE REPITE 2 VECESLA LETRA “E” SE REPITE 3 VECES.
ENTONCES EL TOTAL DE PERMUTACIONES SERÁ :
P = =
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CONSIDEREMOS AHORA LA SIGUIENTE SITUACIÓN :SUPONGAMOS QUE QUEREMOS DETERMINAR EL TOTAL DE PERMUTACIONES QUE SE PUEDEN HACER CON LOS SÍMBOLOS :
SI PONEMOS LA CONDICIÓN QUE EL CUADRADO
OCUPE SIEMPRE UNA POSICIÓN FIJA , DIGAMOS EL SEGUNDO LUGAR DE IZQUIERDA A DERECHA , EL TOTAL DE PERMUTACIONES QUE SE PUEDEN HACER SERÁN :
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SE OBSERVA ENTONCES QUE HAY 6 PERMUTACIONES DIFERENTES, LO QUE SE EXPRESA CON EL MODELO MATEMÁTICO: P = (4-1)! = 3! = 6
SI SE ESTABLECE LA CONDICIÓN DE QUE DETERMINADOS ELEMENTOS HAN DE OCUPAR LUGARES FIJOS , EL NÚMERO TOTAL DE PERMUTACIONES ES EL QUE SE PUEDE FORMAR CON LOS DEMÁS ELEMENTOS.
EJEMPLO :
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¿DE CUANTAS MANERAS SE PUEDEN FORMAR 5 SOLDADOS , UN TENIENTE Y UN SARGENTO . SI EL TENIENTE DEBE ENCABEZAR LA COLUMNA Y EL SOLDADO DEBE OCUPAR EL ÚLTIMO LUGAR?SOLUCIÓN ;
EL TENIENTE Y EL SARGENTO SE DESCARTAN DE LA PERMUTACIÓN , PORQUE DE ACUERDO A LA CONDICIÓN DEL PROBLEMA OCUPAN LUGARES FIJOS , DE MODO QUE LOS SOLDADOS SOLAMENTE PERMUTAN ( SE MUEVEN) LUEGO : P = (7-2)! = 5! = 120 FORMAS DISTINTAS.
HAGAMOS UNA VARIACIÓN AL MISMO PROBLEMA :
¿DE CUANTAS MANERAS PUEDEN FORMARSE 5 SOLDADOS , UN TENIENTE Y UN SARGENTO , SI ESTOS ÚLTIMOS DEBEN UBICARSE EN LOS EXTREMOS DE LA FILA?
EN UN ESQUEMA :
DONDE OBSERVAMOS QUE AHORA LA FILA COMPLETA SE MUEVE O PERMUTA , LUEGO EL TOTAL DE ESTAS PERMUTACIONES ESTÁ DADO POR :
P = 5!.2! = 240
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SUPONGAMOS LA SIGUIENTE SITUACIÓN :
ALREDEDOR DE UN MESA CIRCULAR SIN NINGÚN TIPO DE REFERNCIAS SE QUIEREN SENTAR CUATRO PERSONAS ., QUE LAS IDENTIFICAREMOS CON ALGUN SIMBOLO , DIGAMOS
Y LA MESA CON :
LAS PERMUTACIONES POSIBLES QUE SE PUEDEN HACER , TE LAS PRESENTO A CONTINUACIÓN :
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DONDE OBSERVAMOS QUE HAY 6 PERMUTACIONES EN TOTAL DE LOS 4 ELMENTOS ESTE RESULTADO SE PUEDE EXPRESAR EN EL SIGUIENTE MODELO MATEMÁTICO :
P(4) = (4-1)!= 3! = 6
EN GENERAL : CUANDO n ELEMENTOS SE DISPONEN ALREDEDOR DE UN CÍRCULO , EL NÚMERO DE PERMUTACIONES ES (n -1)! , SI SE CUENTA SIEMPRE EN EL MISMO SENTIDO A PARTIR DE UN MISMO ELEMETO ES DECIR ;
EJEMPLO : ¿DE CUÁNTAS MANERAS SE PUEDEN SENTAR 6 PERSONAS EN UNA MESA CIRCULAR SIS NINGUNA REFERENCIA? P(6) = 5! = 120 MANERAS
¿DE CUÁNTAS MANERAS SE PUEDEN DISPONER 3 LLAVES TODAS DISTINTAS EN UNA ARGOLLA SIN FIN?( ARGOLLA SIN FIN ES AQUELLA QUE NO TIENE MARCAS O REFERENCIAS).
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P(3) = 2! = 2
CONSIDEREMOS LA SIGUIENTE SITUACIÓN
CON LAS FIGURAS :
CONSTRUIREMOS TODOS LOS GRUPOS QUE CONTENGAN TRES FIGURAS DISTINTAS , DE MODO QUE EL ÓRDEN EN QUE APAREZCAN NO IMPORTE .ASÍ TENDREMOS :
EJEMPLO :AQUÍ VEMOS QUE EL ÓRDEN EN QUE APARECEN LOS ELEMENTOS CARECE DE IMPORTANCIA , LO QUE IMPORTA ES QUE EL TRÍO ESTÉ FORMADO POR LOS MISMOS ELEMENTOS.
ESTABLECIDO ESTE CRITERIO , LOS TRÍOS QUE SE PUEDEN FORMAR SE MUESTRAN A CONTINUACIÓN:
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ESTOS SEIS TRÍOS DISTINTOS RECIBEN EL NOMBRE DE COMBINACIONES DEL GRUPO DE ESTOS CUATRO ELEMENTOS TOMADOS DE A TRES .
EN EL EJEMPLO ANTERIOR , ES CLARO QUE EL NÚMERO DE COMBINACIONES ES 6
ANÁLISIS : EL TOTAL DE ARREGLOS QUE SE PUEDEN HACER CON LOS 4 ELEMENTOS TOMADOS DE A 3 , VIENE DADO POR LA FÓRMULA
C = m(m-1)(m-2)…….(m-n+1)
EN ESTE CASO : C = 4 * 3*2 = 24
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ADEMÁS CADA TRIO PERMUTA ENTRE SÍ DE P = 3! = 3*2 = 6 MANERAS DIFERENTES .
POR LO TANTO EL NÚMERO TOTAL DE LAS COMBINACIONES TERNARIAS QUE SE PUEDEN HACER CON LOS CUATRO ELEMENTOS SERA :
C = = 4.
INSTITUCIONALIZACIÓN : SI DESIGNAMOS POR C LAS COMBINACIONES DE m COSAS TOMADAS n A n , POR P LAS PERMUTACIONES QUE SE PUEDEN FORMAR CON LOS n ELEMENTOS DE CADA GRUPO , Y POR A , LAS COORDINACIONES O ARREGLOS QUE SE OBTIENEN AL PERMUTAR LOS n ELEMENTOS DE CADA GRUPO , TENDREMOS ;
LO QUE DICE QUE EL NÚMERO DE COMBINACIONES DE m ELEMENTOS TOMADOS DE n A n ES IGUAL AL NÚMERO DE COORDINACIONES DE LOS m ELEMENTOS TOMADOS n A n DIVIDIDO ENTRE EL NÚMERO DE PERMUTACIONES DE LOS n ELEMENTOS DE CADA GRUPO .
EN LA PRÁCTICA SE SUELE HACER USO DE LA FÓRMULA SIMPLIFICADA DE LAS COMBINACIONES DE LOS m ELEMENTOS TOMADOS DE n MANERAS , QUE EXPRESA :
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EJEMPLO : DE UN GRUPO DE 7 PERSONAS . ¿DE CUÁNTAS MANERAS SE PUEDE ELEGIR UN COMITÉ FORMADO POR 4 DE ELLAS?
NATURALMENTE QUE AQUÍ NO IMPORTA EL ORDEN EN QUE SE ESCOGAN LOS CUATRO INTEGRANTES , TENEMOS ENTONCES :
C = = 35 MODOS
2.- EN UNA PRUEBA DE MATEMÁTICA EL PROFESOR MONTOYA PONE 8 EJERCICIOS PARA QUE EL ALUMNO ESCOJA 6 A RESPONDER.¿CUÁNTAS ELECCIONES PUEDE HACER EL ALUMNO?
C = = = 56 ELECCIONES.
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