Factorial de un nmero naturalEs el producto de los n factores consecutivos desde n hasta 1. Elfactorial de un nmerose denota porn!.

VariacionesSe llamavariaciones ordinarias de m elementos tomados de n en n (m n)a los distintos grupos formados por n elementos de forma que:Noentran todos los elementos.Simporta el orden.Nose repiten los elementos.

Tambin podemos calcular lasvariacionesmediantefactoriales:

Lasvariacionesse denotan porVariaciones con repeticinSe llamavariaciones con repeticin de m elementos tomados de n en na los distintos grupos formados por n elementos de manera que:Noentran todos los elementos si m > n.Spueden entrar todos los elementos si m nSimporta el orden.Sse repiten los elementos.

PermutacionesSentran todos los elementos.Simporta el orden.Nose repiten los elementos.

Permutaciones circularesSe utilizan cuando los elementos se han de ordenar "en crculo", (por ejemplo, los comensales en una mesa), de modo que el primer elemento que "se site" en la muestra determina el principio y el final de muestra.

Permutaciones con repeticinPermutaciones con repeticindem elementosdonde elprimer elementose repiteaveces , elsegundo bveces , eltercero cveces, ...(m = a + b + c + ... = n) son los distintos grupos que pueden formarse con esos m elementos de forma que :Sentran todos los elementos.Simporta el orden.Sse repiten los elementos.

CombinacionesSe llamacombinaciones de m elementos tomados de n en n (m n)a todas las agrupaciones posibles que pueden hacerse con los m elementos de forma que:Noentran todos los elementos.Noimporta el orden.Nose repiten los elementos.

Tambin podemos calcular lascombinacionesmediantefactoriales:

Combinaciones con repeticinLascombinaciones con repeticin de m elementos tomados de n en n (m n),son los distintos grupos formados por n elementos de manera que:Noentran todos los elementos.Noimporta el orden.Sse repiten los elementos.

Nmeros combinatoriosEl nmero se llama tambinnmero combinatorio. Se representa pory se lee "m sobre n".

Propiedades de los nmeros combinatorios1.2.3.

Ejercicios de combinatoria I

1De cuntas formas diferentes se pueden cubrir los puestos de presidente, vicepresidente y tesorero de un club de ftbol sabiendo que hay 12 posibles candidatos?2Con las letras de la palabralibro, cuntas ordenaciones distintas se pueden hacer que empiecen por vocal?3De cuntas formas pueden mezclarse los siete colores del arco iris tomndolos de tres en tres?4Cuntos nmeros de cinco cifras distintas se pueden formar con las cifras impares? Cuntos de ellos son mayores de 70.000?5De cuntos partidos consta una liguilla formada por cuatro equipos?6A una reunin asisten 10 personas y se intercambian saludos entre todos. Cuntos saludos se han intercambiado?7Con las cifras 1, 2 y 3, cuntos nmeros de cinco cifras pueden formarse? Cuntos son pares?8Cuntas apuestas de Lotera Primitiva de una columna han de rellenarse para asegurarse el acierto de los seis resultados, de 49?9De cuntas formas pueden colocarse los 11 jugadores de un equipo de ftbol teniendo en cuenta que el portero no puede ocupar otra posicin distinta de la portera?10Con el punto y raya del sistema Morse, cuntas seales distintas se pueden enviar, usando como mximo cuatro pulsaciones?11Una mesa presidencial est formada por ocho personas, de cuntas formas distintas se pueden sentar, si el presidente y el secretario siempre van juntos?12Cuntas diagonales tiene un pentgono y cuntos tringulos se puede informar con sus vrtices?13Un grupo, compuesto por cinco hombres y siete mujeres, forma un comit de 2 hombres y 3 mujeres. De cuntas formas puede formarse, si:1Puede pertenecer a l cualquier hombre o mujer.2Una mujer determinada debe pertenecer al comit.3Dos hombres determinados no pueden estar en el comit.

solucionesDe cuntas formas diferentes se pueden cubrir los puestos de presidente, vicepresidente y tesorero de un club de ftbol sabiendo que hay 12 posibles candidatos?Noentran todos los elementos.Simporta el orden.Nose repiten los elementos.

Con las letras de la palabralibro, cuntas ordenaciones distintas se pueden hacer que empiecen por vocal?La palabra empieza poriuoseguida de las 4 letras restantes tomadas de 4 en 4.Sentran todos los elementos.Simporta el orden.Nose repiten los elementos.

De cuntas formas pueden mezclarse los siete colores del arco iris tomndolos de tres en tres?Noentran todos los elementos.Noimporta el orden.Nose repiten los elementos.

Cuntos nmeros de cinco cifras distintas se pueden formar con las cifras impares? Cuntos de ellos son mayores de 70.000?Sentran todos los elementos.Simporta el orden.Nose repiten los elementos.

Si es impar slo puede empezar por 7 u 9.

De cuntos partidos consta una liguilla formada por cuatro equipos?Noentran todos los elementos.Simporta el orden.Nose repiten los elementos.

A una reunin asisten 10 personas y se intercambian saludos entre todos. Cuntos saludos se han intercambiado?Noentran todos los elementos.Noimporta el orden.Nose repiten los elementos.

Con las cifras 1, 2 y 3, cuntos nmeros de cinco cifras pueden formarse? Cuntos son pares?Sentran todos los elementos: 3 < 5Simporta el orden.Sse repiten los elementos.

Cuntas apuestas de Lotera Primitiva de una columna han de rellenarse para asegurarse el acierto de los seis resultados, de 49?Noentran todos los elementos.Noimporta el orden.Nose repiten los elementos.

De cuntas formas pueden colocarse los 11 jugadores de un equipo de ftbol teniendo en cuenta que el portero no puede ocupar otra posicin distinta de la portera?Disponemos de 10 jugadores que pueden ocupar 10 posiciones distintas.Sentran todos los elementos.Simporta el orden.Nose repiten los elementos.

Con el punto y raya del sistema Morse, cuntas seales distintas se pueden enviar, usando como mximo cuatro pulsaciones?Noentran todos los elementos en un caso ysentran en lo otrosSimporta el orden.Sse repiten los elementos.

Una mesa presidencial est formada por ocho personas, de cuntas formas distintas se pueden sentar, si el presidente y el secretario siempre van juntos?Se forman dos grupos:El primero de 2 personas.El segundo sera considerado como un grupo de 7 personas. Basta pensar en el grupo formado por el presidente y el secretario como una nica persona (pues siempre van juntos).En los dos se cumple que:Sentran todos los elementos.Simporta el orden.Nose repiten los elementos.

Cuntas diagonales tiene un pentgono y cuntos tringulos se puede informar con sus vrtices?Noentran todos los elementos.Noimporta el orden.Nose repiten los elementos.Son, a las que tenemos que restar los lados que determinan 5 rectas que no son diagonales.

Un grupo, compuesto por cinco hombres y siete mujeres, forma un comit de 2 hombres y 3 mujeres. De cuntas formas puede formarse, si:Soluciones:1Puede pertenecer a l cualquier hombre o mujer.

2Una mujer determinada debe pertenecer al comit.

3Dos hombres determinados no pueden estar en el comit.

1Halla el nmero de capicas de ocho cifras. Cuntos capicas hay de nueve cifras?2Cuatro libros distintos de matemticas, seis diferentes de fsica y dos diferentes de qumica se colocan en un estante. De cuntas formas distintas es posible ordenarlos si:1Los libros de cada asignatura deben estar todos juntos.2Solamente los libros de matemticas deben estar juntos.3Una persona tiene cinco monedas de distintos valores. Cuntas sumas diferentes de dinero puede formar con las cinco monedas?4Se ordenan en una fila 5 bolas rojas, 2 bolas blancas y 3 bolas azules. Si las bolas de igual color no se distinguen entre s, de cuntas formas posibles pueden ordenarse?5Resolver lasecuaciones combinatorias:12346Resolver lasecuaciones combinatorias:1237Resolver lasecuaciones combinatorias:1238Resolver lasecuaciones combinatorias:1234

Halla el nmero de capicas de ocho cifras. Cuntos capicas hay de nueve cifras?

Cuatro libros distintos de matemticas, seis diferentes de fsica y dos diferentes de qumica se colocan en un estante. De cuntas formas distintas es posible ordenarlos si:Soluciones:1Los libros de cada asignatura deben estar todos juntos.

2Solamente los libros de matemticas deben estar juntos.

Una persona tiene cinco monedas de distintos valores. Cuntas sumas diferentes de dinero puede formar con las cinco monedas?

Se ordenan en una fila 5 bolas rojas, 2 bolas blancas y 3 bolas azules. Si las bolas de igual color no se distinguen entre s, de cuntas formas posibles pueden ordenarse?

Resolver lasecuaciones combinatorias:Soluciones:1

2

3

4

Resolver las ecuaciones:Soluciones:1

2

3

1

2

3

27 no es solucin porque el nmero de orden en las combinaciones es menor que el nmero de elementos.Soluciones:1Por la2 propiedad de los nmeros combinatorios, se tiene:

2Por la3 propiedad de los nmeros combinatorios, se tiene:x = 43

4

1Cuntos nmeros de tres cifras diferentes se puede formar con los dgitos: 1, 2, 3, 4, 5 ?m = 5n = 3m nNoentran todos los elementos. De 5 dgitos entran slo 3.Simporta el orden. Son nmeros distintos el 123, 231, 321.Nose repiten los elementos. El enunciado nos pide que las cifras sean diferentes.

2Cuntos nmeros de tres cifras se puede formar con los dgitos: 1, 2, 3, 4, 5 ?m = 5 n = 3Noentran todos los elementos. De 5 dgitos entran slo 3.Simporta el orden. Son nmeros distintos el 123, 231, 321.Sse repiten los elementos.

3Cuntos nmeros de tres cifras diferentes se puede formar con los dgitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5 ?m = 6n = 3m nTenemos que separar el nmero en dos bloques:

El primer bloque, de un nmero, lo puede ocupar slo uno de 5 dgitos porque un nmero no comienza por cero (excepto los de las matriculas, los de la lotera y otros casos particulares),m = 5 n = 1El segundo bloque, de dos nmeros, lo puede ocupar cualquier dgito, menos el inicial.m = 5 n = 2

4Cuntos nmeros de tres cifras se puede formar con los dgitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5 ?m = 6 n = 3Tenemos que separar el nmero en dos bloques:

El primer bloque, de un nmero, lo puede ocupar slo uno de 5 dgitos porque un nmero no comienza por cero (excepto los de las matriculas, los de la lotera y otros casos particulares),m = 5 n = 1El segundo bloque, de dos nmeros, lo puede ocupar cualquier dgito.m = 6 n = 2

5A un concurso literario se han presentado 10 candidatos con sus novelas. El cuadro de honor lo forman el ganador, el finalista y un accsit.Cuntos cuadros de honor se pueden formar?m = 10n = 3Noentran todos los elementos. De 10 candidatos entran slo 3.Simporta el orden. No es lo mismo quedar ganador que finalista.Nose repiten los elementos. Suponemos que cada candidato presenta una sola obra.

6Cuntas quinielas de una columna han de rellenarse para asegurarse el acierto de los 15 resultados?m = 3 n = 15 m < nSentran todos los elementos. En este caso el nmero de orden es mayor que el nmero de elementos.Simporta el orden.Sse repiten los elementos.

7De cuntos partidos consta una liguilla formada por cuatro equipos?Noentran todos los elementos.Simporta el orden.Nose repiten los elementos.

8De cuntas formas diferentes se pueden cubrir los puestos de presidente, vicepresidente y tesorero de un club de ftbol sabiendo que hay 12 posibles candidatos?Noentran todos los elementos.Simporta el orden.Nose repiten los elementos.

9Con las cifras 1, 2 y 3, cuntos nmeros de cinco cifras pueden formarse? Cuntos son pares?Sentran todos los elementos: 3 < 5Simporta el orden.Sse repiten los elementos.

Si el nmero es par tan slo puede terminar en 2.

10Con el (punto, raya) del sistema Morse, cuntas seales distintas se pueden enviar, usando como mximo cuatro pulsaciones?Noentran todos los elementos en un caso ysentran en lo otrosSimporta el orden.Sse repiten los elementos.

11Halla el nmero de capicas de ocho cifras. Cuntos capicas hay de nueve cifras?

12Resolver lasecuaciones combinatorias:1.

2.

3.

4.

Ejercicios resueltos de permutaciones1Cuntos nmeros de 5 cifras diferentes se puede formar con los dgitos: 1, 2, 3, 4, 5.?2De cuntas formas distintas pueden sentarse ocho personas en una fila de butacas?3De cuntas formas distintas pueden sentarse ocho personas alrededor de una mesa redonda?4Con las cifras 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4; cuntos nmeros de nueve cifras se pueden formar?5Con las letras de la palabralibro, cuntas ordenaciones distintas se pueden hacer que empiecen por vocal?6Cuntos nmeros de cinco cifras distintas se pueden formar con las cifras impares? Cuntos de ellos son mayores de 70.000?7En el palo de seales de un barco se pueden izar tres banderas rojas, dos azules y cuatro verdes. Cuntas seales distintas pueden indicarse con la colocacin de las nueve banderas?8De cuntas formas pueden colocarse los 11 jugadores de un equipo de ftbol teniendo en cuenta que el portero no puede ocupar otra posicin distinta que la portera?9>Una mesa presidencial est formada por ocho personas, de cuntas formas distintas se pueden sentar, si el presidente y el secretario siempre van juntos?10Cuatro libros distintos de matemticas, seis diferentes de fsica y dos diferentes de qumica se colocan en un estante. De cuntas formas distintas es posible ordenarlos si:1Los libros de cada asignatura deben estar todos juntos.2Solamente los libros de matemticas deben estar juntos.11Se ordenan en una fila 5 bolas rojas, 2 bolas blancas y 3 bolas azules. Si las bolas de igual color no se distinguen entre s, de cuntas formas posibles pueden ordenarse?12Resolver las ecuaciones:123

Soluciones

Cuntos nmeros de 5 cifras diferentes se puede formar con los dgitos: 1, 2, 3, 4, 5.?m = 5 n = 5Sentran todos los elementos. De 5 dgitos entran slo 3.Simporta el orden. Son nmeros distintos el 123, 231, 321.Nose repiten los elementos. El enunciado nos pide que las cifras sean diferentes.

De cuntas formas distintas pueden sentarse ocho personas en una fila de butacas?Sentran todos los elementos. Tienen que sentarse las 8 personas.Simporta el orden.Nose repiten los elementos. Una persona no se puede repetir.

De cuntas formas distintas pueden sentarse ocho personas alrededor de una mesa redonda?

Con las cifras 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4; cuntos nmeros de nueve cifras se pueden formar?m = 9 a = 3 b = 4 c = 2 a + b + c = 9Sentran todos los elementos.Simporta el orden.Sse repiten los elementos.

Con las letras de la palabralibro, cuntas ordenaciones distintas se pueden hacer que empiecen por vocal?La palabra empieza poriuoseguida de las 4 letras restantes tomadas de 4 en 4.Sentran todos los elementos.Simporta el orden.Nose repiten los elementos.

Cuntos nmeros de cinco cifras distintas se pueden formar con las cifras impares? Cuntos de ellos son mayores de 70.000?Sentran todos los elementos.Simporta el orden.Nose repiten los elementos.

Si es impar slo puede empezar por 7 u 8

En el palo de seales de un barco se pueden izar tres banderas rojas, dos azules y cuatro verdes. Cuntas seales distintas pueden indicarse con la colocacin de las nueve banderas?Sentran todos los elementos.Simporta el orden.Sse repiten los elementos.

De cuntas formas pueden colocarse los 11 jugadores de un equipo de ftbol teniendo en cuenta que el portero no puede ocupar otra posicin distinta que la portera?Disponemos de 10 jugadores que pueden ocupar 10 posiciones distintas.Sentran todos los elementos.Simporta el orden.Nose repiten los elementos.

Una mesa presidencial est formada por ocho personas, de cuntas formas distintas se pueden sentar, si el presidente y el secretario siempre van juntos?Se forman dos grupos el primero de 2 personas y el segundo de 7 personas, en los dos se cumple que:Sentran todos los elementos.Simporta el orden.Nose repiten los elementos.

Cuatro libros distintos de matemticas, seis diferentes de fsica y dos diferentes de qumica se colocan en un estante. De cuntas formas distintas es posible ordenarlos si:Soluciones:1Los libros de cada asignatura deben estar todos juntos.

2Solamente los libros de matemticas deben estar juntos.

Se ordenan en una fila 5 bolas rojas, 2 bolas blancas y 3 bolas azules. Si las bolas de igual color no se distinguen entre s, de cuntas formas posibles pueden ordenarse?

Resolver las ecuaciones:Soluciones:1

2

3

Ejercicios de combinaciones1En una clase de 35 alumnos se quiere elegir un comit formado por tres alumnos. Cuntos comits diferentes se pueden formar?2De cuntas formas pueden mezclarse los siete colores del arco iris tomndolos de tres en tres?3A una reunin asisten 10 personas y se intercambian saludos entre todos. Cuntos saludos se han intercambiado?4En una bodega hay en un cinco tipos diferentes de botellas. De cuntas formas se pueden elegir cuatro botellas?5Cuntas apuestas de Lotera Primitiva de una columna han de rellenarse para asegurarse el acierto de los seis resultados, de 49?6Cuntas diagonales tiene un pentgono y cuntos tringulos se puede informar con sus vrtices?7Un grupo, compuesto por cinco hombres y siete mujeres, forma un comit de 5 hombres y 3 mujeres. De cuntas formas puede formarse, si:1Puede pertenecer a l cualquier hombre o mujer.2Una mujer determinada debe pertenecer al comit.3Dos hombres determinados no pueden estar en el comit.8Una persona tiene cinco monedas de distintos valores. Cuntas sumas diferentes de dinero puede formar con las cinco monedas?9Resolver lasecuaciones combinatorias:123

Soluciones:

En una clase de 35 alumnos se quiere elegir un comit formado por tres alumnos. Cuntos comits diferentes se pueden formar?Noentran todos los elementos.Noimporta el orden: Juan, Ana.Nose repiten los elementos.

De cuntas formas pueden mezclarse los siete colores del arco iris tomndolos de tres en tres?Noentran todos los elementos.Noimporta el orden.Nose repiten los elementos.

A una reunin asisten 10 personas y se intercambian saludos entre todos. Cuntos saludos se han intercambiado?Noentran todos los elementos.Noimporta el orden.Nose repiten los elementos.

En una bodega hay en un cinco tipos diferentes de botellas. De cuntas formas se pueden elegir cuatro botellas?Noentran todos los elementos. Slo elije 4..Noimporta el orden. Da igual que elija 2 botellas de ans y 2 de ron, que 2 de ron y 2 de ans.Sse repiten los elementos. Puede elegir ms de una botella del mismo tipo.

Cuntas apuestas de Lotera Primitiva de una columna han de rellenarse para asegurarse el acierto de los seis resultados, de 49?Noentran todos los elementos.Noimporta el orden.Nose repiten los elementos.

Cuntas diagonales tiene un pentgono y cuntos tringulos se puede informar con sus vrtices?Vamos a determinar en primer lugar las rectas que se pueden trazar entre 2 vrtices.Noentran todos los elementos.Noimporta el orden.Nose repiten los elementos.Son, a las que tenemos que restar los lados que determinan 5 rectas que no son diagonales.

Un grupo, compuesto por cinco hombres y siete mujeres, forma un comit de 5 hombres y 3 mujeres. De cuntas formas puede formarse, si:Soluciones:1Puede pertenecer a l cualquier hombre o mujer.

2Una mujer determinada debe pertenecer al comit.

3Dos hombres determinados no pueden estar en el comit.

Una persona tiene cinco monedas de distintos valores. Cuntas sumas diferentes de dinero puede formar con las cinco monedas?

Resolver lasecuaciones combinatorias:Soluciones:1

2

3

27 no es solucin porque el nmero de orden en las combinaciones es menor que el nmero de elementos.

Ejercicios de ecuaciones combinatorias

12345678910

27 no es solucin porque el nmero de orden en las combinaciones es menor que el nmero de elementos.

Ejercicios interactivos de introduccin a la combinatoria

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Ejercicios interactivos de combinatoria I1En una carrera de frmula 1 en la que participan 20 pilotos, de cuntas maneras se puede formar el pdium?Solucin =Tenemos que formar grupos de 3 pilotos con los 20 que hay en total.Se verifica que en cada grupo:No entran todos los elementos.S importa el orden.No se repiten los elementos.El nmero de variaciones sin repeticin de 20 elementos tomados de tres en tres es:

2Si lanzamos a la vez cuatro dados de distinto tamao, cuntos resultados distintos podemos obtener?Solucin =Tenemos que formar grupos de 4 elementos con los 6 posibles resultados que tiene un dado.Se verifica que en cada grupo:No entran todos los elementos.S importa el orden.S se repiten los elementos.El nmero de variaciones con repeticin de 6 elementos tomados de cuatro en cuatro es:

3En un torneo de tenis en el que participan 12 jugadores se pueden clasificar 3 jugadores para la final. Cuntos grupos distintos de finalistas se pueden formar?Solucin =Tenemos que formar grupos de 3 finalistas con los 12 jugadores que hay.Se verifica que en cada grupo:No entran todos los elementos.No importa el orden.No se repiten los elementos.El nmero de combinaciones sin repeticin de 12 elementos tomados de tres en tres es:

4De cuntas maneras pueden hacer cola 7 amigos que estn esperando para entrar al cine?Solucin =Tenemos que formar grupos con los 7 amigos.Se verifica que en cada grupo:S entran todos los elementos.S importa el orden.No se repiten los elementos.El nmero de permutaciones sin repeticin de 7 elementos es:

5De cuntas maneras se pueden colocar en fila 5 vasos sabiendo que dos de ellos estn llenos de refresco de naranja y tres de refresco de limn? (Los vasos del mismo sabor no se distinguen entre s).Solucin =Tenemos que formar grupos de 5 elementos donde el primero se repite 2 veces y el segundo 3 veces.Se verifica que en cada grupo:S entran todos los elementos.S importa el orden.S se repiten los elementos.El nmero de permutaciones con repeticin de 5 elementos donde uno se repite dos veces y otro tres veces es:

6De cuntas maneras se pueden sentar 10 personas en una mesa circular?Solucin =Como las personas estn colocadas alrededor de una circunferencia, si trasladamos a todas las personas un asiento, obtenemos una posicin que es exactamente igual que la anterior.Se trata entonces de permutaciones circulares de 10 elementos.

7En una floristera hay 15 tipos de flores, de cuntas formas se pueden elegir 8 flores?Solucin =Tenemos que formar grupos de 8 flores con los 15 tipos que hay.Se verifica que en cada grupo:No entran todos los elementos.No importa el orden.S se repiten los elementos.El nmero de combinaciones con repeticin de 15 elementos tomados de ocho en ocho es:

8Cuntos nmeros distintos se pueden formar con las cifras 2114544899?Solucin =Tenemos que formar grupos de 10 elementos donde el primero se repite dos veces, el segundo una vez, el tercero tres veces, el cuarto una vez, el quinto una vez y el sexto dos veces.Se verifica que en cada grupo:S entran todos los elementos.S importa el orden.S se repiten los elementos.El nmero de permutaciones con repeticin de 10 elementos donde tres de ellos se repiten una vez, dos de ellos se repiten dos veces y uno tres veces es:

9Cuntos nmeros capica de seis cifras se pueden formar?Solucin =Los nmeros capica sern de la forma abccba, as que basta ver las ordenaciones que hay de la forma abc.Tenemos que formar grupos de 3 elementos con los 10 dgitos que hay.Se verifica que en cada grupo:No entran todos los elementos.S importa el orden.S se repiten los elementos.El nmero de variaciones con repeticin de 10 elementos tomados de tres en tres es:

De estos 100 nmeros habr algunos que sean de la forma 084, 025, 044, es decir, que empezarn por cero, as que en estos casos no tendramos nmeros de seis cifras. Por tanto, a los 100 nmeros que tenamos hay que quitarles estos ltimos.Fijamos el cero como primer dgito y formamos grupos de 2 elementos con los 10 dgitos.Se verifica que en cada grupo:No entran todos los elementos.S importa el orden.S se repiten los elementos.El nmero de variaciones con repeticin de 10 elementos tomados de dos en dos es:

Luego,

as que se pueden formar 900 nmeros capica de seis cifras.10De cuntas maneras se pueden repartir tres premios distintos entre 10 atletas?Solucin =Tenemos que formar grupos de 3 atletas de entre los 10 que hay.Se verifica que en cada grupo:No entran todos los elementos.S importa el orden.No se repiten los elementos.El nmero de variaciones sin repeticin de 10 elementos tomados de tres en tres es:

Ejercicios interactivos de combinatoria II

1A una reunin asisten 15 personas y se intercambian saludos entre todos. Cuntos saludos se intercambian?Solucin =Tenemos que formar grupos de 2 personas con las 15 personas que hay.Se verifica que en cada grupo:No entran todos los elementos.No importa el orden.No se repiten los elementos.El nmero de combinaciones sin repeticin de 15 elementos tomados de dos en dos es:

2De cuntas formas distintas se pueden sentar tres chicos y dos chicas en una fila de butacas de cine si no pueden estar juntos ni dos chicos ni dos chicas?Solucin =Consideremos la siguiente notacin:O: chicoA: chicaComo no pueden sentarse ni dos chicos ni dos chicas juntos, la manera en la que se sentarn es:OAOAOes decir, la fila tiene que empezar y acabar por chico necesariamente.Un chico puede ocupar entonces las posiciones 1, 3 y 5. Entonces para saber de cuantas maneras se pueden sentar los chicos tenemos que formar grupos con los 3 chicos.Se verifica que en cada grupo:S entran todos los elementos.S importa el orden.No se repiten los elementos.El nmero de permutaciones sin repeticin de 3 elementos es:

De manera anloga, las chicas pueden ocupar las posiciones 2 y 4. Entonces para saber de cuntas maneras se pueden sentar las chicas tenemos que formar grupos con las dos chicas.En cada grupo se verifica lo mismo que en el caso anterior.As que el nmero de permutaciones sin repeticin de 2 elementos es:

Para saber de cuantas formas pueden sentarse las chicas y los chicos tenemos que multiplicar los resultados anteriores:

3En una parada de autobs estn esperando tres amigas y dos personas mayores. De cuntas maneras pueden sentarse estas cinco personas si las tres amigas quieren estar siempre juntas para poder hablar entre ellas?Solucin =Las tres amigas van siempre juntas, as que tenemos que formar grupos con estas tres amigas.Se verifica que en cada grupo:S entran todos los elementos.S importa el orden.No se repiten los elementos.El nmero de permutaciones sin repeticin de 3 elementos es:

Ahora hay que tener en cuenta la manera en la que se sientan las tres amigas y las dos personas mayores. Si consideramos al grupo de las amigas como una unidad, tenemos el grupo de las amigas, una persona mayor y otra persona mayor, es decir, 3 elementos. As que tenemos que volver a hallar el nmero de permutaciones sin repeticin de 3 elementos.Para calcular el resultado pedido, multiplicamos los resultados anteriores:

4Cuntas fichas tiene el juego del domin? (Las fichas del domin se dividen en dos partes y en cada parte aparece una puntuacin. Esta puntuacin vara desde 0 hasta 6 puntos, es decir, hay 7 puntuaciones distintas).Solucin =Tenemos que formar grupos de 2 puntuaciones con las 7 distintas que hay.Se verifica que en cada grupo:No entran todos los elementos.No importa el orden.S se repiten los elementos.El nmero de combinaciones con repeticin de 7 elementos tomados de dos en dos es:

5Para abrir una caja fuerte hay que teclear una clave de 8 cifras. Cuntas claves distintas puede haber?Solucin =Tenemos que formar grupos de 8 elementos con los 10 dgitos que existen.Se verifica que en cada grupo:No entran todos los elementos.S importa el orden.S se repiten los elementos.El nmero de variaciones con repeticin de 10 elementos tomados de ocho en ocho es:

6En una heladera hay 12 sabores de helado. De cuntas maneras me puedo pedir una tarrina de dos sabores?Solucin =Tenemos que formar grupos de 2 sabores con los 12 sabores distintos que hay.Se verifica que en cada grupo:No entran todos los elementos.No importa el orden.No se repiten los elementos.El nmero de combinaciones sin repeticin de 12 elementos tomados de dos en dos es:

7Tenemos cinco pares distintos de guantes. De cuntas formas puedo elegir dos guantes?Solucin =Tenemos que formar grupos de 2 guantes con los 10 que hay.Se verifica que en cada grupo:No entran todos los elementos.No importa el orden.No se repiten los elementos.El nmero de combinaciones sin repeticin de 10 elementos tomados de dos en dos es:

8En una estantera caben 18 libros. Hay 7 libros de lgebra, 3 de clculo y 6 de probabilidad. De cuntas maneras se pueden colocar estos 18 libros? (Los libros del mismo tipo se consideran indistinguibles entre s).Solucin =Tenemos que formar grupos de 18 elementos donde uno se repite 7 veces, otro 3 veces y otro 6 veces. Como no nos dicen nada acerca de los dos restantes, suponemos que hay uno de cada tipo distintos a los tipos anteriores.Se verifica que en cada grupo:S entran todos los elementos.S importa el orden.S se repiten los elementos.El nmero de permutaciones con repeticin de 18 elementos donde uno se repite 7 veces, otro 3, otro 6 veces, y los dos ltimos una vez es:

9Cuantos nmeros de cuatro cifras se pueden formar con los dgitos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9 si se pueden repetir las cifras?Solucin =Tenemos que formar grupos de 4 elementos con los 10 dgitos que tenemos.Se verifica que en cada grupo:No entran todos los elementos.S importa el orden.S se repiten los elementos.El nmero de variaciones con repeticin de 10 elementos tomados de cuatro en cuatro es:

De estos 10 000 nmeros habr algunos que sean de la forma 0004, 0056, 0289, es decir, que empezarn por cero, as que estos nmeros no son de cuatro cifras. Por tanto a los 10 000 nmeros que tenamos hay que quitarles estos ltimos.Tenemos que formar grupos de 3 elementos con los 10 dgitos.Se verifica que en cada grupo:No entran todos los elementos.S importa el orden.S se repiten los elementos.El nmero de variaciones con repeticin de 10 elementos tomados de tres en tres es:

Luego,

as que se pueden formar 9 000 nmeros de cuatro cifras.10De cuntas formas se pueden colocar 30 alumnos en los 5 asientos de la primera fila de la clase? Y si el delegado tiene un sitio fijo en esos 5 asientos?Solucion delegado en cualquier sitio =Solucion delegado primera fila =Tenemos que formar grupos de 5 nios con los 30 nios de la clase.Se verifica que en cada grupo:No entran todos los elementos.S importa el orden.No se repiten los elementos.El nmero de variaciones sin repeticin de 30 elementos tomados de cinco en cinco es:

Si el delegado tiene un asiento reservado, no se tiene en cuenta. Entonces hay que formar grupos de 4 nios (porque ya slo quedan cuatro asientos libres) con todos los nios de la clase excepto el delegado, es decir, 29 nios.Se verifica que en cada grupo:No entran todos los elementos.S importa el orden.No se repiten los elementos.El nmero de variaciones sin repeticin de 29 elementos tomados de cuatro en cuatro es: