FACTORIZACION

Es el proceso que consiste en transformar un polinomio como producto

de dos o más factores. Así por ejemplo el polinomio 3a + 3b tiene al 3 como

factor común, entonces, por la propiedad distributiva se puede transformar así:

( )baba +=+ 333

Existen diferentes métodos para factorizar expresiones algebraicas.

MÉTODO 1: FACTOR COMUN

Para factorizar una expresión algebraica por el método del factor común, se

busca el máximo común divisor de los coeficientes y la parte literal común con

el menor exponente.

Ejemplos

Factorizar las siguientes expresiones algebraicas:

1. xx 73 2 −

El factor común de la parte literal es X altera cada término se divide por x :

77;3

3 2

==x

xx

x

x

Ahora aplicando la propiedad distributiva tenemos:

( )7373 2 −=− xxxx

2. 432 20105 yyy +−

Se busca el máximo común divisor de los coeficientes

5 10 15 5

1 2 3

MCD ( ) 515,10,5 =

La parte literal común y con menor exponente es 2y , el factor común es

y2 ?

Ahora: yy

yy

y

y

y

y4

5

20;2

5

10;1

5

52

4

2

3

2

2

===

Ahora aplicando la propiedad distributiva la factorización queda finalmente:

( )22432 421520105 yyyyyy +−=+−

3. 322 153060 yxyyx +−

El factor común de la parte literal es y.

Se calcula el máximo común divisor de los coeficientes.

60 30 15 3

20 10 5 5

4 2 1

MCD ( ) 155315,30,60 =×=

El factor común es y15 .

Ahora: ;415

60 2

xy

yx = =y

xy

15

30 22

3

15

15;2 y

y

yxy =

Aplicando de nuevo la propiedad distributiva

( )2322 2415153060 yxyxyyxyyx +−=+−

TALLER

Factorizar las siguientes expresiones algebraicas. Ejercicio 89 de Baldor:

1) aba +2 )( baa + 2) 2bb + )1( bb +

3) xx +2 ( )1+xb

4) 233 aa − ( )132 −aa

5) 43 4xx − ( )xx 413 −

6) 32 155 mm + ( )mm 315 2 +

7) bcab − ( )cab −

8) zxyx 22 + ( )zyz +2

9) 22 62 axxa + ( )xaax 32 +

10) mnm 128 2 − ( )nmm 324 −

11) 33 189 axa − ( )xaax 29 22 −

12) 3223 6015 dcdc + ( )dcdc 415 22 +

13) 2abcabc + ( )cabc +1

14) 4222 3624 yxxya − ( )222 3212 xyaxy −

15) 332 7035 mnm − ( )mnm 235 32 −

16) aaa ++ 23 ( )12 ++ aaa

17) 284 2 +− xx ( )2422 2 +− xx

18) yyy 52015 23 −+ ( )135 2 −+ xyyy

19) 223 axxaa +− ( )22 xaxaa +−

20) axaxxa 322 22 −+ ( )322 −+ xaax

21) 753 xxx −+ ( )423 1 xxX −+

22) 22 1444896 nmn +− ( )32 62424 nmn +−

23)222 685134 ayyax −+ ( )22 43217 yayxa −+

24) 4322 562814 xxyx +− ( )222 4214 xxyx +−

25) 222222222 ycaxcacba +− ( )22222 yxbca +−

26) 3223232 22011055 ymxnmxnm −+ ( )32332 4255 yxnxnm −+

27) xayxayxa 223223 1246293 −− ( )42331 222 −− yxaxyxa

28) 432 xxxx −+− ( )321 xxxx −+−

29) 2346 483 aaaa −+− ( )483 242 −+− aaaa

30) 2357 5151025 xxxx −+− ( )13255 352 −+− xxxx

31) 691215 32 xxxx −+− ( )32 3696 −+− xxxx

32) 3232 2415129 abbaaba −+− ( )322 85433 bbabaa −+−

33) 3424223 4024816 yxyxyxyx −−− ( )222 53128 yyxxyyx −−−

34) 4534232 48362412 nmnmnmnm +−+ ( )33222 432112 nmnmmnnm +−+

35) 2332232 20050150100 abccabcabcba −+− ( )403250 222 −+− cbbcababc

36) xxxxx +−+− 2345 ( )1234 +−+− xxxxx

37) 65432 6432 aaaaa +−+− ( )4322 64321 aaaaa +−+−

38) mabbxabaabba 22232 48563 ++−+ ( ) bmaxbaaab 48563 2 ++−+

39) 248121620 aaaaaa −+−+− ( )1261014182 −+−+− aaaaaa

Método 2: Factor común con agrupación de términos:

Es una aplicación del factor común a expresiones de términos pares mayores

que dos, de tal manera que los términos agrupados tengan algún factor común

y las expresiones dentro del paréntesis sean iguales. En caso que esto no

suceda la expresión no se puede factorizar por este método.

Ejemplos:

Factorizar las siguientes expresiones algebraicas:

1. bzazbyay +++

Los dos primeros términos tienen el factor común y y los dos últimos tienen

como factor común z , por lo consiguiente se pueden agrupar de la siguiente

forma:

( ) ( )bzazbyay +++ ( ) ( )bazbay +++( )( )zyba ++

2. ywyxwx 2412168 −−+

La expresión tiene 4 términos y se puede agrupar de dos en dos, teniendo en

cuenta que el 2 y 4 término tienen en como factor común: w8 y el 1o y 3o

término tiene como factor común 4; por lo tanto.

ywyxwx 2412168 −−+ ( ) ( )ywxwyx 2416128 −+−

( ) ( )yxwyx 328324 −+−

( )( )wyx 8422 +−

( )( )wyx 21324 +−

3. bxbxx 393 23 +−−

La expresión tiene un número par de términos y se pueden agrupar el 1o y el 3o

término por que tienen el factor común x y el segundo y cuarto término por

que tienen el factor común b3 . Por lo tanto:

bxbxx 393 23 +−− ( ) ( )bbxxx 393 23 +−+−

( ) ( )13313 22 +−+− xbxx

( ) ( )13313 22 −−− xbxx

( )( )bxx 313 2 −−

TALLER No. 2

Factorizar las siguientes expresiones:

1) bxaxaba +++2 ( ) ( )bxaxaba +++2

( ) ( )baxabaa +++

( )( )xaba ++

2) bnanbmam −+− ( ) ( )bnanbmam −+−

( ) ( )banbam −+−

( )( )nmba +−

3) byaybxax 422 +−− ( ) ( )bybxayax 422 +−+−

( ) ( )yxbyxa 222 +−+−

( ) ( )yxbyxa 222 −−−

( )( )bayx 22 −−

4)222222 33 byyabxxa −+− ( ) ( )222222 33 bybxyaxa −−++

( ) ( )22222 3 yxbyxa +−+( )( )bayx 3222 −+

5) 44 3223 mxnxnm +−− ( ) ( )44 3223 mxnxnm +−+−

( ) ( )mnnnm 3223 4 +−+−( ) ( )mnnnm 3223 4 −−−( )( )4123 nnm −−

6) xaxax −+− 22 ( ) ( )xaaxx 222 −−++

( ) ( )xaxx −−++ 11 2

( ) ( )11 2 +−+ xaxx

( )( )21 axx −+

7) aaa 414 23 +−− ( ) ( )23 144 aaa −−++

( ) ( )22 114 aaa −−++( ) ( )1144 22 +−+ aaa

( )( )1412 −+ aa

8)222 yxyxx −−+ ( ) ( )222 yxyxx −−++

( ) ( )11 2 −−++ xyxx

( ) ( )11 2 +−+ xyxx

( )( )21 yxx −+

9)2222 3223 abyxyabx +−− ( ) ( )2222 2233 xyabyabx −−++

( ) ( )2222 23 yxyxab −−++( ) ( )2222 23 xyyxab +−+

( )( )2322 −+ abyx

10) axbba 623 22 −+− ( ) ( )xbbaxa 22 263 +−+−

( ) ( )xbxa 21213 2 +−+−( ) ( )xbxa 21213 2 −−−

( )( )2321 bax −−

11) xaax 2136 +++ ( ) ( )xaax 2136 +++

( ) ( )12123 +++ xxa

( )( )1312 ++ ax

12) amxbmbaxa 3344 23 −+− ( ) ( )amxbmbaxa 3344 23 −+−

( ) ( )xbmbxa −+− 34 2

( ) ( )bxmbxa −+− 34 2

( )( )mabx 34 2 −−

13) axaxx 393 23 +−− ( ) ( )axaxx 343 23 −−+−

( ) ( )axaxx 333 2 +−+−( ) ( )axaxx 333 2 −−−

( )( )133 2 −− xax

14) bxbyyaxa 61552 22 −+− ( ) ( )bxbyyaxa 21552 22 −+−

( ) ( )xybyxa 253522 −+−( ) ( )yxbyxa 523522 −−−

( )( )bayx 352 2 −−

15) 32222 22 xyzyxzyx +++ ( ) ( )22232 52 zyxzxyyx +++

( ) ( )222 2252 yxzyxxy ++−( )( )22 22 zxyyx +−

16) mxnxnm 142196 −+− ( ) ( )mxnxnm 142196 −+−

( ) ( )mnxnm 237323 −+−( ) ( )nmxnm 327323 −−−

( )( )xnm 7332 −−

17) xaynyaxn 222222 55 +−− ( ) ( )xayaynxn 222222 55 +−+−

( ) ( )xyayxn +−+− 2222 5

( ) ( )2222 5 yxayxn −+−( )( )222 5anyx +−

18) baba 33 +++1 ( ) ( )baba 331 +++

( ) ( )131 +++ aba

( )( )ba 311 ++

19) nmamnm 3124 23 −− ( ) ( )nmnmm 3124 23 +−+−

( ) ( )143142 +−+− mnmm

( ) ( )143142 −−− mnmm

( )( )nmm 314 2 −−

20) aybybxax 82520 +−− ( ) ( )bybxayax 25820 −−++

( ) ( )yxbyxa 255254 −−++( ) ( )yxbyxa 255254 +−+

( )( )bayx 5425 −+

21) 123 +++ aaa ( ) ( )123 +++ aaa

( )1)1(2 +++ aaa

( ) ( )11 2 +++ aa

22) ababxx 623 2 −+− ( ) ( )362 22 +−+−− abxxab ( ) ( )123122 +−+− ababx

( ) ( )123122 −−− ababx

( )( )312 2 −− xab

23) 222 7373 abaxxba −+− ( ) ( )bxabaxa 7733 22 −−++

24) 1222 −+−+− nmaanam

25) bayabxbyax 436223 ++−−− g

26) 22223 3933 babaabbaa −+−+−

27) 222223 6322 xynynzxznxx +−−+−

28) yxaxxyayaxyx 22223 323223 −−−++

29) xnxbaxnxbanba 42224232432 33 +−−+− =