FACULTAD DE INGENIERÍA PESQUERA Y DE ....
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132 UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO VICERRECTORADO DE INVESTIGACIÓN FACULTAD DE INGENIERÍA PESQUERA Y DE . ALIMENTOS INFORME FINAL DEL PROYECTO DE INVESTIGACIÓN "TEXTO: MATEMÁTICA 111 PARA ESTUDIANTES DE INGENIERÍA". Lic. Segundo Agustín García Flores (Del 01 de mayo del2012 al 30 Gle Abril del 2014) (Resolución Rectoral No '0460-2012-R) Callao, 2014 ® 'r
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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO VICERRECTORADO DE INVESTIGACIN
FACULTAD DE INGENIERA PESQUERA Y DE . ALIMENTOS
INFORME FINAL DEL PROYECTO DE INVESTIGACIN
"TEXTO: MATEMTICA 111 PARA ESTUDIANTES DE INGENIERA".
Lic. Segundo Agustn Garca Flores
(Del 01 de mayo del2012 al 30 Gle Abril del 2014)
(Resolucin Rectoral No '0460-2012-R)
Callao, 2014
'r
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b) RESUMEN
e) INTRODUCCION
d) MARCO TEORICO
CAPITULO 1
1. RECTAS Y PLANOS
a) NDICE
1.1 Introduccin a los vectores
1.1.1 Vector
1.1.2 Igualdad de vectores
1. 1. 3 Operaciones con vectores
1.1.4 Ortogonalidad de vectores
1.1.5 Producto escalar (o interno) entre dos vectores
1.1.6 ngulo entre dos vectores
1.1.7 Producto vectorial entre dos vectores
1.1.8 Triple producto escalar
1.1.9 Triple producto vectorial
1 . 2 La recta y sus ecuaciones
1.2.1 Ecuaciones de la recta
1.2.2 ngulo que forman dos rectas
1.2.3 Interseccin de dos rectas
1
Pgina
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33
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%
-
1.2.4 Posiciones relativas de dos rectas en el espacio 35
1.2.5 Distancia de un punto a una recta 35
1 . 3 El plano y sus ecuaciones 37
1.3.1 Ecuaciones del plano 37
1.3.2 Posiciones relativas de planos y rectas en el espacio 41
1.3.3 Plano paralelo a dos rectas 42
1.3.4 Recta definida por dos planos 42
1.3.5 ngulo que forman dos planos 44
1.3.6 Angulo que forman recta y plano 45
1.3.7 Distancia de un punto a un plano 47
1.3.8 Distancia entre dos rectas paralelas 49
1.3.9 Distancia (mnima) entre dos rectas que se cruzan 51
1.3.1 O Distancia de una recta a un plano 53
1.3.11 Distancia entre dos planos 54
1.4 Prctica N 01 56
CAPITULO 11
2. FUNCIONES VECTORIALES
2.1 Funciones vectoriales de variable real
2.1.1 Definicin. Dominio y rango
2.1.2 Operaciones con funciones vectoriales
2.1.3 Lmite y continuidad
2.1.4 Derivacin
2.1.5 Integracin
2
64
64
65
68
70
75
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-
2.2 Prctica N 02
CAPITULO 111
83
3. CURVAS 87
3.1 Parametrizacin de una curva 87
3.1.1 Curva parametrizada 87
3.1.2 Curva regular 90
3.2 Reparametrizacin de una curva regular 91
3.3 Longitud de arco de una curva 93
3.4 Tangente unitaria, normal principal y vector binormal 94
3.5 Planos: osculador, normal y rectificante 96
3.6 Curvatura y torsin 98
3.6.1 Curvatura 99
3.6.2 Torsin 101
3.7 Prctica N 03 104
CAPITULO IV
4. SUPERFICIES
4.1 Superficie y su grfica
4.1.1 Introduccin
4.1.2 Definicin de superficie
4.1.3 Discusin de la ecuacin de una superficie
4.2 Superficies cudricas
4.3 Prctica N 04
3
108
108
108
111
111
118
130
-
CAPITULO V
5. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
5.1 Funciones reales de varias variables
5.1.1 Definicin. Dominio y rango
5.1.2 Operaciones con funciones de varias variables
5.2 Curvas y supeicies de nivel
5.2.1 Curvas de nivel
5.2.2 Superficie de nivel
5.3 Lmite y continuidad
5.3.1 Conjuntos abiertos y cerrados en O n
5.3.2 Lmite
5.3.3 Continuidad
5.4 Derivadas parciales
5.4.1 Definicin e interpretacin geomtrica
5.4.2 Derivadas parciales de orden superior
5.4.3 Derivadas direccionales
5.4.4 Derivada de la funcin compuesta
5.4.5 Derivacin implcita
5.4.6 Diferencial de una funcin escalar
5.5 Prctica Naos
5.6 Prctica Naos
5.7 Gradiente de una funcin
5.8 Mximos y mnimos en funciones de varias variables
4
133
133
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140
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142
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151
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185
192
195
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5.8.1 Definicin de extremos relativos 195
5.8.2 Punto silla 197
5.8.3. Condicin suficiente de extremo (matriz Hessiana) 197
5.8.4 Criterio de las derivadas segundas 198
5.9 Valores extremos condicionados 204
5.9.1 Mtodo de multiplicadores de LaGrange 205
5.1 O Prctica N07 209
CAPITULO VI
6. LA INTEGRAL DOBLE
6.1 La integral doble sobre un rectngulo
6.2 Funcin integrable
6.2.1 Definicin de integral doble
6.2.2 Propiedades de la integral
6.3 Integrales iteradas. Teorema de Fubini
6.4 Integrales sobre recintos estndar de R2
6.5 Cambio de variable en integrales dobles
6.5.1 Integrales dobles en coordenadas polares
6.6 Prctica N08
CAPITULO VIl
7. LA INTEGRAL TRIPLE
7.1 Integrales triples: definicin y propiedades
215
215
216
216
217
220
222
224
229
231
236
236
7.2 Clculo de integrales triples en coordenadas cartesianas 238
7.3 Cambio de variables en las integrales triples 242
5
-
7.3.1 Clculo de integrales triples en coordenadas cilndricas 244
7.3.2 Clculo de integrales triples en coordenadas esfricas 246
7.4 Aplicaciones de la Integral triple 248
7.5 Prctica N09 252
CAPITULO VIII
8. LA INTEGRAL DE LINEA
8.1 Definicin y propiedades fundamentales
8.2 Independencia de las trayectorias
8.3 Teorema de Green
8.4 Practica N1 O
CAPITULO IX
9. INTEGRAL DE SUPERFICIE
9.1 Conceptos de funciones vectoriales de varias variables
9.1.1 Limite y continuidad
9.1.2 Derivadas parciales
9.2 La integral de superficie
9.2.1 Superficie parametrizada-
9.2.2 Vectores normales y planos tangentes
9.2.3 rea de una superficie paramtrica
9.2.4 Definicin de integral de superficie
9.2.5 Orientacin de una superficie
9.3 Prctica N11
6
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254
258
260
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269
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271
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273
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CAPITULO X
10. OPERADORES DIFERENCIALES
10.1 Operadores diferenciales en IP6.3
1 0.1.1 Gradiente de un campo escalar
1 0.1.2 Divergencia de un campo escalar
1 0.1.3 Rotacional de un campo vectorial
1 0.1.4 Algunas relaciones entre operadores
10.2 Teorema de Divergencia de Gauss
1 0.2.1 Teorema e interpretacin fsica
1 0.2.2 Algunas consideraciones prcticas
10.3 Teorema de Stokes
10.3.1 Teorema e interpretacin fsica
10.4 Prctica N12
e), MATERIALES Y METODOS
f) RESULTADOS
g) DISCUSION
h) REFERENCIALES
i) APENDICE
Integral de Riemann
La integral como lmite de sumas
Propiedades de la integral definida
7
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289
289
289
290
291
293
293
294
302
302
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315
316
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Teorema de valor medio para integrales
Primer Teorema Fundamental del Clculo
Segundo Teorema Fundamental del Clculo
8
321
322
324
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b). RESUMEN
La idea central en la redaccin del "Texto: Matemtica 111 para
estudiantes de Ingeniera", es hacer una presentacin ordenada, secuencial en
el sentido de la complejidad de los contenidos, didctica y sencilla, pero sin
perder formalidad, de los principales temas que componen el silabo de la
as_ignatura en la Facultad de Ingeniera Pesquera y de Alimentos.
El texto est organizado en 1 O captulos, con 139 ejemplos didcticos,
que cubren la temtica del Clculo diferencial e integral de varias variables
contenido en el silabo del curso. Asimismo, se incluyen 12 prcticas de final de
capitulo conteniendo 523 ejercicios seleccionados y propuestos que permiten
reforzar y profundizar los ejemplos y temas expuestos.
En el Apndice se presenta de una manera formal algunos resultados de
integral definida, como los teoremas fundamentales del clculo que son
saberes previos a Matemtica 111 muy necesarios para entender este material.
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e). INTRODUCCIN
Los diversos textos de Matemtica 111, Anlisis Matemtico 111 y Clculo
de varias variables de autores nacionales, al abordar los diversos temas, stos
son tratados segn el estilo o propsito de cada uno de sus autores; en
muchos casos los temas son tratados solo tericamente y/o con un relativo
manejo conceptual que muchas veces los jvenes estudiantes del tercer ciclo,
en particular en las Escuelas de Ingeniera Pesquera y de Alimentos, les resulta
"difcil entender" ya sea por la diferente notacin que emplean los autores al
referirse a lo mismo o por la falta de un "grfico" que les permita entender mejor
las relaciones matemticas presentes; lo que causa dificultades en el
aprendizaje, perdiendo tiempo valioso en aclaraciones al respecto.
Nuestra conviccin es que redactando un texto, donde se desarrollen
todos los temas de inters del syllabus para Ingeniera de tercer ciclo,
combinando un estilo formal con un manejo conceptual adecuado, con
notaciones estndar, con una redaccin sencilla y con ejemplos y ejercicios
que motiven y muestren la utilidad de la matemtica en este nivel se
beneficiar a los jvenes estudiantes y facilitando la adquisicin de los
conocimientos y un buen manejo de las herramientas que la materia
proporciona.
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Por ser una teora bsica, los estudiantes lo utilizarn con mucha
seguridad en problemas experimentales de Fsica, Qumica, Economa,
Estadstica e Ingeniera.
Enunciado del problema:
Cmo lograr la redaccin de un texto de matemtica 111 para estudiantes de
Ingeniera, de fcil comprensin, que contenga un nmero suficiente de
ejercicios, utilizando un lenguaje sencillo, con una didctica adecuada y que
promueva su aplicacin en los estudiantes de la Facultad de Ingeniera
Pesquera y de Alimentos de la Universidad Nacional del Callao?
Objetivos y alcance de la investigacin:
Objetivo general:
Redactar un texto de matemtica 111 para estudiantes de Ingeniera, de fcil
comprensin, que contenga un nmero suficiente de ejercicios, utilizando un
lenguaje sencillo, con una didctica adecuada y que promueva su aplicacin
en los estudiantes de la Facultad de Ingeniera Pesquera y de Alimentos de
la Universidad Nacional del Callao.
Objetivos especficos:
Redactar los temas de Matemtica 111 para estudiantes de Ingeniera,
utilizando un lenguaje sencillo, pero sin perder la formalidad necesaria,
11
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para ser comprendida con relativa facilidad por los estudiantes de tercer
ciclo de estudios de Ingeniera.
Explicar los temas con una didctica adecuada utilizando ejemplos en
cantidad suficiente que permita la comprensin de cada tema.
Proponer un nmero suficiente de ejercicios que ayude a la comprensin
de los diversos temas de Matemtica 111.
Alcances de la Investigacin:
La presente investigacin es de tipo bsica (elaboracin de texto). Beneficiar
a los estudiantes y docentes de la carrera de ingeniera pues podrn apreciar la
utilidad de un texto como herramienta para el aprendizaje y para el desempeo
docente en aula, particularmente en _la Facultad de Ingeniera Pesquera y de
Alimentos.
Importancia y Justificacin:
La elaboracin del texto de Matemtica 111 para estudiantes de Ingeniera es de
gran importancia porque contribuye a dar una lnea de orientacin en el
desarrollo de contenidos curriculares as como reforzar el aprendizaje del
clculo diferencial e integral de varias variables.
Los aspectos fundamentales de la teora y de la parte prctica se irn
presentando, de manera progresiva en su dificultad promoviendo en el
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estudiante el rigor en el desarrollo de ejercicios y problemas y en el docente
una posibilidad de estructurar estrategias de aprendizaje grupal en el aula.
El propsito en el presente trabajo es redactar un texto de una manera sencilla
sin perder la formalidad matemtica y que sea en gran parte fcilmente
comprendida por los estudiantes del tercer ciclo de estudios de la Facultad de
Ingeniera Pesquera y de Alimentos de la Universidad Nacional del Callao,
principalmente.
Es de importancia en el currculum debido a que permitir acompaar la labor
docente de implementacin del currculum, y mediadores por excelencia de los
libros de texto, los profesores podrn juzgar la estructura y dinamismo de la
redaccin y su diferenciacin de otros textos del mercado. Asimismo, los
estudiantes podrn disponer a partir de los resultados del estudio, de un texto
valioso como elemento de apoyo a su aprendizaje.
Finalmente, el estudio puede resultar el punto de partida de investigaciones,
como por ejemplo, recogiendo los resultados de esta investigacin, podran
explorarse posibles relaciones entre el uso efectivo del texto y su estructura.
La redaccin del Texto de Matemtica 111 para estudiantes de Ingeniera est
relacionada con:
Algunos temas de Operaciones Unitarias, Ingeniera 111, etc.
Temas de Matemtica IV.
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1. RECTAS Y PLANOS1
d). MARCO TEORICO
CAPITULO 1
RECTAS Y PLANOS
1.1 Introduccin a los vectores
El estudio de los vectores es uno de tantos conocimientos de las
matemticas que provienen de la fsica. En esta ciencia se distingue entre
magnitudes escalares y magnitudes vectoriales.
Las magnitudes escalares son aquellas que quedan totalmente
determinadas dando un slo nmero real y una unidad de medida. As, se
pueden citar la masa de un cuerpo, la temperatura, el volumen, la longitud
. de un alambre, el tiempo transcurrido entre dos sucesos, etc.
Por el contrario, se consideran magnitudes vectoriales aquellas en las
que, de alguna manera, influyen la direccin y el sentido en que se aplican.
Por ejemplo, cuando se plantea un movimiento no basta con decir cunto
se ha desplazado el mvil, sino que es preciso decir tambin en qu
direccin y sentido ha tenido lugar el movimiento. No son los mismos los
efectos de un movimiento de 50 km a partir de un punto si se hace hacia el
En este captulo se utiliza material obtenido de la pgina
https:/ /matesjaranda. wikispaces.com/Matem%C3 %A 1 ticas+ II y modificado para
propsitos del texto.
14
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norte o si se hace en direccin noreste, ya que se llegara a distinto lugar.
Son magnitudes vectoriales, la aceleracin, el momento angular, etc.
1.1.1 Vector
Se llama VECTOR a todo segmento de recta orientado. En la figura N1.1
se representa el vector A", siendo A el origen y B el extremo.
Figura Nl.l vector
Componentes y mdulo de un vector
En el plano o en el espacio de dos dimensiones (9t2)
Considere el vector ~B1 de la figura N1.2, cuya representacin con
componentes es: A= ( a1 ;a2 ). Se tiene las componentes:
Horizontal a1 = x2 -x1 y Vertical a2 = y 2 -y1
Figura N1.2 Vector en R2
15
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ngulos Directores: a ; jJ (ngulos que forma el vector con los ejes
coordenados).
El mdulo del vector ~B1 es IA.I =~a+ a~ .
En el espacio de tres dimensiones (9t3)
Consideremos el vector A de la figura N1.3. En este caso las
ngulos directores: , ~' y .
El mdulo del vector A: 1 A.l = Ja +a~ +ai
Cosenos directores
Se llaman cosenos directores de un vector a los cosenos de los ngulos
directores. As,
A A o ::; a ::; 180 => -1 ::; cos( a)::; 1; o ::; f3 ::; 180 => -1 ::; cos( f3)::; 1
o :::: r :::: 1so => -1 :::: e os ( r; :::: 1
Figura N1.3 Vector en R3
Considerando los cosenos directores se tiene las componentes:
16
-
Relacin fundamental de los cosenos directores:
c6s2 (a)+ cos2(/!) +
1.1.2 Igualdad de vectores
Consid~remos ~los .. v~ctores A=(a1;ai;a3 j"y B~(b1;b2 ;b3 )en R3.
Definimos la igualdadde:vci~es como,
~- . ~=;:
-
'''1Cifb:ind1Cin necesliiay.sufici,ente para. q~J:iOs. veaor~s sean' paralelo~
y del mismo ~entido, determina que la razn entre las componentes
.homlogas correspondientes de, ambosyectores constantes e igual a la ' ' ...... : : .. ;:: .. . ;:
razn entre los mdulOs:, deJos vectre :, ::':.~.~;,:, .. ,."' .: . . .. .. . .. . . .. . . . . . . ...
De sentido contrario: a 1 = 180- a 2 ; /31 = 180- j12 , y1 = 180- y2
Por propiedades trigonomtricas:
La condicin necesaria y suficiente para que dOs vectoressean paralelOs
y de sentido contrario est determinado por la igualdad de las razones
componentes homlogas, correspondientes de ambos vectores, razones que
sern iguales a la razn entre los mdulos de los vectores con signo
contrario.
Figura N1.5 vectores paralelos sentido contrario
18
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1.1.3 Operaciones con vectores
a) Suma de vectores
.:~'Iilps v~ctores: .. = (a1 ;a2;a3) y' ~:~!'(b1;b;;bJ) :. en R3 . Definimos la
' ~~ ~Offio: A+ s ~(~ +h;;l~$b, :if+ifj Propiedad importante:
lA +BI ~IAI +181 La suma de dos. vectores de igual dimensin da otro vector de la misma
:.~.:: :;.> .... >. '' . : < >: ::::: :. .. . .. : ::-: . . . : . . .
dimep~i~n de los vedor~s dados c;uyas componentes cartesianas son la
suma de las comp~~~~fgs c~rtesianas c;orrespondientesde ambos vectores .(v~rfigura . N1.6). - = ( -a1;-a2 ;-a3 ) (ver figuraN1. 7)
19
-
b) Resta de vectores ~ -, ~.. - ~ "' o -~
Sean los vectores A ={a~;~2 ;a3 ) y B == (~~;b2 ;b3}';.n R3. Definimos la
resta de vectore~ como:
e) Producto de un vector por un escalar
El resultado de multiplicar un escalar 'A por un vector A, expresado por 'AA,
es otro vector con las siguientes caractersticas:
Tiene la misma direccin que A .
Si 'A >O el sentido de A 'coincide con el sentido de jj.
Si 'A < O el sentido de A es opuesto al sentido de B .
El mdulo es 'A veces la longitud que representa el mdulo de A .
(_Si 'A::;: O el resultado es el vector nulo).
Propiedades
..i(A + jj) = M+ ..iB; A E R.
Vector unitario
Es un vector que tiene de mdulo 1. Por ejemplo, el vector
A=(112,11F2,112) es unitario.
20
-
A veces nos dan un vector y nos piden que calculemos su vector unitario (es
decir normalizar un vector). Lo nico que tenemos que hacer es calcular el
mdulo del vector y dividir entre su mdulo. Es decir, ~~~-
Vectores bsicos unitarios: Y = (1,0,0);] = (0,1,0); k = (0,0,1).
1.1.4 Ortogonalidad de vectores
Definicin
v
:sean Ay
Ejemplo 1.1:
Sean los vectores A=(-3,7,13) y B=(-8,5,3) en R3. Calculamos los mdulos
de la suma y la diferencia de estos dos vectores,
IA+BI =1(-3, 7,13)1 =.J9+49+169 =Jm. lA- .BI = IC13, -3, 7)1 = Jm.
Por tanto, A y B son ortogonales.
1.1.5 Producto escalar (o Interno) entre dos vectores
r. '' .. :c::;::c:c: -,-.:::- . >>"::::+e ;:e:,.:...:.:'' .s~ . .
-
Teorema
Ejemplo 1.2:
Figura N1.8 Vectores bsicos
Figura N1.9 An~ulo entre dos vectores
Sean los vectores: A= (2, 5,1 O) y B = (5,-8,3). El producto escalar de ellos
es: A B = 2(5) + 5(-8) + 1 0(3) = 1 O - 40 +30 = O. Por tanto, los vectores A y
B son ortogonales.
Nota
Se verifica que dado un vector no cero, A A= ~A!}.
Propiedades del producto escalar
A S== S A(Conmutativa) '.: .. ::. :::: ...... : .... :.. .. . ............... :
......... ........ ........ . . . . .. ... .... . ..
CJ+JJ)~q~C~1JC (i~tributiva) .......... . . . .. .. . .. .. '."', :::. . . .
... . . ....... . .. . ... .. .... . . .... .. .... ... .
({X A) S ~li(A B) .... : . . . . : .: . -_ .- .. . . . . :: '... .. : . .; :. :: ::-:-::- : . : ; < .. :::: : ... : .
e A S~(); A. B=:.O~.=O. (Nor1gatividad)
22
-
1.1.6 ngulo entre dos vectores
En forma eqyhalente se tiene:
,.,:::~;:;:!!::.~;; .. !: .. :!' .::::.:':."" . ~:. ~
De donde, en componentes .x.s.cos(a)=a1b1 +a2b2 +a3b3 ,
(a b )+(a b2 )+(a b ) despejamos: cos (a) =
1 1 .s
3 3 .
. ,-, ~ 2 2 2 ,-, ~ 2 2 2 Sabemos que. A = a1 +a2 +a3 y B = b1 + b2 + b3 .
Por tanto el ngulo entre dos vectores (ver figura N1.9) es dado por:
Ejemplo 1.3:
Sean los vectores: A=(5,3, 7), .8=(2,-8,4). Hallar el ngulo entre ellos.
Solucin:
= 5(2)+3(-8)+7(4) = 14 = -!21-=0167 -Jzs + g + 49.J4 + 64 + 16 )83-!84 3)83
Utilizando calculadora cientfica: a= arccos(0.167) = 9.57.
Ejemplo 1.4:
Hallar el ngulo que forman los vectores = (3,2,6) y v = ( -4,5,1) .
Solucin:
Efectuamos el producto: u[]l = -12+ 10+6 = 4.
23
-
.v 4 cosa= lllvl = 7../42.
Buscando con la calculadora el ngulo cuyo coseno es 4/( 7.J42), se obtiene a= 84,94.
1.1.7 Producto vectorial entre dos vectores
Definicin
:Con~ide~~~~~-cjosvectore~: =:={v~2,a3 )y"B = (b1 ,b2 ~,p3) en R3.,'Defi11imo~,
~~~ prbducto v'6torial de'f~Ky e , ciTl~: l ..
0::,,~ = (az b3 ::
-
e) i X k=]; k X i =-j
d) j X k=T-'
k X j =-i
Teorema
'solo si AxB= O.
IQterpretacin geomtrica
En la figura N1.1 O, sea rea OMNP = I:BI.h
Como h = IA.I.sen (a) se tiene: rea OMNP = IBI-IA.I.sen (a)
Por tanto, rea OMNP =lA. X s
0x1h T jj 11 jj
Figura Nl.l0 rea de un paralelogramo
"El rea del paralelogramo es igual al valor del mdulo del producto
vectorial"
Ejemplo 1.5:
Sean los vectores 1=(1,2,3), B=(3,4,5). Hallar el rea del paralelogramo de
lados Ay B.
Solucin:
25
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Calculo del producto vectorial: x B = (2(5)- 3( 4), 3(3) -1(5), 1( 4)- 2(3)).
xB = (10-12,9-5,4-6) = (-2,4,-2).
IA.xBI =1(-2,4,-2)1 = ../4+16+4 = .fi4 = 2.J6.
Por tanto, el rea del paralelogramo es 2-16 u2 .
1.1.8 Triple producto escalar
Por medio del producto escalar y vectorial de tres vectores A , B y e en R3
se forma A (Bx e), definido como
al az a3
A(Bxe)= h1 h2 h3
Propiedades
El producto triple escalar es un nmero real.
El valor del "triple producto escalar" representa el volumen de un
paraleleppedo de aristas A , B y e como el que se muestra en la figura
Figura Nl.ll Volumen del paraleleppedo
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-
Nota
El volumen de un ortoedro, como la de cualquier otro paraleleppedo se
obtiene multiplicando el rea de la base por la altura. As, por ejemplo si los
vectores que forman la base son A=(1,-2,2) y B=(2,-1,3) y la altura
C= (1,2,3), el valor del volumen de este ortoedro es
1 2 3
C(AxB)= 1 -2 2 = 7 u3. 2 -1 3
1.1.9 Triple producto vectorial
Por medio de productos vectoriales de tres vectores A , B y e en R3 se
pueden formar productos como: Ax(Bxc), (AxB)xe o (cxB)xA, en todos
estos casos el resultado es otro vector.
Propiedades
No se puede asociar: :Ax(BxC):;t:(Ax"B)xc
Ax(BxC)=(AC}B-(AB~
(:Ax:B)xc = (AC)B-(BC)A
Ax(BxC)+cx(:Ax:B)x+Bx(cxA)=O (Identidad de Jacobi)
Segn la frmula, A x (Ex C) es un vector contenido en el plano definido por
- -los vectores B y e .
27
-
Sea A x (Bx e) el triple producto vectorial buscado, se puede llegar a una
expresin que est en funcin de estos mismos vectores2. El vector
resultante estar incluido en el plano que forman los vectores B y e ,
cualquiera sea la direccin de A. Entonces, se puede descomponer al
vector A x (Bx e) en una componente paralela a B y otra paralela a e .
(1)
Para facilitar la demostracin primero se supondr B .l C ; luego la frmula
se ampliar de forma general. Por ahora, efectuamos producto escalar por
el vector B en (1).
El primer miembro es un producto mixto y, como tal, puede intercambiar sus
factores de esta manera:
Igualando las expresiones anteriores se tiene:
El producto (s x e) x B da como resultado un vector en la misma direccin
y sentido que C. Si averiguamos el mdulo de este producto obtenemos:
2 Versin del triple producto tomado de http://es.wikipedia.org/wiki/Doble producto vectorial adaptada
para Jos fmes del texto.
28
-
Como ('Ex e )x B es de direccin y sentido iguales a e, se puede expresar
de la siguiente manera:
Identidad que, multiplicada escalarmente por el vector A, coincide con (2).
Por tanto, x = AC:C.
Para averiguar y se sigue un proceso anlogo, en el cual se efecta en la
expresin (1) el producto escalar por el vector e: -
e~ A x ( B x e) J =e ( Bx +e y)
A~ ( B x e )x e J = e2 y Ntese que el vector ('Ex e )x e es opuesto a B. Esto implica:
Reemplazamos x e y en expresin ( 1) y obtenemos la frmula de triple
producto vectorial para 'B y e paralelos.
A x ( B x e) = ( AC:C) B- ( Affi) e .
29
-
1 . 2 La recta y sus ecuaciones
1.2.1 Ecuaciones de la recta
Una recta L en el espacio queda determinada vectorialmente
conociendo:
Un punto P0 (x0 ,y0 ,z0 )por el que pasa dicha rectaL.
~
Un vector a =(a1,a2 ,a3 ) paralelo a L llamado vector director.
~ ~ ~ ~ -~
Observa en la figura N 1.12 como los vectores Po, (p0 + 1 a), (p0 + 2 a),
~ ~
... , (p0+t a) todos tienen un extremo sobre la recta L y origen comn
en O.
~ ~
En general el vector: (p0+t a) tiene su extremo P sobre la recta L. Al variar
el valor de t el punto P se mueve sobre L.
z t .
. o ......................... x/ Y
Figura Nl.l2 Ecuacin vectorial de la recta
a) Ecuacin Vectorial
El punto P0 (x0 ,y0 ,z0 )es el extremo de un vector con origen en O que
llamamos vector posicin del punto P0 . El punto arbitrario P de la recta L
30
-
~
determina un vector posicin que llamamos P . En estas condiciones
tenemos la ecuacin vectorial:
~ ~ ~
P=IQ+ta !tER
En coordenadas cartesianas,
(x,y,z) = (x0,y0 , z0 ) + t( a1,a2 ,a3 )
: :=::
-
Nota
A veces se nos presenta una recta en forma continua con algn cero en el
denominador. Tal expresin no es correcta aritmticamente, pero se admite
simblicamente (los denominadores son las coordenadas del vector director)
Ejemplo 1.6:
Hallar las ecuaciones vectorial, paramtricas y continua de la recta que pasa
por los puntos: P(-5,3,7) y Q(2,-3,3).
Solucin:
El vector direccin: a= PQ = Q- P = (2,-3,3)-( -5,3, 7) = (7,-6,-4) .
. La ecuacin vectorial:
4 -L:P=Q0 +ta !tER
L: P=(2,-3,3)+t(7,-6,-4) 1 tE R.
Las ecuaciones paramtricas: desarrollando la ecuacin vectorial y usando
igualdad de vectores se tiene
{X= 2+7t L: y=-3-6t
z =3-4t
La ecuacin continua: despejando t en las ecuaciones paramtricas se tiene
x-2 y+3 z-3 --=t 1\ --=t 1\ --=t
7 -6 -4
de donde L: x- 2 = y+ 3 = z- 3 . 7 -6 -4
32
-
1.2.2 ngulo que forman dos rectas
Si tenemos dos rectas L1 y L2 (ver figura N1.13), y tomamos vectores
directores de cada una de ellas entonces el ngulo que forman dichas
rectas ser el ngulo que forman sus vectores directores.
' . x- Xo - y- Yo - z- zo -'4. .--- ---
L2: x-x =y- Y2 = z-z3 U u2 u3 v1 v2 v3
L2
Figura N1.13 ngulo entre dos rectas
Por tanto, todo se reduce al calcular el ngulo formado por dos vectores, que
ya s sabemos hacerlo.
De la definicin de producto escalar, se obtiene:
",,:r:rii.v 1 J4~v'''+J v +u v :,:::~::': cosa = - .. - = . 1 1 2 2 3 3
lJivl .J2 :'+ u~+ u: ~V12,+v~+ v: . ..... .. ........ / .. . ,,;::::
(Tomamos el valor absoluto a fin de obtener el menor de los ngulos que
forman las rectas).
Ejemplo 1. 7:
Calcular el ngulo que formado por L1 y L2 siendo: x-2 y-3 z-4
L --=--=--1. 1 -1 5
x-1 y-1 z-2 L-----
2. 2 - 1 - -1
Solucin:
33
-
Los vectores de direccin de las respectivas rectas son = (1,-1,5) y
v = (2,1,-1), por tanto,
11.2+(-1).1+5.(-1)1 12-1-51 4 cosa= ~12 +(-1)2 +52)22 +F +(-1)2 = ..fij.J6 = 9..fi
Usando la calculadora cientfica: a = 71 ,68
1.2.3 Interseccin de dos rectas
. .
,La inte~eccin';d~ L' y ~ existe. sr>y ~o lo si P= Q para lgn nicd\talor de
t y r;;;
Ejemplo 1.8:
Hallar el punto de interseccin de las rectas L y ~ donde:
r .x+1_y+3_z-2. T .x+1_y+2_z-7. L4_-------, ~.-------,
3 -2 -1 2 -2 -4
Solucin:
Sean las rectas L1 :{-1+3t,-3-2t,2-t) y L1 :{-1+2r,-2-2r,7-4r)
Igualando: (-1 + 3t,-3- 2t,2 -t) = (-1 + 2r,-2- 2r,7- 4r)
{
-1 + 3t = -1 + 2r Se tiene: - 3- 2t = -2- 2r => t = 1; r = 312
2-t = 7 -4r
Por tanto el punto de interseccin es (2,-5,1).
34
-
1.2.4 Posiciones relativas de dos rectas en el espacio
Dos rectas r : {Fa + ta 1 t E 9l} , s : { Q0 + A.b 1 A. E 9l} pueden adoptar en el
espacio las siguientes posiciones (ver figura N1.14):
a) Coincidentes: Tienen un punto en comn y la misma direccin.
b) Paralelas: Ningn punto en comn y la misma direccin.
e) Secantes: Un punto en comn y distinta direccin.
d) Se cruzan: Ningn punto en comn y distinta direccin .
/// . ;rr . . . . : :.. .. .. . . .. . ... : . . . . . . . . . . . . .
: ~:: . . . . . : : . . . . : : . ................ ;.
(a) Coincidentes (b) paralelas (e) secantes ( d) se cruzan
Figura Nl.l4 posiciones relativas de rectas
1.2.5 Distancia de un punto a una recta
Sea L una recta, definida por un vector director v y un punto
A(x0 ,y0 ,z0 ), y un punto exterior a la recta P = (x1,y1,z1), ver figura N 1.15:
Figura Nl.l5 distancia punto a recta
El rea de un paralelogramo vendr dado, segn consideremos, por:
rea = base X altura = lvl d 0 tambin: rea = lv X API
35
-
De ah, como la distancia entre el punto y la recta es precisamente la altura de
ese paralelogramo, tenemos que:
d(P L) = d = .,__lv-:-x -:-AP--'-1 ' lvl
Ejemplo1.9:
Hallar la distancia del punto P(1,-2, 2) a la recta dada por las siguientes
ecuaciones paramtricas: { x = 2- A.; y= 1 + 2A.; z = -1- A..
Solucin:
Un punto de la recta es A(2,1, -1) y su vector director es v = (-1,2, -1),
Si hacemos AP = (-1,-3, 3) y posteriormente el producto vectorial con v
- -(-3 3 3 -1 -1 -3J APx v- , , 2
= (-3,-4,-5); 2 -1 -1 -1 -1
lvi=J6
Por consiguiente, d(P, L) = 'Jf = ~ Ejemplo 1.10:
Calcular la distancia de P(5,-1,6) a la recta L: x - 1 = L = z- 5 . -2 -1 1
Solucin:
La recta pasa por R(1,0,5) y tiene direccin d = ( -2,-1,1) . IJI = J6
IRP x di= i(0,-6,-6~ = .fi2 . Calculamos la distancia,
36
-
1
- -- . RPxd JTi d(P,L)~ a ~]6~.JUu,
Ejemplo 1.11:
Hallar la distancia del punto P(12,-1, 1) a la recta L que pasa por A(1, 1,1) y tiene
como vector de direccin al vector v = (3,4,0).
Solucin:
Ecuacin de la recta L: { x = 1 + 3A., y= 1 + 4A., z = 1
G es un punto genrico de la recta (ver figura N1.16). PG es un vector
variable y nos interesa el que sea perpendicular a la recta L. Entonces se ha de
cumplir que PGCV =O . Es decir, (1 + 3A., 1 + 4A.,1)[(3, 4, O)= O y se obtiene A.= 1.
A(1, 1, 1) G(l +3A., 1 +4A., 1) v=(3,4,0)
. .
. .
1 1
Id 1
1 1
'e P(12,-1, 1)
Figura N 1.16 G como punto genrico de recta
El vector perpendicular a la recta ser, por tanto, PG = ( -8,6,0) y la distancia
buscada es el mdulo del vector PG: d = ~(-8)2 + 62 + 02 = 10 u.
1 . 3 El plano y sus ecuaciones
1.3.1 Ecuaciones del plano
Un plano ;r en el espacio queda determinada vectorialmente conociendo:
Un punto P(a,b,c) perteneciente a dicho plano ;r.
37
-
--> -->
Dos vectores u=(upu2 ,u3 ) y v=(vpv2 ,v3 ) linealmente independientes
y paralelos a ;r llamados vectores directores.
---> Observe en la figura N1. 17 como el vector de posicin p nos lleva hasta el
---> ---> punto P del plano ;r. A continuacin la combinacin lineal A u + f.1 v nos
permite acceder desde P a cualquier punto X del plano ;r.
z
Figura Nl.l7 ecuacin vectorial del plano
a) Ecuacin vectorial del plano
Segn acabamos de describir para el plano ;r tenemos su ecuacin vectorial
---7 -+ 4 --+
x = p+ A u+ f.1 v
Los parmetros A y f.1 pueden tomar cualquier valor real. Al hacerlo el punto
X recorre el plano ;r.
En coordenadas cartesianas,
38
-
b) Ecuaciones paramtricas del plano
Si operamos la ecuacin vectorial en coordenaqas obtenemos las ecuaciones
para mtricas
{
X = a + A U1 + 11 V1 7r : y = b + L U2 + 11 V2
z = e + L u3 + 11 v3
e) Ecuacin implcita del plano
Si en las ecuaciones paramtricas eliminamos los parmetros L y 11
_ obtenemos u.na nica ecuacin llamada ecuacin implcita del plano ". Para
eliminar los parmetros se procede del siguiente modo:
{
u1.L +V1J1 =x-a
u2 L + v2 J1 = y- b
u3L + v3J1 = z- e
Sistema de tres ecuaciones con dos incgnitas ( L y 11) que tiene solucin (los
infinitos puntos del plano "). Por tanto el determinante de la matriz ampliada
ha de ser cero (segn el teorema de Rouch)1. As,
u1 v1 x-a
u2 v2 y-b =0
y desarrollando el determinante se tiene una ecuacin de la forma:
Ax+By+Cz+D= O.
1 http://es.wikipedia.org/wiki!Teorema de Rouch%C3%A9%E2%80%93Frobenius (consultado el dia
04.04.14)
39
-
d) Ecuacin normal del plano
Si conocemos un punto P(a,b,c) del plano ;r y una direccin perpendicular
-> .
n = (A, B, e) (llamado vector normal) a dicho plano, cualquier punto X del
~ ~
plano determina, (con P ), un vector PX que es perpendicular a n y por tanto
podemos establecer la siguiente ecuacin vectorial:
--nPX=O llamada ecuacin normal del plano ;r.
En coordenadas cartesianas la ecuacin se muestra as:
A(x-a)+B(y-b)+C(z-c) =O.
Desarrollando esta ecuacin, se tiene: ;r: Ax +By+ Cz + D =O (ecuacin
implcita) donde el vector de coordenadas (A,B,C) es un vector perpendicular
al plano ;r.
Observacin
: .:: .... _:::, ::f!>::. . ,:: . . . ,.-:,: ::::::::>.:>/.: :.::'::... -4. . :. : : :.: ... ' :~ .... :~::.~: . El produCtcf\eCforial de los vectores directores u= (~I,u2,u3) y :v = (V, v2';'h) del
.. ,. . . ,.,---;. . . ........ 7'-:-~ .- ".' .... , ... -)> 4 .....,) 'plano,;r' determinan un. vector perpendicular n a.dichoplario~xv= n
Ejemplo 1.12:
Determinar las ecuaciones vectorial, paramtricas y general del plano
determinado por los puntos A(1 ,0,0), 8(2,-1 ,2) y C(5,-1, 1).
Solucin:
Elegimos, por ejemplo, el punto A(1 ,0,0) y formamos los vectores AB = (1,-1,2)
y AC = (4,-1,1).
40
-
Ecuacin vectorial: (x,y,z) = (l,O,O)+;t(l,-1,2)+ ,u(4,-1,1)
Ecuaciones paramtricas: Jr: { x = 1 + ;, + 4,u, y= -A,- ,u, z = 2;t +,u
x-1 y z
Ecuacin general: 1 -1 2 = O . Desarrollando el determinante se obtiene 4 -1 1
Jr:x+7y+3z-1=0.
1.3~2 Posiciones relativas de planos y rectas en el espacio
Dos planos: Jr1
y Jr2
pueden situarse en el espacio de tres modos:
- . coincidentes, paralelas y secantes como se puede apreciar en la figura
(b) Coincidentes (b) paralelos (e) secantes
Figura Nl.l8 posiciones relativas de dos planos
~lano y recta: Una recta L: { ~ + td 1 tE 91} y un plano
lZ" : Ax +By+ Cz + D = O pueden adoptar las siguientes posiciones relativas
en el espacio (ver figura N1.19):
a) ~.d =O; ~ E 1r =>recta L est contenida en el plano Jr.
-> ->
b) n.d =O;~~ 1r => recta L es paralela al plano lZ".
e) n d -:f:. O=> recta L es secante con el plano Jr.
41
-
n
(e) Contenida (b) paralelos (e) secantes
Figura Nl.l9 posiciones relativas de plano y recta
1.3.3 Plano paralelo a dos rectas
~ ~
Si el plano TC es paralelo a las rectas L1 y L2 con vectores directores d y d'
~ ~ ~
respectivamente, entonces un vector normal al plano es n = d x d'
En este caso, si conocemos un puntoP(a,b,c) del plano TC y si la direccin
~ ~ ~
perpendicular tiene de coordenadas n = d xd' = (A,B,C), podemos determinar
la ecuacin normal de dicho plano, (que segn sabemos es):
1.3.4 Recta definida por dos planos
Cuando una recta se da como interseccin de dos planos,
{Ax+By+Cz+D =O {-~ ~
L: => n=(A,B,C)l_TC 1\ n'=(A',B',C')l_TC A'x+B'y+C'z+D' =O
~ ~ ~
Un vector director para la recta L se obtiene: d = n x n'
Un punto P para esa recta lo obtenemos al resolver el sistema que forman las
dos ecuaciones de los planos cuya interseccin es L (ver figura N1.20).
42
-
"""* """* """* d = nxn'
Figura N1.20 recta entre dos planos
As pues ya tenemos una determinacin vectorial para la recta L que es:
A partir de aqu ya podemos escribir cualquier ecuacin de L .
Ejemplo 1.13:
Hallar la ecuacin del plano que pasa por los puntos A(1, -2, 4), 8(0, 3, 2) y es
x-1 y-2 z+l paralelo a la recta: - = -- = -- .
4 1 2
Solucin:
A(1, -2, 4), AB = ( -1,5,2). El vector direccin de la recta: ~ = ( 4,1,2) .
x-1 -1 4
La ecuacin del plano y+ 2 5 1 = O => 4x- 2y- 7 z + 20 =O. z-4 -2 2
Ejemplo 1.14:
Hallar la ecuacin del plano que contiene al punto A(2, 5, 1) y a la recta de
., x-2 y-1 z+l ecuac1on: --=--=--.
1 3 1
Solucin:
43
-
B ( 2, 1,-1) => AB = (O, -4,-2). Se tiene el punto A ( 2, 5,1) y la direccin de la recta
x-2 1 O
~=(1,3,1). Laecuacindelarecta y-5 3 -4 =0 => x-y+2z+1=0. z-1 1 -2
1.3.5 ngulo que forman dos planos
Dados dos planos ;r1 y ;r2 , el ngulo que forman dichos planos slo tiene
sentido calcularlo cuando stos se corten, pues en caso contrario el ngulo
ser O. Siendo ese el caso, el ngulo formado por dos planos es igual-al que
forman sus vectores normales. Esto es, D (;rp;r2 ) =D (ii,2).
Dos_ p'in()~:' :: ~~ :A~+ By+ Cz +b:~ o y 1Z'2 : A';tJi:Y:E~:::if~()'; .. . .. ::::.: .. :: .. "." .. :=: :,:.::.= = :.: ..... . . ..
consideremos sus vectores normals 1 y 2 , tal y como vemOs en;'/1~ figura
N1.21: =(A B C) ,,,-=-(A''B1'_C')' .. ,_,.,, '. 1 . ' ' 2 ' .. ' .. ',
Figura N1.21 ngulo entre dos planos
Ejemplo1.15:
Calcular el ngulo que forman los planos 1t1 : 2x-y-3 = O; n 2 : x +y-z =O .
Solucin:
44
-
Los vectores perpendiculares a cada uno de los planos son: 1 = (2,-1,0) y
2 = (1,1, -1). Calculamos el coseno del ngulo,
De aqu, usando la calculadora cientfica a.= 75,03 que es el ngulo formado
por 1r1 y 1r2
Ejemplo 1.16:
Calcular el ngulo entre los planos: 1r: x- 2y + 4z =O y 1r': 2x- y+ 3 =O .
Solucin:
~ ~
Se tiene n(1,-2,4) y n'(2,-1,0), los vectores normales a dichos planos
respectivamente. Calculamos el ngulo entre ellos,
Usando la calculadora cientfica a= 671'23"
1.3.6 ngulo que forman recta y plano
Ahora, consideremos una recta L y un plano n que se corten, pues en
otro caso el ngulo que forman es O. Si consideramos entonces un vector
director de la recta v y un vector normal del plano , como en la figura N1.22.
Tenemos que si a es el ngulo que forman la recta y el plano, entonces
p = 90- a (a y p son complementarios) ser el ngulo que forman el vector
director de la recta, v, y el vector normal del plano .
45
-
n
Figura N1.22 ngulo entre recta y plano
As pues: D (L,:r)=complementario D (v,)
Por tanto, a partir de =(A, B, C) y de v = (v1 , v2 , v3 ), lo primero que haramos
sera hallar ~:
A continuacin, hallaramos a teniendo en cuenta que fJ = 90- a . No
obstante, al ser a y ~ complementarios, se verifica que sena = cos fJ por lo
que:
l.vl sena = cos fJ = lllvl
y calculamos el ngulo formado por la recta y el plano directamente.
Ejemplo 1.17:
x-1 y-5 z+1 Calcular el ngulo que forma la recta -- = --= -- con el plano de
1 2 -1
ecuacin x +3y+z-5 =O.
Solucin:
Vector perpendicular al plano: = (1, 3, 1)
Vector director de la recta v = (1, 2, -1)
46 ~
-
sena = 11.1 + 32 + 1.( - 1) 1 = 11 + 6- 11 = - 6- usando calculadora cientfica .J1+9+1.J1+4+1 .JUJ6 .J66'
Ejemplo 1.18:
Calcula el ngulo que forman el plano ;r : 2x- 5 y+ 7 z -11 = O y la recta:
x-3 y+1 z-1 r:--=--=--.
2 5 -1
Solucin:
---> --->
Se tienen d = (2,5,-1) y n = (2,-5, 7) la dire.ccin y normal de la rectaL y el
plano n. Aplicando la frmula anterior:
a =0 (;r,r); cos(90"-a) = ~~rif~ = 1-281 =0,5788 ~ 90"-a =55"~ a =35" 1~11d1 Fo J78
1.3.7 Distancia de un punto a un plano
Dado el plano ;r: Ax+By+Cz+D=O y un punto P(x0 ,y0 ,z0 ) que no est en
el plano, nos plantemos cmo hallar la distancia entre ambos.
Del plano podemos extraer el vector =(A, B, C), que es perpendicular al
plano, y un punto R (xi'yi'z1). Adems, si llamamos Q a la proyeccin de P
sobre el plano, est claro que d(P,;r) = IQPI.
47
-
Pero como el tringulo RQP es rectngulo, como se observa en la figura
N1.23, tenemos que d(P,n) =\\ QP \\=\\ RP \\.cosa pero teniendo en cuenta la
definicin de producto escalar, cosa ~ 1 .IRP , l!RP
- -lue 0 d(P n) = ,RP,. \ .RP \ = \ .RP \ .
g ' ' \\\RP\ \n\
Figura N1.23 distancia punto a plano
Si utilizamos las coordenadas de R, P y v resulta: n =(A, B, C);
d(P n) = \ A(x0 - x1) + B(y0 - y1) + C(z0 - z1) \ = \ Ax0 + By0 + Cz0 - Ax1 - By1 - Cz1 \ ' ~A2 +B2 -C2. ~A2 +B2 +C2
pero como RE n, cumple su ecuacin, es decir. Ax1 + By1 + Cz1 + D =O, o lo
que es lo mismo D = -Ax1 -By1 -Cz1
Si sustituimos en la expresin anterior nos queda:
Ejemplo 1.19:
Calcular la distancia del punto P(1, 2, -1) al plano 2x- y+2z+3 =O .
Solucin:
48
-
Aplicando la frmula de distancia,
d= IAx0 +By0 +CZ0 +DI = 12.1-1.2+2(-1)+31 =-1-=_!_ .JA2 +B2 +C2 ~22 +(-1)2 +22 .J9 3
Ejemplo 1.20:
Calcular la distancia de P(3,1, 7) al plano ;r : x- 3 y+ 5z -1 = O.
Solucin:
~ ~
Determinamos r ..ltr ~ d = n(1,-3,5) r: {x = 3+..t; y= 1-3..t; z = 7 +5..t
-34 ' ( 71 -67 415) (3+..t)-3(1'"""3..t)+5(7+5..t)-1=0~..t=-~P = -,-,-35 35 35 35
d(P tr)= d(P P')= 40460 ~ J33 = 5 74 u
' ' 1225 '
1.3.8 Distancia entre dos rectas paralelas
Sean L1 y L2 dos rectas paralelas, entonces basta tomar un punto cualesquiera
de una de ellas, por ejemplo PE L y calcular la distancia de P a L2:
Figura N1.24 distancia entre rectas paralelas
49
-
Ejemplo 1.21:
Hallar la distancia de la recta L : { x = 2- Ji; y= 1 + 2J1; z = -1- J1 r: a la recta
L2 :{x=1-A.; y=-2+2A.; z=2-A..
Solucin:
Primero hay que estudiar la posicin relativa de L1 y L2.
Est claro que de L1 y L2 podemos sacar el punto por donde pasa y su direccin,
L :{P(2,1,-1); (-1,2,1) y L2 :{A(l,-2,2)i v(--:-1,2,1)
Puede observarse que los vectores directores son idnticos por lo que hay
paralelismo o coincidencia, pero como el punto A no pertenece a r, tendremos
asegurado el paralelismo.
As pues d(LI'LJ = d(P,L2 ) es decir, tenemos que calcular la distancia entre
P(2,1, -1) y L2 : { A(l, -2,2); v( ~1, 2, 1).
1 vxAP 1 Se tiene la frmula: d(P,L2 ) = d = lvl
Si hacemos AP = ( -1, --3, 3) y posteriormente el producto vectorial con v
- --(-3 3 3 -1 -1 -3J r;: APxv- , , 2
=(-3,-4,-5); livl=v6. 2 -1 -1 -1 -1
d(P,4)~ 1: ~.
50
-
1.3.9 Distancia (mnima) entre dos rectas que se cruzan
Construiremos el plano n que contiene a la recta L2 y es paralelo a la
recta L1. A continuacin, calculamos la distancia de un punto de la recta L1 al
As, si L1 y L2 son dos rectas que se cruzan, siendo sus ecuaciones
L2
: x-x1 =y- y1 = z-z1 v1 v2 v3
Figura N1.25 distancia entre rectas que se cruzan
Para hallar la distancia entre dichas rectas procedemos de la forma siguiente:
1) Hallamos la ecuacin del plano n que contiene a la recta L2 y es paralelo
a la recta L1. Para ello, utilizaremos el punto Q y los vectores de las dos
rectas:
x-x1 y- Y z-z1 n : u1 u2 u3 = O
v1 v2 v3
2) Despus hallamos la distancia del punto P(x0 ,y0 ,z0 )de L1 al plano n.
Ejemplo 1.22:
Dadas la rectas L : { x = 5 +A-; y = -1; z = 8 + 2A- y
51
-
~ : { x = 2 + 32; y= 2-2; z = -1 + 42 , estudiar su posicin relativa comprobando
que se cruzan y hallar la mnima distancia entre ellas.
Solucin:
Un punto de res P(S,-1,8) y un vector = (1,0,2).
Un punto des es Q(2,2,-1) y un vector v = (3,-1,4).
Vector PQ =(-3,3,-9)
1 o 2 3 -1 4 =9+18-6-:-12=9:;t:O, por tanto, las rectas se cruzan.
-3 3 -9
Calculamos el plan que contiene a la recta L2 y es paralelo a L1:
x-2 y-2 z+1
1 O 2 =O; 6(y- 2)- (z + 1) + 2(x- 2)- 4(y- 2) =O
3 -1 4
1r: 2x+2y-z+9 =O.
Ahora hallamos la distancia del punto (5, -1, 8) (que est en L1) al plano
hallado:
Ejemplo 1.23:
d = 12.5+2(-1)-8+91 = 3.
~22 +22 +(-1i
Calcular la distancia entre las rectas:
L: {x = 5+2;y = -1;z = 8+22 y L2 : {x = 4+3p;y = 3- p;z = 5+4p
Solucin:
Vamos a determinar el plano 1r calculando un vector normal a dicho plano:
52
-
.... .... .... i j k
~ -t ---t ---t ---t --7
n = ux v = 1 O 2 = 2 i + 2 j -1 k = ( 2, 2, -1)
3 -1 4
El punto P ( 5, -1,8) E L1 Por tanto la ecuacin del plano n es:
1r: 2(x-5)+ 2(y + 1)-1(z -8)= O=> 1r: 2x+ 2y -z =O
Para calcular la distancia entre las rectas L1 y L2 (se cruzan) aplicamos:
d{r,s )~ d(s,n-) ~ d{Q,n-) ~ d((4,3,5~7r) ~ 12; + 23 - s ~ 2_ ~ 3 u 4+4+1 3
1.3.1 O Distancia de una recta a un plano.
Si L y n son una recta y un plano paralelos entre s (en los dems casos la
distancia es 0), para calcular la distancia entre ambos basta tomar un punto
cualquiera de la recta, PE L , y calcular la distancia de dicho punto al plano:
Ejemplo 1.24:
d(Jr,L) = d(7r,P)
Figura N1.26 distancia de recta a plano
Calcular la distancia de la recta L: x-3 = y-1 = z+ 2 al plano
5 2 -1
n:x-3y-z+6=0.
Solucin:
53
-
~ ~
El vector director deL: d = (5,2,-1) y el vector normal de :r es n = (1,-3,-1):
~ ~
den= 5(1) + 2(-3) + (-1)(-1) =5-6+ 1 =o
En consecuencia la recta y el plano son paralelos.
Tomamos un punto P cualquiera de la recta L, por ejemplo: P(3,1,-2)
13-3.1-(-2).+61 8 d ( L, :r) = d ( P, :r) = =- ~ 2, 41 u
.J1+9+1 J1i
1.3.11 Distancia entre dos planos
Si tenemos dos planos paralelos, basta tomar un punto de uno. de ellos y
calcular la distancia de ese punto al otro plano tal como se observa en la figura
Ejemplo 1.25:
d(:r,:r') = d(:r,P) (con PE :r')
Figura N1.27 distancia entre dos planos
Calcular la distancia entre los planos
;rr': 4x + 4 y- 2z + 8 =O .
Solucin:
:r: 2x+2y-z+9 =O y
En primer lugar, nos aseguramos que los planos son paralelos al comprobar
que tienen vectores normales proporcionales pero no son planos coincidentes.
54
-
Elegimos un punto P den', por ejemplo P(0,0,4).
Ahora hallamos la distancia del punto P al plano n
d(1r,1r') = d(1r,P) = 12(0) + 2(0)-4+91 =~u. ~22 +22 +(-1)2 3
Ejemplo 1.26:
Calcular la distancia entre los planos 1r : x - 5 y + 2z -19 = O y
r': 2x-10y+4z =O.
Solucin:
~ ~
El vector normal del plano " es: n = (1, -5,2) y el del plano 1r' es: n' = ( 2,-1 O, 4)
2 -10 4 Los planos " y 1r' son paralelos ya que - =-=- .
1 -5 2
Si tomamos un punto P cualquiera de ", por ejemplo P(1,0,9)
d(7r,7r') = d(P,7r') = 12(1)-10(0) +4(9)1 =__]!__ ~ 3,47 u . .J4+100+16 J120
55
-
1.4 PRACTICA N 01
Tema: Rectas y planos en el espacio tridimensional.
l. Cuestiones
a. Qu entendemos por vector?
b. Cmo definira cuantitativamente un vector?
c. Cmo se clasifican los vectores?
d. Cules son las propiedades de la suma de vectores?
e. Si los vectores A y 8 satisfacen a la ecuacin A = kB, donde k es un
nmero real, qu informacin puede darse acerca de los vectores A y
B?
f. Qu propiedades satisface el producto de escalares por vectores?
g. Qu llamamos componentes de un vector?
11. Vectores
1. Determinar el punto P, con que coincide el extremo del vector e=( 4,-3,5)
sabiendo que el origen coincide con el punto Q de coordenadas (2; -1; 3).
2. Dado IAI =13, JBJ =19 y lA+ Bl =24 Calcular: lA- Bl
3. Para qu valores de "r" y "s" los vectores A= (r,l2,3) y B = (8,s,2 )son
paralelos?
4. Sean u=(l;4;3)yv=(m;n;-4).Para qu valores de m y n el vector u es
perpendicular a v, si lvl = 36.
56
-
5. Encontrar todos los vectores perpendiculares tanto a (1; -3; -23) como a
(-3;6;5).
6. Sabiendo que lal =3 y !El =5 determinar para que valor de "q" los vectores
(a+ q.E) y (a- q.E) son perpendiculares entre s.
7. Dados los vectores u= (5;-2;1), v = (6;1;-4) y w = (1;2;1).Calcular el producto
de las componentes de un vector x E ~3 tal que u x =3, v x =62, w x =15.
8. Sean los vectores u= (2; -1; 2) y v = (3; 4; -1). Hallar un vector w E ~3 tal que:
uxw=vAuw=l.
9. Determinar las componentes rectangulares del vector m, sabiendo que es
perpendicular a los vectores F1 =(2,-3,1) y F; = (1,-2,3), adems satisface a
la condicin: ;(1,2,-7)=10.
10.Si a=(3;-1;2),b=(1;1;-4).Hallar dos vectores e y d de R3 que satisfacen las
condiciones siguientes: a= e+ d; b d =0; e 1 lb.
11.Sean los vectores a, b, e, d tales que a+b +e+d = O.Calcular: ed
sabiendo que la+ b- = 6; !el = 3; ldl = 4.
12. Determinar el vector m, si se sabe que es perpendicular con los vectores:
A =(2,3,-1) y B = (1,-2,3) adems satisface a la condicin: ; (1,-1,1 )= -6
13.Se dan los vectores A=3i-1j+5k y B=li+2j-3k. Determinar el vector
X que es perpendicular al eje OZ y satisface a las condiciones: X A = 9 y
XB=-4
57
-
14.Se dan los vectores A=2i-lj+3k, B=li-3j+2k y C=3i+2j-3k.
Determinar el vector X que satisface a las condiciones: X A = -5 ,
111. Rectas
15. Determinar una ecuacin vectorial y las ecuaciones paramtricas:
. a) De la recta que pasa por el punto P(6; -5; 2) y que es paralela al vecto~
(1; 3; -2/3).
b) De la recta que pasa por el punto 8(0; 14; -1 O) y paralela a la recta x = -
1+2t, y= 6- 3t, z = 3+9t.
e) De la recta que pasa por los puntos P(O; 0,5; 1) y Q(2; 1; -3).
d) De la recta que pasa por el punto A( 1; -1; 1) y es paralela a la recta
e) De la recta que pasa por el punto A(2; 1; O) y perpendicular a los
vectores i + j y i + k.
16. Encontrar la interseccin entre las siguientes rectas:
a)
b)
{
x=1+2t
L1 : y =-2+3t
z=3+t
{
x=-1+2t
L1 : y= 3t
z=t
58
X =3t 5
y=-- -t . 3
7 z =-+2t
3
{
x=2+t
L2 : y= -3 +2t
z =t
-
17.a) Demuestre que la recta que pasa por los puntos (2,-1,-5} y (8,8,7) es
paralela a la recta que pasa por los puntos (4,2,-6) y (8,8,2)
b) Encontrar la ecuacin de la recta que pasa por (0,2,-1) y es paralela a
{
X= 1+2! L: y= 3t
z = 5-7t
. x-1 y+1 z 18. Considera el punto P(5,-2,9) y la recta r: -- = -- =-.
-2 -3 6
a) Calcular la ecuacin de la recta s que corta perpendicularmente a r y
pasa por P.
b) Hallar el punto de corte de las dos rectas.
19.Determinar la ecuacin de la recta que pasa por el punto A(1;-2;4) y corta a
x-2 y z-1 . x y-2 z las rectas 4 :--=-=-A~:-=--=-.
3 2 1 -1 1 -2
20. Dados los puntos A(2;6;-3) y B(3;3;-2).Hallar los puntos de la recta AB que
tienen al menos una coordenada nula.
21. Hallar la ecuacin de la recta que pasa por el punto P( -1; 2;-3), es
perpendicular al vector a= (6;-2;-3) y se corta con la recta
x-1 y+1 z-3 L:-=-=-.
3 2 -5
IV. Planos
22. Determinar una ecuacin del plano si:
a) El plano pasa por el punto A(6, 3; 2) y es perpendicular al vector
(-2; 1; 5).
b) El plano pasa por el punto 8(4, O; -3) y con vector normal j + 2k.
59
-
e) El plano pasa por el punto C(-1, 6; -5) y es paralelo al plano x +y+ z + 2
=O.
d) Determine una ecuacin del plano que pasa por los puntos (0, 1; 1 ), (1,
O; 1) y (1, 1; 0).
23.Un plano tiene la ecuacin 2x+3y+z+4=0. Encontrar escalares s y t no
nulos de manera que los vectores a = 1 +] + ! y li = s J + t ! estn en un
plano perpendicular al dado.
V. Rectas y planos
24. Determinar una ecuacin vectorial y las ecuaciones paramtricas de la
recta que pasa por el punto A(1; O; 6) y es perpendicular al plano
x+3y+z=5.
25. Determinar las ecuaciones paramtricas de la recta de interseccin de los
planos x +y + z = 1 y x + z = O .
26. Determinar una ecuacin del plano que pasa por el origen y los puntos (2, -
4; 6) y (5, 1; 3).
27.Determinar una ecuacin del plano que pasa por el punto (-2; 8; 10) y es
perpendicular a la recta x = 1 +t, y = 2t, z = 4-3t.
28. Determinar una ecuacin del plano que pasa por el origen y es paralelo al
plano 2x - y + 3z = 1.
29. Determinar una ecuacin del plano que contiene a la recta x = 3+2t, y = t, z
= 8-t y es paralelo al plano 2x + 4y + 8z = 17.
30. Determinar una ecuacin del plano que pasa por el punto (6; O; -2) y
contiene a la recta x = 4-2t, y= 3+5t, z = 7+4t.
60
-
31.Determinar una ecuacin del plano que pasa por el punto (-1; 2; 1) y
contiene a la recta de interseccin de los planos x +y- z = 2 y
2x- y+3z =l.
32. Hallar la ecuacin del plano que pasa por los puntos A(l;-2;4), B(0;3;2)y es
x-1 y-2 z+1 paralelo a la rectaL:--=--=--.
4 1 2
x+2 y-1 z+1 x-1 y-3 z . 33.Dadas las rectas L :--=--=-- 1\0. :--=--=-.Determinar la
3 2 -1 -2 -2 3
ecuacin del plano que contiene a L1 y es paralelo a L2.
34. Hallar la ecuacin del plano que contiene a las
rectas:L: x+2 = y-1 = z+3 1\0.: x+2 = y-1 = z+3. 1 3 -1 -1 4 -2
35. Hallar la ecuacin del plano que contiene al punto A(2;5;1) y a la recta de
. . x-1 y-2 z+1 ecuac1on L:--=--=--.
4 1 2
36. Dado el plano 1r: (5,- 3, -1}{x -1, y -1, z + 4) =O , se pide:
{
x=1+2A-
37.a) Demuestre que dicho plano contiene a la recta L: y=-1+3A-
- z=2+A-
b) Halle un nmero e real tal que la recta L2 : x + 1 = Y = .=. resulte paralela
2 3 e
a Jr.
38.Hallar la ecuacin del plano paralelo a las rectas
x-2 y z+1 {2x-y+z=-2 L :--=-=- 1\ 0. : y pasa por el punto A(l; 1; 2).
-1 1 2 -x+y+3z=1
61
-
39. Hallar la recta que pasa por A(1 ,0,2) y es paralela a los planos
x- 2y + 3z + 1 = O y 2x- 3y + z + 6 = O .
40.Dada la recta L : { (1; 1; 1) + t(2; 3; 4) 1 t E R} y el plano
P:{(2;3;4)+u(1;1;1)+v(1;0;2)/u,veR}.Hallar la ecuacin de la recta que
pasa por la interseccin de L con P y es paralela a la recta
4 :{x-2y+z+4=0; x+2y+3z-4=0.
41.Sea la recta L que pasa por A(-3;2;-1)y B(-2;7;-S).Sea el plano P que
pasa por M(1;1;1),N(3;-2;0) y Q(4;3;-1). Hallar fa ecuacin de la recta que
pasa por la interseccin de L con P y por la interseccin de las rectas
4 : x = 4t + 2, y = 3, z = -t + 1 1\ ~ : x = 2r + 2, y = 2r + 3, z = r +l.
42. Determinar un punto P de la recta r : x - 1 = Y+ 1 = ~ que equidiste de los 2 1 2
planos 7t 1 : x + y+z+3 =O y :r2 :{x = -3+A-; y =-A+ p; z =-6+ J.l
43.Estudiar si las rectas r:{x=1-t;y=1-t;z=2 s:{x=t;y=1+t;z=2-t se
cruzan en el espacio. Encontrar la distancia entre ellas.
44. Se dan las rectas r:{x-2y=-1;y-z=1 s: {x-:2z = 5;x- y-z = 1
a) Investigar si son paralelas.
b) En caso afirmativo, hallar la ecuacin del plano que las contiene.
45. Determinar las coordenadas del punto simtrico de A(-3, 1 ,-7), respecto de
la recta x+ 1 = y- 3 = z+ 1. 1 2 2
62
-
x y z x+2 y-1 z~1 46. Las rectas -=-=- y -
1-=-_
1 =-
1-, se cruzan en el espacio.
-1 -4 o
Calcular la distancia entre ellas y la ecuacin de la recta perpendicular
comn a ambas rectas.
47. Hallar x-1 y-1 z-1
r--=--=-- . 2 3 1 '
la distancia las entre rectas
x-5 y-2 z-1 s:--=--=--.
1 3 2
63
-
CAPITULO 11
FUNCIONES VECTORIALES
En este captulo tomamos como referencia el material electrnico de
MORA (2012) y GARCA-LPEZ-RODRGUEZ (1997).
2. FUNCIONES VECTORIALES
2.1 Funciones vectoriales de variable real
La recta de O 3 que pasa por el punto Po =(x0,y0,z0) y es paralela
a un vector ~=(a1 ,a2 ,a3 ) se define como el conjunto{P0 +t~/te0} . En
esta definicin de recta a cada nmero real t corresponde el punto P0 + t~
de O 3 , es decir a cada valor t de O le asocia el punto
(x0 +ta1,y0 +ta2, ... ,z0 +ta3)de O 3
. Tal correspondencia genera lo que
llamamos una funcin vectorial de una variable real que en este caso es
de D en O 3
Si denotamos por f a tal funcin entonces su regla de
correspondencia es f(t) = ( xo +tal, Yo + ta2, ... , zo + ta3) .
El dominio de f es el conjunto de todos los nmeros reales y el rango de f
es la recta que pasa por el punto Po y es paralela al vector ~ . Este es un
ejemplo del tipo de funciones que estudiamos en este captulo; para tales
funciones consideramos los conceptos de lmite, continuidad, derivada e
integral.
64
-
2.1.1 Definicin. Dominio y rango
:u~a fundn vectorial ~de 'una variable real, es na'''fi.Jndrtdel""t:p : ' . -~'/! . . .. ". . . . ,~ -~i:.:~:.=..:. . . : . ~~,,; .
,J:f:C:u ~O'Ltal q~'cf:(t) ~(Ji(t),f2 ()~.~,fn(t) }e o.
'oonde::,:_ :re O,:;~ o , i =1, 2, . ;n ~on funciones ;~~~~.s :de. ~~dable r~l. k" :::~;;~;;::; >)~p;y: . ...... ',,; j . ''';;'. 't,:Uamadas funCiones cooidenadas de f. . ,, n:: .. =: f .. , . ,:~:H~c:: =
Ejemplos 2_.1: _
a) f :1 e O ~o 2 tal que f(t)=(t~t2 ).
e) f:1 eO ~o 3 tal que f(t)=(l-t,2+3t,-l+t).
d) f: 1 e O ~O 3 tal que f(t) =(acost~bsent,t).
e) f: 1 e O ~O 3 tal que f(t) = ( cost,sent,cos2t ).
Dominio y Rango
'E(~dominig,,de una funcin vedori~b:f es dado 'por, la inters~p(:in'1de los
'dominios d,e:sus funciones cob:tenadas" Esdecir,
:J~=c=::
i'l
129m (f} :::nDa111(til ;:
l .' ' .::.:::.:;:.. . '.. .
:El rarigo d"una funcin vectorial f'es dado por etconju[)to .,,~:
. :, ~~~(f) ~.{(Ji(t),f2(f), ... ,fn(t))D ~t~:gl}
65
-
Ejemplo 2.2:
Sea la funcin f(t)= - ,2t3,- . Hallar el Dom(f). (
t2 2t J .. t+2 t+l
Solucin:_
En primer lugar calculamos et dominio de cada funcin comp.anente:
Dom(j)=D -{-2}, Dom(f2 )=0 y Dom(IJ)=D -{-1}.
Luego, calculamos el dominio de la funcin realizando la interseccin de
dichosdommios~ .. - -
Dom(f)=D -{-2} nO nO. -{-1} =0 -{-4-2}.
Ejemplo 2.3:
Sea f:DcD ~o 3 tal que f(t)=(t,t,2t 2 ), siendo: D=[-3,JJ .. Describa:eL
rango de f.
Solucin:
Ponemos f(t}=t(1,1,0)+t2 (0,0~2), de esta expresin se puede afirmar
que f es la suma de un vectoratcrtargo de la recta~ y=r enetptanaXY
y un vector perpendicular al plano XY. Quiere decir entonces.que el rango:
de f se encuentra en el plano-que contiene los vectores..(I;4rf.-(o;,n;:z}
perpendicular al plano x:f.
Si se considera a un punto- (t,t,O) en el plano XY-y u distancia al
origen, u =:Jt2 +t2 =J2t, resulfa que z=2t2 = u2 Por tanto, el rango de-f
es una porcin de ta. parbola z =u2 que est en el plano y= r..
perpendicular al plano XY y que contiene al eje z (ver figura NZ~1):
66
-
Ejemplo 2.4:
z
Figura N2.1 porcin de parbola
Sea f :D cD ~o 3 tal que f(t) = (acost,bsent,tt Describaer rango de
f.
Solucin:
Haciendo x=acost, y=bsent, z=t..Esta curva se tlamahtice (verfigura.
/ X
Figura N~.2 hlice
Efiminando el parmetro t, se tiene que la curva es la interseccin de- fas:
superficies:
67
-
2 2
x = acosz y el cilindro \ + Y2 =l. a b
2.1.2 Operaciones con funciones vectoriales
Sean f,g:D~Dn dos funciones vectoriales con
Dom(f) * cp,Dom(g) * fjJ respectivamente. Sea tp:O ~O una funcin con
Dom(q} * f). Entonces,.
a) (f+g)(t)=f(t)+g(t), VteD1+g=D1 nDg.
n
b) (jcg)(t)=f(t)Dg(t)= L/;(t)[g,(t), VteD1Dg =Dj nDg. i=l
d} En . Q.3 ~ la funcin producto. ve.ctorial fx g .. est dada por,
Ejemplo 2.5:
SeanJas-funciones.f(t)={r+~~t);'tt:e:IT y g(t)=(sent;cos:t;l}; ..
Solucin:
Dom(f) =U y Dom(g) =[0,.21r}
a) (f +g}(t)-=f(t}+ g(t} Dom(f+g)=(0;21rJ.
={t2 +l~~t}+(sent.,.cost,.l} -=(t2 +sent+l~eost+2~t+I).
3
b) (tg)(t)=_L.t;(t~(tJ". i=l
68
-
Definicin
=(t2 + 1, 2, t )e( sent, cost, 1) =(t2 +l)sent+2cost+t.
Sean /:O''~on y rp:D~O dos funciones con Do~(jj~fjJ, D~~(~)#
-
2.1.3 Lmite y continuidad
Definicin
X hasta Y se define como:
Definicin
ee~> f .. : 1 s:n -4'6 n Y' fo E "puht~~ ~ acUfn~l~cl~ de . ;;,,;,;(~, ~ .. 4~;;, .
Ejemplo2.l:..
Demostrar que Ifm{2t+l,.t2 -1)=(3~0). t_.l
En efecto:
11(2t+t~r-t}-(3~o)~=~(2t-~r-t~l5~(2t-2i+ct2 -tf
$-Zl+~-lllt+~
Se tiene querlt -11 8 ==-mn{ l, rs}.
-
D ~ . . .
t0 -8 t t0 t
O < lt- t0 1 < 8 Figura N2.4limite de una funcin.
Teorema
.~- - - -,~aJ : LsU 7 q >yna fun.
-
Lo que prueba esta parte del teorema.
ii) {=>)suponemos que lmf(t)=L, t-+t0
Sea &>0 dado, lmf(t)=L:=;.3~5>0I llf(t}-LII
-
lm ( t3
- t J = lm (t2 -1) = -l. t--+0 t t--+0
um(~ -Jl+i]=um( -2 J=-1. HO f t--+0 ~+Jl+i
/' ( 1 t3
-t ~ -Jl+iJ=( -1 -1 -l) . . Im lit e ' - t--+0 (I+t) t t _
Propiedades de lmites
Sean f~g::IcD -+Dn dos funciones vectoares con t0 ei. Si
lmf(t)=L y limg(t)=M,. L~Menn.
-
Teorema
'--~ -~- ' '
: ~ . : .. : : .. : . . . : . ~ . . : :: . ' ="
cor,~tinua en t0 ei'~i y slosi sus fqpciones coordenadas ;, Vf,;;,l,2, ... ,n . .. . . ~ ' ... . . . > . . ..:::=:,,,.,.. { .
sOrfcontinuas en t0
-
Propiedades
Sean f,g:l e o':.:..;, on' 'funciones continuc:is en lo E t~'Entontes, . . ...
a) .. f+ g e~' .. :eontina en 16 EI.
b) .. JJ:g esgontinlj'en t0r~ .. ::." .. .. :'.
:::- :. :' . :,:
e) Etf'o 3 , lafunci,nproduc;to vectorial ""fx g_ es'contiml~ en t0:~T . . :: .. :. ..~=.::--::: >=~~~(= . . . . . . ::: -- . . .. . : :;:= . . . . ::-''.".. : .. :~.~!!;:; . .
d) ffq; escontinua en t0;'.:1~ ~(qr:O ~ COQ~inuaen/0 El yfconti[lt;~a
en m(to)' .. ' ...... ~' ... . ,J''. 'Y"- .. : ~-- . -- . - . .
Observacin:
Sean f:[a,bl--+an una funcin vectoaf. f escontinuasobre: [a,b}, fes.
continua sobre (a,b) y si lm f(t)= f(a) y lfm f(t)=f(b}. t--+a+ t--+b"
2~1'~4 Derivacin:
Definicin.
. . .
d bl r .. ..t .. ,.. r r- ... t. J'( . .. ).-'- I,.' f(i~+h)-f(t~) h -o . enva ~ en. ~Q{r , SL~LS e e: . lffil e,_ .. !0 - zm. . . . . . , _,; ..... ,,.. '> . '. h~.r .. ::h:' __ ... ,... ,
Interpretacin geombica:.
sea C la curva descrita.. por f. t0 ,t0 +hel (h:;t:O). Entonces
~[f(t0 +h)-f(t0}) es- un vector paralelo a la cuerda que une .f(t) y
f(t+h).. (ver figura ~5).
75
-
o f ~
( . . ) t t+h
z
f(t)
Figura N2.5 interpretacin de la derivada
Si f es diferenciable en t y f'(t) *O, entonces la direccin del vector
~[f(t0 ~h)-:-f(t0 )J se aproxima a la direccin de f'(t) cuando h~O.
Puesto:que:f'(t )=lmf(to+h)-f(to)_ . o li--+0 h
Teorema
&ea .. ~f,;:['cO~Jl''[Jri wnci,q~:.:veqipriJ;I~. j;ff).=(j1(t),.u,}(jJ~~-~fn
-
Solucin:
b) f(t)=(Ln(I+t)~l+l~Ji+r).
Solucin:
f'(t}= ,(1+t)'et+1, ; Vte(-I,+oo) ((l+t)' (l+t)') l+t . - 2.Ji+i -
( 1 I ) f'(t)= -~et+1 ~ Jt+i ; 'ifte_(-4+ao)
l+t 2 t+l
Definicin
-$~~ y,:ibto: ~:o~~tih~~:tq:hti~--v~9rihl.:::;~ ~~d_:~k;;_(;i-.--~:-y_f~9~-F:___ ': :,.t'"'' . ...... . :~, ~-~ ~ .
conti~Uas-~n L
-
. ' 2 Observamos que no ex1ste f'(O), porque la 2a coordenada f (O)= ~r: no
2 . 3-\t t
es continua en t =O. Por tanto, f no es de clase C1 .
Observacin:
1) Sea f: [ a,b J ~ D " una funcin vectorial. fes diferenciab[e sobre [a7 b l.-
si:
a) f es diferenciable sobre (a, b).
b) Existen las derivadas raterale~, f'(a+) =Hin f(a+h)- f(a) y ~o+ h
2) Sr f es diferenciable- sobre un intervalo, entonces f es. continua
sobre. el intervalo L
Teorema
$~n;:' !;i'-:9cfttm 'dos- ~9cion,~s v~ctorales d~erendables'/'sbre_, __ ";_': elr ; ./ ~
.. .. . . .....
:1>_,,, et+gJ"'(tJ-r)4+g'(t)~,:;, '
. . .. ... .... .
:;ll:_.._(#ttO)~'P'Jtrt)'-t
-
Teorema
Searr qi': 1 e ~J y f: J c):J ~ Q::n dos funciones,diferenciabl~s S()bre 1 y .. . . : '::'::... . .
. . . .. :
J, resp~ctivah,ent~. Entonce~, f o(p es''Ona funcin (jifereneiable sobre 1 y (:f o qJ)'(t) ~f'( lp(t))Qp'(t), Vt E l.
. .. . . .
Ejemplo 2.15:
Sea la funcin, f(t)=(sen(t 2 +l),cos(t2 +1),(t2 +1)2 ), tE[-&,&].
Hallar/' r
Solucin:.
Derivamos cada una de las componentes de f:
. f'(t)={2tcos(t,2+ 1},.-2tsen(t2 + 1).,4t(t2 + 1}).
2.1.5 rntegracin
Definicin
Sea::t:{q;b-],cD:4EL~tinaftJnCin:vctorial~ .. t=:ntonc:~s. .laintgraldefinida
,,~/ : . .
.. .. .. .:
'(,f(~dt~~!#~}dt,,~;tt
-
b J ; (t)di, i = 1, 2 ... , n. existe. a
b
2. En particular, si fes continua sobre [a,b], entonces J f(t)dt existe. a
Ejemplo 2.16~-
Sea fa funcin, f(t) =(t2 +I,e',--f--). Calcufar Hallar j f(t)df. t +I 0
Solucin~.
1 ( 1 ) (l l 1 1 ) J f(t)dt=J_ t2+l~e'~-2 -. dt= f(t2 +l)dt~Je1dt,J-2 -dt o o t +1 o o o t +1
=(. e -I ".) J' '4 Teorema
------- --- ~- ---- - .. ---.----- ~ - .. -- .... --- "'' ------ ------- . --- ---"'"" -e~ un~i'i fun~in,,;yecto(ial continu}: sobre [p~b},
,. _,::_,:___ -- --Este.: teorema permite. la devac[n: de. una funcin vectoal cuyas
componentes tiene frma de integraL
Teorema
80
-
Propiedades:
ttSearr.';_/;g: [a,b}~o n ftj6cio~es vectori
-
f(O) = (cosO, senO, O)+ ( c1,c2 ,c3 ) = (1, O, O)=> ( c1,c2 ,c3 ) = (O, O, O).
Portanto: f(t)=(coswt,senwt,O).
Haciendo x = coswt, y= senwt, z =O se tiene, una circunferencia en el
plano XY. x 2 + y 2 =l.
82
-
2.2 PRACTICA N 02
Tema;-ftr'tlcionesvectortales.
1. Encuentre el Dominio de cada una de las siguientes funciones vectoriales:
( t5 1-t t 2 ) a} f(t)= -~- -~-
2-t t+3 t-4
b) f(t)=(_!_,.J4+t,.J3-t) 2-t
e) f(t) =[~et -4, ~, ~) . t t-5
d)' /(t)=[~t-4,~~~-) ~4-tz t-5
e) f(t)=( -t~9-t2 ~ t~3:~Ln(2+t)} 2.. Encuentre el. Dominio.de. cada.una.deJas. siguientes. funcionesNectoriares:; .
b). /( } =( _, r:---:;-1_ 2 I -secz(t:._ I)J t e ~t+v.t-r,. z . (t-I)
e) f(t) =(e-r ,.Ln(4-tf ,.tLn(_l:_)) t-3 .
d) f(i)=(llt2 -l(~--Jt2=I,~P-t}
e) /(t}={Jit3 91~Jt +S~ln(S-t)}
f) f{t) =( Ln(l +t)~ Jt+ l:Ln(l+tf).
-
3. Atender lo solicitado:
a) Si f(t) = l l-~, 2t 2 ) Describir el rango de f.-
l+t l+t
b) Si f(t) = (acost,asent,bt), tE R. Describir el rango de f.
e} Mostrar que el- rango . de la -funcin vectorial. f definida por~
f(t) =(I +cost;sent,2senf), tE[-2ff;2nJ esta sobre fa esfera-de radio 2 y-
centro en el origen y sobre el cilindro (x -1)2 + y 2 = 1.
e)' Defiha una, funcin vectorial f :[-3~3}:,.-+'R~ de- tal manera que: SU; rango
sea el tringulo de.vrticeA(2-l~l);B(I,3;-l) y C(l,0,2).
f)- e . - ( 4 -3 ~ S.ea: la-- curva: . -defimda: por_ j(t) = Seost;l-sent,--s-cos.t)' t > 0;.
Demuestre que.:.C:es:una,:circunferencia"y:halle su centro:: ~uadio~; ; -
4:., Eitcuentre.el.mite:.requerido:para:cada~caso';.si existen:.:.::::
a); z.m.z{3t,.-t?:;,3t ~-2)_1 t-+l
\ L~--_cost:-cos{t,- t _ . l. ) e, - ,_-~- '-t--+O sent i tcsct
( tz--4- t
3 --8 )' d) Lim t-2,.
4 ,
1_
2 __
t-+2. ' - - t -16 t -2t ' .'
. ,. (_t2 ~~ t 2 ~t-6 12 -3tj e) Lim --,. 3
,.. _. t-+-J 3 -t_ t. -2Z t ~3. .
84.
-
f) Lim(1-l[t JI, 1 + cos Jrf, ..:i) t~l+ 1-t
1-sen('Z" _!_) g)
1- cos t 2arcsen ( 2t) 2 2 Lim -~---'-----'-- __ ....::.....__~ 2 , 3 ,
~~ 3t t t
(
~- 2t t J . cost --vl-t e -e sen3t -sent h) Lrm ~ ,. ( )
HO t sen2t-sent Ln 1+t
5 .. Analizar la continuidad de las sig,uientes funciones:
{(sent,.-_
1 ~u) .. te[O~l) a) f(t) = 1 ~t
( -1,0,3), tE [1, 2J
. ( 2t -I;2t,~-t- rJ, t ~T .(2tz +t-1 ,.-2,3]; -1
( 2 2 )' t ' t ' 5 ,
( JJ + t -l. e1 + sent - I .. _arcsen2t J. , , , O
-
b) f(t) = (Ln( 1 +t2 ),~,arctgt) 1+t
7. Calcular la derivada de cada una de las funciones vectoriales en t0 =O:
a)- f(t) ={(t3sen~, 1 +tellt), (0~0)~
b) f(t) = {( e2',t
2sen(I 1 t) ),
(1, o),
t=-0
t:;t;O
t=O
!J_ Sif(t) = ( ( 1 +t2)cost ,e'" sen(bt +e ),1;} carcurar f" (t) -
10.Hallar el punto donde se cortan las.curvas C1 ,;(t)=( e' ,2sen(t+ ~}t' -2}
C1 _: f(t) =-(t 7 ~tz- --3) , as comoel~nguiYde':(f1terseccin.
86:
-
CAPITULO 111
CURVAS
En este captulo tomamos como referencia el material electrnico de MORA
(2012) y el material sobre geometra diferencial de curvas disponible en la
pgina del BUSTINDUY (2014):
http: //www. nebrija. es/-abusti nd/1 ndustriales/Matematicas2/13-14/Matematicas2. htm
3. CURVAS
3.1 Parametrizacin de una curva
3.1.1 curva parametrizada
Definicin
Uncf'"curva C C:::'CJ 3 es una, curva par~rnetrizcida, si:: existe una funcin
,vectorialf:[a,bJc:D :40 3 tal que [,([a,b])= . : .
;f(t)=(~(t),f2(t), ... ,fn(t)) sedenc:>mina p~ram~:~rizacinde la cUrva e~ .:: . ;
:t: parmetro.
Ejemplo 3.1:
Un segmento entre dos puntos A y 8 de O 3 es una curva, que se puede
parametrizar mediante la funcin f: [0,1] e O ~O 3 tal que f(t) = tB +(l-t)A.
a) Curvas planas que tienen centro
Ejemplos 3.2:
1. La circunferencia C: ( x- h )2 +(y- k )2 = r 2 de centro ( h, k) y radio r >o.
87
-
Se parametriza con coordenadas polares tomando como referencia el centro.
As,
; o ~ t ~ 2;r => e : ; o ~ t ~ 2;r {x-h = rcost {x = h +rcost
y- k = rsent y = k+ rsent
Ecuaciones paramtricas de C.
2 ., (x-h) (y-k)-
2. La elipse e: 2
+ 2
=l. a b
Se parametriza haciendo:
o ~ t ~ 2;r => e : ; o ~ t ~ 2;r {x - h = a cos t , -{X = h + a cos t y- k = bsent - y = k+ bsent
Se parametriza haciendo uso de seno y coseno hiperblicos:
; o ~ t ~ 2;r => e : ; o ~ t ~ 2;r {x- h = acosh(t) {x = h +acosh(t) y-k=bsenh(t) y=k+bsenh(t) (Recordemos que senh2 (t)-cosh2 (t) = 1 ).
b) Curvas que son la interseccin de dos superficies
Ejemplo 3.3:
Parametrizar la curva e :{x+ y =1; 4y2 -16y+z2 +12 =O.
Completando cuadrados en la segunda ecuacin que corresponde a un
cilindro:
Ahora aplicando coordenadas polares en esta ltima ecuacin:
88
-
{ z = 2cost
; O ~ t ~ 2Jr => y = 2 + sent; y-2 = sent
De la ecuacin del plano: x = 1-y= -1- sent.
{
x = -1-sent La parametrizacin de e es: e : y = 2 + sent ;
z = 2cost
La curva y las superficies se muestran en la figura N3.1.
Figura N3.1 grfica de la curva C
Ejemplo 3.4:
Parametrizar la curva e: {y+ z = 4; x2 + i + z2 = 1 O.
Solucin:
De la primera ecuacln z = 4- y. En la segunda ecuacin: x2 + y2 +( 4- y)2 = 10.
Desarrollando esta ecuacin, se tiene: x2 + 2 (y- 2 )2 = 2 que representa una
elipse. La parametrizacin de e es:
{
x=Jicost
e : y = 2 + sent; z = 2-sent
La curva y las superficies se muestran en la figura N3.2.
89
-
Figura N3.2 grfica de la curva C
Definicin
...... "" -.
;una,curva,:C e parametrit~dadlfere~ti~ble es;~na aplicacin diferenci?.~le,
f:[a,b] 3 '' ;,,' ',; ' 3
~o,,,' de [a,b]enn .
3.1.2 Curva regular
Definicin
. :.
'es',difereritiabley f'(t) *O, Vt E [a,'b].
Ejemplos 3.5:
Sea f:D ~D 3 tal que f(t)=(4cost,4sent,5t) curva regular, puesto que:
f'(t) = ( -4sent,4cost,5) * (0,0,0), Vt E D
Definicin
. : . : .: :.'' ::-=::: .. . :. >.: . ..
,las fudCione~ coo~d1
~nadas ,_; adAAite d~rivada~,contin'~as hasta el orden k.
90
-
Nota:
Si f es continua, decimos que fE C0.
Una curva C es simple, si fes inyectiva.
3.2 Reparametrizacin de una curva regular
Supongamos que tenemos una curva cerrada,
f:[0,2tr]~D 2 1 f(t)=(acost,asent) representada por una circunferencia de
radio "a" (ver figura N3.3).
f(O)=(a,O)
Figura N3.3 circunferencia de radio "a"
El tiempo que demora en dar una vuelta un punto "P" partiendo desde f(O) y
llegar a f(TT) es 2TT segundos. Qu hacer, para que el punto "P" demore solo 1
segundo para dar una vuelta?
En este caso, conviene aumentar la velocidad del punto "P". Para ello
debemos "deformar" el intervalo [O, 1] y luego "cambiar" el parmetro "t" de f por
otro l?armetro "s". Esto solo es posible, cuando construyamos una funcin
-
jorp ----------.. [O,l]-4[0,2~r]~D 2
s 1-) t = 2Jr s 1-) (a cos(27r s ), asent(27r s))
Figura N3.4 cambio de parmetro
Si s = O obtenemos (a, O), punto iniciaL
Si s = 1/2 obtenemos (-a, O), en % s. recorre la mitad de la curva.
Si s = 1 obtenemos (a, O), en 1 s. da una vuelta.
"El proceso de variar la velocidad de ur1 proyectil para recorrer la misma curva
en menor o mayor tiempo, se llama REPARAMETRIZAR una curva". Para ello,
bastar CONSTRUIR UN HOMEOMORFISMO de clase C1, rp: 1 ~ J, siendo 1
y J intervalos cerrados.
Definicin
'na aR!icacin-. -~--~-e'" s. Gn .. HOMEOMORFISMg de)~lase e1 , si. rp., y su , ' . ... :.: ..
i
,inv~~sa rp~1 : ::T~;::=::=
-
3.3 Longitud de arco de una curva
La idea para medir una curva va a ser aproximarla por poligonales con vrtices
sobre la misma. Pero estos vrtices tienen que tener un "orden" sobre la curva
porque si no la poligonal no se parecer en nada a la curva. Pero, Cmo
calcular esta longitud?
Definicin
:$ea f:J ~ ~on,':~na t0'rva pa~allletrizada'regula(':', entonces la longitud''del !."~~ ., . . ~==== .:. . .. ,:.{;)jC'. :. ::: . . .
hast te I's dada por t ' ' ' ,,
= JII['Cu)lld~, to ,,,
Ejemplo 3.7:
Determinar la longitud de la curva C, descrita por f(t) = ( cost,sent,t 1 2) desde
( 1, O, O) hasta ( -1, O, n 1 2) .
Solucin:
f(t1) = ( cost1,sent1,t1 12) = ( -1, O, n 12). Entonces t1 = n.
NOTA:
a) s'(t)=llf'(t)ll
b) Puede suceder que t sea ya la longitud de arco medida desde algn punto.
En este caso: ds=1=IIJ'(t)ll Recprocamente, si IIJ'(t)ll=1, entonces dt
93
-
t t
s=JIIt'(t)!!dt=Jdt=t-t0 Es decir, tes la longitud de arco de f medida to to
desde algn punto.
3.4 Tangente unitaria, normal principal y vector binormal
Sea C una curva regular definida por la funcin f: I e o ~o 3
" .. f En parmetro. arbitrario:~' 1 . :.:':.: . .. =:::=:
tangente! ;;; i
1
T(t)- f'CO .. -llf'(t)ll
Vec~r norm(31 princip~!: l N(t) ~ B(t),)(,T(t) ' :::::~ i
"e) .. Vect()r binorrnal:
! . l i:
f
1 ! ...
- . (f'xf")(t) B(t) = ll(f ix ./'"}(t)ll
En parmetr.s: :;~iL~: >
'f(sY~r(S)
F(s)'>.
lli(s)ll .. =~==
Los vectores unitarios T, N, B forman un triedro positivo
N
Po
Figura N 3.5 Triedro mvil
Ejemplo 3.8:
Dada la curva f(t) =(t,t2 ,t3 ) y el punto P(l,l,l) perteneciente a la misma,
hallar:
a) el vector tangente unitario a la misma T(t) = ll;:~~~ll en el punto P.
94
-
b) un vector normal a la misma T'(t) = N(t) en dicho punto.
e) un vector normal al plano osculador de la curva en dicho punto.
Solucin:
a)f'(t)=(1,2t,3t2 )=>f(1)=(1,2,3) yaqueparaelpunto P(1,1,1) es t=l.
El vector tangente unitario es: T(1) = ~ (1,2,3) en el punto P. -v14
El vector tangente unitario expresado en funcin de t queda:
b) T'(t) = ~ ~ ( 1 +4t2 +9t4 r.% ( 8t+36t3 )( 1,2t,3t2 )+( 1 +4t2 +9t4 r~ ( o,2,6t) - (-8t-36t3 , -36t4 +4, 24t3 +12t) (-4t-18t3,2-18t4,6t+12t3 ) N (t) = = ....:.....__r=======c=------"-
2~(1+4t2+9t4)3 ~(1+4t2 +9t4 )3
- (-22 -1618) . -N(l) = 'Jii . Tambin el vector N2(1) = ( -11,-8,9) es normal en el punto.
14 14
N 2 (1) = ( -11, -8, 9) - (-11 -8 9)
Siendo: => Nu(1) = ' ' J266
i j k
e) 1 2 3 = ( 42,-42,14) => B(t)=(3,-3,1)
-11 -8 9
A partir de los vectores del triedro de Frenet construiremos tres planos
(osculador, normal y rectificante). Asimismo, introduciremos los conceptos de
curvatura y torsin, que nos da informacin de cmo se "dobla" y "tuerce" la
curva en el espacio.
95
-
3.5 Planos: osculador, normal y rectificante
Sea Cuna curva regular definida por la funcin f: 1 e O ~O 3 Sea f(t0 ) = ~
a) Plano Osculador determinado por {f. N} en 10 ,
Este plano se puede ver en la figura N3.6 (a)
b) Plano Normal determinado por {N,:B} en 10 ,
Este plano se puede ve en la figura N3.6 (b)
e) Plano Rectificante determinado por {f.:B} en 10
N(l0 )c(P-J0)=0
Este plano se puede ver en la figura N3.6 (e)
(a) (b) (e)
Figura N 3.6 plano osculador, normal y rectificante
En la figura N3. 7 se muestra los tres planos que se intersectan
ortogonalmente en un punto de la curva.
96
-
Figura N3. 7 planos coordenados en la curva
Ejemplo 3.9:
Dada la curva f(t) = ( e31 ,e-31 ,3.fit) y el punto P(1,1,0) perteneciente a la
misma, hallar el plano osculador en dicho punto.
Solucin:
f(t0 ) =Po= (1,1,0)
J'(t) = ( 3e31 ,-3e-31 ,3.fi) ~ J'(O) = (3,-3,3.fi) ~II!'CO)II = 6
f"(t) = (9e31 ,9~-31 ,o)~ f"(O) = (9,9,0)
T O = f'(O) = (3,-3,3.fi) =~(1 -1 .fi) e ) lit 'CO)II 6 2 ' ' .
f'(O)xf"(O) 27( -.fi,.fi,2) B(O)=IIJ'(O)xf"(O)II = 54.fi =(-112,1/2,1/.fi)
La ecuacin del plano osculador,
B(O)c( P -(1, 1, O))= O~ (-1 12,112,11 .fi)Q.x -1,y -1,z) =O
:. x- y-.fiz =O.
97
-
3.6 Curvatura y torsin
Sea f:[a,b]cD ~o n una curva regular. Eligiendo dos puntos f(t0 ) y f(t)
de la curva C, nos interesa estudiar la razn: ~~~~:~=~(~']/1 , que es el cambio promedio de direccin por unidad de distancia sobre el arcoYit0 )f(t), donde
IIT(t)-T(t0 )11 es el cambio de direccin de la curva entre f(t0 ) y f(t), donde
jjs(t)-s(to)ll es la longitud de arco desde f(t0 ) hasta f(t) (ver figura N3.8).
e Figura N3.8 variacin del vector tangente
La razn liT (t)- T (to )ji es la medida de cuanto se "curva" la curva C. La razn . lls(t)-s(t0 )11
"instantnea" de liT (t )-T (to )11 jjs(t)-s(t0 )jj
T(t)-T(t0 )
se obtiene aplicando el lmite cuando t ~ t0
t-to IIT'(to)II_IIT'(to)ll , _IIT'{to)ll As, fJ~-'+.--s-(-t)---s(-to-7.) ~= lls'(to)II-IIJ'(to)ll. El numero k(to) -ll!'(to)ll' se llama
t-t0
curvatura de C en el punto f(t0 ).
A continuacin, presentamos curvatura en funcin de f y sus derivadas.
98
-
3.6.1 Curvatura
regl:1r. f" contir1ua, enton'es la curvatura k
, deJa curv es dada por,
,'' '''"K(r):IIf '(t )xf~;(t)ll,,, ... ', ',,,. ll! '(t)ll~'
En el parmetro longitud de arco: K(s) = IIF(s)ll
Ejemplo 3.10:
Dado el arco de hlice parametrizado por f(t) = (3cost,3sent,4t), tE [0,2n"].
Calcular su curvatura en t.
Solucin:
Se tiene que f'(t) = ( -3sent,3cost,4) y f"(t) = ( -3cost,-3sent,O). As que,
f'(t)x f"(t) = (12sent,-12cost,9). Calculamos mdulos,
IIJ '(t )11 = .J9 cos2 t + 9sen2t + 16 = 5
As, la curvatura es: K(t) = 153
= 2.. ' 5 25
Definicin
Sea C una curva regular definida por f, dos veces diferenciable. El radio de
curvaturap(t) en el punto f(t)de la curva Ces el reciproco de la curvatura en
99
-
El centro e de la curvatura de la curva C en f(t) es, e= f(t)+ p(t)N(t)
siendo N el vector normal principal. El centro de curvatura se encuentra en el
lado cncavo de la curva C (ver figura N3.9 ).
Figura No 3.9 curva y radio de curvatura
Cunto ms cerrada es la curva, mayor es la curvatura y menor el radio. Por el
contrario, para curvas muy abiertas, la curvatura es pequea y el radio de
curvatura grande.
Ejemplo 3.11:
Dada la curva f(t) = (t,t2 , ~ t3 }tE D . Hallar la curvatura en t=1. Solucin:
Sabemos que K(t)= ll!'(t)xf"(t)ll ll!'(t)ll
3
f'(t)=(1,2t,2t 2 )=> /'(1)=(1,2,2) /\ 11!'(1)11=3
f"(t) = (0,2,4t) => /"(1) = (0,2,4)
/'(1)x /"(1) = ( 4,-4,2) => llf'(1)x /"(1)11 = 6
K(1) = IIJ '(1 )x f "(1)11 = ___ = 3.. 111 '(1 )113 33 9
100
-
Clculo del radio de curvatura, p(1) = -(1 ) = -1- = 912 = 4,5
k 1 2/9
El centro de la curvatura, e= /(1)+ p(1)N(1) = (1,1,2/3)+4,5N(1)
(1, 2t' 2t2
) ( )- ]/ ( ) T(t) = = 1 + 4t2 + 4t4 72 1, 2t, 2t2
~1+4t2 +4t4
T'(t) = -i( 1 +4t2 +4t4 )-M ( 8t + 16t3)( 1,2t,2t2 ) +(1 +4t2 +4t4 )-Ji ( 0,2,4t) T'(l) = -(9rM (12)(1,2,2) +(9r>i ( o,2,4) = -
1; (1,2,2)+..!.(o,2,4)
3 . 3
T'(l),;; -~(2,1,-2) =>IIT'(i)ll = 2/3 9 1
N(1) = --(2,1,-2). 3
. -1 El centro de curvatura e= (1,1, 213) + 4, 50----=-(2,1, -2) = ( -2,-112,111 3).
3
Una curva en el espacio se "tuerce" de dos maneras. Por un lado se curva
dentro del plano osculador y por otra se curva hacia afuera de dicho plano. La
primera forma viene descrita por la curvatura, es decir por la razn de cambio
de direccin del vector tangente unitario T. La segunda forma de curvarse viene
determinada por la razn de cambio de direccin del vector binormal B.
3.6.2 Torsin '""""""""";; ;;:; ;; ;; -~v ,::
.rgular1: qprF' f"y fllt, .. ;:Tntonces la tqrsin r . .
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-
Ejemplo 3.12:
En la curva dada anteriormente f(t) = (t,t2 , ~ t3 }tE D . Hallar la r(1).
Solucin:
Dada la funcin f (t) = (t, t2, ~ t3), calculamos la primera y segunda derivada de
f: f'(t)=(1,2t,2t 2 ) /\f"(t)=(0,2,4t)
!'(1)xf"(1) = ( 4,-4,2) ~ IIJ'(1)x !"(1JII= 6.
Falta calcular la tercera derivada de f, f"'(t) = (0,0,4)
Ent=1, /"'(1)=(0,0,4).
En la frmula de la torsin,
, ( 1) = ( f ' ( 1) x f " ( 1) )o f "' ( 1) = ( 4, -4, 2 )e{ o, o, 4) = _i_ = ~. llf'(1)x /"(1)11
2 6
2 36 9
Ejemplo 3.13:
Calcular la curvatura y la torsin de la curva f(t)=(sent,t 2 ,e1 ), tED en el punto (0,0,1).
Solucin:
Entonces, el vector tangente unitario en el punto (O, O, 1) es
102
-
12. Sea la curva e: x = e1 sen2t; y= e1 cos 2t; z = 2et, pasa por el punto P(0,1,2).
Hallar los planos normal, rectificante y osculador y las rectas tangente,
normal y binormal.
13. Dada la curva e: x2 - 2yz =O; y+ z- -J2x -1 =O. Hallar la ecuacin del plano
. -1 1 1 osculador en el punto ( ~ ,-,-).
2-v2 4 4
14.Sea C una curva de ecuacin vectorial a(t)=(t,Ln(sect),Ln(sect+tant)).
Hallar los vectores T,N y By la ecuacin del plano osculador en el punto en
que la curva corta al plano YZ.
15. Hallar el vector normal y una ecuacin del plano osculador para t0 = 1 1 2
cuando f(t) = (arcsent,t, -(l-t)112 ).
16. Hallar la Ecuacin del Plano Normal y Rectificante. Radio de Curvatura.
Aceleracin como combinacin lineal de T y N. Para cada una de las
siguientes funciones:
d) f(t)=(cost,sent,e 1) t=;r/2.
17. Dada la funcin vectorial, f(t) = (tsent+cost,sent-tcost). Demostrar que:
a) La componente tangencial de la aceleracin es constante.
b) La rapidez, la componente normal de la aceleracin y el radio de
curvatura son iguales para todo t >0.
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18. Hallar la interseccin del plano XY con el plano normal a la curva
f(t) = (cost,sent,t) en el punto t = f.
19.Sean C y P la curva y el plano definido por f(t)=(cos4t,sen4t,t) y
P: x + 4z- 3 = o. Determine en que punto de la curva, el plano osculador es
paralelo a P. Hallar tambin la ecuacin del plano osculador.
20. Demuestre que la funcin vectorial (;(t) = (eat senat,eat cosat,ea1), posee un
radio de curvatura para cualquier valor de "t" igual a p = 3.J2 ea1
2
21. Sea la funcin vectorial a(t) = (asent,acost,bt), donde "a"
