FACULTAT DE C. ECONMIQUES I EMPRESARIALS, UPF, TARDOR 2011

Examen Final

Professor: Albert Satorra i Christian Brownlees

Nom i cognoms.........................................................NIA.................................. Grup

Instruccions:

• NO GIREU AQUEST FULL FINS QUE EL PROFESSOR HO INDIQUI.

• Poseu les vostres dades (nom, cognom, etc. en aquest full i tamb el vostre primer cognom en cada un delsfulls de preguntes adjunt.

• El temps mxim per fer aquest examen s de 1 hora i 30 minuts.

• Aquest examen consta d’una sola part, de 24 preguntes test de resposta multiple. Cada pregunta te tresrespostes possibles solament una es la correcta. Marqueu amb una X la casella de la resposta que cregueuque s la correcta. Si voleu rectificar, marqueu amb NO la casella que haveu assenyalat, i poseu una X a lanova casella que assenyaleu com a correcta. Tota pregunta amb ms d’una casella assenyalada ser consideradano contestada. A l’hora de decidir entre respondre la pregunta o deixar-la en blanc (no contestada), tingueuen compte que la puntuaci de l’examen s’efectuar de la forma segent:

Resposta correcta: +1.0

Resposta incorrecta: −0.5

Pregunta no contestada: 0.0.

• Les respostes del test les heu de posar al Full de Lectura Optica que s’acompanya. En elFull de Lectura Optica poseu les dades d’identificacio personal: Nom i Cognos, DNI, iCodi-Permuta de l’examen. La resposta valida es la que poseu al Full de Lectura Optica .

• Quan se us indiqui, entregueu el quadern de test i el Full de Lectura Optica al professor .

1. La probabilitat P (A ∪B)

© ∗ pot ser igual a P (A) + P (B)

© es sempre igual a P (A) + P (B)

© es sempre igual a P (A) + P (B) + P (A ∩B)

2. Si A i B son esdevenimens disjunts podria ser que

© P (A) = 0.4 i P (B) = 0.7

© ∗ P (A) = 0.4 i P (B) = 0.2

© P (A) = 0 i P (B) = 1.2

3. Suposem un espai mostral Ω = ω1, ω1, . . . amb infinits elements (el cardinal de Ω es∞) i i amb probabilitatsP (ωk) 6= 0 per tot k (les probabilitats dels esdeveniments elementals son totes positives).

© Aixo es impossible donat que la suma dels infintis numeros positius∑∞k=1 P (ωk) seria superior a 1.

© Per definicio de probabilitat, el numero d’elements de Ω no pot ser infinit

© ∗ Aixo es possible donat que la suma∑∞k=1 P (ωk) pot ser igual a 1

4. Suposem un espai mostral Ω = ω1, ω1, . . . ωK. Aleshores necessariament

©∑Kk=1 P (ωk) ≤ 1

© ∗∑Kk=1 P (ωk) = 1

©∑Kk=1 P (ωk) 6= 1

5. A1, . . . , AK es una particio de Ω si

© A1 ∪A2 ∪ . . . AK = Ω

© ∗ A1 ∪A2 ∪ . . . AK = Ω i Ai ∩Aj = ∅, i 6= j

© A1 ∩A2 ∩ . . . AK = ∅

6. Sabem que Ω = A ∪B i que P (A) = 0.8. Aleshores, de la P (B) podem dir que

© = 0.2

© ∗ ≥ 0.2

© ≤ 0.2

7. Sabem que P (A) = 0.6, P (B) = 0.6 i que Ω = A ∪B. Aleshores, de la P (A ∩B) podem dir que

© = −0.2

© > 0.2

© ∗ = 0.2

8. Si A ⊂ B aleshores, necessariament,

© P (A) < P (B)

© ∗ P (A) ≤ P (B)

© P (A) + P (B) = 1

9. Si A ∪B = Ω, A ∩B = ∅, P (C ∩A) = .3 i P (C ∩B) = .3, aleshores,

© ∗ P (C) = 0.6

© P (C) = .3

© P (C) = 0.5

10. Triem a l’atzar tres numeros de una caixa que hi han el numeros 1 a 10. La probabilitat que en els tresnumeros hi hagi el 2 es:

© ∗ choose(9,2)/choose(10,3) = 0.3

© 1/10 = 0.1

© choose(10,2)/choose(10,3) = 0.375

11. Reordenem a l’atzar els numeros 1,2,3,4.5 La probabilitat que el 1 i 2 quedin en primera posicio (12 o 21) es:

© 2/5 = 0.4

© factorial(3)/factorial(5) =0.05

© ∗ 2*factorial(3)/factorial(5) =0.1

12. En R fem: dau = 1:6. Despres fem: sample(dau, 2, replace=T), es a dir, simulem amb ordinador duestirades d’un dau de sis cares. La probabilitat que en els dos numeros que obtenim hi hagi com a mınim un 6es:

© 1/6

© 1 - (1/6)*(1/6)

© ∗ 1 - (5/6)*(5/6)

13. Sabem que els esdeveniments A i B son disjunts (incompatibles), A ∩ B = ∅, amb P (A) i P (B) diferent dezero. Aleshores,

© A i B son independents

© P (A ∩B) = P (A)P (B)

© ∗ A i B no son independents

14. Sabem que P (A) = .8 i P (B) = .4 i P (A ∩B) = .32. Aleshores, els esdeveniments A i B son:

© Disjunts

© ∗ Independents

© Complementaris

15. Suposem una particio A1, A2 de Ω (es a dir: A1∪A2 = Ω i A1∩A2 = ∅). Si P (A1) = P (A2), P (B | A1) = 0.3i P (B | A2) = 0.9, aleshores la P (A2 | B) es igual a:

© ∗ .9/(0.3 + 0.9) = 0.75

© 0.3

© no la podem calcular amb aquestes dades.

16. El complementari de A1 ∪A2 ∪A3 es igual a

© A1 ∩A2 ∩A3

© A1 +A2 +A3

© ∗ A1 ∩ A2 ∩ A3 on A denota complementari

17. La probabilitat de A condicionada a B, P (A | B), es

© P (B|A)P (B)

© P (A∩B)P (A)

© ∗ P (A∩B)P (B)

18. Si P (B) < 1, aleshores la probabilitat de A condicionada a B, P (A | B), sempre es

© ∗ mes gran que P (B ∩A)

© igual que P (B ∩A)

© mes petita que P (B ∩A)

19. En un experiment aleatori tenim tres esdeveniments, A, B i C, amb probabilitats respectives .7, .6 i .9

© aixo es impossible, ja que aquestes probabilitats sumen mes de 1

© es necessari que P (A ∩B) = 0

© ∗ Es podar donar aquest cas

20. En un experiment aleatori tenim esdeveniments elementals ω1, ω2 i ω3 de l’espai mostral Ω tals que P (ω1) = .7,P (ω2) = .6 i P (ω3) = .9

© ∗ aixo es impossible, ja que aquestes probabilitats sumen mes de 1

© es necessari que P (ω1 ∪ ω2) = 1

© Es podar donar aquest cas

21. Una d’aquestes igualtats NO sempre es certa

© ∗ E(X2) = (E(X))2

© E(−X) = −E(X)

© E(2X + 1) = 2E(X) + 1

22. Si X es una variable aleatoria que pren valors −1,+1, amb probabilitats 0.5, 0.5, la variable aleatoria (X −µX)2

© ∗ es una variable constant igual a 1

© es una variable amb valor esperat igual a zero

© es una variable amb variancia molt gran

23. L’esdevenimen (A ∩B) ∪ (A ∩ C) es igual a

© ∗ A ∩ (B ∪ C)

© A ∩ (B ∩ C)

© A ∪ (B ∩ C)

24. Si B ⊂ A, aleshores P (A | B) es igual a

© 0

© P (B | A)

© ∗ 1

25. En una cursa d’atletisme hi participen 8 atletes. Quants diferents podis es poden donar? (un podi son elprimer, segon i tercer classificats)

© 312

© 8

© ∗ 336

26. La Monica disposa dun vestuari amb 6 bruses, 5 faldilles i 3 parell de sabates. De quantes maneres diferentspot vestir-se?

© 6!× 5!× 3!

© 6 + 5 + 3

© ∗ 6× 5× 3

27. S’escullen a l’atzar dos nombre de telefon d’una guia telefonica amb una numeracio de 9 digits. Quina es laprobabilitat que els dos nombres escollits tinguin la ultima xifra identica ?

© 12%

© 5%

© ∗ 10%

28. Una urna conte 4 boles blanques, 3 negres, 2 vermelles i una verda. Si sextreu una bola a latzar, calcula laprobabilitat de que sigui vermella si se sap que no es negra.

© 2/10

© 1− 2/10

© ∗ 2/7

29. Si tirem dos daus (de sis cares, numerades de 1 a 6) i sumem els punts de les cares obtingudes, llavors

© es tan probable que sumin 4 com que sumin 7

© ∗ es mes probable que sumin 7 que 4

© es meyns probable que sumin 7 que 4

30. Sigui X una variable aleatoria discreta que pren els valors 0.1, 0.5 i 0.15 amb probabilitats 0.1, 0.5, a respec-tivament. Aleshores el valor de a es

© 0.15

© 0

© ∗ 0.4

31. Si A i B son esdeveniments independents amb P (B) > 0, aleshores

© P (A | B) = P (B)

© P (A | B) = P (A)× P (B)

© ∗ P (A | B) = P (A)

32. Tenim una distribucio de Bernoulli de parametre p = 0.7, aleshores

© µ = 0.7× 0.3

© µ = 0

© ∗ µ = 0.7

33. Si X es una variable aleatoria amb E(X) = 0.5 i Y = X2, necessariament E(Y ) es

© 0.25

© 0.5

© ∗ cap de les anteriors

34. Suposeu que Ω = A1 + A2, A1 ∩ A2 = ∅. Si P (A1) = 0.4, P (A2) = 0.6, P (B | A1) = 0.1 i P (B | A2) = 0.6,aleshores

© P (B) = 0.10.1×0.4+0.6×0.6

© P (B) = 0.60.1×0.4+0.6×0.6

© ∗ P (B) = 0.1× 0.4 + 0.6× 0.6

35. Una familia te 4 fills. Calculeu la probabilitat que com a mınim un dels fills sigui una nena (feu servir que laprobabilitat que un naixement sigui nena es 0.5).

© 1/4

© 1/2

© ∗ 1− 124

36. Tirem una moneda no trucada quatre vegades. La probabilitat d’obtenir com a mınim una cara es:

© ∗ 1− (1/2)4

© (1/2)4

© 4(1/2)4

37. En una factoria, les maquines A i B produeixen, respectivament, el 20% i el 80% de la produccio total. Elpercentatge de produectes defectuosos es, respectivament, del 1% i 2%. Es selecciona a l’atzar un producte iresulta ser ”no-defectuos”. Quina es la probabilitat d’haver estat produıt per la maquina B?

© < 0.2

© = 0.2

© ∗ > 0.2

38. Si A i B son dos esdeveniments qualssevol i A denota el complementari d’A i P (B) > 0, aleshores P (A|B) esnecessariament

(a) P (B)− P (A|B)

(b) P (B)− P (A ∩B)

(c) ∗ 1− P (A|B)

39. D’un grup de 24 futbolistes, hi han 3 porters, 6 defenses, 7 migcampistes i 8 davanters. De quantes maneresdiferents podem formar un equip amb 1 porter, 4 defenses, 3 migcampistes i 3 davanters?

(a) 3× 6× 7× 8

(b) ∗ 3× choose(6, 4)× choose(7, 3)× choose(8, 3)

(c) choose(24, 11)

40. Siguin A, B i C tres esdeveniments. Suposem que P (A ∩ B) > 0. Digues quines de les seguents afirmacionsNO es sempre correcte:

(a) P (A ∩B ∩ C) = P (A)P (B|A)P (C|A ∩B)

(b) ∗P (A|B) = 1− P (A|B)

(c) P (A ∪B|C) = P (A|C) + P (B|C)− P (A ∩B|C).

41. Sigui X una v.a. discreta i denotem per µ i σ2 l’esperanca i la variancia de X, respectivament (E(X) = µ iV ar(X) = σ2). Indica quina expressio de les seguents es CERTA:

(a) V ar(E(X)) = E(X)

(b) V ar(E(X)) = V ar(X)

(c) ∗V ar(E(X)) = 0

42. El valor de k per tal que F (x) sigui funcio de distribucio es

X 1 2 3 4F(x) 1/2 1/3 k 1

sigui una funcio de distribucio ha de ser:

(a) 3/4

(b) ∗F (x) no es funcio de distribuco

(c) 1/64

43. Sigui X una variable aleatoria discreta tal que E(X) = µ i V ar(X) = σ2. Quina de les expressions seguentsNO es sempre CERTA:

(a) E(X2) = V ar(X) + µ2

(b) ∗E(X2) = E((X − µ)2)

(c) E(X2) = E(E(X2))

44. En una urna hi ha dues boles numerades, 1 i 2. Es fa extraccio d’una bola a l’atzar i, a continuacio es tirauna moneda tants cops com marca el nombre de la bola que s’ha extret. Suposem que el resultat d’aquestexperiment ha estat A = cap cara. Llavors, la probabilitat que la bola extreta tingui un 2 es:

(a) 1/4

(b) ∗ 1/3

(c) 1/2

45. Una particio d’un espai mostral es una col.leccio d’esdeveniments satisfent,

(a) Son disjunts i la seva interseccio es no buida

(b) ∗ Son disjunts i la seva unio coincideix amb la totalitat de l’espai mostral

(c) La seva unio coincideix amb la totalitat de l’espai

46. Una variable aleatoria discreta X pren els valors i = 1, 2, 3 satisfent P (X = i) = k · 1i2 . Aleshores, el valor de

k es

(a) 611

(b) ∗ 3649

(c) 4936

47. Un sommelier ha de confeccionar una llista de vins per a un restaurant amb un total de 5 vins negres, 5blancs i 5 caves. Entre els 10 vins negres, 10 blancs i 7 caves que ha tastat el darrer any considera que n’hiha 3 negres, 2 blancs i 3 caves que segur han de formar part de la seva llista. Quantes llistes diferents potconfeccionar?

(a) ∗ choose(7, 2)× choose(8, 3)× choose(4, 2)

(b) choose(7, 5)× choose(8, 5)× choose(4, 5)

(c) Cap de les altres es correcta

48. Sigui X una variable aleatoria discreta d’esperanca 7 i variancia 16. Aleshores, la desviacio estandard de lavariable aleatoria Z = 3X − 5 es

(a) 43

(b) ∗ 12

(c) 4

49. Sigui PX(x) la funciode massa de probabilitat de X, donada per

x 1 2 3 4PX(x) 1/8 1/2 1/4 k

Aleshores k es igual a

(a) 1

(b) 1/2

(c) ∗ 1/8

50. Quina de les igualtats es sempre certa? (recordeu que V (X) denota la variancia de X)

(a) ∗V (X + 1) = V (X − 1)

(b) V (−X) = −V (X)

(c) E(X + 1) = E(X)

51. Una distribucio Binomial de parametres n = 20 i p = 0.5, B(10, 12 )

© ∗ es simetrica

© pren valors entre 1 i 10

© te valor esperat igual a 20× 12 ×

12

52. X i Y son variables aleatories. Una de les seguents igualtats no sempre es certa

© ∗ V (X + Y ) = V (X) + V (Y )

© E(X + Y ) = E(X) + E(Y )

© V (X + 1) = V (X)

53. Si X es una variable aleatoria centrada aleshores

© ∗ V (X) = E(X2)

© E(X) = 1

© V (X + 1) = V (X) + 1

54. Si X es una variable aleatoria estandarditzada, aleshores

© E(X) = 1

© V (X + 1) = V (X) + 1

© ∗ V (X) = 1

55. Si X es una variable aleatoria estandarditzada, aleshores

© ∗ E(X) = 0

© V (X + 1) = V (X) + 1

© E(X2) = 0

56. La variable X estandarditzada es

© ∗ X−µσ

© X−µσ2

© Xσ

57. El coeficient d’assimetria de X es

© ∗ E(Z3 on Z = X−µσ

© E(Z4 on Z = X−µσ

© 0

58. El coeficient d’apuntament de X es

© E(Z3) on Z = X−µσ

© ∗ E(Z4) on Z = X−µσ

© 0

59. La distribucio de Bernoulli de parametre p te variancia maxima quan

© p = 0

© ∗ p = 0.5

© p = 1

60. La distribucio Binomial de parametre n i p te variancia igual a

© p(1− p)© ∗ np(1− p)© (np(1− p))2

61. La desviacio tipus (estandard) d’una distribucio Binomial de parametre n i p es

© p(1− p)© ∗

√np(1− p)

© (np(1− p))2

62. La desviacio tipus (estandard) d’una variable aleatoria que es constant es

© 1

© ∗ 0

© infinit

63. Si X es el resultat de la tirada d’un dau de 16 cares totes amb la mateixa probabilitat, aleshores el valorvalor esperat de X es

© 16/2

© ∗ 17/2

© 17×1512

64. Si X es el resultat de la tirada d’un dau de 16 cares totes amb la mateixa probabilitat, aleshores la varianciade X es

© 16

© 17×152

© ∗ 17×1512

65. Ens diuen que una v.a. X te funcio de distribucio acumulada F (x) = x3 per x ∈ (0, 1), aleshores la variabletransformada Y = X3 te distribucio

© ∗ uniforme a (0, 1)

© Normal

© igual a la de X

66. En una distribucio uniforme continua a l’interval (a, b) la variancia es

© ∗ directament proporcional al quadrat de la llongitud de l’ interval b− a© directament proporcional a la la llongitud de l’ interval b− a© no depen de la llongitud de l’ interval b− a

67. El valor espera de una distribucio uniforme continua a l’interval (−1, 2) es

© ∗ 0.5

© 1

© 0

68. La variable X = 3U on U te distribucio uniforme a (0, 1), es una variable amb distribucio

© ∗ uniforme a (0, 3)

© normal

© exponencial

69. La variable X = 2 + 3U on U te distribucio uniforme a (0, 1), es una variable amb distribucio

© ∗ uniforme a (2, 5)

© normal

© exponencial

70. Una distribucio Binomial de parametres n = 10 i p = 0.5, la B(10, 12 ),

© ∗ es simetrica

© pren valors entre 1 i 10

© te valor esperat igual a 10× 12 ×

12

71. Siguin X i Y variables aleatries tals que E(XY ) = E(X)E(Y ). Aleshores necessariament

© X i Y son independents

© ∗ la variancia de la suma es la suma de varincies; es a dir, V (X + Y ) = V (X) + V (Y )

© X i Y tenen distribuci normal

72. Si f(x) i F (x) son respectivament les funcions de densitat de probabilitat i de distribucio acumulativa de unavariable aleatoria X, aleshores una de les seguents afirmacions NO es certa

© P (3 ≤ X ≤ 6) = F (6)− F (3)

© ∗ P (3 ≤ X ≤ 6) = f(6)− f(3)

© P (3 ≤ X ≤ 6) =∫ 6

3f(x)dx

73. Suposeu la variable bivariant (X,Y ) amb funcio de densitat de probabilitat marginals de X i Y , fX(x) ifY (y), respectivament. Se sap tame que la correlacio entre X i Y es zero. Aleshores la funcio de densitat deprobabilitat conjunta fXY (x, y) es

© fX(x)fY (y)

© fX(x) + fY (y)

© ∗ en aquest cas, la densitat de probabilitat conjunta fXY (x, y) no la podem determinar a partir de lesmarginals

74. Siguin X i Y variables aleatories independents cadascuna amb distribucio exponencial de parmetre λ = 2;es a dir, fX(x) = 2e2x i fY (y) = 2e2y, quan x > 0 i y > 0, zero altrament. Aleshores, la funcio de densitatconjunta fXY (x, y) es

© 2e2x + 2e2y, x > 0, y > 0, zero altrament

© ∗ 4e2x+2y, x > 0, y > 0, zero altrament

© e2xy, x > 0, y > 0, zero altrament

75. Suposem que X es una variable aleatoria contınua, aleshores la funcio de densitat de probabilitat (f.d.p.)f(x)

© ∗ pot pendre valors mes gran que 1

© f(x) ≤ F (x), on F (x) es la funcio acumulada de distribucio

©∫ +∞−∞ xfX(x)dx = 1

76. Suposem que X ∼ N(µ, σ2), aleshores la P (µ− 3σ < X < µ+ 3σ) es aproximadament

© ∗ 99 %

© 95 %

© 68 %

77. Suposem que X ∼ N(0, 1), aleshores quina de les seguents v.a. segueix una distribucio N(7, 16)?

© ∗ 7 + 4X

© 7 + 16X

© (X − 7)/4

78. El quartil inferior de la distribucio normal estandard es −0.675. Aleshores, el quartil inferior de la distribucioN(5, 100) es

© −0.675

© −6.75

© ∗ −1.75

79. Sigui X ∼ N(10, 16). Quina de les seguents probabilitats es mes petita?

© P (X < 2)

© ∗ P (| X − 10 |> 12)

© P (X > 18)

80. Siguin X i Y dues variables aleatories discretes amb funcio de massa de probabilitat conjunta PXY (x, y);x =x1, . . . xK , y = y1, . . . , yM i funcio de massa de probabilitat PX(x) i PY (y) per els distribucions marginals deX i Y . Les dues variables son independents si

© PXY (x, y) = PX(x) + PY (y) per totes les combinacions de valors x, y

© ∗ PXY (x, y) = PX(x)PY (y) per totes les combinacions de valors x, y

© PXY (x, y) = PX(x)PY (y) per al menays una de les combinacions de valors x, y

81. El coeficient de correlacio d’iuna variable aleatoria no-constant X amb ella mateixa ρ(X,X) es

© 0

© ∗ 1

© depn de la variable.

82. En una distribucio exponencial sabem que la funcio de distribucio acumulada es F (x) = 1− e−λx. El primerquartil Q1 es aquell valor que

© 1− e−λ0.25 = Q1

© ∗ 1− e−λQ1 = 0.25

© es aquell valor que deixa a la dreta el 25% de la distribucio

83. En una distribucio exponencial, la mediana es

© igual que l’ esperanca

© mes gran l’ esperanca

© ∗ mes petita que l’ esperanca

84. Si la variable Y = log(X) te distribucio normal, aleshores

© la distribucio de Y es log-normal

© ∗ la distribucio de X es log-normal

© la distribucio de X es Normal

85. Si la variable Y = log(X) te distribucio N(µ, σ), aleshores el valor esperat de X varia amb

© µ

© ∗ µ i σ

© σ

86. Si les variable Z1, . . . , Z6 tenen distribucio N(0, 1) i son independents, aleshores Y =∑6

1=1 Z2i te distribucio

© χ25, khi-quadrat amb cinc grau de llibertat

© ∗ χ26, khi-quadrat amb sis grau de llibertat

© amb valor esperat 12

87. Quina d’aquestes afirmacions NO es certa

© ∗ la suma de dues variables independents amb distribucio uniforme tambe es uniforme

© la suma de dues variables independents amb distribucio Normal tambe es Normal

© la suma de dues variables independents amb distribucio exponencial tambe es exponencial

88. Quina de les afirmacions es correcta ?

© la correlacio ρXY sempre es mes petita que la covariancia

© ∗ la correlacio ρXY pot ser mes gran que la covariancia

© la covariancia no varia amb l’escala de les variables

89. Volem esbrinar si la funcio sample de R es en realitat un bon simulador de la tirada d’un dau no trucat de siscares. Simularem 600 tirades el dau de sis cares. Per aixo executem: freq = tabulate(sample(1:6,600,

replace =T)) i obtenim les frequencies absolutes 102 103 93 95 109 98 de les cares 1 a 6 del dau. Cal-culem l’estadıstic khi-quadrat d’aquestes dades khi2=sum((freq -100)*(freq -100)/100) que dona elvalor khi2= 1.72. En relacio a una distribucio khi-quadrat de 5 graus de llibertar calculem que la probabilitatd’un valor mes gran que 1.72 es 1- pchisq(1.72,5) 0.8863705 . Amb aquestes dades, la conclusio es que

© El simulador no funciona donat que el khi2 que s’observa es un valor massa gran

© ∗ El simulador funciona be donat que el khi2 que s’observa es un valor petit

© Els calculs efectuats no corresponen a un estadıstic khi-quadrat

90. Siguin X i Y dues variables aleatries amb taula de distribucio de probabilitat conjunta:

Y \ X 2 4-3 0.12 0.31-2 0.01 0.25-1 0.1 0.21

P (Y = −1) es

© 0.26

© ∗ 0.31

© 0.43

91. Considereu X es el no. de clients que arriben a una botiga en un hora un dia determinat. Se sap que Xsegueix una distribucio de Poisson de valor esperat 8 clients per hora. En aquest cas, el temps d’espera finsque arriba un altre client te distribucio

© normal de mitjana 8 i variancia 8

© exponencial de valor esperat 8

© ∗ exponencial de esperat 1/8

92. Suposeu que X es una v.a. continua amb funcio de distribucio F (x). Aleshores, la distribucio de la variableY = F (X) sera:

© exponencial

© ∗ uniforme

© normal

93. Suposeu que la duracio d’uns fluorecents segueix una distribucio exponencial de valor esperat 12 mesos. Sesap que un fluorescent ha estat funcionat durant 10 mesos. La probabilitat de que sobrevisqui 10 mesos meses

© ∗ exp(−10/12)

© exp(−20/12)

© 0.5

94. Considereu en R els seguents valors a i b: a=1- pnorm(0.6), b = pnorm(-0.6). La diferencia d = a-b

es

© < 0

© ∗ 0

© > 0

95. executat en R, pnorm(0) sera

© 0

© ∗ 0.5

© cap dels anteriors

96. La covariancia entre una variable aleatoria X i ella mateixa, cov(X,X) es igual a

© 1

© ∗ la variancia de X, var(X)

© 0

97. La correlacio entre una variable aleatoria X i ella mateixa, ρXY , es igual a

© ∗ 1

© la variancia de X, var(X)

© 0

98. Suposeu que X1 i X2 son dues variables aleatories independents amb la mateixa distribucio de probabilitat.Si σ2 = var(X1) i S = X1 +X2, aleshores

© S = 2X1

© ∗ var(S) = 2σ2

© var(S) = 4σ2

99. Suposem dues variables X i Y amb correlacio ρXY = .4. Si Z = 2X, la correlacio ρZY es

© ∗ .4

© .8

© .2

100. Si X1, . . . Xn son independents i amb la mateixa distribucio, Xi ∼ X (amb esperanca i variancia finites), lallei dels grans nombres assegura que el promitg Xn =

∑ni=1Xi/n

© ∗ convergeix en probabilitat a E(X)

© convergeix en probabilitat a 0

© convergeix en probabilitat a σ2

101.En R la sintaxis 7+ 2*rnorm(3) genera tres valors d’una distribucio

© N(7, 1)

© N(7, 2)

© ∗ N(7, 4)

102. Si executem a R la sintaxis seguent: dbinom(1,10,0.6) obtenim un numero necessariament

© ∗ mes gran o igual que zero i mes petit que 1

© mes gran o igual que 0.6

© mes gran que 10

Si X i Y son v.a. independents, i PY |X=2(3) es la probabilitat de Y = 3 condicionada a que X = 2, i PY (3)es la probabilitat marginal de Y = 3, aleshores

© ∗ PY |X=2(3) = PY (3)

© PY |X=2(3) = PY (3 | 2)

© cap de les anteriors

Si PXY (x, y) es distribucio de probabilitat conjunta i PX(x) i PY (y) distribucions marginals, aleshores

© ∗∑y PXY (x, y) = PX(x)

©∑x PXY (x, y) = PX(x)

© cap de les anteriors

103. Si la covariancia entre X i Y es C(X,Y ) = −3, aleshores C(−X,Y ) es

© ∗ 3

© −3

© 0

104. Si la covariancia entre X i Y es C(X,Y ) = −3, aleshores, C(−X,Y + 3) es

© ∗ 3

© 6

© 0

105. Si la covariancia entre X i Y es C(X,Y ) = −3, aleshores: C(−X,X + 3) es

© 0

© 6

© ∗ −Var(X)

106. Si C(X,Y ) denota covariancia entre X i Y , i V (X) denota variancia de X, aleshores: C(−X,X) es

© ∗ −V (X)

© V (X)

© 0

107. Si ρ(X,Y ) denota correlacio entre X i Y , aleshores: ρ(−X,X) es

© ∗ −1

© 1

© 0

108. Si ρ(X,Y ) denota correlacio entre X i Y , aleshores: ρ(−X,X + 4) es

© ∗ −1

© 1

© 0

109. Si ρ(X,Y ) denota correlacio entre X i Y , i X i Y son independents, aleshores: ρ(−X,Y ) es

© −1

© 1

© ∗ 0

110. Executat en R, la sintaxis mean(rbinom(2000,10, .25)) dona un valor aproximadament igual a

© 5

© ∗ 2.5

© 10

111. Si tenim dues variables aleatories independents X i Y en un mateix espai de probabilitat, aleshores

© V (X − Y ) = V (X)− V (Y )

© ∗ V (X − Y ) = V (X) + V (Y )

© V (X − Y ) = 0

Suposem que X i Y son variables aleatories tals que Y = X − 1; aleshores

© ∗ E(Y ) = E(X)− 1

© E(Y ) = E(X)

© cap de les anteriors

Suposem que X i Y son variables aleatories tals que Y = X − 1; aleshores

© P (Y < 3) = P (X − 1 < 3)

© P (Y < 3) = P (X < 4)

© ∗ totes dues anteriors

Suposem que X i Y son variables aleatories tals que Y = X − 1; aleshores, sempre

© P (Y = 0) = P (X = 0)− 1

© P (Y = −1) = P (X = −1)

© ∗ cap de les anteriors

Si V (X) = 2 i Y = −2X, on X es variable aleatoria i V (X) es la variancia, aleshores

© ∗ V (Y ) = 8

© V (Y ) = 4

© cap de les anteriors

112. La distribucio binomial B(3, 0.3) pren valors

© d’ 1 a 3, ambdos inclosos

© ∗ d’ 0 a 3, ambdos inclosos

© d’ 0 a 0.3, ambdos inclosos

En la distribucio geometrica de parametre p = 0.4, el nombre de valors possibles

© ∗ es infinit

© mes petit que 40

© cap de les anteriors

113. L’esperanca E(X) d’una variable aleatoria

© es sempre un nombre finit

© ∗ pot no existir

© es sempre ms gran o igual que zero

114. En una variable aleatoria X, si E(X) = 0, aleshores

© X es una variable constant

© X sera sempre positiva

© ∗ la variancia pot ser diferent de zero

115. Si Y = X1 + X2 + X3 on X1, X2, X3 son tres tirades independents d’una moneda no trucada amb Xi = 1quan surt cara i Xi = 0 en cas contrari, aleshores, la variancia de Y , V (Y ) es igual a:

© ∗ V (Y ) = 3/4

© V (Y ) = 9/4

© V (Y ) = 1/4

116. Se sap que (X1, X2) segueix una una distribucio conjunta normal bivariant amb X1 ∼ N(1, 2) , X2 ∼ N(1, 2)i covariancia C(X1, X2) = −1. Aleshores, la distribucio de la variable Y = X1 −X2 es:

© Normal amb E(Y ) = 0 i variancia V (Y ) = 2.

© ∗ Normal amb variancia V (Y ) = 6.

© Normal amb variancia V (Y ) = 0.

117. La correlacio entre les variables −X i X + 4 es

© 1

© ∗ -1

© 0

118. El numero de trucades per avaries en una central de serveis segueix una distribucio de Poisson amb unamitjana d’una avaria cada 10 minuts. Calculeu la probabilitat que en els propers vint minuts no arribi captrucada.

© ∗ e−2

© 2/e

© 1/10

119. D’una variable X es coneixen els moments no centrats E(X) = 0, E(X2) = 9. La variancia es

© ∗ 9

© 3

© no es pot calcular, manca informacio

120. En una distribucio de Poisson de parametre λ

© L’esperanca es igual a la desviacio estandard

© ∗ L’esperanca es igual a la variancia

© cap de les altres dues

121. El nombre de vegades que cal tirar un dau de sis cares (numerades de 1 a 6) fins que surti el 6 segueix unadistribucio

© de Poisson

© Binomial

© ∗ cap de les altres dues

122. Si Z ∼ N(0, 12) i a 6= 0. Aleshores quina de les seguents afirmacions es certa?

© P (Z ≤ a) = P (Z > a)

© P (Z = a) = P (Z < a)

© ∗ P (Z < a) = P (Z > −a)

123. El tercer quartil inferior de la distribucio normal estandard es 0.675. Aleshores, el tercer quartil de ladistribucio N(2, 100) es

© ∗ 2 + 10 ∗ 0.675

© 2 + 100 ∗ 0.675

© 2− 0.75

124.

125. Si X ∼ N(5, 25), aleshores la distribucio de 2(X + 5) es

© N(20, 25)

© ∗ N(20, 100)

© N(5, 50)

126. Siguin X ∼ N(100, 202) i Z ∼ N(0, 1). Aleshores la P (X < 50) es igual a

© P (Z < 0.5)

© ∗ P (Z < −2.5)

©

127. Si X ∼ N(5, 25), aleshores la distribuci de 2(X + 5) es

© N(10, 100)

© ∗ N(20, 100)

© N(20, 50).

Nota. N(5, 25) indica µ = 5 i σ2 = 25; el mateix criteri aplica a les respostes.

128. Si Z ∼ N(0, 1) i a 6= 0. Aleshores quina de les seguents afirmacions es certa?

© P (Z ≤ a) = P (Z > a)

© P (Z = a) = P (Z < a)

© ∗ P (Z < a) = P (Z > −a)

129. Sigui X ∼ Unifc((0, 1)). Aleshores, P (X > 13 |X < 1

2 ), es

© ∗ 13

© 0

© 1

130. Sigui X ∼ Unifc((2, 4)) i Z = X + 3. Aleshores,

© E[Z] > E[X] i var[Z] > var[X]

© ∗ E[Z] > E[X] i var[Z] = var[X]

© E[Z] = E[X] i var[Z] > var[X]

131. Si X1 i X2 son variables aleatories independents de distribucio Unifc((0, 1)), la variancia de la seva suma es

©√

2

© 0

© ∗ 1/6

132. Sigui X ∼ Unifc((0, 1)). Aleshores, P (X > 76 |X > 1

2 ), es

© 16

© ∗ 0

© 1

133. Sigui X ∼ Unifc((0, 1)). Aleshores, P (X > 13 |X > 1

2 ), es

© 112

© 0

© ∗ 1

134. Sigui X ∼ Unifc((0, 1)). Aleshores, P (X > 12 |X < 1

3 ), es

© 112

© ∗ 0

© 1

135. Una variable aleato ria te funcio de distribucio , FX(x) = 0 si x ≤ 0, FX(x) = cx3, si x ∈ (0, 1) i FX(x) = 1,si x ≥ 1. Aleshores, quina de les seguents afirmacions es certa?

© c = 0

© c = 34

© ∗ c = 1

136. Una variable aleatoria te funcio de distribucio FX(x) = 0 si x ≤ 0, FX(x) = 2x−x2, si x ∈ (0, 1) i FX(x) = 1,si x ≥ 1. Aleshores, quina de les seguents afirmacions es certa sobre fX , la funcio de densitat de X

© fX(x) = 2(1− x), if x ∈ (0, 1), fX(x) = 0 si x ≤ 0 i i fX(x) = 1, si x ≥ 1

© ∗ fX(x) = 2(1− x), if x ∈ (0, 1) fX(x) = 0 altrament

© fX(x) = 2(1− x), if x ∈ (0, 1)c i fX(x) = 0 altrament

137. La distribucio de probabilitat conjunta d’una bivariant discreta ve donada per la seguent taula

X

0 1 2

Y −1 0.05 0.05 0.45

0 0.2 0.25 0

Quina de les seguents afirmacions es falsa?

© P (X = 2) = P (X = 2, Y = −1)

© P (X = 2) = P (X = 2, Y = −1) + P (X = 2, Y = 0)

© ∗ X i Y sn independents.

138. La distribucio conjunta d’una bivariant discreta ve donada per la seguent taula

Y

1 2 3

X 1 0.15 0.05 0.2

2 0.35 0.15 0.1

Aleshores, la P (Y ≤ 2|X = 1) es,

© 1/8

© ∗ 1/2

© 2/3

139. La distribucio conjunta d’una bivariant discreta ve donada per la seguent taula

Y

1 2

X 1 0.25 0.35

2 0.35 0.25

Quina de les seguents afirmacions es correcta?

© Les distribucions de X i de Y son Bernoulli

© E(X) = 0, 5 i E(Y ) = 0, 6

© ∗ Les probabilitats a la taula no constitueixen una distribucio bivariant discreta

140. Si les variables aleatories X, Y i Z son mutuament independents i tenen variancies var(X) = 9, var(Y ) = 16i var(Z) = 24. Aleshores, la desviacio estandard de X + Y + Z es:

© 49

© 11.9

© ∗ 7

141. La correlacio entre les variables X i Y es 0.3. Aleshores, la correlacio entre U = 2X + 7 i T = −1.5Y − 4 es

© 0.9

© −0.9

© ∗ −0.3

142. Suposeu que el vector aleatori bivariant (X,Y ) te distribucio marginal de X uniforme en (−1, 1) i distribuciomarginal de Y uniforme en (−1, 3). Suposeu que X i Y son independents. Aleshores, si x ∈ (−1, 1),y ∈ (−1, 3),

© fXY (x, y) = 12x ·

14y

© fXY (x, y) = 12 ·

12

© ∗ fXY (x, y) = 12 ·

14

143. La esperanca de Y condicionada a que X = x, es a dir E(Y | X = x) ,

© es una funcio de y

© es sempre mes petita que la E(Y ) sense condicionar.

© ∗ es una funcio de x

144. Si X te funcio de densitat de probabilitat f(x) = Ax3 per x ∈ (0, 1) i f(x) = 0 quan x /∈ (0, 1), aleshores,necessariament

© ∗ A = 4

© A = 1/4

© A = 1

145. Si X te funcio de densitat de probabilitat f(x) = Ax3 per x ∈ (0, 1) i f(x) = 0 quan x /∈ (0, 1), aleshores, lafuncio de distribucio a x ∈ (0, 1) es:

© ∗ F (x) = x4

© F (x) = 14x

4

© F (x) = 4x4

146. Ens diuen que una v.a. X te funcio de distribucio acumulada F (x) = x3 per x ∈ (0, 1), aleshores

© P (X < 0.5) = 0.5

© aquesta F (x) no pot ser funcio de distribucio

© ∗ la funcio de densitat de probabilitat es f(x) = 3x2 si x ∈ (0, 1)

147. Ens diuen que una v.a. X te funcio de distribucio acumulada F (x) = x3 per x ∈ (0, 1), aleshores

© ∗ P (X < 0.5) = 0.53

© aquesta F (x) no pot ser funcio de distribucio

© la funcio de densitat de probabilitat es f(x) = x2 si x ∈ (0, 1)

148. Siguin X i Y dues variables aleatories independents cadascuna amb funcio de densitat de probabilitat f(x).Aleshores, la funcio de densitat de probabilitat de la distribucio bivariant conjunta fXY (x, y) de la variablebivariant (X,Y ) es

© ∗ fXY (x, y) = f(x)f(y)

© fXY (x, y) = f(x) + f(y)

© fXY (x, y) = 2f(x)

149. Suposeu la variable bivariant (X,Y ) amb funcio de densitat de probabilitat conjunta fXY (x, y). Aleshores lafuncio de densitat de la distribucio marginal de X es

© ∗ fX(x) =∫ +∞−∞ f(x, y)dy (Nota que en aquesta integral, x es considera valor fixat)

© fX(x) =∫ +∞−∞ f(x, y)dx (Nota que en aquesta integral, y es considera valor fixat)

© en aquest cas, la funcio de densitat de la distribucio marginal de X no la podem determinar a partir dela conjunta

150. Suposeu la variable bivariant (X,Y ) amb funcio de densitat de probabilitat marginals de X i Y , fX(x) ifY (y), respectivament. No estem segurs que les dues variables X i Y siguin independents. Aleshores lafuncio de densitat de probabilitat conjunta fXY (x, y) es

© fX(x)fY (y)

© fX(x) + fY (y)

© ∗ en aquest cas, la densitat de probabilitat conjunta fXY (x, y) no la podem determinar a partir de lesmarginals

151. La correlacio entre les variables X i Y es zero. Aleshores,

© X i Y son independents

© ∗ La covariancia entre X i Y es zero

© Hi ha una dependencia lineal exacta entre les dues variables

152. La correlacio entre les variables X i Y es igual a 1. Aleshores,

© X i Y son independents

© La covariancia entre X i Y es zero

© ∗ Hi ha una dependencia lineal exacta entre les dues variables

153. En un servei d’estudis, un expert afirma ha obtingut la seguent matriu de variancies-i-covariancies d’una

variable bidimensional (X,Y ) es Σ =

(1 100

100 1

)d’una distribucio bivariant.

© ∗ Hi ha un error, ja que una variable bivariant no pot mai tenir aquesta matriu de variancies-i-covariancies

© La correlacio entre les dues variables es positiva i molt alta

© En aquest cas, la distribucio de les variables es bivariant normal

154. Suposeu una funcio de distribucio FX , tal que per a x ∈ (0, 1)

FX(x) = C

(1

2x2 − 1

3x3),

on C es una constant, i FX(x) = 1 si x ≥ 1. Aleshores, la funcio de densitat d’aquesta distribucio es, perx ∈ (0, 1),

© ∗ 6x(1− x)

© x(1− x)

© C(16x

3 − 112x

4)

155. La correlacio entre les variables X i Y es zero, aixo vol dir que

© ∗ Si la distribucio conjunta es Normal bivariant, aleshores X i Y son independents,

© X i Y son independents

© X i Y tenen variancia zero

156. Suposeu dues variables aleatories X i Y amb distribucio conjunta normal multivariant. La correlacio entreles variables X i Y es 0.6 i les variancies de X i de Y son 1, aleshores

© ∗ La covariancia entre X i Y tambe es 0.6

© E(X | Y = y) = 0.6y

© E(Y | X = x) = (1/0.6)X

157. Suposeu dues variables aleatories X i Y amb distribucio conjunta normal multivariant. La correlacio entreles variables X i Y es 0.6, els valors esperats de X i Y son zero, i les variancies de X i de Y son 1. En aquestcas, l’esperanca condicionada E(Y | X = 0.4) es:

© ∗ 0.6× 0.4

© 0.62 × 0.4

© 0

158. Suposeu dues variables aleatories X i Y amb distribucio conjunta normal multivariant. La correlacio entreles variables X i Y es 0.6, els valors esperats de X i Y son 3, variancies de X i de Y son 4. El valor esperatde Y quan X = 0 es:

© ∗ 1.2

© 2.4

© cap de les anteriors

159. Suposeu dues variables aleatories X i Y amb distribucio conjunta normal multivariant. La correlacio entreles variables X i Y es 0.6, els valors esperats de X i Y son 3, variancies de X i de Y son 4. La distribucio deY quan X = 0 es:

© ∗ Normal

© distribucio constant (variancia igual a zero)

© Distribucio no necessariament normal

160. Suposeu dues variables aleatories X i Y amb distribucio conjunta normal multivariant. La correlacio entreles variables X i Y es −0.6, els valors esperats de X i Y son 3, variancies de X i de Y son 4. El valor esperatde Y quan X = 5 sera:

© ∗ Mes petit que 3

© igual a 3

© Mes gran que 3

161. Suposeu dues variables aleatories X i Y amb distribucio conjunta normal multivariant. La correlacio entreles variables X i Y es 0.0, els valors esperats de X i Y son 3, variancies de X i de Y son 4. El valor esperatde Y quan X = 5 sera:

© Mes petit que 3

© ∗ igual a 3

© Mes gran que 3

162. Suposeu dues variables aleatories X i Y amb coeficient de correlacio igual a 0.0. Aleshores

© necessariament X i de Y son independents

© ∗ Si X i Y tenen distribucio conjunta normal bivariant, X i de Y son independents

© Si les distribucions marginals de X i Y son normals, X i de Y son independents

163. Suposeu dues variables aleatories X i Y .

© incorrelacio entre X i Y implica indepenencia

© ∗ independencia entre X i Y implica incorrelacio

© X i Y son independents si i solament si son incorrelacionades

164. Suposem la sintaxis de R seguent: a= pnorm( mean( rnorm(10000))). El valor a es

© mes gran que 1

© ∗ aproximadament igual a 0.5

© aproximadament igual a 0

165. Suposem la sintaxis de R seguent: a= mean(rbinom(100,6, 1/6)) i considerem el valor a abans de l’execuciode la sintaxis. Aquest valor a es una variable aleatoria es una variable aleatoria amb valor esperat

© 0

© ∗ 1

© 6

166. Suposem la sintaxis de R seguent: a= mean(rbinom(100,6, 1/6)) i considerem el valor a abans de l’execuciode la sintaxis. Aquest valor a es una variable aleatoria amb variancia

© 0.08333333

© ∗ 0.008333333

© 5/6

167. Suposem la sintaxis de R seguent: a= mean(rbinom(100,6, 1/6)) i considerem el valor a abans de l’execuciode la sintaxis. Aquest valor a es una variable aleatoria amb distribucio aproximadament

© Binomial

© ∗ Normal

© Uniforme

168. Si X te funcio de densitat f(x) = 1, x ∈ [0, 1] i f(x) = 0, x /∈ [0, 1], aleshores la variable Y = 2X te distribucio

© amb funcio de densitat de probabilitat fY (y) = 1y2 , y ∈ [0, 2]

© ∗ Uniforme a [0, 2]

© amb funcio de densitat de probabilitat fY (y) = 12y , y ∈ [0, 2]

169. Segons el Teorema del Lımit Central (TLC) la distribucio aproximada del promitg de moltes variables quetenen la mateixa mitjana i variancia (sigui quina sigui la distribucio de les variables que sumem), tendeix atenir distribucio aproximadament Normal

© si, sempre que les variables que sumem tinguin tambe distribucio conjunta normal

© ∗ si, sempre que les variables que sumem siguin independents

© si, sempre que les variables que sumem siguin contınues

170. Suposem variables X1, X2, . . . , Xn independents totes amb el mateix valor esperat µ = 0 i variancia σ2 = 4.Aleshores, la variable X =

∑n1 Xi/n te distribucio

© aproximadament normal N(0, 4)

© ∗ aproximadament normal N(0, 4/n) solament si n es gran

© exactament N(0, 4/n) per qualsevol valor de n

171. Suposem variables X1, X2, . . . , Xn independents totes amb distribucio normal i el mateix valor esperat µ = 0i variancia σ2 = 4. Aleshores, la variable X =

∑n1 Xi/n te distribucio

© aproximadament normal N(0, 4)

© aproximadament normal N(0, 4/n) solament si n es gran

© ∗ exactament N(0, 4/n) per qualsevol valor de n

172. Considereu la tirada n vegades d’una moneda no trucada. Quantes vegades tinc de tirar la moneda (quin esel valor de n) per tal que amb una probabilitat del 95% el promitg p de cares (en les n tirades) difereixi de0.5 menys de 0.03 Aquest valor de n es aproximadament

© 2(1/0.03)2 = 2222.222

© 3000

© ∗ (1/0.03)2 = 1111.111

173. Suposeu que X te distribucio exponencial amb parametre λ = 0.1; es a dir, f(x) = 0.1e−0.1x, x > 0. Aleshoresel primer quartil Q1 de la distribucio es:

© ln(1/.75)× 0.1 = 0.02876821

© cap de les altres

© ∗ ln(1/.75)/0.1 = 2.876821

174. Suposeu un telefon on el temps d’espera X en minuts per una trucada te distribucio exponencial ambparametre λ = 0.1; es a dir, f(x) = 0.1e−0.1x, x > 0. Aleshores el nombre de trucades que s’espera son:

© una cada minut

© deu cada minut

© ∗ una cada deu minuts

175. Suposeu la variable aleatoria X amb funcio de densitat de probabilitat uniforme a [0, 100]. Suposeu la variableY =

√X. La funcio fY (y) de densitat de probabilitat de Y es:

© fY (y) = 150y

2, y ∈ [0, 10]; fY (y) = 0, y /∈ [0, 10]

© cap de les altres

© ∗ fY (y) = 150y, y ∈ [0, 10]; fY (y) = 0, y /∈ [0, 10]

176. Suposeu dues variables aleatories X i Y amb distribucio conjunta normal bivariant. La correlacio entre lesvariables X i Y es −0.5, els valors esperats de X i Y son 3 i les variancies de X i de Y son 1. El valor esperatde Y quan X = 5 sera:

© ∗ 2

© 1.5

© 3.5

177. L’esdeveniment (A ∩B) ∪ (A ∩ C) es igual a

© A ∩ (B ∩ C)

© A ∪ (B ∩ C)

© ∗ A ∩ (B ∪ C)

178. Si A ∪B = Ω, A ∩B = ∅, P (C ∩A) = 0.3 i P (C ∩B) = 0.3, aleshores

© ∗ P(C) = 0.6

© P(C) = 0.3

© P(C) = 0.5

179. Suposeu una variable aleatoria X amb valor esperat E(X) = µ i variancia Var(X) = σ2. Quina de lesseguents afirmacions es certa?

© Var(X) = E(X2)

© E(Var(X)) = 0

© ∗ Var(E(X)) = 0

180. Suposeu dues variable aleatories X i Y amb distribucio bivariant normal i amb correlacio ρ(X,Y ) = 0.Suposeu la distribucio de Y quan X = 12, (Y | X = 12). Comparem les variancies de la variable Y i de lavariable condicionada (Y | X = 12). Aleshores

© la variancia de Y es mes petita que la de la distribucio condicionada

© la variancia de Y es mes gran que la de la distribucio condicionada

© ∗ les dues variancies son iguals

181. Si X ∼ N (1, 1) i Y = 3(X + 1), aleshores la distribucio de Y es

© N(2, 1)

© ∗ N(6, 9)

© N(6, 3)

182. Una distribucio binomial te parametres n i p. En el cas de n = 1, la binomial es una distribuco

© de Poisson

© ∗ de Bernoulli

© simetrica

183. Si la distribucio de massa de probabilitat conjunta de X i Y es

YpX,Y 1 2 3

1 1/30 2/30 3/30X 2 3/30 6/30 9/30

3 1/30 2/30 3/30

Aleshores P (Y ≤ 2) es

© 3/30

© ∗ 15/30

© 0.10

184. Si la funcio de massa de probabilitat conjunt de les variables X i Y es

YpX,Y 1 -1

X 1 3/12 4/12-1 3/12 2/12

Aleshroes, X i Y son variables

© incorrelacionads

© ∗ amb correlacio no zero

© independents

185. Suposeu X1, X2 dues variables incorrelacionades amb la mateixa variancia, σ2. Aleshores, Cov(X1, X1 −X2)es

© −2σ2

© ∗ σ2

© 0

186. Suposeu dues distribucions uniformes X i Y , la primera es uniforme a l’interval (0,1), la segona uniforme al’interval (0,10). Aleshores,

© ∗ La variancia de Y es mes gran que la de X

© La variancia de X es mes gran que la de Y

© Les dues variancies son iguals

187. D’una variable aleatoria X ens diuen que E(X2) = (E(X))2, aleshores

© aquesta afirmacio no pot ser mai certa

© ∗ la variancia de X es zero

© X > 0

188. Suposem que X es una variable aleatoria contınua, aleshores la funcio de densitat de probabilitat (f.d.p.)f(x)

© ∗ pot pendre valors mes gran que 1

© f(x) ≤ F (x), on F (x) es la funcio acumulada de distribucio

©∫ +∞−∞ xfX(x)dx > 0

189. Si X es binomial amb parametres n = 5 i p = 0.5, aleshores la probabilitat que X sigui different de 1 es:

© 0.15625

© ∗ 0.84375

© 0.5

190. Quina de les afirmacions es correcta ?

© la correlacio ρXY es sempre mes gran que la covariancia

© ∗ la correlacio ρXY pot ser mes petita que la covariancia

© la covariancia entre X i Y es la mateixa que entre (X + 1) i 2Y .

191. Si X i Y son variables aleatories independents, aleshores la variancia V ar(X − Y ) es igual a

© V ar(X)− V ar(Y )

© ∗ V ar(X) + V ar(Y )

© 0

192. Suposeu una variable aleatoria X amb funcio de massa de probabilitat

X 1 2 3 4 5pX 1/10 2/10 3/10 2/10 K

El valor de K es

© 1/10

© ∗ 2/10

© 0.3

193. Suposeu dues variables aleatories X i Y amb distribucio conjunta normal bivariant. La correlacio entre lesvariables X i Y es 0.0, els valors esperats de X i Y son 3 i les variancies de X i de Y son 4. El valor esperatde Y quan X = 4 sera:

© mes gran que E(Y )

© ∗ igual que E(Y )

© mes petit que E(Y )

194. Un casino estableix el joc seguent. Tirada repetida d’un dau (no trucat) fins que surt cara 1. El casino pagaen euros al jugador dues vegades el numero de tirades necessaries per aconseguir el primer 1. Per exemple,si l’ 1 apareix a la tercera tirada, el jugador cobra 6(= 2 × 3) euros. Si el preu d’entrada es de 10 euros,aleshores

© donat que l’espai mostral Ω, el nombre de tirades per aconseguir l’ 1, es infinit, 1, 2, . . . ,, no podemcalcular el guany esperat

© el casino te guany esperat de dos euros per jugada

© ∗ el casino te perdua esperada de dos euros per jugada

195. Un casino estableix un joc on es tira un dau (no trucat) i es paga en euros el numero obtingut en la tiradadel dau. Si el preu d’entrada del joc es quatre euros, el guany esperat del casino en cada jugada es

© 0 euros

© 1 euro

© ∗ 0.5 euros

196. Suposeu un telefon on el temps d’espera X en minuts per una trucada te distribucio exponencial ambparametre λ = 2; es a dir, f(x) = 2e−2x, x > 0. Aleshores el nombre esperat de trucades es

© ∗ 2 cada minut

© 0.5 cada dos minuts

© 1 cada dos minuts

197. Si ρ(X,Y ) denota correlacio i X i Y son independents, aleshores: ρ(−X,Y ) es

© −1

© 1

© ∗ 0

198. Si la covariancia entre les variables X i Y es 100 i les desviacions tipus de X i Y son totes dues iguals a 2,aleshores

© ∗ hi ha un error de calcul

© la variancia de la suma es suma de variancies

© la correlacio es positiva

199. Si A i B son esdeveniments disjunts amb P (A) > 0 i P (B) > 0, aleshores

© A i B son independents

© ∗ A i B no son independents

© A ⊂ B

200. Suposeu dues variables aleatories X i Y amb coeficient de correlacio igual a 0.0. No tenim informacio sobrela distribucio conjunta de X i Y . Aleshores, necessariament

© X i Y son independents

© ∗ la variaancia de la suma X + Y es suma de les variancies de X i de Y

© La covariancia C(X − Y,X) es zero

201. En sintaxis de R, definim un dau de sis cares: dau = 1:6. Despres simulem tirades independents del dau:monte = sample(dau, 100 , replace = "T"). Finalment, calculem el promitg de les 100 tirades del dau:m = mean(monte) . La quantitat m segueix una distribucio:

© uniforme continua de 1 a 6

© ∗ normal amb mitjana 3.5 i variancia 2.916/100

© normal amb mitjana 3.5 i variancia 2.916