FALLAS ASIMÉTRICAS EN MAQUINAS SINCRÓNICAS · fallas asimÉtricas en maquinas sincrÓnicas tesis...

FALLASASIMÉTRICASEN MAQUINASSINCRÓNICAS

TESIS PREVIA A LA OBTENCIÓN DEL TÍTULODE INGENIERO EN LA ESPECIALIZACfON DEINGENIERÍA ELÉCTRICA DE LA ESCUELAPOLITÉCNICA NACIONAL

MIGUEL A. LUCIO CASTRO

ANO 1.981

Certifico que este desarrollode tesis ha sido realisado ensu totalidad por el señor

Miguel Á^^cio C. / // j/t—

jffi. 1 ¿ap~ JkrtJípan t aDIRECTOR DE TESIS

A

MIS PADRES

"Para quienes vaya el valor y cariño

que siempre supo iluminarles"'

A G R A D E C I M I E N T O

Agradezco al Ing. Milton Toapanta sin

cuya ayuda no hubiera sido posible la elaboración

del presente trabajo, así como también al perso-

nal del Laboratorio de Máquinas Eléctricas, del

Departamento Tecnológico ,y del Centro de Cómputo

por facilitarme sus valiosos recursos»

Í N D I C E

1 PARTE.- LA MAQUINA SINCRÓNICA

1.1 Definición de máquina sincrónica ideal 5

1.2 Transformaciones lineales para máquinas eléc-

tricas» 12

1.2.1 Requerimiento para mantener potencia in-

variante* 14

1.3 Definición de los sistemas de refencia 16

1.4 Representación de la máquina áincrónica en

el sistema a, b, c. 18

1.4,1 Valores de las inductancias

1.4.1.1 Inductancias propias de armadura. 20

1.4.1.2 Inductancias mutuas entre bobinas de ar=

madura. 21

1*4.1.3 Inductancias mutuas entre bobinas de

armadura y campo. 22

1.4.1.4 Inductancias mutuas entre bobinas de

damping y armadura. 23

1.5 Representación de la máquina sincrónica en el

sistema o¿» /a , ¿f . 26

1.5.1 Valores de inductancia.

1.5.1.1 Inductancias propias. 28

1.5.1.2 Inductancias mutuas. 31

1.5.2 Transformación del siteraa a, b, c al

sistema *, &, ¿* . 35

1.6 Representación .de la máquina sincrónica

en el sistema d, q, o. 39

1.6.1 Valores de inductancias.

1.6.1*1 Inductancias propias. 41

1*6.1.2 Inductancias mutuas. 42

1.6.2 Transformación del sistema d, q, o al

sistema c

2.4.2 Caso b.- Falla fase - fase 98

b.l Primera solución 100

b.2 Segunda solución 102

b.3 Corrección para resistencias. 102

b.4 Voltaje en circuito abierto. 108

b.5 Torque. 113

2.4.3 Caso c.- Fallasfase-fase-tierra. 114

c.l Primera solución 115

c*Í2 Corrección para resistencias. 117

c»3 Voltaje en circuito abierto. 122

c.4 Torque. 123

2.5 Análisis de fallas considerando los devana-

dos de amortiguamiento. 125

2.5.1 Caso a*.- Falla fase-tierra. 125

a'.l Primera Solución 125

a*.3 Voltaje en circuito abierto. 126

a1.4 Torque. 129

2.5.2 Caso b1.- Falla fase- fase 129

b1.1 Primera Solución 129

b1,2 Corrección para resistencias. 130

b'.3 Voltaje en circuito abierto. 130

bf.4 Torque 133

2.5.3 Uaso c1.- Falla fase*fase-tierra 134

c'.l Primera solución 137

cf.2 Corrección para resistencias. 139

c'.3 Voltaje en circuito abierto. 148

c1.4 Torque. 152

2.5.4 Resumen» 153

III PARTE.- PRUEBAS EXPERIMENTALES

3.1 Descripción de las pruebas. 1S9

3.2 Equipo usado. 161

3.3 Equipo de conexión. 161

3.3 Esquemas de conexión. 162

3.3.1 Circuito de control. 162

3.3.2 Circuito de fuerza. 162

IV PARTE.- MODELO DIGITAL

4.1 Descripción del programa. 168

4.2 Descripción de', las subrutinas. 170

4.3 Análisis de resultados. 171

V PARTE

5.1 comparación de resultados. 173

5.2 Comentarios, conclusiones y recomendaciones, 187

APÉNDICE 14- Factores de reducción 191

APÉNDICE 2.- Sumatorias. 198

APÉNDICE 3.- Listado de los programas y sus re-

sultados. 206

REFERNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 258

I N T R O D U C C I Ó N

El tema se desarrolla en cinco partes:

Primera parte,- Consta de una descripción y análi-

sis general de los tres sistemas de referencia que

se usarán durante el trabajo. Estos sistemas son:

a, b, c;

«. 9 _

do de superposición.

El desarrollo mencionado se lo hace en dos si-

tuaciones: sin considerar circuitos de amortigua-

miento, en donde se indica las condiciones físicas

y matemáticas necesarias, evitando aquellas cuyos re-

sultados matemáticos se encuentran tabulados en tex-

tos conocidos. Y considerando los devanados de amor-

tiguamiento con los cuales, si bien el desarrollo se

extiende y complica, no necesita suposiciones adicio-

nales a las del desarrollo sin esta consideración.

Por lo cual, se hace constar sólo los puntos prin

cipales oue se tomarán en cuenta, en las fallas fase-

tierra y fase-fase, y todo el ataque matemático ne-

cesario para el caso fase-fase-tierra que se ha consi-

derado como el más largo.

TERCERA PARTE. - En el frrupo motor-generador existene

te en el laboratorio se realizan las tres pruebas para

distintos ángulos de cortocircuito (para cada prueba)

obteniendo oscilogramas de la forma de onda de las ce>

rrientes cié cortocircuito las mismas que sirven para

la comparación de que se habla en la cuarta parte.

Uabe anotar oue el fin del prnsente trabajo no

es ver cual de los sistemas de referencia es más con-

veniente oara aplicar en un análisis de este tipo,

simplemente se ha tomado tres de ellos para en conjun

to usarlos para la obtención de la expresión final de

las corrientes de cortocircuito.

Cuarta parte.- Los expresiones para corrientes de fa

lia planteadas como meta de este trabajo y que son qb

tenidas en la parte anterior, son grafizadas mediante

computadora para lo cual se realiza un programa oue da

como resultados las curvas de cada corriente con sus

respectivos valores de ángulo de cortocircuito, tiem-

po y corriente en términos de fase.

Se debe aclarar que si bien los voltajes de cir-

cuito abierto están dados por expresiones oue son reem

plazo-'de las ecuaciones de "corriente deducidas, sin

embargo, éstas no se grafizan, pues se considera que

su validez es provocada al ratificar la exactitud de

las exnresiones para las corrientes, exactitud que se

determina por comparación de resultados entre estos

gráficos y los valores que se obtienen en oscilogra-

mas del fenómeno que se simula en la máquina.

Quinta parte.- Una vez obtenidos los distintos resul_

tados se comparan los oscilogramas medidos con las

curvas calculadas de donde saldrán los comentarios,

conclusiones y recomendaciones a cerca de la comnara-

cidn y del trabajo general.

Abrigo las esperanzas de que este pequeño traba-

jo sirva como ayuda para optiinizacidn de resultados

que se puedan obtener con la utilización de otros mé-

todos y sistemas de referencia, asf como también nue

sirva de incentivo oara ur.ar el modelo digital v ñor

- 4 -

ende sus fáciles subrutinas para la prafizacidn de

cualquier función particular o de aquellas que es es-

te mismo trabajo se obtienen.

LA MÁQUINA SINCRÓNICA

1.1 DEFINICIÓN DE LA MAQUINA SINCRÓNICA IDEAL. -(? )*

Es necesario comenzar describiendo la estructu-

ra de la máquina cuya disposición es general y bási-

ca para cualquier tipo de ellas tanto de los grandes

sistemas de potencia como para un pequeño alternador

o motor sincrónico.

La máquina ideal está esencialmente constituida

por tres circuitos idénticos de armadura a, b, c des

plezados 120° uno de otro como se puede ver en la fi-

gura. Estos se montan sobre el rotor el mismo que p¿

ra en sentido horario y su posición es especificaba

por el ángulo O- entre el eje á y el eje de la fase ju

Circuito damper del eje q

vb eje q

] Circuito damper del eje d' ^^ Circuito del campo

Fig. 1.1

( #) Referencia Bibliográfica.

ó - •

En el estator están los circuitos de campo ali-

neados con el eje directo y uno o más circuitos de

amortiguamiento colocados ortogonalmente (unos sobre

el eje .d y otros sobre el eje q).

uada circuito tiene su inductancia propia y su

inductancia mutua. Se debe aclarar que no existe in-

ductancia mutua entre aquellos circuitos que siendo

estáticos están colocados en cuadratura.

Despreciando los cambios magnéticos debidos a

la saturación se puede asumir que la inductancia pro

pia del circuito de campo se mantiene constante» Las

inductancias propias y mutuas de los circuitos de ar

madura dependen de la posición del rotor. La induc-

tancia entre algdn circuito del rotor y el circuito

del estator varían con la función coseno del ángulo

entre el eje _d y el eje de la fase a.

Por tanto se define:

Laf = Lafm Cos G

Lbf = Lafm Cos(G - 120) 1.1.1

Lcf = LafmCos (6+ 120)

donde L^« es el valor máximo

Las ecuaciones 1.1.1 son las inductancias mutuas

entre las fases de armadura y de campo.

Las inductancias mutuas entre los circuitos ríe

armadura y amortiguamiento son:

- 7

L , , = L , , Cos 9ald ald

Cos (Q - 120) 1.1.2

Lcld = Lald Cos (& + 120)

Las inductáñelas propias de los circuitos de ar

madura se representan mediante una parte constante

más un término aue varia con la segunda armónica de

O-, (2&). Para una máquina ideal el coeficiente de

este término variable es el mismo para las tres fases

así:

L ^ = L + L Cos 2&aa s a

Lbb = Ls * La Cos *'2& + 120) 1.1.3

L^^ = L« + L^ GOS (26 - 120)CC S d

donde:

L0 = valor constante de la funcións

L^ = valor máximoo

de igual manera las inductancias mutuas entre las fa

ses son:

Lab = -K + Lm Cos (S&+ 6

Lbc = ~ÍMS + Lm COR (2° ~ 180)1 1.1.3a

Lac = ~{Ks + Lm Cos (™ ~ 60)1

Siendo: Mg un valor constante

L̂ el valor máximo de la función

Existe flujo concatenado entre dos circuitos

- 8 -

siempre y cuando está pasando una corriente por ca-

da uno de ellos; una corriente positiva es aquella

que aumenta el campo lo cual corresponde a un factor

de potencia de operación como generador, además esto

dará un flujo concatenado positivo.

Asumiendo que están exitadas las bobinas de fa-

se y de campo, entonces; los flujos concatenados se-

rán:

fa = Wa * Labib + ̂c +

- 9 -

Por analogía con 1.1.6 el flujo concatenado por

la bobina ñ será:

.,, = k- [A Cos & + A Cos(G - 120) + An Cos(& + 120)]Td d la

1.1.8

Reemplazando 1.1.1 y 1.1.3 en 1.1.4 y este resul

tado en 1*1*8 se obtiene:

Vd = (Ls + Ms + 3/2 La^d + 3/2 kd Lafm ̂ 1*1-9

donde:

Ld = Ls + Ms + 3/2 La i'1-10

Por tanto:

Vd = L^A + I kd ̂ fmif = Vd +

De 1.1.7 la inductancia mutua entre el campo y

el circuito d de armadura es L « la cual debe ser

i^ual a la inductancia mutua entre el circuito d. de ar

madura y camoo , de la ecuación 1.1.11: 3k,L „ , enton4 ' 2 d afín5 —

ees:

= 3/2 kd LQfm entonces: kd = /3?2

kd

de 1.1.11: Haf = 3/2 /2/3 LQfm =

de 1.1.7: Maf = L^^ = /372 Lafm 1.1.12

/O /QV ¿/ O

Ahora si se considera que existe paso de corrien

tes solo por las bobinas de Tase y el circuito.ude Ham

per del eje _d se tiene:

- 10 -

Ya = Laa1a + Labib +

Lbc1c * Lbld1lldi. T ' i T * i T • J_ T 2 X . .L » XO

Ve = ̂a + Lbc1b + Lcc1c * Lcld1lld

Vld= LBI^B + Lbldíb + ̂ l^C + ̂ Idilld

Reemplazando en la última ecuación 1.1.13 las e-

cuaciones 1.1.2:

Vid = ̂ Id^a003 Q + ibCos(G - 120) + icCos(G + 120

+ L ld

Keemplazando 1.1.6 en 1.1.14

Vid = iiá M * Lld^ld = ^ald^ + Lldilld

De igual manera , será:

Vd = kd[XaCos ° + AbCos(G " 120) + AcCos(Q + 120)11.1.16

Sustituyendo 1.1.13 en 1.1.11 y las inductancias

dadas por 1.1.3 se obtiene:

Vd = tLs + Ms + La>id + kd

de donde» nuevamente: L, = L + M + 3 L* d s s ^ a

Por tanto:

De 1.1.17 la inductancia mutua entre el circuito

¿ de armadura y el circuito d de damping es:

M = ^ V T 1 1 1 Qmrs~l >5 ^ •"•J J-»^"l ,5 X.J- .J.;?ala -g d ald

- 11 -

De 1.1.15 la inr'uctancia mutua entre el circui-

to d. de damping y el circuito d de armadura es:

= Lald 1.1.20

Pero las inductancias mutuas recíprocas deben

ser iguales por tanto, se debe igualar 1.1.19 con

1.1.20:

3 k^L -, -, - ald : entonces k, = f£ 1.1.21•5 d ald — JT — a /̂2 Kd d

de 1.1.19: M Q l , = 3 /5?Lo1, = /^ L , , 1.1.22ald ~2 / -o ald /-g alo-

de 1.1.20: M . , = /&1>^Aald y-g ald

Siguiendo el mismo proceso se obtiene para ^al

M -, = /3 L 1 1.1.23alq y alq

- 12 -

1.2 TRANSFORMACIONES LINEALES PARA MAQUINAS ELÉCTRICAS

En muchos casos el tratamiento matemático de un

problema de circuitos o máquinas eléctricas rotativas

se hace muy complicado en un sistema de referencia,

para lo cual se han ideado varios tipos de sistemas

que si bien son parecidos tienen sus propias caracte-

rísticas.

Cada uno de estos sistemas tiene su aplicación óptima

en uno o varios casos específicos. Su finalidad es

transformar expresiones que en un sistema son demasija

do complicadas a expresiones no tan complicadas si no

sencillas en otro sistema de variables correspondiente

a un distinto sistema de referencia.

Para el caso de máquinas eléctricas y tomando a

una de ellas definida en un determinado sistema y a

la cual se aplica una transformación, ésta tendrá como

objetivos principales los siguientes;

a}.- Obtención de las ecuaciones de la máquina ori-

ginal pero diferentemente conectada o de otra máquina.

bj.- Simplificar el oroceso de obtención de la solu-

ción de un problema. En tal caso una vez obtenida la

solución se debe pasar a términos de las variables o-

Un conjunto cualquiera de ecuaciones lineales

puede ser usado nara la definición de un sistema li-

neal de transformación, a condición de que estas va- ,

riables sean independientes entre sí.

Una transformación puede seleccionarse basada

sólo en argumentos puramente matemáticos, por ejem-

plo la transformación de una matriz de funciones en

una matriz de constantes, claro está se requiere al-

guna experiencia en algebra matricial*

En algunos casos no existe un cambio físico en el

sistema el mismo que corresponda a la transformación

matemática, pero si existiera, este cambio debe ser

resultado del análisis matemático y dará una imagen

"real" de lo que está sucediendo, lo cual ayudará a

comprender mejor el funcionamiento de las nuevas con-

diciones.

Un punto que se debe tomar en cuenta es: si la

potencia cambiará durante la transformación o no.

Si no se mantiene invariancia de potencia y se requi_e

re conocer el torqiie y la potencia, éstos deberán ser

calculados tomando las corrientes y voltajes en térmi

nos de las variables originales, pero si se mantiene

invariancia de potencia, y torque podrán ser calcula-

dos directamente en términos de corrientes y volt ajíes

transformados.

En el presente trabajo se mantiene la potencia

invariante, cuyas prooier'adeñ se destacan en el si-

fuiente apartado.

- 14 -

1.2.1 KEQUEHIMIEftTO DE LAS TRANSTOMvIAC IONES PARA OB-

TENER POTENCIA INVARIANTE,- (9)

Del estudio de circuitos eléctricos se conoce

que la potencia total de entrada a un circuito es i-

gual a la suma de los productos de los voltajes ter-

minales de fase por su corriente respectiva, por tan

to en un circuito trifásico será:

Potencia = v i + v, i, + v i 1.2.1

Tomando V = fv v, v ] ; I = [ i i, i 1I a b , c| ' I a b c|

entonces Vi = [ v v, v i . i

î)

En corriente alterna se define completamente la

potencia de entrada a un n\imero de circuitos en tér-

minos de corrientes y voltajes complejos mediante el

producto V I ó I+V, donde la potencia activa de en-

trada está dada por la parte real del producto I*V vt "

la potencia reactiva dada por la parte imaginaria del

mismo producto.

Si se asume lo siguiente: I* es la matriz que re

sulta de la transformación de I = [i i, i 1 ; y V1

es la matriz que resulta de la transformación de:

V = f v v. v 1l a b c J

Para obtener una potencia invariante después de

la transformación, debe cumplirse que la potencia ac-

- 15 -

tiva y reactiva resultantes de la transformación de-

ben ser iguales a la ootencia activa y reactiva antes

de ella y por tanto:

V1 I'*t = V I* 1.2.3

Si C es una matriz por medio de la cual se trans

forma I en I1, entonces:

I = C I' 1.2.4

El valor de los elementos de la matriz C son par

ticulares para cada tipo de transformación como se ve,

rá más adelante.

Entonces: I* = Cí I1*, reemplazando en 1*2.3

se obtiene: V1 I1* = V C* I'*, de donde:

V1 = V C* 1.2.5

Con el fin de simplificar el trabajo algebraico

se opta pc-r tener la misma forma de transformación na

ra corriente y voltaje, es decir:

I = C If y V = C V1 1.2.6

Premul ti pilcando la ecuación de voltaje por C~ :

C"1 V = C"1 C V' = V1 es decir:

V1 = C"1 V 1.2.7

reemplazando 1*2.7 en 1.2.5

C"1 V * VC*

Es decir que para que; la' potencia se mantenga in

variante durante una transfonmacidn debe cumplirse que

*C 1.2.8ir

- 16 -

Si C es puramente real C, = C., por tanto

C"1 = Ct 1.2.9

En cuanto a las impedancias, se conoce que

V = IZ; por tanto:

V1 = C V

y i _ Q~IZI

nV1 = C"

V1 = [CT1

V = Z'I1

Es decir que la matriz de impedancia transforma-

da será Z1 = Ĉ ZG = C*ZC = C.ZC 1.2.10t t

en la que [z] es la matriz impedancia de fase.

1.3 DEFINICIÓN DE LOS SISTSLIAS DE REFERENCIA (9, 12, 13)

En realidad existen muchos de ellos y cada uno

de los cuales por lo general su autor y quien de acuer

do a su criterio selecciona sus propiedades.

En el presente, se ha tomado en cuenta caracte-

rísticas esenciales de las tres principales clases de

sistemas alrededor de los cuales están otros que di-

fieren un poco con respecto a los que son objeto de

análisis en este trabajo y los mismos que serán usa-

dos en los capítulos siguientes.

Tomando la siguiente disposición estructural:

Campo-estator-polos salientes y rotor-bobinas de fase

parte móvil en el cual se fijan los sistemas a, b, c,

y o¿, p , * que îrara'n con respecto al estator a la mis»

- 17 -

ma velocidad angular que el rotor. Se ha tomado tam-

bién el sistema d, q, o eme es fijo al estator es de-

cir gira con respecto al rotor a su velocidad angular

pero en sentido contrario (fig 1.3.1).

Fig. 1.3.1

A los sistemas c*, p , d* y d, q, o se les ha llama-

do bifásicos pues las componentes £ y .o tienen siem-

pre un mismo valor, siendo las dos restantes las va-

riables.

Las fmm giratorias peñeradas en las bobinas de fa

se pueden ser de secuencia nositiva y nep^tiva»

Si la máquina pira en sentido horario a la veloci

- Ib -

dad sincrónica se generan fmm de secuencia nositiva

(a, b, c) las mismas qrue girarán en sentido contrario

al del rotor y a la misma velocidad nue él, por tanto

son estáticos con respecto al estator y giran con re_s

pecto al rotor a una velocidad angular igual a la fre.

cuencía angular de la corriente de armadura.

Si la máquina gira en sentido antihorario a la

velocidad sincrónica, se generan fmm de secuencia ne-

gativa (a, c, b) que girarán a la velocidad angular

igual a la frecuencia angular de la corriente de ar-

madura (velocidad sincrónica) pero en sentido contra-

rio al de giro del rotor; en este caso las fmm de se-

cuencia negativa serán estáticas al estator y giran

a velocidad .sincrónica con respecto al rotor.

1.4 REPRESENTACIÓN DE LA MAQUINA SINCRÓNICA EN EL SIS-

TEMA DE EJES DE FASE a, b, c (9, 12, 13, 15)

Representando a la bobina de fase con una resis-

tencia y una inductancia* La resistencia de todas las

fases es la misma, así como también el número de esni

ras es la misma.

Tomando a la máquina como generador (fig. 1.4.1),

las ecuaciones de cada fase serán:

19 -

va = 'Ya - ri

vb = uTb - ri,

v^ _

'f =

t

dUTf! -c - ri 1.4.1

ju

Fig. 14.1

En estados transitorios tiene significado las co

rrientes por los circuitos de damping, en estas condi,

ciones de flujos concatenados serán:

Vn = L«r,io + ^Di-ih + L ± + L_^_i.'el d d c i c d U L ) a C L

Lalqillq

L i + L i + L i + L ibbb bcc bfm bldlld

1.4.2

V

Vf

clqillq

Lccic + Lcfmif + Lclqilld

L i + L i + L ic f m c f f d l l d

- 20 -

1,4.1 VALORES DE LAS INDUCTANCIAS. -

1.4.1.1 INDUCTÁNGIAS PROPIAS DE ARMADURA. -

La inductancia propia de una bobina cualquiera

varía periódicamente desde un valor máximo cuando el

eje ¿ coincide con el eje de la^-fase a un mínimo cuan

do el eje q coincide con el eje de la fase.

Debido a la simetría del rotor estas inductancias

son de período 29 y puede ser expresado como una fun-

cidn cosenoidal así:

Laa = Ls La Cos

Donde Q es el ángulo entre la fase ji y el eje po

lar d en el sentido de rotación del rotor.

eje q

eje a

- 21 -

Similarmente las inductancias de las fases b y c

2(€> - 120) 1.4.4

~~ce

Da

Qa 120) 1.4.5

donde L es un término constante que represen-a

ta la inductancia de dispersión (fig. 1.4.3)

L

90*Fig. 14.3

1.4.1.2 INDUCTANCIAS MUTUAS ENTRE • BOBINAS DE DISTINTAS

FASES. -

De igual manera varían con el ángulo 9- (fig.

1.4.4) adouiriendo valores negativos; así:

Lab = Lba = -

Lbc = Lcb = " [

Lac = Lca

Lm Cos

Ms + Lm Cos

30)1

Lm Cos 2(G L4.fi

donde los valores de las constantes M , L r.es * m

verán más tnrde cunndo se tomen en cuenta las 5nduc-

tancias en los ejes d y q.

- 22 -

e

•rn

Fig. 1.4.4.

1.4.1.3 INDUCTANCIAS MUTUAS ENTRE BOBINAS DE ARMADU-

RA Y CAMPO.-

Varían con la posición del rotor y es máximo cuan

do las dos bobinas en cuestión están en linea (fi-F. 1*4.5)

Uos G 1.4.9m

m

m

m Cos

Cos 120)

Fíg. 1.4.5

1.4.10

1.4.11

- 23 -

1.4.1.4 INDUCTANCIAS MUTUAS ENTRE LOS CIRCUITOS EE_

PAMPINO Y EL CIRCUITO DE ARMADURA.-X

Lald = Lald Cos 9 i'4-12

Lbld = Lald Cos (e ~ 120) 1.4.13

Lcld = Lald Cos ̂ & + 120̂ 1.4.14

Lalq =-L Sen

Lblq = -L Sen (& ~ 120)

Lclq = -L Sen

Se sabe que en estado estable las corrientes

i-.-. , e i-,-. en los circuitos de damoing de rotor

son O; entonces, reemplazando en las ecuaciones de .

flujo todos los valores de inductancia, se tiene:

Va = (Ls * La Cos 2g)ia ~ [ Ms + LmCoñ 2CO * 30) ib

- f M _ + L Cos 2(9 + 150)1 irt + Lf i- Cos© i* 1.4.18L « íü J C •'-• -̂

B

mIII

i, -ÍMe + L Cos 2(9 +3' J i ^ m

- 90)1 i + LQ- Uos (9 - 120)1 .- I

1.4.19

(LQ - Ln c°s 2(9 - !«)) io - [M + L CnB2(9-90)]i,s a c l s m J b

-ÍM + L COR 2(9 + 150 )K + L _pCos(9 + 120)i.* s m J a ai i

1.4.20

- 24 -

Laf Cos & ía + Laf Cos(& ' 120)ib + Laf 'm m m

(Jos (9 + 120)i + L-i- 1.4.21V«

Reemplazando estas expresiones en 1.1, se tiene

r)iQ + 2L Sen 2(0 + 30)i,a m.

2L Sen 2(O + 150 )in - L . Sen O im c

2G) diQ -|M + LmCos 2̂ + 30))

150) dirt + L^^ Uos O di

1.4.22

v, = -|2 Sen 2(O - 120) + r] i, + 2L Sen ^- . o v / ,u L o i(i a

-+ 2L Sen 2(6 - 90)ic - LQf Sen (O - 120)if

* Í L + L Cos 2(9 - 120)1 di, -ÍM + L Cos2(Q +30)1i s a J u L s m J

dt210 - 90)] dic

(O - 120) dif 1.4.2Q--

- 25 -

v = -Í2L Sen 2(0 + 120) + r] i + 2LS e n 2(0 -90)i,c * ci j c* m u

-*- 2L Sen 2l"& + 150 )i - M ̂ Sen(G + 120) i

+ÍL 0 + L Cos 2(0 + 120)1 di0i s a J ct

-ÍM + L Cos 2(0 - 90)1 diK -f M +L Cos 2(£+15ü)l dii s m J D i s m J a

dtLQf Cos (Q + 120) dif 1.4.24

m

" Sen(G ~ 120)í " La " fíí ~ b " afm a alm D alm

Sen (0- + 120) i_ '+ L - Cos G di_ + L - Uos(^ -120)c aini -3^ m

t

Cos (0 + 120)dirt + L--, di•.«.- X

dt dt dt 1.4.25

Son los voltajes terminales instantáneos.

Resolviendo estas cuatro ecuaciones diferenciales

se puede encontrar el valor de i , i, , i , i^, sin em-

bargo , ente proceso es extremadamente largo y es Cosi-

ble cometer errores en su desarrollo, por lo cual se

suele eliminar la presencia de O- (en parte) nasando a

otros sistemas de referencia que se indican más adelan

te.

Cabe anotar que en estado transitorio se deben to

001933

- 2ó -

mar en cuenta los efectos de los devanados de darnper,

en cuyo caso las expresiones para v » VK, y v seacomplican mucho más.

1.5 REPRESENTACIÓN DE LA. ..MAQUINA SINCRÓNICA EN EL

SISTEMA oi ¿z.y .- (9, 12, 13)

eje q

Fig. 1.5.1

La figura 1.5.1 muestra diagramáticamente la es-

tructura de polos salientes, donde el eje de la bobina

de campo coincide con el eje d. Los ejes o¿ y /3 son

los ejes correspondientes a dos bobinas colocadas or~

togonalmente (fig. 1.5.1) y por los cuales circularán

- 27 -

corrientes instantáneas i

vf =

- 28 -

/* r P [ dt

- 29 -

flujo total concatenado por la bobina ¿- será:

q

P 1.5.8

Si los flujos de dispersión de la armadura reco-

rren caminos magnéticos de permeancia A_ que se asu-

me independiente de G, el flujo de dispersión será:

N̂̂ î y el flujo concatenado por la bobina ¿ se-*

rá:

XN2 i^ = N ( XCos29 + "XSen2 &}iol 1.5.9

El flujo total concatenado será:

i* (P Cos26 + P Sen2

iw (P. + X)Cos2^ + (P

N2

Entonces:

V., - W2*•* - N , d̂

Sen

9

s 2© + P \

1.5.10

Despreciando los cambios por saturación:

P % X son todas constantes. Haciendo:*

' pd

Ld = N* (Pd + .\ y Lq = N£ (P

son constantes, entonces:

L* = Ld + Ln + Ld " Ln Cos 20- = A + D Cos2 2

nue también

1.5.11

- 30 -

donde: L , -*• L _Q -

Ld " Ln = B

1.5.12

2 \ la inductancia mutua representada por N^'Xes la in

ductancia de dispersión de la bobina de armadura»

L/3_.- Tomando en cuenta que las condiciones son ba-

lanceadas la inductancia oropia de la bobina fi se-

rá igual a la L^ reemplazando O- por O + 2T2

L/3= L, Cos2 (6 + ̂ ) + L Sen2 (G + ̂ )( d q

Lp =L * =

Lp =

Lá + Ld Cos (29

2 2

Ld + Ln + Ld - L

2 2

Ld + Lq - Ld " L

+ ir) + Ln _ Lg Cos (29 + ̂ )

2 2

Q Cos (29 + ̂)

0 Cos 29 = A - B Cos 29 1.52 2

L«>, La inductancia nrópis de la bobina de campo esi z * —

independiente del ángulo 9, pues siendo el rotor cilín

drico (armadura) presenta siempre la misma permeancia,

por tanto, L es constante.ff .

JNDUCTANCIAS PROPIAS L^ld y LI 1

Ambas son valores constantes independientes de

O pues al estar colocadas en las caras polares , vo-

rán siempre la misma nermeancia núes oí rotor es ci-

lindrico.

- 31 -

1.5.1.2 INDUCTAJNCIAS MUTUAS; K«y«. I»U/, lú^f

M^/3 . - La componente del flujo producida por i^¿ pe-

ro en dirección del eje p serán:

P.Nî^Cofi © Cos (90 + G) = PflNî^Cofi © (Cof i © Cos 90 -

Sen 6 Sen 90) = -PdN^ i^ Cos G> Sen 9

y P N^ i^ Sen 9 Cos G

Entonces el flujo total concatenado por la bobi-

na del eje /G. tomando en cuenta el flujo de disper-

sión será:

VA debido a i^ = N A (P Nî. - P,Nîw )Cos G Sen G +\ q u

••como N^ = N xs , entonces:

íj P + X - P j -^ i, S^n^Q = Ln - L, .o* 1 n ^ n X -̂ r Q d i?.

Por tanto:

%

= - Ld " Sen

= -u sen 2G 1.5.14

McJf*~ â comP°nen'I:'e ê^ flujo en el eje d producido

por la corriente i, : P,N. i^Cos © es a su vez el fluoí. Ĵ o¿ o- —

jo total concatenado por la bobina de camoo cuyo eje

coincide con esta dirección, entonces el flujo conca-

tenado por la bobina de campo sê á:

Yo/f = ̂ fpd^^^ ôs ̂ donde se tiene M « = -̂p̂ /i Nôue

es un parámetro constante oue referido a la armadura

mediante la relación de espiras: _ N«* ouoda-

- 32 -

= Wí̂ ~ N¿ Pdwf

o 2 \e donde-se puede observar que W ' P. + N^ A es de-

cir L, es igual a la suma del valor máxiomo de la in

ductancia mutua entre la armadura y el campo referi-

do a la armadura y la inductancia de dispersión de

ésta.

Entonces: M^f = ̂ = L CQS & 1>5>15

uomo la fase A está alineada con el eje ^ij e

valor máximo de M y « es el mismo que el valor máximo«i

+ - Es similar a Ja ,-; con © = Q +•

Por tanto: M-p = Lo«Cos (Q + -K) - - L ~ Sen Qpi al T> ai r̂

1.5.16

Si se tiene en cuenta los circuitos de damner;

uno en el eje á de N-,-. , vueltas y otro en el eje q

de N^ vueltas, las inductancias propias serán

y Lllq •

INDUCTANCIAS MUTUAS M^j U^á¡ M l ; y Mfld

*" Es -l-a induc'tancia fiíutua entre el circuito dam-

per del eje á y la bobina de armadura o{. El flujo to

tal concatenado por el circuito damper en el eje d es:

= Nlld VL»

- 33 -

Haciendo M = N N^ (J?d

entonces ljl̂ ld = Maldi

- 34 -

pendiente de G.

Esta ditima es la inductancia mutua entre el cir

cuito damper del eje d. y el circuito prinicipal de

campo.

(Jomo no existe circuito de campo en el eje q no

existirá una inductancia mutua entre éste y el circuí

to damper del eje q, tampoco existirá entre el circuí

to damper y el circuito principal de campo ya eme por

construcción son ortogonales entre sí»

Entonces en las ecuaciones de voltajes termina-

les se tomarán en cuenta que r̂ = r/a

dt d Ld " LQ eos

dt

- A-dt

- L, Sen 20 - íL (M ^Cos Q) idt L BI

dt

1.5.20

d "q Sen 2& 3

Cos 2feí

+ d_ 1 (IvL̂ Sen O)idt

_

1.5.21

V if + ¿_ (M fCos 9):1 1 dt L al dt

d_ (M_, i,,,) + d_ (L „!„) 1.5.22dt lia 1'La dt

- d (L.i 1.5.23-

Observando estas ft5rmulas y comparando con las

obtenidas en términos de componentes de fase ñon un

poco más sencillas a pesar de que siguen manteniendo

su dependencia del ángulo O y tomando en cuenta que

aquellos (los de fase) no incluyen los devanados de

damper; éstos últimos si*

1.5.2 TRANSFORMACIÓN DEL SISTEMA a» b« c AL c¿, f ,

que en forma matricial quedaría:

^V

»

N= vp

2

1 -1 -12 ?,

0 -£ 1/32 2

•

ia

ib

ic

entonces 3 [A] [i] = [i1]

N2

para obtener:

N

f A! -1 íif]

Sin embargo, la inversa de una matriz no cua-

drada no existe por lo cual a la matriz [A] se la trans

forma en una matriz cuadrada [c]" adicionándole u-

na fila de tres elementos k , k ( k que corresponde-

rá a una componente adicional i^ en la matriz [i TJ ,

entonces:

* 1 -1/2 -1/2

Oa

;es decir:2

la inversa de le J será [ü] , por tanto:

1 O l/2k

-1/2 - /TS72 l/2ko £¿^ N . ,

^ -1 /O /T79 "I /9Vo J. / , - j

[c)t = 2NW

1 -1/2

O -/3/2

l/2k l/2k

-1/2

l/2k

= N

1 -1/2 -1/2

O -/3/2 yíT/2

k k k

para que lo anterior se satisfaga debe cumplirse que:

1) 23 H

de donde

2) k =

3

_

2k

N.

de donde k = I/

Por tanto, el proceso de transformación será:

iaj

b

i

r?'j"5

i-1/2

-1/2

o en forma inversa:

^ /2

1

O

1//S"

0

V3/2

4/3X2

-1/2

•i/372

1//2

I/ /?

I//?

I/ /2

•

-1/2 '

/3/2

1//2"

V

Vid"

iñ

ibi

i CN "•

1.5.1.1

Es decir oue:

[iabc] = t°̂

Epta transformacidn eouivale a rebobinrsr la má-

quina tirfásica con /2/3 veces el niírnero de vueltas

- 36 -

inicial (trifásica) pero en forma bifásica.

En cuanto a la potencia, como la corriente y

voltaje nominales de cada fase se incrementan en

/3/2 veces, si la potencia inicial era:

P3¿ = Va + Vb + Ve = 3vi

siempre y cuando: v = v, = v

será:

P2 = 2v'i' si v1 = /3i

entonces: P0 = /2 f5 „ A f /3* - \ 2/3 v.i] = 3vi = PQ-<2 [ ̂ 2v Ji\|2x; [2 / 3*

de lo cual se deduce que la potencia permanece constan

te a través de la transformación,

De igual manera [vabcj = [c] [v^J 6 [v^/j - [c] "X [vabj

La componente f. = 1 (f0 + fK + frt ) como seô '—ŷ a u c

puede ver es un parámetro adicional que no es necesa-

riamente que tenga un significado físico, es por ello

que en diversos textos su definición es diferente y

se adecda para dar una transformación sencilla entre

los sistemas tratados (para que se cumpla que

C -1 = C t).

39 -

1.6 REPRESENTACIÓN DE LA MAQUINA SINCRÓNICA EN EL

SISTEMA d, q, o (9, 12)

La fmm da cada fase de la armadura puede ser re-

presentada por un fosor cuya dirección es la misma

del eje de fase respectiva y su magnitud es propor-

cional a la corriente instantánea de esa fase.

eje d

eje q

Fig. 1.6.1

Tomando las componentes ortogonales de cada fuer-

za magnetomotriz (fmm)dlos ejes d y q, y sumando se ob

tiene una fmm resultante en la dirección del eje ¿ y

otra en la dirección del eje q (fig. 1.6.1), lo cual

se puede explicar de la siguiente forma:

La fmm resultante en el eje j3 r.erá producida ñor

una corriente instantánea i. oue circula por una bobi-

na ficticia fija al caimo (fija al estator) y cuyo ya

lor es tal oue al actuar sobre éste bobinado nroduce

una fmm sobre este eje igual a la que producirían en

esta misma dirección los tres componentes de fase real

- 40 -

mente existentes. La interpretación de i es simi-Q

lar a la de i, excepto que esta actúa sobre el eje q,

La componente cero (o) es un valor instantáneo

constante.

Para visualizar mejor es necesario observar la

fig* 1*6.2, donde f puede ser i, fmm,V > #> v.

eje q

Fig. 1.6.2.

La corriente de secuencia (o) da una fmm fija en

el espacio y el flujo nroducido actila corno flujo de

dispersión perteneciente a una impedancia adicional

conectada fuera de la máquina, rotativa (17).

Las ecuaciones de voltaje en términos d, q, o,

son:

dt

dt

- 41

dt 1.6.1

vo =

vf =dt

Los términos U>rlfJ¿ y ^rVo son vol"taJes debi-

do a la rotación cuya justificación matemática y fí-

sica se da en el capítulo: TRANSFORMACIÓN DE a, b,c

a d, q , o.

En las ecuaciones anteriores se está considerando

que:

Yd = Mafif + Vd + Maldi-lld

U = L Í + M T ÍTTTq q q alq llq

= Vo

d

1.6.1

n.- inductancia de la bobina colocada, en el e. le d:

Si esta bobina tiene N vueltas; la fmm produci-

da será N-ji^j si P, es la nermeancia del camino

tico en el sentido del eje d. el flujo $. - P,N-,iJ y7 a a a ap

el flujo concatenado será •NÍPji...a a a

Si X es la nerraeancia del camino del flujo de

dispersión, entonces el flujo total concatenado será:

Va =Nd% (pd+>)

- 42 -

Entonces Ld _ l|»d _ Wd2 (Pd +» donde Pa> Nd yX

^son constantes, pues el rotor es cilindrico, ñor tanto

La = L, es un valor constante.a a

o -vL .- de igual manera U = NQ 'i (P + > )

entonces L = lj|q Nq 2(P̂ +\ 1.6.3

Xqes un valor cosntante *

Se prueba nue no existe inductancia mutua en la

bobina d y q«

El flujo total debido a i,: Ndi¿ (P̂ +\) que en

el eje q será Ndid (Pd + \ Cos 90° = O

L̂ .̂- Es un valor constante pues el carano raira una pe.r

meancia constante »

1.6.1.2 INDUCTÁNCIAS MUTUAS

'~ In^nctflncia mutua entre el camno y la bobina de

armadura en el e,|e d.- El flujo total concatenado se

rá; ^did (P, + A), y el flujo concatenado por el cam-

no será: N^^á (Pd +>) =

Mafd = Vfd= Vd (Pd +V> = constante =

M4ld*" Inductancia mutua entro la bobina d ;/ el cir-

cuito d amper respectivo . -

(pd +*Hd

entonces: M* , _ U-,, _ N,N,,, (P, + X) = constante =ald = Tin = d lid Jd

tóald

M'-j .- Inductancia mutua entre la bobina q y el cir-

cuito damper respectivo.-

Vn = N Nnn (P +> )iTlq q llq q q

entonces: M n Un _ N Nln (P + )O= constante =alq = Tlq - q llq q

^ M4lq

ML-,,,- La inductancia mutua entre el campo y el cirí

cuito damper en el eje d, es constante.

Por tanto tomando en cuenta que r, = r

vd = — ^Mafdif + Ldid + "' " ^

^ - A- L̂ i^ + Mli^ in« -^M^^i- + ̂ ^^ M' . i-,, ,q - -TT q q alq llq r ara r d d ald lid

v0 = d^ (L0Í0) - r0i0

vf = _ (Lffif + Mafdid + M¿ldilld) + rfi

1.6.4

En estas últimas fórmulas los términos de induc

tancia, en general pierden su dependencia del ángulo

0, involucrando los circuitos damper son mucho mds

sencillos que aquellos en términos de fase y aú*n de

los anteriores, en términos de

- 44 -

1.6.2 TRANSFORMACIÓN DEL SISTEMA d, q , o A c/, |3, tf .

(9, 12)

De una manera general considerando: N_ , es el

niímero de vueltas de las bobinas en los ejes d, q y

Np el número de bobinas en los ejes móviles

- 45 -

Para que durante la transformación la potencia

permanezca invariante Sebe cumplirse que [c]~ = [el ,

por tanto:

Cos 0

-Sen 0

Sen G

Cos 0f= N-2

Cos G

-Sen G

Sen 0

Cos 0

por lo tanto _2 = 1 y N? = w.

1

Es decir que el número de espiras de las bobinas

d, q deben ser iguales al número de las espiras de las

bobinas ¿, /3.

En la definición de los sistemas se dijo que los

componentes if y o, son constantes por lo tanto no su-

fren ninguna transformación, tomando en cuenta lo an-

terior y para obtener la transformación entre d, n, o

y c¿-, p, tf se debe obtener una matriz de transformación

de 3 x 3, para lo cual se aumenta a la anterior matriz

C, una fila y unn columna cuyos elementos son _o excep-

to al a^o que es 1 con el cual esa matriz no cambia;

ñor tanto:

id

iq

io

V1 A

f

Í w

—

~

COR 0 -Sen 0 0

Sen 0 Cos 9 0

0 0 1

eos 9 Sen G 0

-Sen 0 Cos 0 0

0 0 1

•

i¿

Ip

Í «

46. -

es decir [idoO] = t cl U o la inversa

[C,] [ ia o] donde en lugar de i se puede poner v,y ,

, etc. cumpliéndose en todos que f = fg

1.6.3 TRANSFORMO ION DEL SISTEMA a, b, c A d, o, o

Tomando en cuenta que:

•3-r»a

xb

ic

r-

H

1 0 1//2

-1/2 -/3/2 1//S?

-1/2 /3!/2 1//2

„

^,îi .

.

Reemplazando 1.6.1.1

^Hic

= /I"

1 O-1/2 -V 3/2 1//2

-1/2

Cos 6 Sen 9 O

-Sen Q Cos O

O O

Cos 0 Sen ©

Cos (© - 120) Sen (©

Cos (© + 1?0) Sen (G-

I//?

120) 1//9

Cos 9

""•T^Cos © + ^Sen © "̂ Se^ 2 ¿

-1 i/3 ^ -1 .̂^Cos © - ^-Sen © -^Se

Sen ©

n Q - VC2pn11 tef — p ^u

TI D + '— -- f f t

1

/2

s Q 17?

5 Q 7?

- 47 -

De donde se nuede escribir;

y en forma inversa:

Cos 9 Cos(G - 120)

Sen O Sen(G - 120)

1//2 1//2

1.6.1.2

Cos(0 + 120)

SenCG + 120)

1//2

Pudiéndose escribir:

1.6.1.3

1.6*4 JUSTIFICACIÓN MATEMÁTICA DEL VOLTAJE DEBIDO A

ROTACIÓN.

De las fórmulas 1,6.1.3 se tiene que:

vd = /| [yaCos O + vbCos(G - 120) + vcCos(& + 120)]

Reemplazando las ecuaciones 1.1 se tiene:

dt "a ÍÍ - rib)Coa(0 - 120)

- ri ) Cos (G + 120)]

n Cos G +dt dt

Cos G + i ,Cos(GtU

- 120)+ 120)

120) + i CoslO + 120)]v>

1.6.4.1

haciendo:

M = & \n^/^ L~cít0 o1.6.4.2

- 48 -

la expresión para v, queda:

v, = M - ri, 1.6.4.3u u

Por 1.6.1.3 se tiene:

I Cos O + YKCos(Q - 120) + U Cos(0 + 120)1a D c -J

1.6.4.4

Hallando Jd se tiene:dt

dU, M - U (4 ; de donde M = dYd + U U 1.6.4.5Ta = Tq ' TTT" Tq

y la expresión para v será:d

v, = id •*• i.iU - ri, que es la ecuación 1.6.1d "dt

De la misma forma se debe justificar para v

obteniéndose v = Tn - o > r - r ¡ a u e es la ecuación^ "dt *

1.6.1

- 49 -

P A R T E II

DEDUCCIÓN D£ L»3 ECUACIONES DE FALLA

2.1 ECUACIÓN GENERAL DE VOLTAJE INDUCIDO (1, 22)

iün este capítulo se deducirán las expresiones ne

cesarias sobre las cuales se aplican las condiciones

características de los distintos casos de falla*

Primeramente se debe deducré una expresión para

el voltaje inducido en una bobina cuando ésta se en-

cuentra girando en un campo producido por una corrien

te directa; deducción que se empezará analizando la na

turaleza de la forma que tiene la onda de densidad de

flujo y por lo tanto el flujo concatenado.

Del análisis de funciones se conoce que si se

tiene una función de onda cualquiera F = f(x), como

la indicada en la figura 2.1.1

'f(x)

Fig. 2.1.1 Fig. 2.1.2

y se desplaza hacia la derecha una distancia _n,

50 -

La densidad de flujo en el entrehierro de una

máouina es una onda compuesta ñor una fundamental

más una serie de armónicas las cuales son producidas

por la reluctancia variable del entrehierro; de to-

das ellas, unas giran a la velocidad sincrónica jun-

to con la fuerza magnetomotriz giratoria (f.m.m)

producida por la corriente de armadura y otras con la

misma velocidad pero en sentido contrario.

F1g. 2.13 Fig, 2.1.4

En realidad la fmra giratoria así como la densi-

dad de flujo se distribuyen sinusoidalmente a lo lar-

go de la circunferencia del entrehierro. Tomando de

esta onda de densidad de flujo la k e*sima armónica,

en un instante cualquiera y desarrollándole longitu-

dinalmente se obtiene la figura 2*1,4 en donde se con

sidera lo siguiente: Esta k ¿sima armónica (porción

sombreada Fíg. 2.1.4) será sinusoidal de amplitud má

xima B̂ . Si el eje B(x) se desplaza hacia üa dere-

- 51 -

cha B'(x) o hacia la izquierda b"(x) una distancia Z, ,

se obtendrán otras funciones las mismas que con Res-

pecto al eje B(x) serán funciones desplazadas:

Bk Sen k (X - Zk) y Bk Sen k (X + Ẑ .) respectivamen-

te (k indica el orden de la armónica).

Si se reemplaza x por: X + 2_2L> se tiene:k

B(x) = B,Senk(X + Z, ) + 2K. K.

B(x) = k(X 2.1,1

• Lo cual quiere decir que B(x) es una funcic5n ne-

riódica de período T= 2 7f de donde despejando k sek

tiene k = 2^ que representa el número de longitu*-T

des de onda en una distancia 2TT y fie denomina número

de onda.

La expresión 2,1.1 se ouede escribir así:

B(x) = B, Sen k(jOC : Z,)K rp K

justificándolo de la siguiente manera: Si se toma la

anterior k e*sima ar-

mónica que se encuen

tra a X unidades de

T.longitud en el con-

torno del entrehie-

rro (fig. 2.1.5) y se

divide por el valor

de la longitud de on

F¡g.2J.5x ^ •**---"s,—s da T, r,e tiene una

- 52 -

fracción que multiplicada por 2T ^ará una expresión

para X como fracción de TÍ.

Como la onda total de densidad de flujo se com-

pone de infinito numero de armónicas que giran en el

mismo sentido y en contra de la velocidad sincrónica,,

ésta será la suma de todas las armónicas, por tanto:•o

B = Y~BkSen k( 2ÍX í Z k > 2.1.2

Siendo ésta la expresión para una onda de densi-

dad de flujo en un punto cualquiera X desplazado del

eje de campo en el entrehierro.

Fig. 2.1.6

- 53 -

En la figura 2.1.6a se representa la onda de dens_i

dad de flujo producida por la bobina representada en

la figura 2.1.Gb, la cual es la vista de planta de la

misma y en donde se considera:

L = longitud efectiva de apilamiento de los conducto-

res.

€ = Ángulo de inclinación de las bobinas con respecto

al eje del rotor.

cT = Distancia entre lados adyacentes de bobina = paso

de ranura.

X = Absisa del punto medio de la bobina.

Y = Ordenada de un punto cualquiera de la bobina.

p = Paso de bobina expresado como fracción.

c = Número de lados de espira por bobina.

El flujo total para el m ésimo grupo de bobinas sje

rá:

' rL/2 r*m¿ = M1 Bdxdy

donde: Xraf = Xo + p T - c - 1^-+ (m - 1)0" + ytangf"5 2 u

Xm1 = Xo •*• p T - _c + 1 - 2m -. + ytang E 2.1.3a2 2

y Xm = Xo - p T - c ~ 1^-+ (m - l)cr + ytang £

Xm = Xo - p T - c _ _ _ + 1 • 2m + ytang £ 2.1.3b"75 o""1""" "

entonces:rL/2 rXm

- 54 -

fL/2

J -L/2 k=kZ, dy

T •Coskir(X +JTT" ° I>2c + 1 - 2m \ k.if..

ytangf + kZ J - Cos(Kj Î

+ kor ytang C + kZ,]T~ Ĵ

2m ̂ \ ;

haciendo:

Q = kir(Xn - pT » co - 2m

2.1*5

R = k"T

+ PT - c + 1 - 2m n-) + kZ,"5 2 u *

m

ooIk-1 f172

JL/2

Cos (R + k^n ytang 6 ) dy -T

L/2

L/2

c°s (Q * kif y tang£ ) dyT

que realizando, operaciones se tiene el siguiente resol

tado:

m

Sen (kir..L.2T

(CosR « Uos Q)i

multiplicando por LL

)/LTTT

(Cos R - Cos Q)

- 55 -

ducción.

J?or inclinación de la bobina definido en el Apéndice

LT 2_ Bv C , (Cos R - uos Q)!T k=l sk

ira c

k=l

fA

Cos kTtXo knr nTf T 2

(c + 1 - 2m) , k Z, ) - Cos / kfXo k TÍ oTg + fc/ \ " T~ 2

]£ií g- (c + 1 - 2m) , kZ )- m o T jcy

haciendo kTfXo ... /rs T T u

( c + 1 - 2m) , kZ,2

k=l k•o

- k|n)

s Sentak 2

donde Sen - - C ̂ es el factor de reducción por paso

de bobina Definido en el apéndice 1

Por tanto:

m

«="Q

I Bk CJx WTT sk

Sen k ^ TTXoV—rrr"

Donde: m = es el nú"mero de orden de la bobina que se

estudia.

X = es distinto conforme avanza el tiempo que

gira el rotor.

Z, = vt es una función del tiempo.

B̂ = es la amplitud de la k ¿sima armónica.

El voltaje inducido en -la m éfeima bobina será":

e _ - N d#í O T Om — —o m ¿í. JL • o10U dt

donde N es el numero de espiras de la bobina.

em =

6™ _m -

_ N

108d% dXo+dXQ dt

•o

2i.il' N ¿_ C"~ 1Y Q V — 1 í

Y a.k=l d5

C>v sv

5m dZk5k dt

rrí1 ÍC

m

10'

k=l dt dtj

2.1.9

Cosk'ftfX^ c+l-2m 7f

> _ 2L T N V \

m " " if io8 ¿i ¿iC Co T"\k pkb, Cos k fK.Xo.

Z,T

(1 J5Í2 + ^Z,\T dt -3T/dt-

1 SenkftXo - c+l~?mk \ 2

Primero se realiza el sumatorio

haciendo:

1TXo c ir(T 12 "T""" 2

glt y agrupando así

X = 1X0- k y T

Se debe usar las excreciones 4 y 6 de sumat_o

rías Centre !_ y n en vez de _o y n_-¿ por tanto se debe

aumentar ĵ a la función que afecta a la sumatoria:- c

Cop(X + nd) = ( )Cofl(X - (n-1 •*• 1) d )

y se tiene que el primer sumando de la derecha de la

expresión de e_ será igual a:

em =cSenkw B,_ Cos k

IfXo c*l Wrn — ?>T TrT"T

!T rit

2 T"

dt

T

realizando oneraciones y agrupando queda:

o i ctrcre Sen k —L—'m "1A 2T B, Cos k (IfXo ^ Z, ) /Tf dXo + r!ZcSen k W ^ T " \-V dt

"2T

de igual manera el secundo sumando quedará:

.

dt

Por tanto?:oO

em _ 2LT N V C, C, Sen ̂~fm — — ~~¿( p L—- R.K. pj£ .—,-,- -T -^ •*•

» 10° k=l c Sen k -n

- 59 -

Si existen Q grupos de bobinas conectadas en se

rie, entonces el voltaje generado será:

Ieff _ -Q2LT N FTi C C

& - — 5— 0, p,Oí 108 * K dt T dt• Bj^Cos E

+ 1 dR Q . f TfXo A Z ,1é He SenkC-ñr- + k)k dt X J

2.1.14

Mediante los factores de reducción C ,0 », » 3

se reducen los armónicos de la k=l y queda:

e£r1 - - Q N d ,

dt + T dt

•Cosk/TTXo\

dB

dt

haciendo k-, _ 2LT1 _

2.1.15

1 = - Q k l N108

^jndB-

Cos . Z, v

dt

2.1.16

60 -

o en términos de ó-. :

ei - _n1 - -Q Sen (IXo + ZD + (dzi 1fdt T dt

Cos ^Xo * Z,- J_

lo cual se aplicará cuando la onda de flujo concate-

nado por la bobina es exclusivamente de la forma:

Y U) = Ysen(J«Xo ± Z)T

y podrá usarse también para conocer la expresión del

voltaje en condiciones da falla por una bobina cual-

quiera; siempre y cuando .se conozca la expresión de

T y sea similar a la anterior. Por ejemplo se puede

obtener el voltaje de fase .§ de:

U , \ 4̂ Se»n / *N Xo + Z \; i a ^ (.—y— - a;

voltaje de bobina q:

Sen (—FU— - a)

etc, es decir que dará el voltaje inducido en una bo-

bina individual cuando se conoce la onda de flujo que

ella concatena.

Por ejemplo, tomando como referencia el sistema

c^»/3»^1) Que está fijo al rotor, midiendo el despla-

zamiento angular desde el eje ¿ que coincide con el

eje de la fase a, el desplazamiento de la onda de vol

generado será £ (X = o) y la expresión oueda:

108

- 61 -

d0n Sen Z + dZB ¿ Cos Z ,~dt a dT" a ñl

donde Z0 ees la posición del punto en donde rse quierea

cococer el-valor del voltaje generado. Se puede poner

también:

ea = - a Sen Zn + 3Z* Cos Z 2.1.19I dt a ' ñ dt aJ

2*2 VOLTAJE INDUCIDO EN UN BOBINADO TRIFÁSICO EN

CONDICIONES DE DESBÁLANCE.• (1, 2, 4)

Una condición de desbalance puede ser un caso de

falla asimétrica, y como es conocido, en estas circuno

tancias y utilizando el sistema d, q, o, existirán sus

tres componentes, al igual que si áe tóara el siste-

ma c¿, a, d", y si se usa el sistema a, b, c sus valo-

res de fase serán distintos unos de otros.

Tomando el sistema d, q, o y asumiendo conocidas

las funciones lf-,, y ,U , (flujos cosucatenados), l^,,

y U como funciones sinusoidales de centros respec-

tivos on los ejes d, q, y además U un valor cons-

tante estacionario en el espacio; entonces, el flujo

concatenado por la bobina de la fase n, U en fun-—' Ta

ción de x que indica la abscisa de un punto cualquie-

ra del entrehierro y según las ecuaciones 1.6.1.2 del

capítulo anterior, se tiene:

62

l q Sen (ilXo + O)] Vo 2.2*1

Como en este caso se tiene una expresión que invo

lucra gran parte de las condiciones características

de desbalance se -puede aplicar la ecuación:

P ^Van — I ela " " dt

:a(x)dt T

e

- /2/3

L dt

pdt

Sen I TG y d,o Cosf rxo + o

T q dt T "

ea(x')

1

dto , f?XoSen i —̂ ~T +

TQ

Si se aRume que las coordenadas inicinles de de-

ff lsamif in to del p.ir>tnmn n, b, c con respecto a d, q, o

son O, entonces 7X = O v la expresión nara o" " ^ ' a ^ x

- 63 -

se transforma en:

dt• Sen 9 - /2T3"

1 2.2adt

de igual manera se puede obtener las expresiones para

eraP^n7janc3° en 2.2.1 G por 9 - 120 para

y í? P°r 9 + 1 2 0 para e , se tendrá

e b > y e c >

Kb = /2/3

/2/3

dt dt

V' q dt

Sen (9 - 120) -

a Cos (9 - 120) -

dt°

dt

2.2b

y

dt120)

(Q- 120) - i-dt

2.2c

Como se nuede ver existen dos tipos de voltajes

generados: anuellos términos como: dll-, dU,. dU

dt dt dt

son voltajes debido e la variacic5n del flujo concate-

nado y aquellos términos afectados ñor dG son voltadt

jes inducidos debido si movimiento de las bobinas.

- 04 -

En lar, ecuaciones anteriores (2.2) las excrecio-

nes para LK, U , U , están dadas en el capítulo 1 por

eje d

damping

campo

•armadura

pnnrm USJ

armadura damping

Fig. 2.2.1

1.6.2 los cuales co

rresponderán a la

disposición de bo-

jbinas indicada on

la figura 2.2*1:

Dos bobinas de ar-

madura iona en cada

eje; dos bobinas de

damper una en cada

eje y el circuito

'.de carmo que se en-

cuentra alineado con

el eje d.

Tomando en cuenta que la inductancia mutua recí-

proca M « entre el circuito de armadura del eje rj.

y el circuito de campo es igual a /3/2 veces el va-

lor máximo de la inductancia mutua L ~ entre la fa

se _a y el campo así como también la inductancia mutua

recíproca entre el circuito de armadura y el circuito

damnin/7 correspondiente oí mismo eje (M -, , , U n ) tam-• [ aJ-d ' a J.qbien es i^ual a /372 veces el valor máximo de la in-

ductancia mutua entre la fase £ y el circuito dairminp

correspondiente a * L , ).

Con estas consideraciones las ecuaciones 1.G.2

quedan:

= Vd * */572 Wlld * "̂ Wf

2.3

Vo = Vo

Reemplazando en 2.3 las expresiones 1.6.1.1, se

tiene:

Vd = Vf + " + Cos

Vo = Vo

La componente i¿f se toma en cuenta en y pues

^o " ̂ ̂ y da un flujo estacionario constante y se to

ma simplemente:

Üos 9 ~ i Sen G

i = iM Cos 9 + i^ Cos 9

Como unas simples proyecciones de las corrientes

sobre los ejes d y q correspondientes , ya que en rea

lidad i ¿p es un valor que se aumenta por conveniencia;

para facilitar la transf ormacídn entre los sistemas

d, q, o a o¿? /33 ó*? ya que para ello en caso de ausen

cia de y , se debiera obtener la inversa de una ma-

triz de 2x3 lo cual es imposible; por lo que se aumen-

ta la componente y para obtener una matriz cuadrada

F3 x 3).

- 66 -

Observando la figura 2,2.2 y ñor los canceotos

dados en 1.5 que indican que el efecto producido en

eje c

Fig. 2.2.2.

un punto cualquiera del entrehierro debido a la acción

combinada de lañ bobinas de fase a, b, y c es i ¿nial al

efecto producido por la acción combinada de lar, bobi-

nas de fase ,̂ ¿3 en el mismo punto; las fuerzas elec-

tromotrices (feniñ) y el flujo concatenado por la bobji

na^de la fase _§ en la dirección de su eje es i ¿mal a

la fem y al flujo concatenado ñor la bobina r]e la fase

o¿ on esn misma dirección, y en este caco, en direc-

ción del eje o¿ (núes el eje

- 67 -

Por 1.5.12: A __ L, + L . entonces: - c*_._ (Aí^)~ n —G.J fl-t

2 III

La suma de 1 y ?. corresponde a:

0/Lrf + L \ ^ dQ _ 2B Sen 20 dQ IV2 1 a H \Sen 29-^p- - dT""̂ /

La suma de 4 y 6. corresponde a:

_ _ Cog 2G d (B i- ¿Ft

La suma de IV y V corresponde a: - _d / . ^Cno, OQ

VI

La suma de III y VT corresponde a:

- ~jp£(A + BCos 2©)

Por tanto:

Gos 0)

d_ i^ (A + B Cos 2 9 ) -

(M .i^Cos & + M ,,-i,, .Cosaí f ald llddt [

¿*mu • /-tvSen

i¿(A+BCos 26))+ L 5 ( 2.5a

68 -

ea =

í»)

+ LJ^Sen 26 d9d dt

- Cos 26- d

donde;

1 = L.

2 = Lc

3 = d

-Cos 20 d_dt

Sen 29 r!0

Sen 20cLl

dt

4 = Cos 2& d— ?5 —

q"fc2

Sen 20 d6dt

dt

d L i

idt

Aplicando las .identidades trigonométricas

1 - Con

2 1 + Con

se puede ver:

La ínima de 3 y 5 corresponde a :

3 = Sen̂ O L i* d9q ' dt

4 = L Í

5 = Sen 29 d

UT

6 = Sen 29- d

De la expresión anterior se deduce oue: sumando

2 + 1 = (Cos28 - i a dO _ L , i / sCos 29 dQ' dt - d ' rít

restando: 3 - 4 = >r/9 - SenrfíQ)dO _-L i-dt " Q '

iJe las expresiones anteriores se puede poner;

- L_,Q

2i/jCos 20 dQ

Sumando: 6 + 5 = ^d " ^q Sen 2©

d

Sen 20dt

La suma de I y II corresponde a:

ddt Sen 29

Como se asignó* en 1,5,12: B - d " c

- L

II

Entonces la exoresion nnra

- 70 -

,d t v aló lidCos _,, , n i .alia Lia

G dO Cosdt

JL(Malldilld)

que no es sino el sumando c+d

Son 9) - - w T i n i Uos © d£ _ Sen Q-aiq .iiq ^t

que no es sino el sumando e__+ _f>

Por tanto:

d f TIIT •

Sen G) + L/q •

3

r(M^-, i n idt alq llq Sen 2& dG"dt

2

2(L i.) + Sen"© L i- d© Sen 29- d , T .o ** q /T^f - "dt^ n /

~

"*"• £3 i Sen 2Q dG Uos2 O dj ** —— — — ...i...^ dt d

•*• Cos2Q l/.ÍAd^ , Sen 2Q d /a ' ^

- L i rt

'

0 d9dt

d / T - V

73 dt (LoY

donde:

1 = Ldt

29 ¿Odt

2 = uos^G

- 71

ea = /2/3 [Mafif Sen 9 d9 + KQldind Sen 0 dOdt uxu XJ-U dt

L-Í.Í Cos G Sen G d© Sen G d_(M , i )° 7TT ~ rit aj-c3 -LXCÍ

- Sen 6 d (L i , Sen G) -Sen O d (L i^Cos G)^t 3 * dt ^ f

Cos O d (M_ -i-)» Cos Q- ,£L(M_, .i-, ,)dt af f dt

Cos G d (L,i,Cos 0)+ Cos Q d (L.î Sen 9)• d ̂

ftl i-n Cos Q d9 L i ̂ Sen & Cos 0alq llq - q

" 3"^ """ cFEl" 73 tt'

donde:

a = M i Sen G dGal x dt

b = Uos G d (Mafif)

c = Sen G

d = uos e d_(Maldilld)

e = M, i.. Cos G dGalq llq ^

f = Sen G d__ ( M i )dt

Observando la exprosidn anterior se puede decir

lo siguiente;

- 4r(M.,f,if,Coñ O) = MAf>i,> Sen G dO Cos Q d ,,„ . ^at al 1 ai a dT " dt(Maf lf;

que no es si no el sumando a -*• b

- 72 -

"Rn el apartado 1.5 también ouedó planteado que

el eje fi representa los efectos combinados de las bo-

binas de fase' b y _c. Con esta justificación y obser-

vando en la figura 2.2.2, un efecto cualquiera en di-

rección del eje x3 debido a la bobina de armadura /$r /~

será igual al efecto producido por la acción combina-

da de las bobinas b y _c. Por ejemplo tomando las fems

generadas:

El voltaje generado en dirección del e je /a ñor la

bobina & de armadura (eA) será igual a la diferencia

de los fasores representativos de los voltajes gene-

rados en las fases .b y _c con signo contrario

-(eb - ec).

Por lo tanto la expresión 2.5a se puede..escri-

bir:*

Í*J S2 (Mafif Coa

* Malaill Se

Es el voltaje generado en la bobina o¿ de armadura.

Antes de deducir una expresión para componente de

voltaje generado en el eje /3, se puedo ver que de i~

gual manera como se dedujo o se puede deducir eb

-Y ec de la siguiente manera:

Para e, , partiendo de:

x)

_

- 3 d

o . oSen m- + Q - -ooTÍX

de donde:

VI

dt

j .

dt

d.Qdt

_ _

dt.o í £ -- Sen 75-

V d

Cosí'9 - 2rr -~p$¡ uo

O

/31 dt

Reemplazando en la expresión anterior las ecuacijo

nes 2.4 se tiene:

d_2 dt

d_dt

A

f A B Cos (29 - 120)) i[ "5 " J

. 2 B Sen (20 - 120) iy3+ -yg, 1 /

d f M , Sen (© + 120)iin \ dt I alq llq

Así mismo

TT2

1 d (L i— Q I

/3 dt

2.5b

'Sení̂ - + 9 o Sen

de donde:

- 74 -

rtCos

L d9 d^lTcl dt ~ dt_

( » - £1) -

. Sp> + sa\t £3k + Va do"ben^ + 3 J / 3 [ dt dtj

1 a Vndt

Reemplazando en üa anterior expresión las ecuaciones

2.4 se tiene;

_ _

COB

1120)if|_

120) + - B Cos ( 2

I JÍ2 dt

ddt

r 9 iA - •£— B Sen (2© + 120) i a

L /ŝ fjSen (9 + 120)1

ij .dt

.O ó

y los voltajes terminales de fase serán:

va = e a" iaRa

'vb = eb - ̂^ 2-G

v .= e - i Rc c c e

Si RS - RK = RC) las caídas de voltaje en la:

resistencia de armadura son:

3 ÍJ.RQ

a

ÍCRQ - -I/

T--& -' • - ~

va = (2 .3

-p[(M

pMnf(Jos Q)ifj -

-fe + n(A + BCos 29)]!^ + p[(BSen 20)^]

alq S«n Q)ílloJ2.7

vb =

1 K- + p/A tí Cos (26 - 120) i2 ñ ~

/o' -— D + 2

- p[MalqSen (.9 "120)Íllo]

B

1

Sen (20 -120)

V (Q

- B Cos (2Q + 120 ) U

s (G

-̂ D í A + 2 B Sen (29 + 12u)) :^ - v "Vn1

lq (R O

2,9

Lns mismas que se nueden utilizar nara obteriPr

cualquier función entre ellas. Por ejeraolo Ta dife-

rencia de potencial en lar. fases b y _c - v, - v :

- 76 -

O

VG' Aa-

i- + 1 p Í A Í A + g B Sen (2W-120),/a •...•. ... - > i í1' i •••-•"•—— y

- 120)Í llo

A _ B Cos (ñO + 120

~— R i,*/? a *

))]J

r / 91 i /sí A + -— B Sen (2Q + IñO)

^ / fp f^ lq i l lq Sen ( & + 120y o L

R ia

P

Expandiendo las funciones trigonométricas y sim-

plificando , oueda:

VDC = _ l^jPMafif Sen ^ + p ^Id^-lld S°n e + P"UB Sen2G

»íRa + P^A " B Cos ñGÍV " PM-i-Cos Q ^

2.10

Utilizando 1,5.14 y 1 .5.13 se tiene qun :

bc

-ÍR

pMaldilldSRn 0 - PK¿ft

Cos G i

- 77 -

Con la justificación dada en las pa>inao ante-

riores se puede extraer de v, el valor de v^, lo

cual ,se encuentra expresado seguidamente junto con

v

- 7b -

2.2.1 RELACIONES DE FLUJO CONCATENADO

De las ecuaciones 2.11, 2.12 y 2.13, tomando en

cuenta que:

e = ~fV_ 2.16dt

+ pBipSen 20- -p(A + B Cos 20)1̂ 2.17

dt

-p(A - B Cos

de donde:

MafifCos O + M i C o s Q + (A + B Cos

i / j Sen 20- + M ., i - - Sen G 2.20

i|*= -MafifSon 9 - i S e n G + (A - b Cos

- B V Sen 20 +

2.22

- 7Q -/ .7

El flujo concatenado ñor oí circuito de cam-

po será el producido por la corriente de campo i-,

por la corriente en el devanado de armadura en el eje

d i,, ; y por la corriente en el devanado de dampinp

en el eje ¿

Por tanto: yf = kffi-f + Maf*d + MfldHld

Reemplazando i¿ por i = i ^Cos O - i/3 Sen O

2.23

El flujo concatenado por el circuito de damoing

en el eje d_ W -, ̂ será aquel producido ñor la corrien-

te de campo, la corriente del devenado de damning en

el eje d. y la corriente de armadura en el eje _d que

pasan por sus respectivos devanados, entonces en el

mismo orden:

Vid = Hfidif + Lnaiiid+reemnl ajando i , =

Vid = "fld^ + hld^ld + MaldVM C o s

2.24

Do i/rual- manera y^ el flujo concatenado ^or el

circuito de dampi.n^ del eje q será aquel nroducido

por la corriente que nasa por ente devanndo y la corrioj]

te que nasa ñor el circuito de armadura del eje n ; no

existe concatenación de !„ núes e^te devanado esto*

- ÉáO -

en cuadratura con el devanado do dninninr del eje n ,

es decir M,,n ~ 0: en el mismo orden:í Iq '

Vio - hVllq + ^Wq reemplazando i = f(

lq = WllQ + Malq S*V = + M S n ° + M C°8

2.25

Los correñpondientefj voltajes en estos devarindon

serán:

vf - ̂ Vf + R i (voltaje terminal def

vf " ^í^f + PLff^f + PI;Iaf Coñ 9 ^^ ~p^af Sen

Como los devanados de daxnpin,^ son lazos cortocir

cuitados de alambre en las caras polares, entonces:

V = V ~ OV - i j — V-, — Wla Iq

For tanto:

vld = « = " T Jri + R ild

0 = U + + M Cos

v,n _ O _ ln . R .1(̂ ^ - —" + Rlo'l ln

0 = PMo1nÚSen O + pl^-, i,,Cop, © + pLn 1 i ,n + R, i-,-,diq »

- 81 -

Las ecuaciones 2.11; 2.12; 2.13; 2.26; 2.27;

y 2*28 pueden ser resueltas simultáneamente y obto-

ner los valores de i^ t i. ̂ , i ̂ , illa , illci> if

para cualouier tipo de desbalance de la máquina sin-

crónica, para luego mediante las ecuaciones 1.5.1.1

transformar a componentes de fase a, bT c.

En el siguiente capítxalo se aolican estas exoreí6»

siones deducidas en el análisis de los tres tinos fun

deméntales de falla, debiéndose anotar que se lo rea-

liza sin tomar en cuenta el efecto de los devanados de

damninjp, inclusión de los cuales se nodrá hacer en un

trabajo adicional núes la comnlejidad nue éstos traen

es grande.

2 .3 ECUA.CIGN GENERAL DEL TC >qUE. -

Una ve 7, o u e se han obtenido las exore s i one s para

las corrientes ^e armadura, se puede deducir una ecua-

ción para el torque tomando como base las ecuaciones

obtenidas en el aoartado anterior.

El toroue resulta de la interacción entre oí fin

,1o en el entrehierro y la corriente oor las bobinas.

Si se toma una bobina por la cual circula una ĉ o

rriente y la cual está inmorísa en un campo magnético,

'éste ejercerá una fuerza sobre la misma bobina la nue

al estar libre airará corrió resultado de un torrjue en-

tre nstns dos fuerzas. Las características de poten-

cia de riro defenderán de la energía magnética nue la

- 82 -

bobina almacene por el paso de la corriente. Par-

tiendo de ésto ni torque entregado por la man nina se-

rá proporcional a la energía almacenada en la bobina,

la misma que es igual al producto del flujo oue con-

catena por la corriente que circula por ella.

Entonces: P~ (V-i ) 2.3.1

Observando la figura 1.6.2 los flujos concatena-

dos correspondientes a cada eje es una onda de la for

ma indicada r>or la ecuación 2.1.18 donde O- „ Xtf , 7- -rf- +

- 83 -

p = (VdidSen G Cos

i Sen Q Cos 0)d©q q

P =

i Cos0

Vdid

- jq^

o

2 ' ' ' *P

Sen & u i g2 2 J

4 4

o

id) 2.3.4

Entonces el torque será proporcional, a et^ta po-

tencia:

La ecuación 2.3.4 se puede escribir:

2p

Recordando que CJmm

donde O^ = velocidad angular mecánica.

^ = velocidad angular eléctrica

La expresión queda:

de donde:

I

Para seguir manteniendo el criterio de funciona-

miento como generador:

- 84 -

T-1- ce

Introduciendo una constante de proporcionalidad k.

p = ntfmero de polos de la máquina

Utilizando las ecuaciones 1*6.1.1 se tiene:

T = fcg -( Cos & - ^Sen £)(i¿Sen O + ipCos O)

Realizando las operaciones indicadas y simplifi

cando queda:

T = k ( V i ¿ - Y* i) 2.3.6

Esta ecuación podrá utilizarse en caso de cálcu-

los del torque en condiciones de falla.

El valor k se determina experimentalmente y con

su valor conocido es fácil su aplicación, la misma

que ya no es sino una operación puramente algebraica

de sustitución de valores por lo cual en el capítulo

siguiente solamente se indica los pasos a seguir pues

no es necesario asumir ninguna condición fíéica ni nía

temática especial para su correcta utilización.

- 85 -

2.4 ANÁLISIS DE FALLAS SIN CONSIDERAR LOS DEVANADOS

DE AMORTIGUAMIENTO

En este apartado se toman en cuenta tres tipos

de fallas asimétricas básicas a cada uno de los cuales

se les asignará con un nombre de caso con el fin de

simplificar la notación de las fórmulas a obtenerse;

Estas fallas son:

Caso BI Falla f ase-tierra

Caso t>: Falla fase-fase

Caso ¿: Falla fase-f ase-tierra

Las ecuaciones a aplicarse están en términos de

c¿, ¡3 j ̂ ; que mantienen la potencia invariante y apli-

cados a la máquina trabajando en vacío.

Se obtendrán dos tipos de soluciones: la xana ein

tomar en cuenta las resistencias de campo y armadura

y dos aproximaciones adicionales dadas a su vez la

una por expansión de las funciones trigonométricas de

la primera solución en la que se obtiene cualquier

nxímero de armónicas y la otra aproximación que es más

exacta puesto que toma en cuenta los efectos de las

resistencias de armadura y campo las cuales se incluí

yen en factores de amortiguamiento que afectan a las

series trigonométricas mencionadas.

- 86 -

2.4.1 CASO ai FALLA FASE TIERRA .- (8,21)

Tomando los parámetros sobre los ejes c¿t/3»¿\n

las ecuaciones 1.5.1.1 y las relaciones voltamperim£

tricas dadas por: 2.11, 2.12, 2.13, 2.26 y asumiendo

que el eje d del rotor existe sólo el bobinado de cam

po principal» es decir no existen devanados de amort¿

guamiento._.__>^__ .

Para el caso mostra-

do en la figura 2.4.1 a

con un cortocircuito en_

tre la fase A y el neu-

tro a través de una irnp¿

dancia _£g, con 1a niáqui-

f"'9- 2.4.1 na en vacio» se tiene

las siguientes condiciones de falla:

v a O ; i '= i «Oa ' b e

Aplicando las ecuaciones 1.5.1»! en cuanto a femsT

la

v -b

V =

de 1a y 3a :

En cuanto a corrientes

irf . /275 ±a

2a

3a

4a

5a

- 87

ip « 6a

iy « ia//T 7a

de 5a y 7a :

i¿ = /? i^ 8a

Como se puede ver v^ cambia a v^ «= - v¿./ /?.

Por otro lado el voltaje en * circuito abierto VQ

como JA = O (Condición de cortocircuito), entonces:

-v*//? - /372^Sen 0 » ,-pM ~Cos O i* -ÍR +p(A+BCos20)}l i,° i •'. 33- i L SI ~*

13a

De la ecuación 2.13 :

v^ « -(Ro + pLo1) iy = -(Ro + pLo1) i*//? 14a

De la ecuación 2 «26:

O ' - (Rf + pLff) if + pMa fCos'9 ±^ 15a

donde :

Ro : resistencia de secuencia ̂ = R + 3R-— a g

L o f : inductancia de secuencia £ = Lo -i- -o

R y L : representan la resistencia e inductano o

cia de puesta a tierra*

Reemplazando 13a en 14a y simplificando:

e « PM eos 9i- +ír + p(A -í- Lo1 + BCos 29)]ax -t "^/"*** J16a

donde : r = R Roa ~

Resolviendo simultáneamente 15a y 16a sin tomar

en cuenta las resistencias se obtiene una solución

aproximada» pues sus coeficientes no son constantes

y es prácticamente imposible obtener una solución

exacta»

a.l PRIMERA SOLUCIÓN.- Despreciando todas las resis

tencias en 15a y 16a, se resuelven simultáneamente

de la siguiente forma: De 15a:

p(Lff 4- M fCos O i¿) » O

Lffif + Maf Coa 9

- 89 -

para t = O, i^ « O (circuito abierto) y como la corrien

te de campo es de carácter D.C., entonces: L-- = O

por tanto k = O y queda :

i~=~ Cos O i.f Lff ¿

que con 9a y reemplazando en 16a:

9 « Lop(_ ~£¿- Coa^Q) + p(A + ~- + BCos 20) i

de donde:

M2 t 1~~ Cos29 + 4 + Í§- + BCos 29 i¿ «-M «Cos 9 i^ + k-ijf £ c j ai i o

Para t=0 : i^ = O , 9 = 9o e if = if y se tiene;

quedando 1* :

k = M f-ifQCos 9o

9 -í~j = — -

M- — í C0329 + A + B Cos 29 + %£-

Lff 2

Sumando y restando : Lo' nrt^ OQ Lof ~n on n , ̂— K— Cos 29 - -T- Cos 29 al deno-

minador y reemplazando :

Cos29 = 1 + oa 2Q

i - 2 a ao 9°

+ Lo + LHCos 26 « L^Cos 29 - «SÍ - «¿í ¿os29q q Lff Lff

N

29 - —Cos 29

- 90 -

Multiplicando la expresión para i^ por ^/u) y agrupqn-

do términos en el numerador y denominador» se tiene:

Ef (Cos 9 - Cos 9o) -j«

A1 + B' + (Af r B')Cos 29

En d ond e :

1 =- T1 j- Xd -t- Xo'

B1 = X. Xo

Jd

J Xq * Lq J

M -p- T 1̂ ) 18a

.9a

Reemplazando î en i- =-- - •*•—- Cos

se tiene:

1f "Naf Cos 9 - Cos 9o

11

( A 1 - B'20a

00 es el ángulo entre los ejes o< y d_ al tiempo t - O

Las ecuaciones 17a y 20a representan las corrien-

tes iniciales de cortocircuito.

a. 2 PRIMERA APROXIMACIÓN*-: Aplicando las fórmulas de

expansión dadas en el apéndice 2 de sumatorias» se ô b

tiene ;«o i

1 „ . 3¿Ljf [eos 9 + Y"bT1Cos(2n + 1) 9A! + SJJW L ^rr J

EfCos 9o

EE

*&_^ bnCos 2n9

1 4- bA1

21a

2n9

- 91 -

9o (1 + b)Cos 9 + VbnCos(2n + l) 9j

i **,b. - i •*22a

a.3 CORRECCIÓN PARA DESISTENCIAS.- SEGUIDA APROXIMACIÓN

Se hace por multiplicación de cada término de las

series por una constante de amortiguamiento que es fun-

ción del tiempo.

A' /T

00̂

Cos 9 + ^TbnCos(2n + 1) 9

E-rGS 9o s 2n9 23a

(A

bnCos(2n +1)0 24a«-i

- 92 -

se desprecian para términos armónicos pero se mantie-

nen para términos constantes o no periódicos*

Procediendo de la manera indicada se obtienen

las siguientes ecuaciones independientes que incluyen

las incógnitas que se desea conocer:

(R, + pL--)I-(t) + Rf Lff A1 + /A'B

= O

rF, (t) = O

Las que resolviendo simultáneamente dan:

Xd X?v «Xo

.e-t/Td'+ 1

-f Xo«

xd ~ xd

25a

26a

27a

28a

29a

donde:

ff £= + X] X, ( *-t/

/T'~B'Ta = ̂ -y-— : Constante de tiempo de armadura

" T/5ClX' + X¿

: Constante de tiempo del cir~^

Xd + X¿ + X2 cuito de campo.

- : Constante de tiempo de circuito abierto

X* - /AfB*' - y- reactancia de secuencia negativa.

- 93 -

Reemplazando las ecuaciones anteriores en ju¿ e

jl« se tiene :

x x

X2 xd + x¿

9 + £>ntt = l

t/T

EfCos 0o

2 •*" 2n9

i')9,

31a

1f "-1. af

X X¿ Jff

1Aj + X_Q O [2 xd x¿ O

+ Maf EfCosff

•/?72"T Cos 9 + JbnCos(2n + 1) 9J-e~t/Ta 32a

Siendo i« la corriente constante antes de la

falla.

Utilizando nuevamente las expresiones del apén-

dice 2f pero en sentido inverso, se obtiene:

)s 9 - F0Cos 9o)

Xd

- 94 -

1 X O -y jLtft

Lff r

e'̂ d - 1 .2.(?iCos 9 " FoCog 9o) Cos91— ,.M , ..,.,. + —-i— J_ ¿ -i _M- [

Aj + - -3Í. eos 9 i^ 34ai Z O I -k-p-f

donde F-ĵ , P2 e Iff son los dados por 28a, 29a, 30a

respectivamente.

Usando las condiciones de falla: i = /3/2* iâ

las corrientes de fase son:

P1Coa 9 - PpCos 9o

^ " "3 Ef X¿ + X + (X¿ + X ~TCos 29 + X¿ 35a

ib = ic = 9

a>4 VOLTAJE EN CIRCUITO ABIERTO

Aplicando 2.15 : v, = - /? VA =-

donde: V|i= - M fSen 9 if - B Sen 29 i^

vbc =/?(MafSen 9pif + o)ifM fCos 9 + BSen 29

29)

de 34a :M -.

pi» B pl-, - ^rîfcos Gpi* - cî ,sen 9)i i

de 30a:Maf 1. e

f = " Lff Xd + X¿ + X2 - ÜJT

de 33a:

- 95

(pilcos 9 -wF1SenQ)D+2w(x¿-X )Sen2ep1Cos9

-pF2Cos QoD + - X )Sen 29 Cos 9o

D

Arreglando y agrupando términos queda:

91 - i-í2u?(XJ-X )Sen29^ »_a qx

de 28a y 29:

= Xd + Xq 29

1 -t/T1 1- T e a = "

por tanto :

D

a

íP2 1 Xd"Xdf m f

e»t/T¿ Cos 9 -¿JF1Sen 9

- xn)p—2- i^sen 29

plf = -

_

e d

—Y '

Tde v/ M Gos 9

(

u

Reemplazando en la expresión para v, , arreglando

y agrupando términos queda:

- 96 -

o -t/T1fMaf Sen9 e d 2/?Ef

Vbc ~ Lff Ud+X¿+X2)T¡J + D

(X -« Cos

sen 9 - BSen 20

/F j f 9 \L sen Q - BSen^G) + BCos 29 +/?toM «i «Cos 9

\ff / J &f f «*36a

a.5 TORQUE.- Se utiliza la ecuación general dada por

2.3-6 con i A = O

T — v J S f Y f l ' í / ^ ^7o•*• ~ A p \1-^/ P í a

donde i ̂ está dada por la ecuación 33a y jp está dado

por la ecuación 2.20 en vacío sin tomar en cuenta los

términos correspondientes a los devanados de damping.

-Como se puede ver la corriente de armadura iatiene dos componentes que son:

•zE-JS Cos 9 *E-P0 Coa 9o-5 r 1 „. 3 r 229 + X¿

Su composición da la corriente resultante. La corrien-

te de campo a más de estas dos componentes tiene if

que es la corriente de campo en circuito abierto, e

1̂ que es de carácter D*C* que incluye el efecto de

la resistencia de campo (?ig. 34a)*

En las ecuaciones de voltaje y torque existen

- 97 -

las anteriores componentes en forma combinada, por lo

cual se tienen efectos complejos ya que se tiene la

acción conjunta de las distintas resistencias a través

de sus respectivos factores de amortiguamiento.

- 98 -

2.4.2 Caso b«- FALLA FASE -FASE (4, 8)

De igual manera que

el caso anterior to

mando los parámetros

en el sistema^, p,

- 99 -

O pues i0 - i = i,, = O; entonces i¿ = i/3 =0a b c '

epo = "Mafifo Cos (»Q + eot) - /3 c^Lafmifo Coa OV £j

Cos

Al tiempo t = O un instante antes del cortocircuito

el v es: - /? e = - /2 /3 Ef Cos 9Q Ib

La simulacidn del cortocircuito se lo hace apli-

cando a los terminales £, ¿ un voltaje v^ =

Entonces:

+ p(A-BCos

Por principio de superposición el voltaje resul

tante será la suma de Ib + _2b con i^ = O (con-

dicic5n de cortocircuito).

Entonces resulta:

O- + P̂ afifSen * - [Ra **"

PMafífSen ̂ "íRa ~p(A " BG°3 2^llip=

Derivando el miembro de la derecha de la expre

sión anterior para & e i-fo, queda:

Siendo i = O

- 100 -

pMafifS0n 6 -fRa + p(A - B Coa 2&)J i^ = -/3%EfCos O* ¿i

3b

Por otro lado asumiendo v^ = O la ecuación 2.26

queda:

(Rff + pLff)if -pMafSen 9 1 / 3 = 0 4b

Como no existe contacto con tierra no hay efec-

to de la corriente de secuencia cero,

Los coeficientes de 3b y 4b no son constan-

tes y es prácticamente imposible hallar una solución

exacta.

Sin embargo, una solucidn aproximada puede obte-

nerse en aproximaciones sucesivas. Agí?

bl- PRIMERA SOLUCIÓN,- Despreciando todas las resis-

tencias y resolviendo simultáneamente 3b y 4b se tie

ne:

de 4b: p(Lffif - Mñf Sen O i/a) = O

es continuar

=0) enton-

5b

.

para t = O, i =0 y se tiene que L.

por lo cual L^ no tiene significado (

ces k = O e U = MafJff

Sen & i/3'

Reemplaando en 3b

/1 f¿->

P

-i\ ( A - B Cos 2&); ÍA+ M i S e n 0 = 0

Por tanto:

- 101

af Se-;"> • (A - B Cos 29)¡ i& + M -i-. Sen

Para t = O i p = O

Entonces: k = M i Sen O

Por tanto:-.'-. ; t.? ¿.•,\ar^

" i l ¿ x (Sen 9 - Sen 9

A - B Cos 9 - Mg-p 1 - Cos- a*TLff

2 w Mafifo (S&n 6 ~ Sen

. . 2© •*• wL Cos 2&- M M Cos20'•s '•;>,•".,. i-/;-"

Como Maf = ̂ Lefm

entoncesI:-:víu)Mafifo = 2 JT L&fl̂ ifo = 2 fT Bf-.^•--i'- V O V

/ M3 \: w Ld - rf = x, eg la inducl5:ancia transi-

V L f f / d

toria /lí^'ije jd; y X = u) L ; entonces:

2 E f (Sen 0 - Sen

Xdf -f X - Xd* Cos 29 + X Cos 2Q

2 /31 Ef (Sed 9 - Sen £ )-... V 2 6bX.« •*• X - (X, ' - X ) Cos 20u q Q q

- 102

Reemplazando en 5b:

if a 2Sen QQ) Sen 7b

X ' * X. - (X ' - X )Cosd

b.2 SEGUNDA .SOLUCIONA- PRIORA APROXII¿ACION .-

Aplicando las expresiones matemáticas dadas en

apéndice 2 a las ecuaciones 6b y 7b éstas que

dan:

E^

V X

Sen Sen (2n

,1 xd q

o¿?

1 + 2 V (-b)n Cos 2nQ1

8b

3 E. „-ar

•q

1+b Cos

/ MafEf b), na q

Sen O +V1=J

CORRECCIÓN PARA RESISTENCIAS .- SEGUNDA ÁPRQXI-

MACIONy-

Su efecto incluyese .'al multiplicar las series por

coeficientes de amortiguamiento que son funciones

del tiempo»

- 103 -

00

V = Ms) Sen ° +- ¿L(~b)n Sen

- 104 -

Las cinco funciones desconocidas se encuentran

reemplazando 12b en las ecuaciones diferenciales 3b

y 4b expandiendo las funciones trigonométricas e i-

gualando coeficientes correspondientes a ambos lados de

las ecuaciones. Como una segunda aproximación despre-

ciando las resistencias pequeñas de los coeficientes\e los términos armónicos ̂ excepto de las componentes

de corriente continua (D«C).

De este proceso resultan trece ecuaciones condi-

cionales para cinco incógnitas, tomando las cinco que

son independientes y pasándolas al dominio de _ en

función de las transformadas de Laplace, se tiene:

Maf If(a) -~~

+ (A + bB)SJ IH (S) =J

if(s)(ó) - (A+ bB)ip(d_c) (o)

(Rf + SLf ) If(a_x(S) - ̂ M f S lp, * (S) =J- «1. JL •*- \ w / ÍJ Cl J,. 1 \ /

— T í ^ j~i ^~ Ij^»j>lj>/ j ^ \ O /^^^^_„^ v - / _ ««* i ( 0 )i i

Lff Xf(s) (S) - Maf (1 + b> ̂ (d-c) (S) = ° 13b

Lff Tf(2c) (S> - £ If»(B) (S) =0

- 105 -

f(d-c)

* ^-rJí If(2c)eos

Aplicando 12b y resolviendo simultáneamente;

se tiene:

/3'Ef 14b

(Sm

a

Jff

= ,/S5f + Xd " V

s(xd + x2) (xd- . x2)(xd + x2) s +

/ M a f EfJff

(1 + b)"2 ( '

a

Tf(2c)

- 106 -

En las cuales ée ha definido:

^ i - _2« ...a wKâ co a

= constante de tiempo de arma-dura.

v • + yrn 1 Afl A?J-j — U ¿-- mi

U *™ v i v J- jXo

d q

constante de tiempo del circuito de campo*

X = reactancia de secuencia negativa.

Aplicando la transfromacidn inversa de Laplace se tie-

ne:

~ E- Sen 9̂ -t/To'~n A o rt a2 — ÍT e

3Maf Ex

V(s) = 1 , / 1^ IV

= /'S— v ¿i (1 +

= /231!!af rr

- 107 -

Reemplazando 15b en lOb y llb se tiene:

EH 1

Sen & + V(-b)nSen (2n + 1)9 _ Sen 0Q -t/T1fe J —2XT- e

Cos 2n 9 16b

i

- 106 i-

donde :

F f l— y1" '"'• ' y

* 1 . f .**l .L— -. Qí> 1 Y H¿ \d

K X21

h X 2 y) e"7^

20b

G = e u/ia 21b

Las corrientes en términos de fase serán:

Usando las corrientes de falla, para este caso i = O

entonces i, = i>=0: e/i= O; i = - i* o ( b c

Por tanto:

/gEf(FSen Q • G Sen

Xq -

b.4 VOLTAJE EN CIRCUITO ABIERTO..-

El voltaje de la fase en circuito abierto resul

ta más fácil hallar de la siguiente forma:

se tiene que: Vd " Ld*d + Maf^f 2fíb

Vf = Vf + Mafid 24b

Por tanto: v = P + R i 25b

de 25b if = vf " f reemplazando 24bRf

v - + .entonces: i-, =-, Tf B + pLf f

- 109 -

reemplazando en 23b

Rf + pLff Rf + pLf f d

Kf + pLff f Rf+

Como ee indica anteriormente se desprecian las rg.

sistencias de los términos periódicos pero no de las

constantes (de éstos en cambio L- = cte entonces

= O).

Por tanto: fif vf fl

1W ff

Asumiendo que la exitacidn de campo permanece cons.

tante durante el funcionamiento en circuito abierto:

Entonces: otro lado

/TQ = aplicando Cos O Sen

entonces:

- 110 -

Sen O

Aplicando las ecuaciones 1,6*1.1 y como va = /2

se tiene:

? P ~3 UJ

¿ Cos2 d f XQ Sen2 0)1.

Sen 2» X¿ _

¿¿ Ef Cos O

Sen 20) i

26b

Como por el tipo de falla en cuestión i¿ = O;

entonces:

, Cos Q)1 Sen 20 (X̂ - X*Hp +*"" U ti I

üü

de donde:

2wCos Sen EfSen

de 18b:

E,

(Sen QpF

(X

Xq -(

X *(XlQ u X )Cos 29)2q

2í>o(X¿ - Xq)F Sen 2O Sen

-

- 111 -

(Sen &Q p G(X¿ + X -(X¿ - X ) Cos 2©)

(XI + X -(X' - X ) Cos 2602a q a q

- Xq) G Sen 2» Sen

(X¿ + X -(X¿ - X ) Cos 2a)2

/6

Xd + Xq -

Sen OpF +u>FCos & -Sen &opG

2 Q F S e n O - GSen

f P" = X'+X -(X'-X )Co& 2&d a d a

E «(Sen & pF - Sen O p Gi o

+wFCos» - 2£o(Xl-X ) Sen 29a q ir]

de 20b:

PF = . _L

Td'1 -

Xd + X2 J

-t/T¿

Td'- Xd X

de 21b:

pG = --t/r;

I 'aG

- 112 -

Por tanto:

í3 *GSen. wFCos» Sen»~n

Ld

F-

J

20)00391 SenX'+X ~(X'-X )C0s2Qa q d q

GSen9

TT7"

XI + XT. F -

2WÍJXI - X)S e n 2 20 /1 ,.Q . , q i V J.

XI+-X -(Xl-XJCos 2&u u.

ea = 2̂73 (X¿-X ! Cos .-(X¿-X )Cos

SenTd F -

:d-xqíco8Y1 •»- YAd A2

j. Vi T A—

GSen &o + coFCos QT 'a

Sen Q = v 28b

e = v debido a que en circuito abierto no hay caída

en R.

- 113 -

b.5," TQRQUE.- Se utiliza la ecuación general dada en

2.3*6 con i

(̂d-c)* if(s)» (̂20)» los cuales son funciones,

que tienen su valor para t = O, en cambio en a ,3 se

obtienen los coeficientes F., , Pg, cuyo valor para

t = O son 1»

En este caso los componentes de las corrientes

de armadura son:

(FSen 9)

FALLAS ASIMÉTRICAS EN MAQUINAS SINCRÓNICAS · fallas asimÉtricas en maquinas sincrÓnicas tesis...

Documents

Transcript of FALLAS ASIMÉTRICAS EN MAQUINAS SINCRÓNICAS · fallas asimÉtricas en maquinas sincrÓnicas tesis...