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2011FEBRERO 1 (SEPTIEMBRE 2010)

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1. ¿Qué son ángulos alternos?Si dos rectas paralelas soncortadas por una tercerarecta, se forman ochoángulos, los cuales,considerados en pares deigual medida ángular, sedenominan ángulos alternos,clasificados a su vez en:internos y externos, y

ángulos correspondientes, tal y como se refleja en la siguiente figura. En los tres casos, los angulos que sean entre sí alternos internos, alternos externos ocorrespondientes son iguales.

2. ¿Qué son arcos semejantes?Un arco puede considerarse un segmento de un círculo, y en uncírculo se llaman arcos semejantes a los arcos que corresponden aángulos en el centro iguales. En el dibujo, habría 4 arcossemejantes.

3. ¿Qué es el Trópico de Cáncer?Es una línea imaginaria que rodea la tierra delimitando los puntos más septentrionalesen los que el Sol llega a brillar desde el cénit (la vertical del lugar), hecho que ocurre enel solsticio de verano. En el instante del solsticio, los rayos del sol caenperpendicularmente sobre el suelo en la la línea imaginaria que constituye el Trópico deCáncer

4. ¿Qué es un meridiano?Un meridiano es un semicírculo máximo de la esfera terresetre que pasa por los polos.Es una línea imaginaria que se utiliza para determinar la hora y el año. Por extensión sepuede hablar de cualquier esfera, no sólo el planeta.

5. ¿Porqué los rayos del Sol son paralelos?Por la gran distancia que separa el Sol y la Tierra (pag 170)6. ¿Cuáles son los arcos semejantes considerados por Eratóstenes en suargumento?

El arco que forma el ángulo entre el gnomon de Alejandría y su sombra, en el extremodel gnomon, y el arco originado en la superficie de la Tierra por el ángulo formado pordos rectas que llegaran al centro de la Tierra desde Alejandría y Siene.

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1 2

3 4

5 6

87

•ALTERNOS INTERNOS•4-5•3-6

•ALTERNOS EXTERNOS•1-8•2-7

•CORRESPONDIENTES•2-6•4-8•3,7•1-5

90º 90º

90º90º


A

S

Gnomon

sombra

Rayos de sol en el solsticio

α1

α2

r1

r2

• r1 y r2 son paralelas cortadas por r3• α 1 y α 2 son por tanto ángulos alternos internos, es decir, iguales

Arco 1

Arco 2

7. Dibuje un esquema de las rectas y circunferencias consideradas en esteargumento

El de antes puede valer, pero complementamos. En el siguiente dibujo estaría la vistade frente para situar Siene (Asuán) y Alejandría

TRÓPICOCÁNCER

A

S

ECUADOR

A continuación, los situamos sobre la curvatura de la TierraPensando geométricamente (en particular aplicando el principio de los ángulos

alternos internos), Eratóstenesdedujo lo siguiente: si los rayos delSol inciden directamente en Siene,pero en Alejandría hacen un ángulocon la vertical, ese ángulo es igual alque formarían las verticales de lasdos ciudades si las prolongáramoshasta el centro de la Tierra, es decir,es igual a la diferencia de latitudgeográfica entre Siene y Alejandría.

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8. ¿Qué ángulo determina la latitud de una localidad?

La latitud de una localidad es el ángulo de elevación de esalocalidad respecto al Ecuador. Es decir, si trazamos unalínea recta que una esa localidad con el centro de la Tierra,y otra línea recta que una el centro de la tierra con elEcuador, el ángulo que forman ambas líneas sería la latitudde esa localidad.

Suponiendo la Tierra una esfera transparente y unalocalidad P, la longitud sería el ángulo λ.

En el cálculo de Eratóstenes, el ángulo alfa es la diferencia delatitudes entre las dos localidades, Siene y Alejandría,

9. Complete el argumento indicado con puntos suspensivos al final del texto y digacuánto mide el meridiano terrestre

El ángulo alfa es de 1/50 de un círculo, si ese ángulo subtiende un arco de 5000estadios, toda la circunferencia del meridiano medirá cincuenta veces más, es decir,250.000 estadios. No se tienen claro cuanto medía el estadio, pero se estima que unos150 metros, con lo que se obtuvo un valor de 37.500 Km, un 94% del valor actual.

10. Explique la relación entre física y matemáticas en Aristóteles y la evolución dedicha relación en el HelenismoPara Aristóteles el mundo sublunar estaba compuesto por 4 elementos opuestos dos ados, ello implicaba cambio al pasar de un elemento a su opuesto, y por lo tantocorrupción. Este mundo podía interpretarse con la física. En cambio, el mundosupralunar era un mundo de éter, elemento sin contrario y por lo tanto perfecto einmutable, era el mundo donde podía aplicarse la matemática.COMPROBAR Y COMPLETAR CON EL HELENISMO

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1. ¿Qué es un meridiano? F1_2011_P4

2. ¿Qué es el círculo zodiacal?

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El Zodiaco es un sistema astronómico de coordenadas basado en la división en partesiguales de la banda que forman los planetas, el Sol y la Luna con su movimiento propio conrespecto al fondo de estrellas y constelaciones. Estas trayectorias aparentes forman unaestrecha franja del cielo conforme pasa un año. Esta franja está dividida en doce sectoresimaginarios, uno por cada mes del año y cada uno contiene una constelación tradicional a lacual debe su nombre.

El concepto de zodíaco fue originariamente propuesto por los Babilónicos antes del 2000adC como un calendario con el que visualizar el paso del tiempo. La región zodiacal fuedividida en doce partes al igual que aparecen doce lunas cada año.El zodiaco es una banda sobre la esfera celeste que se extiende unos 8 grados a amboslados de la eclíptica por la que se desplazan el Sol y los planetas. Los griegos dividieronesta banda en 12 partes iguales, siendo cada una de ellas un segmento del cielo de unaextensión de 30 grados de arco, bautizadas con el nombre de las 12 constelaciones másdestacadas que veían en cada una de las subdivisiones.

3. ¿Cúanto mide cada una de esas 48 partes en que divide Posidonio el círculozodiacal?El círculo tiene 360 grados, como lo divide en 48 partes, cada parte que coincide con uncuarto de signo zodiacal son 7.5 grados, justo la elevación de Canopus en Alejandría cuandoestá en medio del cielo

4. ¿Por qué no se ve Canopus en la mayor parte de Grecia”?

Porque se encuentra justo en la línea de horizonte de Rodas, que está casi al Sur de Grecia,todo lo que quede al norte de Rodas no verá Canopus.

5. ¿Dónde está Canopus cuando se halla “en el medio del cielo”?Se halla a un cuarto de grado sobre la línea de horizonte de Alejandría, es decir 7,5 gradossobre el horizonte. En Rodas en ese momento estaría justo sobre la línea de horizonte.

6. ¿Por qué los horizontes de Rodas y Alejandría distan 1/48 círculo zodiacal?

El arco del meridiano que separa Rodas de Alejandría está subtendido por un ángulo de 7,5grados, obtenidos a partir de las líneas que conectan Rodas y Alejandría con el centro de laTierra. Como los horizontes son perpendiculares a la superficie de la tierra, obtendríamosel mismo ángulo ya que se trata de líneas perpendiculares entre sí. Por lo tanto loshorizontes tendrían esos 7,5 grados de diferencia, que tal y como se ha comentado en lapregunta 3, sería 1/48 del círculo zodiacal.

8. Dibuje un esquema mostrando los horizontes y el segmento de meridiano entreRodas y Alejandría y muestre porqué éste es igual a la distancia angular de aquéllos

El esquema es el siguiente.

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R

A

7.5º

Canopus

Línea de Horizonte de Alejandría

7.5º

Línea de Horizonte de Rodas

Son iguales porque las líneas que conforman ambos son perpendiculares entre sí. La línea dehorizonte siempre es perpendicular a la línea que une la localidad con el centro de la Tierra.En el dibujo se aprecia con claridad.

9. Rellene los puntos suspensivos con que termina el texto48 veces más, es decir, 240.000 estadios

10. Explique qué opinaba Aristóteles de las relaciones entre matemáticas y físicas;razone si este texto es de matemáticas o de física (está escrito hacia el s I dC) Según Gémino, se trataría de un texto matemático, ya que se encarga de situar los objetosen el espacio, y habla de formas, tamaños y distancias, utilizando herramientas geométricasy aritméticas, que son asunto de la matemática, sin atender a aspectos físicos como lasustancia, la fuerza, la cualidad, la generación

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1. El motor original confiere la capacidad de ser un motor al aire, al agua o a cualquierotra cosa por el estilo que por naturaleza pueda sufrir o comunicar movimiento. Masesta cosa no cesa de impartir y recibir movimiento simultáneamente. Deja de estar enmovimiento en el momento en que su motor deja de moverla, pero sigue siendo unmotor, por lo que causa movimiento a otra contigua, y de ésta se puede decir lo mismo.El movimiento disminuye cuando la fuerza motriz producida en un miembro de la seriede cosas contiguas es cada vez menor; y termina por cesar cuando uno de los miembrosya no hace que el siguiente miembro sea un motor, sino que tan solo lo mueve. Entoncesel movimiento de los dos últimos, uno como motor y otro como móvil, cesasimultáneamente y con ello todo movimiento. (Cuadro 3.5).2. El movimiento en Aristóteles sigue dos principios. El primero de ellos es que nada semueve a sí mismo, pues cuanto se mueve, se mueve por otra cosa, pues no hay efecto sincausa. El concepto de motor inmóvil se introduce para eliminar el regreso infinito. Losmotores inmóviles, que mueven sin moverse, se conciben como acto puro, sin materia, einterpretando su efecto como la pasión o deseo despertado en el móvil, sin que ellossientan ni padezcan.3. Aristóteles concibe un sistema único de esferas de éter incorruptible (el quintoelemento) encajadas unas en otras de manera que cada una de ellas transmita sumovimiento absoluto a la inmediata interna que tiene su eje en ella. Pero el movimientopropio de cada esfera (no transmitido) se debe a su propio motor inmóvil.4. En el movimiento de caída de los graves el motor es el peso, y la resistencia, ladensidad del medio atravesado. De ahí que una piedra que recorra una distancia dadapor el aire y por el agua emplee tiempos que están entre sí como las densidades del airey del agua. Pero el vacío carece de densidad, por lo que el tiempo que se tarda enatravesarlo sería nulo y el cuerpo estará a la vez en la salida y en la meta, lo que esabsurdo.5. Filopón era neoplatónico y cristiano neosofista, siglo VI. Atacó la eternidad delmundo y las doctrinas aristotelizantes al respecto, como la división del cosmos en unmundo terrestre imperfecto y material y otro celeste morado por divinidades astrales.Por ejemplo, la transparencia del éter no habla de su perfección, pues también lo es elaire puro.En el caso de los graves observó que, de hecho, las velocidades no eran como los pesos,cosa que atribuía al retraso producido por el medio. Este aumentaba por igual lostiempos de los diferentes graves, con lo que enturbiaba la relación inversa de los pesosque solo se maniferstaría en el vacío. Esto es, los movimientos no son, según la fórmulaatribuida a Aristóteles, directamente como los pesos e inversamente como la densidaddel medio, algo que además Filopón consideraba difícil de averiguar, sino que son comolos pesos menos el efecto obstaculizador del medio, Por eso el vacío no es absurdo, sinoque es precisamente la condición en la que los movimientos son directamente como lospesos sin nada que empañe esta relación.Filopón no dice tan claramente que los tiempos son inversos de los pesos, sino que diceque el más pesado tarda menos. Para Filopón el peso no es una magnitud aditiva, pues sijuntamos dos piedras de un kilo, obtendremos un cuerpo de algo más de dos kilos, poraquello de que la unión hace la fuerza, idea estoica que explica los fallos dereciprocidad de las reglas aristotélicas.Pero la mayor novedad de Filopón se produjo en el caso de los proyectiles. Algunasfuerzas son entidades inmateriales independientes de los cuerpos, aunque susceptiblesde implantarse en ellos desde fuera. Más tarde, la generalizó a todos los movimientos,por lo que las fuerzas no serán ya tendencias propias de la materia, sino espíritusimplantados en ella por un agente externo.

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Aristóteles explicaba el necesario contacto entre móvil y motor. Filopón dice que elaire no puede mover las piedras, por lo que lo mejor es aplicar la idea aristotélica de losmotores transitorios a los proyectiles mismos

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1. Lo que hace que suba el líquido por el tubo es la presión de la atmósfera sobre lasuperficie, ésta es siempre la misma, por lo que la altura que alcanza el líquidodepende de la altura del tubo. Al inclinar el tubo la altura disminuye, con lo queparte del agua del recipente pasará de nuevo al tubo, es decir, se reabsorberá.

2. La altura que alcanzaría cualquier líquido en este experimento dependería de ladensidad que tuviera dicho líquido. La altura sería tal, que la presión que ejerce laatmósfera sobre la superficie del agua del recipiente sería la misma que la queejerce la columna de líquido, es decir, ambos fluidos estarían en equilibrio.

3. Porque aunque Pascal quería con sus experimentos corroborar la interpretación delvacío, tenía dudas acerca de las hipótesis del peso de la atmósfera. En sus NuevosExperimentos sobre el vacío (1647), de cuyo contenido se ha extraido el texto delexamen, seguía sosteniendo las hipótesis de Galileo y Roberval, porque no habíaprobado aún de manera fehaciente que la causa fuese la atmósfera. Respecto a lasteorías de la luz en aquella época, había dos grandes modelos: el corpuscular deNewton y el ondulatorio de Huygens

4. Horro Vacui. La naturaleza aborrecía el vacío con una fuerza (por unidad de área)igual al peso de una columna de agua de 10,5m. Por encima de esa altura, la columnase quebraba bajo su propio peso porque el horror al vacío ya no era capaz desostenerla. A pesar de que su corresponsal Baliani le sugirió que podía deberse alpeso de la atmósfera, Galileo no estaba dispuesto a pensar que el aire pesara en elaire.

5. Torricelli le dio la razón a Baliani: el peso de la atmósfera presiona sobre unrecipiente de mercurio como una columna de mercurio de 75 cm. Vivimos en elfondo de un mar de aire que presiona hidrostáticamente en todas las direcciones yel peso de la atmósfera se traduce en la presión del aire. El experimento deTorricelli consistió en tomar un tubo de un metro aproximadamente abierto por unextremo. Mediante un embudo se llena de mercurio, se tapa la boca y se inviertesobre un recipiente lleno de mercurio. Al destapar el tubo bajo el mercurio de lacubeta, el mercurio del tubo desciende hasta alcanzar una altura de 75 cm. Laaltura alcanzada por el agua en el experimento de Maignan (10,5m) es a la alturaalcanzada por el mercurio en este (75cm) inversamente como las densidades deambos líquidos, 14:1. Así pues, se supone que la atmósfera pesa o presiona sobre lasuperficie libre del líquido con una fuerza suficiente para sostener la columna demercurio a una altura de 0,75 m o a de el agua a una altura 14 veces mayor.

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FEBRERO 2

1. Ambas aceptan la división al infinito del continuo. Si el espacio y el tiempo sondivisibles al infinito, no puede haber movimiento entre A y B, pues antes derecorrer AB hay que recorrer la mitad, y antes de recorrer la mitad hay que

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recorrer la cuarta parte, pero antes…y así hasta el infinito, por lo que todos esosinfinitos antes hacen que el movimiento no se inicie jamás.

2. Zenón parece pensar que aunque todos esos espacios recorridos decrezcan como laspotencias de 2, llevan todos ellos un tiempo cuya suma es infinita porque hayinfinitos sumandos positivos. Un par de milenios más tardes se vio que esta serietiene un límite, 2, porque la diferencia entre esta y la suma de los n primerostérminos de la sucesión, tiende a cero cuando n tiende a infinito. Y entonces se pasaal límite sin realizar las infinitas sumas que aún quedan, suponiendo que sí serecorren esos espacios en un tiempo finito, que es justamente la hipótesis quetrataba de examinar Zenón

3. La tercera y cuarta aporía parecen mostrar lo absurdo de considerar el continuocompuesto de partes o unidades, como los números los pitagóricos: el tiempocompuesto de momentos o ahoras, y el espacio de lugares. Si lo hacemos, elmovimiento de la flecha es imposible, pues si en cada ahora ocupa un lugar igual a símisma, no se mueve. Al conjunto de los ahoras corresponde un conjunto de losreposos y no un movimiento

4. Dos milenios más tarde se empezó a considerar el movimiento no como un cambioglobal entre dos términos, la salida y la meta, sino como un estado en sí mismo, almargen de cuanto dure, de dónde venga y adónde vaya, cuya intensidad es elcociente de espacios y tiempos cualesquiera, pues aunque estos se tomen tanpequeños como se desee y tiendan a cero, la razón es constante, lo que permitehablar de velocidad en un instante sin duración; el colmo de un eleático.

5. La cuarta aporía parece refutar (en realidad ignoramos las intenciones de Zenón) lacomposición del espacio y el tiempo de indivisibles extensos, como los átomos, puessuponer que hay indivisibles entraña que hay medio indivisible. En efecto, sisuponemos que las ristras de átomos B y C recorren (en sentidos opuestos) unindivisible de espacio (A) en un indivisible temporal, nos encontramos con que Brecorrerá cada uno de los indivisibles espaciales (átomos) de C en medio indivisiblede tiempo, con lo que no era tan indivisible. En resumidas cuentas, la divisibilidad,sea hasta el infinito o hasta átomos indivisibles, lleva al absurdo.

6. ¿Aplica la misma respuesta que 4?7. Parménides, maestro de Zenón, desarrolló un argumento sostenido para defender

que nada cambia y que lo que es, es inmutable.

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FEBRERO 2

El dibujo representa el modelo de Ptolomeo para los planetas exteriores (Cuadro 4.31)1. ¿Qué es el movimiento directo y hacia donde se produce?El movimiento directo es el que realizan hacia desde el Oeste hacia el Este2. ¿Qué es la conjunción?

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La conjunción es3. ¿Qué es la oposición?4. ¿Cuándo es retrógrado el movimiento del planeta?Un movimiento del planeta es retrógrado cuando se mueve de Este a Oeste5. ¿Qué es e?e es lo que se aleja la Tierra del Centro del Deferente, C6. ¿Qué es T?T es la Tierra7. ¿Qué es E y para qué sirve?E es un punto situado sobre la línea de los ápsides a la misma distancia e que hay desdeC a la Tierra, pero del otro lado. Ptolomeo observó que el progreso de D no es uniformecon respecto a su centro C, sino que lo es respecto a E. Se trata del punto ecuanteporque desde él, la línea ED barre ángulos iguales en tiempos iguales.8. ¿Qué es AP, a y P?A es Apogeo (máxima distancia) y P es Perigeo (máxima continuidad), AP es. AP es lalínea de los ápsides, que es la que pasa por la Tierra T y por el centro de la órbita C,separados por la excentricidad e.9. ¿Por qué el radio del epiciclo debe ser paralelo a la dirección al Sol medio?El movimiento D por el deferente representa el movimiento medio del planeta por laeclíptica a lo largo de su año. Pero como este movimiento no es uniforme respecto a laTierra (primera anomalía) esta se aleja del centro del deferente C, lo suficiente (e)para que desde T el planeta recorra los arcos observados en las diferentes partes desu órbita10. ¿Cómo explicaba Copérnico el hecho de que el radio del epiciclo tuviese que ser

paralelo a la dirección al Sol?

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