Fenómenos de Transporte II (2.2011) - Taller 3 - Antiguo # 1
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Problema 1
a) Obtener la solución numérica del ejercicio resuelto analíticamente que se indica:
Ejemplo 15.5 – 1 calentamiento de un líquido en un tanque agitado.
b) Hacer un análisis de exactitud y de convergencia de la solución numérica.
Desarrollo:
a)
Fig. 15.5-1. Calentamiento de un líquido en un tanque con nivel de líquido variable.
Balance de materia:
dmtot
dt=−Δw →
dmtot
dt= w1−w2
d ( ρV )dt
=w1 →∫0
V
dV =w1
ρ∫0
t
dt ⇒ V =w1 t
ρ
Balance de energía:
Como no se pueden establecer valores absolutos para , se elige la temperatura T1 como plano de referencia térmica. Según esto,
Reemplazando en la ecuación 15.5-1, resulta:
ddt
Etot=−Δ [(U+ρ V +12
⟨ v̄3 ⟩⟨ v̄ ⟩
+Φ)w ]+ Q − W
Etot=U tot + K tot + Φtot → ddt
U tot=w H1 + Q (15. 5−1)
U tot y H1
H1=0, ya que
Δ H1=C
pΔT → Δ H
1=C
p(T
1−T
1) → Δ H
1=0
dU tot=d ( ρV C pT )
∫ dU tot=ρV C p∫T1
T
dT → U tot =ρV Cp(T−T 1) con Cp =C v , quedaría
U tot= ρV C v (T−T1 )y Q=U 0 A (T s−T )
ρCp
ddt
V (T−T1)=U
0A(T
s−T ) (15.5−2 )
V ( t )=wtρ
A ( t )=wtρV 0
A0 (15 .5−3,4 )
sustituyendo en ec 15 .5−2 , se obtiene :
U0 A0wtρV 0
(T s−T )=w C p (T−T1 )+w C p t (d (T−T 1 )dt ) (15.5−5)
En la ecuación 15.5-5, es preferible utilizar variables reducidas:
Reemplazando y dejando en función de las variables reducidas, queda:
La ecuación diferencial es de primer orden, así que la solución es:
Finalmente en función de las variables originales el resultado es:
Calculo numérico:
Es fácil comprobar que para los datos del problema el grupo adimensional N = U0 A0/wCp tiene el valor de 2.57. Para este valor, la ecuación 15.5 – 14 conduce a:
T1 = 20º C
Ts = 105º C
Θ =T −T 1
T s−T 1
τ = tt0
= wtρV0
(15 .5−6,7 )
Nτ (1−Θ)=Θ+τdΘdτ
con N=U0 A0 /w Cp (15.5−9)
ecuación diferencial dΘdη
+ (1+1η )Θ=1 (15 .5−10)
condiciones iniciales Θ=0 a η=0
Θ=1−1η
+Cηexpη
con C=1 quedaría la solución final:
Θ=1−1−exp(−η )η
(15 . 5−13)
( T0−T
1
T s−T1)=1−
1−exp(−U0 A0 /w { Cp )U0 A0 /w { Cp
¿ (15 . 5−14 )¿
De donde T0 = 74.5º C
Conclusión:
Se logro de buena manera obtener lo pedido en el desarrollo tanto analítico como numérico (se llego a las mismas soluciones obtenidas en el libro). A partir de los diferentes balances macroscópicos aplicados se llega a la solución la cual tiene una ecuación diferencial de primer orden, la que es desarrollada mediante el manual de formulas matemáticas y tablas matemáticas. Mediante la exposición del problema, realizada por el grupo, se logro entender de mejor manera los fenómenos físicos que ocurrían en el tanque.
T0−T 1
T s−T1
=0.640
F
F0
F
En los siguientes ejercicios, resolver significa obtener la respuesta dinámica del proceso para perturbaciones salto, pulso y rampa.
Problema 2: Obtenga un simulador que resuelva el Example 2 – 9 (pag. 30). Example 4 – 2 (pag. 104)
El sistema del tanque esta descrito por la gravedad que fluye en la grieta. Esto proporciona el
ejemplo simple del uso de las ecuaciones de movimiento del sistema macroscópico.
Refiriéndose a la fig 1-1, deja la longitud de la línea de la salida que es L (ft) y su área
transversal Ap (ft2). El tanque cilíndrico vertical, tiene un área de sección transversal AT (ft2).
Parte de este proceso esta descrito por un equilibrio de fuerza donde el líquido que atraviesa el
tanque. Tendrá una masa igual al volumen de la cañería (ApL) por la densidad del líquido (ρ).
Esta masa del líquido es igual a la velocidad v (ft / seg) que es el flujo volumétrico dividido por
el área sección transversa del reactor. Recuerde que se asumió: el líquido es incompresible y por
lo tanto todo el líquido se está moviendo en la misma velocidad, más o menos como una barra
sólida. Si el flujo es turbulento, esto no es una mala suposición.
La cantidad de líquido en la cañería no cambia con el tiempo, pero si deseamos cambiar el índice de la salida, la velocidad del líquido debe ser cambiada. Y para cambiar la velocidad o el ímpetu del líquido debemos ejercer una fuerza en el líquido.
Desarrollo:
Fluido incompresible.
Subsistemas: 2 (contenido del tanque, contenido de la cañería)
Fases por cada subsistema: 1, liquida
Subsistema 1:
Balance macroscópico de masa
- No hay balance de cantidad de movimiento (mucho volumen que baja, poca velocidad).
- No hay balance de energía (es isotérmico).
Subsistema 2
dmtot
dt=−Δw →
dmtot
dt= w1−w2
d ( ρV )dt
=ρF 0−ρF ⇒ V=AT h
AT dh¿dt ¿¿
=F0−F ¿dhdt
=F0
AT
−A p v
AT
¿¿
dmtot
dt=−Δw →
dmtot
dt= w2−w3
d ( ρV p )dt
=ρF2−ρF3
F2=F3=F
Balance de cantidad de movimiento:
Perturbación salto:
Solución: Tanque flujo gravedad
Señal de entrada perturbación pulso:
Q( t ) t
200 0
200 5
210 5,00001
210 10
200 10,00001
d Ptot
dt=ρ2 v2
2S 2 −ρ3 v32S3+ {P2S2−P3S3 }− {F }+{mtot }
Ptot=A p∗L∗ρ∗v
P2=Patm+PcolumnaH 2 O
P3 =Palignl¿atm ¿¿
¿v2 =v3 ¿ A p Lρdvdt
=ρv2 Ap−ρv3 A p+P2 S2−P3 S3−F+mtot g ¿ Ap Lρdvdt
=A p(Patm+ρ gh−Patm )−F ¿ F=2π RL (1/2) ρv2 f ¿ K f =2πR(1 /2 )ρf =πRρf ¿ Ap Lρdvdt
=A p( ρ gh )−Lv2 K f gc
¿Ap Lρ
gc
dvdt
=Ap ρ gh
gc
−Lv2 K f (gc
A p , L , ρ) ¿ dvdt
=ghL
−v2 K f gc
A p ρ¿ ¿¿
Perturbacion pulso
198
200
202
204
206
208
210
212
0 2 4 6 8 10 12
t (seg)
Q (
ft3/
seg
)
Señal de salida perturbación pulso:
Perturbación
Perturbación Salto(1)/Tabla(2):
Q(t) = 200 (ft3/seg)
Condiciones Iniciales
Tiempo 0
X28,3
3
Parámetros
Delta 0,001
Cte.tpo. τp = 1
Tiempo final
600 (seg)
Salto(1)/Tabla(2):
Q(t) =
200 (f
t3/seg)
Valor de X v/s Tiempo
28,33
28,33
28,34
28,34
28,35
28,35
28,36
28,36
28,37
28,37
0,00 100,00 200,00 300,00 400,00 500,00 600,00 700,00TIEMPO
VA
LO
R D
E X
Señal de entrada perturbación salto:
Q( t ) t
40 0
40 5
40 5,0001
40 10
40 10,0001
Perturbacion salto
05
1015202530354045
0 2 4 6 8 10 12
t (seg)
Q (
ft3/
seg
)
Señal de salida perturbación salto:
Condiciones iniciales
Tiempo 0 (seg)
X 4,97 (ft/seg)
Parametros
DELTA 0,001
Cte.tpo. τp = 1
Perturbación Salto(1)/Tabla(2): 1
Q(t) = 40 ft3/seg
Tiempo final
600 (seg)
Valor de X v/s Tiempo
4,905,005,105,205,305,405,505,605,705,805,90
0,00 100,00 200,00 300,00 400,00 500,00 600,00 700,00TIEMPO
VA
LO
R D
E X
Señal de entrada perturbación rampa:
Señal de salida perturbación rampa:
Condiciones iniciales
Tiempo 0 7 (seg)
X 28,33 (ft/seg)
Q t
0 0
200 1
400 2
1000 5
2000 10
Perturbación Salto(1)/Tabla(2): 2
Q(t) = 200 ft3/seg
Parametros
DELTA 0,001
Cte.tpo. τp = 1
Tiempo final
25000 (seg)
Valor de X v/s Tiempo
0,00
50,00
100,00
150,00
200,00
250,00
300,00
0,00 2000,00 4000,00 6000,00 8000,00 10000,00 12000,00TIEMPO
VA
LO
R D
E X
UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL NORTE
FACULTAD DE INGENIERÍA Y CIENCIAS GEOLÓGICAS
DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA CIVIL QUÍMICA
TALLER Nº 3
“Fenómenos de Transporte II”
(IQ-813)
Asignatura: Fenómenos de Transporte II
Profesor: Abel Reinoso Ferrera.
Alumnos: Marcela Morata.
Manuel Villar Sarria.
Grupo 2
RESUMEN.
El siguiente informe, contiene la resolución de 3 ejercicios los cuales emplean la teoría de los balances macroscópicos para sistemas isotérmicos, no isotérmicos y en sistemas de varios componentes (capítulo 7, 15 y 22 respectivamente del texto fenómenos de transporte, Bird).
El primer ejercicio muestra la solución numérica del ejemplo 15.5 - 1, del texto guía Bird (fenómenos de transporte), del cual se tiene la solución analítica. En los siguientes ejercicios, se muestran las respuestas dinámicas del proceso para: perturbaciones salto, pulso y rampa. Se muestran gráficos, que reflejan las respuestas dinámicas obtenidas mediante el simulador realizado por el grupo. Estos gráficos validan los resultados obtenidos.
INTRODUCCION
En el siguiente informe se abarcan ejercicios aplicados a los contendidos de los capítulos 7, 15 y 22 del texto guía Bird, en los cuales se presenta la teoría para diferentes balances macroscópicos ya sea para sistemas isotérmicos, no isotérmicos y para sistemas de varios componentes.
Se realiza una resolución numérica del ejercicio 15.5 – 1, calentamiento de un líquido en un tanque agitado, que se encuentra en el del texto guía, el cual nos entrega una respuesta desarrollada de forma analítica. Este ejercicio es parte de la teoría de los balances macroscópicos en sistemas no isotérmicos.
Finalmente, aplicando la teoría mencionada anteriormente, se desarrollan ejercicios mediante un simulador el cual nos entrega una respuesta dinámica del proceso para perturbaciones salto, pulso y rampa.