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1
Prof.: David Becerra Rojas
PROBABILIDADES
Prof.: David Becerra Rojas
CONCEPTOS BÁSICOS
1. Experimento: Proceso de realizar una
observación o una medición.
2. Experimento Aleatorio ( E ): Experimento en
que son posibles más de un resultado, los cuales
pueden ser indicados con anterioridad, y se
puede repetir muchas veces bajo las mismas
condiciones
3. Espacio Muestral ( S ): Conjunto de todos los
posibles resultados de un experimento aleatorio.
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Ejemplos de Espacio Muestral:
E1: Se lanza un dado y se cuenta el número de
puntos que aparecen en la cara superior.
S1: { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 }
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Prof.: David Becerra Rojas
Ejemplos de Espacio Muestral:
E2: Se lanza una moneda 4 veces y se cuenta
el número de sellos obtenidos.
S2: { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 }
Prof.: David Becerra Rojas
Ejemplos de Espacio Muestral:
E3: Se enciende una ampolleta y se anota el
tiempo que transcurre hasta que se quema.
S3: { t Є |R / t > 0 }
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Ejemplos de Espacio Muestral:
E4: Se lanza una moneda dos veces, se
registra el signo que aparece.
S4: { CC , CS , SC , SS }
3
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Ejemplos de Espacio Muestral:
E5: Salen artículos en una línea de producción.
Se cuenta el número de artículos defectuosos
producidos.
S5: {0, 1 , 2, 3, 4, . . . . . . n }
n: Total de artículos producidos
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Ejemplos de Espacio Muestral:
E6: Una caja contiene 10 fichas, de las cuales 3 son
verdes. Se extrae al azar una ficha después de
otra y se cuenta el número de fichas sacadas de la
caja , después de haber obtenido:
a.- La última ficha verdeS6a= { 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
S6b= { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
b.- La primera ficha verde
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SUCESO Ó EVENTO
Sea E un Experimento y sea S un espacio
muestral asociado a E, entonces A es un
suceso si y solo si A se define como un
conjunto de posibles resultados del
experimento aleatorio, es decir un
subconjunto del espacio muestral S.
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Observación:
1.- Sean A y B dos suceso asociados a un mismo
experimento E , entonces:
A B: Es un nuevo suceso que ocurre si y solo si
ocurre A , ocurre B o ambos.
A B: Es un nuevo suceso que ocurre si y solo si
ocurre A y ocurre B.
2.- Sean A1, A2,.......Ak, sucesos asociados a un
mismo experimento, entonces:
A1 A2 .… Ak: Es un nuevo suceso que ocurre
si y solo si ocurre al menos un Ai.
A1 A2 ..... Ak: Es un nuevo suceso que ocurre
si y solo si ocurren todo los Ai a la vez.
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SUCESOS MUTUAMENTE
EXCLUYENTES(SME)
Sean A y B dos sucesos asociados a un
mismo espacio muestral S, se dice A y B
son sucesos Mutuamente excluyentes si no
pueden ocurrir ambos a la vez. Es decir si la
intersección es vacía .
Si A B = A y B son SME
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FRECUENCIA RELATIVA
Sea E un experimento, y sea A un suceso asociado
a E. Supongamos que el experimento E se realiza
n veces, y que nA son las veces que ocurre el
suceso A, entonces se define Frecuencia
Relativa al suceso A como:
n
nf A
A
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FRECUENCIA RELATIVA
Propiedades:
1.- 0 ƒA 1
2.- ƒA = 1 Si cada vez que se realiza el
experimento ocurre A.
3.- ƒA = 0 Si A nunca ocurre.
4.- Sean A, B SME , entonces ƒAUB = ƒA +ƒB
e.d. Si A B = ƒAUB = ƒA +ƒB
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FRECUENCIA RELATIVA
Propiedades:
5.- Si E se repite muchas veces, digamos
infinitas, entonces ƒA tiende a la
probabilidad de A ( P(A) )
ƒA P(A) n
Intuitivo
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Probabilidad
Definición:
Sea E un experimento y sea S un espacio
muestral asociado a E, entonces a todo suceso
A, le asociaremos un número P(A), que
llamaremos, la probabilidad de que el suceso
A ocurra, y que tiene las siguientes
propiedades:
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Propiedades:
1. 0 P(A) 1
2. P(S) = 1
3. Sean A, B SME , es decir
A B = P(A B) = P(A) + P(B)
4. Sean A1, A2,...Ak SME de a pares, entonces:
P(A1 ….. Ak) = P(A1)+....+P(Ak)
ó P( Ai ) = P(Ai )
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Teoremas Básicos:
1.- P() = 0
2.- Si A es el suceso complementario de A,
entonces: P(A) = 1 – P(A)
3.- Si A B entonces P(A) P(B)
4.- Sean A y B sucesos cualesquiera,
entonces:
P(A B) = P(A) + P(B) - P(AB)
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Teoremas Básicos:
5.- Sean A, B, C sucesos cualesquiera,
entonces:
P(ABC) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A B) - P(A C) - P(B C) + P( A B C )
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Ejercicio 1
Sea ; P( A ) = x
P( B ) = y
P( AB ) = z
Determine:
_1.- P( A B ) =
_ _
2.- P ( A B ) =
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Ejercicio 2
Sea ;
P(A)=P(B)=P ( C ) = ¼ , P(AB)= P(AC)= 1/8 y
P(BC)= 0 , Determine: P(A B C)=
Respuesta: Según Teo. 5 , Tenemos:
P(ABC) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A B) - P(A C) - P(B C) + P( A B C )
Luego;
P( A B C ) = 1/4 + 1/4 + 1/4 – 1/8 - 1/8 – 0 + 0 = 1/2
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A B
C
S
1/4 1/4
1/4
1/8
1/8
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Espacios Muestrales Finitos
Sea E un experimento y sea S = { s1,s2,....sk } un
espacio muestral finito, entonces, a cada suceso de la
forma si = {si } : lo llamaremos suceso elemental.
(el formado por un solo elemento), y le asociaremos
un número pi, que llamaremos, la probabilidad que el
suceso {si} ocurra ( pi=P({si}) ) y que cumple con las
Siguientes condiciones:
1.- pi 0 i= 1,2,......k
2.- pi = 1
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Espacios Muestrales Finitos
Sea A S un suceso cualesquiera talque:
A={s1 , s2 ,----, sr} ; r k
luego;
A = {s1 } {s2 } ---- {sr }
P(A) = P(s1) + P(s2) + --- + P(sr)
por lo tanto; P(A) = p1 + p2 + ----- + pr Prp. 4
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Espacios Muestrales Finitos
Ejemplo:
Supongamos que solo son posibles 3
resultados en un experimento aleatorio, de
tal manera que S = {s1, s2, s3}. Supongamos
además que la ocurrencia de s1, es dos veces
más probable que s2, y que s2 es dos veces más
probable que s3.¿ cuál es el valor de p1, p2 y p3?
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Sea P({si}) = pi i, i = 1,2,3
Tenemos que : p1 = 2p2
p2 = 2p3
Luego p1 = 2(2p3) = 4p3
Pero p1 + p2 + p3 = 1
por lo tanto:
4p3 + 2p3 + p3 = 1
luego:
p3 = 1/7 , p2 = 2/7 , p1 = 4/7
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Sucesos Equiprobables
Dos sucesos se dicen que son equiprobables
si tienen igual probabilidad.
Sea S= {s1,s2,------sk} y
sea p1,p2,....,pk sus probabilidades
respectivas, si los sucesos elementales son
equiprobables.
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Puesto que:
Si S = { s1,s2,......sk}, y como los {si} son
equiprobables entonces, p1= p2 = ......= pk = p
Luego como:
k
i
k
i
ik
pkppp1 1
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Sucesos Equiprobables
De igual manera si A es un suceso cualesquiera tal que:
A = {s1,s2,------sr}
Donde, p1,p2,....,pr sus probabilidades respectivas, y
equiprobables entonces:
P(A) = p1 + p2 + - - - - - + pr = r p
y como p = 1/k , entonces:
P(A) = r / k
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Sucesos Equiprobables
Observación:
Si S es un espacio muestral, donde sus
sucesos elementales son equiprobables y
A S entonces:
P(A) = #A / #S = r / k
#A: Números de elementos que tiene A y se
lee el cardinal de A.
(Casos favorables/Casos Posibles)
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Ejemplo
Sea E : se lanza un dado equilibrado y se cuenta el número
de puntos que aparecen en la cara superior. Determine:
a.- El espacio muestral
b.- Sea A: sale un número par
B: sale el dos o el tres
Determine:
_ _
P(A) , P(B) , P(AB) , P(AB)
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1.- El espacio muestral es : S = { 1,2,3,4,5,6}
2.- A = { 2,4,6 } Luego #A = 3
B = { 2,3} Luego #B = 2
Por lo tanto ;
P(A) = 3/6 = 1/2 P(B) = 2/6 = 1/3_
P(A B) =
_
P(A B) = 5/6
2/6 = 1/3
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Métodos de Enumeración
1.- Principio de Adición: ( Regla del o )
E1 n1
E2 n2
} E1 o E2 n1+n2
Ejemplo:
P Q
Valpso. Stgo.
E1:Aéreo
E2:Tierra
Luego: n1 + n2
Avión
Helicóptero
Bus
Auto
Moto
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Métodos de Enumeración
2.- Principio de Multiplicación: ( Regla del y )
E1 n1
E2 n2
} E1 y E2 n1 x n2
Ejemplo:
P Q
Chile Europa
R
Brasil
E1:n1
E2:n2Luego: n1 x n2
A
M
T
M
A
A
MA
M
Diagrama del Árbol
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Métodos de Enumeración
3.- Permutación:
Si tenemos n objetos distintos, y queremos
ordenarlos tomando r de ellos. El número de
formas de hacer esta operación, esta dado por:
)!(
!
rn
nP
n
r
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Métodos de Enumeración
4.- Combinación:
Si tenemos n objetos y queremos escoger r de ellos
sin que nos importe el orden. El número de maneras
de hacer esta operación, esta dado por:
!)!*(
!
rrn
nC
n
r
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Métodos de Enumeración
Observación:
1.- n! : Se lee n-factorial, y esta dado por:
n! = n x (n-1) x (n-2) x ......x 3 x 2 x1
= n x (n-1)!
2.- 0! = 1
Ejemplo : 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120
= 5 x 4! = 120
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Ejercicio
1.-Supongamos que una oficina cuenta con 18 personas; determine:
a.- ¿Cuántas comisiones de 3 se pueden formar?
b.-¿Cuántas directivas con un presidente, un secretario y un tesorero, se pueden formar?
c.- Si en la oficina hay 10 mujeres.
c1.- ¿Cuántas comisiones de 3 persona se pueden formar,
cuando debe haber una mujer por lo menos?
c2.- ¿Cuántas directivas de 3 personas se puede formar, si
solo una mujer puede pertenecer?
Prof.: David Becerra Rojas
Tarea Nº__
1.-Demostrar:
a.-
b.-
n
rn
n
r CC
11
1
n
r
n
r
n
r CCC
2.- Si en una oficina de 15 persona 8 son mujeres, y se eligen
al azar 4 para un trabajo. ¿Cual es la probabilidad de que:
a.- dos sean mujeres?
b.- al menos dos sean mujeres?
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Ejemplo:
Se lanza una moneda dos veces, se registra el
signo que aparece; determine:
1.- El espacio muestral S.
2.- La probabilidad de que salga a lo menos un sello.
3.- La probabilidad de que salgan más caras que sello.
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Ejercicio
Una oficina cuenta con 18 personas, 10 de ellas
mujeres. Se seleccionan al azar dos, una después
de otra, y se clasifican según el sexo. Determine:
a.- El espacio muestral
b.- La probabilidad de que, al menos una sea mujer
c.- La probabilidad de que, hallan mas hombres que
mujeres.
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Probabilidad Condicional
Supongamos que tenemos 100 artículos, 20de ellos defectuosos. Se escogen al azar 2, uno después del otro, y se definen los siguientes eventos:
A = el primer artículo es defectuoso B = el segundo artículo es defectuoso.
Determinar la probabilidad de A y B cuando el experimento se realiza: a.- con devolución b.- sin devolución.
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a.- Con devolución:
P(A) = 20/100 = 1/5
P(B) = 20/100 = 1/5
b.- Sin devolución:
P(A) = 20/100 = 1/5
P(B) =19/99 si ocurrió A_
20/99 si ocurrió A{
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Probabilidad Condicional
Notación:
P(B/A): Probabilidad de B dado que
ocurrió el suceso A.
En nuestro caso:
_
P(B/A) = 19/99 y P(B/A) = 20/99
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Probabilidad Condicional
Ejemplo: Se lanza un dado dos veces, el evento se
anota ( X1 , X2 ) donde, Xi es el resultado del
lanzamiento i ( i = 1,2):
1.- Determine: El espacio muestral S
Si se definen: A = {(X1 , X2) / X1 + X2 =8 }
B = {(X1 , X2) / X1 > X2 }
2.- Determine:
P(A), P(B), P(A B), P( B/A), P(A/B)
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1.- S = { (1,1) ; (1,2) ; ..........; (1,6)
(2,1) ; (2,2) ;...........; (2,6)
-----------------------------
(6,1) ; (6,2) ;...........; (6,6) }
2.- A = {(2,6);(3,5);(4,4);(5,3);(6,2)} #A = 5
B = {(2,1)
(3,1);(3,2)
(4,1);(4,2);(4,3) #B = 15
(5,1);(5,2) (5,3);(5,4)
(6,1);(6,2);(6,3);(6,4),(6,5)}
Luego #S = 36
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Por lo tanto: P(A) = 5 / 36
P(B) = 15 / 36 = 5 / 12
Luego P(B/A) = 2 / 5 P(A/B) = 2 / 15
P(A B) = 2 / 36 = 1 / 18
Observemos que:
P(B/A) x P(A) = 1/18
P(A/B) x P(B) = 1/18
P(A B)} =
y como: (A B) = {(5,3);(6,2)} # (A B) = 2
Prof.: David Becerra Rojas
Probabilidad Condicional
Definición:
)(
)()/(
BP
BAPBAP
)(
)()/(
AP
BAPABP
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Ejemplo:
Supongamos que en una oficina hay 100 computadores
personales, 40 conectados a Internet, de los cuales solo 14
tienen lector de disco compacto (CD), el total de
computadores con (CD) es de 30. Se extrae uno del
total de computadores al azar determine la probabilidad
de que:
1.- este conectado a Internet.
2.- tenga lector de CD y este conectado a Internet
3.- si esta conectado a Internet, tenga lector de CD.
4.- si se extraen al azar 4 computadores,¿ cuál es la
probabilidad de que al menos dos tengan CD ?
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Prof.: David Becerra Rojas
Desarrollo:
Sea A = El computador esta conectado a Internet.
B = El computador tiene lector de CD.
Luego tenemos:
A A Total
B 14 16 30
B 26 44 70
Total 40 60 100
Luego; 1.- P(A) = 40 / 100 = 2/5
2.- P(A 7
3.- P( B/A) = 14 / 40 = 7/20
Prof.: David Becerra Rojas
Ejemplo 2:
De una caja que originalmente contiene
2 fichas azules y una ficha blanca, se extraen tres
al azar, en cada extracción, se saca una, se registra
el color y luego se devuelve a la caja junto con dos
fichas del mismo color. Calcule la probabilidad
de que:
a.- Se obtengan dos fichas azules si hay al menos
una ficha blanca.
b.- Solo dos fichas sean blancas.
c.- Al menos dos fichas sean azules.
Prof.: David Becerra Rojas
Sea A: la ficha es azul
B: la ficha es blanca.
A
B
2/3
1/3
Diagrama del Árbol
S = {AAA ,AAB, ABA, BAA, ABB, BAB, BBA, BBB}
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
4/5
1/5
2/5
3/5
6/7
1/7
4/7
4/7
3/7
3/7
2/7
5/7
2 A
1 B
18
Prof.: David Becerra Rojas
a.- Se obtengan dos fichas azules si hay al menos
una ficha blanca.
b.- Solo dos fichas sean blancas.
c.- Al menos dos fichas sean azules.
a.- ( 2/3 x 4/5 x 1/7 ) + ( 2/3 x 1/5 x 4/7 ) + ( 1/3 x 2/5 x 4/7 ) =
8 /105 + 8/105 + 8/105 = 24 / 105=8/35
b.- ( 2/3 x 1/5 x 3/7 ) + (1/3 x 2/5 x 3/7 ) + ( 1/3 x 3/5 x 2/7 ) =
6/105 + 6/105 + 6/105 = 18 / 105=6/35
c.- ( 2/3 x 4/5 x 1/7 ) + ( 2/3 x 1/5 x 4/7 ) + ( 1/3 x 2/5 x 4/7 ) +
(2/3 x 4/5 x 6/7 ) = 8/105 + 8/105 + 8/105 + 48/105 = 72 / 105
= 24/35
Prof.: David Becerra Rojas
Definición: Sean B1,B2,......Bk sucesos asociados
a un espacio muestral S. Si se cumplen
las siguientes condiciones:
i.- Bij = i j = 1,2,...,k
ii.- Bi = S
iii.- P( Bi ) 0 i ; i = 1,2,...,k
Entonces diremos que B1,B2,....Bk forman
una Partición del espacio muestral S
Prof.: David Becerra Rojas
Sea A un suceso asociado a un espacio muestral S
y si B1,B2,....Bk una partición de S:
Luego A = (A1) (A) ........... (A)
aún cuando algún A i = i i = 1,2,...,k por lo tanto
P(A) = P((A1) (A) ..... (A))
nos queda
P(A) = P(A1) + P(A2)+....................+ P (A)
Como;
Luego tenemos;P(A) = P(A/1) x P(B1) + P(A/) x P(B2) +......+ P(A/k) x P(Bk)
Esto se conoce como, Teorema de Probabilidad Total
)(
)()/(
BP
BAPBAP
)(*)/()( BPBAPBAP
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El Teorema de Probabilidad Total también se puede
Escribir como:
k
i
ii BPBAPAP1
)(*)/()(
Prof.: David Becerra Rojas
Ejemplo:
Cierto artículo es manufacturado por tres fábricas: F1, F2, F3.
Se sabe que la F1, produce el doble de artículos que F2 y que esta
y F3, producen el mismo número de artículos.
También se sabe que el 2% de los artículos producidos por cada una
de las dos primeras (F1 y F2), son defectuosos, mientras que el 4%
de los producidos por F3, es defectuoso. Se ponen todos los artículos
juntos, de las tres fábricas, y se elige uno al azar ; Determine:
1. Cuál es la probabilidad de que el artículo escogido sea defectuoso?
2. Si el artículo escogido es defectuoso, ¿Cuál es la probabilidad de
que sea de F1 ?
Prof.: David Becerra Rojas
Sean los siguientes sucesos:
A = { el artículo es defectuoso}
Bi = { el artículo proviene de la Fi } i = 1, 2, 3
Luego tenemos: B1 B2
B3
P(A) = P( (A1) (A) (A) )
A
S
= P(A/B1) P(B1) + P (A/B2) P(B2) + P (A/B3) P(B3)
20
Prof.: David Becerra Rojas
Sea ni: número de artículos que produce la Fi
y n = n1 + n2 + n3
Por lo tanto como :
n1 = 2 n2
n2 = n3
entonces
n1 = 2 n3
y poniendo todo en función de n3, tenemos:
n = 2 n3 + n3 + n3 = 4 n3
Luego P(B1) = n1/n = 2n3 / 4 n3 = 1/2
P(B2) = n2/n = n3 / 4 n3 = 1/4
P(B3) = n3/n = n3 / 4 n3 = 1/4
Prof.: David Becerra Rojas
Por otro lado tenemos:
P(A/B1) = 0.02
P(A/B2) = 0.02
P(A/B3) = 0.04
Por lo tanto:
P(A) = P(A/B1) P(B1) + P (A/B2) P(B2) + P (A/B3) P(B3)
= 0.02 x 1/2 + 0.02 x 1/4 + 0.04 x 1/4 = 1/40 =0.025
y 2.- la probabilidad de que sea de la F1 dado que es defectuoso será
P(B1) = ½
P(B2) = ¼
P(B3) = ¼
Prof.: David Becerra Rojas
Podemos decir que:
3
1
111
)(*)/(
)(*)/()/(
j
jj BPBAP
BPBAPABP
4.0
4/1*04.04/1*02.02/1*02.0
5.0*02.0)/1(
ABP
21
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Generalizando tenemos:
Sea E un experimento, S un espacio muestral, B1….Bk.
una partición de S, y A un suceso cualesquiera, Entonces:
ki
BPBAP
BPBAPABP
k
j
jj
iii ...1;
)(*)/(
)(*)/()/(
1
Esto se conoce como Teorema de Bayes
Prof.: David Becerra Rojas
Sucesos Independientes
Sean A y B dos sucesos asociados a un espacio muestral S
Diremos que son Independientes, cuando la ocurrencia de
uno no afecta la ocurrencia del otro.
A y B son sucesos Independientes, si y solo si
)()/(
)()/(
BPABP
APBAP
Prof.: David Becerra Rojas
Ejercicio
1. Si A está incluido en B, entonces B es
independiente de A?
2. Si A y B son sucesos Mutuamente
Excluyentes, entonces son
Independientes?
22
Prof.: David Becerra Rojas
Sucesos Independientes
Ejemplo: Se lanza un dado dos veces, el evento se
anota ( X1 , X2 ) donde, Xi es el resultado del
lanzamiento i ( i = 1,2):
Si se definen: A = {(X1 , X2) / X1 es par }
B = {(X1 , X2) / X2 es 4 o 5 }
2.- Determine:
P(A), P(B), P(A B), P( B/A), P(A/B)
Prof.: David Becerra Rojas
A = { (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6)
(4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6)
(6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6) }
#A=18
B={(1,4), (1,5)
(2,4), (2,5)
(3,4), (3,5)
(4,4), (4,5)
(5,4), (5,5)
(6,4), (6,5) }
#B=12
P(A)= #A / #S = 18/ 36 = 1/2
Sabemos que el #S = 36
P(B) = #B / #S = 12 / 36 = 1/3
AB = {(2,4), (2,5)
(4,4), (4,5)
(6,4), (6,5) }
# AB = 6P(AB ) = # AB /#S = 6 / 36 = 1/6
2/13/1
6/1
)(
)()/(
BP
BAPBAP
3/12/1
6/1
)(
)()/(
AP
BAPABP
)(*)()( BPAPBAP )(AP
)(BP
Prof.: David Becerra Rojas
Definición
Sean A y B dos sucesos asociados a un espacio muestral S
Diremos que son Independientes si y solo si:
)(*)()( BPAPBAP
23
Prof.: David Becerra Rojas
Suponga que 192 de 960 trabajos en una universidad son de alta
prioridad; de éstos, 128 son propuestos por estudiantes. y 64 por
el cuerpo docente. Del total, 640 trabajos son de los estudiantes y
320 de docentes. Si se selecciona un trabajo al azar. Determine:
a.- La probabilidad de que sea de alta prioridad y propuesto por
un estudiante.
b.-La probabilidad de que sea de alta prioridad, dado que
sabemos que fue propuesto por un estudiante.
c.- Es Independiente que el trabajo sea de alta prioridad, con que
sea propuesto por un estudiante?
Ejercicio:
Prof.: David Becerra Rojas
R Q
Ejercicio
Supongamos que la probabilidad de que un
relé se cierra independientemente, es de p.
Determine la probabilidad de que la corriente pase de R a Q
1
2
3
4
Prof.: David Becerra Rojas
Ejercicio
Tres agencias de aduanas A, B y C pretenden
exportar 5.000 cajas de manzanas cada una. Se
sabe que 1/5 de las cajas de A, y 1/4 de las de
B, están en mal estado. Se juntan todas las
cajas ( de las tres agencias) , se selecciona una y
se observa que está en mal estado, ¿Cuál es la
probabilidad que sea de la agencia A?.
24
Prof.: David Becerra Rojas
Ejercicio
La probabilidad de que un vehículo tenga un accidente en
Santiago es de 4/9, y la probabilidad de que un vehículo
tengan accidente en Buenos Aires es 8/15. Se elijen al azar un
Vehículo simultáneamente en cada ciudad, determine la probabilidad
de que tengan accidentes:
a.- Ambos
b.- Al menos uno
c.- Solo el de Buenos Aires
d.- Solo uno
Prof.: David Becerra Rojas
Ejercicio
Si A y B son sucesos Independientes,
entonces, ¿A y B son Independientes?
Prof.: David Becerra Rojas
F I N
Nos vemos en Variables Aleatorias