ANALISIS Y DISEÑO DEL FILTROS DIGITALES

Señales y Sistemas

ESTRUCTURA DE PROCESADORES DIGITALES Realización de Forma Directa.

La forma general de la función de transferencia al pulso unitario para sistemas discretos es:

Que corresponde a la ecuación de diferencias:

Y se puede realizar con la siguiente estructura

jm

j

ij

r

i

ii

zK

zL

zXzYzH

1

0

1)()()(

m

jj

r

ii jTnTyKiTnTxLnTy

10

)()()(

Forma Directa I

H1(z) H2(z)

1Y(Z)

1/zUnit Delay1

z

1Unit Delay r

z

1Unit Delay m

z

1Unit Delay 3

z

1Unit Delay 2

z

1Unit Delay

Sum ofElements1

Sum ofElements

Lr

Lr

L2

L2

L1

L1

Lo

L0

-Km

Km

-K2

K2

-K1

K1

1

X(z)

Los bloques etiquetados 1/z o z-1 representan el almacenamiento de una muestra para un periodo de muestreo T.

Esta implementación requiere r+m retardos unitarios. Este requerimiento puede ser reducido en muchas aplicaciones definiendo el procesador como una cascada de 2 redes H1(z) y H2(z).

La primera red H1(z) realiza los ceros del procesador y la segunda red, H2(z) realiza los polos del procesador.

Si se intercambia H1(z) y H2(z) resulta en estructura como la que sigue.

Forma Directa I (Invertida)

A1

A2

B1

B2

H2(z) H1(z)

1Y(Z)

1/zUnit Delay1

z

1Unit Delay r

z

1Unit Delay m

z

1Unit Delay 3

z

1Unit Delay 2

z

1Unit Delay

Sum ofElements1

Sum ofElements

Lr

Lr

L2

L2

L1

L1

Lo

L0

-Km

Km

-K2

K2

-K1

K1

1X(z)

Forma Directa II

1Y(z)

z

1Unit Delay r

z

1Unit Delay m

z

1Unit Delay 2

z

1Unit Delay 1

Sum ofElements1 Sum of

Elements

Lr

Lr

L2

L2

L1

L1

Lo

L0

-Kr

Kr

-Km

Km

-K2

K2

-K1

K1

1X(z)

Cascada La realización de forma directa I resulta de la ecuación

general de diferencias. La realización mediante procesadores en cascada por el

reconocimiento de que los polos y ceros de la función de transferencia al impulso son reales o pares complejos conjugados.

H(z) puede ser escrita de forma factorizada.

21

21

1

11*

1

1

1

11*

1

1

)1)(1()1(

)1)(1()1()( D

lll

D

kk

N

jjj

N

ii

M

zdzdzc

zbzbzaKzzH

Cascada En esta expresión tenemos:

N1 ceros reales en z=ai. N2 pares conjugados de ceros en z=bj y z=bj

*. D1 polos reales en z=ck. D2 pares complejos conjugados en z=dl y z=dl

*. Los polos y ceros reales pueden ser realizados

típicamente usando la Forma Directa II. Por ejemplo, de la forma

)1()1(

)( 1

1

1

zcza

zHk

i

Cascada Los polos y ceros conjugados son realizados por pares.

Por ejemplo, el termino general:

2*1*

2*1*

11*

11*

2 )(1)(1

)1)(1()1)(1(

)(

zddzddzbbzbb

zdzdzbzb

zHjjjj

jjjj

ll

jj

Estructuras de Cascada

1

Y1(z)

-ak

ak

z

1Unit Delay 1

Ck

Ck

1

X1(z)

1Y2(z)

1

dl.dl*

1

dl+dl*

1

bj.bj*

z

1Unit Delay 2

z

1Unit Delay 1

1

-(bj+bj*)

1X2(z)

Paralelo La forma en paralelo resulta de expandir H(z) en suma de

fracciones parciales. La forma general de la expansión en fracciones parciales para polos simples

En el cual la primera sumatoria es incluida para realizar los términos de la expansión en fracciones parciales que resulten si r>m.

El segundo termino incluye los polos reales. El tercer termino incluye los pares de polos complejos

conjugados.

21

11*1

11

1 )1)(1(1

11)(

D

l lll

D

k kk

M

i

ii zdzd

Czc

BzAzH

Ejemplo de Construcción en Paralelo

)125.01)(5.01()1()( 11

31

zz

zzH

125.05.0)(

2

zD

zC

zB

zA

zzH

Para expandir la función de transferencia en fracciones parciales se debe cumplir con que el grado del numerador debe ser menor al grado del denominador, en este caso se soluciona dividiendo H(z)/z.

16)(lim 2

0

zzHzA

z

112)(lim 2

0

z

zHzz

Bz

34)()5.0(lim

5.0

zzHzC

z

3343)()125.0(lim

125.0

zzHzD

z

Estructura

125.03/343

5.03/411216)(

zzzzH

1

Y(z)

-1Z

-1Z

-1Z

1/8

1/2

343/3

-4/3

-112

-161

X(z)

Integración Tiempo Discreto Rectangular

Un integrador de tiempo discreto esta definido por la ecuación de diferencias:

)()()( TnTTxTnTynTy

nT- T nT

x(nT- T)

x(nT)

1

Y(z)

z

1Unit Delay 1

T

Gain

1X(z)

Integración Tiempo Discreto Trapezoidal

Un integrador de tiempo discreto esta definido por la ecuación de diferencias:

)()(2

)()()( TnTxnTxTTnTTxTnTynTy

nT- T nT

x(nT- T)

x(nT) 1Y(z)

z

1Unit Delay

1

T/2

1X(z)

Filtros Digitales El problema fundamental consiste en determinar los

coeficientes requeridos de la ecuación lineal de diferencias para realizar una tarea especifica. Esto es el problema de síntesis.

Las estructuras resultantes son referidas como filtros digitales y se clasifican en: Filtros de Respuesta al Impulso Infinita (IIR): son

usualmente implementados usando estructuras con feedback (estructuras recursivas).

Filtros de Respuesta al Impulso Finita (FIR): son usualmente implementados usando estructuras con ninguna de retroalimentación, aunque esto no es una restricción.

Filtros Digitales IIR En el diseño de los filtros IIR, el punto de inicio será la

función de transferencia del sistema análoga, Ha(s). El problema consiste en determinar un sistema

discreto, H(z), el cual aproxima su rendimiento al sistema análogo.

El procedimiento de derivar un filtro digital de un prototipo análogo puede ser realizado usando técnicas: En el dominio del Tiempo En el dominio de la Frecuencia

Síntesis en el Dominio del TiempoDiseño de Impulso Invariante Se asume una fuente de señal de impulso. La salida del filtro análogo deberá ser ha(t). Si muestreamos la respuesta al impulso se tiene ha(nT).

Fuente de Señalx(t)=(t)

Filtro Análogo

Muestreo

Muestreo

Filtro Digital

(t)

Equivalencia Invarianza al

Impulso

ha(t) ha(nT)

ha(nT)

Secuencias idénticas

Diseño de Impulso Invariante Si consideramos ahora un segundo camino de la señal en

el cual el filtro análogo y el muestreador son remplazados por un muestreador y un filtro digital.

Por lo tanto, la entrada al filtro digital es el impulso unitario, y la salida del filtro digital es la respuesta al impulso del filtro digital.

Si los parámetros del filtro digital son ajustados de tal manera que la respuesta al impulso unitario es equivalente al primer camino, entonces estos dos caminos son equivalentes.

Ejemplo Suponga la función de transferencia análoga

en la cual s=-si son los polos y los Ki es el residuo del polo en -si. Tomando la transformada inversa de Laplace

será la respuesta al impulso unitario del filtro análogo.

m

i i

ia ss

KsH

1 )()(

m

i

tsia

ieKth1

0 t,)(

Ejemplo Tomando la transformada z de la respuesta al impulso

unitario muestreada

Este filtro tiene una respuesta al impulso equivalente a la del filtro análogo muestreada de la cual fue derivado, sin embargo, la amplitud de la respuesta del filtro digital debe ser escalada por fs, debido al proceso de muestreo.

m

i n

Tsi

n

m

i

Tsi

n

na

ii eKeKznThzH1 0

n1-

0 1

n1-

01 )z()z()()(

m

iTsi

zeKzH

i1

11 1)(

m

iTsi

zeKTzH

i1

11)(

Síntesis General Invariante en el Tiempo El concepto general de invarianza en el tiempo es

ilustrado a continuación.

Filtro Analogo

ha(t), Ha(s)

Entrada:dominio t: x(t)dominio s:X(s)

Salida:dominio t: y(t)=x(t)*h(t)dominio s:Y(s)=X(s)H(s)

Filtro Digital

h(nT), H(z)

Entrada:dominio t: x(nt)dominio z:X(z)

Salida:dominio t: y(nt)=x(nt)*h(nt)dominio z:Y(z)=X(z)H(z)

MuestreoMuestreo

EquivalentesInvariantes

en el dominio del Tiempo

Síntesis General Invariante en el Tiempo La entrada al filtro análogo es x(t) La entrada al filtro digital en x(nT), la versión muestreada

de x(t). Con estas entradas equivalente aplicadas a los filtros

análogo y digital, los coeficientes que determinan H(z) son ajustados hasta que la salida muestreada del filtro corresponda a la salida del filtro digital.

La H(z) requerida es determinada por )()()( 1 sXsHLty aa

nTtaa sXsHLnTy )()()( 1

Síntesis General Invariante en el Tiempo La transformada z de esta expresión da la salida el filtro

digital en el domino z.

La constante G es incluida para tener similares respuestas en frecuencia para ambos filtros.

nTtaa sXsHLGZzXzHzY )()()()()( 1

nTtaa sXsHLZzX

GzH )()(

)()( 1

Diseño en el Dominio de la Frecuencia

Transformada Z bilineal Para evitar el efecto del aliasing que se puede presentar en las

técnicas de diseño en el dominio del tiempo, la función de transferencia de un filtro análogo debe ser limitada en banda al rango de

Ya que las funciones de transferencia análoga no satisface esta propiedad, ellos deben primero ser modificadas usando una transformación no lineal de tal manera que son de banda limitada. La técnica de transformar el plano s complejo en un plano s1 tal que el eje j en el plano s este mapeado en la región

ss fff21

21

1

ss fff 121

Diseño en el Dominio de la Frecuencia

Una transformación que satisface este requerimiento es

O

Se puede observar que para =∞ el filtro análogo se mapea en 1=0.5s para el filtro digital.

La constante C puede ser elegida de tal manera que la correspondencia de 1 pueda ser establecida a una frecuencia deseada. Como ejemplo, si r, se tiene que C

2tan

22/1tan 11 TCC

s

2cot 1TC

2cot TC r

r

Diseño en el Dominio de la Frecuencia

Para valores pequeños de r tal que

Se puede ver que

12

Tr

TTTC

rr

rr

222

cot

Diseño en el Dominio de la Frecuencia

La relación entre s y s1 es fácilmente determinada. Primero, reescribiremos la tan(x)

Haciendo s=j y s1=j1 esto nos da:

El filtro digital es determinado de Ha(s1), haciendo z=es1T

jxjx

jxjx

eeeej

xxsenx

)cos()(tan

2/2/

2/2/

11

11

TjsTjs

TjsTjs

eeeejCjs

2tanh 1

2/2/

2/2/

11

11 TsC

eeeeCs TsTs

TsTs

1

1

11

11

1

1

zzC

eeCs Ts

Ts

Mapeo de Filtro Análogo a Digital Así el filtro digital H(z) estará determinado del filtro

análogo Ha(s) remplazando

1

1

11

zzCs

Filtros Pasabanda Transformada z Bilineal Los filtros pasabanda también puede ser desarrollados

usando la transformación bilineal z. Un filtro pasabanda puede ser generado de un filtro pasabajos sustituyendo la variable de Laplace s en la función del sistema por

El parámetro es la frecuencia geométrica central y b es el ancho de banda del filtro pasabanda análogo.

El filtro pasabanda es entonces generado utilizando la sustitución

1

1

11

zzCs

b

c

ss

22

Filtros Pasabanda Transformada z Bilineal Estos dos pasos son combinados en un solo paso para ir

de s a z directamente.

2

212212

1

1

22

1

12

22

111

11

11

zCzzC

zzC

zzC

ss

b

c

b

c

b

c

2

2122

22

2222

1

21

z

zzCC

CC

ss c

c

b

c

b

c

2

2122

11

zzBzA

ss

b

c

CC

Ab

c

22

22

22

2c

c

CC

B

Filtros Pasabanda Transformada z Bilineal El problema ahora es determinar los valores apropiados

de A y B. Primero consideraremos el valor de A. La frecuencia

central c en el plano s debe ser remplazada por Ctan(cT/2) para mapear el valor de la frecuencia central el plano s1.

donde u y l son la frecuencias superior y inferior, respectivamente

luc 2

2tan

2tan22 TTC lu

c

Filtros Pasabanda Transformada z Bilineal El ancho de banda b en el plano s se convierte en

en el plano s1. Remplazando para A

2tan

2tan

TC

TC lu

b

2tan

2tan

2tan

2tan1

2tan

2tan

2tan

2tan

2

22

TT

TT

TTC

TTCCA

lu

lu

lu

lu

2cot TA lu

Remplazando para B

Las expresiones de A y B pueden ser simplificadas reconociendo que

]2/)cos[(]2/)cos[(

2

2tan

2tan1

2tan

2tan1

2

2tan

2tan

2tan

2tan

222

22

TT

TT

TT

TTCC

TTCC

Blu

lu

lu

lu

lu

lu

xx rT 2

lu rrA cot

])cos[(])cos[(

2

lu

lu

rrrr

B

Diseño de Filtros Digitales FIRTécnica General En este caso, la técnica de diseño no parte de un filtro

análogo sino de una respuesta en frecuencia arbitraria que representa la respuesta a la frecuencia deseada del filtro digital siendo diseñado.

Por lo tanto es posible diseñar filtros digitales que no tengan prototipo análogo equivalente.

La técnica consiste en derivar primero la realización de la función de transferencia de un filtro digital, la cual es periódica en la frecuencia de muestreo. Así la función de transferencia puede ser expandida en series de Fourier.

Veremos que los coeficientes de Fourier resultantes de esta expansion dan la respuesta al impulso del filtro digital.

Técnica General de Diseño La respuesta a una frecuencia deseada, la cual es

periódica en la frecuencia de muestreo, corresponde a un filtro digital no causal. En general, podemos escribir

Donde se permite que el filtro sea no causal empezando la sumatoria en n=-∞ en lugar n=0, como los filtros causales.

Es conveniente expresar la variable frecuencia en términos de la frecuencia normalizada r. Haciendo 2r=T

Tjn

nd

Tjdezd enTheHzH Tj

)()()(

nrj

nd

rjd enTheH 22 )()(

Técnica General de Diseño Una expresión para los coeficientes de Fourier de la

respuesta en frecuencia deseada puede ser encontrada multiplicando por ej2rl e integrando sobre un periodo la respuesta en frecuencia. Esto es

2/1

2/1

)(222/1

2/1

2 )()( drenThdreeH rlnj

nd

irjrjd

nl ,0nl ,12/1

2/1

)(2 dre rlnj

dreeHnTh nrjrjdd

22/1

2/1

2 )()(

Técnica General de Diseño Esto indica que hd(nT) representa los valores de la respuesta

al impulso de un filtro no causal para una respuesta en frecuencia deseada.

En este punto existen dos problemas: El filtro digital es no causal, lo cual se soluciona con un

desplazamiento a la respuesta al impulso no causal. Antes de hacer esto, la respuesta al impulso debe ser de

extensión finita. Lo que representa el segundo problema. A menos que la respuesta en frecuencia deseada, Hd(ej2r),

pueda ser expresada exactamente dentro de un numero finito de términos, lo cual usualmente no es el caso, los coeficientes de la serie de Fourier deben ser truncados a una serie finita de términos.

Truncando la serie de Fourier, la función de respuesta al impulso queda

La serie ha sido simplificada a 2M+1 términos. Otra manera de ver esto es considerar que la función de transferencia puede ser ventaneada y por lo tanto escrita como

donde

nM

Mndnc znThzH

)()(

n

ndrnc znThnzH

)()()(

n ,0

n ,1)(

MM

nr

Filtros Causales Un filtro causal, Hc(z), puede ser generado de Hnc(z)

multiplicada por z-M. Lo cual da

Definiendo los pesos del filtro causal como Lk, donde

kM

kd

MnM

Mnd

nM

Mnd

Mc zMTkThznThznThzzH

2

0

)( )()()()(

)( MTkThL dk

kM

kkc zLzH

2

0

)(