Final Fija de Ecua
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Ec. Diferenciales Pro. Castro UNAC
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Problema 1
Factorizamos el denominador y el numerador:
(
) (
( ) ( )
( )( ))
( ( )
( )( )
( )
( )( ))
(
( )
( )* (
( )* (
( )*
(
( )*
(
( )*
.
/
Transformada
Coseno de Laplace
Transformada
Seno de Laplace
-
1. - Factorizamos:
(S3 4s + 8)/ [S2 (S2 4S + 8)]
2.- Aplicamos fracciones parciales:
1/S2 + (S1)/ (S2 4S + 8)
3. - Completamos cuadrados:
1/S2 + (S1)/ ((S-2)2 + 22)
4. -Aplicamos transformada inversa de Laplace:
L-1[1/S2] = t
(S1)/ ((S-2)2 + 22)
[(S-2)/ ((S-2)2 + 22)] + [1/ ((S-2)2 + 22)]
L-1[(S-2)/ ((S-2)2 + 22)] = e2tCos (2t)
L-1[1/ ((S-2)2 + 22)] = e2tSen (2t)/ 2
5. - Respuesta:
t + e2tCos (2t) + e2tSen (2t)/ 2
-
Problema 2
Halle ( ) ( )L f t s
Solucin:
Vemos que la grfica se divide en zonas, la cual calcularemos la transformada de Laplaca de cada
una de estas.
( )
{
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
Como la transformada de Laplace de f(t) es:
( ) ( )L f t s
( )
Ser una integracin a tramos de acuerdo a los intervalos definidos de la funcin, como se
muestra a continuacin:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
-
)
( ) ( )
( ) *
+
( )
)
( )
( )
)
( )
( )
(
) (
)
( )
)
( ) ( )
(
) (
)
( )
)
( ) (
)
( )
)
( ) (
) (
)
( )
)
( ) ( )
-
Ahora, la transformada de LaPlace sera la suma de a+b+c+d+e+f:
( ) ( )L f t s =
Problema 3
Halle ( ) ( )L f t s .
Solucin:
Por el teorema de transformada de una funcin peridica:
* ( )+
( ) ( )
Dnde:
( )
(
*
( ) ( )
Para:
Entonces:
* ( )+
( ) ( )
* ( )+
* ( ) ( )
+
-
* ( )+
* ( )
( )
+
Integrando por partes:
( )
2
( )
( )
2
( )
Por lo tanto:
* ( )+
* ( )
( )
+
* ( )+
*
+
* ( )+
* ( )
+
*( )
+
Problema 4
( ) ( ) ( ) ( )
{
( ) ( )
}
Transformada en ambos miembros:
* ( ) ( ) ( ) ( )
+ , -
, ( )- , ( )- , ( )- * ( )
+ , -
( ) ( ) ( ) , ( ) ( ) ( ) ( )
-
( ) ( ) ( ) ( )
Factorizamos Y(s):
( ) [
]
( )
Multiplicando por s al numerador y denominador:
( )
Transformada inversa:
( ) *
+
( ) *
( )( )+
( ) *( ) ( )( )
( )( )+
( ) [
]
( ) [
- ,
]
( ) ( )
( )
-
Problema 5
Solucin:
1. Una frmula para E(t):
Aplicando las Leyes de Kirchhoff:
( )
( )
( )
( )
D ( ), (II) y (III):
( )
Calcular la transformada de Laplace de E(t):
, ( )-( ) ( ) ( )
-
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
* ( )
( )
( )+ ( )
( )
2. Tres ecuaciones diferenciales con X, Y, Z y condiciones iniciales que modelen las condiciones en la red. De las ecuaciones (II) y (III) usamos transformada de Laplace para despejar las corrientes y posteriormente, hallamos su inversa.
( ) ( ( ) ( ))
( ) ( )
( ) ( ) ( )
Despejando:
( ) ( ) [
] ( ) ( )
( )
( ), - ( )
De ( ) y ( )
( )
( ) . /
( ) ( )( )
( ) . /
Por tanto:
( ) ( )
( ) . /
-
1. Hallar las corrientes en funcin del tiempo:
( ) ( )
. /
( )
( )
( ) . /
( )
( )
. /
( )
( )
. /
( )
( ) ( )
( ) . /
( )
( )
. /
( )
( )
. /
( )
-
Problema
Propiedad:
( ( )
)
( ( )) ( )
(
)
(
)
( )
(
)
( )
( ( )
) (
( )
)
(
)
(
( ))
( ( )
)
( ( )) ( )
( ( )
)
( ( ))
( ( )
)
( ( )
)
( ( )
)
(
( )
)
( ( )
)
((
) (
) (
) (
))
( ( )
)
-
Problema
Solucin:
( )
Tramsformadas
, ( )-
( )
,( ) -
t=u
dt=du
(
)
( ) ( )
-
( )
( )
(
)
,( ) -
( )
( )
( )
( )
(
)
Poniendo toda la ecuacin
( )
-
Problema
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
|
( )( )
( )
|
|
|
( )
( )( )
( )
( )
( )
|
( )( )
( )
|
|
|
( )
( )
-
Problema
Se sabe por definicin de la transformada de Laplace que 0
F(t)dt f(s)ste
, tomando el
lmite cuando 0s tenemos que 0 0
0
lim F(t)dt limf(s)sts s
e
de donde obtenemos que:
0
F(t)dt f(0)
siempre que la
integral sea convergente.
Sea
-ax -bx
F(x)x
e e entonces
-ax -bx
0
dx f(0)x
e e
.
Primero tenemos que hallar la transformada de F(x).
L {-ax -bxe e }=
1 1
s+a s+b , ahora aplicando la propiedad de la transformada de Laplace de la
divisin por x.
-ax -bx
s
1 1 s+bL{ }= ( )du ln
x u+a u+b s+a
e e
Finalmente
-ax -bx
0 00
s+blim dx limln
x s+a
st
s s
e ee
tenemos que:
-ax -bx
0
bdx ln
x a
e e
-
Problema
( ) ( ) ( )
0 ( )1( ) [ ( )]( ) * ( )
+( )
, -( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )( )
( )
( )
Por fracciones parciales obtenemos que:
( )
[
( )]
[
( )]
[ ( )]( )
[
( )]( )
[
( )]( )
( )
{ *
( )
( ) +( )
[
( ) ]( )
[
( ) ]( )
} {
}
( )
{ *
( )
( ) +( )
[
( ) ]( )
} {
}
( )
* + {
}
( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
-
Problema
(
( ) )
( )
( )
( )( ) ( )
(
( )
(( ) ) * (
( ) * (
(( ) ) * ( )
(
( ) *
(
( ) *
( )
(
(( ) ) *
(
(( ) ) * (
(( ) ) * (
(( ) ) * ( )
(
(( ) ) * (
( )
(( ) ) )
:
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
-
( ( )
(( ) ) * * ( ) ( )
+ , ( )( ( ))
-
*
+
*
( )
+
[
(
*
( )] ( )
(
(( ) ) * (
(( ) ) *
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
*
+
[
( )
(
*] ( )
( ) ( ) ( )
[
(
*
( )]
[
( )
(
*] ( )
( ) ( ) ( )
(
( ) ) (
( ) * (
(( ) ) *
[
(
*
( )]
[
( )
(
*]
-
Problema
Por mallas:
-
)122(*)1(*
12)(
)122(*)1(*
1)(
:Re
0)()()()(*2
1
1*
2)(*2)(*2
.
0)0(0)0(
0*1*2
2*2*2
:Re
0*2*4
)(**
2
2
1
ssse
ssI
ssse
ssI
ecuacionesdesistemaelsolviendo
sIsIsIsIs
sesIsIs
sistemadelecuacioncadaalaplacededatransformalaAplicando
iyisujeta
iidt
di
dt
di
eidt
di
valoresmplazando
iidt
diC
dt
diC
tEiRdt
diL
Z
X
ZXZX
XZ
ZX
ZXZX
t
Xz
ZXZX
Xz
-
tiempocualquierenacLae
t
e
tsen
eeetQ
tQt
e
tsen
eee
tQdtt
sene
dtt
edte
tQdtt
sene
dtt
edte
QdQdtt
sene
t
ee
dt
dQti
capacitordelaclaPara
tsen
e
t
eeti
tititi
tsen
e
t
eeti
tsen
e
t
eeti
soncorrienteslasquesencontramolaplacedeinversadatransformalaTomando
t
t
ttt
t
t t t
t
tt
t
Y
t
Y
XZY
t
Z
t
X
arg45
4)
2cos(
5
4)
2(
5
2
5
1
5
1)(
4)(]1)2
[cos(5
4)
2(
5
2][
5
1
4)(*)2
(5
2*)
2cos(
5
1*
5
1
4)(*)2
(5
2*)
2cos(
5
1*
5
1
4)0(;*)]2
(5
2)
2cos(
5
1
5
1[)(
:arg
)2
(5
2)
2cos(
5
1
5
1)(
)()()(
)2
(5
1)
2cos(
5
3
5
3)(
)2
(5
1)
2cos(
5
2
5
2)(
:,
1
1
000
1
0 0 0
1
00
1
1
1
1
Problema
, (
)-
Sol:
* ( )+ ( )
( ) * ( )+ ( )
( ) { ( )
Igualamos la ecuacin (1) con el problema:
-
( )
* ( )+
( ) { ( ) ( )
( )
( ) , ( ) ( )
( )
- ( )
Problema
*
+
Sol:
(
)
( )
( ) (
)
Igualamos la ecuacin anterior con la ecuacin (1)
( )
( )
( ) {( )
( ) ( ) ( )
-
( )
( ) ( )
Problema
* ( )+ ( )
Para el problema:
( )
* ( )+
( )
,
,
-
( )
( )
Reemplazando (2) en (1):
* ( )+
( )( )
Problema
Se realiza la transformada de Laplace a ambas ecuaciones:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
Se acomodan:
( )( ) ( )( ) (
*
( )( ) ( )( )
-
Se restan las 2 ecuaciones multiplicando la segunda por s+1
( )( ) ( )( ) (
*
( )
( )
( )
( )
Se realiza las transformadas inversas de Laplace:
.
/ .
/ .
/
.
( ) / .
/ .
/ .
/ .
/
.
/
( )
( ) ( )
(
( ) *
.
( ) / .
/ .
/ .
/ .
/
( )
.
/ ( ) (
)
.
/
.
( )/ .
/
( )
Por lo tanto:
( ) (
)
-
( )
Luego para hallar x:
( )( ) ( )( )
( ) ( )( )
( )
( )
( )
( )( )
Se realiza la Transformada inversa de Laplace:
(
( )* (
* (
* (
* (
*
(
*
(
*
( ( )( )
) ( )
Entonces:
( )
-
Problema
Como i1 = i2 + i3
Vab = Ri1 = R (i2 + i3)
Vab = R (i2 + i3)
FEM=
Como:
E (t)= Vab + Vac
y
Haban 2 ecuaciones:
{
( )
( )
Remplazando los Datos tenemos:
{
( ) ( )
Aplicando Laplace:
{
} * + * + * +
{
} * + * + * +
-
Como:
{
} * + ( ) * +
{
} * + ( ) * +
Entonces:
* + * + * + * +
* + * + * + * +
De esto se tiene:
( ) * + * +
( ) * + * +
Despejamos:
* + ( ( ))
( )( )
* +
( )( )
* +
( )( )( )
Aplicando Inversa de Laplace:
{
( )( )( )}
{
}
( )
-
Para Hallar (i3) tenemos:
* ( )+
( ( )
( )( )* ( )
Operando:
* ( )+
(
(
) ( )
* ( )+
( )
* ( )+
(
)
)
Aplicando Inversa de Laplace:
( ) {
}
{
}
( )
* ( )
( )+
( )
Operando y simplificando se tiene:
( ) ( )
( )
-
Para hallar i1 tenemos la siguiente ecuacin:
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
Problema
( ) ( ) ( )
( )
* ( )+ ( ) ( ) ( )
, ( ) ( )
- ( )
* +
Obtenemos:
( ) ( )
( ) (
)
( )
( )
* ( )+
-
Problema
( ) ( )
, ( ) ( )
- ( )
* +
Obtenemos:
( )
( )
* ( )+
-
Problema
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Teorema de convolucin:
F(t)*G(t)= ( ( ) ( ) )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
, ( )- ( ) , ( )- (
* , ( )-
, ( )- ( (
*)
, ( )-
, ( )-
( )
( ) [
( ) ]
Respuesta:
( )
Problema
SOLUCION:
-
(
( ) * (
* ( )
De donde:
( )
( )
( )
( )
Entonces:
(
* ( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
,
-
-
Reemplazando en ( ):
(
( ) * (
)
Problema
Por linealidad
* + * +
,
-
,
- (
)
,
-
(
*
-
Problema
* +
Por propiedad de traslacin:
* +
( )
Propiedad de la integral:
,
-
( )
Problema
Primero, observamos que se tiene una funcin peridica con periodo
( ) {
Por teorema: * ( )+ ( )
Luego, de acuerdo con el resultado recin expuesto:
* ( )+ ( )
( )
-
* ( )+
* ( ) ( )
+
* ( )+
[
]
* ( )+
( ),( ) ( )-
* ( )+ *
( )+
( )
( )
( )
( )( )
( )
( )
Recordando:
Si en la ltima expresin multiplicamos numerador y denominador por
hallamos finalmente:
* ( )+
( )
.
/
* ( )+
.
/
Problema
a)
( )
( )
2s =As+Bs+(C+A)s+(B+D)
-
A=0, B=2, C=0, D= -2
( )
( ) ,
( ) -
( ) ( ) ( )
b) ( )
( )
( ) ft
Derivamos en ambos lados:
[
( )- , ft
= , ft
Usando el Teorema:
ft( )
( ) ( )= L{f(t)}
-
De la tabla de transformadas:
= L{Sen(t)}
- L{Sen(t)}= , ft
Del Teorema; teniendo que n=1
( ) , ft =
* ( )+
( )
Por lo tanto:
- L{Sen(t)}= * ( )+
( )
L{Sen(t)}= * ( )+
As que: Sen(t) = ( ) f(t)= ( )
Ya que: ( ( )) ( )
![Dossier MBSR empresas [ECUA Formacion] · para equilibrarnos es posible a través del Mindfulness. Te invito a conocer el programa de Mindfulness para empresas de Ecua Formación.](https://static.fdocumento.com/doc/165x107/5ed8b5c56714ca7f47686d6a/dossier-mbsr-empresas-ecua-formacion-para-equilibrarnos-es-posible-a-travs-del.jpg)
