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CALCULO POR ELEMENTOS FINITOS MG516-G 27 de abril de 2011

PROBLEMA 3.15 (Chandrupatla)

Para la barra vertical mostrada en la figura, encuentre la deflexión en A y la distribución del esfuerzo. Use E=100MPa y peso por unidad de volumen = 0.06N/cc. (Sugerencia: introduzca la contribución del peso a las cargas nodales y resolver usando cuatro elementos) Comente sobre la distribución de esfuerzos.

SOLUCIÓN:

Usando 4 elementos finitos:

Cuadro de Conectividad

eNodos Grados de Libertad

(GDL)le Ae

(1) (2) 1 2 (cm) (cm2)1 1 2 1 2 80 25002 2 3 2 3 80 25003 3 4 3 4 50 15004 4 5 4 5 50 1500

El vector de desplazamiento queda definido por:

Donde , dado que estamos considerando una unión rígida entre el

empotramiento y la placa.

| PRIMERA PRÁCTICA CALIFICADA 2011

1


VECTOR CARGA

Analizando las fuerzas en cada elemento finito:

(F5=R1−

γ (A ×l )(4 )

2

F4=−γ (A ×l )(3 )

2−γ (A ×l )(4 )

2

F3=−γ (A ×l )(2 )

2−γ (A ×l )(3 )

2

F2=−γ (A ×l )(1 )

2−γ (A ×l )(2 )

2

F1=−γ ( A×l )( 1)

2

)…(α)


2


(F5=R1−

0.06 (1500×50 )(4 )

2

F4=−0.06 (1500×50 )(3 )

2−

0.06 (1500×50 )(4 )

2

F3=−0.06 (2500×80 )(2)

2−

0.06 (1500×5 0 )(3)

2

F2=−0.06 (2500×80 )( 1)

2−

0.06 (2500×80 )(2 )

2

F1=−0.06 (2500×80 )(1)

2

)(F5=R1−2250F4=−4500F3=−8250F2=−12000F1=−6000

)MATRÍZ DE RIGIDEZ

Sabemos que por teoría la matriz de rigidez nos da información sobre la carga y la

geometría del material a analizar, es por ello que a continuación se presenta su cálculo.

K

i∫¿= (AEl )1 [ 1 −1 0 0 0−1 1 0 0 0

0 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0

]¿

+ ( AEl )2 [

0 0 0 0 00 1 −1 0 00 −1 1 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0

]+ ( AEl )

3 [0 0 0 0 00 0 0 0 00 0 1 −1 00 0 −1 1 00 0 0 0 0

]+ ( AEl )4 [

0 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 1 −10 0 0 −1 1

]Reemplazando para los valores calculados y utilizando la tabla de conectividad

obtenemos:


3


K

i∫¿= ( 1 00 x 106 x 2500 x 10−4

800 )1[ 1 −1 0 0 0−1 1 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0

]¿

+ ( 100 x 106 x2500 x 10−4

800 )2 [

0 0 0 0 00 1 −1 0 00 −1 1 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0

]+ ( 100 x 106 x1500 x 10−4

500 )3 [

0 0 0 0 00 0 0 0 00 0 1 −1 00 0 −1 1 00 0 0 0 0

]+ ( 100 x 106 x1500 x 10−4

500 )3 [

0 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 1 −10 0 0 −1 1

]Finalmente:

K

i∫¿= [31250 −31250 0 0 0−31250 62500 −31250 0 0

0 −31250 61250 −30000 00 0 −30000 60000 −300000 0 0 −30000 30000

] Nmm

¿

La ecuación de rigidez está determinada por la siguiente ecuación:

F i = K ij Q j

Lo que con nuestros valores calculados tenemos:


4


[R1−2250−4500−8250−12000−6000

]=

[31250 −31250 0 0 0−31250 62500 −31250 0 0

0 −31250 61250 −30000 00 0 −30000 60000 −300000 0 0 −30000 30000

] ¿ [Q1 ¿ ] [Q2 ¿ ] [Q3 ¿ ] [Q4 ¿ ] ¿¿

¿

Entonces:

R1=30950 NQ1=2.5584 mmQ2=1.84 mmQ3=0.8 mmQ4=0.2 mmQ5=0 mm

ESFUERZOS

Para calcular los valores de los esfuerzos por elemento, aplicamos la siguiente ecuación:

σ e=( El )e

[−1 1 ] ¿ [Qi¿ ]¿¿

¿

Y obtenemos lo siguiente:

σ 1 = (100800 )

1[−1 1 ] ¿ [ 2 .5584 ¿ ]¿

¿¿

σ 2 = (100800 )

2[−1 1 ] ¿ [ 1 .84 ¿ ]¿

¿¿

σ 3 = (100500 )

3[−1 1 ] ¿ [ 0 . 8 ¿ ]¿

¿¿

σ 3 = (100500 )

3[−1 1 ] ¿ [ 0 . 2¿ ]¿

¿¿


5


PROBLEMA 3.18 (Chandrupatla)

La estructura de la figura está sometida a un incremento de temperatura ΔT= 80ºC. Determine los desplazamientos, los esfuerzos y las reacciones en los soportes. Resuelva este problema a mano usando el método de eliminación para manejar las condiciones de frontera.

P1= (60 + (3/4)#) x 103 N.P2= (75 + (3/4)#) x 103 N.Area 1= 2400 mm2. Area 2= 1200 mm2.Area 3= 600 mm2.

MATERIALES:1: BRONCE E = 83GPa α=18.9x10-6/ºC2: ALUMINIO E = 70GPa α=23x10-6/ºC1: ACERO E = 200GPa α=11.7x10-6/ºC


6


SOLUCIÓN:

# De orden = 12SERGIO QUISPE RODRÍGUEZ

P1= (60 + (3/4)#) x 103 N.= 69 kN.P2= (75 + (3/4)#) x 103 N.= 84 kN.ΔT= 80ºC

Se considerarán 3 elementos finitos. Para facilitar los cálculos, los elementos finitos tendrán longitud de 150 mm, 150 mm y 300 mm.

Entonces, el modelado del cuerpo sería el siguiente:


7


Y las áreas de cada elemento finito serán las siguientes:A1= 2400 mm2.A2= 1200 mm2.A3= 600 mm2.

Así, el Cuadro de Conectividad queda constituido de la siguiente manera:

eNodos Grados de Libertad

(GDL)le Ae

(1) (2) 1 2 (mm) (mm2)1 1 2 1 2 800 24002 2 3 2 3 600 12003 3 4 3 4 400 600

Observando el gráfico anterior, el vector desplazamiento será:

Q = ¿ [ 0¿ ] [Q2 ¿ ] [Q3 ¿ ]¿¿

¿

Donde Q1=0, Q4=0 pues la placa está empotrada y los demás desplazamientos son incógnitas que tendrán que ser calculadas.Analizando las fuerzas en cada elemento finito:

F11 = R1 (N )

F21 = P1 = 69000N

F22 = 0 N

F32 = 84000 N

F33 = 0 N

F43 =R2 (N )

Ahora, analizamos las fuerzas para todo el cuerpo:

F1 = F11 = R1 N


8


F2 =F21 +F2

2 = 69000 N

F3 =F32 + F3

3= 84000 N

F4 = F43 = R2 N

Entonces, el vector carga se expresa de la siguiente manera:

F1 = [F1

F2

F3

F4] = [ R1

6900084000R2

] (N )

Ajora al ensamblar F, se deben considerar ambos efectos, el de temperatura y el de carga. De la ecuación 3.103b se obtienen las fuerzas por temperatura en los elementos debido a ΔT como:

Al ensamblar estos términos y las fuerzas puntuales tendremos:

MATRIZ DE RIGIDEZ

A continuación pasamos a calcular la Matriz de Rigidez Global, que está determinada por la siguiente ecuación:


9


K = ( A El )1 [ 1 −1 0 0

−1 1 0 00 0 0 00 0 0 0

] + ( A El )2 [0 0 0 0

0 1 −1 00 −1 1 00 0 0 0

] + ( A El )3 [0 0 0 0

0 0 0 00 0 1 −10 0 −1 1

]Reemplazando para los valores calculados y utilizando la tabla de conectividad obtenemos:

ECUACIÓN DE RIGIDEZ Y CONDICIONES DE CONTORNO

La ecuación de rigidez está determinada por la siguiente ecuación:

F i= K ij Q j

Aplicando nuestros valores calculados obtenemos:

[ R1

3180000R2

] = 103 x [369 .33 −369 .33 0 0−369 .33 738.66 −369.33 0

0 −369 .33 648 −278.660 0 −278.66 278 . 66

] [ 0Q2

Q3

0]

Resolviendo este sistema de ecuaciones, se obtiene:R1 = 116 278.86 NR2 = - 44 638.86 NQ1 = 0 mm


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Q2 = 0.7426 mmQ3 = 0.52319 mmQ4 = 0 mm

ESFUERZOS

Para calcular los valores de los esfuerzos por elemento, aplicamos la siguiente ecuación:

σ e=( El )e

[−1 1 ] ¿ [ Qi ¿ ]¿¿

¿

Y obtenemos lo siguiente:

σ 1=( 83 x103N /mm2

800mm )1

[−1 1 ][ 00.7426 ]

σ 1=77..04475MPa

σ 2=( 70 x103 N /mm2

600mm )2

[−1 1 ][ 0.74260.52319]

σ 2=−25.598MPa

σ 3=( 200 x103N /mm2

400mm )3

[−1 1 ][0.523190 ]

σ 3=−261.595MPa

SOLUCION EN MATLAB

Luego para tres elementos finitos escribimos la siguiente función en MATLAB:clcclear all;H=input('Ingrese la longitud de la viga 1 = ');B=input('Ingrese la longitud de la viga 2 = ');S1=input('Ingrese el area de la seccion 1 = ');S2=input('Ingrese el area de la seccion 2 = ');P=input('Ingrese la carga P= ');X=input('Ingrese la ubicacion de la carga = ');


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E=input('Ingrese el modulo de elasticidad= ');format long;F=[P; P; 0; 1];s=0;w=zeros(4);w(1,1)=1;w(1,2)=-1;w(2,1)=-1;w(2,2)=1;m1=w;H1=H-X;K1=(E*S1/X)*m1;t=zeros(4);t(2,2)=1;t(2,3)=-1;t(3,2)=-1;t(3,3)=1;m2=t;K2=(E*S1/H1)*m2;l=zeros(4);l(3,3)=1;l(3,4)=-1;l(4,3)=-1;l(4,4)=1;m3=l;K3=(E*S2/B)*m3;K=K1+K2+K3CoefQ3= K(2,3)- (K(2,2)*K(3,3)/K(3,2));Q3=P/CoefQ3;Q2=-(Q3*K(3,3)/K(3,2));R1=K(1,2)*Q2;R2=K(4,3)*Q3;ESFUERZO1=(E/X)*[-1 1]*[0;Q2];ESFUERZO2=(E/H1)*[-1 1]*[Q2;Q3];ESFUERZO3=(E/B)*[-1 1]*[Q3;0]; %MOSTRANDO LOS RESULTADOSdisp('..............................');disp(' RESULTADOS');disp('============');disp('EL VECTOR DESPLAZAMIENTO');disp('Q2');disp(Q2);disp('Q3');disp(Q3);disp('RECCIONES R1 Y R2 RESPECTIVAMENTE')disp('R1');disp(R1);disp('R2');disp(R2);disp('Esf 1');disp(ESFUERZO1);disp('Esf 2');disp(ESFUERZO2);disp('Esf 3');disp(ESFUERZO3);


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