FISICA 1

Autor: Hugo Medina Guzmn Profesor de la Pontificia Universidad Catlica del Per Agosto 2009

PRESENTACINMe agrad saber que Hugo Medina Guzmn estaba por publicar un texto sobre Fsica. Haba dos razones suficientes para este sentimiento. Por un lado, tena curiosidad de saber lo que podra aportar un texto ms de Fsica sobre los otros ya disponibles. Por otro lado, conozco de la larga carrera de Hugo Medina como cultor de la enseanza de [a Fsica, y tena curiosidad de ver cmo este compromiso como docente y experiencia se manifestaran en su texto. Tuve la suerte de conocer al Ing. Jos Castro Mendvil en su taller, donde despleg una destacada labor en el diseo y construccin de equipo de laboratorio para la enseanza de la Fsica. Considero que Hugo es un digno discpulo del Ing. Castro Mendvil e igualmente ha dedicado una fraccin considerable de su tiempo a la docencia, y al diseo y construccin de equipo de laboratorio para resaltar los conceptos bsicos de la Fsica. He revisado el contenido de este texto y veo con gran satisfaccin que su autor utiliza un enfoque muy acertado. Toma como punto de partida una observacin experimental y a partir de all desarrolla los conceptos fsicos que permiten interpretar esta observacin utilizando la formulacin matemtica ms sencilla. Todo esto lo hace con el detalle suficiente de manera que el lector pueda seguir el argumento lgico con facilidad. Considero que ste es un gran aporte de este texto. Este enfoque contrasta con textos que enfatizan la formulacin matemtica y dejan al alumno hurfano de una orientacin para aplicarla a una realidad fsica concreta. El contenido de temas de la Fsica General que son desarrollados en este texto se ajusta al programa de estudios de la PUCP. El desarrollo de cada tema incluye ejemplos bien seleccionados que son desarrollados con un detalle muy esmerado. Al final de cada captulo se incluye un conjunto de preguntas y problemas propuestos; se incluye las respuestas. Algunos problemas plantean configuraciones complejas pero que contienen ciertas propiedades de simetra que permiten su reduccin a configuraciones sencillas. Al final del texto encontramos un listado de referencias bibliogrficas a un buen nmero de textos de Fsica General que han servido de consulta al autor. En general, considero que este texto constituye una representacin grfica de la obra cotidiana que Hugo ha venido desarrollando durante su carrera docente y, por lo tanto, es un aporte muy valioso para la comunidad acadmica y pblico en general. Lima, julio de 2007

PRLOGOLos estudiantes a menudo se preguntan por qu llevan un curso de Fsica. La mejor razn por la que se estudia Fsica es porque proporciona un mtodo coherente y lgico para comprender el mundo que nos rodea; una persona que comprende lo que sucede a su alrededor, es capaz de convivir en su entorno de manera racional y efectiva. Sin embargo, en ocasiones los estudiantes ignoran el potencial que tiene la Fsica para explicar el entorno en trminos fciles de entender; Este libro tiene por objeto brindar a los estudiantes de la Fsica General una ayuda para dominar los principios fsicos que son la base de la tecnologa moderna. En ste libro se asume que los estudiantes tienen una base de lgebra, geometra, y trigonometra. Es mucho ms compacto que los libros de texto tradicionales, proporciona muchos ejemplos trabajados y pide resolver problemas Este libro ser til tambin como texto para una persona que repasa o que consolida su conocimiento de la Fsica. La discusin y las explicaciones narrativas son suficientemente claras y completas para poder utilizar el libro o como texto, o como suplemento a un texto ms amplio. La forma de aprender la fsica es trabajar realmente con problemas. Al usar este libro, el estudiante debe ser activo. Debe intentar trabajar cada uno de los problemas y los ejemplos. Debe mirar las soluciones solamente si no logra dar con el camino a su solucin. Los ejemplos en este libro estn trabajados exhaustivamente, de modo que puedan servir como modelos para el propio trabajo de los estudiantes. En este sentido se considera que los estudiantes se benefician al observar los clculos realizados en ms de una manera, por lo que se han incluido varios mtodos para efectuar los clculos. Adems, se tuvo especial cuidado en incluir problemas y preguntas que combinan el material del captulo en cuestin, con material de captulos anteriores. Tales problemas y preguntas destacan el hecho importante de que diversas reas de la Fsica se manifiestan de manera simultnea en el mundo real. Adems, este mtodo de temas mltiples proporciona una manera para que los estudiantes repasen lo estudiado y ayuda a mejorar la habilidad para resolver problemas. El diseo grfico es de gran importancia, y para mejorar su funcin se ha intentado enfocar solamente una idea principal en cada figura en lo posible. Por consiguiente, las figuras del libro a menudo se dividen en dos o ms partes, para evitar la confusin de mezclar varias ideas en la misma figura. Los profesores conocen la importancia de los diagramas de cuerpo libre cuando utilizan la segunda ley de movimiento de Newton, y todos los estudiantes aprenden de ellos a medida que estudian Fsica. Tales diagramas se utilizan en todo el libro, no solamente en los primeros captulos en los que se presenta y aplica la segunda ley de Newton. Por ejemplo, cuando se analiza la relacin en las oscilaciones, tambin entre la presin y profundidad en un fluido, el anlisis se simplifica considerablemente por medio de un diagrama de cuerpo libre. De manera semejante, cuando se deduce la expresin para la rapidez de una onda transversal en una cuerda, un diagrama de cuerpo libre es muy til. Cifras significativas. A lo largo de todo el libro se siguen los procedimientos normales para las cifras significativas. Se espera que el esfuerzo en la elaboracin de este libro sea de utilidad tanto para los estudiantes como para los profesores. Toda opinin al respecto ser bienvenida. Hugo Medina Guzmn Lima Per

AGRADECIMIENTOSEl autor agradece primeramente a los estudiantes, quienes han contribuido bastante en la elaboracin de este libro a travs de su influencia en el establecimiento de las tcnicas y principios de enseanza y a los profesores que con sus sugerencias y revisiones a las separatas de los captulos hicieron notar puntos que necesitaban una mayor aclaracin.Hugo Medina Guzmn

CONTENIDOCAPTULO 1. Unidades, magnitudes fsicas y vectores Introduccin al curso. Magnitudes fsicas: escalares y vectores. Unidades. Sistema internacional de unidades. Precisin y cifras significativas. CAPTULO 2. Movimiento rectilneo Definicin de partcula. Concepto de movimiento de traslacin y rotacin. Sistemas de referencia. Posicin y desplazamiento. Movimiento en una dimensin. Velocidad. Aceleracin. Movimiento con aceleracin constante. Movimiento vertical con aceleracin de la gravedad. Grficos en cinemtica: obtencin de la velocidad y de la aceleracin por derivacin de la funcin posicin versus tiempo, obtencin de la velocidad y de la posicin por integracin de la funcin aceleracin versus tiempo. CAPTULO 3. Movimiento en un plano y en el espacio Sistemas de referencia y el sistema de coordenadas cartesianas en dos dimensiones. Componentes de los vectores y vectores unitarios en coordenadas cartesianas. Adicin vectorial. Movimiento en un plano. Vector posicin, desplazamiento y trayectoria. Velocidad. Rapidez. Aceleracin. Movimiento parablico. Movimiento circular: descripcin horaria (posicin, velocidad y aceleracin angular) y descripcin vectorial cartesiana. Componentes normal y tangencial de la aceleracin. Velocidad y aceleracin relativas. Generalizacin del movimiento a tres dimensiones en coordenadas cartesianas. CAPTULO 4. Dinmica de una partcula Leyes de Newton del movimiento. Sistemas de referencia inerciales. Masa y fuerza. Masa y peso. Fuerzas de contacto y a distancia (Ley de gravitacin universal). Diagrama de cuerpo libre. Aplicaciones de las leyes de Newton: partculas en equilibrio (Esttica) y en movimiento acelerado (Dinmica), fuerzas de friccin. Dinmica del movimiento circular. Dinmica en sistemas de referencia no inerciales. CAPTULO 5. Trabajo y energa Producto escalar de vectores. Trabajo de una fuerza. Energa cintica. Trabajo y energa cintica. Fuerzas conservativas y no conservativas. Energa potencial gravitacional y elstica. Energa mecnica. Generalizacin de la ley de conservacin de la energa mecnica. Potencia. CAPTULO 6. Sistema de partculas Centro de masa. Posicin, velocidad y aceleracin del centro de masa. Cantidad de movimiento lineal de una partcula y de un sistema de partculas. Impulso de una fuerza. Segunda ley de Newton y la conservacin de la cantidad de movimiento lineal para un sistema de partculas. Energa cintica de un sistema de partculas. Colisin elstica e inelstica. CAPTULO 7. Cuerpo rgido Producto vectorial. Torque. Segunda condicin de equilibrio (Esttica del cuerpo rgido). Cantidad de movimiento angular. Momento de inercia. Rotacin alrededor de un eje fijo. Conservacin de la cantidad de movimiento angular. Energa en el movimiento de rotacin. Energa cintica de rotacin. Rodadura.

CAPITULO 1 INTRODUCCIN AL CURSOQUE ES LA FISICA? METODOLOGIA DE LA FISICA PARTES DE LA FISICA MAGNITUDES FSICAS: ESCALARES Y VECTORES. UNIDADES. SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES. MEDICIN. UNIDADES. Unidades fundamentales Unidades derivadas Prefijos comnmente encontrados. CONVERSION DE UNIDADES Factores de Conversin ANALISIS DIMENSIONAL a) Verificacin de una frmula especfica. b) Desarrollo de ecuaciones. c) Convertir un sistema de unidades a otro. CIFRAS S1GNIFICATIVAS Regla 1: Redondeo de un nmero Regla 2: Suma y Resta Regla 3: Multiplicacin y Divisin ERRORES Error absoluto Error relativo Porcentaje de error Clasificacin de errores. a) Error inherente b) Error de truncado c) Error de redondeo d) Error de interpolacin e) Error de aproximacin PROPAGACION ERRORES a) Suma de dos o ms variables. b) Diferencia de dos variables. c) Producto de dos o ms variables. d) Potencias y races. e) Cocientes. PRECISIN Y EXACTITUD RANGO DE ERROR O INCERTIDUMBRE ESTIMADOS Y CLCULOS DEL ORDEN DE MAGNITUD MODELOS IDEALIZADOS COMO ESTUDIAR FISICA? PREGUNTAS Y PROBLEMAS 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 4 4 4 4 5 6 6 6 6 7 7 7 7 7 7 7 7 7 8 9 9 9 10 10 11 11 12 13 13 14

CAPITULO 2

Movimiento rectilneo

DEFINICIN DE PARTCULA CONCEPTO DE MOVIMIENTO DE TRASLACIN Y ROTACIN CONCEPTO DE MOVIMIENTO CLASIFICACIN DEL MOVIMIENTO SISTEMAS DE REFERENCIA. POSICIN Y DESPLAZAMIENTO Sistemas de referencia Vector Posicin Desplazamiento Trayectoria y Ecuacin Horaria del Movimiento VELOCIDAD Y RAPIDEZ Rapidez Derivadas de algunas funciones Velocidad Velocidad instantnea ACELERACIN Aceleracin Media Aceleracin Instantnea o simplemente aceleracin MOVIMIENTO RECTILNEO UNIFORME MOVIMIENTO RECTILNEO UNIFORMEMENTE VARIADO La Ecuacin de Torricelli MOVIMIENTO VERTICAL CON ACELERACIN DE LA GRAVEDAD. a) Cada libre b) Lanzamiento hacia arriba c) Lanzamiento hacia abajo PROBLEMA INVERSO - CLCULO INTEGRAL Pequea Tabla de Integrales CINEMTICA DE PARTCULAS LIGADAS. MOVIMIENTOS DEPENDIENTES. PREGUNTAS Y PROBLEMAS

1 1 1 1 1 1 2 2 2 3 3 4 4 5 6 6 7 8 8 9 11 12 12 12 18 19 21 23

CAPITULO 3 Movimiento en un plano y en el espacio

MOVIMIENTO CIRCULAR Posicin angular Velocidad angular Aceleracin angular RELACIN ENTRE LAS MAGNITUDES ANGULARES Y LINEALES Hallar el desplazamiento angular a partir de la velocidad angular. Hallar el cambio de velocidad angular a partir de la aceleracin angular. MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORMEMENTE ACELERADO COMPONENTES NORMAL Y TANGENCIAL DE LA ACELERACIN Velocidad. Aceleracin. MOVIMIENTO CURVILNEO El radio de curvatura MOVIMIENTO PARABLICO Ecuacin de la trayectoria Tiempo de vuelo El alcance horizontal La altura mxima VELOCIDAD Y ACELERACIN RELATIVAS Movimiento Relativo de Traslacin Uniforme. La Relatividad de Galileo PREGUNTAS Y PROBLEMAS

1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 7 7 10 10 11 11 11 18 18 26

CAPTULO 4

Dinmica de una partcula

INTRODUCC1ON EL ORIGEN DEL MOVIMIENTO PRIMERA LEY DE NEWTON DEL MOVIMIENTO QU ES FUERZA? CAMBIO DE VELOCIDAD SEGUNDA LEY DE NEWON DEL MOVIMIENTO UNIDADES DE FUERZA Y MASA PESO DE UN CUERPO ACCION Y REACCIN TERCERA LEY DE NEWTON DEL MOVIMIENTO APLICACIONES DE LAS LEYES DE NEWTON ESTTICA DE LAS MASAS PUNTUALES. DINMICA CON FRICCIN DESPRECIABLE. FRICCIN Algunos valores tpicos de coeficientes de friccin DINMICA DEL MOVIMIENTO CIRCULAR FUERZA CENTRPETA CURVAS EN LAS PISTAS MOVIMIENTO EN MARCOS DE REFERENCIA NO INERCIALES MARCO CON MOVIMIENTO DE TRASLACION NO UNIFORME MARCO DE ROTACIN FUERZA CENTRFUGA FUERZA DE CORIOLIS PREGUNTAS Y PROBLEMAS

1 1 1 1 2 3 3 4 3 4 4 4 7 11 13 27 27 32 34 34 37 38 39 40

CAPITULO 5

TRABAJO Y ENERGA

INTRODUCCION TRABAJO ENERGIA CINETICA SISTEMAS CONSERVATIVOS Y NO CONSERVATIVOS LA FUNCION ENERGA POTENCIAL CONSERVACION DE LA ENERGA Observadores en movimiento relativo SISTEMAS NO CONSERVATIVOS LA CONSERVACIN DE LA ENERGA Y LA FRICCIN POTENCIA MAQUINAS PREGUNTAS Y PROBLEMAS

1 1 4 6 8 9 13 15 16 16 18 19

CAPTULO 6 SISTEMA DE PARTCULASINTRODUCCION SISTEMA DE PARTICULAS SEGUNDA LEY DE NEWTON APLICADA A UN SISTEMA DE PARTICULAS CENTRO DE MASA MOVIMIENTO DEL CENTRO DE MASA. IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO CONSERVACIN DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO SISTEMA DE REFERENCIA CENTRO DE MASA CHOQUES CASOS DE CHOQUE El pndulo balstico MOVIMIENTO CON MASA VARIABLE - PROPULSIN POR REACCIN CANTIDAD DE MOVIMIENTO ANGULAR Y TORQUE MOMENTO DE INERCIA MOMENT0 DE UNA FUERZA o TORQUE CONSERVACION DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO ANGULAR CONSERVACION DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO ANGULAR DE UN SISTEMA DE PARTICULAS. PREGUNTAS Y PROBLEMAS 1 1 1 2 2 4 6 9 9 11 18 20 22 23 23 24 26 30

CAPTULO 7 CUERPO RGIDOINTRODUCCION CUERPO RIGIDO MOVIMIENTO DE UN CUERPO RGIDO TRASLACION ROTACIN CANT1DAD DE MOVIMIENTO ANGULAR DE UN CUERPO RGIDO MOMENTO DE INERCIA DEL CUERPO RGIDO. El teorema de Steiner o de los ejes paralelos. El teorema de la figura plana SEGUNDA LEY DE NEWTON PARA ROTACION Maquina de atwood tomando en cuenta la polea EQUILIBRIO ESTTICO TRABAJO Y ENERGIA EN ROTACIN POTENCIA TRASLACIONES Y ROTACIONES COMBINADAS CONSERVACION DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO ANGULAR GIROSCOPOS Y TROMPOS - MOVIMIENTO DE PRECESION PREGUNTAS Y PROBLEMAS 1 1 1 1 1 2 2 2 2 5 7 11 15 16 24 35 43 44

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BIBLIOGRAFA

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INTRODUCCIN AL CURSO

Hugo Medina Guzmn

Capitulo 1. INTRODUCCIN AL CURSOQUE ES LA FSICA? La fsica es una ciencia dedicada a la comprensin de los fenmenos naturales que ocurren en el universo. El objetivo principal del estudio cientfico es desarrollar teoras fsicas basadas en leyes fundamentales que permitan predecir los resultados de algunos experimentos. Las leyes de la fsica tratan de describir los resultados de observaciones experimentales y de mediciones cuantitativas de los procesos naturales. La fsica es la ciencia ms simple porque estudia los sistemas ms simples. La fsica es la base de todas las dems ciencias. La relacin entre la fsica y la ingeniera es ms directa que la que existe entre la fsica y cualquier otra ciencia. En la ingeniera se trabaja con sistemas a los que se aplica inmediatamente los principios de la fsica. Cualquiera sea la rama de la ingeniera o de la ciencia a la que uno se dedique, va a encontrar a cada paso la aplicacin de las nociones que aprendi en la fsica. Siempre se encontrarn tiles los conceptos especficos de la fsica, las tcnicas que se emplean para resolver los problemas, la forma de pensar que se adquiere en el estudio de la fsica. METODOLOGIA DE LA FISICA La metodologa que se usa tiene tres formas caractersticas. La primera forma es el anlisis de un sistema fsico que se realiza en base a las propiedades de sistemas ms sencillos, estos sistemas estn relacionados de algn modo importante con el sistema original, pero poseen un nmero menor de factores en su comportamiento. Siendo estos ms sencillos se pueden investigar hasta entender bien sus propiedades, una vez que se obtenga el conocimiento de cada sistema se puede hacer una reconstruccin hasta lograr entender las propiedades del sistema original. La segunda forma parte del principio de que la fsica se fundamenta necesariamente en la experimentacin. A veces la teora sugiere el experimento, pero ms frecuentemente un experimentador realiza el trabajo inicial en un rea particular de la fsica y luego el fsico terico sintetiza los resultados de los experimentos y perfecciona el entendimiento de su significado. La tercera se refiere al uso frecuente de las matemticas. La fsica estudia las interacciones entre objetos. Los objetos interaccionan de acuerdo a ciertas leyes, sean estas conocidas o no. Como las leyes fsicas son casi siempre cuantitativas, es esencial poder establecer relaciones lgicas cuantitativas al estudiar los sistemas fsicos. Las reglas que gobiernan todas estas relaciones son objeto de las matemticas. Por eso se dice que la matemtica es el lenguaje de la fsica. PARTES DE LA FISICA 1 Actualmente la fsica se divide en dos clases: Fsica Clsica y Fsica Moderna. La fsica clsica se ocupa de los fenmenos y las leyes que se conocan hasta la final del siglo XIX. La fsica moderna se ocupa de los descubrimientos hechos desde entonces. La fsica clsica se subdivide en cierto nmero de ramas que originalmente se consideraban autnomas: la mecnica, el electromagnetismo, la ptica, la acstica y la termodinmica. La mecnica se ocupa del estudio del movimiento efectos fsicos que pueden influir sobre este. El electromagnetismo se ocupa del estudio de los fenmenos elctricos y magnticos y las relaciones entre ellos. La ptica se ocupa de los efectos fsicos que se asocian a la luz visible. La acstica al estudio de los efectos fsicos relacionados con los sonidos audibles. La termodinmica se ocupa de la generacin, el transporte y la disipacin del calor. Estas disciplinas que originalmente se desarrollaron independientemente, estn enlazadas por medio de la mecnica y el electromagnetismo. La fsica moderna se inici a fines del siglo XIX, con el descubrimiento de cierto nmero de fenmenos fsicos que entraban en conflicto con algunos conceptos de la fsica clsica. Bsicamente, esas alteraciones conceptuales fueron de dos tipos. Una de ellas estableci el lmite superior para las velocidades de las partculas a las que se aplicaban las leyes de la fsica clsica, esto se asocia a la Teora de la Relatividad de Einstein. El segundo se puede considerar como el establecimiento de un lmite inferior para las dimensiones lineales y de masa de los sistemas fsicos, para los que son vlidas las leyes clsicas, esto se asocia a la Teora de la Mecnica Cuntica. Para poder comprender estas dos teoras modernas y los fenmenos de que se ocupan, es necesario estudiar primeramente las leyes de la fsica clsica. MAGNITUDES FSICAS: ESCALARES Y VECTORES. En la descripcin y estudio de los fenmenos fsicos se han desarrollado (y se desarrollan) conceptos abstractos muy especiales llamados magnitudes fsicas. Estas magnitudes se definen por medio de un conjunto de operaciones experimentales que permiten obtener un nmero como medida de la magnitud en cualquier situacin. Esta definicin comprende dos pasos esenciales: 1) La eleccin de una unidad de medida con mltiplos y submltiplos y 2) un proceso para comparar la magnitud a medir con la unidad de medida y establecer un nmero (entero o fraccionario) como medida de la magnitud. Son ejemplos de magnitudes fsicas: la longitud, el rea, el volumen, el tiempo, la masa, la energa, la

INTRODUCCIN AL CURSO

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temperatura, la fuerza, la potencia, la velocidad, la aceleracin, etc. Llamamos magnitud fsica a aquella propiedad de un cuerpo que puede ser medida. La masa, la longitud, la velocidad o la temperatura son todas magnitudes fsicas. El aroma o la simpata, puesto que no pueden medirse, no son magnitudes fsicas. Las medidas de las magnitudes se realizan mediante las unidades de medida, establecidas por la Unin Internacional de Pesas y Medidas (UIPM), que forman el Sistema Internacional de unidades (S. I.), aunque existen otras unidades que se siguen usando por tradicin (como el kilate, que se emplea para medir la masa de las piedras preciosas). Magnitud escalar. Para muchas magnitudes fsicas basta con indicar su valor para que estn perfectamente definidas. As, por ejemplo, si decimos que Jos Antonio tiene una temperatura de 38 C, sabemos perfectamente que tiene fiebre y si Rosa mide 165 cm de altura y su masa es de 35 kg, est claro que es sumamente delgada. Cuando una magnitud queda definida por su valor recibe el nombre de magnitud escalar. Magnitudes vectoriales. Otras magnitudes, con su valor numrico, no nos suministran toda la informacin. Si nos dicen que Daniel corra a 20 km/h apenas sabemos algo ms que al principio. Deberan informarnos tambin desde dnde corra y hacia qu lugar se diriga. Estas magnitudes que, adems de su valor precisan una direccin se llaman magnitudes vectoriales, ya que se representan mediante vectores. En este tema estudiaremos los vectores y sus propiedades. UNIDADES. SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES. MEDICIN. La fsica es una ciencia experimental. Los experimentos requieren mediciones cuyos resultados suelen describirse con nmeros. Cualquier nmero empleado para describir cuantitativamente un fenmeno fsico se denomina cantidad fsica. Dos cantidades fsicas que describen a una persona son su peso y su altura. Algunas cantidades fsicas son tan bsicas que slo podemos definirlas describiendo la forma de medirlas, es decir, con una definicin operativa. Ejemplos de esto son medir una distancia con una regla, o un intervalo de tiempo con un cronmetro. En otros casos definimos una cantidad fsica describiendo la forma de calcularla a partir de otras cantidades medibles. As, podramos definir la velocidad media de un objeto como la distancia recorrida (medida con una regla) dividida por el tiempo de recorrido (medido con un cronmetro). UNIDADES. Al medir una cantidad, siempre la comparamos con un estndar de referencia. Si decimos que un automvil mide 4,29 m, queremos decir que es 4,29 veces ms largo que una regla de 2

medir, que por definicin tiene 1m de largo. Este estndar define una unidad de la cantidad. El metro es una unidad de distancia, y el segundo, de tiempo. Al describir una cantidad fsica con un nmero, siempre debemos especificar la unidad empleada; describir una distancia como "4,29" no significa nada. Las mediciones exactas y fiables exigen unidades inmutables que los observadores puedan duplicar en distintos lugares. El sistema de unidades empleado por los cientficos e ingenieros se denomina comnmente "sistema mtrico", pero desde 1960 su nombre oficial es Sistema Internacional, o SI. Las definiciones de las unidades bsicas del sistema mtrico han evolucionado con los aos. Cuando la Academia Francesa de Ciencias estableci el sistema mtrico en 1791, el metro se defini como una diezmillonsima parte de la distancia entre el Polo Norte y el Ecuador (ver figura). El segundo se defini como el tiempo que tarda un pndulo de 1m de largo en oscilar de un lado a otro. Estas definiciones eran poco prcticas y difciles de duplicar con precisin, por lo que se han sustituido por otras ms refinadas y por acuerdo internacional.

Unidades fundamentales Las fuerzas, velocidades, presiones, energas, en realidad todas las propiedades mecnicas, pueden expresarse en trminos de tres cantidades bsicas: masa, longitud y tiempo. En el sistema SI, las unidades correspondientes son: Masa Kilogramo Longitud Metro Tiempo Segundo Estas unidades se conocen como unidades fundamentales. TIEMPO Desde 1889 a 1967, la unidad de tiempo se defini como una cierta fraccin del da solar medio (el tiempo medio entre llegadas sucesivas del Sol al cenit). El estndar actual, adoptado en 1967, es mucho ms preciso; se basa en un reloj atmico que usa la diferencia de energa entre los dos estados energticos ms bajos del tomo de cesio. Cuando se bombardea con microondas de una determinada frecuencia, los tomos de cesio sufren una transicin entre dichos estados. Se define un segundo como el tiempo requerido por 9 192 631 770 ciclos de esta radiacin. LONGITUD

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En 1960 se estableci tambin un estndar atmico para el metro, usando la longitud de onda de la luz naranja emitida por tomos de kriptn (86Kr) en un tubo de descarga de luz. En noviembre de 1983 el estndar se modific de nuevo, esta vez de forma ms radical. Se defini que la velocidad de la luz en el vaco es exactamente 299 792 458 m/s. Por definicin, el metro es consecuente con este nmero y con la definicin anterior del segundo. As, la nueva definicin de metro es la distancia que recorre la luz en el vaco en 1/299 792458 s. ste es un estndar de longitud mucho ms preciso que el basado en una longitud de onda de la luz. MASA El estndar de masa, el kilogramo, se define como la masa de un determinado cilindro de aleacin platinoiridio que se guarda en la Oficina Internacional de Pesos y Medidas en Sevres, cerca de Pars. Un estndar atmico de masa, sera ms fundamental, pero an no podemos medir masas a escala atmica con tanta exactitud como a escala macroscpica. Unidades derivadas Las cantidades que interesan a los cientficos no se limitan a masa, longitud y tiempo. A menudo el comportamiento de objetos se describe en trminos de sus velocidades; hay que identificar las fuerzas que actan sobre los cuerpos; se paga por la energa que consumen los aparatos domsticos y nos interesa la potencia que pueda desarrollar un motor; la presin atmosfrica es un indicador til de las condiciones del tiempo. Todas las anteriores propiedades, aparentemente dispares, que se miden en metros por segundo (velocidad), newton (fuerza), joules (energa), watts (potencia) y pascales (presin), finalmente se pueden expresar como productos de potencias de masa, longitud y tiempo. Esas unidades, por tanto, se conocen como unidades derivadas, para distinguirlas de las tres unidades fundamentales. Prefijos comnmente encontrados. Utilizamos con frecuencia prefijos para obtener unidades de un tamao ms conveniente. Ejemplos de prefijos comnmente encontrados: 1 manmetro = 1 nm = 10-9 m (un poco ms grande que el dimetro del tomo) 1 micrmetro = 1 m =10-6 m (una clula de sangre humana es aproximadamente de 7 m) 1 milmetro = 1 mm =10-3 m (el carbn del lpiz es aproximadamente de 0,5 milmetros en dimetro) 1 centmetro = 1 cm =10-2 m (el dimetro de un bolgrafo) 1 kilmetro = 1 km = (1000 m) 1 microgramo = 1 g =10-6 g = 1-9 kg (masa de una partcula pequea de polvo) 1 miligramo = 1 mg = 10-3 g = 10-6 kg (una gota de agua es aproximadamente 2 mg) 1 gramo = l g = 10-3 kg (la masa de un clip para papel es de aproximadamente 1 g) 3

1 nanosegundo = 1 ns =10-9 s (tiempo en el que la luz viaja 30 m) 1 microsegundo = 1 s = 10-6 s (tiempo en el que una bala del rifle viaja 1 m) 1 milisegundo = 1 ms = 10-3 s (cerca de 14 ms entre los latidos del corazn) CONVERSION DE UNIDADES Algunas veces encontramos los datos dados en unidades distintas al sistema SI. En este caso debemos convertir las unidades al sistema SI usando los factores conocidos de conversin. La tabla siguiente muestra tales factores. Factores de Conversin Longitud 1 pulgada (in) = 2,54 centmetros (cm) 1 pie (ft) = 0,3048 metro (m) 1 milla (mi) = 5280 ft = 1,609 kilmetros (km) 1 m = 3,281 ft 1 km= 0,6214mi 1 ngstrom

o A = 10-10 m

1 ao luz = 9,461 x 1015 m 1 unidad astronmica (AU) = 1,496 x 1011m 1 prsec (pc) 3,09 x 1016 m Masa 1 slug = 14,59 kilogramos (kg) 1 kg = 1000 gramos = 6,852 x 10-2 slug 1 unidad de masa atmica (amu) = 1,6605 x 10-27 kg (1 kg tiene un peso de 2,205 lb donde la aceleracin de la gravedad es 32,174 ft/s2) Tiempo 1 dia =24 h= 1,44 x 103 min = 8,64 x 104 s 1 ao = 365,24 das = 3,156 x 107s 1 hora (h) =60min =3600s Velocidad 1 mi/h = 1,609 km/h = 1,467 ft/s 0,4470 m/s 1 km/h = 0,6214 mi/h = 0.2778 m/s 0,9113 ft/s Volumen 1 litro (L) = 10 m3 = 1000 cm3 = 0,353 1 ft3 1 ft3 = 0,02832 m3 = 7,481 U.S. galones (gal) 1 U.S. gal = 3,785 x 10 m3 = 0,1337 ft3 Fuerza 1 pound (lb) = 4,448 Newton (N) 1 N = 10 Dinas = 0,2248 lb Trabajo y Energa 1 joule (J) = 0,7376 ft.lb = 107 ergios 1 kilogramo-calora (kcal) = 4186 J 1 Btu (60F) = 1055 J 1 kilowatt-hora (kWh) = 3,600 x 106 J 1 electron volt (eV) = 1,602 x 10-19 J Angulo 1 radian (rad) = 57,30 1 = 0,0 1745 rad Presin 1 pascal (Pa) 1 N/m2 = 1,450 x 104 lb/in2 1 lb/in2 = 6.895 x 10-5 Pa

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l atmsfera (atm)= 1,013 x 10 Pa= 1,013 bar = 14,70 lb/in2 = 760 torr Potencia 1 horsepower (hp) = 550 ft.lb/s = 745,7 W 1 watt (W) = 0,7376 ft.lb/s ANALISIS DIMENSIONAL La especificacin numrica de una cantidad fsica depende de las unidades que se empleen. Por ejemplo, aunque una distancia se mida en unidades de metros o pies o millas siempre ser una distancia. Se dice que su dimensin es de longitud, la denominacin no depende del sistema de unidades empleado. Los smbolos usados para especificar la 1ongitud, la masa y el tiempo son L, M y T, respectivamente. Para denotar las dimensiones de una cantidad se usan corchetes, por ejemplo de distancia l = L, de velocidad v = L/T, de rea A = L2. Entre sus aplicaciones tenemos: a) Verificacin de una frmula especfica. El anlisis dimensional utiliza el hecho de que las dimensiones se pueden tratar como cantidades algebraicas (se pueden sumar y restar slo si se tienen las mismas dimensiones). Si una ecuacin se lee A=B+C Los trminos A, B, y C deben tener las mismas dimensiones. Ejemplo 1. Verificar la frmula siguiente

x m a g bt cDonde a, b y c son exponentes que deben ser determinados y el smbolo indica proporcionalidad. Esta ecuacin es correcta nicamente si las dimensiones de ambos lados son iguales, como la dimensin de x es de longitud, la dimensin, del lado izquierdo tambin debe ser de longitud.

[m

a

g bt c = Lb

]

L M 2 Tc = L T a b c - 2b M LT =La

[]

[ ]

[]

Igualando exponentes en ambos miembros obtendremos a = 0, b =1, c-2b = 0 De aqu a = 0, b = 1 y c = 2 Por lo tanto la expresin debe tener la forma

x gt 2 o x = kgt 2El anlisis dimensional puede describir la forma de la ecuacin pero no indica el valor de la constante k. Ejemplo 2. Mediante el anlisis dimensional determinar la expresin para la aceleracin centrpeta de una partcula que describe un movimiento circular uniforme. Solucin. Supongamos que la aceleracin centrpeta depende de la velocidad, del radio de curvatura y el peso

ac = kv a R bW caceleracin centrpeta velocidad

x = x 0 + vt +

1 2 at , donde x y x0 representan 2

[ac ] =

L T2

distancias, v es velocidad, a es aceleracin y t es un intervalo de tiempo. Solucin. Como

[v] = LT

[x] = [x0 ] + [vt ] + 1 at 2 = L 2 Y las dimensiones de la velocidad son L/T y de la aceleracin L/T2, tenemos:

[] ML peso [W ] = 2radio v = L

T

Reemplazando

[vt ] = L (T ) = L

T 1 2 L 2 2 at = T 2 T = L

L L b ML = (L ) 2 2 T T T LT -2 = La +b +c

a

c

( )

Podemos ver que esta frmula es correcta porque todos los trminos tienen la dimensin de longitud. b) Desarrollo de ecuaciones. Esto lo podemos ver en el ejemplo de encontrar la distancia recorrida por un cuerpo en cada libre. Pongamos que esta cada puede depender de la masa, la aceleracin de la gravedad y del tiempo.

Igualando exponentes para L: 1 = a + b + c para T: 2 = a 2c para M: 0 = c de donde obtenemos a = 2 , b = 1 y c = 0 por lo tanto

T a 2c M c

ac = kv 2 R 1 = k

v2 R

x = f (m, g , t )

El procedimiento para el anlisis dimensional es poner la expresin en la forma 4

c) Convertir un sistema de unidades a otro. Si tenemos una frmula en un sistema de unidades podemos convertirlo a una frmula en otro sistema de unidades. Sean L1, M1, T1 y L2, M2, T2 sus unidades.

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Si la cantidad G de una ecuacin tiene dimensiones G = La Mb Tc. Se mide g1 con la unidad G1, y mide g2 con la unidad G2, la relacin es:

g1

2 M1 M2 = g2 2 22 L2 T12 L 2 T2 1

g1G1 = g 2 G2 g 2 = g 1

G1 G2

L g 2 = g1 1 L 2

a

M1 M 2

b

T1 T 2

c

g 2 = g1

M1 M 2 L1 L 2 2

2

Ejemplo 3. Si en el sistema MKS la frmula para el clculo de la variable R de unidades kg/ms aparece como R = 1,782 A + p Donde. p tiene unidades de m/s y A de km/m3. Hallar la frmula en el Sistema Ingls. 1 kg = 2,2 1b l m = 3,28 pie Solucin. Sean en el sistema MKS, L1, M1, T1, y en el sistema Ingls, L2, M2, T2. Las relaciones entre estos sistemas son;

5p

1 2

(2,2)2 g2 = 5 (3,28)2 (1)21

T1 T 2

2

= 2,25

Luego en el Sistema Ingls la ecuacin correspondiente es

2,25 p 2 R= 95,75 A + p Para comprobar esta expresin evaluemos R1 para p1 = 1

M1 L T = 2,2 , 1 = 3,28 , 1 = 1 M2 L2 T2

2 5p En la ecuacin R = 1,782 A + p [R] = M , [ p] = L , [A] = M LT T L3La cantidad l,782 A tiene las mismas unidades que p

1

kg m , A1 = 1 3 y R2 para s m pie p 2 = 3,28 , s 2,2 lb lb A2 = = 6,23 10 2 3 pie 3 (3,28 pie ) kg lb y R2 = 0,899 pie.s m.s

Operando en las ecuaciones respectivas obtenemos

R1 = 1,34

Realizando la conversin de unidades R1 encontramos que es equivalente a R2. CIFRAS SIGNIFICATIVAS Cuando e realizan mediciones, los valores medidos se conocen nicamente dentro de los lmites de la incertidumbre experimental, 1o datos medidos inherentemente no son exactos y si se registran en notacin decimal consisten de un conjunto finito de dgitos llamados cifras significativas, la ltima de las cuales es conocida como cifra dudosa. Cuando se mide una longitud mediante una regla se observa la lectura de un instrumento en el cual hay una escala, el punto de observacin para la lectura llega a una posicin como la que se indica en la figura siguiente.

[1,782 A] = [1,782][A] = [1,782 ] M = L 3L TLas unidades de 1,782 son

[1,782 ] = [5 ] =

L4 MT

Observando la ecuacin de R, concluimos que las unidades de 5 son las correspondientes a (R)2.

M2 L2 T 24

Para obtener el valor correspondiente a 1,7132 en el sistema Ingls

L1 L 4 4 L1 L2 g 2 = g1 2 g1 = g2 M1T1 M 2 T2 M1 T1 M T 2 2

(3,28)4 = 95,75 g 2 = 1,7132 (2,2)(1)

Para obtener el valor correspondiente a 5 en el sistema Ingls

Se puede leer exactamente hasta 11 y apreciar un dgito ms, este ltimo depende de cada persona puede ser 11,6 , 11,5 11,7. Si suponemos que nuestros instrumentos estn adecuadamente construidos, entonces las lecturas que tomemos tendrn significado y sern reproducibles, excepto el ltimo digito, el de los dcimos de la 5

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divisin ms pequea, ser aunque con significado un poco incierto. Por lo que no hay objeto en aadir una segunda cifra incierta. Una cifra significativa es cualquier dgito que denota la magnitud de la cantidad segn el lugar que ocupa en un nmero. Por ejemplo si escribimos S/. 10,52, todas las cifras son significativas, el uno representa el nmero de decenas en soles, el 0 representa que no hay unidad de sol y es significativo y finalmente sabemos que tenemos 52 cntimos. En la expresin 0,01052 gr. el primer cero de la izquierda sirve para llamar la atencin hacia la coma, el segundo cero muestra que el 1 ocupa el segundo lugar despus de la coma. Estos ceros no son significativos, sin embargo el 0 entre 1 y 5 es significativo. 10,52 tiene cuatro cifras significativas (1, 0, 5 y 2) 0,01052 tiene cuatro cifras significativas (1, 0, 5 y 2) La incertidumbre ms pequea posible con cualquier aparato de medicin es mitad del lmite de la lectura. Sin embargo, la mayora de las investigaciones generan una incertidumbre mayor que esto. La tabla siguiente enumera la incertidumbre de algunos equipos comunes del laboratorio. Regla de metro Calibrador vernier Micrmetro Reloj de segundos Cronmetro Dinammetro

Regla 3: Multiplicacin y Divisin El nmero de cifras significativas del producto cociente ser redondeado a un nmero de Significativas igual a aquel componente de aproximacin como se muestra en los ejemplos: 3,14159 x 21,13 = 66,38179 = 66,38 3,14159 / 21,13 = 0,14868 = 0,1487 Esto es porque 21,13 tiene slo cuatro cifras significativas, el resultado se redondea a cuatro cifras significativas Regla 4. Potencias y races La potencia o raz de un nmero de n cifras significativas se redondea a n cifras significativas. como se muestra en los ejemplos: 2,14 2 = 4,5796 = 4,58 2,14 3 = 9,800344 = 9,80

2,14 = 1,46287 = 1,46

3

2,14 = 1,288658 = 1,29

0,05 cm 0,005 cm 0,005 mm 0,5 s 0,0005 s 0,1 N

Cuando se anotan y se manipulan nmeros obtenidos por medidas, sern de mucha ayuda las siguientes reglas: Regla 1: Redondeo de un nmero En el proceso de rechazo de uno o varios de los ltimos dgitos. La ltima cifra retenida se incrementar en 1 si la cifra rechazada es 5 o mayor. Ejemplo. Nmero Redondeo a dado Cuatro Tres Dos cifras cifras cifras 62,578 62,58 62,6 63 10 232 10 230 10 200 10 000 329 350 329 400 329 000 330 000 Regla 2: Suma y Resta El nmero de cifras significativas de la suma o diferencia ser redondeado desechando todas las cifras a la derecha del lugar ocupado por la cifra incierta en cualquiera de las cantidades que est ms hacia la izquierda, como se muestra en el ejemplo:

Ejemplo 4. Cules son los resultados en las cifras correctas de las siguientes operaciones indicadas? a) 2,5 x 10-2 x 20 b) 3,32 x 103 + 3,2 x 10 c) 4,52 x 108 + - 4,2 x 103 d) 2,801 x 4 x 10-3 e) 6,2 x 104 / 3,0 x 10 Solucin. Aqu todos los nmeros estn expresados en notacin cientfica. Por ejemplo: 0,025 = 2,5 x10-2 = 2,5(-02), tiene 2 cifras significativas 20 = 2 x 10 = 2(+1), tiene una cifra significativa. a) 2,5 x 10-2 x 20 = 5 x 10-1 b) 3,32 x 103 + 3,2 x 10 = 3,35 x 103 c) 4,52 x 108 - 4,2 x 103 = 4,52 x 108 d) 2,801 x 4 x 10-3 = 11 x 10-3 e) 6,2 x 104 / 3, 0 x 10 = 2,1 x 103 Ejemplo 5. Para determinar la densidad de un lquido se toman 10 cm3 de ste. La masa del lquido medida en una balanza es 15,38g. Cul es la expresin correcta de la densidad? Solucin. La densidad del lquido es

=

m 15,38 g = = 1,538 3 10 V cm

Siendo 10 el nmero con menos cifras significativas (2), el resultado se redondea a 2 cifras significativas. La expresin correcta de la densidad es

= 1,5

g cm 3

ERRORES Como hemos indicado las mediciones fsicas involucran incertidumbre. El valor exacto de una magnitud medida es algo a lo cual intentamos aproximarnos pero que nunca conocemos. Un nmero de lecturas cuando se promedia se considera como el 6

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mejor acercamiento al verdadero valor de una lectura, y la diferencia entre una lectura y la verdadera lectura o lectura exacta se llama error. Aqu la palabra error no significa equivocacin sino una incertidumbre. Error absoluto es la diferencia entre el valor aceptado N (asumimos conocido) y el valor aproximado N , obtenido por mediciones o clculos.

Si se usan los dos primeros trminos. 3 2 et = N - N = 1,00000 + = +0,07516 2 3! (+7,5%) Si se usan los tres primeros trminos.

e= N-NError relativo es la relacin entre el error absoluto e y el valor aceptado N

2 2 et = N - N = 1,00000 + 2 3! 5!3

5

e=

e N = 1 N N

= -0,00453 (-0,5%) Si se usan los cuatro primeros trminos. et = 0,00015 , el error de truncado ya es insignificante. c) Error de redondeo (er ) , es el error introducido por redondeo de un decimal. Por ejemplo. Si = 3,14159 Si redondeamos a = 3,14, entonces:

Porcentaje de error es el nmero de partes por cada 100 en que un nmero est errado

N e% = (100e )% = 1 % N Cuando calcule el porcentaje de error en fsica elemental no use ms de dos cifras significativas. Por ejemplo si una pista para carreras de 3500 metros tiene 17 metros ms. El error absoluto o simplemente error es

er = 3,14159 - 3,14 = 0,00159 y 0,00159 er = 100 = 0,05% 3,14159 d) Error de interpolacin (e p ) , es el errorintroducido por la aproximacin de un valor por su equivalente interpolado. Por ejemplo: Si conocemos la circunferencia de un crculo de l0 metros de dimetro y de otro circulo de 11 metros. C10 = 10 = 31,42 m y

e = 17 m

El error relativo es

e=

17 3500

C11 = 11 = 34,56 mPor interpolacin lineal la circunferencia de un crculo de 10,6 metros es: Pero el valor exacto es

El porcentaje de error es

17 e% = 100% = 0,49% 3500Clasificacin de errores. En los clculos numricos pueden ocurrir cinco tipos de errores bsicos. a) Error inherente (ei ) . Es el error en los datos iniciales debido a mediciones, observaciones o registros inexactos. b) Error de truncado et . Es el error creado por representar una funcin con slo unos cuantos trminos de una serie. Por ejemplo: El valor correcto de N = sen

C10,6 = C10 + (C11 C10 ) 0,6 = 33,30 m

C10,6 = 10,6 = 33,31 m e p = 33,31 33,30 = 0,01 m ep % =

De aqu

0,01 100 = 0,03% 33,31 e) Error de aproximacin (ea ) , es el erroro introducido por la aproximacin de una constante o una funcin por un valor elegido. Por ejemplo: La aceleracin debido a la gravedad g = 9,80665 m/s2 puede aproximarse por:

2

= 1,000

El valor aproximado de N computado por expansin de series es:

g= g=

51 m 10 = 9,80769 2 ea % = 0,01% 52 s

2 2 2 N= ... + 2 3! 5! 7!3 5 7

mejor por

507 m 10 = 9,80658 2 517 s ea % = 0,00%(El error aparece en el cuarto decimal)

Si se usa solo el primer trmino.

et = N - N = 1,00000

= -0,57080 (-57%)

27

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Error cuadrtico medio o desviacin normal o estndar En general cuando se realiza una medicin cualquiera siempre se comete error, cuando repetimos las mediciones varias veces, encontramos casi siempre resultados diferentes para cada una, aunque empleemos el mismo mtodo y el mismo aparato. Las mediciones sucesivas de un objeto determinado presentan discrepancias debido a los errores al azar o aleatorios de las medidas. Si la longitud verdadera de una varilla es l 0 la media aritmtica de un gran nmero de medidas sucesivas ser un nmero que representa la longitud media l m . Una medida Individual cualquiera tendr una desviacin de la media e = l l m , cantidad que puede ser positiva o negativa segn l sea mayor o menor que l m , es decir

mm el error absoluto o incertidumbre de la medida es l = 0,05 mm. Ejemplo 6. Un estudiante realiza varias mediciones de la masa de un cuerpo, obteniendo los siguientes resultados: 35,73 g , 35,76 g , 35,80 g, 35,76 g, 35,70 g Cul es el mejor valor estimado de la masa del cuerpo? Solucin. La masa media es: 35,73 + 35,76 + 35,80 + 35,76 + 35,70 mm = 5 = 35,75 g La desviacin de la media de cada medicin es:

l = lm eSi elevamos al cuadrado cada uno de los valores de e y tomamos la media de todos los

e 2 , obtenemos

2 em que es la varianza de las medidas.

m1 mm = 35,73 35,75 = 0,02 m2 mm = 35,76 35,75 = 0,01 m3 mm = 35,80 35,75 = 0,05 m4 mm = 35,76 35,75 = 0,01 m5 mm = 35,70 35,75 = - 0,05La varianza de las medidas es:2 em =

2 em =

e1=1

n

2 i

( 0,02 )2 + (0,01)2 + (0,05)2 + (0,01)2 + ( 0,05)25

n

A la raz cuadrada de esta meda se la conoce como el error cuadrtico medio o desviacin normal o estndar .

= 0,0112 La desviacin normal2 = em = 0,0112

= 0,0334

La incertidumbre o error estndar de la medida es:

= e

2 m

Cuanto mayor sea el nmero n de medidas, menor ser la diferencia entre su media l m y la longitud verdadera l 0 , es decir el error estndar de la media,

m =

n

=

0,0334 5

= 0,01496 = 0,02

El mejor valor estimado es:

, ser menor. Por esto el mejor valor estimado

n de l 0 es:l = lm

m = mm m = 35,75 0,02 m = (35,75 0,02 ) g

= l m l n En donde l es la incertidumbre o error absoluto

Si hubiramos realizado una sola medicin con una balanza cuya menor divisin es de 0,1 g la incertidumbre seria 0,05 y el resultado de la medicin podra expresarse as:

m = (35,75 0,05) g

68 por ciento de las veces dentro de una distancia l del valor verdadero pero desconocido l 0 . De esta forma podemos presentar el resultado final de un experimento en el cual se mide varias veces una magnitud. Sin embargo, muchas veces realizamos slo una medicin de la magnitud. En este caso se considera generalmente que la incertidumbre o error absoluto es igual a la mitad de la divisin menor de la escala del instrumento. Por ejemplo: si para medir longitudes se usa una regla cuya divisin minina es 1

determinado a partir de n mediciones. En el caso de verdaderos errores aleatorios, la media l m cae en un

Observemos que en ambos casos la incertidumbre corresponde al segundo orden decimal (0,02 y 0,05 respectivamente) incidiendo por lo tanto en la cifra 5, que es la cifra dudosa. PROPAGACIN ERRORES La determinacin experimental de algunas cantidades fsicas tales como densidad o volumen se obtienen por medicin directa. Generalmente, la cantidad a determinar se re1aciona de alguna manera conocida a una o ms cantidades medibles. El procedimiento es medir estas cantidades y con estas calcular por medio de relaciones conocidas la cantidad original. Por ejemplo el volumen de un cilindro puede conocerse si tenemos su longitud y Su dimetro. Estas pueden medirse directamente, cada una con su intervalo de 8

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error asociada, Estos intervalos de error determinan el Intervalo de error de la cantidad calculada. Es importante saber como hacer esta determinacin de la propagacin de errores. A continuacin determinemos los errores para diferentes situaciones. a) Suma de dos o ms variables. Consideremos z = x + y .

magnitudes la incertidumbre en el resultado es la raz cuadrada de la suma en cuadratura de las incertidumbres en las magnitudes. Ejemplo 7. Medimos la masa de un tomillo y obtenemos m1 m1 = (253 5) g , luego medimos tambin la masa de una tuerca, m2 m2 = (48 5) g . Cunto vale la masa M del tornillo y la tuerca juntos? Solucin. Evidentemente, la masa M es

z z = ( x x ) + ( y y )

Puesto que x e y tienen las incertidumbres x y y , cul es la incertidumbre z en z? Los mayores valores posibles para x e y son x + x e y + y , respectivamente, dando un valor superior de z = x + y . Los menores valores posibles para x e y son x x e y y , respectivamente, dando un valor inferior de z = (x + y ) . Es decir, los valores lmites para z son

M = m1 + m2 == 253 + 48 = 301 gLa Incertidumbre en la suma es2 M 2 = m12 + m2 = 50 = 7 g

y el resultado final es

M = (301 7 ) g

Sin embargo, no utilizamos los (x + y ) como la incertidumbre. La razn es que para que z realmente valga z = ( x + y ) (x + y ) se necesita que la incertidumbre en la medicin, tanto de x como de y, sea tal que los dos resultados experimentales sean subestimaciones. Ms probable es que uno de los resultados sea un poco bajo y el otro un poco alto. Si ste es el caso, la incertidumbre en una de las mediciones puede compensar, en parte, la incertidumbre en la otra. Para tomar en cuenta esta posibilidad, lo que hacemos no es sumar las incertidumbres, sino que calculamos

z = ( x + y ) (x + y )

Ejemplo 8. Cul es la diferencia M entre las masas m1 y m2 del tornillo y la tuerca respectivamente? Solucin. Evidentemente, la masa M es

M ' = m1 m2 == 253 48 = 205 gLa Incertidumbre en la diferencia tambin es2 M ' 2 = m12 + m2 = 50 = 7 g

y el resultado final es

M ' = (205 7 ) g

z = x 2 + y 2Esta manera de combinar las incertidumbres, sumndolas elevadas al cuadrado, se llama suma en cuadratura. La incertidumbre z calculada de esta manera es siempre mayor que las a x y y por separado, pero menor que la suma x + y . La diferencia entre simplemente sumar las incertidumbres y sumarlas en cuadratura es que la suma simple da la incertidumbre mxima en el resultado, mientras que la suma en cuadratura da la incertidumbre ms probable. b) Diferencia de dos variables Consideremos z = x y .

z z = ( x x )( y y ) = xy yx xy + xy el error de z es z = yx + xyconsiderando el mayor valor posible y no tomando en cuenta xy por se el producto de dos cantidades pequeas. El significado de esto se ms claramente en el error relativo.

c) Producto de dos o ms variables. Supongamos z = xy

z yx + xy x y + = = z xy x y

Ejemplo 9. Cul es el producto de (2,6 0,5) cm

z z = ( x x ) ( y y )

y (2,8 0,5) cm? Solucin. Primero, determinamos el producto de 2,6cm x 2,8cm = 7,28 cm2 Error relativo 1 =

La incertidumbre que queremos es la incertidumbre ms probable, que viene a ser la raz cuadrada de la suma en cuadratura de las incertidumbres

z = x 2 + y 2Por lo tanto, tenemos una regla para la propagacin de incertidumbres Cuando sumamos o restamos dos 9

0,5 = 0,192 2,6 0,5 Error relativo 2 = =0,179 2,8Suma de los error relativos = 0,371 o 37,1 %

INTRODUCCIN AL CURSO Error absoluto = 0,37l x 7,28 cm2 o 3,71 % x 7,28 cm2 = 2,70cm2 Los errores son expresados con una cifra significativa = 3 cm2 El producto es igual a 7,3 3 cm2 d) Potencias y races. Sea z = x Donde n es el nmero entero o fraccin positivo o negativo.n

Hugo Medina Guzmn

Ejemplo 12. Encontrar el error en el clculo de

z=

1 = x 3 3 x x x4

Solucin.

z = 3x 31 x = 3 x 4 x = 3

z z = ( x x )n

Como los errores son indeterminados debemos elegir el signo de tal manera que ste sea el mximo, por esto:

n

z = 3n

Esto se puede escribir

x x4

x z z = x 1 x

y el error relativo es

x Haciendo la expansin binomial de 1 + x x = 1 + x n

n

x 3 4 x z = x =3 1 z x 3 x

e) Cocientes. Supongamos z =2 3

1+ n

ignorando las potencias mayores que 1 de x

x n(n 1) x n(n 1)(n 2) x + + ... + 2! x 3! x x n

x y (x x ) z z = ( y y )1

x x 1 + = 1+ n x x De aqu

Esto se puede escribir como:

z z = ( x x )( y y )1

x z z = x n 1 n x n 1 El error de z es z = nx xY el error relativo es

x 1 y = x1 1 x y y x x y 1 1 m y x y

z x =n z x

x x y x y 1 + y x y x y

Ejemplo 10. Encontrar el error en el clculo de

z = x2Solucin.

Ignorando el ltimo trmino por se muy pequeo y tomando el valor mximo para z . El error de z es:

z = 2 x 21 x = 2 xxE error relativo es

z =

x x y yx + xy = + y x y y2

z x =2 z x

El error relativo es:

Ejemplo 11. Encontrar el error en el clculo de

z = x = x1 2Solucin

yx + xy yx + xy x y z y2 = = = + x z xy x y yEjemplo 13. Supongamos que queremos calcular la densidad de un cilindro de metal habiendo medido su masa M, su longitud L y su dimetro D. Al mismo tiempo queremos calcular el error relativo resultante de los errores en las cantidades medidas. Sabemos que la densidad est dada por la ecuacin

z =

1 2 1 1 x x x = 2 2 x1

E error relativo es

z 1 x = z 2 x

10

INTRODUCCIN AL CURSO

Hugo Medina Guzmn

=

(D 2 ) L2

M

=

4M D 2 L

Solucin.

=

4M 4 = MD 2 L1 2 D L

Como 4 y

M M 2D El error relativo de D es D L El error relativo de L es LEl error relativo de M es De aqu El error relativo de

son cantidades exactas no tienen error.

Ejemplo 16. La medida de los lados de un rectngulo son (1,53 0,06) cm, y (10,2 0,1) cm, respectivamente. Hallar el rea del rectngulo y el error de la medida indirecta. Solucin. El rea es A = 1,53 10,2 = 15,606 cm2 Como debe de tener solamente 3 cifras significativas

A = 15,6 cm 2El error relativo del rea

A 0,06 0,1 = + = 0,0404422504 A 1,53 10,2 El error absoluto del rea

2

2

es

A = 0,0404422504(1,53 10,2 ) = 0,63083

M 2D L = + + M D L2

El error absoluto con una sola cifra significativa es 0,6. La medida del rea junto con el error y la unidad se escribir como

Ejemplo 14. El volumen de un cilindro de base circular es V = R L . Cunto vale la incertidumbre o error en el volumen en trminos de las incertidumbres R y L ? Solucin. Como es cantidad exacta no tienen error.

A = (15,6 0,6 ) cm 2

Ejemplo 17. Se mide x con una incertidumbre x y se calcula y = ln x . Cunto vale y ? Solucin.

2R El error relativo de R es R L El error relativo de L es LDe aqu El error relativo de V es

y + y = ln ( x + x )

En este caso podemos usar aproximaciones para cantidades pequeas, cuando x m 2 ), que estn unidas mediante una cuerda que pasa sobre una polea. Considerar la cuerda inextensible y sin masa. Asimismo, no tornar en cuenta la friccin y la masa de la polea. Describir el movimiento y calcular la tensin en la cuerda.

Solucin. En el D. C. L. de m1:

F1 FA m1 g = m1 a (1) En el D. C. L. de la cuerda de masa m3: FA FB m3 g = m3 a (2) FB m2 g = m2 a(3)

Solucin. Siendo m1 mayor que m 2 , la masa m1 se mover hacia abajo con una aceleracin a y la masa m 2 se mover hacia arriba con la misma aceleracin a . La figura siguiente muestra los diagramas de cuerpo libre de cada una de las partes del sistema.

En el D. C. L. de m2:

8

Dinmica de una partcula

Hugo Medina Guzmn Ahora la reaccin del piso es R ' . Aplicando la Segunda Ley de Newton al movimiento de la persona

R' mg = ma R ' = m( g + a )

Si el ascensor sube el pasajero se siente ms pesado, como si fuera empujado contra el piso. Si el ascensor desciende con esta aceleracin, R ' mg = ma R ' = m( g a ) , el pasajero se siente ms liviano. La polea cumple la funcin de cambiar la direccin T1 Considerando el sentido de la aceleracin o como positiva. Aplicando la Segunda Ley de Newton a la masa m1 Ejemplo 11. La figura muestra a un hombre elevndose mediante una fuerza vertical que aplica l mismo a la cuerda que tiene en las manos. Si el hombre y la silla juntos tienen una masa de 100 kg. Se pregunta: a) Con qu fuerza debe jalar para, subir con una velocidad constante? b) Con qu fuerza debe jalar para subir con una aceleracin de l m/s2 (considerar g = 10 m/s2?

m1 g T1 = m1 aAplicando la Segunda Ley de Newton para la masa m2 :

T1 m2 g = m2 aDe estas dos ecuaciones obtenemos:

a=

(m1 m2 ) g (m1 + m2 )

y T1 =

2m1 m2 g (m1 + m2 )

Si las masas m1 y m 2 fueran casi iguales, el valor de la aceleracin sera pequea y podra determinarse midiendo el tiempo en que una de las masas sube o baja una distancia determinada. La razn (m1 m2 ) se determina pesando los cuerpos. Finalmente, la magnitud de g se obtiene a partir de estas cantidades mediante la ecuacin

(m1 + m2 )

g=

(m1 + m2 ) a (m1 m2 )

Solucin. a) La figura siguiente muestra los diagramas de cuerpo libre de cada una de las partes del sistema.

Ejemplo 10. El peso de un pasajero en ascensor. Consideremos un pasajero de peso mg en un ascensor este peso es equilibrado por la reaccin que el piso ejerce sobre l, si el ascensor estuviera parado R = mg . Si el ascensor sube con aceleracin a. Cul es el peso de la persona? Solucin. La figura muestra el ascensor subiendo con una aceleracin a

Como se considera la cuerda con masa despreciable en el D.C.L. del trozo de cuerda La polea solo cambia la direccin de la tensin T . En el D.C.L .del hombre-silla

T=F

T + F W = 0 2F = W W y F = 2 Como W = 100 10 = 1000 N9

Dinmica de una partcula

Hugo Medina Guzmn

F=

1000 = 500 N 2

b) Ahora como el hombre debe subir con una aceleracin de l m/s2 tenemos:

W W a 2F = W + a g g W a 1 + y F = 2 g T + F W =Como W = 1000 N ,

T1 m1 g = m1 a T1 = m1 (a + g ) T1 = 1100(2 + 9,8)= 12980 N b) Consideremos el D.C.L. de la masa m 2 :

Aplicando la Segunda Ley de Newton

a = 1 m/s 2 y = 1 m/s 2

F=

1000 1 1 + = 550 N 2 10 Aplicando La Segunda Ley de Newton

Ejemplo 12. La figura muestra un ascensor. Este consiste de la caja con masa m1 = 1100 kg , el contrapeso con masa m 2 = 1000 kg . El cable y poleas con masa y friccin despreciables. Cuando el ascensor tiene una aceleracin hacia arriba de 2 m/s2, el contrapeso tiene igual aceleracin pero hacia abajo. a) Cul es el valor de la tensin T1 ? b) Cul es el valor de la tensin T2 ? c) Cul es la fuerza ejercida por el motor sobre el cable?

m1 g T2 = m2 a T2 = m2 ( g a ) T2 = 1000(9,8 2)

= 7800 N c) En el motor Fuerza ejercida por el motor (T1 y T2 pueden considerarse colineales)

FM = T1 T2 = 12980 7800= 5180 N Ejemplo 13. Demostracin de la tercera ley de Newton mediante el uso de la segunda ley. Se tienen dos cuerpos de masas m1 y m 2 los cuales son empujados sobre un plano sin friccin por una fuerza de magnitud P . Demostrar que aqu se cumple la tercera ley de Newton.

Solucin. a) Consideremos el D.C.L de la masa m1 :

Solucin.

10

Dinmica de una partcula Asumiremos que no hay friccin entre las superficies de contacto de m1 y m 2 . La figura muestra los D.C.L. para los bloques 1, 2 y para el sistema.

Hugo Medina Guzmn a) el valor y sentido de la velocidad del carrito, b) el lugar, donde encontrar c) el desplazamiento del carrito d) el recorrido total del carrito. (Usar g = 9,8 m/s2)

Solucin.

N 1 y N 2 son las fuerzas ejercidas por el plano. F21 es la fuerza que el bloque 2 ejerce sobre elbloque 1. F12 es la fuerza que el bloque 1 ejerce sobre el bloque 2. La fuerza P solo acta sobre el bloque 1, ya que solo est en contacto con l. Como asumimos que no hay friccin entre los bloques, las fuerzas son normales a la superficie de contacto. Para el bloque 1 tenemos: P F21 = m1 a1x y N 1 m1 g = 0 Similarmente para el bloque 2 F12 = m2 a 2 x y N 2 m2 g = 0 Para el sistema

Para la masa M:

T = Ma

(1) (2)

Para la masa m:

P = (m1 + m2 )a x y N 1 + N 2 (m1 + m2 )g = 0

T mg = ma

Sumando (1) y (2)

En este caso no nos interesan las ecuaciones en y pero si las ecuaciones en x. Como los bloques se mueven juntos:

mg = (M + m )a m 0,2 (9,8) = - 2,8 m/s2 a= g = (M + m ) 0,7

a1x = a 2 x = a xSumamos la ecuacin para el bloque 1 con la ecuacin para el bloque 2. P F21 + F12 = m1 a1x + m2 a 2 x = (m1 + m2 )a x Comparando con la ecuacin para el sistema tenemos:

La aceleracin es en sentido contrario al indicado en la figura. a) La velocidad inicial del carrito es v0 = 7 m/s y su aceleracin es a = - 2,8m/s2. De las ecuaciones de cinemtica

x = v0 t +Hallamos:

P F21 + F12 = PEsto dice que la magnitud de la fuerza de 1 sobre 2 es igual a la fuerza de2 sobre 1. Como ellas son opuestas resulta ser precisamente la tercera ley de Newton. F21 = F12 , Accin y reaccin. Ejemplo 14.. Un carrito de masa M = 500 gramos est unido a una carga de masa m = 200 gramos mediante una cuerda. En el momento inicial el carrito tenia la velocidad inicial v0 = 7 m/s y se mova a la derecha por un plano horizontal. Determinar para t = 5 s: 11

1 2 at , v = v0 + at , 2

x = 7t 1,4t 2 , v = 7 2,8tDentro de 5 s el carrito tendr una velocidad v = - 7 m/s (dirigida a la izquierda).2

b) x = 7(5) 1,4(5) = 35 35 = 0 El carrito se encontrar en la posicin inicial. c) El desplazamiento es cero. d) El carrito se detiene cuando v = 0 e inicia el camino de vuelta.

Dinmica de una partcula

Hugo Medina Guzmn

0 = 7 2,8t t =

Recorrido total s = 2 7(2,5) 1,4(2,5) = 17,5 m Recorrer un trayecto igual a 17,5 m.

[

7 = 2,5 s 2,8

a=2

(F F )fk

]

m

Si incrementamos la fuerza F, punto C, la fuerza neta sobre el bloque F F fk se incrementa y tambin se incrementa la aceleracin. Observacin. Encontramos que con fuerzas menores que 10 N no se produce movimiento. Con 10 N el bloque comienza a moverse. Para fuerzas mayores a 10 N el bloque se acelera. Si medimos la aceleracin podemos conocer la fuerza resultante sobre el bloque aplicando la segunda ley de Newton, F = ma . Cuando el dinammetro indica 12 N la fuerza resultante a partir de la aceleracin medida es 4 N, esto significa que se necesita 12 N 4 N = 8 N, para vencer la fuerza de friccin Si aplicamos 10 N al bloque para que inicie el movimiento, despus de esto es posible reducir la fuerza a 8 N y an mantener el bloque en movimiento. En resumen: Una fuerza de 10 N inicia el movimiento del bloque. Una fuerza de 8 N mantiene el movimiento del bloque. El origen de este fenmeno se debe a la existencia de fuerzas entre las molculas del cuerpo y la superficie; si la superficie de contacto del cuerpo con la superficie fuera perfectamente plana, la fuerza de atraccin podra ser considerable, como es el caso de dos placas de vidrio perfectamente limpias que una vez puestas en contacto, difcilmente pueden ser separadas. Las superficies nunca son perfectamente lisas y las imperfecciones constituyen verdaderos obstculos al desplazamiento como se muestra en la figura. Es preciso vencer estos obstculos para iniciar el movimiento y tambin para mantenerlo.

FRICCIN Cuando un cuerpo sobre una superficie se empuja o se jala ste puede permanecer inmvil, esto sucede porque la fuerza aplicada no ha sido suficiente para vencer la fuerza de friccin. Cuando lograrnos que el cuerpo deslice sobre la superficie es necesario aplicar una fuerza para que ste contine en movimiento. Comportamiento de un cuerpo que descansa sobre un plano horizontal Supongamos que jalamos un bloque con un dinammetro, como se muestra en la figura. Comportamiento de un cuerpo que descansa sobre un plano horizontal

Dibujemos una grfica de la fuerza el bloque versus el tiempo t .

F aplicada sobre

1. Desde el origen hasta el punto A la fuerza F aplicada sobre el bloque no es suficientemente grande como para moverlo. Estamos en una situacin de equilibrio esttico

F = Ffs = s N

En el punto A, la fuerza de rozamiento su mximo valor

F fs alcanzaA esta fuerza se le conoce como FUERZA DE FRICCION O ROZAMIENTO F f .

smx N

F = Ffsmx = smx N2. Si la fuerza F aplicada se incrementa un poquito ms, el bloque comienza a moverse. La fuerza de rozamiento disminuye rpidamente a un valor menor e igual a la fuerza de rozamiento dinmico,

( )

F = F fk = k N

Con la finalidad de conocer la dependencia de esta fuerza de rozamiento realicemos la siguiente experiencia. Supongamos un plano inclinado con un bloque de masa ni descansando sobre l.

Si la fuerza F no cambia, punto B, y permanece igual a F fsmx , el bloque comienza movindose con una aceleracin

12

Dinmica de una partcula

Hugo Medina Guzmn intermoleculares son tanto mayores, cuanto mayor es la superficie de contacto. En realidad se deba esperar que F f fuera proporcional a la superficie, lo que suceder es que si el cuerpo pesa muy poco, prcticamente no hay puntos de contacto entre las dos superficies (el rea de contacto es despreciable). Cuando N aumenta, la superficie aumenta y F f

Encontramos que el bloque empieza a resbalar para un determinado ngulo . Si colocamos dos bloques juntos, el ngulo con el cual inician el movimiento sigue siendo , lo mismo ocurre con tres bloques. La fuerza que jala al cuerpo es la componente del peso mgsen , paralela al plano. La otra componente es perpendicular al plano mg cos . Esta es la fuerza que sostiene al bloque sobre la superficie (Fuerza Normal). Si duplicarnos el peso mg a 2mg, duplicamos la fuerza que jale al bloque y la fuerza normal tal que:

tambin, por lo tanto

F f = N donde se est

incluyendo ya el aumento de superficie. Es decir, la fuerza de friccin F f es proporcional a la fuerza normal N porque la verdadera superficie de contacto es proporcional a la fuerza normal. Ejemplo 15. Cul es la fuerza mnima F necesaria para mover la masa m , siendo el coeficiente de rozamiento esttico entre el piso y el bloque en cada uno de los casos siguientes?

Fuerza que inicia el movimiento = Constante Fuerza normalO

mg sen = tan = s = Constante mg cos Ff = s N

Solucin. a) La figura muestra el D.C.L.

A esta constante

s

se le llama coeficiente de

friccin esttica. Si se toman los datos con el bloque en movimiento, el ngulo para que el movimiento contine es generalmente menor y obtenemos

Fuerza para continuar el movimiento = k Fuerza normalA esta constante se le llama coeficiente de friccin cintica k . es una constante que depende de la superficie y se puede escribir simplemente. F f = N . Algunos valores tpicos de coeficientes de friccin. Material Acero Cuero Cuero Bronce Aluminio Vidrio Caucho Caucho Caucho Piedra Sobre material Acero Cuero Roble Hierro Aluminio Vidrio Asfalto Concreto Hielo Piedra

F F

y

: N mg = 0 N = mg : F N = 0 F = N

x

Luego:

F = mg

b) La figura muestra el D.C.L.

s0,78 0,64 0,60 0,40 1,05 0,92 0,60 0,80 0,02 0,65

k0,42 0,56 0,50 0,30 1,40 0,40 0,40 0,70 0,005 0,60

El hecho que la fuerza de friccin es independiente del rea de contacto parece absurdo ya que las fuerzas 13

N = mg Fsen Fx : F cos N = 0 F cos = NDe estas dos ecuaciones obtenemos:

F

y

: N + Fsen mg = 0

Dinmica de una partcula

Hugo Medina Guzmn une los bloques m1 y m2. El coeficiente de rozamiento entre los bloques y el plano inclinado es .

F=

mg cos + sen

c) La figura muestra el D.C.L.

N = mg + Fsen Fx : F cos N = 0 F cos = N F=De estas dos ecuaciones obtenemos:

F

y

: N Fsen mg = 0

Solucin.

mg cos sen

Ejemplo 16. Cul es el valor mnimo de F para sostener el bloque de masa m sobre una pared vertical, como se muestra en la figura, es el coeficiente de friccin esttico entre la pared y el bloque?

Para

m0 : {m0 g T1 = m0 aT1 T2 N 2 = m2 a N 2 m2 g = 0

Para m 2 : Para m1 :

T2 N 1 = m1 a N 1 m1 g = 0

De estas ecuaciones obtenemos: N 2 = m2 g , N 1 = m1 g y Solucin. La figura siguiente muestra el D.C.L. De aqu:

m0 g (m1 + m2 )g = (m0 + m1 + m2 )a

a=

[m0 (m1 + m2 )] g (m0 + m1 + m2 )m1 m0 (1 + )g (m0 + m1 + m2 )

La tensin del cable que une los bloques m1 y m2:

T2 = m1 (a + g ) =

Ejemplo 18. Se tiene una masa m 2 sobre una masa

Fy : N F = 0 N = F FF=x

: N mg = 0 N =

mg

Por consiguiente

mg

m1 sobre un piso horizontal, tal como muestra la figura. Se aplica una fuerza horizontal F sobre la masa m1 . La masa carece de friccin. Cul es el valor mximo de F para que la masa m1 no resbale sobre m 2 . Cul es la aceleracin resultante de losbloques?

Ejemplo 17. En el esquema de la figura las masas de la polea y del cable son despreciables y no hay rozamiento entre el cable y la polea. Hallar la aceleracin del bloque m0 y la tensin del cable que

14

Dinmica de una partcula

Hugo Medina Guzmn

Solucin. La figura muestra el D.C.L. de las masas m1 y m 2 .

Solucin. La figura muestra el D.C.L. para este caso

Aplicando la Segunda Ley de Newton a la masa m 2 , la que suponemos se mueve con aceleracin a 2 .

F F

y

: N 2 m2 g = 0 : N 2 = m2 a 2

Las ecuaciones para la masa m 2 son

x

Aplicando la Segunda Ley de Newton a la masa m1 , la que suponemos se mueve con aceleracin a1 .

F F F F

y

: N 2 m2 g = 0 : F N 2 = m2 a 2 : N 1 N 2 m1 g = 0 : N 2 = m1 a1

x

F F

y

: N 1 N 2 m1 g = 0 : F N 2 = m1 a1

Las ecuaciones para la masa m1 son.y

x

Trabajando con estas ecuaciones encontramos que

x

F = m1 a1 + m2 a 2

Trabajando con estas ecuaciones encontramos que

N 2 m2 g = = g m2 m2 Como el valor de vara desde 0 hasta el valor mximo mx : a 2 = mx g o simplemente a 2 = g .a2 =Pero como queremos encontrar el valor mximo posible de F para que las masas vayan juntas, es decir, para que m1 no se quede, se tiene como condicin que;

La aceleracin de la masa m 2 es:

F = m1 a1 + m2 a 2 m N 2 m2 g = = g 2 m1 m1 m1 Como el valor de vara desde 0 hasta el valor mximo mx : a1 =a1 = mx g m2 m1La aceleracin de la masa m1 es:

a1 = a 2 = g Luego: Fmx = (m1 + m 2 ) mx g

Como la condicin de que las masas m1 y m 2 vayan juntas es,

a1 = a 2Luego el valor mximo de F pera que m1 y m 2 vayan juntas es,

Si aplicamos una fuerza mayor el bloque m1 avanzar dejando atrs al bloque m 2 . Ejemplo 19. Usando el dispositivo del ejemplo anterior discuta el caso en ci que la fuerza F se aplica a la masa m 2 .

Fmx =

(m1 + m2 )m2m1

mx g

Ejemplo 20. En el dispositivo de la figura encontramos el valor mnimo de F para sacar la masa m1 . El coeficiente de friccin entre m1 y la mesa es el coeficiente de friccin entre m1 y m 2 es 15

2 .

1

y

Dinmica de una partcula

Hugo Medina Guzmn

Solucin. La figura muestra los D.C.L. de las masas m1 y m 2

Solucin. La figura muestra el D.C.L.de las masas m1 y m 2

Considerando que el equilibrio es la condicin mnima de inicio de movimiento Aplicando la Segunda ley de Newton para la masa m2 .

Considerando que el equilibrio es la condicin mnima de inicio del movimiento. Aplicando la segunda ley de Newton a la masa m 2 :

F FF Fm1

y

: N 2 m2 g = 0 : 2 N2 T = 0

F FF F

y

: N 2 m2 g = 0 : 2 N2 T = 0

x

x

Aplicando la Segunda Ley de Newton para la masa

Aplicando la segunda ley de Newton para la masa m1 :y

: N 2 N 1 + m1 g = 0 : F 1 N1 2 N 2 T = 0

y

: N 2 N 1 + m1 g = 0 : F 1 N 1 2 N 2 = 0

x

Resolviendo estas ecuaciones

x

Resolviendo estas ecuaciones

N 2 = m2 g T = 2 N 2 = 2 m2 g N 1 = N 2 + m1 g = (m1 + m2 )g F = 1 N 1 + 2 N 2 = 1 (m1 + m 2 )g + 2 m2 gSiendo este valor de F el mnimo para iniciar el movimiento de la masa m1 . Ejemplo 21. En el dispositivo de la figura, encontrar el valor mnimo de F para sacar la masa m1 . El coeficiente de friccin entre m1 y la mesa es coeficiente de friccin entre m1 y m 2 es

N 2 = m2 g T = 2 N 2 = 2 m2 g N 1 = N 2 + m1 g = (m1 + m2 )g F = 1 N1 + 2 N 2 + T = 1 (m1 + m2 )g + 2 m2 g = [1 m1 + m2 (1 + 2 )]gSiendo este valor de F el mnimo para iniciar el movimiento. Ejemplo 22. Los bloques m1 y m 2 de 20 y 60 kg, respectivamente, estn unidos por una cuerda de masa despreciable que pasa por una polea sin rozamiento. El coeficiente de rozamiento cintico entre las masas y la superficie es 0,3. Determinar la velocidad del sistema 4 segundos despus de partir del reposo.

2 .

1 ,

el

16

Dinmica de una partcula

Hugo Medina Guzmn Ejemplo 23. En una mesa un plato descansa sobre el mantel, cuyo centro est a 0,25m del borde de la mesa. El mantel se jala sbitamente en forma horizontal con una aceleracin constante de 10 m/s2. El coeficiente de friccin cintico entre el mantel y el plato es k = 0,75 . Asumiendo que el mantel llega justo al borde de la mesa. Cuando el extremo del mantel pasa bajo el centro del plato, encontrar: a) La aceleracin del plato b) La velocidad de! plato c) La distancia del plato al borde de la mesa. Solucin. a) Aplicando la segunda ley de Newton para el plato, la masa del plato es m y su aceleracin a p .

Solucin. La figura muestra el D.C.L. de la masa m1 . Consideremos que el movimiento es de izquierda a derecha con aceleracin a

F F

y

: N 1 m1 g cos 30 = 0 : T F f 1 m1 gsen30 = m1 a

x

De estas ecuaciones

3 = 173 N 2 F f 1 = N 1 = 0,3 173 = 51,9 NN 1 = m1 g cos 30 = 20 10 y

T 51,9 20 10

T = 151,9 + 20a

1 = 20a 2

La figura muestra D.C.L. de la masa m 2 .

F F

V H

= 0 mg N = 0 = ma p F f = ma p

De aqu obtenemos: N = mg y k mg De donde:

= ma p

a p = k g = 0,75 x 9,8 = 7,35 m/s2 a p es menor que 10 m/s2

El plato resbala ya que

F FFf 2y

y

: N 2 m2 g cos 60 = 0 : m2 gsen 60 F f 2 T = m2 a

b) En el instante en que el extremo del mantel coincide con el centro del plato estn a la misma distancia del borde de la mesa

x

De estas ecuaciones

N 2 = m2 g cos 60 = 20 10

1 = 150 N 2 = N 2 = 0,3 150 = 45 Nx p = xm 1 1 a p t 2 = 0,25 + 7,35t 2 2 2 1 1 x m = a m t 2 = 10t 2 2 2 x p = 0,25 +Igualando2

3 45 T = 30a 2 T = 214,5 30a 30 10 m s2

Igualando los valores de T:

151,9 + 20a = 214,5 30a a = 1,25Como Siendo

v = v0 + at , v0 = 0 v = 1,25t v = 1,25 4 = 5 m s

Para t = 4 s

1 1 0,25 + 7,35t 2 = 10t 2 2 2Resolviendo:

t = 0,58 s y

17

Dinmica de una partcula

Hugo Medina Guzmn horizontal con coeficiente de friccin . La polea por donde cuelga otro bloque de masa M no tiene roce y la cuerda se considera inextensible y de masa despreciable. Calcular la aceleracin y la tensin de la cuerda.

v p = v0 + a p t = 0 + 7,35 0,58= 4,26 m/s. c)

x p = 0,25 +

1 a pt 2 2 1 2 = 0,25 + 7,35 0,58 = 1,49 m 2

Ejemplo 24. El plano inclinado mostrado en la figura tiene una aceleracin a hacia la derecha. Si el coeficiente de friccin esttico entre el plano y el bloque es , encontrar la condicin para que el bloque resbale.

Solucin. Se hacen los DCL y se aplica la segunda ley de Newton, suponiendo que el cuerpo de masa M desciende y tira a m hacia la derecha, lo que define el sentido de la aceleracin. Para m

Solucin. Consideremos que el bloque tiene masa m , la figura a continuacin muestra su DCL.

N = mg F sen y FH = maPara que el bloque no resbale debe tener la misma aceleracin a . Aplicando la segunda ley de NewtonV

F

V

= 0 N + F sen mg = 0(1)

T F cos F f = ma (2)

Para M

F = 0 N cos + N sen mg = 0 y F = ma N sen + N cos = maH

De estas ecuaciones

N=

mg y cos + sen mg ( sen + cos ) = ma ((cos + sen ))

Finalmente

a=

Este es el va1or crtico de a para que no resbale; el bloque resbalar para valores menores que el indicado. Ejemplo 25. En el siguiente sistema mecnico, se aplica una fuerza F inclinada un ngulo sobre el cuerpo de masa m, ubicado sobre la superficie 18

( cos sen ) g (cos + sen )

T Mg = Ma Adems: F f = NDe la ecuacin (1):

F

V

= Ma(3)

F f = (mg Fsen ) (4)(5)

De (3) se despeja T:

T = Mg Ma

Ahora 4) y (5) se reemplazan en (2), lo que permite despejar la aceleracin

Dinmica de una partcula

Hugo Medina Guzmn deslizarse sobre la viga? Dentro do cunto tiempo el cuerpo caer de la viga? La longitud do la viga es l .

Mg Ma F cos (mg Fsen ) = ma (M m )g F (cos sen ) a= M +my la tensin T

T = Mg M

(M m )g F (cos sen )M +mSolucin.

Ejemplo 26. Una viga de masa M est situada en un plano horizontal. Sobre la viga se encuentra un cuerpo do masa m. El coeficiente de rozamiento entre el cuerpo y la viga, as como entre la viga y el plano es k . Analizar el movimiento para diferentes valores do la fuerza F.

Las ecuaciones del movimiento de la viga y del cuerpo tienen la siguiente forma: F fm = ma m , (1)

F k mg = Ma M (2) Donde F fm es la fuerza do rozamiento, am y aM sonSolucin. Si F k (m + M )g , no hay movimiento. Supongamos que las aceleraciones. Supongamos que no hay deslizamiento, entonces am = aM De las ecuaciones del movimiento podemos determinar la aceleracin y la fuerza de rozamiento. La fuerza de rozamiento es

F > k (m + M )g . Analicemos

el caso de ausencia de deslizamiento del cuerpo por la viga. Las ecuaciones del movimiento, en este caso, tendran la siguiente forma: F fm = ma ,

F fm =

mF (m + M )

Ma = F F fm F fM = F F fm k (m + M )g ;

Para que no haya deslizamiento la fuerza de rozamiento debe satisfacer la siguiente desigualdad:

F fm k mgde donde

F fm k mg , es decir,

F g. (m + M ) k

F a= g, (m + M ) k mF F fm = mg k mg (m + M ) kque es posible, si k (m + M) g < F < 2k (m + M) g. Si F > 2k(m + M)g, entonces el cuerpo deslizar por la barra. En este caso las ecuaciones del movimiento tendrn la siguiente forma: ma m = k mg ,

Si F > k (M + m) g, entonces surge el deslizamiento. Las ecuaciones (1) y (2) en este caso deben escribirse en la siguiente forma: ma m = k mg , Ma M = F k mg De estas ecuaciones obtenemos am y aM:

am = k g , aM =

(F k mg )M

.

Es evidente que aM > am.

Ma M = F k mg k (M + m )g

de donde

(2m + M ) g F k M M Que es fcilmente verificar en el caso de a M > a mam = k g , aM =

Ejemplo 27. Una viga do masa M est sobre un plano horizontal liso, por el cual puede moverse sin friccin. Sobre la viga hay un cuerpo do masa m. El coeficiente de rozamiento entre el cuerpo y la viga es k . Con qu valor de la fuerza F que acta sobre la viga en direccin horizontal, el cuerpo comienza a 19

1 1 am t 2 , xM = aM t 2 2 2 1 1 xM xm = l = a M t 2 am t 2 2 2 2l 2l t= = (F k mg ) aM am k g M 2lM = F k g (M + m ) xm =

Dinmica de una partcula Ejemplo 28. En la figura, encontrar la aceleracin del carro requerida para evitar que caiga el bloque B. El coeficiente de rozamiento esttico entre el bloque y el carro es k .

Hugo Medina Guzmn

Solucin. Si el bloque no cae, la fuerza de friccin, Ff, debe balancear el peso del bloque: Ff = mg. Pero el movimiento horizontal del bloque est dado por y N = ma. Luego,

F Cuerpo 2: F F Mesa: F Cuerpo 1:

verticales

= m1 g T = m1 a = T = m2 a

horizontales

verticales

= N 3 N 2 T m3 g = 0 = T Ff 3 = 0

horizontales

Ff N

=

g g a= Ff a

Donde N3 y Ff3 (friccin) las componentes verticales y horizontales de la fuerza ejercida por el piso sobre la mesa. (Asumimos que las patas de la izquierda y de la derecha comparten la carga igualmente. Esto no afecta nuestro anlisis) De las primeras dos ecuaciones,

N Ff Nes

a=

m1 g (m1 + m2 ) m1 m2 g (m1 + m2 )

Como el valor mximo de tener a

s , debemos

Luego, F f 3 = T = m 2 a = Finalmente,

g

s

si el bloque no cae.

N 3 = T + m2 g + m3 g=

Ejemplo 29. Dos cuerpos, de las masas m1 y m2, se liberan de la posicin mostrada en la figura. Si la masa de la mesa de superficie lisa (sin friccin) es m3, encuentre la reaccin del piso sobre la mesa mientras los dos cuerpos estn en movimiento. Asuma que la mesa permanence inmvil.

m1m2 + m2 + m3 (m1 + m2 )

Ejemplo 30. Se tiene un bloque de 20 kg sobre un plano inclinado que est sujeto a una cuerda (ver figura). Las superficies de contacto entre el bloque y el plano inclinado son rugosas con coeficiente de friccin cintica k = 0,5 y el de friccin esttica s = 0,7. a) Si la tensin de la cuerda es de 150 N, determine la magnitud y sentido de la fuerza de rozamiento. b) Si por un accidente se corta la cuerda, determine la aceleracin del bloque.

Solucin. La figura muestra los diagramas de cuerpo libre de cada uno de los elementos.

Solucin. a)

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Dinmica de una partcula

Hugo Medina Guzmn

T mgsen30 F f = 0 F f = T mgse30 = 150 100 = 50 Nen el sentido indicado en la figura (hacia abajo). b) La segunda ley de Newton para m1 es T m1 a = 0 , N 1 m1 g = 0 (2) De aqu T = m1 a La segunda ley de Newton para m2 es N 2 m2 a = 0 , T m2 g = 0 De aqu T = m2 g De (2) y (3) se tiene Cuando se rompe la cuerda para iniciar el movimiento debe vencerse a la mxima fuerza de friccin esttica: (3)

a=

m2 g m1

(4)

3 = 173 N F fs = s mg cos 30 = 0,7 20 g 2 Como 20g sen 30 = 100 N 100 N < 173 N, el movimiento no se inicia , por lo tanto la aceleracin del bloque es cero. Ejemplo 31. Determinar la fuerza F aplicada al bloque de masa M de la figura adjunta, para que los bloques de masas m1 y m2 apoyados en M, no se muevan respecto de M. Todas las superficies son lisas, la polea y el cable tienen masa despreciable.

Sustituyendo (4) en (1) se obtiene la fuerza aplicada a M

F=

m2 (M + m1 + m2 )g m1

Ejemplo 32. Determinar la aceleracin mnima con que debe desplazarse el bloque de masa M en sentido horizontal para que los bloques de masas m1 y m2 no se muevan respecto de M, siendo el coeficiente de rozamiento entre los bloques. La polea y el cable tienen masa despreciable.

Solucin. Consideremos un sistema de referencia fijo en el suelo con el eje x paralelo a la fuerza aplicada

Solucin. Consideremos un sistema de referencia fijo en el suelo con el eje x paralelo a la fuerza aplicada De la segunda ley de Newton aplicada al conjunto se tiene:

F.

F. De la primera ley de Newton aplicada al conjunto se tiene: F = (M + m1 + m2 ) a

F = (M + m1 + m2 ) a

(1)

(1)

Siendo a la aceleracin del conjunto. Las masas m1 y m2 estn en reposo sobre el bloque M, luego en la referencia O su aceleracin es del conjunto. La fuerza que ejerce el cable sobre m1 y la que ejerce sobre m2 tiene el mismo mdulo T.

Siendo a la aceleracin del conjunto. Las masas m1 y m2 estn en reposo sobre el bloque M, luego en la referencia O su aceleracin es del conjunto. La fuerza que ejerce el cable sobre m1 y la que ejerce sobre m2 tiene el mismo mdulo T.

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Dinmica de una partcula

Hugo Medina Guzmn

Diagrama del cuerpo libre masas separadas

La segunda ley de Newton para m1 es T m1 a F f 1 = 0 , N1 m1 g = 0

F f 1 = N 1 = m1 g(2) La segunda ley de Newton para m2 es N 2 m2 a = o , T + F f 2 m2 g = 0

T = m1 a + m1 g

a) Consideremos un sistema de referencia fijo en el suelo con el eje x paralelo a la fuerza aplicada F . Sea el instante en que m empieza a deslizar sobre M. Hasta dicho instante t , el conjunto se mueve con una aceleracin comn a . La segunda ley de Newton aplicada al conjunto en el instante t = es k = (M + m )a( ) , N 2 (M + m )g = 0

F f 2 = N 2 = m2 a T = m2 g m2 g De (2) y (3) se tiene m1 a + m1 g = m2 g m2 g (m m1 ) a= 2 g (m1 + m2 )m2 (M + m1 + m2 )g m1(3)

(4)

a ( ) =

Sustituyendo (4) en (1) se obtiene la fuerza aplicada a M

k (M + m )

(1)

F=

La segunda ley de Newton aplicada a la masa m en el instante t = es, ( la fuerza de rozamiento sobre m tiene, en ese instante, su valor mximo Ff = m g ) F f = N 1 = ma( ) , N 1 = mg

Ejemplo 33. Un bloque de masa m se encuentra sobre otro bloque de masa M que est apoyado sobre una superficie horizontal lisa. El coeficiente de rozamiento entre los dos bloques es . Al bloque M se le aplica una fuerza horizontal dirigida hacia la derecha que depende del tiempo segn la ley F = k t. Determinar: a) El instante en que m empieza a deslizar sobre M. b) La aceleracin de cada uno de los bloques.

a( ) =

mgm

= g

(2)

De (1) y (2) queda

=

(M + m ) gk

s

b) De (1) se tiene que la aceleracin del conjunto para t < es

a1(t ) = a(t ) =

k t (M + m )

Para t > . Las fuerzas que actan so