1012 Capitulo 31: Circuitos de corriente alterna1009C

CAPTULO31ircuitos de corriente alternaLa mayor parte de las lneas de transmisin de energa elctrica a larga distancia utilizan en la actualidad tensiones muy elevadas y corriente alterna, debido a los elevados gastos que suponan la conversin de la ca en cc en el punto de origen (que podra ser una central generadora de energa hidroelctrica) y luego volver a transformarla en ca en los puntos de consumo. Sin embargo, con los recientes avances tcnicos se ha reavivado el inters por el empleo en las lneas de transmisin de alta tensin de corriente continua. En la ilustracin puede verse una estacin de conversin de cc a ca cercana a Boston (Estados Unidos), estacin que se encuentra enlazada por lneas de alta tensin con corriente continua a una unidad de generacin hidroelctrica situada en James, Bay, Quebec (Canad). Esta estacin concreta se utiliza para convertir corriente continua en corriente alterna. Ms del 99 por ciento de la energa elctrica utilizada hoy en da se produce mediante generadores elctricos en forma de corriente alterna, lo cual tiene la gran ventaja sobre la corriente continua de que la energa elctrica puede transportarse a largas distancias a tensiones muy elevadas y corrientes bajas para reducir las prdidas de energa en forma de calor por efecto Joule. Luego puede transformarse, con prdidas mnimas de energa, en tensiones ms bajas y seguras con las correspondientes corrientes ms altas para su empleo ordinario. El funcionamiento de los transformadores que realizan estos cambios de tensin y de corriente se basa en la induccin magntica. En Norteamrica la potencia elctrica se suministra mediante una corriente sinusoidal de 60 Hz, mientras que en prcticamente todo el resto del mundo la frecuencia es de 50 Hz. Hay otros aparatos, como las radios, los equipos de televisin y los hornos de micro-ondas que detectan o generan corrientes alternas de frecuencias mucho ms altas. La corriente alterna se genera fcilmente mediante induccin magntica en los generadores de ca, diseados para producir una fem sinusoidal. Veremos que, cuando es sinusoidal la salida de un generador, es tambin sinusoidal la corriente en un inductor, un condensador o una resistencia, aunque generalmente no est en fase con la fem del generador. Cuando tanto la fem como la corriente son sinusoidales, pueden relacionarse ente entre s sus valores mximos. El estudio de las corrientes sinusoidales es importante porque incluso las corrientes que no lo son pueden analizarse en funcin de sus componentes sinusoidales utilizando el anlisis de Fourier. Generadores de corriente alterna 31.1

La figura 31.1 muestra un generador simple formado por una espira de rea A y N vueltas, en rotacin dentro de un campo magntico uniforme. Los extremos de la espira estn conectados a unos anillos deslizantes que giran con la espira. El contacto elctrico con la espira se realiza mediante escobillas estacionarias de grafito en contacto con los anillos.

Cuando la lnea perpendicular al plano de la espira forma un ngulo con un

campo magntico uniforme B, como se indica en la figura, el flujo magntico a travs la espira es= NBA cos e(31.l|= - ^ = -NBA i eos((ot + S) = +NBA)sen((t+8)dt% = $max sen(m = K'max COSO)2]m = \(31.12)Sustituyendo /max en lugar de (P)m en la ecuacin 31.11 se obtiene/ - I ef,naxRelacin entre los valores mximo y eficaz r> 1 = a120 VU tensin en todos los enchufes se mantiene a 120 V, con independencia de la corriente que circule. Por tanto, todos los aparatos enchufados en la red estn esencialmente en paralelo. De este modo, si se enchufa un tostador de 500 W en otro punto del circuito en fique est conectado el calentador, extraer una corriente de 500 W/120 V = 4,17 A, de modo que la corriente total a travs del circuito ser prxima a los 17,5 A. La mayora de los cableados de las casas estn calculados para soportar unas corrientes mximas del orden de 20 A. Una corriente mayor que sta sobrecalentar el cableado y habr peligro de incendio. Por consiguiente, cada circuito est equipado con un interruptor automtico del circuito (o un fusible en los edificios antiguos). En el caso de un circuito de 20 A, 7max = 0^maxC (3129}Utilizando la identidad trigonomtrica sen cot = -cos(rrienit I(31 moSi la resistencia es pequea, la carga y la corriente oscilan con una frecuencia1 que a muy prxima a a*, =1/-.'LC (frecuencia natural del circuito), pero las oscilaciones amortiguan; es decir, los valores mximos de la carga y de la corriente disminuyen j| cada oscilacin. Podemos comprender este hecho cualitativamente a partir de consi dones energticas. Si multiplicamos cada trmino de la ecuacin 31.47a por la corrii /, se tieneILEl primer trmino de esta ecuacin es el producto de la corriente por la tensin que aplica a la bobina. Equivale al ritmo con que se introduce o se extrae la energa dely bobina; es decir, es la variacin por unidad de tiempo de la energa magntica, d f-) que es positiva o negativa segn los signos de I y dl/dt sean iguales o diferentes. Anl mente, el segundo trmino es la corriente multiplicada por la tensin en el condens Este producto resulta ser la variacin respecto al tiempo de la energa almacenada en di condensador, variacin que puede ser positiva o negativa. F.l ltimo trmino, pR, es el I ritmo con que se disipa energa en la resistencia en forma de calor Joule y es siempit positivo. La suma de las energas elctrica y magntica no es constante en este circuito porque en la resistencia se est disipando continuamente energa. F.n la figura 31.14* I ven los grficos de Q en funcin de t y de / en funcin de t cuando la resistencia ! es pequea. Si se aumenta R, las oscilaciones se amortiguan cada vez ms hasta que* I alcanza un valor crtico de R para el que no existe ninguna oscilacin. En la figura 31.151 se ve el grfico de Q en funcin de t cuando el valor de R es mayor que el valor coito- I pondiente al amortiguamiento crtico. 31.6Circuito LCR en serieCircuitos LCR con un generadorLa figura 31.16 muestra un circuito LCR en serie con un generador. Si la fem del generador vara con el tiempo en la forma %'= #max eos r ni r + b + iiuoAx = F(i eos cot dt2 dt " u

Abordaremos la solucin de la ecuacin 31.49 cualitativamente, del mismo modo hicimos con la ecuacin 14.47 correspondiente a un oscilador forzado. La corriente ad circuito consta de una parte transitoria que depende de las condiciones iniciales nales como la fase inicial del generador y la carga inicial del condensador) y una I Oliente estacionaria que es independiente de dichas condiciones. Ignoraremos la lamiente transitoria que disminuye exponencial mente con el tiempo y es eventual- ite despreciable y nos concentraremos en la corriente estacionaria. Esta se obtiene riendo la ecuacin 31.49/ = /max eos ((ot-S)(31.50)i donde el ngulo de fase viene dado portg5=-i-r^(31.51)[acorriente mxima es

- f . max max(31.52)

Corriente en un circuito serie LCRi donde

1Z = JR*+Xl-X c)2(31.53)Impedoncto del circuito serte LCR

La magnitud X - X( se denomina reactancia total, mientras que Z se denomina impe llanda. Combinando estos resultados, tendremos%I = eos (coi- 5)(31.54)Tambin puede obtenerse la ecuacin 31.54 mediante un sencillo diagrama utilizando las representaciones de los fasores. En la ligura 31.17 se indican los fasores que entan las cadas de tensin en la resistencia, la bobina y el condensador. El componente x de cada uno de estos vectores es igual a la cada de tensin instantnea en el spondiente elemento. Como la suma de los componentes x es igual al componente i de la suma de los vectores, la suma de los componentes x es igual a la suma de las cadas de tensin en todos los elementos, que segn la regla de las mallas de Kirchhoff es jual a la fem instantnea.Si representamos la fem aplicada,?? = max eos orf, como un fasor % que tiene el mdulo ?mav tendremos% = VR + VL + yc(31.55)fn funcin de los mdulosS= iV^Vt-FVcl = Mmax-K^max-^C.max)2

Figura $1.17 Relaciones de fase entre las tensiones de un circuito serie LCR. 1.a tensin que se aplica a la resistencia est en fase con la corriente. La tensin que aparece en la bobina Vj adelanta a la corriente en 9fl>. l,a tensin en placas del condensador retrasa respecto a la corriente en 90. La suma de los vectores que representan estas tensiones da un vector que forma un ngulo S con la corriente y representa la fem aplicada. F.n el caso Indicado en la figura, VL es mayor que Vq y la corriente est retrasada en respecto a la fem.i 1.6 Circuitos .CR con un generador 1too V. = /inaxK, V, = /maxX, y Vc = /maxXc. As pues,

El fasor % forma un ngulo >con VR como se ve en la figura 31.17. A partir de ella mos observar que. - _ [V/^Vd /max*f.-'max*C */. ~*C 8 ' ~ IVr| ~ 'max* " Rde acuerdo con la ecuacin 31.51. Como % forma un ngulo o* con el eje x, VR forma ur ngulo o)t - con el eje a\ F.sta tensin est en fase con la corriente, que por tanto ve dada porI = Im.iXcos(o)t-S) =eos(cot - S)0pc 1oN A L

Figura 31.18 Tringulo que relaciona la reactancia capacitiva ms la inductiva, la resistencia, la impe- dancia y el ngulo de fase en un circuito LCR.~ Xc.1024 Capitulo 31: Circuitos de corriente alternaEsta expresin es la ecuacin 31.54. La relacin entre la impedanciaZy la resistencias la reactancia total XL - Xc puede recordarse utilizando el tringulo rectngulo indi en la figura 31.18. Resonancia Cuando son iguales XL y Xc, la reactancia total es cero, la impedancia Z tiene su valer mnimo igual a R, e /max tiene su valor mximo. Adems, el ngulo de fase escero,lo que significa que la corriente est en fase con la fem aplicada. El valor de oque hace iguales a XL y a Xc se obtiene a partir deX, = X,.(L =o sea.Cuando la frecuencia del generador o) es igual a la frecuencia natural la impeda alcanza su valor ms pequeo, /max el valor ms grande y el circuito se dice que est en resonancia. Por tanto, la frecuencia natural o* se llama tambin frecuencia de revo- nancia. Esta condicin de resonancia en un circuito LCR forzado es semejante a la de un oscilador armnico simple forzado.Sealamos anteriormente que ni las bobinas ni los condensadores disipan energa U potencia media suministrada a un circuito serie LCR es, por tanto, igual a la poter media suministrada a la resistencia. La potencia instantnea que se suministra a la ret- tencia esP = I2R = l/maxcos (a>t-8)]ZRPromediando sobre uno o varios ciclos y sabiendo que (eos2 0)m = obtenemos para li potencia mediaPm - \ 'max* = ltRMEn el tringulo de la figura 31.18 se tiene R/Z = eos 8 y como / = %IZ resulta= \ Wm* = ef/efCOS' = '"ax e-'Seioa _ "'"a* ei(wt-S)LTt+kz+hzdt = **>wl(E31.2)z La parte real de nuestra solucin ser la corriente I. Como se hizo La COiientc viene entonces dada por en el captulo 14, ensayaremos la solucin cos ((ot - 8)(E31.3)/ = Re(z) = Por tanto, dZ/dt = hoz y jz dt = (1 fu)z. Aplicando estos resultados que coincide con la ecuacin 31.54. en la ecuacin E31.2 resulta i

R(E31.6)Figura E31.1 Representacin polar de /(X, - A', ) + R. La magnitudesZ = .;'(X. ,Y,:)2 R- y el ngulo de tase es S.i fot _ ma*(oLz + Rz + j. z = V^e(E31.4)oDividiendo ambos miembros por z y escribiendo (oL = A'L y 1/oC = Xc, as como Xc/i = -iXc, resulta:t.i(XL-Xc) + R = -fle(E31.5)Despejando /()I -max0=i(XL Xc) + R

31.7 Transformador 103npedancias complejasla tcnica de nmeros complejos descrita anteriormente puede derse a una forma generalizada de la ley de Ohm que permite tratar los problemas de ca como si se tratara de problemas de [.Consideremos el simple circuito de cc situado junto a nuestro nito LCR serie en la figura 2. En el circuito de cc, el voltaje apli- ,11 es igual a la suma de las cadas de voltaje:

V-d=r Rz^Ri(b)I/ oO co(a)Figura E31.3 (a) Circuito de ca con una inductancia y una capacitancia en parale y esta asociacin conectada en serie con una resistencia (>) Circuito anlogo en cc.AVvW/A*

(o)(b)Figura E31.2 (a) Circuito LCR en serie. (b) Circuito anlogo en cc.Si multiplicamos los dos miembros de la ecuacin 4 por /0/z, se iene (E31.9)las magnitudes R, 1 fiaC e ic VRLa impedancia total del circuito ca se determina del mismo modo: Z = Z , Z*Zi = R + (io)L)(l/ia)C)~ 1 22 + Z3itoL + 1 t'noC(E31.10). L/CL/C= R + i= R + i(1 f(oC) - o!.Xr-Xy el ngulo de lase se expresa por la ecuacin E31.12. Observes que la corriente se anula cuando Xc = XL, es decir, a la frecuenci io= 1 / JLC, para la cual 10L = UcaC. Para esta frecuencia, la comb nacin en paralelo es equivalente a un circuito abierto y no u: corto-circuito como en la combinacin en serie.1032 Capitulo 31: Circuitos de corriente alterna 0pcIoN A L

(a) Transformador cerrado que reduce la tensin hasta el valor adecuado para su distribucin en las casas. ib) Subestacin de potencia suburbana en donde los transformadores reducen la tensin procedente de las lineas de transmisin de alta tensin a valores ms bajos.Consideremos un transformador con una fem V, en el primario de N, vueltas arrollamiento secundario de N2 vueltas es un circuito abierto. Debido al ncleo de hS rro, existe un flujo magntico grande que atraviesa ambos arrollamientos aunque corriente magnetizante /, en el circuito primario sea muy pequea. Podemos despreoi las resistencias de los arrollamientos en comparacin con sus reactancias inductivas. B primario es entonces un circuito simple formado por un generador de fem alterna y mi inductancia pura como el estudiado en la seccin 31.2. La corriente (de magnetizado^ y la tensin en el primario estn desfasadas entre s en 90 y la potencia media disipadt en el arrollamiento primario es cero. Si Awita es el flujo magntico que atraviesa un espira o vuelta del primario, la cada de tensin en l es VLl = N\d^^Jdt. Aplicando i regla de las mallas de Kirchhoff al circuito del primario se tiene entoncesdto sea'^vueltam)V, = N.wvi = dF~Si se considera que no existe ninguna prdida de flujo en el ncleo de hierro, el atraviesa cada espira es el mismo en ambos arrollamientos. As pues, el flujo total qutl atraviesa el arrollamiento secundario es N2hn*ua> Y la tensin que aparece en dxfcol secundario es'^vuelta dtComparando estas ecuaciones, podemos ver que(31.65:(b)N2 V2 = Si jV2 es mayor que JV,r la tensin en el secundario es mayor que la aplicada al primanor el transformador se designa como transformador elevador o de alta. Si jV2 es menor que V(, la tensin en el secundario es menor que en el primario y el transformador redted nombre de transformador reductor o de baja.(31.66)Consideremos a continuacin lo que ocurre cuando colocamos una resistencia R denominada resistencia de carga conectada al secundario. Entonces aparecer un corriente l2 en el circuito del secundario que estar en fase con la tensin V2 aplicada a li resistencia. Esta corriente originar un flujo adicional Qvuelta ^ travs de cada espira que es proporcional a N2I2. Este flujo se opone al flujo original creado por la corriente monetizante original /m del primario. Sin embargo, la tensin que aparece en el arrL miento primario est determinada por la fem del generador, que no se ve afectada por el circuito secundario. De acuerdo con la ecuacin 31.64, el flujo total en el ncleo de hierro debe variar al ritmo original; es decir, el flujo total en el ncleo de hierro debe ser el mismo que cuando no exista la carga en el secundario. El arrollamiento primario extrae as una corriente adicional /, para mantener el flujo original , la frecuencia de resonancia de esta combinacin Ces 90MHz.Cul es la capacidad del condensador sin dielctrico?Determinar la frecuencia de resonancia en funcin de x.

>.+ xFigura 31.36 Problema 46.Circuitos LCR con un generador (opcional) 47 Verdadero o falso: (a) Un circuito LCR con un factor Q elevado tiene una curva de resonancia estrecha.En la resonancia, la impedancia de un circuito LCR es igual a la ie> tcncia R.En la resonancia, la corriente y la tensin del generador estn en taje.

48 Depende el factor de potencia de la frecuencia?49 Tiene alguna desventaja el hecho de que el circuito dt sintona de una radio posea un factor Q excesivamente grande?50 Cul es el factor de potencia de un circuito que pctj inductancia y capacitancia, pero no resistencia?51 Un circuito LCR serie de un receptor de radio se sint mediante un condensador variable de modo que pueda resonar a frt cias comprendidas entre 500 y 1600 kHz. Si /. = 1,0 /II, hallar el inte de valores necesarios de la capacidad para cubrir el margen de fre sealado.52Hallar el tactor de potencia del ciicuito de ejemplo 31.5 cuando>= 400 rad/s.A qu frecuencia angular vale dicho factor 0,5?53 Un generador de ca con una fem mxima de 20 V x conecta en serie con un condensador de 20 /F y una resistencia de 801: No hay ninguna inductancia en el circuito. Hallarel factor de potencia,la corriente eficaz yla potencia media si la frecuencia angular del generador es 40(J rad/s

54 Demostrar que la frmula /', = R/Z2 da el resul correcto para un circuito que contenga un generador y slouna resistencia,un condensador yuna bobina.

55 Un circuito serie LCR con /. = 10 mH, C = 2 /F y R = Sft est conectado a un generador de 100 V de fem mxima y con una frecuencia angular variable o. Hallarla frecuencia de resonancia a*, yel valor de /c, en la resonancia. Cuando ) 8 fc) Hacer un esquema de R/l. y, por tanto, Q o^,/Atoen este caso (ecua- [n 31.60). (Indicacin: En la resonancia, el denominador del segundo -foro de la ecuacin 31.58 es or'R-'. Los puntos a mitad de potencia se taran cuando el denominador sea aproximadamente el doble que el que posee cerca de la resonancia, esto es, cuando L2(o - ta )2 = (R1 - Sean y o^ las soluciones de esta ecuacin. En el caso de una resonancia aguda , a), ~ a*, y oh*-- t/\v Entonces, aprovechando el hecho de que % * 2 se tiene que Ato = oh - i = R/L.)91 Demostrar por sustitucin directa que se satisface la ecua- on 31.47b por Q = QtrMt,2J cos ('t +eo s O)2 Lo/(i) Calcular la corriente I = dQ/dt a partir de la solucin de la ecuacin 31.47b dada en el problema 91 y demostrar que= -'osn donde / = ta'Q0.(b) Demostrar que esta expresin puede escribirse como/ = >0 ..(eos 8 sen (o't + sen 8 cos (o't)e Rc/2L cos 8= - sen(a' + 8 )e-R2t cos 8en donde tg 8= R/2L