Física del Radar de alta frecuencia para aplicaciones

marinas.Primera presentación de

Tópicos 2

• Fabián A. Torres Ruiz

• Profesor: Sr. Dante Figueroa

Programación.

Primera Presentación, Física del mar:

•Introducción a las corrientes marinas

•Fuerzas externas

•Fuerzas internas

•Ecuación del momentum

•Dispersión de ondas electromagnéticas en el océano

Introducción a las corrientes marinas

Fuerzas actuando sobre una masa de agua.

•Introduciremos el operador derivada convectiva:

vtDt

D

Este operador nos entrega la razón total de cambio de la parcela de fluido.

Como la Tierra es un sistema no inercial, debemos considerar el efecto del Spin el cual introduce dos fuerzas ficticias, la fuerza de Coriolis y la fuerza centrífugaLa aceleración para un cuerpo en un marco de referencia no inercial vista desde otro inercial queda expresada como:

)(2 xuuut

uDtDu

rrrri

Fuerzas externas

El potencial total causado por la gravedad sobre una parcela de fluido es:

tcgtr ),,,(

donde g es el potencial gravitacional, c es el potencial centrifugo y t es el potencial causado por las mareas .

R

GMTg 2

2

R

GM Lt )(

22

22

sinr

c

pkzp

jyp

ixp

VF

ˆˆˆ

La otra gran fuente de influencia sobre el océano son los llamados gradientes de presión que producen una fuerza por unidad de volumen de la forma:

Ahora, si consideramos a las fuerzas internas del fluido, se tienen las fuerzas viscosidad, para las cuales se necesita un tratamiento especial ya que se deben hacer consideraciones de tipo estadístico para modelar el problema de la turbulencia.

Para ello se utilizan habitualmente dos modelos:

•El modelo de Prandtl

•El modelo de Reynolds

Fuerzas internas

Antes de introducirnos a los modelos Prandtl y Reinolds debemos introducir el llamado Tensor de Esfuerzos Turbulentos que resumen las fuerzas por viscosidad, presión y expansión que actúan sobre una unidad de área de fluido.

Las componentes de este tensor son de la forma:

El primer subíndice indica la componente de la corriente. El segundo indica la dirección en que varía la velocidad.

jiij xx

Teoría de la longitud de mezcla o modelo de Prandtl

El modelo de Prandtl es adecuado para el análisis de la turbulencia en las proximidades de los bordes de un fluido donde se supone viscosidad isotrópica.

Si suponemos que las propiedades de un fluido las podemos separar en una parte fluctuante mas una parte promedio, entonces para la velocidad, mediante este modelo, la parte fluctuante queda como:

z

ulu

'

Así, el coeficiente del tensor de esfuerzos turbulentos queda como

22

z

ulxz

Experimentalmente se sabe que l=k z, donde k es la constante de Karman de valor 0.4, y z es la distancia al borde.

Tensiones turbulentas de Reynolds

En este modelo, se supone que las tensiones de Reynolds dependen linealmente de las derivadas espaciales de las componentes de la velocidad del flujo de gran escala. Así las componentes del tensor adoptan la forma:

j

ivh

i

jvhij x

xA

x

xA

,,

Finalmente, si queremos obtener una forma explícita de las fuerzas internas, se tiene que:

iljljii xApf 11

)( int

Ecuación de continuidad

Si consideramos un elemento de volumen, podemos estudiar la acumulación de masa en este.

udydzLa cantidad de masa que entra por la cara (dx,0,dz) es:

La cantidad que sale por la cara (dx,dy,dz)es:

dxx

uu

)(

dxdy

dz

0

u

Así, la acumulación de masa por esta cara es:

dxdydzut

)(

Ahora, si consideramos la contribución de todas las caras se tiene la variación local del cambio de densidad. Así la ecuación de continuidad la escribimos como:

0

ut

o en forma alternativa con la derivada convectiva:

0 uDt

D

La ecuación del momentum

Ahora, podemos escribir una ecuación general que describe en gran parte los movimientos de las masas de agua en la Tierra. Esta es la ecuación del momentum y tiene la forma:

iljljiikjijkijj uApuuutu

11

2

Dispersión de ondas electromagnéticas

Cuando una onda electromagnética pasa de un medio a otro, es parcialmente reflejada y parcialmente transmitida.

De las ecuaciones de Maxwell podemos escribir una ecuación que relaciona a los campos eléctricos y magnéticos como:

Et

EB

00

Desarrollando este término y considerando que la divergencia del campo magnético es cero, se tiene que:

2

2

002

t

B

t

BB

Esta es la ecuación de una onda amortiguada. Para valores pequeños de se puede escribir que:

01

2

2

22

t

B

cB

Que es la ecuación de una onda con velocidad de propagación:

0

1c

Para estudiar la dispersión de ondas electromagnéticas es necesario recurrir al teorema de la divergencia:

V S

xdnAxAd 20

3 ˆ

Podemos elegir como función de Green la función:

R

eG

ikR

4

Si reemplazamos esta función en la ecuación de Helmholtz inhomogénea:

)'(22 xxGkG y la reemplazamos en el teorema de Green se tiene que:

''

2 ''''''

)'(s

xdn

BG

n

GBxB

Ahora, dividimos la superficie de integración en dos partes, una superior llamada S, , y la otra al nivel del mar llamada S0.

En S0 la corriente inducida en el punto x’ se debe tanto al campo incidente como al campo dispersado desde los puntos cercanos a x’. Así se tiene que el campo total en el punto x’ es:

)()(

''

)'(

')'()()(

0'

2

xBxB

xdn

xBG

n

GxBxBxB

si

s

ttit

donde Bi esta integrado sobre S y Bs sobre S0

Aproximación de KirchhoffSuponemos que los efectos de campo cercano son despreciables.

Los ángulos de incidencia y dispersión se miden con respecto a la vertical.

Podemos escribir de la figura que:k

xkrR s '

La aproximación de Kirchhoff consiste en despreciar la diferencia entre r y R de modo que se pueda escribir la función de Green como:

r

e

R

eRG

xkkriikR s

44)(

)'(

Si L(x’,y’) representa la superficie iluminada, se llega a escribir para el campo dispersado:

''''

1)','(2

'.,

0 dydxey

bx

ayxLRr

eBikB xi

hv

ikrz

s

En este caso se ha cambiado la integral de la superficie del océano a una de el nivel del mar.

en que representa la forma de la superficie del área iluminada y a y b son términos geométricos, dependientes del ángulo de dispersión.

Sección eficaz de la superficie del océano

Definimos la sección eficaz biestática de dispersión por unidad de área como la normalización del flujo de energía dispersado por unidad de área del mar desde un ángulo incidente i , entre los ángulos s y s , y observado a una gran distancia.

Una integral aproximada para la sección eficaz está dada por:

'')','()( )'(14)'2(2,2

40

22

dydxeeyxLRk

k xkxikhv

zi

zh

Ahora, debemos considerar un caso especial de utilización de esta formula. Se trata de la llamada teoría de las pequeñas perturbaciones o Teoría de Bragg

Teoría de las pequeñas perturbaciones (Teoría de Bragg)

Cuando la longitud de onda de una onda electromagnética es grande comparada con la altura de la superficie del agua con respecto al nivel de equilibrio, se puede considerar que la superficie es poco rugosa.

Para poder aplicar este modelo, se debe cumplir que:

0)(

)sen(2)(

yw

ibxw

k

kkk

La dispersión de Bragg se produce cuando las olas viajan paralelas o perpendicularmente a la línea del rayo.

)0),sen(2()0),sen(2()(cos8)(

)0),sen(2()0),sen(2()(cos8)(

244

244

iiivviivv

iiihhiihh

kSkSgk

kSkSgk

La sección eficaz queda expresada como:

Aquí, las cantidades S( 2k sen(i ),0) son los valores del espectro del número de onda bidimensional evaluado en los vectores de onda de Bragg positivos y negativos.

22sen)cos(

1)(

iri

rihhg

2

2

2

sen)cos(

sen))sen(1()1()(

irir

iirrivvg

Los coeficientes ghh y gvv son los coeficientes de Fresnel modificados que para la transmisión y recepción vertical y horizontal respectivamente son

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