Fisica Electrónica I

FISICAELECTRONICA

Tomo I

O. VON PAMEL S. MARCHISIO

INDICE TOMO I

• MODULO I Mecanica cuantica Parte I: Las experiencias conflictivas.

• MODULO II Mecanica cuantica: La ecuación de Scherodinger

• MODULO III Mecanica cuantica Parte III: Modelos de potencia

• MÓDULO IV Atomos, moléculas, microsolidos.

• MODULO V Materia condensada: Solidos y Liquidos

• MÓDULO VI Materia condensada: Efecto de las impurezas en los solidos.

• MODULO VII Los cristales en interacción con el medio ambiente. Parte 1: En estado de equilibrio

• MÓDULO VIII La materia en interacción con el medio ambiente Parte 2 : bajo condiciones de no equilibrio

• MÓDULO IX El proceso de conducción eléctrica 1ra parte : Conducción eléctrica

• MODULO X El proceso de conduccion electrica 2da parte : La ruptura dielectrica

MODULO I

MECANICA CUANTICA

PARTE I :

LAS EXPERIENCIAS CONFLICTIVAS

O. VON PAMEL S. MARCHISIO 1

MECANICA CUANTICA

PARTE I : LAS EXPERIENCIAS CONFLICTIVAS

INDICE: INTRODUCCIONFísica Clásica y Física Cuántica EXPERIENCIAS CONFLICTIVASRadiación del cuerpo negro: un problema tecnológico La radiación del cuerpo negro y el cuanto de Planck Formulación de Rayleigh - JeansHipótesis de Planck El efecto fotoeléctricoEinstein y la interpretación del efecto fotoeléctrico La radiación electromagnética,... ¿onda o corpúsculo? El Efecto Compton Explicación de Compton Algo más a partir de Compton..... Regularidades en los espectros atómicosEl lenguaje de los espectros Las series espectrales del hidrógeno Las series espectrales: un enigma pendiente

FISICA ELECTRONICA MODULO I 2

INTRODUCCION Física Clásica y Física Cuántica

La Física Clásica nos muestra el universo como análogo a un inmenso mecanismo susceptible de ser descripto con absoluta precisión por la localización de sus partes en el espacio y su modificación en el decurso del tiempo, mecanismo cuya evolución, en principio puede ser prevista con rigurosa exactitud cuando se posee cierto número de datos acerca de su estado inicial. Louis De Broglie

¿ Qué implicancias tiene esta afirmación del célebre físico de nuestro siglo? Supongamos un sistema físico, por ejemplo, una partícula. En un instante de tiempo t=to, se puede establecer el estado físico del sistema. Es así como, en el contexto de la Física Clásica, podemos decir que la partícula, en un instante determinado tiene asociado un estado caracterizado por los valores que asumen su velocidad, su momento lineal, su energía... Los valores vo, po, Eo, por ejemplo, asociados al to. , van a definir lo que llamamos el estado del sistema en ese instante. Del mismo modo, si conocemos el estado inicial, asociado al instante to, la Física Clásica nos permite determinar con exactitud los valores asumidos por las variables de estado en un instante t1 posterior, valores que se suceden con continuidad. Así, la partícula caracterizada por (xo, po) en t=to y por (x1, p1) en t=t1, pasa por todos los valores intermedios de x y p entre to y t1. Esta posibilidad de previsión rigurosa de los fenómenos futuros a partir de los fenómenos actuales, posibilidad que implica que el porvenir está contenido en cierto modo en el presente y que no le añade nada, constituye lo que se ha dado en llamar el determinismo clásico. Hasta aproximadamente el año 1900, todos los fenómenos físicos que se estudiaban podían describirse dentro del marco de la Física Clásica. En particular, para la comprensión de las propiedades electrónicas de los materiales, las descripciones empleadas hasta entonces respondían a enfoques fenomenológicos basados en observaciones experimentales. Las leyes halladas en este campo de la Física fueron obtenidas a partir de magnitudes y de relaciones entre magnitudes de tipo macroscópicas. Ninguna hipótesis relativa a la estructura de la materia fue necesario realizar para formular las ecuaciones que describían dichos fenómenos. Esos resultados hallados empíricamente conservan su campo de aplicación, tal el caso de la ley de Ohm, las ecuaciones de Maxwell, cuando intervienen magnitudes tales como diferencias de potencial, intensidades de corriente, entre otras. Sin embargo, cuando se busca explicar fenómenos de


naturaleza microscópica, tales como interacciones de tipo electrón- sólido, por ejemplo, se ponen de manifiesto las limitaciones del enfoque clásico. Puesto que para la comprensión de la física de los electrones y de los dispositivos tecnológicos asociados debemos encarar el estudio de la materia a partir de su estructura, el enfoque clásico se nos presenta insuficiente. Es en 1901, a raíz de un hallazgo de Planck, que se inicia un gran cambio en el campo de la Física. Esta es la época en la que eran objeto de estudio en las comunidades científicas, los fenómenos en los que las radiaciones electromagnéticas aparecían asociadas con la materia, tanto en mecanismos de emisión como de absorción; época en la que se buscaba, a través del estudio de la estructura de la materia, dar explicación a fenómenos experimentales que no podían ser descriptos a través de la Física Clásica. Podría afirmarse que existían, por entonces, una serie de problemas y experiencias conflictivas que desafiaban a la comunidad científica. Entre todos ellos, podemos destacar: la radiación del cuerpo negro, el efecto fotoeléctrico, el efecto Compton, los espectros de emisión y absorción de distintos gases

El análisis y explicación de estas experiencias, las que involucran mecanismos en los que entran en juego tanto la radiación como la materia asociados a procesos de absorción o emisión, permitirá comprender el modo en que, en las primeras décadas de este siglo, se fuera generando un nuevo modo de pensamiento, origen de la Física Cuántica.

Volver EXPERIENCIAS CONFLICTIVAS Radiación del cuerpo negro: un problema tecnológico Este problema está vinculado a la medición óptica de temperaturas. A principios de siglo, cuano se necesitaba medir una temperatura, se empleaban métodos basados en la dilatometría , ya sea por el empleo de un termómetro , o la medición a través de la elongación por dilatación de una varilla o de un fleje metálico. Estos métodos se volvían problemáticos o imposibles a temperaturas elevadas, fundamentalmente debido a la pérdida de linealidad de la elongación de los metales con la temperatura. Δl = l - lo = α ΔT + β ΔT2 + .......


Un método alternativo, ( sólo válido, en ese entonces, para temperaturas elevadas), consistía en observar el color de la luz emitida por una sustancia u objeto que estuviera a alta temperatura. De la experiencia se conocia que cuando se observaba un objeto dentro de un horno, este objeto y las paredes internas del horno, iban adquiriendo, a temperaturas mayores a 450 oC , un color rosado que, a medida que la temperatura subía, se convertía en rojizo, luego en rojo, posteriormente en amarillo, pasando al blanco amarillento y finalmente al blanco azulado. Este fenómeno permitía realizar una escala color - temperatura, lográndose por este método una medición aproximada de la tempratura. Al estudio del modelo físico - matemático de este fenómeno, para la comprensión de la correlación color - temperatura, se lo conoce como el estudio de la radiación del cuerpo negro. La radiación del cuerpo negro y el cuanto de Planck El origen de la teoría de los cuantos se encuentra en las investigaciones hechas hacia 1900 por Max Planck sobre la teoría de la radiación del cuerpo negro. En la naturaleza no existen estrictamente cuerpos negros. Este concepto físico es una abstracción teórica construída como necesidad para el estudio de esos fenómenos asociados al comportamiento de los hornos. Tal como “la partícula” y “el rayo luminoso”, el cuerpo negro es, desde el punto de vista del estudio físico-matemático, una representación idealizada de determinados sistemas reales. Desde una perspectiva científica.., ¿qué es un cuerpo negro? Para su definición resulta conveniente revisar algunos conceptos vinculados con la radiación del calor.

Podemos caracterizar la intensidad de la radiación de calor mediante el flujo de energía medido en vatios. El flujo de energía emitido por la unidad de superficie del cuerpo emisor en todas direcciones, se denomina emitancia luminosa del cuerpo. Designamos esta magnitud con la letra U. La emitancia luminosa es una función de la temperatura. Puesto que la radiación se compone de ondas de diferentes frecuencias ω, si quisiéramos determinar el flujo de energía radiante emitido por un cuerpo a una determinada temperatura, UT , deberíamos conocer su poder emisivo (εω) a esa temperatura, para cada frecuencia, e integrarlo a lo largo de todo el espectro de frecuencias.


∞

Así, UT = ∫0 εωT d ω Por otra parte, si analizamos la absorción por un cuerpo del flujo de energía radiante provocado por ondas electromagnéticas, veremos que del total incidente, una parte es absorbida por el mismo. La relación entre la absorbida y la incidente es lo que se denomina capacidad de absorción del cuerpo, la cual es, al igual que el poder emisivo, una función de la temperatura y de la frecuencia de la radiación incidente. Por definición, la capacidad de absorción (α), no puede ser mayor que la unidad.

Para el cuerpo que absorbe completamente la radiación de todas las frecuencias que inciden sobre él, α ≡ 1. Este cuerpo se denomina cuerpo negro.

Una cavidad provista de un pequeño orificio se comporta como un cuerpo negro. La radiación que penetra hacia el interior a través del orificio, antes de salir del mismo, sufre una reflexión repetida. Parte de la energía es absorbida en cada reflexión, como resultado de lo cual toda la radiación de cualquier frecuencia se absorbe en esa cavidad.

Por esa misma razón, el interior de una habitación en un día soleado parece oscuro, al ser observado desde lejos a través de una ventana abierta Un horno se comporta como un cuerpo negro. Cualquier radiación que choque contra el pequeño orificio de un horno tiene prácticamente cero probabilidades de ser reflejada en la dirección inversa. Además la radiación en el interior del horno está en equilibrio para cada temperatura y cualquier radiación que proceda del orificio es característica del cuerpo negro a esa temperatura.

Existe una relación entre el poder emisivo y la capacidad de absorción de cualquier cuerpo, fundamentada a través del concepto de equilibrio térmico: aquel cuerpo que emita más energía, deberá absorber más. Esta relación expresa una ley establecida por Kirchoff: La relación entre el poder emisivo y la capacidad de absorción no depende de la naturaleza del cuerpo, sino que para


todos los cuerpos es una misma función universal de la frecuencia y de la temperatura. ε (ω, T) / α (ω, T) = ƒ(ω, T) El poder emisivo y la capacidad de absorción pueden variar extraordinariamente al pasar de un cuerpo a otro; pero la relación entre ellos será igual para todos los cuerpos. Para el cuerpo negro, α (ω, T) ≡ 1 por definición. Por consiguiente, de la relación anterior, se infiere que la función universal de Kirchoff ƒ(ω, T) representa el poder emisivo del cuerpo negro teórico.

Si mantenemos las paredes de la cavidad ( o del horno), a cierta temperatura T, del orificio saldrá una radiación bastante cercana por su composición espectral a la del cuerpo negro teórico a esa misma temperatura. Al descomponer esa radiación en un espectro con ayuda de una red de difracción y medir la intensidad de las diferentes zonas del mismo en función de las longitudes de onda, puede determinarse experimentalmente el aspecto de la ƒ(ω, T) y de su equivalente ϕ(λ, T). (Recuérdese que λ y ω están relacionadas por la velocidad de la luz como λ = 2 π c/ν). A partir de estos resultados se han determinado varias relaciones. Las distintas curvas se refieren a diferentes valores de la temperatura T del cuerpo negro: ♦ Es posible observar que el máximo del poder emisivo se desplaza hacia

el lado de las ondas más cortas al aumentar la temperatura. Así, la longitud de onda a la cual se produce el máximo de las curvas, se desplaza hacia el azul a medida que se aumenta la temperatura del horno. Esto concuerda con la observación común que un horno caliente al blanco estará a mayor temperatura que uno al rojo. La ley experimental que describe este comportamiento fue hallada por Wien y expresa:

Ley de Wien : λmáx. T = cte.


A partir de las curvas, se deriva también que:

ϕ(λ,T ).1010 W/m3

4

3

2

1

1 2 3 λ(μm) 2,36 1,18 0,59 ν.105(s-1)

2000 0K

1790 0K

1600 0K

♦ el flujo de energía

emitido por la unidad de superficie del cuerpo emisor en todas las direcciones dentro de la cavidad, o emitancia luminosa, (área bajo cada curva de la distribución espectral), aumenta fuertemente con la temperatura.

Se formuló entonces una segunda relación, la ley de Stefan - Boltzmann, en un esfuerzo por describir estas curvas. Esta ley establece que la emitancia luminosa del cuerpo negro es proporcional a la cuarta potencia de la temperatura absoluta: ∞

Ley de Stefan-Boltzmann : U ≡ ∫0 ƒ(ω, T) d(ω) = σ. T 4

Donde σ se denomina constante de Stefan - Boltzmann, cuyo valor experimental es 5,7. 10 -8 W / (m2.K4). Volver Formulación de Rayleigh - Jeans Las leyes de Stefan - Boltzmann y de Wien dan, sobre la composición de la radiación del cuerpo negro y sobre sus modificaciones en función de la temperatura, datos muy importantes que la experiencia ha verificado perfectamente, pero no fijan de un modo completo la forma de la ley de la repartición espectral. Inmediatamente resultó que no se podía avanzar no teniendo en cuenta más que consideraciones termodinámicas, y que , para determinar completamente la forma de la ley de composición espectral, había que introducir hipótesis sobre la manera cómo la materia emite y absorbe la radiación , y que había por lo tanto que aventurarse en el terreno de las hipótesis atómicas abandonando el terreno más sólido de la Termodinámica. Para ello se propusieron distintas relaciones, pero sólo una, la formulación de Rayleigh-Jeans, tenía base teórica. En base a un razonamiento clásico, se reconoció que la radiación proveniente del horno (cuerpo negro) era emitida por los átomos calientes de las paredes. En virtud de que se conocía que las cargas en oscilación en una antena o dipolo podrían emitir radiación electromagnética, esta hipótesis fue natural. En particular se pensó que los átomos podrían tratarse como dipolos oscilantes con diferentes frecuencias de oscilación.


Al estudiar el equilibrio que se establece en un recinto isotermo como consecuencia de los intercambios de energía entre los osciladores y la radiación ambiente según los métodos del Electromagnetismo Clásico, se pudo hallar una ley de repartición espectral:

ƒ(ω, T) = cte. ω2 . < ε> ;

siendo la cantidad < ε > la energía promedio del dipolo oscilante igual a KT y calculada mediante la expresión: ∞

∫0 ε. e- ε/KT d ε < ε > = ∞

∫0 e- ε/KT d ε . Tal como se puede observar en

la figura, ésta concuerda satisfactoriamente con los datos experimentales sólo para longitudes de onda muy largas y diverge considerablemente del experimento para longitudes de onda cortas. La relación señala que la curva debería aumentar sin límite a medida que λ se hace más pequeña. Vimos, sin embargo, que la curva experimental alcanza un máximo en algún valor de λ y a continuación disminuye hacia cero a medida que λ disminuye.

ϕ ( λ,2000 0K ) .1011 W/m3

10

8

6

4

2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 λμm

formula deRayleigh-Jeans

Esta falla de la ley de Rayleigh - Jeans a longitudes de onda corta se denominó “catástrofe ultravioleta”, en virtud de que la falla ocurre en las longitudes de onda ultravioletas y más cortas. La densidad total de la energía de la radiación del cuerpo negro obtenido en base a la ley de Rayleigh debería ser infinita a toda temperatura. Sin embargo, desde el punto de vista clásico, la deducción de la fórmula de Rayleigh - Jeans es irreprochable. Por esta razón, la divergencia de esta fórmula del experimento indica la existencia de regularidades incompatibles con las concepciones de la Física Clásica. Hipótesis de Planck Uno de los físicos que estaba trabajando en la búsqueda de un marco teórico explicativo para la radiación del cuerpo negro fue Max Planck. Ya había desarrollado una relación empírica que describía con éxito la


información experimental de la curva de la distribución espectral de la energía de la radiación del cuerpo negro. Examinando los resultados de la ley de Rayleigh, Planck pudo advertir que la inexactitud procedía del papel demasiado importante que desempeñan en la imagen cásica de los intercambios de energía entre los osciladores atómicos y la radiación, los osciladores de alta frecuencia. Esto era lo que conducía al crecimiento monótono de la densidad espectral con la frecuencia, la llamada catástrofe ultravioleta. Con el objeto de restringir el papel de los osciladores de alta frecuencia, Planck introdujo en su descripción un elemento extraño a las concepciones clásicas. Postuló que la materia no puede emitir energía radiante más que por cantidades finitas (cuantos de energía) proporcionales a la frecuencia de la radiación. De este modo resulta: cuanto de energía ε = h . ν Si la radiación se emite en porciones ε, su energía deberá ser múltiplo de esa magnitud. La energía emitida por los osciladores atómicos como radiación electromagnética puede tomar entonces sólo ciertos valores permitidos: 0ε, 1ε , 2ε , 3ε , y así sucesivamente. Genéricamente: εn = n. ε = n. h.ν ; con n = 0, 1, 2, .... A partir de los datos experimentales Planck calculó el factor de proporcionalidad, h, de valor 6.64. 10−34 J / s, conocido actualmente como constante de Planck. Poniendo en juego esta hipótesis de la cuantificación de la energía de los osciladores atómicos, Planck encontró una ley de repartición espectral de la radiación del cuerpo negro que reproduce la curva experimental. ƒ(ω, T) = cte. ω2 . < ε>

siendo la cantidad < ε > la energía promedio de los osciladores atómicos, ahora de un valor diferente del KT que resultaba en la fórmula de Rayleigh. A partir de esta hipótesis de cuantización de la energía de los osciladores, en el cálculo de la <ε> Planck reemplaza la expresión: ∞ ∞

∫0 ε. e- ε/KT d ε ∑0 n.εo e- n.εo/KT <ε> = ∞ por: <ε> = ∞

∫0 e- ε/KT d ε ∑0 εo e- n.εo/KT

En estado de equilibrio, la distribución de las oscilaciones por valores de energía debe cumplir también


con la ley de Boltzmann, pero en el cálculo de la < ε >, al considerar sólo los valores permitidos de las energías proporcionales a la frecuencia de la radiación (hipótesis de cuantización de Planck), la < ε > resulta ahora: h . ν ω <ε> = ; con ν = e h . ν / KT - 1 2π (en vez del resultado de Rayleigh: <ε> = KT) Por lo que : ƒ(ω, T) = cte. ω3. h e h . ω/ 2πKT - 1

La fórmula final obtenida acuerda con las leyes termodinámicas de Stefan y del desplazamiento de Wien ya analizadas. Por el contrario, no coincide con la fórmula de Rayleigh nada más que para las frecuencias débiles y las altas temperaturas. En este caso, puesto que el exponente eh.ω/

2πKT se puede hacer aproximadamente igual a 1+ h.ω/2πKT, la < ε > que resulta de la hipótesis de cuantización de la energía de Planck se aproxima a KT. En ese rango, los intercambios energéticos entre materia y radiación ponen en juego un gran número de los pequeños granos de energía; todo sucede entonces sensiblemente como si estos intercambios se hiciesen de una manera continua por lo que los razonamientos clásicos conducen a rsultados bastante aproximados. Por el contrario, para altas frecuencias y bajas temperaturas, los intercambios de energías ponen en juego un reducido número de grandes granos de energía, por lo que las discrepancias con el razonamiento clásico se hacen evidentes. El trabajo de Planck sobre esta materia fue publicado en 1900. Fue bastante radical para la mayoría de los físicos de la época. En un intento por salvaguardar la naturaleza continua de la radiación de acuerdo con la teoría de las ondas electromagnéticas que se apoyaba sobre innumerables verificaciones, el mismo Planck sostuvo por un tiempo que la materia sería capaz de acumular de una manera continua una parte de la energía radiante que cayera sobre ella, pero no podía emitirla más que por cantidades finitas. Esto no pudo ser defendido por mucho tiempo. En 1905, Eintein mostró que el concepto cuántico de Planck podía ser aplicado a un fenómeno proveniente de un campo diferente de la Física, pero que involucraba la absorción de radiación electromagnética por la materia: el efecto fotoeléctrico. Volver


El efecto fotoeléctrico Otro conjunto de resultados experimentales sin explicación en el comienzo de este siglo se relacionba con el efecto fotoeléctrico. Se denominó efecto fotoeléctrico a la emisión de electrones por una sustancia bajo la acción de la luz. Este efecto se observa de la siguiente manera:

Se encierran dos electrodos metálicos en un tubo de vidrio, como se muestra en la figura. Se vacía todo el aire de su interior y se conecta el tubo en serie con

una batería y con un galvanómetro sensible, según se indica.

Luz Tubo de vidrio al vacio •

Placas G

Claro está, no fluirá corriente en el circuito en virtud de que las dos piezas de metal en el tubo no se tocan, por lo que el circuito está abierto. La resistencia de esta porción del circuito es infinita. Sin embargo, si se ilumina una de las superficies metálicas, llamada placa, con una luz de longitud de onda suficientemente corta, fluye una corriente estacionaria en el circuito. Obviamente, esta corriente está sustentada por los electrones emitidos por la placa bajo la acción de la luz, los que se desplazan a lo largo del tubo hacia el colector positivo, cerrando el circuito. Distintas observaciones experimentales de este fenómeno permiten establecer que: ♦ existe una determinada longitud de onda llamada longitud de onda

crítica (λc) que es característica para cada metal. Unicamente longitudes de onda más cortas que la λc pueden causar este efecto.

♦ independientemente de lo débil que sea el haz de luz, para cualquier

λ<λc los electrones son emitidos en el instante en que la luz alcanza la placa. Sin embatgo, un haz muy intenso de luz, con λ>λc, hará que los electrones abandonen la placa únicamente después que ésta haya sido calentada al rojo.

♦ aunque el número de electrones emitidos por la placa (intensidad de la

corriente) es proporcional a la intensidad del haz luminoso, las energías cinéticas de los electrones emitidos no dependen de la intensidad luminosa.


♦ la determinación experimental de la energía cinética máxima de los electrones emitidos (K), para una misma placa, bajo la acción de la luz de diferentes longitudes de onda (diferentes frecuencias), permite obtener una ley matemática que expresa:

K = A.ν − B siendo: A y B constantes y ν = c / λ , con c = velocidad de la luz

Si la misma experiencia se repite para disintos materiales de la placa, es posible obtener una familia de curvas de la energía en función de la frecuencia que resultan representaciones de rectas de idéntica pendiente y diferente ordenada al origen. Nótese la existencia de una frecuencia mínima o umbral (νu). Esta se vincula con λc , siendo νu= c /λc De estos resultados experimentales podemos inferir la característica esencial del efecto fotoeléctrico:

La energía cinética de los electrones emitidos es únicamente función de la frecuencia de la radiación incidente y no depende de modo alguno de su intensidad.

E m1 m2 m3

Cs K Na

νu1 νu2 νu3 hν φ1

φ2

Einstein y la interpretación del efecto fotoeléctrico La interpretación teórica del mecanismo que desemboca en la liberación de los llamados fotoelectrones no resultaba satisfactoria a partir de las concepciones clásicas. La teoría ondulatoria de la luz, apoyada sobre bases inquebrantables hacia 1900, conduce a considerar la energía radiante como repartida uniformemente en la onda luminosa. Un electrón golpeado por una onda luminosa recibe la energía radiante de un modo continuo, por lo que la cantidad de energía que recibe el electrón por segundo es proporcional a la intensidad de la onda incidente y no depende de la longitud de onda. Einstein tuvo en 1905 la idea notable de que las leyes del efecto fotoeléctrico indican la existencia de una estructura discontinua de la luz. Así generalizó los resultados de Planck a fin de obtener un modelo de la luz: ♦ Planck consideró que un oscilador podría variar su energía perdiendo o

ganando cuantos de magnitud hν , donde ν es la frecuencia natural del oscilador .


♦ Einstein postuló entonces que cuando un oscilador pierde un cuanto de energía hν, el oscilador emite un pulso de luz o fotón que transporta una cantidad de energía hν , siendo la frecuencia de la luz emitida la misma ν.

A partir de considerar a la luz como un haz de fotones donde cada fotón transporta un cuanto de energía, Einstein interpretó las leyes del efecto fotoeléctrico. Cuando la luz choca contra una superficie, los fotones chocan contra los electrones encerrados en el material. Si se requiere realizar un trabajo φ para arrancar un electrón del material, los cuantos de luz deben tener por lo menos esa cantidad de energía. La cantidad φ se denomina función trabajo del material. Esto explica el λc , la longitud de onda crítica (y la frecuencia umbral νu ) para la emisión de electrones, en forma bastante natural. Si los fotones tienen una energía tal que hν > φ , entonces los fotones serán capaces de liberar electrones. de otra manera no fluirá corriente. Por lo tanto tenemos: νu = φ / h o lo que es lo mismo: λc = hc / φ De este modo, la medición de la longitud de onda crítica debería permitirnos determinar la función trabajo del material. A cualquier longitud de onda λ<λc, (o frecuencia ν>νu) ,cada fotón tendrá suficiente energía para liberar un electrón . Esta energía adicional aparecerá como energía cinética del electrón emitido. Considerando únicamente los electrones emitidos con mayor rapidez (mayor energía cinética), tenemos que la energía del fotón incidente es igual al trabajo que debe realizar el electrón para liberarse del material, sumado a la energía cinética del electrón una vez emitido.

Esto es: hν = φ + K de donde podemos obtener la expresión teórica o ecuación fotoeléctrica de la energía cinética en función de la frecuencia de la luz incidente y así poder comparar con la ley conocida a partir de las experiencias. Así: ecuación fotoeléctrica teórica K = hν − φ

ley empírica K = Aν − B

La comparación de estas dos expresiones muestra que son de forma idéntica . En efecto, por medición se sabe que la


constante experimental A es exactamente igual a h , como se predice en la ecuación fotoeléctrica. Por lo tanto, la teoría de Einstein del efecto fotoeléctrico es un éxito completo.

La radiación electromagnética,... ¿onda o corpúsculo? Ni la teoría de la radiación del cuerpo negro de Planck ni la teoría fotoeléctrica de Einstein serían muy aceptables si se consideraran separadas. Cada una hace una suposición concerniente a los cuantos de energía radiante contraria a la forma en que se consideró en esa época el comportamiento de los objetos de laboratorio y la luz. El hecho de que en ambas teorías se haga uso de estos mismos conceptos, y la misma constante física para lograr explicaciones para dos fenómenos completamente diferentes, hace sospechar que estas teorías y los nuevos conceptos tienen validez. Desde esa época se han acumulado otras pruebas, y los físicos reconocen que la radiación electromagnética, cuano interactúa con la materia, se comporta como cuantos o fotones, con energía hν . Esto, claro está, no invalida nuestras ideas anteriores concerniente a la forma en que la luz se desplaza en el espacio, en virtud de que la naturaleza cuántica de la luz no es evidente excepto cuando choca con la materia. Su movimiento a través del espacio evidentemente es igual al de las ondas y puede describirse de mejor manera en términos de ondas. A partir de los cuantos de luz de Einstein es imposible describir la luz y la radiación electromagnética en la forma que describiríamos una casa o una silla. En el caso de la radiación electromagnética debemos conformarnos con describirla en términos de lo que ésta hace, en términos de su comportamiento. Sabemos que la luz sufre difracción e interferencia y, por lo tanto, aparece como una onda bajo las circunstancias en que estos fenómenos se ponen de manifiesto. Es decir, la radiación electromagnética puede describirse adecuadamente, por lo que se refiere a su movimiento a través del espacio en términos de onda. Sin embargo, cuando la radiación interactúa con la materia de manera tal que provoque una transferencia de energía de la materia a la radiación, o viceversa, se requiere una descripción en términos de cuantos de energía o de fotones. Una imagen puramente corpuscular de la radiación no permite definir una frecuencia, una longitud de onda, es decir, magnitudes relevantes en una descripción ondulatoria y cuyos valores pueden ser deducidos de los fenómenos de interferencia y difracción. Y es precisamente a través del uso de esas magnitudes que Einstein define la energía del fotón: εfotón = h.ν . La constante de Planck, por otra parte, aparece vinculando, a modo de puente, el aspecto ondulatorio de la luz (ν), bien conocido después de


Fresnel, y el corpuscular (εfotón, cuanto, corpúsculo), revelado por el descubrimiento del efecto fotoeléctrico. De todo esto concluimos que, conceptualmente:

la radiación electromagnética se considera mejor como un medio diferente de transporte de energía, que posee propiedades peculiares. Estas propiedades son en parte las de las partículas cuánticas y en parte, los de ondas.

Volver El Efecto Compton Las propiedades corpusculares de la luz se manifiestan con más claridad en un fenómeno asociado a la dispersión de la radiación que recibió el nombre de efecto Compton. Se sabe que, si una radiación golpea un cuerpo material, una parte de la energía de esta radiación es dispersada en todas direcciones en forma de radiación difusa. La teoría electromagnética interpreta esta dispersión diciendo que, bajo la influencia del campo eléctrico de la onda incidente, los electrones contenidos en el cuerpo material, entran en vibración forzada y se convierten en fuentes de pequeñas ondas esféricas secundarias que dispersan así en todas las direcciones una parte de la energía aportada por la onda primaria. Según esta interpretación, la vibración dispersada bajo la acción de una onda primaria monocromática (de frecuencia νp), debe tener exactamente la misma frecuencia que esta onda primaria; por ende, lo esperable en este caso sería: νd = νp. Durante mucho tiempo, esta teoría, asentada sobre la base del comportamiento ondulatorio de la radiación, se mostró satisfactoria para la interpretación de las experiencias de dispersión realizadas. Un estudio más preciso de la dispersión de los rayos X por diversos materiales, realizado por Compton, puso de manifiesto en 1923, un efecto no observado anteriormente.


Esto es: además de la dispersión sin cambio de frecuencia prevista por la teoría electromagnética, se produce otra dispersión de frecuencia menor, completamente imposible de prever por el razonamiento clásico. Esquema del experimento de Compton. Explicación de Compton

Esta figura muestra los resultados típicos de la dispersión encontrados por Compton. El hecho esencial observado por Compton es que: la radiación dispersada de frecuencia menor a la de la incidente, tiene una frecuencia variable con el ángulo de dispersión, pero independiente de la naturaleza del material.

Compton y Debye interpretaron el fenómeno asimilando la dispersión con cambio de

frecuencia a un choque elástico entre un fotón incidente y un electrón contenido en la materia enlazado débilmente con los átomos.

haz incidente de rayos X grafito

φ

rayos X dispersados

• • ϕ = 00

• • • • • • •• •• • • • • ϕ = 450

• • • • • • • • • • ϕ = 900

• • • • •• • • • • • • • • ϕ =1350

• • • • λ(A0)

Su teoría se desarrolla apoyándose sobre los teoremas de la conservación de la energía y de la cantidad de movimiento en la colisión.

En el momento del choque hay cambios de energía y cantidad de movimiento entre el fotón y el electrón. Como la frecuencia del fotón es proporcional a su energía, hay disminución de la frecuencia (pérdida de energía del fotón) en el momento del choque.

incidente h/λ

P de los electrones

dispersado h/λ´

En la figura, esta radiación dispersada está caracterizada por una longitud de onda λ mayor que la de la incidente.


Esta experiencia puso entonces en evidencia que: el fotón es pues un corpúsculo, al que no sólo se le puede caracterizar con un valor de energía, sino que además, como partícula, es capaz de transferir cantidad de movimiento. Pero, ¿cuál es la cantidad de movimiento de esta partícula que, como radiación, se desplaza a la velocidad de la luz c ?

Como partícula relativista: energía ε = m.c2

p = ε / c y cantidad de movimiento p = m.c Por otra parte: No debemos olvidar los atributos de partícula y de onda con que, a partir de Einstein caracterizamos a la radiación al interactuar con la materia. Recordemos que: energía del fotón ε = h. ν Puesto que, como vimos: p = ε / c Podemos calcular: cantidad de movimiento del fotón p = h. ν / c o, lo que es lo mismo: pfotón = h / λ

Veamos entonces cómo Compton planteó las ecuaciones a partir de las leyes de conservación de la energía y de la cantidad de movimiento para el sistema de las dos partículas antes y después del choque.

• cantidad de movimiento: antes después Según el eje x : pax = h/λ = h/λ‘ cos θ + m.vx = pdx y en el eje y : pay = 0 = h/λ‘ sen θ − m.vy = pdy

siendo λ‘ la longitud de onda después de la dispersión y m la masa del electrón.


• energía antes después Ea = h.c/λ = h.c/λ‘ + m.vx

2 + m.vy2 = Ed

2 Con estas ecuaciones se puede despejar λ‘ en función de θ : λ‘ = λ + h . (1- cos θ) m.c Obsérvese que en esta ecuación de Compton se predice que λ‘ =

λ cuando θ = 0. Por otra parte, a medida que θ aumenta, la longitud de onda de la radiación dispersada también aumenta, tal como se observó en la experiencia, pudiéndose reproducir los valores experimentales.

La interpretación de la otra porción de la radiación dispersada, aquélla cuya longitud de onda no cambia, es la siguiente. En el estudio precedente consideramos al electrón levemente ligado, esto es cierto para los electrones más externos de los átomos. No debemos olvidar a los electrones más cercanos al núcleo, para los cuales, la energía de la radiación encidente no es suficiente, por lo que dichos electrones no pueden ser dislocados del átomo y no pueden dar energía adicional. El fotón actúa entonces como si chocara contra un objeto masivo: el átomo como un todo. Si la ecuación de Compton se aplicara , la masa del electrón debería ser reemplazada por la masa del átomo, algo así como 20.000 veces mayor que la masa del electrón. Como resultado, λ‘ y λ son esencialmente idénticas para estos fotones dispersados. Algo más a partir de Compton..... Un análisis más profundo de estos resultados nos lleva a considerar que: el efecto Compton plantea conceptualmente la necesidad de una interpretación probabilística de la mecánica Cuántica. La experiencia realizada por Compton involucra a sistemas de electrones, no a electrones tomados aisladamente. No se puede predecir para qué lado será dispersado tal o cual electrón, pero sí se tiene una sistemática (ver las gráficas de la distribución de los electrones dispersados a distintos ángulos), cuando el número de electrones es grande. Por lo que: la teoría desarrollada por Compton y Debye no permite predecir cómo evoluciona un electrón, pero sí, cómo se comportan, en promedio, un número grande de electrones. Volver


Regularidades en los espectros atómicos Además de la radiación del cuerpo negro y del efecto fotoeléctrico, las particularidades observadas en los espectros producidos por varios elementos químicos era otro fenómeno que requería explicación de parte de los físicos a comienzos del siglo XX. Un método experimental empleado frecuentemente a comienzos de siglo para analizar la composición de distintos elementos de la naturaleza consistía en examinar la luz emitida por los mismos en ciertas condiciones de excitación térmica o eléctrica. Lo que se buscaba era la obtención de espectros de emisión; para ello, se dispersaba dicha luz a través de un prisma. El lenguaje de los espectros Un espectro se obtiene a partir de la siguiente disposición experimental.

lampara de prisma pantalla descarga

diafragma espectro gaseoso

Podemos, por ejemplo, examinar la luz producida por el filamento caliente de un tubo incandescente. En ese caso el espectro aparecerá como una banda luminosa continua integrada por los colores del arco iris. A éste se lo denomina espectro continuo y es característico de la radiación emitida por un cuerpo sólido incandescente. También podemos obtener un espectro a partir de una muestra de hidrógeno gaseoso u otro gas a bajas presiones, confinado en un tubo de vidrio e inducido a emitir luz, por ejemplo, por calentamiento. Si examinamos dicha luz con un prisma, no observamos un espectro continuo, sino un espectro de emisión de líneas, conformado por unas pocas, separadas líneas de color. En este caso, la fuente no está emitiendo radiación de todas las longitudes de onda (colores), sino de ciertas y determinadas longitudes de onda. Más aún, si se investiga un tipo diferente de gas, por ejemplo, helio, se puede encontrar que el espectro de líneas es diferente.

♦ Cada tipo de gas tiene su propio y único espectro de líneas.


Cada patrón correspondiente a un gas determinado se constituía en su “huella digital”. Esto permitió el inicio del desarrollo de una importante rama de la Física que se llama análisis espectral. A través de la determinación y comparación de espectros gaseosos fue posible durante mucho tiempo a los científicos identificar sustancias en la atmósfera y estudiar la composición de las estrellas. Asimismo el desarrollo de la espectroscopía experimental condujo al descubrimiento y clasificación de un número incalculable de líneas características para los distintos gases. En un principio, no era evidente que existieran regularidades empíricas en estos espectros y más aún, ningún avance satisfactorio se había realizado en el intento por encontrar un mecanismo físico con el cual explicar este comportamiento de los gases cuando eran sometidos a algún modo de excitación. Las series espectrales del hidrógeno Sin embargo, el estudio de los espectros atómicos sirvió de llave para la comprensión de la estructura de los átomos. Ante todo, se advirtió que las líneas de los espectros atómicos no están en desorden, sino que se aúnan en grupos o series de líneas. Esto se observó más claramente en el espectro del átomo más simple, el hidrógeno.

Hα Hβ Hγ Hδ H∞

6562.8 0A 4861.3 0A4340.5 0A

4101.7 0A

En 1885 J. Balmer publicó un artículo titulado “Nota relativa a las líneas espectrales del hidrógeno”. Había encontrado una relación empírica entre las longitudes de onda de la serie de líneas de emisión del hidrógeno en la región visible y ultravioleta cercana a través de la siguiente fórmula:

λ = λ0 n2 Fórmula de Balmer n2 - 22

donde λ0 es una constante; n un número entero distinto para cada línea. En particular, n debía ser igual a 3 para la primera línea (roja); n = 4 para la segunda (verde); n = 5 para la tercera (azul); y n = 6 para la cuarta (violeta). Su éxito residió en el excelente acuerdo entre los valores calculados por su fórmula y medidas anteriores realizadas por Armstrong de las mismas cuatro longitudes de onda. Asimismo, asignó a n el valor 7 para otra hipotética línea. Predijo de este modo la longitud de onda de una línea perteneciente al espectro del hidrógeno existente en la región ultravioleta.


Balmer también admitió la posibilidad de que existiesen otras series del hidrógeno hasta entonces desconocidas, y que las longitudes de onda de las líneas en ellas se obtuviesen reemplazando el 22, en el denominador de su ecuación por 12, 32, 42, y así sucesivamente.

Si incluímos en la ecuación de Balmer todas estas consideraciones, y la expresamos en términos de la inversa de la longitud de onda, nos queda:

1 = R ( 1 - 1 ) fórmula generalizada λ m2 n2 de Balmer

la que, para diferentes valores de m y de n fue corroborada experimentalmente, dando lugar a las llamadas series: de Lyman : m = 1 ; n = 2, 3, 4, ... de Pashen: m = 3 ; n = 4, 5, 6 ,... de Brackett: m = 4 ; n = 5, 6, 7,.... de Pfund: m = 5 ; n = 6, 7, 8, ...

En esta fórmula generalizada de Balmer para las series del hidrógeno, R es la denominada constante de Rydberg. Su valor, redondeado hasta las milésimas, a partir de una determinación experimental es: R = 109737,309 + 0,012 cm -1

Las series espectrales: un enigma pendiente Aunque la fórmula de Balmer no sirviese directamente para la descripción de los espectros de otros gases distintos del hidrógeno, inspiró fórmulas análogas y sirvió de base para vislumbrar algún orden en otros espectros, aún más complejos. La constante de Rydberg también estaba presente en estas nuevas fórmulas empíricas. Esto hacía cada vez más evidente la existencia de un mismo mecanismo físico básico detrás de la gran variedad de observaciones espectroscópicas. Había que descubrirlo para comprender el espectro de los gases en lugar de describirlos en términos de fórmulas experimentales. Sin embargo, para la solución del enigma había que reunir otros elementos y ahondar en el conocimiento de la estructura de la materia. Hacía falta un modelo de átomo. Volver


MODULO II

MECANICA CUANTICA:

LA ECUACION DE SCHROEDINGER


Contenidos HACIA EL CONOCIMIENTO DE LA ESTRUCTURA ATOMICA El átomo de ThomsonLa experiencia de Lenard El origen del átomo nuclear: RutherfordLimitaciones del modelo de Rutherford El modelo de Bohr del átomo de hidrógeno Limitaciones del modelo de Bohr Hipótesis de De Broglie: el electrón como ondaEl experimento de Davisson - Germer La ecuación de Schroedinger A partir de la dualidad onda - corpúsculo del electrón

FISICA ELECTRONICA MODULO II 2

HACIA EL CONOCIMIENTO DE LA ESTRUCTURA ATOMICA El átomo de Thomson

Una de las cuestiones fundamentales sin respuesta aún en 1900 se relacionaba con la estructura de los átomos. La carga y la masa del electrón se conocieron en forma aproximada, así como también las masas de los diferentes átomos, juntamente con las estimaciones de los químicos del número de electrones de cada uno.

En virtud de que las masas de los átomos son del orden de 103 veces mayores que la masa de los electrones en ellos, y como el átomo es eléctricamente neutro, en 1900 se creía que la mayor porción de la masa átomica llevaba una carga positiva.

El modelo más ampliamente aceptado de estructura atómica en 1900 era el modelo de Thomson.

En éste se consideraba el átomo prácticamente como un globo

fluído positivamente cargado de un diámetro aproximado de 10-10 m, en el que los electrones se hallaban embebidos. Se creía que la densidad de la esfera era razonablemente uniforme. Debido a esta mezcla íntima de carga positiva y negativa dentro del átomo, todas las porciones del átomo eran casi eléctricamente neutras. Cualquier modelo de átomo que se propusiera por entonces debía poder explicar los espectros atómicos. En base a su modelo, Thomson pudo dar cuenta de la emisión de luz por los átomos en base a suponer que, cualquier modo de excitación de los mismos debía imprimir movimiento a sus cargas constitutivas.

Según la teoría de Maxwell, los electrones oscilando respecto de su posición de equilibrio dentro del globo fluído positivo produciría la emisión de radiación electromagnética. Sin embargo, ni este modelo ni otros que se propusieron por entonces podía explicar la emisión de luz en las frecuencias discretas y específicas de las series espectrales, tal como aparecen en la fórmula de Balmer del hidrógeno.

La experiencia de Lenard El modelo atómico de Thomson fue sometido a prueba seriamente por Lenard en 1903. Disparó un haz de electrones a través de una delgada hoja de metal y midió las propiedades de los electrones que podían atravesar una hoja.


Según el modelo de Thomson, la situación podría describirse como se muestra en la figura.

Las películas utilizadas por

Lenard eran realmente varias capas de miles de átomos de espesor, y consecuentemente sus hojas eran en realidad más gruesas que la mostrada. Puesto que según el modelo de Thomson, los átomos eran pequeñas esferas de densidad prácticamente uniforme, Lenard esperaba que el haz de electrones

perdiera gran cantidad de su energía a medida que pasara a través de la hoja.

hoja metalica

• • • • • electrones

Su experimento mostró resultados bastantes diferentes. Podemos sintetizar el aporte de Lenard:

• la mayor parte de los electrones que eran disparados contra la hoja pasaban en línea recta, sin ser desviados. De este modo concluyó que el modelo de Thomson del átomo era incorrecto.

• propuso en su lugar que el átomo consiste de agregados muy pequeños de carga positiva y negativa. La porción mayoritaria del este modelo de átomo era espacio vacío ocupado por unos cuantos electrones que flotaban en él.

Arriba. El origen del átomo nuclear: Rutherford Los experimentos como el desarrollado por Lenard, más bien rudimentarios, inspiraron a E. Rutherford y colaboradores para diseñar y llevar a cabo investigaciones más precisas. Las mediciones más completas de este tipo fueron llevadas a cabo por Geiger y Marsden en el laboratorio de Rutherford en 1911. Sus experimentos difirieron en varios aspectos del de Lenard. Utilizaron partículas α emitidas por varios materiales radiactivos en vez de electrones como partículas de bombardeo. Rutherford y sus colaboradores habían mostrado previamente que las partículas α son núcleos de helio de gran energía.

Estas partículas, de una masa aproximadamente 2.000 veces mayor que la de los electrones, no deberían ser desviadas notablemente por colisiones con los electrones. Era esperable que su desvío o dispersión


fuera debida a la acumulación de pequeñas dispersiones causadas por los sucesivos choques con los electrones.

Como blanco utilizaron una delgada hoja de oro. El oro tiene ventajas sobre otros materiales: se forja con facilidad en hojas muy delgadas.

material haz de luz ojo radiactivo particulas

⊗ θ

escudo de plomo hoja de oropantalla

fluorescente

amplificador

diagrama del experimento de Geiger-Marsden El emisor de partículas radiactivas α fue blindado con plomo, y sólo se permitía emerger una porción de las partículas α como un haz angosto. Este haz incidía sobre la hoja de metal. Como detector de las partículas α, se utilizó una pequeña pantalla fluorescente. Cuando una partícula α chocaba contra la pantalla, se producía un pulso de luz. (Esto es similar a la acción fluorescente de la pantalla de TV que produce luz cuando los electrones chocan contra él). Colocando la pantalla a diferentes ángulos con relación al haz directo, se podía contar con el número de partículas α dispersadas a diferentes ángulos. Los resultados de Geiger y Marsden confirmaron las mediciones llevadas a cabo por Lenard .

Algunas de las partículas α eran reflectadas casi en línea recta hacia atrás, indicando que habían chocado de frente con un objeto masivo.

Particulas α − • − •

− • + − • −• −•

Estos resultados indicaron claramente que: la mayor porción de la masa del átomo está bastante concentrada en una fracción muy pequeña del volumen del átomo.

Por otra parte, investigaciones muy detalladas mostraron claramente que la elección del metal no afectaba la mayor dispersión de las partículas α. Este fue el origen del concepto moderno del átomo nuclear:


• el átomo consistente de un núcleo de dimensiones del orden ≈10-

14 m de diámetro, que contiene casi toda la masa del átomo, excepto en lo que se refiere a la masa de sus electrones.

• el núcleo también contiene una carga positiva Ze, donde Z es el número atómico del elemento y e es la carga eléctrica, 1.60 x 10-19 C. Dispersados a través de la región exterior del núcleo dentro de una esfera ≈ 10-10 m de diámetro, se encuentran los Z electrones del átomo.

• puesto que la relación entre el radio del núcleo y el radio del átomo es aproximadamente 10-5, la mayor porción del átomo es espacio vacío.

Aunque estos argumentos cualitativos indicaron que deberíamos aceptar un modelo nuclear para el átomo, el conocimiento científico requiere algo más que conclusiones basadas exclusivamente en razonamientos cualitativos. La comunidad científica prefiere deferir la aceptación de un modelo hasta que pueda mostrarse que un estudio matemático del modelo conduce a una predicción cuantitativa de los resultados experimentales.

Por esta razón, debía desarrollarse una teoría cuantitativa para dispersión de las partículas α por el átomo para poder comparar sus predicciones con los resultados experimentales ya conocidos. La teoría cuantitativa para esta situación fue proporcionada por primera vez por E.Rutherford, dando fuerza a su modelo. Limitaciones del modelo de Rutherford En síntesis, el modelo atómico de Rutherford era un modelo planetario:

el átomo estaba formado por un núcleo cargado positivamente rodeado por una nube de electrones orbitando a su alrededor en movimiento circular con velocidad constante.

En el “átomo planetario” la fuerza de atracción coulombiana es la que proporciona la fuerza centrípeta para ese movimiento. Por lo tanto, los electrones están acelerados. De acuerdo con la teoría electromagnética clásica, el electrón orbital debía por ello radiar continuamente, lo cual explicaba la emisión de luz por los átomos. Obviamente, esta

emisión de luz no era discreta.

v - e r

+ e


Además, si la luz es emitida por el electrón en su movimiento periódico, el principio de conservación de la energía exige que la radiación emitida origine una disminución en la energía del electrón. En el modelo de Rutherford, la energía resultaba función del radio orbital. Por lo tanto, el electrón radiante se iría moviendo según una espiral hacia el núcleo y colapsaría. Este modelo es autodestructivo. Arriba. El modelo de Bohr del átomo de hidrógeno Conociendo los éxitos y fracasos del modelo de Rutherford, Niels Bohr se dispuso a reconciliar la idea del átomo planetario con la evidencia experimental de su estabilidad y de las precisiones empíricas de Balmer acerca de los espectros gaseosos. Es así como para elaborar su modelo, presentado en 1913, tomó elementos del modelo de Rutherford e introdujo algunos conceptos cuánticos de Planck y Einstein. Por esa época, las primeras hipótesis cuánticas ya habían dado sus frutos en la explicación de la radiación del cuerpo negro y el efecto fotoeléctrico. El mayor éxito de Bohr fue da explicación al espectro de emisión del hidrógeno. Veamos las características básicas de su modelo a través de sus Postulados:

• el átomo es un pequeño sistema solar con un núcleo en el centro y electrones moviéndose alrededor del núcleo en órbitas bien definidas. El núcleo hace las veces de sol y los electrones, de los planetas. La interacción es coulombiana. Para el átomo de hidrógeno:

F coul. = F cent.

e2 = m.v2

4.π.ε0.r2 r donde m es la masa del electrón; ε0 permisividad del vacío y e la carga eléctrica. La energía cinética del electrón puede escribirse a partir de ello como: energía cinética del e- : m.v2 = e2 2 8. .π. ε0. r.


• Las órbitas están cuantizadas o seleccionadas. Esto es, los electrones pueden estar sólo en ciertas órbitas. Cada órbita permitida tiene una energía asociada a ella, de modo que a la órbita más externa le corresponde energía mayor. Los electrones no radían energía ,- no emiten luz-, mientras se encuentran en esas órbitas estables.

Llamemos a los radios de las órbitas estables de Bohr r1, r2, etc. Un electrón que se mueve en tal órbita tiene tanto energía cinética como energía potencial eléctrica.

En una posición del electrón distante del núcleo en un valor r, podemos escribir:

e • hν

energía potencial del e- : − e .V = − e2 . 4. π. ε0. r

Por lo tanto la energía total del electrón cuando se encuentra en la órbita de radio r4 se puede escribir como:

Etotal = Ecinet. + Epot. Er4 = e2 − e2 8. .π. ε0. r4 4. π. ε0. r4 Resolviendo, resulta: Er4 = − e2

8. .π. ε0. r4

Del mismo modo para una órbita r5 resulta: Er5 = − e2

8. .π. ε0. r5

A medida que el electrón se acerca al núcleo, r disminuirá y la energía de los electrones también. • Los electrones pueden saltar desde una órbita permitida a

otra. Si el electrón lo hace desde una de menor energía a otra mayor, debe ganar una cantidad de energía,- absorber un cuanto de energía radiante,- igual a la diferencia de energía asociada en cada órbita. Si pasa de una energía mayor a otra de menor valor, el electrón debe perder la correspondiente cantidad de energía radiada como cuanto de luz.


De este modo, si consideramos una transición del electrón desde la órbita de radio r5 a la de radio r4 podemos escribir: Er5 − Er4 = h. ν 5--4 siendo en este caso h. ν 5--4 igual al cuanto de energía emitido como radiación por el átomo de hidrógeno. Si reemplazamos por las expresiones ya presentadas nos queda:

h. ν 5--4 = − e2 + e2

8. .π. ε0. r5 8. .π. ε0. r4 o lo que es lo mismo: h. ν 5--4 = e2 ( 1/ r4 − 1/ r5 ) 8. .π. ε0. Esta relación se puede expresar en términos de la inversa de la longitud de onda. Para ello empleamos la relación ya vista: ν= c/λ y dividimos por el producto h.c. De este modo: 1/ λ5-4 = e2 . ( 1/ r4 − 1/ r5 ) 8. .π. ε0. h.c. λ hallado a través del modelo teórico del átomo de Bohr Tenemos así una relación para la longitud de onda de la luz emitida en una transición o salto del electrón entre las órbitas n=5 y n =4, de radios r5 y r4 respectivamente, hallado a través del modelo teórico del átomo de Bohr. Es posible contrastarla con la información experimental. Si Bohr estuviera en lo cierto, la longitud de onda así calculada debería ser emitida por los átomos de hidrógeno. La información está en los espectros, en las determinaciones con base empírica de las líneas correspondientes al hidrógeno. Recordemos la fórmula de Balmer:

1 = R ( 1 - 1 ) fórmula generalizada λ m2 n2 de Balmer con m y n enteros, siendo m < n


Existe sorprendente semejanza entre ambas. Bohr encontró que podía hacer coincidir su forma exactamente si se cumplía: selección de las órbitas m.vn.rn = n. hpor cuantización del momento 2π angular del electrón siendo:

n un número entero diferente para cada órbita; vn la velocidad del electrón en la órbita; rn el radio correspondiente a n. Reemplazando rn y utilizando la expresión de la energía cinética del electrón para eliminar vn , se puede obtener en nuestra transición de la órbita 5 a la órbita 4: 1/ λ5-4 = e4 . m . ( 1 − 1 ) ε0.

2 h3.c. 42 52 Esta expresión de la inversa de la longitud de onda correspondiente a la transición que venimos analizando, calculada a partir de la teoría de Bohr, coincide con la expresión experimental o fórmula de Balmer si hacemos m = 4 y n =5. El cálculo de la constante: e4 . m ε0.

2 h3.c. concuerda dentro del error experimental con la constante de Rydberg ; representada por R en la fórmula de Balmer.

Limitaciones del modelo de Bohr La teoría del átomo de hidrógeno de Bohr es satisfactoria para obtener un modelo físico que conduzca a los resultados experimentales observados en el caso de la luz emitida por los átomos de hidrógeno. También es notable en tanto proporciona una base para el carácter cuántico de la luz. El fotón es emitido por el átomo cuando el electrón cae de una órbita a otra; es entonces un pulso de energía radiada. Sin embargo, la teoría tiene un gran inconveniente. Bohr no pudo proporcionar alguna razón para explicar la existencia de las órbitas estables y para la condición de selección de las mismas.


Bohr encontró por prueba y error que la condición de cuantización del momento angular del electrón en unidades h./ 2π daba el resultado correcto. La condición es muy similar a la de un estudiante que conoce la respuesta a un problema y a continuación la obtiene por un método que no puede justificar. Nadie se siente muy feliz en esa situación. Arriba. Hipótesis de De Broglie: el electrón como onda El primer intento fructífero para justificar la relación encontrada por Bohr para la selección de las órbitas estables fue realizado por Louis De Broglie en 1923. Tenía sólo 31 años y ese trabajo constituyó su tesis doctoral.

De Broglie introdujo la idea de que los electrones debían, al igual que la radiación electromagnética, poseer una propiedad de dualidad onda - partícula. En otras palabras, el sugirió, basándose en la reciprocidad general de las leyes físicas, la naturaleza ondulatoria de los electrones. Vinculó la longitud de onda λ de un electrón (onda) y el momento p de una partícula mediante la constante de Planck en una relación análoga a la del fotón: λ De Broglie = h / m.v Dado que h es un número muy pequeño, λ electrón de De Broglie es pequeña; por lo que las propiedades ondulatorias del electrón sólo se manifiestan en los niveles atómicos y subatómicos. En base a esta hipótesis, De Broglie razonó que: • dado que un electrón orbitando actúa como onda, su λ

tiene que estar relacionada con la circunferencia de su órbita.

• el electrón debía ser una onda que se interfiere a sí misma.

Sólo si la interferencia de la onda es constructiva (resonancia), puede la órbita electrónica mantenerse estable.


La órbita en este caso no es posible puesto que la onda interfiere en forma destructiva sobre sí misma. Veamos lo que se obtiene de este razonamiento:

La circunferencia de la órbita del electrón onda debe igualar exactamente λ

De B ; 2.λ De B ; 3. λ De B ; etc. Si r es el radio de la órbita circular, la longitud de la circunferencia es 2.π.r.

Podemos escribir por lo tanto:

2.π.r. = λ ; ó 2λ; ó 3λ ; etc.; en general:

2.π.r. = n. λ ; con n entero

Esto define sólo algunos posibles valores para el radio de la circunferencia. Asimismo, este análisis conduce a los valores permitidos de momento angular del electrón. En efecto: Puesto que λ = h / m.v , la circunferencia tiene valores: 2.π.r. = h / m.v ; ó 2 .h / m.v ; 3. h / m.v ; etc. por lo que a partir de la hipótesis de De Broglie el momento angular del electrón es: m.v.r = h./ 2π ; 2. h./ 2π ; 3. h./ 2π ; etc. En forma general: m.v.r = n. h./ 2π

El experimento de Davisson - Germer La existencia de las ondas de De Broglie fue escasamente más atractivo que el simple enunciado de Bohr acerca de la existencia de las órbitas permitidas.


Pero en 1927 se encontró una prueba experimental que favoreció la existencia de estas ondas y esta prueba fue de tal naturaleza que resultó concluyente. Davisson y Germer staban investigando la dispersión de un haz de electrones por medio de un cristal de metal (níquel)

V

fu en te d e c r is ta l e lec t r o n es

θ

φ d e tec to r

esquema del experimento de Davisson y Germer

La experiencia consistía en lo siguiente: A un haz de electrones se le da una energía conocida. Se acelera a los electrones a través de un diferencia de potencial V. Davisson y Germer efectuaron mediciones del número de electrones dispersados por el cristal de níquel sobre el que hacían incidir el haz.

El resultado inesperado fue que los electrones se dispersaban en gran cantidad a determinados ángulos especiales y a otros no. Esto dio origen a nuevas experiencias empleando cristales adecuadamente orientados. Buscaban ver si era posible aplicar la ley de Bragg. Los resultados fueron contundentes: • la dispersión del haz de electrones por un cristal podía compararse

a los fenómenos de difracción e interferencia luminosa mediante una red.

• los electrones se reflejaban de la misma manera que debían ser

reflejadas las ondas de De Broglie; por lo tanto se concluyó que los electrones tienen propiedades ondulatorias.

Se pueden comparar los patrones de intensidad de los electrones al ser dispersados por un cristal (experiencia de Davisson- Germer) con los generados cuando una luz pasa a través de una rendija.

x

onda

intensidad y

Patrón de intensidad distancia para el fenómeno de interferncia.


x

onda

intensidad

Interferencia de ondas luminosas x

intensidad

haz deelectrones

Patrón de intensidad obtenido con electrones

Arriba. La ecuación de Schroedinger Desarrollando las ideas de De Broglie sobre las propiedades ondulatorias de la materia, E. Schroedinger obtuvo, en el año 1926 (antes de la experiencia de Davisson y Germer), su célebre ecuación. El comparó el movimiento de una micropartícula con una función compleja de la posición y el tiempo, a la cual denominó función de onda y designó como función ψ (psi). La función de onda caracteriza el estado de la micropartícula. La expresión para ψ se obtiene de la solución de la ecuación de Schroedinger, expresada como: - h2 ∇2 ψ + U ψ = i.h. ∂ψ ecuación de Schroedinger 8π2m 2π ∂ t aquí: m es la masa de la partícula; i la unidad imaginaria; ∇2 el operador de Laplace, el resultado de la acción del cual sobre cierta función, es la suma de las segundas derivadas parciales por las coordenadas. ∇2 ψ = ∂2 ψ + ∂2 ψ + ∂2 ψ ∂x2 ∂y2 ∂z2

con la letra U en la ecuación de Schroedinger se designa una función de las coordenadas y el tiempo, cuyo gradiente tomado con signo inverso define la fuerza que actúa sobre la partícula. En el caso que la


función U no dependa directamente del tiempo, la misma tiene el sentido de energía potencial de la partícula. De la ecuación de Schroedinger se deriva que la forma de la función ψ está definida por la función U; o sea, por el carácter de las fuerzas que actúan sobre la partícula. La ecuación de Schroedinger es la ecuación fundamental de la mecánica cuántica no relativista. La misma no puede ser deducida de oreas relaciones. Debe ser considerada como el punto de partida fundamental, cuya justeza se demuestra por el hecho de que todas las consecuencias que se derivan de la misma concuerdan con los datos experimentales.

¿Cómo estableció Schroedinger su ecuación?

Partió de una analogía óptico-mecánica que consiste en la similitud de las ecuaciones que describen el recorrido de los rayos lumínicos y las ecuaciones que describen la trayectoria de las partículas en la mecánica analítica. En óptica, el recorrido de los rayos satisface el principio de Fermat; en mecánica, la forma de la trayectoria satisface el llamado principio de la acción mínima.

♦ Ecuación de Schroedinger cuando la función U es independiente del tiempo

Si el campo de fuerzas en el cual se mueve una partícula es

estacionario, la función U no depende explícitamente del tiempo y representa la energía potencial. En ese caso, la ecuación de Schroedinger se descompone en dos factores; uno de los cuales depende sólo de las coordenadas y el otro, sólo del tiempo:

ψ (x, y, z, t) = ψ ( x, y, z ). e -i.ω.t

si consideramos la relación entre la energía E de la partícula y la frecuencia angular ω:

E = h. ω/ 2 π el factor dependiente del tiempo toma la forma:

e -i.ω.t = e-i(2 π E/h)t

Por lo que podemos escribir: ψ (x, y, z, t) = ψ ( x, y, z ). e-i(2 π E/h)t


Si colocamos esta expresión en la ecuación de Schroedinger nos queda:

- h2 . e-i(2 π E/h)t .∇2 ψ + U ψ . e-i(2 π E/h)t = i. h. (-i. 2 π E) e-i(2 π E/h)t ψ . 8π2m 2π h Simplificando la expresión nos queda la ecuación diferencial que define la función ψ : ecuación de Schroedinger - h2 ∇2 ψ + U ψ = E ψ para estados estacionarios 8π2m Esta última expresión de la ecuación se Schroedinger frecuentemente toma la forma: ∇2 ψ = - 8π2m / h2 . ( E - U ). ψ Revisemos los pasos generales de acceso que se siguen cuando se utiliza la ecuación de Schroedinger en la mecánica cuántica en un campo estacionario.. ♦ Por tratarse de un campo estacionario, la energía de la partícula se

mantiene constante. Sustituimos U por la energía potencial de la partícula en función de las coordenadas x, y, z, y se resuelve la ecuación para ψ.

♦ La intensidad de la onda se encuentra haciendo ψ2. En los casos en que

ψ es un número complejo, la intensidad se calcula multiplicándola por su complejo conjugado.

Interpretamos que la intensidad es proporcional al número de partículas que e encuentran en el punto en consideración. Si tenemos nada más una partícula en vez de un grupo o haz de partículas, la intensidad será proporcional al número de veces que encontramos la partícula en el punto dado si determinamos su posición en un gran número de observaciones independientes. A partir de la dualidad onda - corpúsculo del electrón ¿cómo podemos representar al electrón con propiedades de partícula - onda? ⇒ Las propiedades de los electrones pueden ser descriptas en forma

general por la función de onda ψ (psi), la cual, como vimos, es función


del tiempo y del espacio. Tomemos, por ejemplo una función sencilla general, de tipo armónica.(Recordemos que cualquier otra forma de onda, puede ser descompuesta por Fourier en ondas armónicas de diferente frecuencia)

ψ = sen ( k.x - ω.t)

siendo k = 2.π./ λ el número de onda y ω = 2.π. ν. la frecuencia angular

♦ Esta función de onda no es representación de ninguna onda o

entidad física. Debe ser entendida solamente como una descripción matemática que nos permite analizar el comportamiento del electrón en forma conveniente.

⇒ La dualidad onda -partícula puede ser comprendida mejor

suponiendo que el electrón puede ser representado por una combinación de trenes de onda de diferentes frecuencias entre ω y ω + Δ ω ; y diferentes números de onda entre k y k + Δ k .

Podemos estudiar esto, suponiendo al principio sólo dos ondas. ψ1 = sen ( k.x - ω.t) y ψ2 = sen [ ( k + Δ k).x - ( ω + Δ ω) t] La superposición de ambas da como resultado una nueva función ψ : ψ = ψ1 + ψ2 = 2.cos.(Δ ω .t - Δ k. x ) . sen [ ( k + Δ k).x - ( ω + Δ ω) t] 2 2 2 2 Esta expresión describe una onda senoidal, de frecuencia intermedia entre ω y ω+ Δ ω, con una amplitud levemente modulada por una función coseno.

vg

x vf

Δx

ondamodulacin de la

amplitud

paquete de ondas

De este modo podemos distinguir lo que se llama un “paquete de onda” ⇒ Analicemos más detalladamente la superposición de ondas.


♦ Supongamos que ω y k fueran idénticos para las dos ondas (equivale

a Δω = Δk = 0). En este caso, se obtiene un paquete de onda infinitamente largo, una onda monocromática. Esto se correspondería con la imagen ondulatoria del electrón. No nos indica nada acerca del lugar donde se encuentra la partícula.

λ v = vf

A x

♦ Δω y Δk muy grandes. Esto nos llevaría a obtener paquetes de onda pequeños. Si además consideramos un número grande de diferentes ondas en vez de dos, barriendo frecuencias entre ω y (ω + Δ ω), se obtiene un único paquete de onda. El electrón quedaría así representado como partícula.

vg

x

⇒ Debemos distinguir diferentes velocidades ♦ La velocidad de la onda material (de De Broglie) es la llamada velocidad

de la onda o “velocidad de fase” v. Como hemos visto la onda material es una onda monocromática (o un “chorro de partículas” de igual velocidad, cuya frecuencia, longitud de onda, momento o energía pueden ser determinados con exactitud).La ubicación de las partículas, sin embargo, está indeterminada, puesto que se extiende entre - ∞ y +∞ .

♦ Mencionamos también que una partícula puede ser entendida como

compuesta de un grupo de ondas o “paquete de ondas”. Cada onda individual tiene una frecuencia levemente diferente entre los valores ω y (ω + Δ ω). En forma apropiada , a la velocidad de una partícula se la llama “velocidad de grupo” vg . La envolvente propaga con la velocidad de


grupo; es la velocidad de la partícula en movimiento. La ubicación de una partícula puede ser conocida en forma precisa, mientras, su frecuencia no.

♦ Esto nos conduce al Principio de incertidumbre de Heisemberg

A partir de De Broglie, la aceptación de esta descripción de las partículas atómicas nos lleva a aceptar este principio asombroso implícito en ella, que es además un hecho de la Mecánica Cuántica:

Si el momento de una partícula se conoce con precisión, entonces su posición es desconocida. Si la posición de una partícula se conoce con precisión, entonces su momento es desconocido. Se puede expresar simbólicamente: ( Δ px ) . ( Δ x ) ≥ h / 2π

De esta relación inferimos que la posición y el momento de una

partícula única no se pueden conocer simultáneamente con exactitud.

En base al mismo razonamiento podemos llegar a una segunda relación de incertidumbre que implica a la energía de una partícula y al tiempo en el cual obtuvo esa energía. Se expresa como: ( Δ E ) . ( Δ t ) ≥ h / 2π

Si el concepto de onda de De Broglie de las partículas es cierto, entonces, las relaciones de incertidumbre son ciertas. En último análisis, éstas son consideraciones experimentales, no teóricas. En realidad no se ha podido hasta la fecha imaginar un experimento que contradiga el principio de incertidumbre. El análisis experimental revela que esta incertidumbre surge básicamente debido a la naturaleza ondulatoria de los fotones y de la materia:

la incertidumbre de la medida de p, -lo mismo que de la medida de x- , en la expresión

( Δ px ) . ( Δ x ) ≥ h / 2π

no es debida a un descuido del observador o a un

deficiente equipo experimental ; se trata de algo inherente a la naturaleza de los fenómenos.


Esto mismo puede decirse en relación con el par de propiedades energía y tiempo.

Como consecuencia de ello, a partir de Heisemberg se vio la

necesidad de abandonar el concepto clásico de órbita. Por otra parte se demostró que , en un experimento ilustrativo de las características ondulatorias de la luz era imposible , observar sus propiedades corpusculares; y viceversa. Además, la Física Cuántica incorpora un resultado nuevo y muy importante en lo experimental:

En el contexto de la Física Cuántica toda observación modifica lo observado.

En particular, si queremos observar un árbol o un edificio, se requiere que éstos estén iluminados, para lo cual es necesario contar con un extraordinariamente grande número de fotones; pero este hecho no provoca alteración apreciable en lo observado.

En cambio, en el orden microscópico, con el objeto de observar una

partícula, ésta debe ser golpeada por un fotón de alta energía. Es necesario en este caso considerar que el momento de la partícula debe cambiar durante el proceso de observación.

Se puede verificar que aún el experimento mejor elaborado no

puede violar la relación de incertidumbre de Heisemberg. Es por ello, que en nuestro recorrido hacia la búsqueda del conocimiento en el mundo microscópico de la materia, nuestra capacidad para conocer el estado exacto de una partícula está limitado por las relaciones de incertidumbre, insospechadas en el contexto de la Física Clásica, e incluidas en el marco de la Física Cuántica. Arriba.


MODULO III

MECÁNICA CUÁNTICA

PARTE III

Modelos de potencial

Objetivos: A través del desarrollo del presente módulo se pretenden

lograr tres objetivos fundamentales : 1º- introducir modelos de potencial simples que ilustren los principales fenómenos que se presentan en la Mecánica Cuántica. 2º- mostrar cómo se calcula mediante la ecuación de Schroedinger 3º- generar capacidad de modelar y de interpretar modelos


INDICE :

Modelos de potencial. Un método de análisis a partir del cálculo de la función de onda Resolución de la ecuación de Schrodinger para un electrón en una Casilla de potencial unidimensional Casilla de potencial tridimensional Escalón de potencial Efecto túnel. Electrones en un pozo de potencial finito. Electrones en un pozo de potencial asimétrico Escalón de potencial con un campo eléctrico aplicado a uno de sus lados. Escalón de potencial con un campo eléctrico intenso aplicado a uno de sus lados. Emisión por campo intenso. Transmisión y reflexión de electrones a través de un escalón de potencial Reflexión de electrones frente a una barrera de potencial . El electrón en el potencial de una molécula diatómica. El electrón en el potencial periódico de un cristal El electrón en un potencial central de tipo electrostático. El átomo de hidrógeno. Explicación mecánico-cuántica.

FÍSICA ELECTRÓNICA MODULO III 2

Modelos de potencial. Un método de análisis a partir del cálculo de la función de onda

Como hemos visto en el marco del trabajo de Schroedinger, la función de onda ψ no tiene interpretación física real, debiendo ser entendida como una descripción matemática que nos permite analizar el comportamiento de los electrones en los átomos de una manera conveniente. Desde un punto de vista práctico, podemos considerar entonces a ψ como una magnitud intermedia cuyo conocimiento nos permitirá calcular algunas otras magnitudes, reales éstas, que sí tienen una interpretación física, aunque de orden estadístico. Por otra parte, la forma de dicha función quedará definida por la forma de la función potencial U que se considere.

Para conocer esas magnitudes y resolver así problemas que involucren comportamientos cuánticos de la materia, es necesario plantear la representación de la función potencial más aproximada a la situación concreta en estudio. Es decir, se requiere trabajar con modelos de potencial representados matemáticamente por la función U de la ecuación de Schroedinger, que contendrá la información característica en cada caso.

Es así como a través de una selección adecuada de la función potencial podremos modelar el átomo, una barra de metal, la unión de dos metales, un sólido cristalino, el efecto de un campo eléctrico sobre un material, etc. Asimismo, y de acuerdo con la situación a modelar, los potenciales a considerar serán diferentes. Según su tipo, éstos pueden ser expresados en coordenadas cartesianas ortogonales, en coordenadas radiales, etc.

A modo de ejemplo, si queremos modelar un átomo, podemos suponer en principio al electrón encerrado en una caja de potencial cuadrada; un modelo mejor resultaría de considerar un potencial central del tipo - e2/r , aunque este tipo de potencial hace más dificultosa la resolución de la ecuación de Schroedinger.

A lo largo de este módulo nos proponemos analizar sólo potenciales simples; éstos, no obstante, con menor o mayor aproximación, modelarán situaciones que se nos presentan habitualmente en el estudio de los materiales. De todos los casos propuestos, resolveremos con detalle aquéllos que consideramos más formativos para los objetivos de este curso; de los restantes, desarrollaremos el modelo y expondremos las soluciones y los principales resultados que de ellas se desprenden.

Concretamente estudiaremos distintos potenciales de tipo cartesiano, crecientes en complejidad,


desde: • la casilla de potencial unidimensional

hasta : • el potencial periódico de un cristal para finalizar estudiando:

• el potencial central de tipo electrostático, o lo que es lo mismo, la representación del átomo de hidrógeno. Resolución de la ecuación de Schrodinger para un electrón en una casilla de potencial unidimensional

La resolución de la ecuación de Schrodinger en problemas atómicos y moleculares es muy dificultosa, y se escapa de los alcances de este curso.

∂ 2Ψ ∂ 2Ψ ∂ 2Ψ - 8π 2 m--- - - - - + - - - - - - - + - - - - - - - = - - - - - - - - - - - ( E -U ) ψ ∂ 2 x ∂ 2 y ∂ 2 z h 2

♠ Sin embargo, para comprender el carácter de los resultados del estudio mecánico cuántico del átomo, que se realizará mas adelante , vale la pena examinar la resolución de la ecuación de Schrodinger en un caso simple. ♠ Resolvamos primero un modelo imaginario llamado casilla de potencial.

En este modelo imaginaremos el átomo como si fuera un cubo, en el cual se encuentran encerrados los electrones. Este sería un caso en el que la función potencial ha de ser expresada en términos de tres dimensiones, las que se corresponderían con tres aristas perpendiculares entre sí del cubo considerado.

Puesto que en la representación aproximada del átomo aislado no consideramos una dirección privilegiada para la función potencial, podemos encarar su resolución a partir de considerar un modelo unidimensional. ♠ Así, resolveremos primeramente la ecuación para un potencial unidimensional.

En este modelo, el electrón puede moverse solamente en una dirección, por ejemplo, en el eje x, en el intervalo definido por las cotas (x=0; x = a ). (ver figura)


E (x) U= ∞

≈ ≈

. x x = 0 x = a

casilla de potencial unidimensional

En los límites del intervalo, la energía potencial U del electrón es

constante y por comodidad, la tomaremos igual a cero. Fuera de los límites del intervalo, la energía potencial se vuelve infinitamente grande, esto significa que el electrón no puede salir del intervalo 0 < x < a.

Si partimos de la expresión original de la ecuación de Schrodinger independiente del tiempo, para este caso concreto la ecuación toma la forma: -h2 ∂2ψ

-------- ------ = Eψ 8π2m ∂2x

Para la resolución de esta ecuación es necesario hallar la función Ψ y un valor tal de la energía E del electrón que satisfaga la ecuación. Por otra parte, puesto que el electrón sólo puede estar dentro del intervalo, se puede escribir:

0 ∞ a

∫ ⎜ψ⎪2 = ∫ ⎜ψ ⎢2 = 0 y ∫ ⎜ψ ⎢2 = 1 -∞ a 0

expresión que da la probabilidad igual a 1 de estancia del electrón en el interior de la casilla. Esto fija las condiciones de contorno para la función de onda ψ:

Ψ( x < 0 ) = Ψ( 0 ) =Ψ( a ) = Ψ( x > a ) = 0

Las funciones que satisfacen las condiciones señaladas son: ψn = A sen n π x

adonde n = 1,2,3...... y A = cte.


El valor n = 0 está excluido pues implicaría ⎜Ψ⎜2 = 0 en la casilla, o sea, la ausencia del electrón.

Sustituyendo Ψ por su valor en la ecuación de Schrodinger se pueden hallar los valores de la energía E:

n2h2

En = ---------- donde n = 1 , 2 , 3 , ....... 8ma2

Habiendo obtenido los valores de Ψn y de En hemos resuelto la ecuación de Schroedinger para la casilla de potencial unidimensional. Sólo falta hallar la constante A. Para ello recordemos que: a

0 ∫ ⎢Ψ ⎢2 δx = 1 _____ de donde, reemplazando se obtiene A = √ 2/a

Resulta importante reflexionar acerca de estos resultados. ♠ Ante todo debemos señalar la gran diferencia entre las imágenes cuántica y clásica del problema.

Imagen cuántica

♦ La energía asume determinados valores discretos

Imagen clásica

♦ La energía asume cualquier valor

E = n2

16 n=4

En = n E1

con n ≠ 0 9 n =3 h2

E1 = ------- 8ma2 4 n =2

1 n =1 0 n =0

E

La energía asume valores continuos.


Representaciones de la función de onda y de la probabilidad según las imágenes cuántica (izquierda) y clásica (derecha)

Casilla de potencial tridimensional

De la solución de la ecuación de Schroedinger obtenida para la casilla de potencial unidimensional se hace comprensible la existencia de un conjunto discreto de niveles energéticos del electrón en el átomo.

Con el fin de aclarar otras particularidades de la estructura electrónica es conveniente estudiar el movimiento de los electrones en una casilla de potencial tridimensional.

En este problema el

electrón esta confinado en un cubo de arista a, el origen de coordenadas se fija en uno de los ángulos del cubo.

La energía potencial de la partícula en el interior de la casilla es constante.( por simplicidad igual a cero). Fuera de ella posee una magnitud infinitamente grande.

♦ La probabilidad de encontrar a la partícula varía en el intervalo

♦ La probabilidad de encontrar a la partícula es igual en todo el intervalo

ψn(x) ⎜ψ3⎢2

ψ3

⎜ψ2 ⎢2

ψ2

⎜ψ1⎢2

ψ1 0 a x

ψ(x)

⎜ψ ⎢2 = cte.

ψ = cte.

z

a

a y a

x


Por esto último, el electrón no puede salir de la casilla bajo ninguna circunstancia. Como en el problema anterior, tenemos en este caso una situación imaginaria; sin embargo existe un fenómeno real que en cierta medida responde a las condiciones impuestas: esto es el movimiento de los electrones en un pedazo de metal. Estos se mueven en todas direcciones pero no salen fuera de los límites del pedazo. Por eso, este modelo se utiliza en le teoría del estado metálico.

En el caso dado, es necesario hallar la solución de la ecuación de Schroedinger en tres dimensiones.

El método que se emplea frecuentemente durante la resolución de problemas semejantes es el siguiente: • Se analiza la ecuación, y se prueba dividirla en partes, cada una de las

cuales encierra sólo una de las tres coordenadas. Si esto se logra entonces el problema se simplifica en gran manera.

En nuestro caso vemos si esto es posible. Así consideramos:

U (x,y,z) = U (x) + U (y) + U (z)

E (x,y,z) = E (x) + E (y) + E (z) Supongamos que podemos en nuestro caso representar :

Ψ (x,y,z) = X (x) . Y (y) . Z (z)

Sustituyendo en la ecuación de Schroedinger ésta puede expresarse como suma de tres ecuaciones idénticas para cada una de las variables del tipo :

∂2X - 8π2m ------ = ----------- ⎨ E (x) - U (x)⎬ X ∂x2 h2

De esta forma, la división efectuada nos redujo el problema tridimensional a tres de una dimensión que nos es conocido. Por lo tanto :

nx π x nyπ y nzπ z X (x) = Ax sen ---------- ; Y (y) = Ay sen ---------- ; Z (z) = Az sen ----------

. a a a

con : nx =1,2,.. ; ny = 1,2.. , nz = 1,2,..

y además E = E (x) + E (y) + E (z) = ( nx2 + ny

2 +nz2 ) . h2 .

8ma2


⇒ A partir de lo obtenido podemos puntualizar:

♠ El paso de un problema unidimensional a uno tridimensional provoca la aparición de tres números ( nx , ny , nz ) de valores enteros en la expresión de la función de ondas. ♠ Así en la casilla de potencial unidimensional, el electrón sólo tiene un grado de libertad, en el potencial tridimensional, tres, pues el movimiento es posible en las direcciones de cada una de las tres coordenadas x , y, z. Si además es capaz de girar sobre su eje entonces aparece el cuarto grado de libertad, etc. ♠ Si a una misma energía responden varios estados distintos, los que son caracterizados por distintas funciones de ondas, entonces se dice que el nivel energético dado es degenerado.

nx= 1 ny= 2 nz= 1 nx= 2 ny= 1 nz= 1 nx = 1 ny= 1 nz= 2

Dependiendo del número de estados, la degeneración puede ser doble, triple, etc. ♠ El análisis mecánico - cuántico de los distintos casos del movimiento de los electrones en una zona limitada del espacio (p.ej. un átomo, una molécula) muestra que la función de ondas de la partícula siempre contiene parámetros sin dimensiones, los cuales pueden tomar una serie de valores enteros. ♠ Estos parámetros se llaman números cuánticos. ♠ La cantidad de números cuánticos contenidos en la solución es igual al número de grados de libertad de la partícula. ♠ Se llama número de grados de libertad al número de componentes independientes del movimiento de la partícula. Volver Escalón de potencial Supondremos al electrón propagándose en el sentido positivo de la coordenada x, encontrándose con una barrera de potencial Vo ( alto de la barrera ), que es mayor que la energía total E del electrón, pero de un valor finito.

La figura siguiente representa esta situación.


V(x)

Vo

E

I II

Para resolver este caso tenemos que escribir las dos ecuaciones (para las regiones I y II), que resultan de la expresión de la ecuación de Schroedinger..

En la región ( I ) , V = 0 por lo tanto la ecuación de Schroedinger se reduce a la ecuación del electrón libre : . ∂2ψ 2m -------- + ------- Eψ = 0 ∂x2 ´h2

y en la región ( II ) :

∂2ψ 2m -------- + ------- ( E - Vo )ψ =0 ∂x2 ´h2

Las soluciones a estas ecuaciones son: ( I ) ψI = A ei α x + B e-i α x

donde : α = √ 2mE / ´h2

y ( II ) ψII = C eβ x + D e- β x

donde : β = √ 2m / ´h2 ( E - Vo) Definiendo nuevos parámetros : γ = iβ = √ 2m / ´h2 ( Vo - E ),

con lo que resulta β = γ / i , podemos hacer :

ψII = C eγ x + D e - γ x Aplicando condiciones de contorno encontramos :


• si x → ∞ entonces ψII → 0 lo que implica que debe ser C = 0 • si x = 0 entonces ψI (x=0) ≡ ψII (x=0) por lo que A + B = D

También debe ser ( ∂ψI /∂x )x=o ≡ (∂ψII /∂x)x=o reemplazando: A iα + B iα = -γ D

de donde obtenemos : A = D/2 ( 1+ i γ/α ) y B = D/2 ( 1 - i γ/α ) con D amplitud de la onda electrónica en la región II .

En la figura se observa la penetración de la barrera de potencial por los electrones.

♦ Este modelo es ilustrativo de lo que ocurre en el borde de un material.

V(x)

Vo ψ e - γ x

+

I II

En efecto , cuando los electrones van del seno del material hacia su superficie, al llegar a ella, mantienen su estado de movimiento. En ese instante el material gana una carga equivalente positiva, y los electrones se ven atraídos por la acción de esta fuerza atractiva. Al cabo de un cierto recorrido invierten su sentido de movimiento y retornan al seno del material.

Obsérvese que, en promedio, los electrones se encuentran más afuera del material que los iones de la red, generándose así un campo eléctrico en la superficie del material, por lo que un modelo de potencial más realista de los bordes del material sería el de la figura.

V(x)

Vo ψ e - γ x

+

I II 0 a x


Por otro lado obsérvese que al intentar poner en contacto dos

materiales estas colas de electrones en las superficies generan repulsión electrostática evitando la adhesión. Efecto túnel. Consideremos ahora que la barra de potencial posee un espesor a, muy delgado, menor que la penetración de los electrones en la barrera.

Si del otro lado de ella (región III) existen estados cuánticos libres, los electrones podrán atravesarla

V(x)

Vo

I ← II III 0 0 a x

Este fenómeno se denomina efecto túnel.

Electrones en un pozo de potencial finito. Consideremos ahora no ya una barrera de potencial, sino una región con dos barreras finitas a cada lado de ella. En la figura se grafica ψ3 es decir ψ para n =3

V(x)

Vo ψ3 e - γ x

+

I II III

0 a x


En función de la distancia 0 – a podremos representar modelos distintos , si esta distancia es del orden del las dimensiones del átomo, este modelo representará una aproximación al modelo de éste, si la distancia 0 –a es muchos órdenes de magnitud mayor que la del átomo, tendremos el modelo de un material con sus dos bordes. Si estudiáramos cualquiera de estos modelos en tres dimensiones, los resultados serían equivalentes a estudiar tres veces el problema en una dimensión. Electrones en un pozo de potencial asimétrico

Este potencial se aproxima al que ve un átomo al acercarse a otro para constituir una molécula.

V(x) V= ∞

Vo ψ3 e - γ x

+

I II III 0 a x

Escalón de potencial con un campo eléctrico aplicado a uno de sus lados.

Con este potencial se puede modelizar el borde de un material al que se le aplica un campo eléctrico en uno de sus extremos. (Por ejemplo lo que sucede entre placas de un capacitor con dieléctrico de aire)

V(x)

Vo ψ3 Vo + E.(x - a ) +

I II 0 a x


Escalón de potencial con un campo eléctrico intenso aplicado a uno de sus lados. Emisión por campo intenso..

Este potencial se emplea para explicar la emisión de electrones desde la superficie de un electrodo en presencia de un campo eléctrico muy intenso.

V(x)

Vo +E (x-a ) con E >>1

Vo ψ3

I ← II III 0 a x

Obsérvese que un electrón puede llegar a cruzar a través de la barrera de potencial por efecto túnel Transmisión y reflexión de electrones a través de un escalón de potencial Supongamos un haz de partículas con energía cinética E que se mueve en dirección de un escalón de potencial V0.

Analicemos el caso :

E > Vo Clásicamente el haz, al encontrar el escalón lo debería cruzar en uno u otro sentido variando solo su energía cinética, pero cuánticamente ocurre algo radicalmente distinto: parte del haz lo atraviesa, y parte de éste se refleja. haz transmitido

V(x) haz incidente haz transmitido I T E R haz reflejado

Vo

I II 0 a x

V(x) haz transmitido haz incidente T I E R haz reflejado

Vo

I II 0 a x

La condición de contorno viene dada en ambos casos por :


I = T + R ( en x = a )

Obsérvese que clásicamente no debería haber onda reflejada.

Esto es equivalente a lo que se presenta para una onda

electromagnética, en una línea de transmisión frente a un cambio de la impedancia de ésta. ( en este caso el cambio de potencial es equivalente al cambio de impedancia).

Para ondas electromagnéticas en el rango de la luz visible esto

equivaldría al cambio de índice de refracción del medio. ♦ En este caso el haz de partículas se comporta como una onda (Recordar la dualidad partícula onda ). Reflexión de electrones frente a una barrera de potencial. Si la barrera es infinita.

V(x) V= ∞• ≈ I• R• E• V0 =0• 0 x

En este caso I = R

Obsérvese que en esta reflexión no se producirá un cambio de fase.

Si en cambio encontramos un pozo de potencial finito en el camino, se producirá un cambio de fase.

V(x) Vo = ∞ I haz incidente R haz reflejado E 0 x I II III -V 0 a

Este surge de considerar en el cálculo de Schroedinger el potencial -V en la región II.


El electrón en el potencial de una molécula diatómica. Consideremos los casos : 1- E1 < Vo Si el ancho de la barrera de altura Vo es tal que no se produce efecto túnel , entonces los electrones de energía E1 funcionarán cada uno como electrones ligados al respectivo núcleo. (ver figura) V

Vs = ∞

E2 Vo

E1 E1

. x nucleos

2- E2 > Vo En este caso el electrón prácticamente no verá la barrera de altura Vo y se moverá a lo largo de toda la molécula. (ver figura) El electrón en el potencial periódico de un cristal Estudiaremos el caso para E < Vo.

V

Vo E

II I II I II

. x -b 0 a b

Es evidente que este caso es una simplificación del potencial real que existe en un cristal.

Como simplificación, ésta no tiene en cuenta, fundamentalmente el potencial real de los átomos (que depende de 1/r) ni el solapamiento de los potenciales de los átomos individuales.


V

Potencial superficial

• • • • • x. nucleos

Un modelo mejor es el de Muffin que se puede observar en la figura, aunque sigue siendo unidimensional.

Retornando nuestro modelo simplificado vemos que podemos escribir la ecuación de Schroedinger para las regiones I y II de la siguiente forma : ∂2ψ 2m ( I ) ------ + ------ E ψ = 0 ∂x2 ´h2

∂2ψ 2m ( II ) ------ + ------ ( E - Vo ) ψ = 0 ∂x2 ´h2

para abreviar escribiremos, como en problemas anteriores: α2 = 2m /´h2 E

y γ2 = 2m /´h2 ( Vo - E) La resolución simultánea de estas ecuaciones es dificultosa. Bloch mostró que la solución para este tipo de ecuaciones tiene la forma: ψ(x) = u(x) . ei kx

En la ecuación de Bloch, u(x) es una función periódica, la cual posee la periodicidad de la red en el sentido de las x. No posee una amplitud constante en el sentido x, cambiando periódicamente ( Amplitud modulada). Obviamente es distinta para cualquier otra dirección de la red. ∂2ψ ∂2u ∂u calculando ------ = ( ------- + ------- 2ik - k2u ) e i k x

∂x2 ∂x2 ∂x

y remplazando en las ecuaciones para las zonas I y II obtenemos:


∂2u ∂u ( I ) ------- + 2ik ----- - ( k2 - α2 ) u = 0 ∂x2 ∂x ∂2u ∂u ( II ) ------- + 2ik ----- - ( k2 + γ2 ) u = 0 ∂x2 ∂x

estas ecuaciones son conocidas y sus soluciones son : ( I ) uI = e - i k x ( A e i α x + B e - i α x ) ( II ) uII = e - i k x ( C e - γ x + D e γ x ) A , B , C , D pueden determinarse a partir de las siguientes condiciones de continuidad y periodicidad (en a+b ) : uI (x=0) = uII (x=0) uI (x=a) = uII (x= -b) ∂uI /∂x = ∂uII /∂x ∂uI /∂x = ∂uII /∂x x=0 x=0 x= a x=-b

Reemplazando nos queda :

A + B = C + D A ( iα - ik ) + B ( -iα - ik ) = C ( - γ - ik ) + D ( γ - ik ) A e( i α - i k ) a + B e( - i α - i k ) a = C e( i k + γ ) b + D e( i k - γ ) b

A i(α - k)e i a ( α - k ) -B i(α + k)e - ia ( α + k ) =

= -C (β + ik)e ( i k + γ ) b + D (β - ik)e ( i k - γ ) b

Por lo tanto hemos resuelto el problema. En este caso, sin embargo, el conocimiento de ψ no es lo que reviste mayor importancia. En cambio, es de sumo interés determinar una condición para la existencia de las soluciones de la ecuación de Schroedinger en las regiones I y II.

Esta condición limitará los posibles niveles de energía En .

Para hallarlos bastará emplear el último sistema de cuatro ecuaciones. Recordemos que para que en este sistema existan soluciones basta con estudiar su determinante.


Planteando el determinante e igualándolo a cero, y empleando las ecuaciones de Euler se llega a: γ2 - α2

--------- sinh(γ b) sin(α a) + cosh(γ b) cos(α a) = cos k(a + b) 2αγ Para simplificar la discusión supondremos que:

b es pequeño;

Vo es grande y el producto Vo. b., denominado poder de la barrera de potencial, permanece finito. Como es posible observar en la representación del modelo simplificado, Vo.b. es el área de la barrera de potencial. Si Vo es muy grande, entonces E se puede considerar que es pequeño respecto de Vo y por lo tanto obtenemos : γ = √ 2m / ´h2 . √ Vo

multiplicando por b obtenemos :

γ b = √ 2m / ´h2 . √ (Vo b) b

como , Vo.b debe ser finito y b 0 , entonces γ b debe ser muy pequeño; por lo tanto :

cosh( γ b ) ≈ 1 y sinh( γ b ) ≈ γ b

Por otra parte, podemos despreciar α2 comparado con γ2 y b comparado con a.

Reemplazando en nuestra ecuación nos queda : m / α ´h

2 Vo b sin αa + cos αa = cos ka

Si llamamos:

P = m Vo b / ´h2


Finalmente obtenemos :

P . sin αa /αa + cos αa = cos ka

Esta es la relación deseada que provee las soluciones permitidas de la ecuación de Schroedinger, puesto que sólo algunos valores de αa son posibles debiéndose cumplir cos(ka) ≤ 1. Esta condición se aprecia en la figura:

P.sinαa/αa + cosαa ∃ solucion 6 5 ∃ solucion 4 3 2 -4π -3π -2π -1π 1 π 2π 3π 4π

0 αa -1 -2

Si recordamos que E se relaciona con α, siendo: α2 =2m/´h2 E ,

podemos concluir que sólo algunos valores de E están definidos. El análisis de estos resultados nos permite arribar a la siguiente conclusión:

como αa es función de la energía, la limitación de estos valores de αa significa que un electrón que se mueve en un potencial variable periódico, puede ocupar sólo ciertas zonas de energía permitida.

Fuera de estas zonas o ¨bandas¨ , se encuentran entonces zonas de energía prohibida. ♠ De la figura se obtiene que para valores crecientes de αa las zonas o

bandas de energía prohibida se vuelven mas pequeñas.


Como el tamaño de la bandas de energía permitidas y prohibidas varían según varíe P. Se presentan 4 casos de interés. Considerando los valores de V0b ( fuerza del potencial barrera ) y su proporcionalidad con p, tenemos: ♦ V0b grande ⇒ p grande ⇒ las bandas permitidas se estrechan. ♦ Vob pequeño ⇒ p chico ⇒ las bandas permitidas se agrandan

♦ V0b→0 ⇒ P→0 ⇒ cos αa = cos ka ⇒ α=k , por lo tanto obtenemos: E=´h2k2/2m energía de los electrones libres. ♦ V0b →∞ ⇒ P→∞ ⇒ (sin αa)/αa →0 lo cual es solo posible si αa = nπ π2 ´h2

o , α2 = n2π2/a2 lo que lleva a : E = -----------. n2 pozo de potencial 2ma2 con barrera infinita.

Volver El electrón en un potencial central de tipo electrostático. El átomo de hidrógeno. Explicación mecánico-cuántica. Es el más simple de los átomos, pues tiene solamente un electrón que se mueve en el campo del núcleo.

En este caso la función de la energía potencial U en la ecuación de Schroedinger , toma la forma :

e 2

U(r) = − ------ r

y

θ

ϕ x

z x = r sen θ cos ϕ y = r sen θ cos ϕ z = r cos θ

Por lo tanto debemos escribir la ecuación de Schroedinger en coordenadas polares, lo que hace que su solución sea un problema matemático más complicado.


Señalaremos en este caso solamente las principales características de esta solución y examinemos su sentido físico. En este tipo de problemas, para describir el movimiento del electrón, es cómodo hacer coincidir el origen del sistema de coordenadas polares con el núcleo del átomo. Si en el sistema rectangular (cartesiano) de coordenadas, la posición de la partícula esta dada por las coordenadas x, y, z , en el sistema polar ella se determina por la magnitud del radio vector r (distancia del centro ) y por los ángulos θ ( ángulo de latitud ) y ϕ ( ángulo de longitud ). En la figura anterior se ve en qué forma las coordenadas polares están relacionadas con las rectangulares. Habíamos visto que en una casilla (cuadrada) de potencial tridimensional, la función de onda Ψ podía expresarse como producto de funciones de cada una de las variables.

Por lo tanto la función Ψ debe representarse en forma de producto de tres funciones cada una de las cuales contiene solamente una variable: Ψ(r, θ , ϕ ) = R ( r ) . Θ ( θ ) . Φ ( ϕ )

La expresión R(r) se denomina parte radial de la función de onda , y el producto Θ ( θ ) . Φ ( ϕ ) parte angular. La presencia de tres grados de libertad conduce a que en la solución aparezcan tres magnitudes que pueden tomar sólo números enteros, tres números cuánticos; ellos se representan por las letras n , l , m . Estas magnitudes entran en las expresiones de las componentes tanto radial como angular de la función de ondas.

En el caso más general el resultado de la solución de la ecuación de Schroedinger para el átomo de hidrógeno se puede expresar como tres funciones de las coordenadas radial y angulares de la siguiente forma:

R ( r ) = F1 ( n, l ) Θ ( θ ) = F2 ( l, m ) Φ ( ϕ ) = F3 ( m )


donde los números cuánticos n, l , m pueden tomar los siguientes

valores : n = 1, 2, 3, 4, ................., ∞ l = 0, 1, 2, 3, ................., ( n - 1) m = 0, ± 1, ± 2, ± 3 , .........., ± l Como veremos más adelante, los números cuánticos n, l, m caracterizan al movimiento del electrón no sólo en el átomo de hidrógeno, sino también en cualquier otro átomo. De acuerdo a los posibles valores de los números cuánticos se determinan los distintos estados electrónicos en el átomo.

♦ Para caracterizar el estado de los electrones en los átomos se utilizan las siguientes designaciones: n se representa por cifras l con letras minúsculas en correspondencia con el esquema: l .......................0 1 2 3 4 5 ⇓ l .......................s p d f g h ♦ Las primeras cuatro letras coinciden con las designaciones de las series espectrales ♦ Estas surgen de las transiciones de los electrones que correspondan a determinados valores del numero cuántico l. ♦ Las dos ultimas letras son tomadas por estar en el alfabeto después que la f. ♦ De esta forma, la escritura 1s debe entenderse como la representación del electrón que tiene n = 1 , l = 0 , la escritura 2p como la representación del electrón que tiene n = 2 ; l = 2 , etc. ♦ El numero de electrones en el átomo con valores dados n, l se da con el índice en la parte superior. Así la escritura 2s2 muestra que en el átomo hay dos electrones con n = 2 ; l = 0

Retomemos las expresiones resultantes de la solución de la ecuación de Schroedinger para el átomo de hidrógeno en el caso más general. En particular, en la expresión de la función R, se ve que los números cuánticos n, l entran en la misma. Por eso ellos determinan la


función de la distribución radial de la probabilidad de estancia del electrón en el átomo.

Las gráficas de estas funciones para el átomo de hidrógeno se muestran en las siguientes figuras:

4πr2 R2(r) n = 1 2s n = 2 l = 0 l = 0

1s

2p n = 2 l = 1 0 2 4 r (A0)

3s n = 3 l = 0

3p n = 3 l = 1

3d n = 3 l = 2 0 2 4 6 8 10 12 14 r ( A0)

♦ En el eje de las coordenadas

están situados los valores de R2 ( r ), multiplicados por 4πr2.

♦ Las magnitudes dadas

caracterizan la probabilidad de estancia del electrón en una fina capa esférica de radio r , esta probabilidad es proporcional a 4πr2R2(r)dr donde dr es el espesor de la capa.

Distribución radial de la probabilidad de estancia del electrón para distintos estados del átomo de hidrógeno.

♠ De la figura se deduce que a diferencia de la teoría de Bohr-Somerfeld , de acuerdo con la cual el electrón se mueve por órbitas predeterminadas, la mecánica cuántica nos muestra que el electrón puede encontrarse en cualquier parte del átomo. Sin embargo, la probabilidad de su estancia en distintas zonas del espacio no es igual, de esta forma, si pudiéramos observar el electrón en el átomo veríamos que se encuentra más frecuentemente en unas zonas que en otras. ♠ Por eso a las representaciones modernas les corresponde el concepto de la nube electrónica, cuya densidad en distintos puntos está determinada por la magnitud Ψ2 . ♠ Por eso en la literatura científica en vez de utilizar el término órbita, ahora se utiliza el termino orbital, correspondiendo a cada orbital una determinada función de ondas Ψ.


Es posible representar las nubes electrónicas para los distintos estados de los electrones.

♠ Las figuras representan la forma de las superficies que limitan el

espacio, en el cual esta encerrada gran parte de la nube electrónica (≈90%). Nótese que La forma de estas superficies se determina por la componente angular de la función de ondas: Θ ( θ ). Φ ( ϕ ) .

z z

1s 2pz x x

y y

z z 2px 2py

x x

y y

z z

3d z2 3d x2 - y

2

x x

y y

z z z 3d x z 3d y z 3d x y

x x x

y y y


MÓDULO IV

ÁTOMOS, MOLÉCULAS, MICROSÓLIDOS

OBJETIVOS : A partir de conocimientos elementales de la Mecánica Cuántica, en el presente módulo nos proponemos discutir un modelo de la materia basado en consideraciones energéticas. No es objeto de este módulo brindar una teoría muy elaborada del tema, sino introducirnos en un modelo que nos será de utilidad a la hora de querer interpretar el funcionamiento físico de dispositivos electrónicos. Para elaborar este modelo de materia partiremos de estudiar su componente mas simple, es decir el átomo, a partir de él veremos como se construye una molécula, y a partir de ésta construiremos el sólido.

O.Von Pamel S. Marchisio 1

INDICE:

El átomo

Números cuánticos de los electrones en los átomos. Átomos polielectrónicos Principio de exclusión de Pauli. Moléculas. Explicación mecánico-cuántica del enlace covalente. Resultados del análisis mecánico - cuántico de la molécula de hidrógeno según Heitler y London. Distintos tipos de enlaces entre moléculas Sólidos Diagramas de energía en un sólido

FISICA ELECTRONICA MODULO IV 2

El átomo Números cuánticos de los electrones en los átomos.

Los números cuánticos caracterizan el movimiento de los electrones no solo en los átomos de hidrogeno sino también en cualquier otro átomo.

Estas características son muy importantes para la comprensión de las propiedades de las sustancias y la naturaleza del enlace químico.

Por ello debemos examinar más detalladamente su sentido: ♠ Los números cuánticos n, l, m, determinan las particularidades geométricas de la nube electrónica. ♠ Ellos también están enlazados con las características físicas del movimiento del electrón. ♠ La energía del electrón en el átomo de hidrógeno sólo depende de la magnitud n ; la resolución de la ecuación de Schroedinger da la relación : me e4

E = − ½ --------- n2 ´h2

En vista de que n determina la principal característica del electrón

en el átomo de hidrógeno, o sea, su energía, recibió el nombre de número cuántico principal. ♠ El número cuántico l se llama número cuántico orbital, él determina la

magnitud del momento orbital de la cantidad de movimiento del electrón L , es decir :

_______ L = ´h √ l ( l + 1 ) ♠ Como sabemos el momento de la cantidad de movimiento es un vector, su dirección se determina por el número cuántico m, en otras palabras m caracteriza la disposición del orbital en el espacio.

La dirección del vector puede ser dada por la magnitud de la proyección sobre cualquier eje, por ejemplo, en el eje z. La proyección del momento orbital de la cantidad de movimiento se determina por la relación: Lz = ´h m ♠ m se llama número cuántico magnético ya que de el depende la proyección del momento magnético orbital del electrón.


♠ Los números cuánticos n, l, m, que figuran en la ecuación de Schroedinger para el átomo de hidrógeno, no determinan con plenitud el movimiento de los electrones en los átomos.

El estudio de espectros y otras investigaciones mostraron que hay que añadir a estas características otras más. Surge de la experimentación que el electrón tiene un cuarto grado de libertad; brevemente se puede decir que el electrón gira alrededor de su eje. Este movimiento se llama spin. ♠ El spin es una propiedad fundamental del electrón, como su carga y su masa, experimentalmente se demuestra que la proyección del momento propio de la cantidad de movimiento del electrón sólo puede tener dos valores: + ½ ´h y - ½ ´h

Los signos ‘ + ‘ y ‘ -- ‘ corresponden a diferentes direcciones de giro del electrón. ♠ Se denomina s, al número cuántico de spin, el que sólo puede tener dos valores + ½ y - ½ ♠ El spin puede ser tomado en cuenta en la expresión para la función de ondas introduciendo un factor. ♠ Los cuatro números cuánticos n, l, m, s, caracterizan completamente el movimiento del electrón en el átomo. ♠ Por cuanto la energía del electrón en el átomo de hidrógeno se determina con la magnitud n y no depende de los restantes números cuánticos, evidentemente, el electrón puede tener varios estados con una misma energía, estos estados se denominan degenerados.

-------- s = +1/2 l = 1 ------- m = +1 -------- s = −1/2 -------- s = +1/2 n = 2 --------- l = 0 ------- m = 0 -------- s = −1/2 -------- s = +1/2 l = 1 ------- m = --1 -------- s = −1/2

La degeneración desaparece con la acción de un campo eléctrico o

magnético exterior que actúe sobre el electrón en el átomo.

Un electrón en un estado de un mismo n, pero de diferentes l, m, ó s, interacciona de distintos modos con el campo exterior. Como resultado, las energías de esos estados se vuelven desiguales.

Con esto se explica la desintegración de las líneas espectrales cuando se introduce una fuente de radiación en el campo magnético o eléctrico (efectos Stark y Zeeman).


♠ Todo lo que fue dicho sobre el átomo de hidrógeno es aplicable completamente a otros sistemas monoeléctricos análogos, como ser : He+, Li2+ , etc. La energía del electrón en estos casos se expresa como :

me e4 z2

E = − ½ ------------- n2 ´h2

Átomos polielectrónicos Análisis mecánico-cuántico de los átomos polielectrónicos.

♦ Los niveles energéticos y la distribución de la densidad electrónica en los átomos polielectrónicos, en principio, pueden ser calculados teóricamente por los métodos de la mecánica cuántica.

Sin embargo , se encuentran dificultades matemáticas muy grandes, pues en tales cálculos es necesario resolver la ecuación de Schroedinger para muchas partículas. En ese caso ella tiene la forma :

k = n ∂

2Ψ ∂2Ψ ∂2Ψ 8π2m e2z 8π2

∑ ⎨ ( ------ + ----- + ----- )+ ------- ( ----- − Uk )Ψ⎬ + ----- E Ψ = 0 k = 1 ∂x2

k ∂y2k ∂z2

k h2 rk h2

Aquí la suma se extiende a todos los electrones que hay en el átomo.

rk es la distancia del k-ésimo electrón al núcleo. Uk considera la energía de repulsión de los electrones entre sí. Esta es igual a la suma e2/ rki tomada desde i = 1 hasta i = n donde rki es la distancia entre los electrones k e i . ♦ La resolución exacta a este problema aún no se ha hallado;

sin embargo, se han elaborado métodos aproximados.

Análisis cualitativo de los átomos polielectrónicos:


♠ Como en el átomo de hidrogeno, en los átomos polielectrónicos el estado de cada electrón se determina por los valores de los cuatro números cuánticos n, l, m, s. Estos números pueden tomar los mismos valores que en el átomo de hidrógeno.

♠ En los átomos polielectrónicos el electrón se mueve no sólo en el campo del núcleo, sino también en el campo de los otros electrones, esto conlleva a que las energías de los electrones que poseen igual n pero distintas l sean diferentes.

.- energía

------ f ------ d ------- s ------- p ------ d

------- s ------ p

------ d ------s

------ p

------ s

------p

------ s

------s n = 1 2 3 4 5 6

Por esto la energía de los electrones en los átomos poli-electrónicos se determina por los valores de los dos números cuánticos n, y l . Además la energía crece tanto con el aumento de n como de l . Esto último puede apreciarse en la figura.

Principio de exclusión de Pauli. ♠ El estado de los electrones en los átomos polielectrónicos siempre

responde a la ley mecánico-cuántica formulada por Pauli :

En cualquier sistema molecular o atómico no puede haber dos electrones que tengan los cuatro números cuánticos

iguales.

El Principio (prohibición ) de Pauli limita el número de electrones

en el átomo que poseen un valor determinado n. ♠ En la tabla de la página siguiente se muestran los estados posibles que pueden ocupar los electrones para los valores de n : 0, 1, 2.


Se puede hallar que para n = 3 el número máximo de electrones es 18, para n = 4, es 32 , etc.

n 1 2 3

l 0 0 1 0 1 2

m 0 0 0 +/- 1 0 0 +/- 1 0 +/- 1 +/- 2

s + 1/2 + 1/2 + 1/2 + 1/2 + 1/2 + 1/2 + 1/2 + 1/2 + 1/2 + 1/2 + 1/2 + 1/2 + 1/2 + 1/2- 1/2 - 1/2 - 1/2 - 1/2 - 1/2 - 1/2 - 1/2 - 1/2 - 1/2 - 1/2 - 1/2 - 1/2 - 1/2 - 1/2

símbolos de los orbitales 1s 2s 2px 2py 2pz 3s 3px 3py 3pz 3dx2 3dxz 3dyz 3dxy 3dx2-y2

número máximo de

electrones con un valor 2 2 6 2 6 10

dado de l

número máximo de

electrones con un valor 2 8 18dado de n

Números cuánticos para los distintos estados de e-

♠ En general podemos decir que : el número máximo de electrones en el átomo que pueden poseer el valor dado n es igual a 2n2 ( n ≠0 ).

♦ Al conjunto electrónico con igual n se lo denomina capa.

♦ La periodicidad de las propiedades químicas y físicas de los elementos está condicionada por el llenado paulatino de capas electrónicas. En la estructura de cada capa siguiente se repiten las particularidades de la capa anterior, esto permite confeccionar la tabla periódica de los elementos.

Volver Moléculas. Explicación mecánico-cuántica del enlace covalente.

Antes de pasar a la exposición de los resultados del análisis

mecánico-cuántico de las moléculas, es necesario conocer la dependencia entre la energía potencial de la molécula y la distancia entre átomos. Energía potencial entre moléculas.


Analicemos dos átomos cuyos núcleos se hallan a una distancia r uno del otro.

Veamos cómo cambia la energía potencial del sistema si cambia r. Es cómodo considerar la energía potencial igual a cero para el estado en que los átomos se encuentran a una distancia infinitamente grande uno del

otro. Esta situación corresponde a la no existencia de interacción entre ellos.

E

núcleo 1 núcleo 2

0 r

Si los átomos son capaces de unirse en una molécula, durante la disminución de la distancia entre ellos empiezan a actuar fuerzas de atracción y la energía potencial del sistema disminuye. Esta disminución continúa hasta cierta distancia r0 .

Durante la siguiente disminución de r la energía potencial comienza a crecer debido a las fuerzas de repulsión, las que tienen una magnitud considerable a distancias pequeñas entre los átomos.

E , eV

3 2 1

0 r ,A0

-1 -2 Zona de atracción -3 -4 -5 r0

La dependencia de la energía potencial con respecto a r es una curva que presenta un mínimo.

En la figura se representa la curva de energía potencial correspondiente a la molécula de hidrógeno.

Analicemos ahora la curva de energía potencial para dos átomos que no pueden unirse en molécula . En este caso, para todos los valores de r, prevalecen las fuerzas de repulsión provenientes de las envolturas electrónicas.


La curva de energía potencial tiene la forma representada en la figura y se observa que con la disminución de r la curva asciende, sin presentar mínimos.

E

0 r

♠ Las curvas analizadas de la energía potencial para las moléculas son una descripción formal de la suma de los cambios energéticos, los cuales tienen lugar en los átomos cuando disminuye la distancia entre núcleos. ♠ Si la molécula se encuentra en un estado no excitado, entonces su energía es mínima. Por esto en una molécula no excitada los núcleos se encuentran a una distancia equilibrada r0. ♠ Está claro también que el mínimo de la curva de la energía potencial corresponde a la energía de ruptura del enlace de la molécula Eenl, tomada con el signo contrario, pues, esta magnitud representa la energía que es necesario gastar para separar los átomos que componen la molécula y llevarlos fuera de los límites de interacción. ( teóricamente a una distancia infinitamente grande uno del otro) Resultados del análisis mecánico - cuántico de la molécula de hidrógeno según Heitler y London.


En la molécula de hidrógeno hay dos electrones, que se mueven en el campo de dos núcleos . Si representamos las distancias entre las

partículas, como está hecho en la figura, entonces la expresión para la energía potencial se escribe de la siguiente forma :

electrón 1 ° r12 electrón2 ° ra1 rb2

ra2 rb1 Rab + +

e2 e2 e2 e2 e2 e2

U = ------ + ------ − ------ − ------ − ----− -- ----- Rab r12 ra1 ra2 rb2 rb1 ♠ Durante la construcción de la función de ondas de los electrones de la molécula de hidrógeno, Heitler y London tomaron por base la función de ondas del electrón en el átomo de hidrógeno en un estado normal, el estado 1s .

átomo 1 átomo 2

ψ1 ψ2

♠ Heitler y London supusieron que para la unión de dos átomos de hidrógeno, la función de onda resultante podría ser la combinación simétrica o la antisimétrica de la funciones de onda de los átomos individuales. Los resultados de realizar dichas combinaciones se representan a continuación:


Se obtienen dos curvas Ψa y Ψs respectivamente.

ψ s = ψ 1 + ψ 2 ψ a = ψ 1 -ψ 2

⎜ψ s⎜2 ⎜ψ a⎜2

A partir de ellas se calculan ⎜Ψa⎜2 y ⎜Ψs⎜

2 . ♠ Los resultados del cálculo de la energía de los electrones en la molécula de H2 se representan a continuación :

E , eV

4 3 2 3 1 2 0 r ,A0

-1 -2 -3 1

-4 -5

0 0,6 1,8 2,4 3,2 3,8 4,2

1- curva experimental. 2- cálculo con la ayuda de la función de ondas simétrica. 3- cálculo con la ayuda de la función de ondas antisimétrica.

♠ En la figura se muestra la distribución de la densidad electrónica en un sistema compuesto por dos núcleos y dos electrones, calculada con la ayuda de las funciones de onda .


simétrica antisimétrica

Recordemos que la densidad de la nube electrónica se determina por el cuadrado de la función de ondas

Las zonas de mayor densidad de la nube electrónica están hechas en la figura, más oscuras. ♠ Así pues, cuando funciones de onda simétricas se suman, entonces la densidad de la nube electrónica entre los núcleos aumenta; en este caso se dice que las nubes electrónicas (más exactamente , las funciones de onda ) recubren una a la otra. La cobertura de nubes electrónicas no se puede considerar como una simple superposición de una nube electrónica de un átomo aislado sobre la nube electrónica de otro átomo aislado. ⎜Ψs⎜

2 = ⎜Ψ1+ Ψ2⎜2 ≥ ⎜Ψ1⎜

2 + ⎜Ψ2⎜2

Durante la formación del enlace químico o covalente es como si las nubes electrónicas se estirasen una al encuentro de la otra. ♠ En el caso de la función de ondas antisimétrica, la densidad de la nube electrónica entre los átomos cae hasta cero: los electrones se repelen del espacio de los núcleos y el enlace químico no surge. ♠ Las nubes electrónicas de los átomos de hidrógeno pueden tener igual o diferente orientación mutua de los spines de los electrones :

spines antiparalelos ⇒ los átomos se unen en molécula

spines paralelos ⇒ los átomos se repelen Distintos tipos de enlaces entre moléculas


Cabe mencionarse que aparte del enlace covalente existen otros tipos de enlaces entre moléculas. Si bien no es objeto de este curso hacer un análisis de ellos, los mencionamos: ♠ Enlace covalente ♠ Enlace metálico ♠ Enlace iónico ♠ Enlace de van der Walls ♠ Enlace puente de hidrógeno Comparación de los diagramas energéticos del átomo aislado y de la molécula. ♠ Al estudiar la conformación de los átomos se vio que el electrón en el átomo sólo puede ocupar estados (que quedan determinados por los números cuánticos n , l , m , s ) cuyos números cuánticos asuman valores enteros, en general. ♠ Para cada uno de estos estados del electrón, está asociado un determinado valor de la energía, aún cuando existan a menudo varios estados con la misma energía. ♠ Así pues , emplearemos diagramas de niveles energéticos que describen los estados que puede tener un electrón en un átomo.

Energía total del electrón

0 Ionización continuo Estados ligados ( E = - E1 / n2 ) discreto

18 e n = 3 ( d ) l=2

8 e n = 2 ( p ) l= 1 ≈ ≈

- E1 2 e n = 1 ( S ) l=0


♠ Los diversos estados corresponden a capas que sólo pueden acomodar a un número particular de electrones. El principio que conduce a esta limitación del número es, según vimos, el Principio de exclusión de Pauli. ♠ Los niveles de energía de un átomo aislado no coinciden con los del átomo en la molécula, o más aún, en un sólido. En la figura se representan, -arriba- los diagramas energéticos de dos átomos de hidrógeno aislados, y -abajo-, los mismos, cuando constituyen una molécula.

En realidad se ha empleado en esta representación una imagen o aproximación semiclásica del átomo, la cual, si bien no es estricta, resulta conveniente a los fines de “visualizar” el fenómeno que estamos analizando.

E E r

E3

E2 Energía potencial

E1

E E r Er E¨3 E3

E´3

E2

E1

♠ Al estar los átomos fijos a muy corta distancia uno del otro, la atracción que cada núcleo ejerce sobre sus electrones se ve perturbada por la acción del núcleo vecino. ♠ Esto se manifiesta en un desdoblamiento que tiene lugar principalmente en la última capa ocupada cumpliendo así con el Principio de exclusión de Pauli. Esto es así pues en esta capa los electrones de los átomos constituyen un único sistema, lo que no ocurre con las capas anteriores. ♠ En la figura se puede observar que los niveles internos E1 , E2 , prácticamente no se han desdoblado debido a que los electrones que los ocupan no interaccionan entre sí. ♠ El nivel E3 se ha desdoblado en dos nuevos niveles E´3 y E’’3 , uno mayor y otro menor que el nivel original.


¿Cómo interpretar esta imagen semiclásica?

♠ El eje horizontal de la figura carece de significado; sin embargo, a fin de una mayor visualización de la estructura atómica, resulta útil asignarle una representación física. Esta puede ser, dentro de un átomo, la distancia electrón-núcleo. ♠ A la distancia para la cual la función de onda se hace máxima, (esto ocurre en los llamados radios de Bohr), la podemos considerar como el radio más probable de la órbita del electrón. ♠ En la figura se puede ver en qué forma se hace la conversión : donde se interceptan los niveles de energía

con el potencial se ubican las órbitas clásicas de Bohr.

E r

E1

y

r1 x

r

♠ En el diagrama de la figura el nivel 1 corresponde a la mínima energía que puede tener el electrón en átomo. En el átomo de hidrógeno es -13,58 eV. (Recordar, sin embargo, las limitaciones del modelo de Bohr). ♠ La abscisa ± r1 representa el radio clásico de Bohr para esa energía. Para esta energía el electrón presentará máxima probabilidad de encontrarse a la distancia r1 del núcleo.


r1 E r

y

x

♠ En la figura se

aprecia la aproximación semiclásica para una molécula.

♠ Con los recaudos ya expuestos acerca de esta tipo de representación, analicemos haciendo uso de ella, qué ocurre con los niveles de energía del átomo aislado y con los desdoblamientos vistos al constituirse la molécula, cuando se constituye un sólido. Volver Sólidos Diagramas de energía en un sólido

Si analizamos un sólido debemos generalizar nuestro estudio para una cantidad muy grande de átomos . ♠ Si todos los átomos se encontraran muy separados unos de otros, los estados permitidos de este sistema de N átomos, coincidirán con los de un átomo aislado N veces ( N sistemas independientes ). ♠ Si a continuación imaginamos que los átomos se aproximan unos con otros hasta constituir el sólido, los electrones que ocupan los niveles de energía exterior comenzarán a interactuar entre sí (mientras que los interiores permanecen sin darse cuenta de los otros átomos).


Sus órbitas se alterarán notablemente, de forma tal que puedan llegar a intercambiar posiciones de un átomo al siguiente, con lo que los estados resultantes contendrán movimientos orbitales a través de todo el sólido. Los resultados de esta

interacción se pueden ver en la figura :

E rs ra r

E4

E3

E2

E1

♠ Se puede demostrar que las energías externas de este desdoblamiento no varían. Por lo que debemos aceptar que :

vacío E cristal núcleos r • • • • • •

banda de energía permitida

E3

E2 E1

•

♠ En un sólido de 1cm3 existen 1023 niveles discretos de energía entre los niveles E´4 y E¨4 . ♠ Una cantidad tan grande de niveles discretos determina que podamos considerar estas zonas como bandas continuas de valores de energía permitidos. ♠ Definimos :


⇒ Banda de valencia a la última capa que se encuentra totalmente ocupada. ⇒ Banda de conducción a la mas baja de las bandas vacías o parcialmente ocupadas. ⇒ Banda prohibida (en caso de existir) a la región comprendida entre las bandas de conducción y de valencia.

♠ Es necesario subrayar que las bandas son de energías permitidas y ellas pueden estar ocupadas por electrones o no. En cambio una banda prohibida siempre esta vacía. ♠ Como vemos la cantidad de desdoblamientos depende de la cantidad de átomos.

2p 6N

2s 2N

1s 2N

átomo aislado 2 átomos que 3 átomos que sistema formado interactúan interactúan por N átomos

♠ La cantidad de desdoblamientos también depende de las distancias interatómicas. ♠ En la figura se representan los niveles energéticos de en un sólido en función de supuestas separaciones atómicas caracterizadas por r, (distancia at-at ) Para interpretar el diagrama vamos a suponer que formamos el sólido aproximando gradualmente los átomos que lo constituyen, hasta alcanzar la distancia interatómica real r0.

Ésta obviamente será diferente para materiales con distintas características estructurales.


Analizamos en especial la última capa n ( donde se manifiesta la interacción ) con las subcapas l correspondientes .

E (eV) r0 r4 r3 r2 r1 r (A0) 0

Ec l= 1 capa n Eg última capa l = 0 Ev

l = n - 2penúltima capa

l = 0

♠ Si la separación entre átomos es grande ( r1 ) no existe, como vimos, interacción entre los electrones y por consiguiente no hay desdoblamiento de los niveles l ni existencia de bandas.

Podríamos considerar en este caso que estamos frente a la presencia de un gas. ♦ A medida que los átomos se van acercando (por ej. a una distancia r2 ) existe desdoblamiento de niveles y aparecen dos bandas de energía separadas por una zona vacía de estados permitidos.

La magnitud r2 no representa aún, en este ejemplo la distancia interatómica correspondiente a un sólido, por lo que necesitamos acercar aún más los átomos para constituirlo. ♦ Para distancias menores ( entre r3 y r4 ) el desdoblamiento es tal que la separación entre el mínimo valor de la energía correspondiente a l=1 y el máximo para l =0 es muy pequeña, quedando constituida (a los fines prácticos) una única banda que contendrá la suma total de los electrones que ocupaban las dos bandas anteriores. ♦ Para un valor de r fijo comprendido en el intervalo ( r3 , r4 ), el diagrama de energías será en este caso el siguiente .


estados E (eV) r0

r (A0)

vacios 4p

4s ocupados

3s

En la figura se nota la no existencia aparente de zonas prohibidas intermedias. Estamos en este caso en presencia de un conductor . ♦ Para distancias interatómicas menores que r3 , la configuración de bandas genera nuevamente la banda prohibida.

En este caso, los electrones (que estaban en su totalidad contenidos en esa banda única ), seguirán la ley de la mínima energía, por la cual, irán primero ocupando los estados permitidos de la banda inferior quedando la superior completamente llena, completamente vacía, o incompleta dependiendo ello de la configuración electrónica de los átomos que constituyen el sólido.

Por otro lado, la zona energética prohibida que se genera no es igual a diferentes distancias interatómicas.

E (eV)

Eg

Para comparativamente mayores distancias interatómicas (las más próximas a la banda única), el diagrama energético es el que corresponde a un semiconductor.

Si los átomos están aún más próximos entre sí vemos que el ancho

de la zona prohibida es mayor.


E (eV )

E g

Para un sólido en el que el ancho de la banda se presenta comparativamente mayor, el diagrama será el de la figura.

Estamos en presencia en este caso de un aislante

Dada su estructura electrónica y el Eg , la banda de conducción de un aislante se encuentra vacía aún a altas temperaturas.

♠ La mayor parte de los materiales que estudiaremos en el curso son sólidos semiconductores. Dentro se ellos, veremos los que tienen estructura del tipo carbono: Si , Ge. En la figura podemos observar los niveles energéticos en función de las distancias interatómicas para este tipo de materiales, marcando con r0 la distancia interatómica real.

Nótese además el ancho de la banda energética prohibida Eg . Para tener un orden de

magnitud de Eg , estos son :

E C AsGa Si Ge r

Eg (carbono) = 5,5 eV aislador (casi perfecto ) Eg (arseniuro de galio) = 1,5 eV semiconductor Eg ( silicio ) = 1,1 eV semiconductor Eg (germanio) = 0,7 eV semiconductor Eg ( cobre ) = 0,0 eV conductor Nota :


♦ Obsérvese que si se aumenta la temperatura del material la red se

dilatará aumentando la distancia interatómica, por lo tanto, de la figura anterior surge que el Eg del material debiera disminuir con la temperatura.

Ancho de la banda prohibida (eV)1.61.51.41.31.21.11.00.90.80.70.6 0 200 400 800 T(0K)600

1,42

1,12

0,66

Las gráficas

ilustran este hecho .

♠ Nota : Puede notarse, analizando la estructura de bandas del cobre que se representa en la figura, el solapamiento de las bandas 4s y 3d para la distancia interatómica real r0. El hecho de que exista solapamiento de bandas no implica que haya electrones que ocupan estados energéticos indefinidos. En el caso específico del cobre, el número de electrones en la banda correspondiente al nivel 4 es N; mientras que el número de estados permitidos es 32 N ( N número de átomos del sólido ).

E r0 0 r

4p

4s

3s

Estos electrones ubicados en el 4s, pueden moverse libremente en tantos estados permitidos que el cobre será así un buen conductor. Volver


MODULO V

MATERIA CONDENSADA

SÓLIDOS Y LÍQUIDOS


INDICE: Modulo V. Estructura de la sustanciaEstados de agregación de la materia Temperatura de la sustanciaEstado condensado Sólidos.Sólidos cristalinos. Sistemas cristalinos Planos cristalinos Líquidos.Líquidos cristalinos. Distintos tipos de cristales Líquidos. Líquidos amorfos. Vidrios.Polímeros

FISICA ELECTRONICA MODULO V 2

Estructura de la sustancia Estados de agregación de la materia En función de la distancia entre las partículas y de las fuerzas de interacción entre ellas, la sustancia puede encontrarse en los estados: sólido, liquido, gaseoso, plasma . ♠ A una temperatura suficientemente baja, la sustancia se encuentra en estado sólido.

Las distancias entre partículas ( dpp ) son del orden de la dimensión de las partículas( Tp ). La energía potencial media ( U ) es mayor que su energía cinética media ( K ). El movimiento de

las partículas que componen los cristales es muy limitado.

dpp Tp

O O O O O O O O O O

U>K

Las fuerzas que actúan sobre ellas las mantienen cerca de las posiciones de equilibrio, por eso la probabilidad de permanencia de las partículas en estos lugares es máxima. Con esta circunstancia está relacionada la propiedad de los cuerpos sólidos de forma y volumen propios, y la gran resistencia a la dislocación. ♠ Como resultado de la fusión de los sólidos se forman los líquidos .

dpp

o o o o Dpp Tp

o o o o o U ≅ K

La sustancia líquida se diferencia de la sólida en que no todas las partículas están distribuidas a distancias del mismo orden del tamaño de ellas, como en los sólidos. Una parte de las moléculas se encuentran a distancias considerablemente mayores.

En este estado la energía potencial media es aproximadamente igual a la energía cinética media.


Los estados líquido y sólido con frecuencia se unen bajo el nombre común de estado condensado. ♠ Como resultado de la evaporación (ebullición) el líquido pasa al estado gaseoso.

En este estado, las partículas se encuentran a distancias que considerablemente sobrepasan sus dimensiones . Por eso las fuerzas de interacción entre ellas son muy pequeñas, lo que se traduce en que puedan

desplazarse libremente.

Tp

O Dpp O

O K >> U

La energía cinética media de las partículas de un gas es mucho mayor que la energía potencial media de las mismas. Si en la sustancia sólida todas las partículas constituyen un agregado entero, y en el líquido una gran cantidad de agregados voluminosos y resistentes, en los gases pueden encontrarse solo partículas, compuestas de 2 - 5 moléculas, y su número, con frecuencia es comparativamente pequeño. ♠ A estos estados de agregación debemos agregar un cuarto estado denominado plasma .

En él, la materia que lo constituye está formada por iones positivos y negativos, de forma tal que, tomado globalmente es neutro, pero si lo consideramos localmente, no lo es.

Θ ⊕

Θ ⊕ ⊕ Θ

Θ ⊕ Θ ⊕

⊕ Θ Θ ⊕

Este estado, el más abundante en la naturaleza, presenta propiedades distintas a las de los anteriores.

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Temperatura de la sustancia Resulta interesante a fin de aclarar ideas ver qué se entiende por temperatura en cada uno de los estados anteriormente descriptos : ♠ Temperatura de un sólido: La temperatura en un sólido es la energía interna de éste. Básicamente viene dada por la energía interna (de vibración) de las moléculas que lo componen. ♠ Temperatura de un gas: En un gas monoatómico la temperatura está dada por la energía cinética media de traslación, que es 3/2 kT. En un gas poliatómico habrá que tener también en cuenta las energías de vibración y de rotación (sumando ½ kT por grado de libertad que se agregue ) Pej. : para una molécula diatómica será 5/2 kT. Para gases reales influye la compresibilidad. En este caso, al reducirse las distancias moleculares aparecerán potenciales entre las moléculas. Por ese motivo hay que considerar las correcciones hechas por Van der Walls en cuanto al volumen molecular . ♠ Temperatura de un líquido Al ser el líquido un estado intermedio entre un gas y un sólido, hay que considerarlo como a un gas muy comprimido, donde la interacción molecular adquiere la máxima relevancia . ♠ Temperatura de un plasma: En un plasma podemos llegar a tener iones positivos, negativos y electrones. Consideramos dos situaciones: a- Plasma no colisional:

Esencialmente puede estar formado por iones positivos, negativos y electrones que colisionen poco entre sí. La diferencia de masas entre iones y electrones se traduce en una diferencia en las energías cinéticas de ambos. Tenemos que considerar entonces que coexisten dos temperaturas: la electrónica Te y la iónica Ti dadas ambas por las energías cinéticas medias de los electrones y de los iones respectivamente. Esto es así bajo el supuesto que la masa de los iones positivos y negativos es parecida, de lo contrario podrían llegar a aparecer tres temperaturas: Te , Ti+ , Ti- .


b- Plasma colisional :

Predominan las colisiones entre partículas por lo que las energías cinéticas de electrones y de iones se igualan en el tiempo. Esta igualación se traduce en una unificación de la temperatura media del plasma, la que se denomina temperatura del plasma Tp.

Estado condensado. Para facilitar el estudio de este estado vamos a considerar a los líquidos y los sólidos según la siguiente subdivisión: estado condensado Sólidos Líquidos Amorfos Cristalinos Vidrios Amorfos Cristalinos Volver Sólidos. Sólidos cristalinos. La propiedad fundamental de los sólidos cristalinos (cristales) es la regularidad de la distribución de los átomos en ellos, constituyendo lo que se llama una red cristalina.

Ésta está compuesta por una unidad básica (celda de la red) que se repite a lo largo de ella. Es por ello que para el análisis de la estructura de un cristal basta estudiar esta celda unitaria considerando que todas las propiedades se repiten de una celda a la otra. Las redes cristalinas se subdividen en varios tipos, en dependencia de: el tipo de partículas que la forman el tipo de enlace entre ellas


♦ Cristales covalentes:

En ellos los átomos están ligados entre sí por enlaces direccionales localizados. (electrones de valencia en orbitales p ). La red cristalina está determinada por la orientación y la naturaleza de estos enlaces direccionales. En la figura se representa la red cristalina del diamante. Cada esfera representa un núcleo de carbono y cada barra un par de electrones de enlace localizado.

Debido a su estructura electrónica rígida los cristales covalentes

tienen varias características microscópicas comunes: • son extremadamente duros y difíciles de deformar;

• son malos conductores de la electricidad puesto que no hay electrones libres que transporten carga;

• son malos conductores del calor puesto que no hay electrones

libres que transporten energía de un lugar a otro;

• muchos de ellos son transparentes debido a que la diferencia Eg entre bandas es mayor que las energías fotónicas del espectro visible.

♦ Cristales iónicos

Consisten en un arreglo regular de iones positivos y negativos resultantes de la transferencia de uno o más electrones de una clase de átomo a otro. En las figuras se representan las redes cristalinas del NaCl y del


CsCl respectivamente. Los iones se disponen

de tal modo que se produce una configuración estable bajo sus interacciones electrónicas mutuas.

Estos cristales :

• son duros, frágiles y tienen alto punto de fusión debido a las fuerzas electrostáticas relativamente fuerte entre iones;

• son malos conductores de la electricidad, pero a altas

temperaturas, los iones pueden adquirir una cierta movilidad que se traduce en una mejor conductibilidad eléctrica;

• son malos conductores del calor al carecer de electrones libres; • algunos absorben fuertemente radiación infrarroja. ♦ cristales metálicos Son cristales cuyos elementos tienen energías de ionización relativamente pequeñas y cuyos átomos tienen unos pocos electrones débilmente ligados que son fácilmente puestos en libertad usando la energía que se libera al formarse el cristal. De este modo los metales tienen una red regular compuesta de iones positivos esféricamente simétricos que se forman cuando los electrones más externos quedan en libertad. Dentro de esta estructura hay un gas electrónico formado por los electrones libres, los que son responsables de la unión. Estos se mueven más o menos libremente dentro de la red cristalina y por lo tanto no están localizados. Estos cristales : • son maleables debido a la simetría del enlace;


• son excelentes conductores eléctricos por la presencia de electrones libres;

• son excelentes conductores térmicos debido a los electrones

libres; • son opacos y tienen un alto coeficiente de reflexión

electromagnética. ♦ Cristales moleculares Están hechos de sustancias cuyas moléculas no son polares . En estas moléculas todos los electrones están apareados de tal modo que no se pueden formar enlaces covalentes entre átomos de dos moléculas diferentes. En este tipo de cristales las moléculas conservan su individualidad, están ligadas entre sí por las mismas fuerzas intermoleculares que existen entre las partículas de un gas o de un líquido: las fuerzas de van der Walls. Éstas son muy débiles y corresponden aproximadamente a las fuerzas entre dos dipolos.

Las fuerzas de van der Walls provienen de la interacción de estos dipolos eléctricos instantáneos si bien en promedio estas moléculas no tienen un momento dipolar eléctrico instantáneo. Algunos ejemplos de cristales moleculares son : CH4 , Cl2 , CO2 , los gases nobles, etc .. Estos cristales : • son muy compresibles y deformables con punto de fusión muy bajo; • no son conductores eléctricos; • no son conductores del calor. ♦ Cristales con enlace de hidrógeno Estrechamente relacionados con los cristales iónicos están los sólidos con enlace de hidrógeno, que se caracterizan por tener moléculas fuertemente polarizadas con uno o mas átomos de hidrógeno tales como el H2O y el HF.


Los iones positivos de hidrógeno, debido a que son relativamente pequeños, pueden atraer el extremo negativo de otras molécula formando cadenas como: (H+ F− ) ( H+ F− ) ( H+ F− ) ........ Esto es particularmente interesante en el caso del hielo en el cual las moléculas tienen el arreglo tetraédrico que se muestra en la figura. Esta estructura relativamente abierta del hielo explica el mayor volumen que el hielo tiene en comparación con el agua en la fase líquida.

♦ Cristales con más de un tipo de enlace

Algunos sólidos son combinación de varios tipos de enlaces.

Un ejemplo de ello es el grafito que consiste en capas de átomos de carbono dispuestas en forma de hexágono. En este caso los átomos de cada capa están ligados entre sí por enlaces covalentes localizados y no localizados. Los electrones de los enlaces no localizados están en libertad de moverse paralelamente a las capas, lo que explica la conductibilidad eléctrica paralela a las capas de grafito y la no conductividad en dirección perpendicular a ellas.


Estas capas están unidas entre sí por fuerzas débiles de van der Walls, lo que explica la naturaleza escamosa y resbaladiza del grafito. Esta caracteriza lo hace útil como lubricante. Sistemas cristalinos Como dijimos, un cristal es una estructura que para su estudio puede ser reducida a una unidad mínima denominada celda. Si bien existen 14 tipos de celdas o cristales, las que resultan de mayor interés para el estudio de los semiconductores presentan estructuras reducibles a una red cúbica.

Éstas son: a - cúbica b - cúbica centrado en las caras c - cúbica centrado en el cuerpo


A continuación se presentan los principales sistemas cristalinos que

están en la naturaleza. En éstos hay 14 tipos distintos de cristales comprendidos en 7 sistemas.


Planos cristalinos. A continuación se presentan los principales planos cristalinos para

un sistema cúbico. Los planos cristalinos se identifican mediante la representación en coordenadas cartesianas del vector unitario normal al plano en cuestión.

x

( 0,0,1 )

y

z x

( 0,1,0 )

y

z x

( 1,0,0 )

y

z

x

( 1,0,1 )

y

z x

( 0,1,1 )

y

z

x

( 1,1,1 )

y

z x

( 1,1,0 )

y

z

Cabe destacar que

existen determinadas propiedades que sólo se presentan sobre determinados planos cristalinos. Un ejemplo de ello lo constituye la superconducción en materiales cerámicos.


Super-redes En la actualidad las modernas técnicas de fabricación de cristales permiten obtener cristales formados de modo tal que a continuación de una capa cristalina de una especie se superpone otra de una especie diferente y así sucesivamente. Estas técnicas permiten alterar la estructura energética del cristal a lo largo del mismo, alterando asimismo sus propiedades eléctricas y ópticas. De esta forma se pueden fabricar microlentes y/o microespejos, dentro de algunos dispositivos. Un ejemplo de aplicación tecnológica de super-red lo constituyen las fibras ópticas no lineales.

O O O O ⊗ ⊗ ⊗ ⊗ O O O O O O O O ⊗ ⊗ ⊗ ⊗ O O O O O O O O ⊗ ⊗ ⊗ ⊗ O O O O O O O O ⊗ ⊗ ⊗ ⊗ O O O O

Sólidos amorfos. Las sustancias amorfas se diferencian de las cristalinas por la isotropía (no hay direcciones privilegiadas en su interior). Son distinguibles de las cristalinas debido a que su transición del estado sólido al líquido no va acompañada de cambios bruscos de propiedades.

V sustancia cristalina V sustancia amorfa

sólido líquido sólido líquido fusión reblandecimiento

TT


En un sólido amorfo existe entre las temperaturas Ta y Tb una zona de reblandecimiento. Entre esas temperaturas el material evoluciona paulatinamente ablandándose cada vez más desde un sólido rígido a un líquido. En esta zona operan las máquinas inyectoras de plástico, goma, cera, etc. No profundizaremos más sobre el tema por no ser ello objeto de este curso. Volver Líquidos. Es un estado intermedio entre el sólido y el gaseoso. A elevadas temperaturas las propiedades del líquido se acercan a las del gas no perfecto y a bajas temperaturas a las de la sustancia sólida. Un liquido se puede explicar representando su estructura como la acumulación de agregados ultramicroscópicos significativamente deformados, o bien en forma de una malla estructural continua, en la cual los elementos de orden estructural están limitados por los vecinos más cercanos. La primera suposición significa que un gran numero de islotes cristalinos están divididos por zonas de partículas de desordenada disposición. La segunda suposición lleva a la representación casi cristalina del líquido en la cual el orden del cristal se va perdiendo capa a capa. Es difícil decir qué punto de vista es preferible. Lo importante es que en el líquido existe un orden determinado, el que es tanto más superior cuanto más se acerca el líquido al punto de fusión. Líquidos cristalinos. Estos líquidos se diferencian de los corrientes por su anisotropía. Ésta se revela de manera más notable en sus propiedades ópticas . Estos líquidos cristalinos se observan en muchos compuestos orgánicos de grandes moléculas, generalmente de forma alargada. En un líquido corriente la orientación y disposición de las moléculas son completamente arbitrarias. En otras palabras, en el movimiento térmico


las moléculas del líquido efectúan movimientos caóticos tanto de traslación como de rotación. En un cristal líquido considerado como un todo las moléculas están dispuestas desordenadamente en el espacio, sin embargo su orientación mutua es ordenada. La orientación ordenada de las moléculas conduce a la anisotropía. Generalmente los cristales líquidos no son monocristales sino un agregado policristalino compuesto de gran cantidad de cristales líquidos en forma de gotitas, orientados entre sí de distinta manera.

∅ → ∅ ↓ ↑ ∅ ∅ ← ∅ líquido cristalino

Ο → Ο ↓ ↑ Ο Ο ← Ο líquido amorfo

Los cristales líquidos en general parecen líquidos turbios. Esto es

debido a la dispersión desordenada de la luz en los límites entre las distintas gotitas. Con ayuda de un intenso campo eléctrico o magnético, en algunos caso se puede conseguir que todas las gotitas adquieran la misma orientación.

De esta forma se obtiene un cristal líquido casi transparente.

E


Cabe destacar que muchos líquidos cristalinos que son anisótropos, antes de solidificarse y convertirse en cristales, atraviesan por una breve fase isótropa. Distintos tipos de cristales Líquidos.

De acuerdo con el ordenamiento o disposición presentado inicialmente por sus moléculas, los cristales líquidos evidencian tres clases diferentes de mesofases: nemática, esmética y colestérica.

Esto se ilustra en la siguiente figura.

Grados de libertad de las macromoléculas de los distintas cristales líquidos

nemático esmético colestérico

Cristales líquidos Esméticos : La orientación natural de sus dipolos en ausencia de campo eléctrico los hace ferroeléctricos. A partir de esta propiedad sus principales aplicaciones son : Direccionamiento de luz láser Memorias termo-ópticas de imágenes Radiografía ultrasónica Cristales líquidos Colestéricos : Son las sustancias mas ópticamente activas que se conocen pues rotan el plano de la luz polarizada entre 20º/mm de espesor hasta 18000º/mm de espesor ( 50 vueltas/mm ).

También varían su estructura con la temperatura, por lo cual al ser iluminados con luz blanca la reflejan selectivamente, formándose distintos colores al variar la temperatura. El orden de reflexión es :

( T< 0,5ºC ) → incoloro

temperatura baja ( 0,5ºC ) → rojo → amarillo ↓ → verde → azul


temperatura alta ( 50ºC ) → violeta ( T> 50ºC ) → incoloro

Este proceso es reversible, por lo que es posible emplearlos para

medir temperaturas superficiales. De la misma forma su estructura varía con la presión, los campos

eléctricos, los magnéticos y los agentes químicos . Al igual que con la temperatura, al ser iluminados con luz blanca, en

todos los casos la reflejan selectivamente, formándose los distintos colores al variar la presión, los campos eléctricos, los magnéticos y los agentes químicos.

Esta propiedad permite fabricar distintos tipos de sensores.

Cristales líquidos nemáticos : Sus moléculas tienen la forma de filamentos. Cuando son puestas entre dos placas paralelas se pueden conseguir tres formas de orientación de las moléculas :

Homeotrópica : orientación de las moléculas perpendicular a las placas Homogénea : orientación de las moléculas paralela a las placas Torsionada o giratoria : en una placa la orientación de las moléculas es paralela a esta y en la otra perpendicular. En este caso la orientación de las moléculas gira 90º de una placa a otra.

Las propiedades ópticas de estos cristales son alteradas

fuertemente por campos eléctricos, magnéticos y fuerzas mecánicas. Debido a su simetría cristalina se comportan como cristales uniaxiales cuyo eje óptico es paralelo a la dirección de alineación de las moléculas.

Son birrefringentes (su birrefringencia es siempre positiva) y la constante dieléctrica, la susceptibilidad magnética y la resistividad son anisótropas. Estas propiedades permiten la fabricación de deflectores y moduladores magneto-ópticos. Una de las aplicaciones más difundidas es su empleo en la fabricación de visualizadores o displays de cristal líquido (LCD).


♠ Visualizadores ( Displays) En particular para visualizadores se emplean cristales nemáticos.

En la figura siguiente se muestran los tres modos de visualización de un LCD:

LCD LCD LCD

Trasmisivo Reflectivo Transflectivo

A su vez existen tres modos o técnicas de operación de un LCD: Modo de dispersión nemática. Modo nemático giratorio o de efecto de campo

Modo anfitrión invitado En la tabla siguiente se comparan los tres métodos :

Técnica empleada Ventajas Inconvenientes

Dispersiónnemática

sencillez de construcciónno necesita polarizadores

mayor conductividadmayor consumovida mas corta

NemáticaGiratoria

bajas tensiones de trabajobaja conductividadbajo consumo

elevado tiempo de respuestanecesidad de polarizadores

Anfitrióninvitado

posibilidad de coloresmayor brillomayor ángulo visualmenor distorsión por paralaje

bajo contrastemayor tensión de operación


Display reflectivo con cristal nemático en modo torsionado Este display se construye mediante el empleo de determinados cristales líquidos que tienen la propiedad de rotar el plano de polarización de la luz en 90 grados y perder esta propiedad cuando se les aplica un determinado campo eléctrico. Este efecto se logra a través de la aplicación de una tensión V entre sus bordes.

El esquema de un display es el siguiente :

En el recipiente (transparente ) que contiene al cristal líquido se dibujan los caracteres con una tinta transparente y se conectan al circuito de polarización. ♠ Modo de funcionamiento

Aparte del cristal líquido con el correspondiente circuito de polarización el display cuenta con el siguiente arreglo de elementos :

polarizador cristal líquido polarizador espejo

Analicemos en los esquemas la marcha de los rayos de luz con y sin polarización del cristal liquido


♦ sin polarización


Cuando el cristal líquido no se encuentra polarizado la luz entra sin polarización y sale polarizada. ♦con polarización


Cuando el cristal líquido se polariza, al perder su propiedad de rotación de la luz, ésta no puede atravesar el segundo filtro polarizador siendo absorbida por éste. La ausencia de luz hará aparecer el número deseado. Obsérvese que el tono grisáceo de los displays se debe a que siempre se pierde al menos el 50 % de la luz en uno de los filtros polarizadores. Visualizadores en modo anfitrión-invitado

Dispersas entre las moléculas del cristal líquido (anfitrionas) se encuentran las moléculas de un tinte dicroico ( invitadas ).


Sin polarización ambas permanecen paralelas al plano de los electrodos transparentes; las moléculas anfitrionas absorben parte del espectro dando aspecto coloreado al display.

Con tensión aplicada las moléculas se encuentran perpendiculares

al plano y la luz atraviesa el display sin ser modificada; por lo tanto el display se vera claro. De este modo en este display se verán números o caracteres brillantes sobre fondo coloreado .

Líquidos amorfos. Estos líquidos se diferencian de los cristalinos por su isotropía (no tienen direcciones privilegiadas en su seno). Esto se debe a que las moléculas en su interior, debido al efecto térmico efectúa movimientos caóticos tanto de traslación como de rotación.

No es objeto de este curso profundizar en este tema. Volver Vidrios. Un vidrio es un material formado por enfriamiento del estado líquido normal. En ese proceso sufre un cambio no discontinuo tal como la cristalización haciéndose más rígido debido a un aumento de la viscosidad . Se asume normalmente que un líquido se convierte en vidrio cuando su viscosidad es superior a 103 poises. Consideramos por lo tanto que un vidrio es un cuerpo sólido con un denso empaquetamiento de átomos. Estos se caracterizan por no mantener entre sí las distancias regulares y ordenadas que mantienen los cristales.


La formación de vidrios es una consecuencia de una cristalización

impedida. Es por eso que en la gran mayoría de los casos se obtienen a partir de un proceso de fundido y muy rara vez por condensación de vapores.

Cuando algunos silicatos se funden y se enfrían bruscamente, no cristalizan sino que solidifican en forma de vidrio y estos vidrios de silicato son de gran utilidad práctica. Vidrios con estructuras reticulares, los que en general son muy difíciles de dilucidar, los forman no sólo el SiO2 y los silicatos, sino también otros óxidos como el B2O3 , GeO2 , P2O5 , As2O3 , y As2O5 . Tales vidrios al calentar no funden a una determinada temperatura sino que se ablandan gradualmente y pasan después al estado líquido. Por calefacción prolongada en el punto de reblandecimiento (templado) puede en ocasiones pasar al estado cristalino. Otros sistemas se reblandecen formando vidrios tales como el KNO3 (con un 30 - 47% de Ca(NO3)2 ). Lo mismo ocurre con algunos compuestos asociados por enlaces de hidrógeno tales como el ácido fosfórico y sulfúrico concentrados, glicerina y otros alcoholes. Aunque la palabra vidrio se puede asociar a silicatos, cerámicos y materiales no metálicos relacionados con ellos, se ha descubierto que el enfriamiento muy rápido ( 106 grados/seg ) de ciertas aleaciones fundidas, da lugar a materiales metálicos que son rígidos y tienen estructuras moleculares cuasi-líquidas . Estos vidrios metálicos tienen una fuerza excepcional, resistencia a la corrosión y fácil magnetización. En general, los vidrios son más ricos en energía que los correspondientes compuestos cristalinos, lo que quiere decir que son más inestables, y que pueden pasar al cristal al perder exceso de energía. Polímeros Se llaman polímeros a los cuerpos cuyas moléculas están formadas por un gran número de grupos que se repiten, llamados unidades monómeras . Los grupos que se hallan en los extremos de la molécula, llamados grupos finales, se diferencian por su estructura de las unidades monómeras fundamentales. El número de unidades monómeras que hay en una molécula recibe el nombre de grado de polimerización. Los polímeros se dividen en lineales y tridimensionales:


* En los lineales cada unidad

monómera está unida solamente a dos unidades monómeras vecinas.

Son solubles, forman

disoluciones verdaderas y pueden existir en estado líquido.

Polietileno H H H H H H H ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐

... -C-C-C-C-C-C-C- ... ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐

H H H H H H H

Teflón F F F F F F F ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐

...-C-C-C-C-C-C-C-... ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ F F F F F F F

* En los tridimensionales

aparecen enlaces transversales de manera que constituyen una

red espacial. No son fusibles ni solubles;

solamente se pueden hinchar en un disolvente, absorbiendo una cantidad limitada del mismo, pero conservando, en lo fundamental, las propiedades del sólido.

Poliestireno H H H H H ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐

-----C----C----C----C----C----- ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ H C H C H

CH CH CH CH ⏐ ⏐⏐ ⏐⏐ ⏐ CH CH CH CH

CH CH

Volver


MÓDULO VI

MATERIA CONDENSADA

EFECTO DE LAS IMPUREZAS EN LOS SÓLIDOS

Estudiar cómo se alteran sustancialmente las propiedades de un material mediante el agregado de impurezas. En particular, el interés del estudio es la modificación de las propiedades ópticas y eléctricas.

Objetivos:

O.VON PAMEL S. MARCHISIO 1

INDICE: MÓDULO VI Imperfecciones de las redes cristalinas-Aleaciones Efectos de las impurezas en las redes cristalinas.- Introducción - Impurezas en semiconductores - Efectos de las impurezas donantes. - Efecto de las impurezas aceptantes. Modificación de la estructura de bandas debida a las impurezas sustitucionales- Agregado de impurezas donantes. - Agregado de impurezas aceptantes - Bandas de impurezas - Impurezas indeseables - Impurezas en conductores Metalizaciones- Impurezas en aisladores - Partículas en el sólido cristalino - Efecto de las impurezas en los sólidos amorfos - Efecto de las impurezas en los polímeros - Efecto de las impurezas en los vidrios.

FISICA ELECTRONICA MODULO VI 2

Imperfecciones de las redes cristalinas Las redes cristalinas no son perfectas. Las imperfecciones de la red tienen un efecto muy importante en las propiedades:

• mecánicas (elasticidad) • eléctricas • ópticas

Podemos diferenciar algunas imperfecciones típicas. Éstas son: • vacante • átomo intersticial dejada por un átomo que falta generada por un átomo que sobra

O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O

O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O

• Impureza sustitucional • Impureza intersticial átomo de otra especie que reemplaza átomo de otra especie que ocupa un a otro de la red intersticio de la red

O O O O O O O O O O ⊗ O O O O O O O O O O O O O O O

O O O O O O O O O O O O ⊗ O O O O O O O O O O O O


• dislocación de arista Esta imperfección se puede ver como si desde el tope de la red se hubiese empujado una capa extra de átomos hasta medio camino. Aleaciones: Una aleación se forma cuando a un material base se le hacen agregados de otros materiales llamados aleantes. Tiene como fin obtener una sustancia que posea determinadas propiedades diferentes de las que poseen sus componentes aisladamente. Estas propiedades dotan a cada aleación de una utilidad específica, por lo general vinculada a mayor resistencia a la corrosión, maleabilidad, etc. En general el término aleación se emplea para los compuestos metálicos, aunque en la actualidad también se ha extendido esta denominación a combinaciones de compuestos no metálicos. Las aleaciones pueden ser del tipo sustitucional o intersticial. En el presente curso hablaremos de los efectos de los materiales aleantes cuando estos están en una proporción respecto al material base mayor al 1/1000. Si la proporción es menor, los llamaremos impurezas y hablaremos de sus efectos. Volver

O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O


Efectos de las impurezas en las redes cristalinas. Introducción Las impurezas, aún en pequeñas cantidades, tienen un efecto importante sobre las propiedades mecánicas, eléctricas y ópticas de los materiales. Como vimos, estas impurezas pueden ser intersticiales o sustitucionales. Podemos caracterizarlas de la siguiente manera:

♦ sustitucionales: se trata del reemplazo de un átomo de la red por otro átomo extraño al cristal que destruye el orden de la estructura periódica. La distribución de impurezas en el material resulta aleatoria.

♦ intersticiales: se trata del agregado de un átomo extraño a la red que se ubica en los espacios que quedan entre los átomos de ésta. Mediante el agregado de este tipo de impurezas también se destruye el orden de la estructura periódica, pero además se pueden generar compuestos que no podrían existir en situaciones de equilibrio.

Actualmente con la comprensión del efecto de las impurezas sobre los materiales se han desarrollado métodos para impurificar materiales puros y obtener así, de éstos, nuevas propiedades. Esto no quita que en muchos casos sea imposible fabricar materiales sin impurezas indeseables. Un caso de especial interés para este curso es el estudio del efecto de las impurezas de tipo sustitucional en los semiconductores. También tocaremos brevemente el tema del efecto de las impurezas en conductores y aisladores.


Impurezas en semiconductores

En gran parte de las aplicaciones prácticas se requieren semiconductores en los que se haya realizado la sustitución de átomos de la red por átomos de impurezas en pequeñas cantidades.( un átomo en 106 a 109 ).

Debido al gran desarrollo tecnológico que históricamente se ha alcanzado en torno al germanio y el silicio, los emplearemos como ejemplo de los principales semiconductores a estudiar.

O O O O O O O O O O O O ⊗ O O O O O O O O O O O O

De todos modos cabe destacar que existen otros materiales semiconductores que rápidamente los van desplazando en la actualidad; tal es el caso del AsGa .

IIIB IV B V B

B C N

A l S i P

G a G e A s

In S n S b

T i P b B i

IIIB IV B V B

5 6 7 B C N 1 0 ,8 1 1 2 ,0 1 1 4 ,0 0

1 3 1 4 1 5 A l S i P 2 6 ,9 8 2 8 ,0 8 3 0 ,9 7

3 1 3 2 3 3 G a G e A s 6 9 ,7 2 7 2 ,5 9 7 4 ,9 2

4 9 5 0 5 1 In S n S b 1 1 4 ,8 2 1 1 8 ,6 9 1 2 1 ,7 5

8 1 8 2 8 3 T i P b B i 2 0 4 ,3 7 2 0 7 ,1 9 2 0 8 ,9 8

Dado su configuración electrónica, tanto el silicio como el germanio tienen cuatro (4) electrones de valencia no completando niveles p. Esto puede observarse en el extracto de la tabla periódica.


En la figura se representa la estructura del cristal .

Vemos que cada átomo tiende a compartir uno de sus cuatro electrones de valencia con cada uno de los átomos vecinos de los cuales toma también un electrón en proceso análogo.

Estructuradiamantina de un

cristal.

Para : C, Si y Ge a = 5,56 , 5,13

y 5,66 0Arespectivamente

Esta disposición de pares de electrones compartidos es lo que denominamos enlace covalente.

Debido a que el diagrama en el espacio es algo complejo, resulta conveniente, - como simplificación desde el punto de vista gráfico -, una representación en el plano. En el análisis no debe olvidarse, sin embargo, que los fenómenos ocurren en el espacio.

.

+4 +4 +4

. +4 +4 +4

+4 +4 +4


Efectos de las impurezas donantes. Sustituimos algunos átomos del semiconductor puro por otros que

presentan un electrón de valencia en exceso, pero que por lo demás, son aproximadamente iguales al átomo semiconductor puro.

En nuestro caso concreto de semiconductores de Si o Ge (grupo IV de la tabla periódica), los átomos de impurezas corresponden al grupo V. Observamos además en la figura, que aquellos elementos de la tabla periódica que guardan en todos los aspectos mayor semejanza con los átomos de SI y Ge son el fósforo (P) y el arsénico (As). La

impureza encajará sin dificultad en la estructura covalente quedando un electrón sobrante.

I I I B I V B V B

5 6 7 B C N 1 0 , 8 1 1 2 , 0 1 1 4 , 0 0

1 3 1 4 1 5 A l S i P 2 6 , 9 8 2 8 , 0 8 3 0 , 9 7

3 1 3 2 3 3 G a G e A s 6 9 , 7 2 7 2 , 5 9 7 4 , 9 2

4 9 5 0 5 1 I n S n S b 1 1 4 , 8 2 1 1 8 , 6 9 1 2 1 , 7 5

8 1 8 2 8 3 T i P b B i 2 0 4 , 3 7 2 0 7 , 1 9 2 0 8 , 9 8

Éste queda sin cumplir función alguna en los enlaces que mantienen la unidad del cristal y realiza movimientos orbitales alrededor de la impureza. Las impurezas de este tipo, átomos pentavalentes que suministran al cristal electrones que pueden ser liberados fácilmente, (con energías menores a 0,1 eV) son las impurezas donantes.

El semiconductor así constituido es de tipo n porque conduce la corriente principalmente mediante electrones de conducción cargados negativamente. En este caso de semiconductor tipo n, los electrones de conducción son los portadores mayoritarios de corriente.

.

+4 +4 +4

. Θ

+4 +5 +4

+4 +4 +4


Efecto de las impurezas aceptantes. Nuevamente consideremos el semiconductor puro.

Sustituyamos alguno de sus átomos por otros de características similares, pero que presentan un electrón de valencia en defecto. Los átomos que pueden constituirse en impurezas debido a su similitud con los de Si o Ge son el aluminio (Al), el galio (Ga), y el indio (In). Estos pertenecen al grupo III de la tabla periódica. Cuando uno de los átomos no

completa su estructura de enlaces con los átomos vecinos, se crea una falta o vacante de electrones, llamada hueco que tiene asociada una carga positiva. Esto es así debido a que es la falta de algo negativo.

I I I B I V B V B

5 6 7 B C N 1 0 , 8 1 1 2 , 0 1 1 4 , 0 0

1 3 1 4 1 5 A l S i P 2 6 , 9 8 2 8 , 0 8 3 0 , 9 7

3 1 3 2 3 3 G a G e A s 6 9 , 7 2 7 2 , 5 9 7 4 , 9 2

4 9 5 0 5 1 I n S n S b 1 1 4 , 8 2 1 1 8 , 6 9 1 2 1 , 7 5

8 1 8 2 8 3 T i P b B i 2 0 4 , 3 7 2 0 7 , 1 9 2 0 8 , 9 8

Como las fuerzas de enlace en un cristal covalente son muy intensas, el hueco es muy atractivo para los electrones que constituyen los demás enlaces en el cristal. En consecuencia, uno de los electrones ligados podrá saltar a la vacante, creando a su vez una nueva que a su vez será atractiva para los demás electrones de valencia.

Las impurezas de este tipo, - átomos trivalentes -, se llaman aceptantes y como añaden huecos al material hacen al semiconductor de tipo p. En este caso la circulación de corriente se explica por desplazamiento de los huecos o faltantes de electrones, que se constituyen en portadores mayoritarios para el material tipo p.

.

+4 +4 +4

. ⊕ +4 +3 +4

+4 +4 +4


Nota La descripción que acabamos de hacer del movimiento de los electrones y los huecos responde al llamado modelo de enlaces. Esta es una simplificación que emplea una imagen clásica. En este modelo el hueco está localizado en una longitud de pocos A0, esencialmente en las dimensiones del átomo. Si aplicamos el principio de incertidumbre de Heisemberg, vemos que a la temperatura ambiente ( T = 300° K ), la partícula, tratada como gas ideal, tendrá: energía cinética media por grado de libertad = ½ kT debido a lo cual: ½ m v2 = 3/2 kT de lo cual resulta que a temperatura ambiente: v = 107 cm/seg. Si por sencillez suponemos que el movimiento aleatorio de una partícula sitúa su energía con aproximadamente la misma probabilidad en cualquier valor del intervalo comprendido entre un tercio y el triple de su valor medio, entonces vale: ΔP ≈ m v h luego, por el principio de incertidumbre : Δr ≈ ------ ≈ 60 A0

m v Como la separación entre átomos de la red cristalina es de 2 a 2,5A0, se deduce que la localización del hueco en una esfera de R = 60 A0 (Δr), se extiende sobre unos 7000 átomos. Por lo tanto, la noción de hueco que salta entre átomos vecinos, en su movimiento aleatorio, carece de significado físico. Deducimos que el modelo presentado solo nos sirve para tener presentes los resultados principales referentes a los electrones de conducción y a los huecos, pero no como representaciones precisas de su dinámica. Volver


Modificación de la estructura de bandas debida a las impurezas sustitucionales.

El diagrama de bandas de energía de un material semiconductor puro se altera por el agregado de impurezas.

Energía de los electrones

banda de conducción

Eg ≈ 1eV

banda de valencia

Es necesario ubicar en él los estados de energía permitidos de los átomos donantes y aceptantes, según sean los materiales tipo n o p respectivamente.

Agregado de impurezas donantes. Si en un cristal muy puro de un semiconductor, - silicio o germanio-, se añade una impureza donante se producen los siguientes cambios en su estructura electrónica: ♦ la impureza deja los estados energéticos permitidos y prohibidos del semiconductor puro esencialmente intactos e inalterados. ♦ por cada impureza añadida aparece un nuevo estado electrónico.

♦ El electrón sobrante del átomo donante no se encuentra en libertad de deambular por el cristal sino que realiza movimientos similares a los de los electrones en sus órbitas atómicas alrededor de la impureza sin constituir un enlace en la red.

El estado energético correspondiente (Ed) no coincide por lo tanto ni con la banda de valencia ni con la de conducción. Este estado energético se encuentra en la banda prohibida próximo al fondo de la banda de conducción (Ec). El nivel del donante Ed se encuentra aproximadamente a: 0,01 eV para el germanio 0,04 eV para el silicio por debajo de Ec .

Energía de los electrones banda de conducción

Ec • • • • • • Ed

Eg

banda de valencia


Nota : No es contradicción aceptar que dentro de la banda prohibida existan estados permitidos. La banda prohibida es del semiconductor, mientras que los estados permitidos son de las impurezas. ♦ A temperaturas muy bajas (próximas al 00 K) el nuevo estado se encuentra ocupado por el electrón adicional procedente de la impureza. Agregado de impurezas aceptantes De manera similar, se pueden incorporar a un cristal puro impurezas controladas de valencia tres (3) que producen, en el diagrama de bandas, cambios similares a los vistos anteriormente. Podemos sintetizar: ♦ Las bandas del semiconductor quedan esencialmente inalteradas. ♦ Por cada impureza añadida aparece un nuevo estado electrónico.

♦ La ubicación del estado electrónico en el diagrama de bandas del semiconductor puro es próxima al tope de la banda de valencia (Ev) y dentro de la banda prohibida.

♦ La diferencia entre el nivel aceptante (Ea) y Ev es: 0,01 para el germanio 0,05 para el silicio por arriba de la banda de valencia


Eg

Ea . Ev banda de valencia

♦ El nuevo estado se encuentra vacío a temperaturas muy bajas, pero puede ser ocupado por un electrón excitado térmicamente desde la banda de valencia. En este caso el electrón excitado al nivel aceptante deja atrás huecos en la banda de valencia.


Nota : En las figuras siguientes se grafican los niveles energéticos de distintas impurezas del Si. En ellas, los niveles por arriba del centro del Gap o banda energética prohibida, se miden desde la base de la banda de conducción hacia abajo. Son niveles donantes a menos que se los indique con una A. Los niveles por abajo del centro del Gap se miden desde el tope de la banda de valencia hacia arriba. Son niveles aceptantes a menos que se los indique con una D.

Niveles energéticos de impurezas en Si a 300 0K

Li Sb P As Bi Te Ti C Mg Se Cr Ta Cs Ba S Mn Ag Cd Pt Si .069 .14 .21 .11A . 14 .2A.033 .039 .045 .054 .3 .32

.25 .25A .25 .26 .25A .4 .41 .43 .43 .36A .45A .34A

donantes .53 . .42 .5 .5 .48 .55 .36 .49D aceptantes .35D .45D .33D .3 .17 .3D .19D

1,12 eV Centro del gap

Niveles energéticos de impurezas en Si a 300 0K

.11A .22 .31A .28 .27 .17 .16 .14

.25 .25A .26 .25 .3 .38A .35A .33 .36A donantes .55A .54A .53A .49 .53 .37 .51 .51. .42 .4 .34D .33D .5D .5D .4 .34D .37 .41 .4 aceptantes .3 .34 .35D .35 .072 .16 .17 .26 .29D .23 .30D .25D .24 .35D .27 .31D .045 .067

B Al Ga In Tl Pd Na Be Zn Au Co V Ni Mo Mg Zr Ge Cu K Sn W Pb O Fe

1,12 eV Centro del gap

Bandas de impurezas. Cuando la concentración de impurezas es muy grande (Ni >1018)y los niveles donantes (o aceptantes) interaccionan entre sí, el principio de exclusión de Pauli provoca el desdoblamiento de niveles generando una banda permitida de impurezas dentro de la banda prohibida del cristal. Las siguientes figuras representan los modelos en este caso.



banda de conducción Ec banda de las impurezas donantes

. Ev banda de valencia


banda de conducción Ec

banda de las impurezas aceptantes Ev banda de valencia

Prácticamente la banda de impurezas se puede hacer crecer hasta el punto de hacer desaparecer la banda prohibida. De esto ultimo surge que la banda de impurezas se puede hacer crecer paulatinamente a lo largo del semiconductor hasta convertirlo en un conductor , permitiendo que la union conductoer semiconductor se realice en forma continua. Ambas situaciones se observan en la figura siguiente:

E n ergía de los electron es ban da de con ducción

. E c

E g E g = 0

. E v ban da de va len cia

Impurezas indeseables. En muchos procesos de fabricación de cristales es imposible evitar que el material puro no incorpore impurezas indeseables. Las impurezas indeseables agregaran niveles energéticos al material, algunos de los cuales, - los que se encuentran dentro de la banda prohibida -, alteraran las propiedades eléctricas y ópticas del material.


Un ejemplo típico indeseable de impurificación es el que se produce durante el proceso de fabricación del monocristal silicio al incorporar oxígeno como impureza.

La impureza oxígeno genera niveles de impureza aproximadamente en la mitad de la banda prohibida.


niveles de impurezas

banda de valencia

Estos niveles de impurezas indeseables limitan las transiciones electrónicas de una a otra banda.

Nota: Las imperfecciones cristalográficas de la red (dislocaciones, etc) generan, del mismo modo que las impurezas indeseables, niveles energéticos dentro de la banda prohibida. Puesto que éstos alteraran las propiedades del material, se busca que estas imperfecciones sean las menores posibles.

Nota: Se pude considerar a la superficie del material como una discontinuidad de la red cristalina. En consecuencia, sobre ésta existirán enlaces incompletos que darán lugar a la aparición de gran número de estados cuánticos. Es decir esto causará que en la superficie del material exista un mayor número de estados cuánticos que en su interior. Es esperable por ello que las propiedades en la superficie del material sean distintas a las de su interior. Más adelante analizaremos este tema con mayor profundidad. Impurezas en conductores.

Como es previsible, las impurezas no existen sólo asociadas a los

semiconductores. Las impurezas en un conductor generarán niveles energéticos que caerán necesariamente dentro de la banda continua conducción-valencia de éste. Sus efectos serán la alteración de las propiedades eléctricas y magnéticas del material puro. En la figura siguiente se observa la resistividad de tres muestras de sodio con impurezas diferentes. Obsérvese que se puede escribir:

ρ = ρi + ρt ,


Ésta es la llamada regla de Mathiessen, donde:

ρi (resistividad residual) es la resistividad del metal debido a las impurezas. Ésta resulta independiente de la temperatura, aunque varía de una muestra a otra. ρt es la resistividad debida a las

vibraciones térmicas, por lo cual aumenta con la temperatura.

ρ (Resistividad) en Ω.m

2.10-2

1.10-2

10 20 T (0K)

Volver Metalizaciones Las metalizaciones que se emplean en los circuitos integrados constituyen un ejemplo de material que es frecuentemente objeto de impurificación. La metalización en integrados se realiza tanto para hacer contactos al semiconductor como para transportar la corriente de un dispositivo a otro del circuito integrado, formando las denominadas pistas conductoras. Las metalizaciones ocupan alrededor del 60% del área de un chip y por lo tanto tienen una influencia esencial en todos los aspectos relacionados con la reducción del tamaño de los chips. Del mismo modo, la mayor parte de los fallos detectados en los circuitos integrados se debe a las metalizaciones. Para mejorar las prestaciones de éstas, los metales empleados se impurifican para mejorar sus propiedades, estas impurificaciones dependen del uso y del problema a resolver. ♠ Materiales para contactos óhmicos Los contactos de tipo óhmico son aquellos contactos metal-semiconductor que presentan la menor resistencia posible al paso de


corriente. Sin embargo lo reducido de los modernos componentes hace que la resistencia de contacto no sea tan despreciable. El material inicialmente usado para contactos fue el aluminio, pero este material presenta el problema que se disuelve parcialmente en el silicio con el que entra en contacto produciendo efectos muy adversos: cortocircuitos. Estos problemas se pueden paliar en parte si en vez de depositar aluminio puro se deposita una aleación sobresaturada de Si(2%) con lo que se evita el efecto anterior. ♠ Materiales para pistas conductoras La corriente que circula por las pistas conductoras de un circuito integrado es baja. Sin embargo, debido a su pequeña sección transversal, la densidad de la misma puede alcanzar valores de hasta 106 amperios/cm2. Un problema muy grande que destruye muchas pistas conductoras es la electromigración. Este efecto se produce cuando la densidad de corriente es tan elevada que un número relativamente grande de átomos es desplazado de su posición de equilibrio por choques con los electrones que transportan la corriente. Como consecuencia de este proceso, hay lugares que quedan desprovistos de átomos del material conductor produciéndose un circuito abierto que impide la posterior circulación de corriente. Estos átomos desplazados pueden acumularse en otras zonas de la pista conductora, la que aumenta de tamaño pudiendo llegar a contactar una línea conductora cercana con lo que se produce un cortocircuito. Las líneas de interconexión fabricadas con aluminio del tipo Si(2%)Al son bastante sensibles a los fenómenos de electromigración. Sin embargo la adición de pequeñas cantidades de cobre mejora mucho las propiedades frente a este problema. Esto es debido, al parecer, a que los átomos de cobre se colocan en las juntas de grano de los policristales del material conductor evitando la difusión de átomos a lo largo de la pista conductora.


Impurezas en aisladores. En la banda prohibida de un material, sea cristalino o no, aparecen niveles debido a imperfecciones de diverso tipo, tales como dislocaciones, átomos de impurezas extraños, átomos del material en exceso o defecto, estructuras en forma de mosaico, etc. Tengamos en cuenta que estos niveles en un aislador son muy pocos y por lo tanto no alteran la posición energética del nivel de Fermi, el cual se encuentra aproximadamente en el centro de la banda prohibida. Estos niveles en cuanto a sus efectos son totalmente equivalentes a los de impurezas; por este motivo hablaremos indistintamente de ambos. Estos niveles aparecen distribuidos en todo el Gap, obviamente, algunos más cerca de la banda de conducción y otros más cerca de la banda de valencia, según sea su origen. En particular, los niveles provenientes de dislocaciones y otros defectos de la red aparecerán cerca de la banda de conducción.

En general en los aisladores podemos encontrarnos con dos tipos de niveles: los indeseables y los que pueden ser incorporadas a éstos para obtener propiedades específicas.

Existen diferencias en el origen y la ubicación energética de estos

niveles en el aislador según sea el tipo de enlace molecular y/o su estructura cristalina, a saber: ♦ En cristales iónicos las imperfecciones de la red provienen del exceso o defecto de iones y/o electrones. Podemos citar, por ejemplo: átomos intersticiales, impurezas de valencia en exceso o defecto, etc. ♦ En materiales amorfos, en general, los niveles indeseables que suelen ser producto del proceso de fabricación del material, comprenden una larga variedad de defectos que han sido ya enumerados. En general, éstos generan niveles en la banda prohibida cercanos a la banda de conducción, hasta 1eV por debajo de ella.


Estos niveles son equivalentes a los niveles de impurezas de un semiconductor tipo n, excepto que se encuentran en menor cantidad A temperatura ambiente unos pocos electrones de impurezas se encuentran en la banda de conducción pudiendo desplazarse por todo el material. Éstos son los causantes del campo interno de los dieléctricos así como de su calentamiento al operar en alta frecuencia. Se puede decir que son en gran medida determinantes del proceso de ruptura dieléctrica.

Nota:



≈1eV

Eg ≈ 5 eV

banda de valencia

En los componentes electrónicos, el SiO2 es usado como aislador. Durante el proceso de fabricación de estos dispositivos es inevitable la aparición de impurezas en el óxido, - iones de K+ y P+ -, como así cargas positivas y negativas atrapadas en el óxido, las cuales afectan el funcionamiento de los dispositivos. Un tratamiento más extenso del tema se realizará más adelante.

Nota: En algunos cristales preciosos las impurezas son responsables del color de la gema. Por ejemplo, el corindón puro (Al2O3) debería ser transparente, pero el rubí (que es Al2O3 con algunas impurezas de cromo) es de color rojo. Esto es debido a una fuerte absorción de la región verde del espectro por los átomos de cromo.

Energía de los electrones banda de conducción ≈1eV ≈1eV


♦ En alguno de ellos se introducen impurezas que logran que el salto de los electrones de una banda a la otra se realice a través de determinados niveles específicos que hacen a la aplicación. Éste es el caso de un láser, un cristal de centelleo. Este último se esquematiza en la figura.


Partículas en el sólido cristalino.

Existen partículas de singular importancia dentro del sólido cristalino que intervienen en muchos de los procesos físicos internos. Estas partículas están caracterizadas por la cuantificación de la energía por lo que su naturaleza es cuántica. Como una alternativa de clasificación podemos dividirlas en dos grupos: Las que poseen carga y las que no.

♦ Las partículas que transportan carga son: el electrón de conducción el electrón de valencia el hueco Si bien parecería que nos referirnos al electrón con distintos nombres, hay que tener en cuenta que éste, al estar sometido a la interacción con la red, reacciona en forma distinta frente a una misma acción externa. Empleando las leyes de la dinámica es fácil corroborar esta afirmación. Si: F m = --------- a Entonces, frente a la aplicación de una misma fuerza F , a será distinta según en qué banda se encuentre o qué carga tenga:

⇒ actuarán como partículas de distinta masa y/o carga

masa carga

electrón libre me − e electrón de conducción m*c − e con : me < m*c < m*v =mh

electrón de valencia m*v − e hueco mh + e

A éstas las analizaremos en profundidad más adelante. ♦ Las partículas no cargadas que transportan energía-momento son:


el fotón el fonón el plasmón

interacción asociada a energía momento

fotón electromagnética emisión por E = hν p = hν/c decaimiento electrónico

fonón mecánica vibración E = hν p = hν/v de la red con v << c

plasmón mecánica vibración E = hν colectiva de electrones o huecos

Analicemos la variedad de estas últimas: ♣ Fotón. Es la partícula asociada a una radiación electromagnética. Su energía E = hν está determinada por la frecuencia de la radiación. Su momento p = hν / c es muy débil. Su masa m = E / c2 es despreciable dentro del sólido. (c: velocidad de la luz ) Los fotones transportan energía de un lugar a otro del cristal. Un fotón nace, por ejemplo, cuando un electrón y un hueco se constituyen en un enlace o se recombinan transportando la energía que el electrón perdió al caer en ese pozo de potencial. El fotón muere cuando impacta sobre un electrón cediéndole energía suficiente para separarse del hueco, rompiendo el enlace. ♣ Fonón El fonón es la partícula asociada a una vibración mecánica de la estructura cristalina. La onda de vibración mecánica se propaga y su energía esta cuantificada y asociada a la frecuencia de vibración.


La energía de esta onda puede variar dentro de amplios límites, por lo cual la frecuencia asociada abarca un espectro amplio de posibilidades. Existen así fonones sónicos y ópticos, según que la frecuencia varíe desde valores audibles, hasta valores correspondientes a las frecuencias lumínicas. De todos modos cualesquiera sea su frecuencia, la vibración es mecánica y no de carácter electromagnético, vibrando la estructura cristalina . La energía E = hν (como partícula cuántica ) El momento p = h ν / v = h / λ , siendo λ = v / ν ,como en toda onda que viaja a la velocidad v . Para una misma frecuencia, - o misma energía-, se observa que el momento del fonón es muy superior al del fotón, ya que v << c, por lo cual resulta : λfonón << λfotón y el momento pfonón >> pfotón. El concepto de temperatura esta íntimamente ligado a la existencia de fonones. Su número aumenta al aumentar la temperatura. Al chocar un fonón contra un electrón que forma un enlace le transfiere no sólo energía sino también cantidad de movimiento. De esta forma libera al electrón dejando un hueco . Si se unen un electrón y un hueco reconstruyendo un enlace, la energía que se desprende determina nuevos fonones. ♣ Plasmón El plasmón es la partícula asociada a una vibración mecánica colectiva de los electrones o los huecos. La onda de energía mecánica se propaga en el gas de electrones o de huecos. Su energía esta cuantizada y puede hallarse una frecuencia asociada a ella. Para que un plasmón pueda propagarse, es necesario que la densidad de portadores sea muy grande debido a que la energía pasa de uno a otro por interacción entre ellos. El plasmón es de mayor importancia práctica en los metales donde el número de portadores es del orden de 1023 electrones / cm3. Las frecuencias del plasmón en los metales es del orden de las del rango lumínico, pero no debe olvidarse que la naturaleza de la vibración es mecánica.


Efecto de las impurezas en los sólidos amorfos Mediante el agregado de impurezas es posible alterar sustancialmente el comportamiento eléctrico y/o óptico de un material dado; de esta forma un polímero supuestamente aislador puede ser convertido en un conductor o en un semiconductor. No es objetivo de este curso tratar con profundidad todos los posibles efectos de las impurezas en todos los materiales, ni detallar todos los mecanismos físicos por los cuales se produce la conducción eléctrica en éstos. Veamos los casos que consideramos más formativos. Efecto de las impurezas en los polímeros Como sabemos, los polímeros son materiales aislantes, es decir no conducen la corriente eléctrica, y de hecho, tienen aplicaciones como aislantes de cables. A partir del descubrimiento en 1973 que el polímero plilitiancil (SN) es conductor se ha comenzado una intensa investigación en polímeros conductores. Varias son las formas de convertir el material aislante en conductor. Una de ellas es similar a como se convierte el silicio que en estado puro a temperatura ambiente es aislante, en semiconductor, mediante el agregado de pequeñas cantidades de impurezas. Polímeros conductores. Una primera posibilidad de convertir el polímero en conductor consiste en doparlo con átomos o moléculas donadoras de electrones. (dopaje tipo N ). En 1977 se descubrió que un polímero muy típico como el poliacetileno aumentaba tremendamente su conductividad eléctrica mediante el agregado de pequeñas cantidades de elementos tales como el iodo, bromo, litio y pentafloruro de arsénico (AsF).

La figura muestra cómo la conductividad eléctrica del poliacetileno se puede aumentar hasta en ocho órdenes de magnitud.

Otros muchos polímeros conductores han sintetizados desde 1979, destacándose entre ellos el tetrafloruro de polipirriol y varios poliparafetilenos dopados con AsF o metales alcalinos.


log σ

+2 (CH(ASF2)x)n

0 ( CHIx)n

(CHBrx)n - 2

- 4

- 6 molar 5% 10% 15%

La conductividad eléctrica de estos materiales en función de la temperatura se representa en la figura.

Tc = 0,3 K 106 Grafito +AsF5

10 5 (SNb0,4)x Fe (SN)x 104 Si

103 n-Ge {CH(AsF6 )0,1}4

102 {(PPP) (AsF6)0,4}4

101 KCP {(PPS)(AsF6)1,45}4 100 {PPV(AsF5)}4

50 100 150 200 250 300 350 T ( 0K)

El polímero con

mayor conductividad eléctrica que se ha desarrollado es el SNBr. Su conductividad se ubica tan sólo dos órdenes de magnitud por debajo del cobre. En el contacto metal-polímero éste actúa como un semiconductor.

Efecto de las impurezas en los vidrios. El agregado de impurezas a los vidrios altera sus propiedades. Podemos caracterizar algunas de estas modificaciones:


• Propiedades mecánicas: se puede disminuir la temperatura de reblandecimiento. Los vidrios de cuarzo ( SG ) {silicon glass} presentan fluidez a temperaturas muy altas.

Los vidrios tipos fosfosilicatos (PSG) conteniendo una proporción de fósforo entre el 6 y 8% son excelentes aislantes. Éstos permiten obtener, una vez depositados, superficies totalmente planas a temperaturas de 10000C a 11000C. Cuando no es posible alcanzar dichas temperaturas se emplean los vidrios borofosforosilicatos (BPSG) que adquieren fluidez a 8000C. Esta disminución del punto de fluidez permite el uso de estos últimos como recubrimiento de los chips electrónicos al final del proceso.

• Propiedades ópticas: se pueden modificar las propiedades ópticas de varias formas. Las estudiaremos según el material resultante tenga propiedades ópticas lineales o no lineales.

♠ Materiales lineales - Guías de ondas El fenómeno de guiar luz a través de un camino no necesariamente recto es conocido hace mas de 100 años y se realiza a través de las guías de ondas. Éstas pueden ser monodimensionales, fibras ópticas o planares. La figura presenta el comportamiento de una fibra óptica, en donde se observa cómo la luz, mediante reflexiones interiores, es guiada en dirección de la fibra.

En su centro, ésta puede presentar un perfil de índice de forma cuadrada que impide que la luz escape.

Indice de refracción Indice de refracción 1.49 1.48

1.47 . 1.46 .

1.45 60 30 0 30 60 radio de la fibra ( micrones) radio de la fibra


A partir de la Óptica Geométrica recordamos

♦ los rayos de luz que se propaguen por el interior de una fibra, al incidir sobre una de sus paredes, se reflejarán y/o refractarán según se muestra en el recuadro:

n1 > n2 n2 sen θ2 = n1 sen θ1

θ1 por lo tanto: sen θ2 = n1 /n2 sen θ1 si n1 > n2

θ2 siempre habrá refracción n2 si n2 > n1 habrá refracción sólo para n1 < n2 θ2 < θc , donde θc = arc sen n1 /n2

θi θr para θi > θc la luz no puede pasar al θc medio 1, reflejándose en su totalidad. n2

Por lo tanto podemos concluir que dentro de una fibra sólo se propagaran los rayos que incidan con 90 ≥ θi > θc , puesto que los otros, al cabo de un número dado de reflexiones, habrán desaparecido. Esto es porque en cada reflexión también tenemos una refracción que se lleva parte de la intensidad del rayo fuera de la fibra. ♦ Por otra parte es fácil ver que si la fibra se curva, se producirán perdidas por refracción como se observa en la figura:

1 α β 2

como por causa de la curva de radio r : α < β ; si α = θc → β > θc el rayo se refractará en parte según la ley de Snell r

Es fácil ver que cuanto mayor sea r menor será la pérdida por refracción en la fibra óptica.


A partir de la Óptica Física recordamos

♦ para que un rayo de luz de longitud de onda λ pueda

propagarse a través de una rendija de diámetro D, debe ser: λ ≤ D

λ D α D.sen α

♦ si el rayo de luz incide según un ángulo α con respecto al eje de la rendija, verá una rendija de diámetro D´ = D.sen α, por lo tanto ahora sólo se podrán propagar longitudes de onda λ tales que λ ≤ D.sen α . Si la fibra es suficientemente delgada ∼ 1μ de diámetro, solo hay una posibilidad de camino para la luz (colineal con el eje de la fibra) y recibe el nombre de monomodo. La longitud de onda en este ejemplo es de 1μ = 1000 nm, corresponde al infrarrojo cercano. Recordemos que el visible comprende el intervalo 400 - 800 nm. Para fibras de mayor diámetro los caminos de transmisión aumentan y las fibras reciben el nombre de multimodo.

De la óptica cuántica recordemos que: La luz a lo largo de su trayecto pierde intensidad debido a los fenómenos de absorción y dispersión. El parámetro que mide esta perdida es el decibelio dB o decibelio por km dB/km. Un dB es definido como: dB = 10 log I/I0, donde Io es la intensidad que incide en la fibra y I la que sale por el otro extremo. En cuanto a los materiales, actualmente se comercializan: Sílice (SiO2) y los vidrios tipo ¨fluorizanatos¨ ( floruro de metales pesados ). Estos últimos nacen de mezclas tipo ZrF4-BaF2-LaF3-AlF3-NaF. El corazón de la fibra es obtenido mediante el dopaje con un óxido de boro. La evolución de la atenuación para diferentes vidrios y fibras a lo largo de la historia ha mejorado 108 veces hasta la actualidad, lo cual


permite mandar señales luminosas o información en la luz a mas de 100 km sin necesidad de repetidoras. Materiales tales como Al2S3 o GeO2 presentan mínimos de atenuación en la región de 2μ → 5μ en donde se colocaran las futuras ventanas ópticas en las comunicaciones. Fibras planares, son aquellas que guían la luz a lo largo de su superficie. La figura muestra una representación esquemática de este tipo de fibras.

Su aplicación esta dirigida actualmente hacia la óptica integrada tanto en dispositivos activos como pasivos. Los materiales usados en esta aplicación son cuarzo, Sílice, LiNbO3 y BSO . Para guiar la luz a través de una pequeña

capa delgada cerca de la superficie debe producirse un pequeño aumento del índice de refracción en esa zona. Esto se consigue bien con implantación iónica (He, O,etc.) o mediante tratamientos químicos .

n + Δn

sustrato

En la actualidad se han empezado a usar en guía de ondas planares , materiales semiconductores con estructura de pozo cuántico o super red. ♠ Materiales no lineales : Son aquellos en los cuales la respuesta del sólido a la luz presenta un comportamiento super lineal. El comportamiento no lineal más conocido es el efecto de inversión de población que da lugar a la emisión láser. Los materiales utilizados como láseres los podemos dividir en materiales dieléctricos o aisladores y semiconductores. La tabla de la página siguiente muestra los láseres sintonizables de matriz dieléctrica, que, como se puede ver, combinan la impureza que emite la radiación con la matriz que los contiene.


Con ellos se consigue emisión láser desde el visible hasta el infrarrojo (5μ ) . Es importante comentar el uso de los microláseres. Un microláser es una fibra óptica de diámetro 1-2μ (monomodo) que contiene la impureza que emite la radiación luminosa.

Material rango deoperacion

teperaturade trabajo

Ti:saphire 660-986 RTCO:M gF 1520-2280 80KCO:KznF 1650-2280 80KCo:KznF 1700-2260Co:KM gF 77KCo:Zn F 77KNiMgF 1600-1740 77K

NiKM gF 77KNi:M gO >80K

Ni:CAM GAR 80KCe:YLFCe:LaFSM:CaF 708.5 <210KHo:YAG 745 77KHo:YLF 77K

Ho:BaYF RTAlexandrite RT

Emerald 658-720Emerald 729-809 RT

Cr:ZnW O 980-1090 77KCr:ZnW O RTCr:GSAG 735-820 RTCr:GGG RTCr:LLGG RTCr:YSGG RTCr:YGG RT

Cr:GSGG RTCr:GSGG 742-842 RTCr:GSGG 766-820 RTCr:KZnF 785-865 RTV:MgF 1070-1150 RT

V:CsCaF 1240-1340 80KCr:SrAlF5 1825-1020 RT

Estos microláseres pueden ser puestos en marcha con pequeñísimas potencias de bombeo y, se estiman de gran utilidad en las comunicaciones ópticas. Los materiales empleados son fibras de sílice con iones de tierras raras y monocristales de LiNbO3 impurificados con Nd.

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Módulo VII

Los cristales en interacción con el medio ambiente.

Parte 1: En estado de equilibrio Objetivos : Estudiar el comportamiento de los cristales frente al agregado de energía externa de distinto tipo:

Energía térmica

Energía radiativa

Energía mecánica


INDIOCE: MODULO VII Efectos del agregado de energía exterior al cristal- Interpretación del incremento de la energía de los huecos y los electrones según el modelo de bandas. Efectos térmicos sobre el cristal.-Concentración de electrones y huecos en semiconductores - Semiconductores intrínsecos - Semiconductores extrínsecos - Ocupación de los estados electrónicos - Función de distribución de Fermi-Dirac. - Variación de la posición energética del nivel de Fermi con la temperatura Semiconductores en equilibrio con el medio ambiente - Concentración de electrones y de huecos. - Condición de equilibrio térmico. Efectos radiativos sobre el cristal- Rotura de enlaces por radiación electromagnética. - Respuesta espectral - Fotoemisión en conductores. - Concentración adicional de electrones y huecos en un semiconductor por excitación luminosa. Piezoelectricidad- Explicación cuántica - Cristales de cuarzo - Fabricación de laminas de cristal de cuarzo - Aplicaciones del efecto piezoeléctrico

FISICA ELECTRONICA MODULO VII 2

Efectos del agregado de energía exterior al cristal La cesión de energía exterior al material puede ser debida a diferentes orígenes. Cualquiera sea la forma en que se la provea, el efecto principal sobre la estructura del cristal es la rotura de enlaces. Esto da lugar a la aparición de tantos pares electrón-hueco como enlaces rotos (cargas liberadas) sin que afecte la neutralidad eléctrica del cristal en su conjunto. Interpretación del incremento de la energía de los huecos y los electrones según el modelo de bandas. Los diagramas de bandas representados en la figura indican energía de los electrones.


Ec energía potencial del electrón

energía potencial del hueco Ev

Cuando se incrementa la energía de un electrón, éste va a una posición superior en el diagrama de bandas. Cuando decimos que se incrementa la energía del hueco, lo que esto significa, es que se incrementa la energía de los electrones ligados (de valencia), o lo que es lo mismo, éstos toman posiciones más altas en el diagrama de bandas. Entonces, el incremento de energía de un hueco, se representa por un hueco que se mueve hacia abajo en la banda de valencia. Es importante que consideremos por último, que el nivel más bajo en la banda de conducción determina la energía del electrón de conducción cuando

está en reposo, es decir, su energía potencial; por lo que Ec es el nivel que marca la energía potencial del electrón.

Energía de los electrones • Energía cinética del Ec electrón

. Ev Energía cinética del ° hueco

En forma análoga, el extremo superior de la banda de valencia Ev representa la energía potencial de un hueco.


Si un electrón posee una energía superior al nivel Ec o un hueco posee una energía inferior al nivel electrónico Ev, éstos poseen energías cinéticas determinadas por la diferencia entre sus niveles de energías y el extremo de la banda respectivo. Las formas debido a las cuales se les transfiere suficiente energía desde el exterior a los electrones para que se liberen de sus enlaces, e incluso adquieran energía cinética son variadas. Sin embargo, hay dos efectos de gran interés. Ellos son: ♦ La cesión de energía térmica, que se manifiesta en el material con una modificación de su estado térmico. ♦ La cesión de energía luminosa, -de diferentes longitudes de onda-, o efecto producido por radiación electromagnética.

Nota : Estudiar los efectos térmicos significa estudiar cómo se comporta el material a una temperatura dada. No debe confundirse esta idea con el flujo de energía, -llamado calor-, el cual, entregado o cedido por lo que genéricamente podemos llamar sistema, y fuera de los llamados puntos correspondientes a los cambios de estado (sólido, líquido, gas), hace que la temperatura del sistema varíe. En los sólidos, la temperatura es una medida de la energía interna del material. Cuando hablamos de la temperatura en un cristal, ésta es la energía de vibración de los átomos alrededor de sus posiciones de equilibrio. Los mecanismos por los cuales se suministra energía al sólido pueden ser de distinta índole: • Radiación • Conducción • Convección • Calentamiento Joule • Calentamiento por pérdidas dieléctricas a alta frecuencia. • Etc.


Nota : Cuando hablamos de estudiar los efectos de la radiación electromagnética sobre el material, haremos una abstracción teórica, suponiendo que estamos en una situación en la cual ésta no es capaz de modificar la temperatura del material. De no ser así, estaríamos en presencia del caso anterior. Volver Efectos térmicos sobre el cristal. Podemos suponer un cristal a temperaturas muy bajas, próximas al 00K.

Sabemos por Termodinámica, que en estas condiciones, la energía promedio de los átomos de la red es mínima. Los electrones tienden a ocupar, de todos los estados disponibles, aquéllos que tienen mínima energía sin violar el principio de exclusión de Pauli. Así es como los electrones irán tomando aquel estado que corresponda a la menor energía de los que están disponibles. A 0 0 K estarán ocupados

todos los niveles energéticos permitidos hasta el nivel E1, quedando vacíos todos los estados permitidos por encima de éste.


Ei

A temperatura ambiente, la energía promedio de los átomos de la red aumenta.

Éstos vibran alrededor de sus posiciones de equilibrio. Lo mismo ocurre con los electrones de los enlaces en equilibrio térmico con el cristal.

Energía

Ei 1,3 eV a 300 0K

T ≅ 0 T > 0 conductor

Estados

Estadosparcialmente

ocupados

Estadosocupados

En este caso, la ocupación de los estados electrónicos no se efectúa en forma tan ordenada como la vista anteriormente, existiendo niveles energéticos por


encima de E1, que pueden permanecer por momentos ocupados. Es útil considerar la temperatura como un agente externo que introduce una incertidumbre en la energía de cada electrón. Sin embargo ningún electrón puede violar el principio de exclusión de Pauli y el incremento o disminución de energía puede ocurrir sólo si el estado que el electrón asume se halla originalmente vacío. Esto determina que haya una franja de niveles de energía (para T>00K) que parte del tiempo estén ocupados y parte vacíos. Se puede hallar en promedio el ancho de esta franja de energías para cada temperatura, encontrándose que a T = 300 0K, su valor es 1,3eV.

En un semiconductor, -en el que Eg es en algunos casos bastante menor al electrón voltio-, una variación de la energía de 1,3eV genera en la banda de conducción, -vacía a 0 0K-, un cierto número de portadores. En cambio en caso de un aislante, -con Eg ≥ 2 eV-, el efecto energético de la temperatura no es suficiente para generar portadores en la banda de conducción. En el caso de los conductores, el efecto de la

temperatura los hace que los electrones puedan trasladarse a niveles más altos de energía, que estaban vacíos a 0 0K.

Energía

Ei

AsGa Si Ge

En algunos casos puede incluso lograrse extraer electrones del metal. ♠ Efecto termoiónico

Emisión de electrones en los metales por efecto térmico Para liberar un electrón de un cuerpo, es decir, para que el electrón sea emitido por la superficie, éste debe tener: • una cantidad de energía suficiente para vencer las fuerzas superficiales que lo ligan al cuerpo. • una velocidad dirigida hacia el exterior.


La agitación térmica da a los electrones movimientos de vibración aleatorios. Para la emisión es necesario considerar sólo aquellos electrones de alta energía cuyas velocidades tengan componente normal a la superficie dirigidas hacia el exterior; de ahí, que sólo haya algunos electrones en esas condiciones. La cantidad de energía que un electrón debe poseer para que escape de la superficie es Eb.

Ésta depende del material y del estado de la superficie. La energía suplementaria por sobre la más alta a 00K, (E1 en la figura), que hay que proveer para la emisión, es la llamada trabajo de extracción o función trabajo del material W. Normalmente se

expresa:

Energía vacío metal vacío

W

Eb = E0v − E0m E1

xenergía de un electrón en

reposo en el metal E0m

energía de unelectrón enreposo en el

vacío E0v

W = Eb − E1 siendo Eb : energía barrera E1 : energía más alta de los electrones a 00K. La corriente de emisión para una dada superficie unidad, a una determinada temperatura, puede expresarse según la ecuación:

I = Ao S T2 e− e W/kT

donde suele llamarse b0 = eW/k 4 π m e k2

e : carga del electrón S : área de la superficie emisora T: temperatura absoluta k : constante de Boltzmann W: función trabajo h : constante de Planck

siendo A0 = --------------

h3

Esta ecuación es la llamada de Dusman-Richardson.

Con ella puede predecirse la corriente de emisión de todo metal de propiedades conocidas a la temperatura T.


Ésta sirve para proyectar dispositivos de emisión termoelectrónica e indica también el límite de corriente impuesto en su funcionamiento.

La tabla siguiente muestra los valores de las constantes de emisión

para distintos materiales.

Material A0 x104

amp/m2/grado2b0 Ew

eVPunto de fusión 0K

Carbono 60,2 54500 4,70 ..............Cesio 16,2 21000 1,81 301Molibdeno 60,2 49900 4,30 2895Níquel 26,8 32100 5,00 1725Platino 32,0 61700 5,32 2047Tantalio 60,2 47600 4,10 3123Torio 60,2 39400 3,40 2118Tungsteno 60,2 52400 4,52 3655

Valores de las constantes de emisión para algunos metales

Debido a la dependencia entre la temperatura y la corriente de emisión, las válvulas electrónicas deben funcionar en un margen de temperaturas relativamente limitado, correspondiendo el límite inferior de temperaturas a la temperatura que da emisión suficiente y el superior es determinado por la temperatura de fusión del material.

En la figura se observa la

variación de la densidad de emisión en función de la temperatura para el tungsteno en su margen normal de trabajo. De todo lo anterior podemos deducir que las condiciones que deben reunir los materiales adecuados para funcionar como emisores electrónicos son: • conductores de baja función trabajo • estabilidad mecánica a altas temperaturas. Los materiales de empleo más frecuente en la construcción

de cátodos o emisores de válvulas electrónicas se especifican en la tabla siguiente. En ella aparecen sólo los datos más relevantes.

Emisión ( A/ cm2 ) 2,0

1,5

1,0

0,5

0 2400 2500 2600 2700

Temperatura 0 K


Material A0 x 104 b0 Ew eV

Rendimiento deemisión

mA/Vatio

Temperatura de trabajo0K

Tungsteno 60,20 52400 4,52 4 a 20 2500 a 2600Tungsteno toriado 3,00 30500 2,60 50 a 100 1900 a 2000Revestidos de oxidos 0,01 11600 1,00 100 a 10000 1000 a 1200

Características de los materiales para cátodos usuales

Concentración de electrones y huecos en semiconductores • Semiconductores intrínsecos Según hemos visto, se denominan semiconductores intrínsecos a los semiconductores totalmente puros. En éstos, por cada electrón excitado que pasa a la banda de conducción queda un hueco en la banda de valencia. Dicho de otra forma, la concentración n de electrones es igual a la concentración de huecos p .

ni (cm -3 )

1018

1017

1016

1015

GaAs Si Ge 1014

Eg = 1,4 eV 1,1 0,7 1013

1012

1011

1010

0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 1000 / T(0K)

Llamamos a ésta concentración intrínseca del semiconductor ni, pudiendo expresarse que: p = n = ni.


De acuerdo a lo ya analizado, la concentración intrínseca es una función de la energía vibracional de la red o temperatura. Por otro lado, ni es función de la energía requerida para romper un enlace, es decir, de Eg. Ambas dependencias fueron corroboradas en forma experimental para distintos

semiconductores, concluyéndose que:

1019 12001018 9001017 7001016 6001015 portadores /cm3 500

n ≥ 1014 para el Silicio 4501013 a 0K 4001012 3501011 3201010 290109 265108 250

entre :T=100 0C y 0 0CΔn ≅1000

♦ Para un dado semiconductor, ni aumenta rápidamente con el aumento de la temperatura. ♦ Para una dada temperatura ni disminuye bruscamente con el aumento de Eg. Mediante un análisis minucioso podemos hallar la expresión cuantitativa entre ambas dependencias. Ésta es: ni ∝ e −Ea / kT

donde Ea la energía de activación aproximadamente igual a Eg /2 Podemos observar en la figura siguiente cómo se hacen manifiestas estas dependencias.

Si quisiéramos dar forma numérica a la proporcionalidad que expresamos sería necesario recurrir a la función de distribución de Fermi Dirac, - (ver Anexo)-, con lo que se puede deducir:

ni = 2 ( 2 π m k T / h2 ) 3/2 ,

para Eg >> kT donde : m masa del electrón

h la constante de Plank k la constante de Boltzman


Nota : Debido a que kT a temperatura ambiente es de 8,6. 10-5 eV, (kT<< Eg ), la dependencia de ni con la temperatura proviene del término exponencial. Esta concentración es el resultado del equilibrio dinámico entre pares de electrón y hueco que se crean incesantemente y otros tantos que se recombinan. Semiconductores extrínsecos Tipo n Según vimos en los semiconductores extrínsecos tipo n, los donantes suministran niveles de energía que están representados como niveles localizados en la banda prohibida. La diferencia de energía entre Eg y Ed corresponde a la energía de ionización del electrón adicional del donante, el cual, al ganar esta energía, pasa a la banda de conducción. Esto ocurre para los donantes a temperaturas más bajas que en el caso del semiconductor intrínseco. Aproximadamente a 50 0K prácticamente todos los átomos de impurezas están ionizados con lo que se alcanza lo que se llama ionización completa. Podemos afirmar que dada esta condición, la concentración de electrones n = Nd donde Nd es la concentración de impurezas donantes del cristal. A partir de la temperatura para la cual se produce la ionización completa, Nd es independiente de ella. Podemos ver en la figura la dependencia con la temperatura de la concentración de portadores en un semiconductor extrínseco tipo n.

Según la figura vemos que a bajas temperaturas, (región 1), la concentración de electrones n proviene de las impurezas donantes.

n (cm -3 ) S i l ic io t ip o N 3 .1 0 1 6

2 .1 0 1 6

n 1 .1 0 1 6

n i

O. VON PAMEL S. MARCHISIO 11 0 0 1 0 0 2 0 0 3 0 0 4 0 0 5 0 0 6 0 0 7 0 0 T (0 K )

La posición de la curva depende de la concentración de donantes, y su pendiente, de la energía de ionización Ed. Una vez ionizados todos los donantes se considera la región 2, donde la concentración de portadores no cambia básicamente. Finalmente a temperaturas más elevadas (región 3) se produce la excitación a través de la banda prohibida. La pendiente en esta región es igual a la de los semiconductores intrínsecos, o sea: Eg / 2k . La temperatura a la cual la cantidad n = Nd recibe el nombre de temperatura intrínseca. Ésta marca el límite en el cual se pierden las características extrínsecas del material.

La siguiente gráfica permite comparar la evolución de n con la temperatura para distintos semiconductores extrínsecos.

n (cm-3) Silicio y Germanio tipos N 3.1016

2.1016

n Si 1.1016

Ge ni

0 0 100 200 300 400 500 600 700 T(0K)

En ella se observan las concentraciones de portadores con la temperatura del Si dopado con arsénico (1,15 e16 átomos/cm3 ) y del Ge dopado con arsénico ( 7,5.e15 atomos/cm3 ).

Tipo p. Si analizamos lo que ocurre en el caso en que los átomos de impurezas son aceptantes, las condiciones son similares.


Vimos ya que el semiconductor tipo p tiene niveles de impurezas aceptantes dentro de la banda prohibida cerca de la banda de valencia y la magnitud de la energía de ionización de los huecos es del mismo orden que la de los donantes. Si revemos el diagrama de la figura anterior, la concentración de huecos a temperaturas bajas será la que corresponde a las impurezas aceptantes, por lo que: p = Na A temperaturas intermedias (región 2), la concentración de impurezas se hace independiente de la temperatura, puesto que estamos en zona de ionización completa. A temperaturas más altas (región 3), la concentración de portadores, respecto a la temperatura, coincide con la del semiconductor intrínseco. En general tanto impurezas donantes como aceptantes están presentes simultáneamente, por lo que la concentración de los correspondientes portadores mayoritarios va a estar dadas por:

n = Nd − Na si Nd > Na

p = Na − Nd si Na > Nd

Por último puede adelantarse que la concentración de portadores y su variación con la temperatura resultan elementos de suma importancia en el análisis de la conductividad de un dado material. Veremos esa dependencia en detalle en el estudio del movimiento de portadores. ( Fenómeno de conducción) Ocupación de los estados electrónicos En los capítulos previos hemos visto que los electrones pueden tener distintos niveles de energía. Para cada nivel de energía existe un número de estados cuánticos que pueden ser llenados por electrones. Estos estados cuánticos pueden estar ocupados o no. Vamos a analizar ahora qué es lo que determina la probabilidad que un estado energético dado esté ocupado o no por un electrón. Dado que las partículas con las que tratamos son de origen cuántico, no se puede describir el fenómeno mediante el empleo de una estadística clásica como es la de Maxwell-Boltzman. (Ver Anexo)


En estos casos debemos emplear las estadísticas cuánticas desarrolladas para describirlas. Éstas son las de Bose-Einstein, que se emplea para describir partículas de spin entero, y la de Fermi-Dirac que se emplea para el caso de las partículas que poseen spin semientero. Como nos interesa estudiar la probabilidad de ocupación de estados por electrones (spin ½ ) aplicaremos los resultados de la estadística de Fermi-Dirac. Función de distribución de Fermi-Dirac. La distribución de energías de los electrones en un sólido está determinado por las leyes de la estadística de Fermi-Dirac. Su principal resultado nos da la probabilidad de que un estado electrónico de energía E esté ocupado por un electrón, siendo:

E : nivel de energía considerado

1 k : constante de Boltzman f ( E ) = ----------------------- T : temperatura absoluta 1 + e ( E − Ef ) / k T Ef : Nivel de Fermi Para nuestro propósito es importante notar que el nivel de Fermi es la energía a la cual la probabilidad de ocupación de un estado energético por un electrón es exactamente igual a ½ para cualquier temperatura, según se desprende de la función de distribución f ( E ) . Ésta se representa en la figura para el caso de un semiconductor intrínseco. En la parte izquierda de la misma mostramos la probabilidad de

ocupación de estados de los electrones como una función de la energía de los estados. En la banda de conducción hay gran número de estados. Sin embargo, la probabilidad de ocupación de estados por los electrones es pequeña, por esto habrá muy pocos electrones en la banda de conducción

E

Ec • • Ef

Ev ° °

½ 1 f(E)


Por otro lado hay también gran número de estados en la banda de valencia. Muchos de ellos están ocupados por electrones, por lo que la probabilidad de ocupación de estados es aproximadamente la unidad. Vemos además (a la derecha de la figura) que habrá muy pocos estados electrónicos no ocupados, es decir pocos huecos en la banda de valencia.

La función de distribución de Fermi-Dirac es simétrica alrededor del nivel de Fermi Ef . De esta forma si el número de estados energéticos en la banda de valencia y conducción es el mismo, y si el número de electrones en la banda de valencia es el mismo también, el nivel de Fermi debe estar localizado en el medio de la banda denominada prohibida. En realidad la ubicación es algo por debajo del medio debido a que el hueco tiene una masa mayor que el electrón de conducción. Esto es lo que ocurre en un semiconductor intrínseco. Generalmente en el caso de un intrínseco nos referimos al nivel de Fermi como nivel de Fermi intrínseco simbolizándolo como Ei.

E

• • • • • Ef

½ 1 f(E)

E

•

Ef

° ° ° ° °

½ 1 f(E)

En un semiconductor tipo n, la concentración de electrones en la banda de conducción es mayor que en el caso del intrínseco. Sin embargo, ya que la densidad de estados de energía en la banda de conducción es la misma que en el caso de intrínseco, podemos deducir que en un semiconductor tipo n, el nivel de Fermi, y con él, la función de distribución de Fermi-Dirac completa, estará corrida hacia arriba en el dibujo de bandas de energía. Por otro lado en un semiconductor tipo p tanto el nivel de Fermi como la función de distribución se verán corridos hacia abajo. Para energías del orden de algunos kT por encima del nivel de Fermi (Ef ) , (por ejemplo : Ef + 3kT),


la distribución de Fermi-Dirac puede aproximarse mediante la simple fórmula : f (E)= e−(E − Ef )/ kT para E > Ef . Si contemplamos el caso de energías algunos kT por debajo del nivel de Fermi , podemos aproximar f (E) por : f (E)= 1 − e−( Ef − E ) / kT para E < Ef .

Nota 1. Estas expresiones aproximadas podrían haberse deducido a partir del empleo de la estadística de Boltzman. Por lo que podemos afirmar que la estadística de Boltzman provee una buena aproximación de la de Fermi -Dirac para energías de algunos kT alejados de Ef .

Nota 2

Si Nc es la densidad de estados efectivos en el borde inferior de la banda de conducción, el número de electrones que ocupa esos estados a una temperatura T se puede calcular como Ec

N ( Ec ) = ∫ Nc f (E) δE 0

Nota 3

De la misma forma que f (E) indica la probabilidad de que un estado cuántico esté ocupado por un electrón, podemos analizar 1 − f (E) que representara la probabilidad que un estado cuántico no este ocupado por un electrón. Esto, en la banda de valencia, significa que un estado cuántico esté ocupado por un hueco. En forma matemática se puede expresar esta probabilidad como:

1 1 − f (E) = ----------------------

1 + e ( Ef − E ) / kT


Esta situación queda claramente evidenciada en la figura donde se ha superpuesto, esquemáticamente, la función f sobre los niveles que constituyen los límites de las bandas de conducción, prohibida y de valencia.

E c

E f

E v cantidad deelectrones

ligados

can tidad dehuecos

can tidad deelectrones

libres

Comparando las funciones f (E) y 1 − f (E) se llega a la conclusión de que ambas pueden expresarse por una sola curva, como se hizo en la figura anterior. Por ello en un semiconductor intrínseco, -con igual número de electrones libres que de huecos-, el nivel de Fermi debe encontrase situado muy próximo al medio del salto de energía.

Nota 4 La energía de Fermi (Ef ) puede ser considerada como el equivalente al centro de masa energético entre los electrones y los huecos. Así bastará poder describir el movimiento de uno de ellos para obtener automáticamente el del otro. Variación de la posición energética del nivel de Fermi con la temperatura En los semiconductores extrínsecos hemos visto que: A bajas temperaturas el nivel de Fermi se encuentra situado entre los niveles de impurezas y la respectiva banda. (De conducción para los N y de valencia para los P) . Recordemos además que para temperaturas mayores que la temperatura del semiconductor que denominamos intrínseco, básicamente desaparecen las diferencias entre materiales extrínsecos e intrínsecos, comportándose todos como si fueran intrínsecos.


Por lo tanto a altas temperaturas el nivel de Fermi del extrínseco debiera ser el mismo que el del intrínseco. Por lo que podemos concluir que: A medida que aumente la temperatura, el nivel de Fermi del extrínseco se moverá desde su posición inicial hasta alcanzar el nivel correspondiente al intrínseco.

E

Ec EF

Ei

T

En la figura

se esquematiza esta variación para un material N, en la que por simplicidad se ha omitido la disminución que sufre Eg con el aumento de la temperatura

En la figura se grafica cómo varia el nivel de Fermi para materiales N y P con la temperatura para distintas concentraciones de impurezas.


E F - E i ( e V )

0 ,6 E c

N E i

P E v

1 5 0 3 0 0 4 5 0 6 0 0 T ( 0 K )

0 ,6 0 ,4 0 ,2 0- 0 ,2- 0 ,4- 0 ,6

N i = 1 0 1 2

N i = 1 0 1 6 N i = 1 0 1 8

Volver Semiconductores en equilibrio con el medio ambiente Concentración de electrones y de huecos. Concentración de electrones y de huecos. Sobre la base de la Mecánica Cuántica se puede determinar el número de estados energéticos de las bandas de valencia y de conducción por centímetro cúbico Nv y Nc respectivamente.

Sobre la base de la Mecánica Cuántica se puede determinar el número de estados energéticos de las bandas de valencia y de conducción por centímetro cúbico Nv y Nc respectivamente. A éstos se los llama densidad efectiva de estados en las bandas de valencia y conducción y ambos son proporcionales a T3/2 . A éstos se los llama densidad efectiva de estados en las bandas de valencia y conducción y ambos son proporcionales a T3/2 . Los valores para el Ge, Si, AsGa, y SiO2 se pueden observar en la siguiente tabla. Los valores para el Ge, Si, AsGa, y SiO2 se pueden observar en la siguiente tabla.


Ge Si AsGa SiO2

peso atómico omolecular

72,60 28,09 114,63 60,08

átomos/cm3 omoleculas/cm3

4,42 x 1022 5 x 1022 2,21 x1022 2,3 x1022

estructura delcristal

Diamantina8 átomos porcelda unitaria

Diamantina8 átomos porcelda unitaria

Zinc-Blenda8 átomos porcelda unitaria

Red aleatoriatetragonal de

SiO450% coovalente

50% iónicacte. de la red

cristalina (A0)5,56 5,44 5,65 ------------

densidad(g/cm3)

5,32 2,33 5,32 2,27

salto deenergía (Eg)

(eV)

1,67 1,11 1,40 8

densidad efectivade estadosbanda de

cond. Nc ( cm-

3 )

1,44 x 1019 2,08 x 1019 7 x 1018 -------------

banda de val.Nv ( cm-3 )

6 x 1018 1,04 x 1017 4,7 x 1017 --------------

Por otro lado vimos que se puede evaluar la probabilidad de

ocupación de estos estados cuánticos por electrones a partir de la función de distribución f(E). Con estos elementos podemos calcular las concentraciones de electrones y huecos dentro del semiconductor. El producto Nc..f (E)E=Ec representará la concentración de electrones n en la banda de conducción. Por lo que: n = Nc e − ( Ec − Ef ) / kT

Análogamente se puede evaluar la concentración de huecos p en la banda de valencia, siendo:

p = Nv e − ( Ef − Ev ) / kT

♦ Estas ecuaciones, en concordancia con lo expresado en la sección previa, muestran que: • cuando el nivel de Fermi se encuentra próximo al borde de la banda de conducción Ec, la concentración de electrones aumenta y decrece la de huecos.


• Cuando Ef esta próximo al borde de la banda de valencia Ev , la concentración de electrones decrece y la de huecos aumenta. A partir de estas mismas ecuaciones pueden obtenerse las concentraciones de electrones y huecos en función de la concentración intrínseca, y el nivel de Fermi intrínseco, siendo: n = ni e ( Ef − Ei ) / kT

p = ni e ( Ei − Ef ) / kT

donde : Ei = ½ ( Ec + Ev ) + ½ kT ln ( Nv / Nc ) El nivel de Fermi intrínseco está de esta forma ubicado en las proximidades de la mitad de la banda prohibida, desplazada solamente por un término que es normalmente de pequeño valor. Debido a esto, para muchos propósitos, vamos a aproximar considerando que el nivel de Fermi intrínseco esta en el medio o en la mitad de la banda prohibida. Condición de equilibrio térmico. A partir de las expresiones que nos dan las concentraciones de electrones y huecos se hace evidente que su producto es independiente del nivel de Fermi. Concluimos entonces que el producto n.p es independiente del tipo de semiconductor, así como de la concentración de huecos y electrones individualmente. p.n = ni

2 = Nc Nv e − Eg / kT

En el equilibrio térmico, la generación y recombinación de pares electrón hueco se hallan balanceados y el producto n.p = ni

2 se mantiene constante aun cuando los portadores no sean los mismos en dos instantes diferentes. De esa forma podemos emplear la constancia del producto n.p como un criterio de equilibrio en semiconductores. Se puede corroborar, de la observación de la ecuación de equilibrio, la dependencia exponencial de la concentración de portadores del intrínseco con la temperatura, tal cual lo habíamos visto como un resultado experimental.


Es importante notar sin embargo, que la real dependencia con la temperatura es algo más fuerte debido a que Nc y Nv varían como vimos con T3/2. Volver Efectos radiativos sobre el cristal Rotura de enlaces por radiación electromagnética. Para entender el comportamiento de los electrones en la estructura de la materia frente a la incidencia de radiación electromagnética, es necesario considerar la luz (visible o no) como paquetes cuantizados de energía. Estos fotones poseen, como hemos visto, una energía: Efoton = hν = h c / λ . La absorción de la luz puede interpretarse ahora como un proceso de colisión Al incidir la luz sobre un sólido, los fotones chocan con los electrones de los enlaces y son absorbidos por éstos. Sin embargo, como la energía se conserva durante el proceso, la energía inicial del electrón de enlace (Ei ) sumada a la energía del fotón incidente, debe ser igual a la energía final del electrón. Esta condición puede sintetizarse como: Efinal = Einicial + h c / λ . Sin embargo no todas las transiciones electrónicas son posibles, puesto que las energías Ei y Ef deben ser compatibles con el espectro electrónico y el principio de exclusión. Por lo tanto: • Ei debe ser la energía de un estado en una banda permitida y ocupada inicialmente por un electrón. • Ef debe ser la energía de un estado en una banda permitida e inicialmente vacío.


El proceso de absorción de radiación electromagnética se ilustra en la figura para un semiconductor puro a 0 0K. Podemos considerar este proceso desde un ángulo un poco distinto. Para que la radiación de longitud de onda λ pueda ser absorbida por un determinado sólido

es necesario que haya:

estados vacíos Ef •

hc/λ E Fermi

estados Ei • + fotón = ° ocupados

un estado Ef permitido y vacío , y

un estado Ei permitido y ocupado , y que la diferencia Ef - Ei sea igual a la energía del fotón incidente. Si analizamos en especial que ocurre para los distintos diagramas de bandas ya vistos, podemos concluir que :

estados vacios a 0 0K

Eg1 Ef

Ef Eg2 hc / λ Ei

Eg1 > Eg2 > hc / λ estados ocupados a 0 0K

♦ en el caso de los metales , cualquiera sea el valor de λ siempre podemos encontrar Ei y Ef que satisfacen la condición necesaria. ♦ En el caso de los semiconductores y aislantes, para valores de la longitud de onda tales que la energía del fotón es menor que el ancho de la banda prohibida Eg , la condición requerida no puede ser satisfecha.

Una determinada radiación podrá ser absorbida en el semiconductor o en el aislante si: h c / λ ≥ Eg . Respuesta espectral El valor λc correspondiente al signo igual de la fórmula anterior determina la longitud de onda de corte o umbral de longitud de onda larga: λc = h c / Eg = 1,24 / Eg ( eV) ( μm ) Que obviamente dependerá de cada material.


En el Ge → Eg = 0,67 eV → λc = 1,73 μm En el Si → Eg = 1,1 eV → λc = 1,13 μm En el AsGa → Eg = 1,3 eV → λc = 0,903 μm

En el PGa → Eg = 1,8 eV → λc = 0,700 μm

Las curvas de sensibilidad espectral para el Si y el Ge se dibujan en la figura siguiente:

respuesta relativa (%) 100 visible infrarrojo

75

50

25

0 0.5 0.9 1.13 1.7 λ(μm)

Estas curvas de sensibilidad son de forma similar a las de los metales. Obsérvese que el límite de longitud de onda larga es ligeramente superior a los valores de λc calculados debido a las excitaciones de impurezas. Conforme la longitud de onda disminuye ( λ < λc , o , f > fc ), aumenta la respuesta y alcanza el máximo. Un aspecto interesante que hace a la radiación electromagnética sobre los conductores es la fotoemisión.


Fotoemisión en conductores.

E

metal

K X W

Debemos considerar a este efecto en forma similar al visto como emisión termoiónica , ya que en ambos casos se logra liberar electrones mediante el agregado de energía exterior. (excitación) En este caso debemos tener presente lo ya visto en el efecto fotoeléctrico.

Si el cuanto de energía transportado es igual o mayor que la función

trabajo de una superficie, entonces el fotón puede incidir sobre un átomo de dicha superficie y producir la emisión de un electrón. El fotón es absorbido si su energía era mayor que la función trabajo. El exceso de energía aparece en forma de energía cinética del electrón emitido. Esto puede sintetizarse como: hν = e W + ½ m v2 Esta ecuación dice que la energía del fotón incidente se transfiere al electrón en dos formas, una, ew, para vencer la función de trabajo y otra, como energía cinética que adquiere el electrón después de la emisión. Cada fotón no produce la emisión de un electrón, sino que muchos fotones son reflejados por la superficie. Como eW tiene un valor determinado para cada superficie, se deduce que hay un valor mínimo de energía del fotón. O sea, una frecuencia limite ν0 (umbral de frecuencia fotoeléctrica), por debajo dela cual no hay emisión. Así : ν0 = e W/h y para radiación excitadora de esta frecuencia la corriente de emisión se hace cero.


Esto proporciona un método de medida de las funciones trabajo de diversos materiales, midiendo el umbral de frecuencia fotoelectrónica. Se pueden obtener valores concordantes con los termoiónicos en superficies muy limpias. Las sustancias de baja función trabajo son las mejores para cátodos fotoelectrónicos: Así, el cesio, el potasio, el rubidio, el sodio, el litio, combinados con capas de oxígeno o hidrógeno, permiten elegir las frecuencias de rgo de todo el espectro visible.

trabajo, o las longitudes de onda, a lo la

oncentración adicional de electrones y huecos en un semiconductor

El análisis de la variación de la concentración de portadores en este

En ella se muestra el diagrama de energías de un semiconductor

Si esta muestra se ilumina con fotones de suficiente energía, son

Puede crearse un par electrón-hueco por un fotón de alta energía

construcción de un tubofotoelectrónico típico

Luz

Cátodo Anodo

Cpor excitación luminosa. caso puede sintetizarse a partir de la figura. con impurezas aceptantes y donantes. posibles las transiciones siguientes: •lo que se denomina excitación intrínseca


• Un fotón puede excitar un electrón donante a la banda de conducción. banda de conduccion

ED nivel donante

EA nivel aceptante

banda de valencia

• Un fotón puede excitar un electrón de valencia a un estado aceptante. Las dos últimas transiciones se denominan transiciones de impurezas. El aumento en la concentración de portadores es debido principalmente a la excitación extrínseca.

Nota :

Obsérvese que estos casos en menor medida también son posibles: b a n d a d e c o n d u c c i o n

E d

E i

E a b a n d a d e v a l e n c i a

En la figura se agregó un nivel de impurezas en el centro de la banda Ei. Observe que las transiciones que comienzan en Ea suponen que este estado este ocupado y Ed y Ei vacíos. Suposición análoga para la transición Ei, Ed

Las transiciones que comienzan en la banda de valencia y terminan en Ei y Ed suponen que estos están vacíos.

Nota


En todos los casos analizados se debe cumplir que las reglas de selección cuánticas permitan las transiciones entre estos estados. ( Las condiciones anteriores son necesarias y con esta ultima se convierten en suficientes)

Nota Observe que lo dicho para semiconductores es extrapolable a aislantes si uno toma las precauciones del caso (inexistencia de estados aceptantes, y Eg mayor)

Nota : A las transiciones intrínsecas también se las denominan efecto termoiónico interno o efecto fotoiónico interno. Según el origen de la transición sea térmico o lumínico.

Nota : Comparemos los distintos efectos:

Fenomenos termicos Fenomenos radiativosconductores efecto termoionico fotoelectrico

produce emision de electrones emision de electronesse produce por absorcion de energia

internaabsorcion de fotones

se produce a altas temperaturas delmaterial

temperatura ambiente

semiconductores efecto fotoelectrico interno fotoelectrico internoproduce transiciones

electronicas banda abanda

transicioneselectronicas banda a

bandase produce por absorcion de energia

internaabsorcion de fotonesde energia mayor a

Egse produce a temperaturas

mayores que Egtemperatura ambiente

aislantes efecto fotoelectrico internoproduce transiciones

electronicas banda abanda

se produce por absorcion de fotonesde energia mayor a

Eg


Recordemos que una fuerza de tipo mecánica aplicada sobre un material produce en éste una deformación.

En el rango elástico del material la deformación de éste (en el sentido de la fuerza) es proporcional a la fuerza aplicada:

F = k . Δx

donde : Δx es la deformación que sufre el material

Por lo tanto en lo que sigue hablar de fuerzas o de deformaciones será equivalente

Volver Piezoelectricidad El efecto piezoeléctrico fue observado por primera vez por Pierre Jacques Cune, quien al aplicar un peso (deformación) a un cristal de cuarzo detectó una carga eléctrica proporcional en su superficie. Es decir en sus caras surgen cargas eléctricas distintas. Al invertir la deformación se invierte el signo de las cargas. Un año después se demostró el fenómeno contrario: al aplicar una tensión eléctrica al cristal se obtiene un desplazamiento (deformación) proporcional a ésta. Además : al invertir la polaridad de la tensión aplicada se cambia el sentido del desplazamiento de ésta.


No toda la materia presenta el fenómeno de piezoelectricidad, sólo los cristales que poseen simetría atómica presentan esta propiedad, pues son susceptibles de sufrir un desequilibrio eléctrico. El efecto piezoeléctrico se produce a lo largo de los ejes eléctricos del cristal X1 , X2 , X3, perpendiculares a su eje óptico. El efecto piezoeléctrico se observa en cristales de: cuarzo, turmalita, sal de Rochelle, titanato de

bario, blenda de zinc, entre otros.

Z

Z X3

X1

X2

Explicación cuántica

Cuando deformamos un material, variamos las distancias interatómicas (las reducimos con una compresión y las aumentamos con un estiramiento). El efecto piezoeléctrico se produce en dieléctricos (aisladores), en estos una deformación traerá aparejada una variación de las bandas energéticas como se observa en la figura:

Si se deforma el material en toda su extensión en forma homogénea, solo se producirá una variación de Eg.

E Δr r

Pero si la

deformación no es homogénea o si se realiza en solo una parte del material, aparecerá entre distintos puntos del material una variación de las energías EC y Ev, la que traerá aparejada la aparición de una tensión microscópica ΔV

Ec EF Ev ΔV


Cristales de cuarzo

Los cristales de mayor uso son los cristales de cuarzo (SiO2) . Estos se cortan en laminas o placas de distintas formas y tamaños

para darles propiedades determinadas. Al cortar un cristal de cuarzo en bruto siguiendo distintos ángulos

según los ejes, se puede obtener una gran variedad de placas con diferentes propiedades de frecuencia y temperatura.

Ciertas placas obtenidas con este procedimiento se denominan

placas normales y se clasifican en dos grupos X e Y. La dimensión del espesor de las placas del grupo X es normal al eje

X (eje eléctrico) del cristal en bruto del cual se obtuvieron. En cambio en el grupo Y la dimensión del espesor es paralela al eje

Y (eje mecánico). La denominación de las placas normales es: AT, BT, CT, etc. La frecuencia de resonancia de los cristales depende de las

dimensiones de la placa, en combinación con el modo de vibración. El margen de frecuencias de resonancia que se puede obtener es

amplio, va desde 400 Hz a 125 mhz. A mayor tamaño de placa menor frecuencia de resonancia. En cuanto al limite superior de frecuencias que se puede obtener,

queda limitado por el tamaño más chico que se pueda ser manejado sin que se rompa durante su funcionamiento.

Los modos de vibración del cuarzo son: el Flexor, el transversal y el

longitudinal. Flexor El modo flexor consiste

en un movimiento de curvatura o en un arqueo.


LongitudinalEl longitudinal

es un movimiento a lo largo de la extensión de la placa partiendo del centro.

El transversal,

que es el más complejo, consiste en el desplazamiento de dos planos paralelos de la

placa en sentidos opuestos, conservando estos su paralelismo.

Transversal

Todos los tipos de vibración se pueden producir en un modo

fundamental o en uno armónico. Para cada modo de vibración se pueden trabajar unas frecuencias

solamente: Modo flexor 0,4 a 100 KHz Modo longitudinal 40 a 15000 KHz Modo transversal 100 a 125000 KHz Una de las características más importantes del cuarzo es su

perfecto acoplamiento mecánico que posibilita su uso en circuitos ELECTRONICOS.

Los cristales poseen dos frecuencias de resonancia: una en serie y

otra en paralelo. La frecuencia de resonancia en

serie depende de los valores de la autoinducción distribuida (L1 ) y de la capacidad distribuida ( C1 )

La frecuencia resonante en

paralelo, depende de los factores ya mencionados y de la capacidad paralela (C0).

L1 C1 R

C0

La impedancia que presenta el cristal depende del tipo de

resonancia: es mínima para la resonancia serie y máxima para la resonancia paralelo.


Fabricación de laminas de cristal de cuarzo Existen dos tipos de cristales de cuarzo: naturales y sintéticos. El cuarzo natural se presenta en vetas y geodas (masas minerales huecas tapizadas de cristales). El cuarzo sintético se obtiene a partir del crecimiento de cristales, generalmente posee mejor estructura que los naturales, y es el que se emplea en electrónica. El cristal en bruto deberá ser cortado en laminas. Para ello primero se sitúa el eje óptico (z) de este y se talla una cara paralela a dicho eje, luego se determina el eje eléctrico (x) mediante rayos x. A continuación se deduce el eje mecánico (y) pues se conoce que es perpendicular a los ejes X , Z . Una vez conocidos los ejes el cristal se corta en secciones, que luego se cortan en hojas delgadas a lo largo del eje Z , de modo que la longitud de la hoja que de paralela al eje X o Y . Las hojas se cortan en pequeños cuadros llamados hojas en blanco, y se pulen hasta hallar las dimensiones deseadas mediante un proceso de esmerilado de precisión. Después de haber sido limpiadas y verificadas, las hojas en blanco Se graban con una solución química y se les aplica un punto de soldadura de plata en las dos caras opuestas para colocar los terminales conductores.

A continuación los conductores se sueldan en los contactos de plata. Luego el cristal pasa por una calibración de frecuencia y se coloca en un soporte que en general consiste en un tubo de vidrio cerrado al vacío o en un recipiente metálico cerrado herméticamente. El cristal ya montado pasa por una verificación final de frecuencia y se deja envejecer

durante un corto periodo de tiempo, pasado el cual queda listo para su empleo en circuitos ELECTRONICOS.

Cristal

Metalizacion

Capsula

Base

Terminales

Al resultar imposible fabricar cristales totalmente libres de impurezas, la frecuencia de resonancia varia con el tiempo.


El proceso de envejecimiento se emplea para determinar la calidad de los cristales, puesto que los cristales deficientes varían de frecuencia mas rápidamente. Aplicaciones del efecto piezoeléctrico

Las principales aplicaciones de este efecto son:

♦ Los osciladores de cristal empleados en circuitos

♦ La producción de ultrasonido ♦Transductores (acelerómetros, de fuerzas, de deformaciones, etc.) Volver


MÓDULO VIII

La materia en interacción con el medio ambiente

Parte 2 : bajo condiciones de no equilibrio

Objetivos :


INDICE: MODULO VIII La materia fuera del estado de equilibrio Inyección (salida del equilibrio) Retorno al equilibrio Cinética del proceso de recombinación. Efectos de otro tipo de imperfecciones Expresión general del flujo de portadores en el semiconductor

FISICA ELECTRONICA MODULO VIII 2

La materia fuera del estado de equilibrio Si bien por comodidad analizaremos los semiconductores bajo condiciones de no equilibrio, los principales resultados son aplicables tanto a aislantes como a conductores teniendo en cuenta el apropiado ancho de la banda prohibida. Semiconductores bajo condiciones de no equilibrio Introducción : En capítulos anteriores analizamos el proceso de generación de pares electrón-hueco en distintos materiales debido a su interacción con el medio ( térmica y luminosa ). Vimos específicamente el aumento de la concentración de portadores debido al agregado de energía radiante. Opuesto al proceso de generación descripto, existe un proceso de recombinación de pares. Éste tiene lugar cuando un electrón de conducción pierde su energía de ionización y cae al nivel del hueco. En el equilibrio, la velocidad de generación (número de enlaces rotos por unidad de volumen y unidad de tiempo) y la velocidad de recombinación de pares se hallan balanceadas. El producto n.p = ni

2 se mantiene constante. El equilibrio así logrado, siendo un equilibrio dinámico, es sólo de concentración de portadores, y es constante a pesar que la generación y recombinación continúan incesantemente . Existen, sin embargo, medios para variar esas concentraciones en el semiconductor, resultando en estos casos el producto n.p diferente de ni

2. (ya sea incrementando la generación por sobre la recombinación o viceversa ) En este capítulo nos interesa analizar la respuesta de los semiconductores frente a este tipo de perturbaciones.


El comportamiento de muchos de los elementos semiconductores queda caracterizado por su tendencia de retorno al equilibrio que se manifiesta por : • la recombinación de portadores , o • la generación de pares según sea el tipo de perturbación. Para la descripción del retorno al equilibrio se necesitan examinar ciertas magnitudes: • tiempo de vida de portadores • longitud de difusión • velocidad de recombinación El proceso a causa del cual se pierde la condición de equilibrio en el semiconductor es el de inyección de portadores. Éste puede adoptar diferentes formas : • iluminación • polarización adecuada de un contacto metálico puntual • fuente de corriente • etc., Volver Inyección ( salida del equilibrio ) Si consideramos situaciones de no equilibrio en la cual se viola la condición : n . p = ni

2

podemos distinguir dos tipos de desviaciones :


♦ cuando n . p > ni

2 hablamos de inyección de portadores en exceso. Una forma de proveer estos portadores se representa en la figura. ♦ cuando n . p < ni

2 nos referimos a la extracción de portadores del semiconductor . Niveles de inyección .

Podemos hablar de distintos iveles

• Inyección de bajo nivel

• Inyección de alto nivel

Para un dado semiconductor, es posible alcanzar uno u otro nivel

En ésta se considera el caso de un semiconductor de silicio tipo n,

n de inyección; esto es:

© Luz

material tipo p

E

− +

de inyección. Conceptualmente, la diferencia entre ambos está relacionada con la magnitud de las correspondientes concentraciones de impurezas en juego. Podemos analizar el significado de lo dicho a través del análisis de lo representado en la figura siguiente. pero el análisis es aplicable también a un semiconductor tipo p.

Concentración de portadores

1018

1016

1014

1012

1010

108

106

104

102

equilibrio inyección inyección bajo alto nivel nivel

Concentración de donantesNd =1016cm-3

Para el Si a temperatura ambiente( T ≈ 300 0K ) la concentración

intrínseca es :ni = 1010 cm-3

por lo que en condiciones de equilibrioes:

n . p = ni2 = 1020 cm-6

nno , pno concentraciones de electrones yhuecos respectivamente en unsemiconductor tipo n en equilibrio.

nn , pn concentraciones de electrones yhuecos en un semiconductor tipo nfuera del equilibrio.

nno

pno

nn

pn

Nd

ni para el Si

a T = 300 0

K

nn

pn


Inyección de bajo nivel

Consideremos el caso en el que, de alguna forma, - por ejemplo,

Podemos suponer que creamos 10 pares electrón-hueco / cm3 . sto im

/ cm

nn = nn0 + 10 = 10 + 1012 ≅ 1016 electrones / cm3

De esta forma, mientras la magnitud del cambio en la concentración

• el cambio relativo en la concentración de electrones, - portadores

• el cambio relativo en la concentración de huecos, - portadores

Esta condición, en la que la concentración de portadores en exceso n) es despreciable en comparación con la concentración de dopaje

yección de alto nivel .

En este caso la concentración de portadores inyectados en exceso

Por ej. : si Δn = 10 , entonces :

pn = pn0 + 10 = 10 + 10 ≅ 1 . 1016

nn= nn0 + 10 = 10 + 10 = 2 . 10

Este tipo de inyección afecta la conductividad del material base .

La inyección de alto nivel es importante en la operación de algunos

iluminando el material -, podamos introducir en el material semiconductor portadores en exceso de ambos tipos en iguales concentraciones, de modo tal de mantener la neutralidad de la carga espacial.

12 E plica que aumentamos la concentración de electrones y de huecos en 1012 cada una; por lo tanto, si pn0 = 104 , y si nn0 = 1016 , entonces : pn = pn0 + 1012 = 104 + 1012 ≅ 1012 huecos 3

12 16

de electrones es la misma que la correspondiente a los huecos: mayoritarios -, es despreciable, y minoritarios -, es significativo. (Δ (Nd=1016 cm-3 ), - o lo que es lo mismo Δn = Δp << Nd -, corresponde a inyección de bajo nivel . In es comparable (o mayor) que la concentración de iones donantes. En este caso: Δn = Δp ≥ Nd . De aquí que el cambio relativo en la concentración de portadores mayoritarios sea significativo.

16

16 4 16

16 16 16 16 dispositivos semiconductores.


A lo largo de este capítulo y mientras no se aclare lo contrario a lo

olver

largo de este curso, nos ocuparemos solamente de casos de retorno al equilibrio en bajos niveles de inyección. V Retorno al equilibrio

Cuando las concentraciones de portadores se alejan de sus valores e equ

distinguir distintos casos:

En el caso que ocurra inyección de portadores, ( n . p > n 2 ), el rno

En el caso de extracción de portadores , ( n . p < n 2 ), el retorno

Se pueden analizar distintos casos en los que se provocan

ecaimiento de portadores inyectados - Tiempo de vida

Imaginemos una situación experimental en la cual un trozo de

n particular suponemos:

que la luz es de frecuencia suficiente como para crear pares

d ilibrio, éstas tratarán de alguna forma de retornar a sus valores anteriores. Se pueden ♦ ireto al equilibrio es a través de la recombinación de los minoritarios inyectados con los mayoritarios. ♦ ial equilibrio es a través del proceso de generación de pares electrón hueco. desequilibrios de concentraciones en el material semiconductor. En éstos se ponen de manifiesto las distintas magnitudes o parámetros que intervienen en la descripción del proceso de retorno al equilibrio. D semiconductor homogéneo tipo n es iluminado uniformemente. En estas condiciones podemos considerar diferentes casos. E • electrón hueco en todo el material,


• que es absorbida unifor-memente en todo el volumen de la muestra,

luz absorbida uniformemente

x Concentración de portadores minoritarios pl

τp.Gl

pn0 x

• y que no hay recombinación superficial

Durante la iluminación, - a la que suponemos de corta duración -, se

habrán creado un cierto número de pares electrón-hueco y este número estará en exceso sobre el característico del equilibrio térmico a la temperatura de la muestra. Al cabo de este proceso las dos concentraciones de portadores se habrán incrementado en cantidades iguales. En la figura anterior se representó el incremento de la concentración de minoritarios debido a la incidencia de luz, el cual, en las condiciones del experimento ha alcanzado el valor pl. Al suspenderse la acción de la luz los portadores en exceso se irán recombinando por pares hasta restablecer el equilibrio. Este proceso no es inmediato. Los portadores tienen una cierta vida media antes de recombinarse y un tiempo durante el cual el portador existe antes de recombinarse.

pn(t)- pn0 pL - pn0

1.0

0.8 τp = 10 ( unidades arbitrarias )

0.6

0.4 1.0

0.2 0.1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 t ( unidades arbitrarias )


Así, la concentración de minoritarios decae a medida que transcurre el tiempo. Se asocia entonces un tiempo de vida τp, definido operativamente como el tiempo durante el cual la concentración de portadores minoritarios en exceso decae en 1/e de su magnitud. La figura anterior muestra la evolución temporal descripta para distintos valores de τp. La expresión que representa la ley de variación encontrada para el decaimiento de la concentración de portadores es : pn( t ) = pn0 + ( pl − pn0 ) e -t / τp Decaimiento espacial de la concentración de portadores - Longitud de difusión Imaginemos ahora una nueva experiencia empleando un pulso luminoso de corta duración sobre la barra uniforme. Suponemos además que la luz es de una frecuencia tal que su acción sólo afecta en forma superficial al material. Ésta nos permitirá conocer otra característica de la distribución de los minoritarios inyectados.

En vez de iluminar la totalidad de la muestra, lo hacemos sólo en un extremo, de tal forma que la absorción se produce en una capa muy delgada.

luz incidente no penetrante → → → x Concentración de portadores minoritarios pn (x) pn (0) Fp Fn

pn0 x

Una vez más, después del pulso, hay generación de pares electrón-hueco, pero ahora sólo en el extremo donde la luz es absorbida. En las condiciones de baja inyección que estamos considerando no se lleva al sistema muy lejos del equilibrio en ningún punto y los portadores inyectados comparten el movimiento aleatorio (térmico) de la red, al igual que todos los portadores. Aún cuando el movimiento es totalmente aleatorio, habrá más partículas que se alejen del extremo que recibió el pulso de luz respecto de


las que provienen del resto de la muestra, debido a que en ese lugar hay inicialmente mayor concentración de portadores. Ocurre así el proceso de difusión que provoca un flujo que depende de la diferencia o gradiente de concentraciones de las partículas. Asociada a este proceso , podemos definir la longitud de difusión (Lp) como el trecho medio recorrido por los portadores antes de recombinarse. Esta longitud es normalmente del orden de 10-2 cm .

Obsérvese que en este caso hay difusión tanto de mayoritarios como de minoritarios y ambas en igual dirección lo cual genera corrientes opuestas .

pn(x) - pn0pn(o) - pn0

1.0 0.8 Lp = 100 (unidades arbitrarias )

0.6

0.4 10

0.2 1

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

x (unidades arbitrarias )

En la figura se grafica la forma en que decae la concentración de portadores minoritarios inyectados en exceso en función de x, tomando como parámetro la longitud de difusión . Podemos expresar matemáticamente esta dependencia mediante la ley:

pn(x) = pn0 + ( pn (0) − pn0 ) e -x / Lp

siendo: pn (0) el valor de la concentración de minoritarios en x = 0

Nota : Puede verse la analogía entre las expresiones que dan : ♦ la distribución de minoritarios inyectados en función de x en régimen permanente (para diferentes Lp ) ♦ el decaimiento de la concentración de minoritarios inyectados en función del tiempo en régimen transitorio ( para distintos τp )


En ambos casos hay una modificación de minoritarios : En el primer ♦ ésta se da en un punto dado del espacio y puede observarse su penetración (régimen estacionario) En el segundo ♦ la modificación se da en un instante de tiempo (régimen temporal ) Con el aumento de x, o con el paso del tiempo se alcanza la concentración de minoritarios en equilibrio. Los parámetros a tener en cuenta son respectivamente Lp y τp. Obviamente ambos conceptos esta íntimamente relacionados. Efectos de la recombinación superficial .

Consideremos ahora una muestra de material semiconductor homogé-neo tipo n iluminada uniformemente como en el primer caso analizado, pero ahora sin suspender la iluminación. Suponemos además que la velocidad de recombinación de los portadores inyectados se encuentra incrementada hacia un lado de la muestra como se

observa en la figura .

luz absorbida uniformemente ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ x

Concentración de los portadores minoritarios pn(x) pl

Fp τp Gl Fn pn0 x

Debido a la velocidad de recombinación mayor correspondiente a la superficie x = 0 , la concentración de los portadores minoritarios en exceso será menor en este plano que en el cuerpo del semiconductor . Resulta de esto que los portadores mayoritarios y minoritarios difundirán creando un flujo de cargas hacia la superficie donde se recombinarán. Debido a que los electrones y huecos se recombinan de a pares (uno a uno) , el flujo de huecos hacia la superficie será igual al flujo de electrones. Es por ello que no habrá flujo de corriente neto. Para describir la distribución espacial de los portadores minoritarios inyectados necesitamos considerar diferentes valores para la magnitud velocidad de recombinación en el extremo de la muestra.


Si esta fuera próxima a cero, estaríamos en realidad en un caso que da como resultado una concentración de portadores en exceso constante (en régimen permanente) para toda la muestra . Por lo tanto no estaríamos en el caso considerado, es decir mayor recombinación en un extremo. Si la velocidad de recombinación fuera suficientemente elevada (matemáticamente tendiente a infinito), la distribución de los portadores minoritarios en exceso va a variar según sea el valor de la longitud de difusión Lp siendo de todos modos siempre nula en x = 0 y con tendencia creciente, - en forma más o menos lenta según Lp -, hacia el valor que corresponde a la máxima concentración de minoritarios agregados al semiconductor.

Recordemos que en esta experiencia no se suspende la iluminación que da la concentración pl

pn(x) - pn 0pL - pn 0

Lp = 1 (un idades arbitrarias ) 1 .0 0 .8 10 0 .6

0 .4 0 .2 100

0 1 0 2 0 30 4 0 50 60 70 8 0 9 0 1 00 x ( un idades arbitrarias )

Este análisis puede sintetizarse en la representación de la figura . Puede encontrarse también la ley que expresa la concentración de minoritarios a lo largo de la muestra, obteniéndose : pn (x) = pl − ( pl − pn0 ) e -x / Lp

Volver Cinética del proceso de recombinación. En la sección anterior hemos visto el retorno al equilibrio de la distribución de portadores minoritarios en casos de inyección, analizada para x crecientes o al paso del tiempo. Este retorno al equilibrio depende de un parámetro que caracteriza el proceso de recombinación : 1 / τp . _______ Obsérvese que Lp = √ Dp . τp con Dp : difusividad de huecos.


Si, como vimos, el τp representa el tiempo de vida medio en que los portadores en exceso ( pn - pn0 ) permanecen sin recombinarse, la velocidad de retorno al equilibrio, - número de recombinaciones netas por unidad de tiempo ( U ) -, luego de la perturbación, va a depender inversamente de τp y directamente de la cantidad de minoritarios inyectados (pn - pn0 ). Matemáticamente : U = ( pn - pn0 ) . 1 / τp .

Conviene mencionar aquí que τp depende de ciertos factores físicos tales como la estructura del material y el dopaje. Más adelante vamos a analizar las distintas formas de recombinación, con distinto τp, que tienen lugar debido a estos factores físicos.

Nota : Hablamos de recombinaciones netas en el sentido siguiente : ♦ Cuando consideramos el total de las recombinaciones tenemos que

tener en cuenta: • Las recombinaciones de los portadores generados térmicamente que corresponden a la condición de equilibrio. • Las recombinación de los portadores que fueron generados por algún otro mecanismo (inyección ), por ejemplo, la luz. En el retorno al equilibrio nos va a interesar analizar las recombinaciones de los portadores generados por sobre los correspondientes al equilibrio térmico; es decir, evaluadas las recombinaciones correspondientes a la generación térmica en equilibrio, las vamos a restar del total de las recombinaciones para obtener aquéllas que llamamos netas o de portadores en exceso. Como vimos, la condición de equilibrio ( n.p = ni

2 ) proviene de considerar que la velocidad de generación térmica es igual a la de recombinación de los portadores generados térmicamente. En símbolos podemos expresar : G ter = R ter ( en equilibrio ) Debido a esto, para evaluar la velocidad asociada a las recombinaciones netas, debemos considerar: Rtotal − G ter = U


Para simplificar la notación, en lo siguiente vamos a considerar que: • R representa la velocidad del total de las recombinaciones y • U la velocidad de recombinación neta o de los pares en exceso. Distintos casos de recombinación Recombinación banda a banda

Cuando se recombinan directamente electrones que se encuentran en la banda de conducción con huecos en la banda de valencia hablamos de recombinación banda a banda.

Podemos esquematizarla mediante la figura .

Ec • •

G U

Ev ° °

En este tipo de recombinación el electrón debe perder energía del orden de Eg. Este proceso lleva asociada la emisión de luz o calor. Como vimos, los pares electrón hueco generados por distintos mecanismos no se recombinan instantáneamente. En este caso la velocidad de recombinación dependerá de la concentración de los portadores (mayoritarios y minoritarios). Esto es debido a que para que sea posible la recombinación en estas condiciones, un electrón de conducción debe encontrar un hueco y este proceso tendrá lugar con una frecuencia que dependerá del número en que estén presentes unos y otros. Podemos escribir : R = k . nn. pn ≈ k . nn0 . pn ( k constante de proporcionalidad ) En bajos niveles de inyección : nn ≈ nn0 La velocidad de generación térmica en equilibrio (o de recombinación de los portadores generados térmicamente), será proporcional a las concentraciones en equilibrio. Es decir :


G = k . nn0 . pn0 Expresando la velocidad de recombinación neta como: U = ( pn - pn0 ) / τp . Como además: U = R - G Tenemos R - G = k nn0 ( pn - pn0 ) = ( pn - pno ) / τp = U De donde obtenemos : τp = 1 / k .nn0 Esto nos indica que el tiempo de vida de los portadores minoritarios en exceso es inversamente proporcional a la concentración de los mayoritarios. Al analizar la expresión recordar que estamos considerando una muestra de material semiconductor tipo n.

Nota : Esta forma de recombinación es característica del arseniuro de galio. En el germanio y el silicio este proceso carece de relevancia. Esto se debe a que durante el proceso de preparación de la muestra se introducen impurezas indeseables de oxígeno que hace que el tiempo de vida varíe notablemente debido a la forma de preparación de ésta. Si bien en forma teórica τp sólo depende de nn0 , en la práctica se ve que son importantes tanto la estructura de bandas como las imperfecciones e impurezas, cuyas concentraciones variarán con el método de preparación de la muestra. Consideremos ahora el proceso de recombinación-generación que tiene lugar debido a la acción de tales imperfecciones. Recombinación - Generación a través de centros intermedios. Descripción del mecanismo. Como hemos visto, las imperfecciones dentro del semiconductor pueden modificar la perfecta periodicidad de la estructura cristalina, y como resultado de ello, introducir niveles de energía dentro de la banda prohibida, además de los ya vistos niveles de impurezas donantes y aceptantes. Estos niveles de energía actúan como lugares de paso en la transición de electrones y huecos de una banda a la otra.


Debido a que la probabilidad de transición depende del tamaño del salto, las imperfecciones pueden hacer tales transiciones más probables y consecuentemente, pueden ejercer una influencia muy marcada en la disminución del tiempo de vida de los portadores en exceso .

Los principales saltos debido a los centros intermedios se esquematizan en la figura.

• •

• • • •

° ° a d a d a d a d 1 2 3 4 a : antes d: después

En particular se representa el estado del centro de recombinación antes y después de cada proceso. Las flechas indican la transición electrónica. 1- es la captura de un electrón de la banda de conducción por un centro. 2- es el proceso inverso, la emisión del electrón desde el centro a la banda de conducción. 3- es la captura de un hueco de la banda de valencia por un centro; (puede ser descripto también como la transición de un electrón desde un centro a la banda de valencia). 4- es la emisión de un hueco desde un centro a la banda de valencia, también descripto como la transición de un electrón de la banda de valencia a un centro, dejando atrás un hueco en la banda de valencia . Interpretación del tiempo de vida τp en este caso Podemos hacer una evaluación aproximada del τp en este caso manejando las variables físicas del material que entran en juego. Vimos que la existencia de numerosos centros de recombinación influye en la disminución del tiempo de vida de los portadores.


De ahí que, por ejemplo, para que el retorno al equilibrio ocurra en un tiempo pequeño ( τp pequeño), los portadores en exceso deberán encontrar en su recorrido un número importante de centros de recombinación que además posean una cualidad (área de captura) importante. Esta cualidad representa la mayor o menor posibilidad de atracción del centro de recombinación sobre el portador. Además de estas consideraciones acerca de los centros de recombinación, influye en la magnitud τp la velocidad del portador. Si la velocidad térmica que alcanza en su deambular por la red es mayor, el tiempo de vida antes de recombinarse disminuye. Esto nos permite aventurar una expresión de τp que coincide con la encontrada a partir de un análisis más detallado. 1 Resulta así : τp = ------------ σp vt Nt siendo : • σp : el área de captura o la medida de cuán cerca debe llegar el portador para se capturado. • vt : velocidad térmica de los portadores a temperatura ambiente. • Nt : concentración de centros de recombinación. El centro es el lugar donde se recombinan el electrón y el hueco.

Nótese que el tiempo de vida hallado en este caso es independiente de la concentración de electrones. Esto es debido precisamente a que hay una gran abundancia de ellos en el material tipo n, siendo su concentración mucho mayor que la concentración de huecos.

Es por ello que podemos considerar que la probabilidad de que un electrón se acerque al centro es mayor que la probabilidad de que lo haga un hueco. Así, si bien un hueco es capturado por un centro intermedio, el electrón será inmediatamente capturado por el mismo centro. La velocidad de recombinación va a depender, por lo dicho, fundamentalmente de la velocidad de captura del minoritario. Volver


Efectos de otro tipo de imperfecciones Trampas

Existe aún otro efecto que se manifiesta con un tiempo aparente de vida mucho más largo que el descripto. Ello se debe a imperfecciones llamadas trampas que no actúan de la forma descripta

anteriormente, sino que permiten que el electrón (portador generado en exceso ) en el material p regrese a la banda de conducción antes de recombinarse con el hueco.

Ec •

Et

Er

luz o calor Ev °

De esta forma el electrón puede pasar un tiempo considerable ligado a las trampas (Et en la figura) antes de encontrar un centro de recombinación (Er). En este caso, aunque el tiempo total de vida del electrón puede ser de varios minutos, solamente una pequeña fracción de ese tiempo transcurre en la banda de conducción. La diferencia entre las trampas y los centros de recombinación se basa en al alta probabilidad de que los electrones evadan las trampas y pasen a la banda de conducción comparado con la baja probabilidad de que los electrones se recombinen con el hueco. En general existen procesos análogos para los huecos. Luminiscencia : Fluorescencia y fosforescencia La recombinación de un electrón con un hueco produce luz, a este fenómeno se lo denomina luminiscencia. Desde un punto de vista descriptivo, podemos decir que si el proceso que transcurre entre la creación de un par electrón-hueco y la recombinación del electrón con ese u otro hueco es menor a 10-3seg., estamos frente a un fenómeno de fluorescencia. Del mismo modo, si el tiempo que transcurre para dicho proceso es mayor que 10-13 seg. diremos que estamos frente a un fenómeno de fosforescencia .


Obsérvese que las sustancias fluorescentes, por el tiempo considerado, no presentarán estados trampa en la banda prohibida. Las fosforescentes esencialmente contendrán impurezas tipo trampa. Los compuestos del fósforo se caracterizan por este tipo de estados de ahí el nombre de fosforescentes. Según sea la diferencia energética entre Er y Ev , será el color de la luz que emita la sustancia fosforescente. Estados metaestables Existe un tipo de estados de impurezas donde al caer el electrón no puede seguir cayendo hacia la banda de valencia, pero en el que puede permanecer largo tiempo. Se trata de estados metaestables. En el estado metaestable se tiene el mismo momento angular l que en la banda de valencia por lo tanto no pude haber transición al no cumplirse que Δl = ± 1 (condición necesaria para que exista transición electrónica). Cuando por la cercanía de uno de estos estados, - ocupado ya por un electrón -, pasa un fotón cuya energía sea igual a la diferencia de energías entre el estado metaestable y Ev , entonces el electrón decae a Ev y el fotón emitido (de igual energía al incidente) tiene la misma dirección que el incidente.

El proceso presenta tres etapas : 1- ionización del electrón 2- caída del electrón en el estado metaestable 3- el fotón incidente permite el decaimiento


Efecto láser Este efecto se logra en materiales que presentan estados metaestables. Consta de tres procesos : 1- inyección de electrones a la banda de conducción por algún mecanismo, por ejemplo mediante luz; 2- inversión de la población: los electrones decaen al estado metaestable quedando fuera del equilibrio. 3- emisión de luz coherente: gran cantidad de electrones decae . emitiendo luz monocromática coherente . Para lograr un haz, se refuerza este efecto a lo largo de un eje en el que en un extremo se coloca un espejo y en el otro un semi espejo.

° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° °

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Cristal con estados metaestables encerrado entre un espejo y un semiespejo.

El cristal se excita mediante el. agregado de luz exterior

Al desexcitarse emite fotones en. cualquier dirección. Unos pocos en la dirección del eje. óptico espejo-semiespejo , los que .. se reflejan sobre este eje. Estos estimulan la emisión en la .. dirección del eje óptico reforzando. la intensidad de luz en la dirección. del eje óptico. Este proceso se repite continuamente. En un momento dado el haz se hace tan intenso que se lo ve surgir por el semiespejo.

° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° °

Un fotón que incida a lo largo del eje óptico provocará la emisión de fotones cuya dirección coincidirá con este eje.


Al llegar a un extremo, supongamos el del espejo, el haz se reflejará sobre si mismo y volverá a recorrer el cristal a lo largo del eje mientras sigue incrementando fotones . Al llegar al otro extremo, parte se reflejará y continuará el proceso, y parte saldrá como haz láser. Cristales centelladores.

En estos cristales hay niveles de impurezas que presentan la característica de que el electrón decae a través de varios saltos entre ellos. Si están energéticamente equiespaciados , la absorción de un fotón de alta energía se traduce en la emisión de varios de energía menor . Esto permite que un fotón en el rango x, no visible, pueda ser visto

indirectamente a través de estas emisiones que se producen en cada salto.


estados de impurezas

banda de valencia

Obsérvese que se produce una amplificación del número de fotones absorbido. Volver Expresión general del flujo de portadores en el semiconductor Hasta aquí hemos introducido las ideas que fundamentan la dinámica del movimiento de huecos y electrones de conducción en un semiconductor. Vimos en el capítulo anterior el arrastre ( en respuesta a un campo eléctrico ) y completaremos en Éste con la difusión ( resultado natural del movimiento térmico aleatorio cuando no es uniforme la concentración en el espacio ) y recombinación (intento de volver a las concentraciones de equilibrio por ambos tipos de portadores). De hecho, todos estos procesos representan la respuesta del semiconductor cuando se perturba su estado de equilibrio por medios exteriores.


Nos interesa ahora conocer cual es la expresión del flujo de cargas en el semiconductor . Si bien ya contamos con algunos resultados importantes de los distintos procesos, en forma separada, éstos se dan, muchas veces, en forma simultánea. Consideramos al semiconductor en dos estados diferentes a saber : • en equilibrio • fuera del equilibrio ( caso de inyección ) Caso del semiconductor en equilibrio ( n . p = ni

2 ) Para poder dar la expresión del flujo de portadores en este caso, conociendo los distintos procesos dinámicos, debemos dar una definición. Llamamos flujo F de cualquier especie al número de entes de esa especie que atraviesan la unidad de área en la unidad de tiempo . Se hace evidente a partir de lo expresado que un proceso que tiene lugar en el semiconductor aportará directamente al flujo de portadores si provee un desplazamiento neto por unidad de tiempo . En el caso de un semiconductor en equilibrio los distintos procesos a considerar son : ♦ generación de pares por efecto térmico: el efecto fundamental de la generación sobre el semiconductor es suministrar portadores (despreciando la transferencia de impulso). La generación en sí misma no provee un desplazamiento de cargas en una dirección determinada por lo que no aporta al flujo de portadores en el semiconductor. ♦ Recombinación de pares : este caso es opuesto al anterior en cuanto al efecto que produce sobre al concentración de portadores, pero similar al anterior en cuanto tampoco genera en sí un desplazamiento neto de cargas . Este proceso por lo tanto no aporta al flujo de portadores en el semiconductor . ♦ Difusión: en un semiconductor donde por alguna causa (debido a los procesos de generación y recombinación o a su estructura), la concentración de portadores no es uniforme. Las cargas, realizando movimientos aleatorios, se desplazan en el sentido de las concentraciones decrecientes.


La difusión por tanto sí aporta al flujo que estamos considerando siendo éste proporcional al gradiente de concentraciones . ♦ Arrastre ( acción del campo eléctrico ): vimos en el capítulo anterior cómo un campo eléctrico genera desplazamiento de portadores de uno u otro signo en el semiconductor . El flujo de electrones y huecos resulta proporcional al campo . Como tienen cargas de signos opuestos se mueven en sentido contrario , pero también conducen la corriente en el mismo sentido. ♠ si consideramos simultáneamente los dos procesos que proveen al flujo en el semiconductor, éste será la suma de las componentes de arrastre y difusión . Podemos escribir la densidad de corriente de huecos : ( Jp ) como : Jp = q μp p E − q Dp ∂p ∂x arrastre difusión y la de electrones : Jn = q μn n E + q Dn ∂n ∂x • Obsérvese que los términos de arrastre en las dos ecuaciones tienen el mismo signo algebraico porque el campo eléctrico origina corrientes de igual sentido con las partículas cargadas con signos opuestos. • En cambio los términos de difusión tienen signos algebraicos opuestos porque un gradiente dado de concentración haría que los dos tipos de partículas se difundieran en el mismo sentido y por lo tanto transportarían corrientes eléctricas en sentidos opuestos debido a los signos opuestos de las cargas. • En el caso de equilibrio que estamos considerando tanto Jn como Jp son idénticamente nulas pues se compensan los términos de arrastre y difusión . Caso del semiconductor en condiciones de inyección en bajo nivel . Vimos que en un semiconductor pueden crearse portadores en exceso, tanto huecos como electrones de conducción por distintos métodos. Las características dinámicas principales de estos portadores en exceso es que son arrastrados por un campo eléctrico, que se difunden


alejándose de las regiones de concentración elevada y que desaparecen por recombinación. En este caso también podemos escribir ecuaciones similares a las vistas en el caso de equilibrio, que dan el flujo de cargas en el semiconductor considerando ahora las concentraciones de equilibrio más las generada en exceso donde figuran n y p .

Nota : En el caso del semiconductor fuera de equilibrio la recombinación provee una variación de concentración por unidad de tiempo (velocidad de recombinación neta) y una distribución de portadores no constante en algunos casos a lo largo del eje x.

El flujo de portadores que se origina debido a este hecho se produce mediante el mecanismo de difusión . La recombinación en sí misma no provee flujo de portadores en el semiconductor. Los portadores inyectados difunden debido a que existe recombinación que hace disminuir las concentraciones de huecos y electrones; es decir, provee gradiente de concentraciones. El efecto Thompson en metales y semiconductores . Este efecto es interesante para ilustrar lo anteriormente expuesto. ♦ En metales


distribución de portadores metal portadores generados térmicamente fuente de calor difusión de portadores

desaparición del proceso

Supongamos una barra

metálica que se calienta en forma no uniforme, según se ve en la figura . Obsérvese la distribución de portadores en exceso así como la corriente de difusión. En la tercer representación en la figura se mantiene la inyección térmica , mientras que en la siguiente, ésta cesa y se produce el retorno al equilibrio.

El efecto Thompson se

produce cuando al fenómeno de inyección térmica le agregamos el arrastre de portadores por parte del campo eléctrico.

El campo eléctrico aplicado dará origen a la aparición de una fem. entre los extremos de la barra.

distribución de portadores generados .. térmicamente

campo externo arrastre difusión difusión


♦ En semiconductores

sem iconductor

fuente de calor


creación de pares

cam po eléctrico externo

− +


−

+

El proceso será similar excepto que tendremos dos tipos de portadores. Puede observarse en la figura la aparición de la fem.

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MÓDULO IX

El proceso de conducción eléctrica 1ra parte :

Conducción eléctrica

objetivos: En el presente módulo se pretende lograr tres objetivos

fundamentales : 1º- introducir un modelo de conducción eléctrica en sólidos. 2º- extender este modelo a gases y líquidos 3º- ver ejemplos donde el modelo no rige


Contenidos del módulo El proceso de conducción Introducción: Perturbaciones del movimiento de los electrones en la red Masa eficaz: Centros de dispersión ( o desviación ) Movimiento térmico Movimiento por campo eléctrico Velocidad de arrastre . Movilidad El proceso de conducción según el diagrama de bandas EXTENSIÓN DEL MODELO A CONDUCTORES Y AISLADORES. Conductores. Aisladores. Validez del modelo Conducción eléctrica en gases Conducción eléctrica en líquidos Resistividad Resistividad de un semiconductor Variación de la resistividad con la temperatura Variación de la resistividad con la iluminación Corriente fotoconductiva y resistencia ( L D R ) DifusiónExpresión general del flujo de portadores en el semiconductor Conducción eléctrica en campos magnéticos : Efecto Hall Superconductividad. Modelo de la molécula de dos electrones: Alta inyecciónEfectos de altas corrientes en los semiconductores

FÍSICA ELECTRÓNICA MÓDULO IX 2

El proceso de conducción Introducción : Una de las propiedades que distinguen a un sólido de otro es su posibilidad o no de conducir una corriente eléctrica. Recordemos que la intensidad de corriente representa la carga transportada por unidad de tiempo a través de una superficie normal a ella (debe existir entonces un desplazamiento neto de cargas en una dirección determinada ). La intensidad dependerá : • del número de cargas que puedan moverse libremente y de • la velocidad con que lo hagan Debido a esto , para hablar de intensidad de corriente es necesario que haya cargas ( electrones o huecos ) que puedan alcanzar niveles de energía cinética que estén disponibles. Por ultimo , es importante tener en cuenta que las intensidades son el resultado de los movimientos de muchísimás cargas individuales y no la componente originada por el movimiento de una cualquiera . Vamos a analizar por separado cuales son los posibles cambios en el estado de movimiento de los portadores en el cristal , así como quienes los generan con el objeto de posibilitar la comprensión de su dinámica. Perturbaciones del movimiento de los electrones en la red Mása eficaz: Podemos describir el comportamiento electrónico del sólido en función de los portadores de corriente tratados como partículas Su movimiento en este caso no es el espacio libre , sino circunscripto al cristal .

En el , los átomos de la red forman una serie de valles y montañas que impiden el movimiento libre de los portadores de corriente.


Las partículas cargadas interaccionan con la red y sus movimientos se verán afectados por la influencia de esta ultima. Por esta razón , al ser tratados como partículas dentro del cristal , se les asocia un valor de mása que difiere del de la carga libre .

Potencial

a

W

Distancia

A esta mása se la llama : mása eficaz ( m* ) En estas condiciones , todos los efectos de los potenciales de la red periódica regular se hallan incluidos por completo en el parámetro m* . La mása eficaz del electrón ( me* ) es menor que la del hueco ( mh*). De acuerdo a lo dicho puede interpretarse el porque : Para ello recordemos que los huecos deben moverse a nivel de los potenciales de la red , mientras los electrones lo hacen por sobre estos . ( Banda de conducción ) Centros de dispersión ( o desviación ) De acuerdo al ítem. anterior , a partir de considerar el concepto de mása eficaz , se independiza el movimiento de los portadores de los efectos del potencial periódico regular de la red. Los centros de dispersión ( blancos de choque ) que se presentan en la trayectoria del electrón pueden ser de dos clases : a - Imperfecciones locales y transitorias producidas por las vibraciones elásticas de los átomos del cristal. b - Impurezas de átomos extraños al cristal que destruyen el orden de la red periódica. Pasaremos a analizarlas con más detalle : ♣ Vibraciones elásticas: A temperaturas normales , las desviaciones o dispersiones más importantes se deben a deformaciones del cristal asociadas a vibraciones térmicas.


Los átomos se hallan más separados o más concentrados en una región de lo que lo están en la red periódica ideal. Estas variaciones alteraran el potencial eléctrico en las proximidades de dichas

regiones , y estas diferencias de potencial representan campos eléctricos aplicados sobre ellas que alteran la dirección y magnitud de la velocidad y de la cantidad de movimiento de la partícula cargada.

Potencial a a´

potencial periodico regular

potencial alterado porvibraciones termicas

♣ Dispersión por las impurezas: El efecto de las impurezas donantes o aceptante ionizadas puede hacerse importante según sean la temperatura y su concentración. Las impurezas de uno u otro signo desviaran a los portadores por atracción o repulsión según su signo con una eficacia que dependerá de la dirección inicial del movimiento de la partícula móvil respecto a la fija. Nota: Desde luego , ambas formás de dispersión pueden combinarse , cuando por ejemplo , se produzca una compresión vibratoria en una región del cristal que contenga un átomo de impureza cargado. Volver Movimiento térmico Los átomos el cristal y los electrones de conducción están siempre en movimiento térmico aleatorio. Los átomos vibran alrededor de sus posiciones medias en la red cristalina y los electrones se mueven muy rápidamente en todas direcciones sufriendo númerosos choques aleatorios con los átomos vibrantes. En estas condiciones : Los electrones no transportan globalmente corriente alguna en ninguna dirección , porque , por termino medio , se mueven tanto en una dirección como en otra.


• 5 6 • • 2

• 1 7 3 •

• 4 •

Puede sintetizarse lo dicho mediante la observación de la figura en la que se representa en forma sencilla el tipo de movimiento térmico aleatorio de un electrón.

Movimiento por campo eléctrico Cuando se aplica un campo eléctrico, la distribución de potenciales de la red se modifica, según se ve en la figura.

El campo eléctrico se ejerce de igual manera sobre todos los portadores de un tipo dado presentando una tendencia estacionaria a moverse en la dirección de la fuerza del campo.

ón también ambia su energía.

no plica un cambio de banda.

guna discontinuidad de energía .

Al incrementar su velocidad el electrc Hay sin embargo una condición adicional que aparece debido a la índole cuántica del electrón: el cambio de velocidad sólo se produce si tal cambioim Es decir, un electrón no puede ser acelerado de la

primera a la segunda banda , ni de la segunda a la tercera , en general el electrón no puede cruzar nin

Potencial

a

W

. . .. Distancia Potencial campo electrico

F1 F2

F3 F4

x -a x x + a x

El proceso de aceleración es además compatible con el principio de exclusión de Pauli, es decir un electrón cambia su velocidad siempre y cuando el estado que el electrón tenga que asumir este desocupado. Si esto no sucede el proceso de aceleración se detiene.


Es evidente que en una banda totalmente ocupada no puede ocurrir ningún proceso de aceleración , ya que los electrones en el tope de la banda no pueden ser acelerados ( porque cualquier aceleración los desplazaría a la banda siguiente ), estos electrones impiden que otros sean acelerados al estado que ellos ocupan y así sucesivamente hasta alcanzar por fin los electrones en el fondo de la banda. Al mismo tiempo que el electrón se acelera ocurren otros procesos completamente independientes : el electrón choca con barreras que encuentra en su camino , tales como impurezas , imperfecciones , la superficie del cristal , la falta de orden de los átomos del cristal debida a oscilaciones térmicas , etc. .(dispersiones ya analizadas ). Velocidad de arrastre . Movilidad De acuerdo a lo visto en el ítem. anterior , aparece, una componente adicional de la velocidad, por sobre el movimiento térmico o el proveniente de las dispersiones.

• 5 6 • 2 •

• 1 7 3 • movimiento termico aleatorio

• 4

E • • • • • • • 7 6 5 4 3 2 1arrastre del E

• 5 2 • 6 • •7 • 1

3 •

• 4 movimiento combinado del electron en el campo E

Esta velocidad adicional, llamada velocidad de arrastre , vd , tendrá una dirección opuesta al campo eléctrico para los electrones e igual ala del campo para los huecos. Se encuentra que la fuerza resultante crece con esta velocidad promedio, como en las fuerzas de origen viscoso. La velocidad de arrastre, por lo tanto será proporcional a la intensidad del campo aplicado. vd = μ E

A este factor de proporcionalidad se lo llama movilidad μ y sus unidades son : cm2 / volt.seg.


Las movilidades de los portadores pueden expresarse en termino de sus cargas y másas eficaces. Para su valor también es importante el tiempo entre colisiones sucesivas de los portadores. Podemos escribir : vd = ( q . tcol / m* ) . E = μ E siendo: q = carga tcol = tiempo entre colisiones m* = mása eficaz E = campo eléctrico μ = movilidad Nota: El resultado que aparece en la expresión obtenida para vd proviene de un análisis en el que se supone que el tiempo entre colisiones es independiente del campo eléctrico. Esto es cierto , si la velocidad vd es pequeña comparada con las velocidades térmicas de los portadores ( del orden de 107 cm/seg. para el silicio a temperatura ambiente ). Cuando el valor de vd se hace comparable al de las velocidades térmicas ,su dependencia respecto del campo eléctrico se aleja un poco de la simple relación de proporcionalidad a la vista .

La variación de vd con el campo eléctrico puede interpretarse a partir de la observación de la figura. En ella se representan los resultados experimentales de vd vs. E . Puede observarse que cuando el campo se

hace suficientemente importante se alcanza una velocidad limite superior que deja de depender del valor del campo.

vd ( cm/seg ) 10 x106

8

6

4

2

0 0 0.4 0.8 1.2 1.6 2 x 104

E (V/cm )

Otra conclusión que puede extraerse de las curvas concierne al valor de la movilidad μ, en ella se ve claramente la diferencia entre el valor de las movilidades de los huecos y de los electrones.


Nota: ( diodo gunn ) Un dispositivo que aprovecha la existencia de una velocidad limite superior para la velocidad de los electrones es el mal llamado diodo gunn, puesto que es una simple barra de material semiconductor n muy dopado.

semiconductor N

R

V

En las gráficas podemos observar el principio de su funcionamiento Si cerramos la llave, el terminal negativo de la batería inyectará electrones en el extremo de la barra.

E

V(x)

x

E

V(x)

x

E V(x)

x

Los electrones inyectados en la barra , se acelerarán en virtud del campo eléctrico aplicado. Enseguida alcanzaran la velocidad limite y comenzaran a moverse con v = cte. , por lo que se formara un frente de electrones que se moverá a lo largo de la barra con velocidad constante. Por detrás de este frente se irán acumulando electrones con v = cte. , esta acumulación de cargas apantallará primeramente el campo que ven las cargas que son inyectadas por el terminal negativo de la batería.

Este apantallamiento se incrementara por la adición de cargas a este paquete así formado hasta hacer desaparecer el campo detrás de el.


Por lo tanto cesará la

inyección de cargas . Ahora en la barra sólo tenemos un paquete de cargas que se desplaza a velocidad cte. Cuando el paquete llegue al otro extremo de la barra , el campo se restablecerá y recomenzará el proceso.

E

V(x)

x

Finalmente, sobre la resistencia se verán pasar una serie de pulsos de corriente que se repetirán con un periodo:

τ = l /v donde : l : longitud de la barra v : velocidad limite de los electrones en el material El proceso de conducción según el diagrama de bandas Específicamente vamos a analizar en detalle , la representación del proceso de conducción, tomando como ejemplo un material semiconductor homogéneo tipo n.

semiconductor n

energia de los electrones

banda de conduccion Ef

banda de valencia energia de los huecos

En la figura puede observarse una muestra de semiconductor tipo n sin polarización.

En esta figura siguiente se ve la misma muestra de material con una polarización de +2 volt. aplicados a uno de sus terminales. En ella se pueden observar además las correspondientes bandas de energía en función de la posición a lo largo de la muestra.


Los electrones en la banda de conducción se acelerarán debido al campo aplicado. Debido a que en este proceso la energía total de los electrones no cambia significativamente, el aumento de energía cinética traerá como compensación una disminución de la energía

potencial.

+2V

Ee

ΔU

Eh

Este hecho se hace evidente en la ultima figura donde vemos que el electrón se aleja hacia arriba (ganando energía cinética) del borde inferior de la banda de conducción Ec que representa como ya analizáramos la energía potencial del electrón. Cuando el electrón sufre una colisión (en promedio al haber recorrido una longitud de colisión) pierde parte de su energía cinética y la transfiere a la red del semiconductor. Este es el proceso de conversión de la energía cinética en calor. (este fenómeno se conoce como efecto joule) A continuación, luego de que el electrón perdió total o parcialmente su energía cinética, vuelve a acelerarse repitiendo el proceso. Ésta es la forma en que puede esquematizarse la conducción en el diagrama de bandas. En este análisis consideramos un semiconductor homogéneo, es decir, aquél que posee una concentración de impurezas uniforme. Por esta razón, en las figuras anteriores hemos indicado el nivel de Fermi conservando la misma distancia respecto a la banda de conducción a lo largo de toda la muestra. Nota:

Obsérvese que para un semiconductor tipo p ocurrirá lo mismo si cambiamos electrones en la banda de conducción por huecos en la banda de valencia.

+ 2V semiconductor P

Ee

ΔU

Eh

En este caso la corriente de huecos tendrá la dirección de la corriente convencional.


EXTENSIÓN DEL MODELO A CONDUCTORES Y AISLADORES. Obsérvese que este modelo puede ser extendido con facilidad a conductores y aisladores, mediante el cambio de Eg y del número de portadores de carga N del material en cuestión. Recordando que: Ncond > Nsc.ext > Nsc.int >> Naisl. y que: Egaisl > Egsc > Egcond = 0 Conductores. En este caso un N es muy elevado y Eg = 0

Estas caracteristicas

del material, hacen que un campo muy pequeño inicie la conducción. En la teoría clásica este campo se considera igual a cero, pero a la luz de este modelo vemos que para que se produzca el efecto joule debemos tener un campo acelerador a la vez que colisiones con la red por lo cual

este modelo se ajusta a la realidad y por lo tanto es aplicable.

+ V conductor

Ee

ΔU

Aisladores. En este caso N es muy pequeño respecto de los anteriores y Eg es grande.

Por lo tanto el fenómeno de circulación de corriente será despreciable, pero sí se harán visibles dos fenómenos colaterales observados por la Física Clásica. Si colocamos entre las placas de un capacitor plano los electrones de las impurezas

ionizadas se desplazarán hacia el extremo lindante con la placa positiva creándose así un campo eléctrico interno de sentido opuesto al aplicado.

+V aislador

Ee ΔU

Eh


Si aplicamos un campo eléctrico variable en el tiempo, los electrones en cada semi-ciclo de este se desplazarán en contra de la dirección del campo aplicado, colisionando según el modelo propuesto y cediendo por lo tanto energía a la red cristalina fenómeno que conocemos como calentamiento dieléctrico a altas

frecuencias.

diagrama del hemiciclo positivo Ee

Ea

Validez del modelo Al ser éste un modelo muy sencillo, (su sencillez lo hace muy potente ), su empleo puede ser generalizado para explicar la conducción eléctrica, no sólo en materiales sólidos como hemos visto sino también en gases y en líquidos. Para esto recordemos el modelo que hemos realizado. Éste consta de ideas fundamentales : * 1- un agente externo genera portadores de carga libres * 2- un campo externo acelera estos portadores

*3- luego de haber recorrido una cierta distancia estos portadores colisionan con otras partículas cediendo toda o parte de su energía cinética

* 4- estas otras partículas ganan la energía que los portadores de carga pierden incrementando su energía propia

* 5- el incremento de energía propia se traduce en un aumento de temperatura y / o energía cinética de estas últimas.

Resumiendo para los sólidos :

agente externo portador decarga

colisiona con efecto

conductor temp. ambienteluz

e ion de la red aumentotemp.red

semiconductorn

temp. ambienteluz

e ion de la red aumentotemp. red

semiconductorp

temp. ambienteluz

h ion de la red aumentotemp. red

aislador temp. ambienteluz

e ion de la red aumentotemp. red


Conducción eléctrica en gases Los gases están formados por átomos y moléculas eléctricamente neutros, y en condiciones normales se comportan como aisladores . Al ionizarlos, es decir, al quitar electrones a los átomos y/o moléculas que forman el gas, se convierten en conductores de la electricidad. En esta situación los átomos ( o moléculas ) del gas se transforman en iones positivos . Por otra parte los iones negativos se forman en los gases al ligar átomos o moléculas neutras con electrones libres. Se denomina trabajo de ionización Wi al trabajo realizado en contra de las fuerzas de ligadura entre un electrón y las demás partículas del átomo ( o la molécula ). Este trabajo Wi depende de la naturaleza química del gas y del estado de energía del electrón en el átomo o molécula . Al aumentar la ionización , es decir el número de electrones arrancados del átomo , aumenta el valor de Wi . El agente ionizante por excelencia de los gases es la radiación cósmica, en un gas monoatómico generara dos tipos de portadores de cargas : portadores de carga negativos : e, mása : me portadores de carga positivos : átomos parcialmente ionizados mása : ma >>> me Aplicado un mismo campo eléctrico E , como a = F / m tendremos entonces: 1- todos los electrones se moverán en la misma dirección y por lo tanto no colisionarán entre si. 2- ídem para los iones. 3- dada la diferencia de mása la velocidad de los electrones será mucho mayor que la de los iones ⇒ ídem con las energías cinéticas⇒ para este tipo de gas ( dado que Ec = 3/2 kT ) habrá dos temperaturas de partículas distintas Te >>Ti 4- al cabo de una trayectoria libre media los electrones en promedio colisionarán con los iones.


5- esto hará que aumente Ti a expensas de Te .Se observara un aumento de la temperatura y presión del gas. Si el fenómeno colisional fuera muy grande prodríamos llegar a obtener un plasma termalizado en el cual Ti = Te = Tp ( temperatura del plasma). En este momento podríamos completar la tabla hecha para materiales sólidos de la siguiente manera:

En gases no monoatómicos , en alguna situación , podrían llegar a aparecer también iones negativos (que se forman cuando un átomo neutro captura un electrón), por lo que podríamos llegar a tener tres tipos de portadores ,que en plasmás no colisionales podrían llegar a dar existencia a tres temperaturas distintas.

gas radiacioncosmica

eiones +

e-ion aumento temp. ypresion gas

Para plasmas colisionales valdría el resultado anterior . Conducción eléctrica en líquidos En un liquido polar como el agua la conducción eléctrica dependerá de la cantidad de iones (aniones y cationes) que se formen por disociación de sales , ácidos o bases que estén presentes en ella (las que podemos suponer como impurezas ) estos iones serán los portadores de carga . En este caso los dipolos del solvente haría de agente externo ionizante. Otra vez se presenta un fenómeno de conducción eléctrica con cargas de ambos signos, pero, a diferencia de los gases ambos son masivos y de masas parecidas. En su movimiento estos iones colisionaran con las moléculas de agua y con los iones de signo opuesto, el efecto será un aumento de la temperatura del liquido. Completando ahora la tabla para estos casos

liquido polar dipolos iones +iones -

colisiones entre lasdistintas moleculas

aumentotemp.liquido

Volver


Resistividad La densidad de corriente J que fluye a través del material se expresa o define por el producto del número de electrones por unidad de volumen que pueden ser acelerados ( n ) , la carga del electrón ( q ) y la velocidad media vd. Por lo cual podemos escribir : n q2 tcol

J = n q v = n q μ E = ------------ . F d m* La resistividad ρ ( resistencia por unidad de longitud de un cristal, cuya sección transversal es la unidad de área ) viene dada por el cociente entre el campo eléctrico E y la densidad de corriente J , es decir : 1 m* ρ = --------- = ------------- n q μ q2 tcol n Resistividad de un semiconductor En el caso de un semiconductor los portadores de corriente pueden ser mayoritariamente electrones o huecos . Analizaremos en especial cada tipo de semiconductor desde el punto de vista de su resistividad. a- tipo n En este caso , los portadores mayoritarios de corriente son electrones de conducción . La expresión particular de la resistividad es inmediata a partir de la general ya vista , por lo que : 1 ρ = ------------- q μn n b- tipo p En forma análoga para el semiconductor tipo p : 1 ρ = -------------- q μn n


Por ultimo como en los semiconductores hay dos clases de portadores con movilidades diferentes y a veces con diferentes concentraciones , la formula se generaliza de la forma : 1 ρ = ------------------- q ( μn n + μp p ) Es menester recordar que aunque ambos portadores se desplacen en sentidos opuestos conducen corrientes en el mismo sentido. Debemos recordar además que, para evaluar la concentración de portadores debemos basarnos en las ecuaciones ya vistas :

n = ND - NA si ND > NA

P = NA - ND si NA > ND Nota: En la figura siguiente se grafica la correlación entre el número de impurezas y la resistividad ρ , para un semiconductor de silicio impurificado con fósforo y boro ( dopado n y p ) a temperatura ambiente.

N Densidad de dopantes (cm-3)1021

1020

1019

1018

1017

1016

1015

1014

1013

1012

10-4 10-3 10-2 10-1 100 101 102 103 104 ρResistividad ( Ω / cm )

Boro

Fosforo


Variación de la resistividad de los materiales con la temperatura Cuando deducimos el valor de ρ , ( resistividad ) en una muestra del material , la expresamos en función del número de portadores que pueden ser acelerados (n ) y del tiempo entre colisiones ( tcol ) llegando a: m* ρ = --------------- q2 tcol n Esta es una de las fórmulas más importantes de la física del sólido. Nos dice que la resistividad de una sustancia determinada es inversamente proporcional al número de electrones que puede ser acelerado ,así como , al tiempo entre colisiones Tcol . En otras palabras : si se duplica el número de electrones que pueden ser acelerados , o el lapso transcurrido entre dos colisiones consecutivas , la resistencia se reduce a la mitad. Basándonos en ella , se puede ahora discutir las propiedades eléctricas de los distintos materiales . Las cantidades que varían de cristal a cristal son n y tcol y , ambas , además, varían con la temperatura. Estudiemos pues separadamente el efecto de ambas variaciones. 1- Influencia de la variación de Tcol con la temperatura sobre la resistividad. El tiempo entre colisiones consecutivas depende de varios factores y esta relacionado con el número de centros de dispersión ( blancos de choque ) que se presentan en la trayectoria del electrón . A temperaturas muy bajas los movimientos vibratorios de los átomos se ¨congelan¨ . Por lo tanto , el lapso entre colisiones a temperaturas muy bajas depende críticamente de la perfección de la estructura cristalina y de las impurezas que tenga el cristal. El efecto de las colisiones producidas por las vibraciones elásticas cambia notablemente con la temperatura A la temperatura ambiente ( ∼ 300 ºK ) , las vibraciones atómicas constituyen en al mayoría de los casos , los centros de dispersión más abundantes e importantes.


1-a metales Conviene destacar que si el número n de la formula de resistividad fuera independiente de la temperatura , la resistividad de todos los cristales debería decrecer a medida que la temperatura decrece, pues: Si T decrece : * Las vibraciones atómicas del cristal disminuyen . * Hay por lo tanto menos centros de dispersión. * Los electrones encuentran menos blancos con los cuales chocar y el lapso entre colisiones sucesivas se hace mayor, y * Al aumentar Tcol , la resistividad decrece. Este argumento sólo se aplica a los metales , en cuyo caso es valida la suposición de que n es casi independiente de la temperatura . 1-b semiconductores En los demás casos ya vimos que la variación de n con la temperatura es tan importante que anula el efecto descripto arriba y produce un aumento (en muchos casos muy grande ) de la resistividad a medida que T crece. 2- Influencia de la variación de la concentración de portadores n con la temperatura 2-a metales En este caso n es casi independiente de la temperatura por lo tanto si T crece , entonces tcol disminuye , por lo tanto ρ crece al crecer T. 2-b semiconductores ( termistores ) 2-b-1 extrínsecos Según hemos visto la concentración de portadores n en el caso de un semiconductor extrínseco tiene una dependencia con la temperatura que puede visualizarse a través de la figura.( trazo lleno )


En esta distinguimos tres zonas ( para n ) , en donde a altas y bajas temperaturas ( zonas 1 y 3 ) se incrementa con ella según las leyes ya analizadas y en otra ( zona 2 ) n se mantiene prácticamente constante. Vemos que a 0 ºK , la ausencia de portadores libres hace del

semiconductor un aislante perfecto .

n (cm -3) Silicio tipo N 3.1016

2.1016 1 2 3

n 1.1016

n i

0 0 100 200 300 400 500 600 700 T (0K)

Cuando la temperatura crece , los electrones de los átomos de dopaje consiguen la suficiente energía como para llegar a la banda de conducción y por lo tanto aumenta la conductividad σ del material ( 50 ºK ). De 50 a 500 ºK , la σ disminuye porque las movilidades disminuyen. A partir de los 500 ºK , el aumento brusco se debe al paso de operación extrínseca a intrínseca de del semiconductor.

La figura muestra la variación de conductividad con al temperatura del silicio tipo P con NA = 1015 atom/cm3. La figura es para un dado semiconductor , para otro semiconductor y distinto dopaje sólo se modifican las escalas y no la forma de la curva . Si una resistencia esta

construida con un semiconductor extrínseco , en cierto rango de trabajo , al variar la temperatura , la conductividad disminuye y por lo tanto su resistividad aumenta , a estos termistores se los denomina PTC. (coef. de temp. pos. )

conductividad (mu/m)

50 40. 30 20. 10 temp

200 400 600 ºK

2-b-2 Intrínsecos La dependencia de ni con la temperatura puede observarse también en la figura siguiente.


De ella podemos deducir que si el termistor emplea un semiconductor intrínseco, la conductividad aumenta, la resistencia disminuye por lo que estos se denominan NTC. ( coef. negativo.)

conductividad (mu/m)

50 40. 30 20. 10 temp

200 400 600 ºK

Variación de la resistividad de los materiales con la iluminación Si se irradia un semiconductor aumenta su conductividad. Este efecto fotoconductivo se explica de la siguiente forma : la conductividad de un material es proporcional a la concentración de portadores de carga presentes. Como vimos la energía radiante suministrada al semiconductor rompe los enlaces covalentes , y se crea un exceso de pares electrón hueco respecto a los generados térmicamente. Estos portadores de corriente en exceso disminuyen la resistencia del material y , por lo tanto , tal dispositivo se denomina fotorresistencia o fotoconductor. Para una variación de la intensidad de la luz de 100 lúmenes / pie cuadrado , la resistencia de un fotoconductor comercial puede variar varios kilohms. Corriente fotoconductiva y resistencia ( L D R )

Los portadores generados por fotoexcitacion se moverán bajo la influencia de un campo aplicado.

\ foton

← Θ ⊕ →

V

Si no se recombinan , llegaran a los contactos óhmicos en los extremos de la barra semiconductora , constituyendo entonces la corriente del dispositivo.


Esta corriente puede calcularse si se conoce la velocidad a la que se generan los portadores por la luz y el tiempo de vida media τ de esos portadores. Si se expone el semiconductor a una iluminación L se librea un número de electrones por segundo N que depende de la iluminación y de las dimensiones del material , siendo : N = η l d L donde : η : cte. que depende de la longitud de onda de la longitud de onda de la radiación lumínica recibida. L : iluminación d : distancia entre electrodos l : longitud de la muestra Si se aplica entre electrodos una tensión V los electrones se desplazarán con una velocidad v proporcional al campo E . ⎥ v ⎥ = μ ⎥ E⎥ = μ V/d La constante de movilidad μ vimos que se llama movilidad.

No todos los electrones llegan al electrodo positivo , si no , sólo aquellos que han sido liberados a una distancia del cátodo inferior a v.τ , siendo τ la vida media de un electrón libre . La fracción de los electrones que continuara

la corriente será :

d ≤ τ v

Θ Θ

\ \ ⊕ ⊕

d ≤ τ v

v . τ / d y la fotocorriente y medida se obtiene a partir de : i = N q v τ / d = η q μ τ l L V / d donde q : carga eléctrica del electrón. Por lo tanto la resistencia R causada por la luz vale : η q μ τ l R = V / i = ------------- L-1

d


El tiempo de vida τ generalmente no es constante sino que depende de la longitud de onda λ y de la iluminación L τ = τo ( λ ) L - β

La relación ente R y L podrá expresarse con bastante aproximación a: R = A L - α

De las ecuaciones anteriores resulta que : η q μ τ0 l A = --------------- d Para obtener una LDR sensible es necesario que A sea lo más bajo posible. Esto se logra eligiendo un sulfuro de cadmio con altos valores de : η , μ , τ0 así como aumentando la relación l / d tanto como sea posible.

Esto se logra usando una larga y estrecha tira de material doblando varias veces para que cubra poca superficie.. Esta disposición se completa dando a los electrodos forma de peines con las puntas intercaladas. Estos fotoconductores disipan sin problemás 300 mW y

pueden diseñarse para manejar sin problemás varios vatios.

material fotoconductor ventana capsula metalica sustrato ceramico terminales

semiconductor de CdS , vista interior

Existen otros tipos de dispositivos fotoconductores para aplicaciones especificas : ultravioleta 4000 visible 7000 infrarrojo 100

80 ZnS CdS PbS PbSe

60 Si PbTe 900K

40 CdSe Ge

20 GaAs InSb 50k

% 0 λ 3000 5000 10.000 20.000 50.0000 100.000

Respuesta

relativa


La celda de sulfuro de plomo ( SPb ) presenta un pico en la curva de sensibilidad a 2.9 μm y por lo tanto se usa para detección infrarroja , o en medidas de absorción infrarrojas. La célula de Selenio es sensible en todo el espectro visible , especialmente en el azul. Volver Difusión Si suponemos una muestra del material en la cual la concentración de impurezas no es uniforme , los electrones se difundirán bajo la influencia del gradiente de concentración.

Aparece entonces una corriente neta de Difusión proporcional a las diferencias de concentraciones. A la constante de proporcionalidad se la llama difusividad o coeficiente de Difusión D .

Las zon as m as oscuras corespon denaun a m ayor con cen tracion de electron es.

ID

El valor de este coeficiente fue hallado por Einstein en función de la movilidad siendo : K T D = -------- μ q Como existen dos movilidades distintas también se deducen difusividades distintas: K T D = -------- μp para el caso de los huecos q K T D = -------- μn para el caso de los electrones q


Expresión general del flujo de portadores en el semiconductor Hasta aquí hemos introducido las ideas que fundamentan la dinámica del movimiento de huecos y electrones de conducción en un semiconductor. Vimos en este capítulo el arrastre (movimiento en respuesta a un campo eléctrico ) que completa con la difusión ( resultado natural del movimiento térmico aleatorio cuando no es uniforme la concentración en el espacio ) y recombinación, tratadas en el capítulo anterior (intento de volver a las concentraciones de equilibrio por ambos tipos de portadores). De hecho, todos estos procesos representan la respuesta del semiconductor cuando se perturba su estado de equilibrio por medios exteriores. Nos interesa ahora conocer cual es la expresión del flujo de cargas en el semiconductor . Si bien ya contamos con algunos resultados importantes de los distintos procesos, en forma separada, éstos se dan, muchas veces, en forma simultánea. Consideramos al semiconductor en dos estados diferentes a saber :

• en equilibrio

• fuera del equilibrio ( caso de inyección ) Caso del semiconductor en equilibrio ( n . p = ni

2 ) Para poder dar la expresión del flujo de portadores en este caso, conociendo los distintos procesos dinámicos, debemos dar una definición. Llamamos flujo F de cualquier especie al número de entes de esa especie que atraviesan la unidad de área en la unidad de tiempo . Se hace evidente a partir de lo expresado que un proceso que tiene lugar en el semiconductor aportará directamente al flujo de portadores si provee un desplazamiento neto por unidad de tiempo . En el caso de un semiconductor en equilibrio los distintos procesos a considerar son :


♦ generación de pares por efecto térmico: el efecto fundamental de la generación sobre el semiconductor es suministrar portadores (despreciando la transferencia de impulso). La generación en sí misma no provee un desplazamiento de cargas en una dirección determinada por lo que no aporta al flujo de portadores en el semiconductor. ♦ Recombinación de pares : este caso es opuesto al anterior en cuanto al efecto que produce sobre al concentración de portadores, pero similar al anterior en cuanto tampoco genera en sí un desplazamiento neto de cargas . Este proceso por lo tanto no aporta al flujo de portadores en el semiconductor . ♦ Difusión: en un semiconductor donde por alguna causa (debido a los procesos de generación y recombinación o a su estructura), la concentración de portadores no es uniforme. Las cargas, realizando movimientos aleatorios, se desplazan en el sentido de las concentraciones decrecientes. La difusión por tanto sí aporta al flujo que estamos considerando siendo éste proporcional al gradiente de concentraciones . ♦ Arrastre ( acción del campo eléctrico ): vimos cómo un campo eléctrico genera desplazamiento de portadores de uno u otro signo en el semiconductor . El flujo de electrones y huecos resulta proporcional al campo .Como tienen cargas de signos opuestos se mueven en sentido contrario , pero también conducen la corriente en el mismo sentido. ♠ si consideramos simultáneamente los dos procesos que proveen al flujo en el semiconductor, éste será la suma de las componentes de arrastre y difusión . Podemos escribir la densidad de corriente de huecos : ( Jp ) como : Jp = q μp p E − q Dp ∂p ∂x arrastre difusión y la de electrones : Jn = q μn n E + q Dn ∂n ∂x • Obsérvese que los términos de arrastre en las dos ecuaciones tienen el mismo signo algebraico porque el campo eléctrico origina corrientes de igual sentido con las partículas cargadas con signos opuestos.


• En cambio los términos de difusión tienen signos algebraicos opuestos porque un gradiente dado de concentración haría que los dos tipos de partículas se difundieran en el mismo sentido y por lo tanto transportarían corrientes eléctricas en sentidos opuestos debido a los signos opuestos de las cargas. • En el caso de equilibrio que estamos considerando tanto Jn como Jp son idénticamente nulas pues se compensan los términos de arrastre y difusión . Caso del semiconductor en condiciones de inyección en bajo nivel Vimos que en un semiconductor pueden crearse portadores en exceso, tanto huecos como electrones de conducción por distintos métodos. Las características dinámicas principales de estos portadores en exceso es que son arrastrados por un campo eléctrico, que se difunden alejándose de las regiones de concentración elevada y que desaparecen por recombinación.

En este caso también podemos escribir ecuaciones similares a las vistas en el caso de equilibrio, que dan el flujo de cargas en el semiconductor considerando ahora las concentraciones de equilibrio más las generada en exceso donde figuran n y p .

Nota : En el caso del semiconductor fuera de equilibrio la recombinación provee una variación de concentración por unidad de tiempo (velocidad de recombinación neta) y una distribución de portadores no constante en algunos casos a lo largo del eje x.

El flujo de portadores que se origina debido a este hecho se produce mediante el mecanismo de difusión . La recombinación en sí misma no provee flujo de portadores en el semiconductor. Los portadores inyectados difunden debido a que existe recombinación que hace disminuir las concentraciones de huecos y electrones; es decir, provee gradiente de concentraciones. El efecto Thompson en metales y semiconductores . Este efecto es interesante para ilustrar lo anteriormente expuesto. ♦ En metales


distribución de portadores

metal

portadores generados térmicamente

fuente de calor

difusión de portadores

desaparición del proceso

Supongamos una barra metálica que se calienta en forma no uniforme, según se ve en la figura . Obsérvese la distribución de portadores en exceso así como la corriente de difusión. En la tercer representación en la figura se mantiene la inyección térmica , mientras que en la siguiente, ésta cesa y se produce el retorno al equilibrio.

El efecto Thompson

se produce cuando al fenómeno de inyección térmica le agregamos el arrastre de portadores por parte del campo eléctrico.

distribución de portadores generados .. térm icam ente

cam po externo arrastre difusión difusión

El campo eléctrico aplicado dará origen a la aparición de una fem. entre los extremos de la barra.

♦ En semiconductores El proceso será similar excepto que tendremos dos tipos de portadores. Puede observarse en la figura siguiente la aparición de la fem.


Conducción eléctrica en campos magnéticos : Efecto Hall El movimiento de los portadores de carga adquiere nuevas características en presencia de un campo magnético. En el estudio de estas características, se emplea un filamento de un sólido al que se aplica un campo E en sentido longitudinal y un campo H perpendicular a E. Como consecuencia se produce en el filamento un voltaje en dirección perpendicular a las de E y H .

sem iconductor

fuente de calor


creación de pares


− +


−

+

Este voltaje se llama voltaje hall y es un efecto de suma utilidad en

la física de los semiconductores , porque permite estudiar directamente la concentración de los portadores de carga y su tipo de signo .

Analicemos el efecto hall según la geometría de la siguiente figura.


En ausencia del campo magnético los electrones se mueven en una dirección x opuesta a la dirección de E y se produce una densidad de corriente Jx.

La fuerza f sobre el electrón es igual a: fx = q Ex Si sólo se aplica el campo magnético H en la dirección de z , la fuerza magnética sobre un electrón estará dirigida en la dirección y , y será igual a: fm = - 1/c v x H donde :

fmy = -1/c vx. Hz Esta fuerza empujara a los electrones ( cargas negativas ) en la dirección de la superficie inferior del filamento.Como consecuencia se formara un campo eléctrico Ey que cancelara el efecto del campo magnético. vx Hz Jx Hz Ey = ---------- = --------- c n q c La medida de este campo eléctrico Ey nos da la concentración de electrones n. El campo eléctrico será negativo cuando los portadores de cargas estén constituidos por huecos ( semiconductores tipo p) .

El campo eléctrico es mucho mayor en los semiconductores que en los metales , debido a que en estos últimos n es mucho mayor . Al medir simultáneamente el efecto Hall y la conductividad eléctrica se obtiene el valor de la movilidad μH , denominada movilidad Hall, ya que: Jx Hz 1

Fy . σ = ---------- . μqn = ----- Jx Hz μH n e c c Volver

Efecto Hall en un semiconductor intrinseco

y z E

x H

Ez Ey

Hz

Efecto Hall en distintos materiales

y z E

x HSemiconductor intrinseco

Ey

HzSemiconductor tipo N

- - - - - - - - -

Semiconductor tipo P

+ + + + + + + + +

Conductor

- - - - - - - - - -


Superconductividad . La superconductividad es un fenómeno caracterizado esencialmente por la ausencia de resistencia al paso de la corriente eléctrica. Así pues un superconductor puede dejar pasar cantidades importantes de corriente, incluso a través de una sección muy estrecha sin sufrir perdidas por calentamiento. Del mismo modo , si se induce una corriente en un anillo superconductor la corriente puede circular indefinidamente por el anillo sin ninguna atenuación. Este estado de superconducción lo presentan solamente algunos materiales cuando son enfriados a temperaturas muy bajas. Sin embargo , no es esta la única propiedad que se observa en los materiales superconductores . Otra propiedad muy característica es la repeler los campos magnéticos inducidos en las proximidades del material superconductor. Este fenómeno se pone de manifiesto por la experiencia de levitación magnética o efecto Meissner , que consiste en la suspención o flotación en el aire de un imán cuando se sitúa encima de una muestra superconductora. En la actualidad existen dos modelos que se emplean para explicar este fenómeno . Nos limitaremos a presentar uno de ellos , por simplicidad el que más se aproxima a los modelos empleados en este curso. Modelo de la molécula de dos electrones:

Este modelo supone que por debajo de una temperatura critica que denominaremos de superconducción Ts los iones están fijos en sus posiciones de equilibrio ( sin vibrar alrededor de ella ).

En la figura se observa un corte plano de una red cristalina en la cual todos los iones se encuentran inmóviles en sus posiciones de equilibrio.


e •

•

Cuando un electrón de conducción ( móvil a lo largo de la red , y por lo tanto alejado del núcleo del ion ), se acerca a ella , la atracción electrostática entre este y los iones , hará que la red se deforme.

Los iones más próximos al electrón saldrán de su posición de equilibrio acercándose a este.

•

A medida que el

electrón avanza, avanza con el la deformación , la cual tiene la forma aproximada de dos troncos de pirámide unidas en su base menor.

• •

Si aparece otro electrón en la misma dirección , vera que la red deformada forma una especie de cono .

Esto hace que este

electrón siga la misma trayectoria que el anterior. Obsérvese la siguiente figura.

• •

Por lo tanto la

configuración de fuerzas de la red sobre los electrones hace parecer como si estos se atrajeran constituyendo una molécula , que se desplaza por la red.


Obviamente esta molécula sólo puede existir dentro de la red cristalina cuando esta a temperaturas menores a Ts.

Al estar formada por dos electrones de spin ±½ , su espín (suma algebraica de ambos será 0 o 1. Por lo tanto al ser de spin entero , esta molécula no responderá no a la estadística cuántica de Fermi-Dirac y si lo hará a la estadística cuántica de Bose-Einstein. Por lo tanto para ella no regirá el principio de exclusión de Pauli. Por lo tanto todas las moléculas de dos electrones que se formen podrán tener la misma energía ( como los fotones ) , si esto ocurre se pude demostrar que cualquier perdida de energía por colisión contra la red es despreciable. Es decir podemos suponer que se mueven sin colisionar con la red por lo que su resistividad será igual a cero. Alta inyección Efectos de altas corrientes en los semiconductores En altos niveles de corriente, la concentración de portadores inyectados puede exceder por mucho la concentración de dopaje del material ( p ej.: pn >> ND ). En este caso para que se mantenga la neutralidad de carga en el material , la concentración de electrones y de huecos debe igualarse. Por lo tanto la concentración de mayoritarios también se incrementara cuando los portadores minoritarios se incrementen . Esta condición se conoce como modulación de la conductividad del semiconductor. En la situación de modulación de la conductividad , el semiconductor , aparece como si estuviera más fuertemente ¨dopado¨ cuando el nivel de inyección se incrementa. Recordemos que cuanto más dopamos un material este se vuelve más conductor , es decir su resistividad disminuye. (vease la figura siguiente) A altos niveles de corriente, una significativa carga espacial estará presente en todo el material.


Más adelante veremos que esta ultima hará desaparecer las diferencias entre regiones neutras y regiones de carga espacial .

N Densidad de dopantes (cm-3)1021

1020

1019

1018

1017

1016

1015

1014

1013

1012

10-4 10-3 10-2 10-1 100 101 102 103 104 ρResistividad ( Ω / cm )

Boro

Fosforo

Nota : Un fenómeno similar ocurrirá durante la descarga de arco en un gas. Volver


MODULO X

El proceso de conduccion electrica

2da parte :

La ruptura dielectrica objetivos: Completar el estudio de la conduccion electrica cuando aparecen efectos de ionizacion por colisiones.


Contenidos del modulo

Introducción el efecto avalancha el efecto tunel Procesos de ruptura en solidosruptura de semiconductores ruptura en aisladores ruptura en conductores Ruptura en gasesRegimen transitorio de la descarga electrodica. Descripcion del proceso de ruptura dielectrica en un gas. Ley de Paschen Interpretacion de la ley de Paschen Regimen permanente de la descarga electrodica de corriente continua en un gas. ( Descarga gaseosa automantenida ) Descarga a bajas presiones regiones de la descarga Regimenes de la descarga luminiscente a- luminiscencia normal b- luminiscencia anomala Descarga a altas presiones descarga de corona descarga radiante descarga en chispa descarga en arco

FISICA ELECTRONICA MODULO X 2

Introduccion : En el capitulo anterior cuando se elaboro el modelo de conduccion electrica , aunque no se lo explicito , se supuso que el campo electrico aplicado era bajo. En este capitulo se estudiara que sucede con la conduccion electrica cuando el campo electrico adopta valores cada vez mas altos .

Por simplicidad comenzaremos el estudio a partir de polarizar con una tension negativa un semiconductor tipo N , analizaremos que ocurre con el movimiento de los electrones y a posteriori intentaremos generalizar los resultados.

semiconductor N -Vpol

En la medida que el campo electrico aumenta en modulo empiezan a ocurir los siguientes fenomenos , que analizaremos en la cercanias de la banda prohibida :

Aumenta la inclinacion de las bandas .

e n e r g ia d e lo s e le c t r o n e s

b a n d a d e c o n d u c c io n

V 2

K

V 1 K

K V = 0 b a n d a d e v a le n c ia

lo n g i tu dd e

c o l is io n

v a lo r d e l ae n e r g ia c in e t ic ae n e l m o m e n tod e la c o l i s io n

El ancho de la banda prohibida en la direccion del eje x disminuye Si suponemos en nuestro modelo de conduccion que la distancia recorrida por el electron entre colisiones no varia sustancialmente , se ve que la energia cinetica que el electron adquiere a lo largo de su recorrido aumenta a medida que Vpol crece en valor absoluto , lo que implica que en


cada colision cede mas energia a la red a medida que Vpol crece , aumentando asi mas la temperatura de la red T . La temperatura de la red se puede incrementar hasta : T ≤ T cambio de fase Superada esta temperatura la red se destruye , fundiendose en este caso el material. Ionizacion por impacto Antes de llegar al cambio de fase puede ocurrir que :

e n e r g i a d e l o s e l e c t r o n e s

b a n d a d e c o n d u c c i o n

V 2

K

V = 0 b a n d a d e v a l e n c i a

Para determinado valor del campo, la energia cedida a la red , durante la colision , puede alcanzar un valor tal que permita que un electron se desprenda de esta durante el impacto electron-red. Cada uno de estos electrones se acelerara y colisionara a su vez con la red arrancando a su vez otro electron , por lo tanto se generara un efecto en cascada .

el efecto avalancha Para un incremento mayor del campo valor del campo, la energia cedida a la red aumenta , hasta alcanzar un valor tal que permita que en cada colision se desprendan de esta 2 o 3 electrones durante la colision. Cada uno de estos electrones a su vez se acelerara y colisionara con la red arrancando nuevamente 2 o 3 electrones , por lo tanto el efecto de ionizacion en cascada aumentara generandose una avalancha . Esta avalancha aumentara notablemente la conductividad del material a la vez que aumentara la temperatura de este . A menos que uno pueda controlar este efecto denominado de avalancha , manteniendo la temperatura del material por debajo de Tcf , el material procedera a destruirse.


el efecto tunel Si seguimos aumentando el campo aplicado, la banda prohibida continuara inclinandose y para una dada energia E , el ancho de esta en la direccion del eje x disminuira. Por otra parte habra estados en la banda de valencia y en la de conduccion que tengan la misma energia E. Por lo tanto si combinamos ambos fenomenos vermos que para un valor dado del campo electrico aplicado, el ancho de la banda prohibida en la direccion de x sera tal que permitira que por efecto tunel , electrones de la banda de valencia pasen a la de conduccion haciendo que el material conduzca.



V 2

K

E •




V 2

K

E •


Nota: Observe que estos fenomenos que se dan en el seno de un material tienen su correlato con otros que se dan en la superficie de los materiales.

• • •

V

El fenomeno de emision secundaria se da cuando un electron que se desplaza en el vacio choca contra una superficie . Si su energia cinetica es baja, cedera energia la red del material y esta se calentara, pero en cambio si su enrgia cientica es alta puede al chocar arrancar 2 o 3 electrones del material los que constituyen una emision secundaria.


Observe su similitud salvando las distancias con el fenomeno de avalancha. En gases este fenomeno puede tambien ser producido por la colision de iones pesados contra superficies.

metal + V

V •

x

El fenomeno de emision por campo intenso se da cuando sobre la superficie de un material se aplica un campo lo suficientemente grande que permite que se desprendan electrones por efecto tunel.

Volver Procesos de ruptura en solidos Por simplicidad comenzaremos la descripcion del fenomeno de ruptura dielectrica en semiconductor y luego a partir de este describiremos los del aislador y del conductor. ruptura de semiconductores En los semiconductores la ruptura dielectrica se puede dar por cualquiera de los mecanismos mencionados , la predominancia de uno u otro quedara determinada por el Eg y por la cantidad de impurezas que se hayan agregado al material Ni. A mayor Eg y a menores Ni predominara el efecto de avalancha, a menores Eg y mayores Ni predominara el efecto tunel. En los semiconductores estos procesos no son necesariamente destructivos , solo lo seran si la temperatura del semiconductor supera la de fusion de este. ruptura en aisladores Un aislante en general tiene grandes Eg y pequeños Ni, por lo tanto el fenomeno predominante sera el de avalancha , no obstante en algunos casos especiales la ruptura sera por efecto tunel. Por otra parte en general los aislantes son malos conductores del calor, lo que hara que una vez comenzado el efecto de ruptura , la falta de disipacion termica hara que se produzca un recalentamiento localizado produciendo en ese punto la destruccion del material por cambio de fase o volatilizacion.


ruptura en conductores En este caso al no existir la banda prohibida solo se podra producir la ruptura por efecto avalancha. Como en este caso la cantidad de portadores es muy elevada ( mucho mayor que la de los semiconductores , en los cuales los portadores son escencialmente los provenientes de las impurezas Ni ), rapidamente se producira una elevacion de la temperatura del material , la que provocara a su vez un aumento de su resitividad , perdiendo linealidad el mismo , hasta llegar a la fusion . Cabe destacarse que este proceso en los conductores se produce con campos mucho menores que en los otros casos y el proceso de ruptura puede interrumpirse antes de la fusion del material. NOTA: En la figura siguiente se pude ver fuera de escalas relativas las curvas genericas para un conductor , un semiconductor y un aislador respectivamente.Se indican las distintas zonas de conduccion.

I

V

ZonaohmicaZona

deperdida

delinealidad

Zonade

saturacion

zonade

ruptura


Volver Ruptura en gases Introduccion : La ruptura dielectrica de un gas , en un recipiente cerrado que lo contenga puede hacerce de dos formas : - introduciendo un par de electrodos dentro del gas (acoplamiento capacitivo ), ( descarga electrodica ) - mediante una bobima que rodee el recipiente ( acoplamiento inductivo ) , ( descarga inelectrodica ) Nos abocaremos al estudio de las descargas electrodicas en el regimen de descarga continuo. En una descarga electrodica de corriente continua , debemos considerar : - el regimen transitorio de la descarga ( transitorio de encendido ) en el cual se produce la ruptura dielectrica del gas y, - el regimen permanente de la descarga Si bien en este capitulo analizamos preferentemente la ruptura dielectrica ( transitorio ) en este caso tambien nos explayaremos sobre el regime permanente de la descarga a altas y bajas presiones. Regimen transitorio de la descarga electrodica. Consideremos el caso de un gas contenido entre un par de electrodos planos . A travez de estos es posible aplicarle al gas un campo electrico . Como vimos en el capitulo anterior existira una pequeña cantidad de electrones libres producto de la ionizacion exterior.

Las causas de la ionizacion pueden ser distintos agentes exteriores:

A V

-radiacion cosmica , -rayos X , -radiacion radiactiva , o -bombardeo de la moleculas ( o atomos ) del gas con electrones o iones a gran velocidad.


La intensidad de la ionizacion se mide por el numero de pares de particulas cargadas con signo contrario que surgen en la unidad de voumen del gas en la unidad de tiempo. Los electrones libres ( producto de la ionizacion externa) al ser acelerados por el campo externo aplicado , colisionaran con los atomos del gas. Definamos energia de exitacion , al valor de la energia que debe poseer un electron para que al chocar contra un atomo del gas , pueda promover uno de los electrones externos del atomo a una orbita mas alejada del nucleo, es decir , a un nivel de energia mas alto . El valor de la energia de exitacion Wexc es siempre menor que el de la energia de ionzacion Wi , ya que no alcanza para extraer al electron del atomo en cuestion.

En la tabla se dan los valores de las energias de exitacion y de ionizacion de algunos gases . Se denomina potencial de ionizcion ϕi a la diferencia de potenciall del campo electrico acelerador que debe recorrer un electron para que ell aumento de su energia sea igual al trabajo

de ionizacion, es decir :

Gas Wexc(eV)

Wi(eV)

hidrogeno 11,1 13,5helio 20,8 24,5neon 16,6 21,5argon 11,6 15,5xenon 8,4 12,1kripton 10,4 14,0

vapores de mercurio 4,9 10,4

ϕi = Wi / e

donde e es la magnitud absoluta de la carga del electron. Para que se produzca ionizacion por choque ( colision )de un gas monoatomico con electrones o iones es necesario que la particula ionizante tenga una energia cinetica cuyo valor sea : ½ m v2 ≥ Wi ( 1 + m / M ) ≈ Wi donde Wi es el trabajo o energia de ionizacion y M la masa del atomo de gas. Para producir ionizacion por choque , los iones monovalentes deben recorrer un campo acelerador de mayor diferencia de potencial que el campo acelerador que deberian recorrer los electrones. Esto es valido tambien en la ionizacion de moleculas que consten de cualquier numero de atomos. nota : Observese que la energia cinetica escrita anteriormente en valor medio es la temperatura electronica .Por lo que un aumento del valor del


campo externo aplicado se traduce en un aumento de temperatura electronica. Por otra parte si comparamos con un semiconductor : Wi cumple en el atomo la misma funcion de Eg en el semiconductor. Por lo que es esperable encotrar curvas V-I en esta region similares a las de los semiconductores, excepto los ordenes de magnitud. Descripcion del proceso de ruptura dielectrica en un gas. Si observamos la figura tendremos :

1- agentes externos ionizan el gas , generando una carga volumetrica por unidad de tiempo. 2- existe una region “ohmica” donde un incremento de la tension aplicada ( V ) es lineal con un incremento de la cooriente que circula ( I ). En esta region

podemos expresar la densidad de corriente J como : J = e n0 ( u+ + u- ) E donde :

I

Descarga autonoma

Descarga no autonoma

Is T0 T1 T2

Vs VR V

u+ : movilidad de los iones positivos u- : movilidad de los iones negativos n0 : numero de pares electron - ion positivo monovalente en la unidad de volumen e : valor absoluto de la carga del electron. Para presiones entre 10-4 y 10-2 atm. u+ y u- son inversamente proporcionales a la presion del gas. 3- como la ionizacion que genera los portadores de carga es externa y por lo tanto independiente de la tension aplicada . Para incrementos mayores de esta ultima habra una perdida de la linealidad con la corriente , debido a que los portadores de carga que se generan por unidad de tiempo en un volumen dado , permanecen constantes frente a las variaciones de esta. 4- en la region T0 la corriente se satura porque no aumentan los portadores de carga. En esta region las colisiones electron-atomo no alcanzan a ionizar a este ultimo. En esta region todos los iones que surgen en el gas alcanzan los electrodos , y por tanto : IS = e N0


donde : N0 es el numero maximo de pares de iones monovalentes. 5- en la region T1 los electrones adquieren energia que les permite comenzar a ionizar los atomos por colision lo cual genera un leve aumento de la corriente. 6- en la region T2 la ionizacion adicional proviene de los siguientes procesos: ( todos de origen colisional ) ♦Los electrones en su recorrido producen mas de una ionizacion.

♦Los iones positivos producidos por colisiones electronicas han adquirdo suficiente energia para generar ionizacion adicional .

♦La emision de electrones por el catodo cuando este es bombardeado por los iones positivos.

♦La fotoemision debida a la llegada al catodo de fotones producidos en el gas producto de la ionizacion.

7- En la region siguiente el conjunto de fenomenos descriptos alcanza una magnitud tal que genera un numero suficiente de cargas libres las cuales mantienen la descarga , aun cuando cese la accion del agente ionizante externo . Esto se produce a la tension o potencial de encendido Ve

, o tension disruptiva VR . Nota : Los procesos descriptos de 2 a 6 cesan si cesa la ionizacion exterior por esto esta region de la descarga se denomina no autonoma . T1 , T2 : se denominan descargas de Towsend. Por otra parte durante la descarga no autonoma , la distribucion de carga entre los electrodos es homogenea , por lo que el campo electrico es lineal entre ellos. Nota : No perdamos de vista que el modelo de conduccion electrica en un gas es similar al de un solido . Una vez que tengo generados los portadores de carga , estos son acelerados desde el reposo por el campo hasta que colisionan con un atomo al que le ceden totalmente su energia , quedando de nuevo en reposo , a continuacion se repite el proceso. El atomo incrementa su energia cinetica ( “aumenta su temperatura” ) , o parte de esa energia se emplea en exitar un electron ligado. Si la energia cedida es mayor que Wi el atomo se ioniza por colision. Nota :


Para entender en claridad que ocurre en las regiones T1 , T2 y de ruptura deberemos tener en cuenta lo siguiente : - Para que un electron ionice un atomo por colision debera una energia cinetica igual a Wi .Mientras gana esta energia , habra recorrido una distancia que llamaremos λi .Observese que a medida que el campo aplicado aumente, λi disminuira . - Por otra parte sabemos de la fisica estadistica de gases que un electron antes de colisionar con un atomo recorrera “un camino libre medio“ λc . - Para que al colisionar un electron ionizara un atomo deberian ser : λc ≥ λi - Pero aqui surge una contradiccion puesto que para una presion dada y un campo electrico aplicado , λi es una magnitud fija mientras que λc es una magnitud promedio estadistica. - Por lo tanto la inecuacion anterior no es estrictamente cierta ,

puesto que si λc sigue una distribucion normal , para que comenzara la ionizacion por choque bastaria solo que λi ≤ λc+3 σ para que una pequeña cantidad de electrones comenzara a ionizar por choque. ( principio de la zona T1 ) Observese que de los electrones libres

generados en la colision solo una infima parte llegara a ionizar un atomo.

Funcion distibucion del camino libre medio recorrido por un electron en un gas

λc−σ λc λc+σ x

- Si el campo se incrementa λi disminuira hasta que en algun momento llegara a ser : λi ≤ λc − 3 σ - En este caso todos los electrones generados por colision llegaran a ionizar un atomo al colisionar .( final de la region T2 , comienzo de la region de ruptura ). Es decir se genera un efecto de avalancha. - No obstante esta condicion anterior de por si no basta para generar la ruptura dielectrica del gas , puesto que para ello la avalancha debe llegar a tener una impotante cantidad de portadores que permitan que la descarga se automantenga sin ionizacion externa. - Esto ultimo implica decir que para que la avalancha se pueda desarrollar debe cumplirse que si D es la distancia que debe recorrer un electron para llegar de un electrodo a otro , entonces debe ser :


λc <<< D Para que pueda desarrollarse la avalancha. Esto nos lleva a estudiar como afectan la presion y la distancia entre electrodos la ruptura dielectrica. - Conviene recordar que una descarga electrodica no solo se genera por un efecto de avalancha sino que intervienen otros factores ya mencionados , pero que son todos de indole colisional. Ley de Paschen : Segun la teoria aproximada de Towsend la condicion para la tension de encendido Ve del gas es : γ ( eα d − 1 ) = 1 donde : d , distancia entre electrodos α , coeficiente de ionizacion volumetrica del gas por los electrones ( o primer coeficiente de Towsend ) , que es igual al valor medio de la cantidad de ionizaciones producidas por un electron en un recorrido de longitud unitaria γ , coeficiente de ionizacion superficial ( otro coeficiente de Towsend ), que es igual al numero de electrones arrancados del catodo por un ion positivo. Para un gas y un material de catodo dados , tenemos que : α - B ----- = A . e E / p

p

y para dos electrodos planos :

E = V / d donde : A , B : constantes que dependen del gas p : presion del gas V : tension entre electrodos E : campo en la zona interelectrodica. Reemplazando las dos ultimas ecuaciones en la primera , y despreciando en esta el 1 frente ala exponencial , se obtiene la ley de dependencia de la tension de encendido Ve con el producto p.d , concida como ley de Paschen : B . P . d Ve = ------------------------- ln ⎡ A p d


⎤

⎣ ln ( 1/ γ ) ⎦

Las coordenadas del minimo de la curva de Paschen son:

Ve

Vemin

(p.d)min (p.d)

region de encendido

Ve

1 2

Vemin

(p.d)min (p.d)

Ve min = 2,718 B/A ln 1/γ p.d min = 2,718 / A ln 1/γ Por encima de la curva de Paschen siempre se produce la ruptura dielectrica del gas. (p.d)min divide la region de descarga en dos : 1- si (p.d) < (p.d)min la ruptura se realiza a travez del recorrido mas largo. 2- si (p.d) > (p.d)min la ruptura se realiza a travez del recorrido mas corto.

Observese que si disminuyen: - el potencial de ionizacion - el trabajo de salida de los electrones del catodo. Ve disminuye.

Algunas constantes de interes


Metal Ar H2 He Aire N2 NeAl 0.12 0.095 0.021 0.035 0.10 0.053Ba 0.14 ------ 0.100 ------ 0.14C ------ 0.014

Cu 0.058 0.050 ------ 0.025 0.066Fe 0.058 0.061 0.015 0.020 0.059 0.022Hg ------ 0.008 0.020K 0.22 0.22 0.17 0.077 0.12 0.22

Mg 0.077 0.125 0.031 0.038 0.089 0.11Ni 0.058 0.053 0.019 0.036 0.077 0.023Pt 0.058 0.020 0.010 0.017 0.069 0.023W ------ ------ ------ ------ ------ 0.045

Electrones emitidos por metales por ion positivo incidente( valor de γ para iones lentos )

Gas A B rango de E / p⎡ V ⎤⎣cm. mmHg ⎦

Aire 14.6 365 150----600Ar 13.6 235 100----600

CO2 20.0 466 500----1000H2 5.0 130 150----400

H2O 12.9 289 150----1000He 2.8 34 20----150

Constantes de la ecuacion -B

α / p = A. e E / p

Interpretacion de la ley de Paschen : Estudiaremos el instante inicial ( transitorio ) en el cual se produce la descarga , a bajas presiones.

En la lampara de la figura el capacitor esta cargado a un tension V > Ve , para que al cerrarse la llave se produzca la descarga instantaneamente. La experiencia se repite a tres presiones distintas En la figura se observa que pasa en este transitorio. Arriba a la izquierda de la figura se ha representado una lampara sin gas y las lineas de campo que generan las placas paralelas. A continuacion se ha representado la misma lampara a distintas presiones del gas , a la izquierda , se remarcan las lineas de campo por las cuales se produce la descarga. A la derecha la luminosidad de la descarga ,

cuanto mas oscura mas intensa.

Lampara al vacio .no se produce descarga.

P1 < P2 < P3

Lampara a presion P1




A la menor presion P mayor λc , es decir si :

P1 < P2 < P3

entonces se verifica que :

λc1 > λc2 > λc3

Como los electrones se moveran a lo largo de la linea de campo, distintas , estos recorreran distintas distancias D en su recorrido de un electrodo a otro . Habiamos visto que para que existiera avalancha debia verificarse que :

λc << D Por lo tanto , se verificara que la descarga a bajas presiones solo se podra producir a lo largo de la linea de campo de mayor longitud , a medida que la presion aumente , se producira por lineas de campo de menor longitud. Nota : El estudio recien hecho se hizo en el regimen transitorio , en el regimen de descarga electrodica continuo, debido a las distintas velocidades de electrones e iones el potencial electrico entre placas pierde linealidad , lo que motiva un reexamen del proceso en este regimen. No analizaremos en el presente curso descargas inelectrodicas . En estas la emision secundaria de iones por parte del catodo debido al bombardeo de iones no existe . Regimen permanente de la descarga electrodica de corriente continua en un gas. ( Descarga gaseosa automantenida ) Volver Descarga a bajas presiones : Al superarse la tension de encendido comenzara a observarse una luminiscencia en el tubo de descarga que es caracteristica de la descarga autonoma . Por otra parte la gran cantidad de portadores de carga ( respecto de la descarga no autonoma ) y la gran diferencia de movilidad entre electrones e iones , llevara a que el potencial entre placas no sea mas una funcion lineal de la distancia entre estas .


ca todo an odo (− ) (+ )

V ac

(− ) (+ ) 0 l x

q

x

En la figura se puede

observar : - La apariencia fisica

de la descarga - El potencial entre

electrodos - La distribucion de

carga espacial neta en la descarga.

En esta descarga la ionizacion por colision predomina , sus variantes son : 1- Los electrones en su recorrido producen mas de una ionizacion.( avalancha ) 2- Los iones positivos producidos por colisiones electronicas han adquirdo suficiente energia para generar ionizacion adicional . 3- La emision de electrones ( secundarios )por el catodo cuando este es bombardeado por los iones positivos. 4- La fotoemision debida a la llegada al catodo de fotones producidos en el gas producto de la ionizacion. El proceso 3 de emision secundaria es el predominante en este tipo de descarga. regiones de la descarga

A continuacion describiremos detalladamente las regiones en que podemos dividir la descarga y los procesos predominantes en estas. Espacio oscuro de Aston

Espacio oscuro de FaradayEspacio oscuro de Crookes

Brillo .catodico

Plnega

anotivo

columna positiva


(−) Los electrones secundarios emitidos por el catodo en su camino al anodo se acumulan en el espacio oscuro de Aston. Algunos se recombinancon los iones cercanos al catodo ocasionando el brillo catodico. Otros logran atravesar esta ultima region sin ser capturados y llegan a la region oscura de Crookes donde son acelerados por la carga espacial de iones positivos. Estos electrones acelerados en la region anterior adquieren energia suficiente para producir colisiones inelasticas , que exitan el gas produciendo el brillo negativo. Esta luminiscencia es debida fundamentalmente a la recombinacion de electrones e iones con atomos o moleculas neutras y tiene un espectro continuo. El extremo del brillo negativo que se encuentra del lado del anodo indica el punto en el cual la energia de los electrones es demasiado baja para producir exitacion posterior. Estos electrones son acelerados todavia mas en el espacio oscuro de Faraday . Las regiones descriptas hasta aqui representan la parte catodica de la descarga. Los electrones acelerados en la zona de Faraday producen la columna positiva. La cual se extiende casi hasta el anodo y donde la carga espacial neta es cero. En esta se observa una gran y constante concentracion de electrones e iones positivos ( plasma de descarga gaseosa) , debida a la ionizacion por colision de los electrones con las moleculas del gas . El numero de electrones que se encuentra en la columna positiva es controlado por la perdida de estos (por recombinacion con los iones ) en las paredes del tubo . Puesto que la corriente enla columna positiva no varia, esta perdida debe ser compensada por la ionizacion dentro de la columna. La produccion de electrones a lo largo de toda la columna positiva origina una distribucion radial de la densidad de los electrones que tiene su maximo en el eje y su minimo en las paredes. Esta distribucion de densidad produce un campo electrico que actua principalmente sobre los movimientos radiales de los iones y de los electrones , aumentando la velocidad de difusion de los iones y disminuyendo la de los electrones . Este campo electrico transversal es el causante de que la columna positiva imite en su forma , al tubo de descarga gaseosa , independientemente de la forma y disposicion del anodo y catodo.


En la grafica del potencial se observa que junto al catodo se produce una brusca caida de potencial debida a la gran concentracion de iones positivos en el limite entre las zonas de Crookes y la del brillo negativo . La caida de tension en los limites de la columna positiva es relativamente pequeña , y siendo iguales las demas condiciones , aumenta al disminuir el diametro del tubo de descarga gaesosa. La zona fundamental de la descarga , en la que se producen los procesos de ionizacion volumetrica del gas , necesarios para mantener la descarga , es el espacio oscuro de Crookes .(o espacio oscuro del catodo ) Se denomina longitud del espacio oscuro del catodo

( lc ) a la distancia entre el catodo hasta el punto de la descarga en que la curva V(x) tiene su maximo La caida de tension ΔVc a lo largo del espacio oscuro del catodo se denomina caida de tension catodica.

catodo anodo (−) (+)

Vac

(−) (+) 0 l x

q

x

La descarga luminiscente puede tener lugar solo si la distancia entre electrodos es d ≥ lc . La luminiscencia de la columna positiva ,que determina las propiedades opticas de la descarga luminiscente, esta relacionada con la radiacion de los atomos (o moleculas) exitados del gas. La recombinacion de los electrones e iones se produce principalmente en las paredes del tubo de descarga gaseosa, calentandolas.

La columna positiva frecuentemente es a franjas , es decir cuenta con franjas claras y oscuras que se alternan.


Regimenes de la descarga luminiscente :

I ( A )

arco 10 1

zona de transicion 10-1

10-2 luminiscencia anormal luminiscencia normal 10-4

zona de transicion 10-6

descarga automantenida

10-10

descarga no autonoma

10-12

Va Ve V ( V )

a- luminiscencia normal : Cuando el aumento de la intensidad de corriente no produce aumento en la densidad de corriente en el catodo.( a medida que crece la corriente crece el area del catodo que participa en la descarga ⇒ crece el brillo negativo hasta cubrir todo el catodo ⇒ disminuye la resistencia del plasma )

brillo negativo cubriendo todo el catodo

brillo negativo inicial

b- luminiscencia anomala : Cuando un aumento de la intensidad de corriente produce un aumeto en la densidad de corriente del catodo ( todo el catodo participa de la descarga ⇒ la resistencia del plasma permanece constante, por lo tanto para aumentar la corriente hay que aumentar la tension entre electrodos ⇒ aumenta el campo en el catodo y la carga espacial )


La figura muestra las caidas de potencial entre anodo y catodo para las distintas descargas.

V(x)

3- Luminiscencia anormal 2- Luminiscencia normal

1- descarga oscura (antes de la ruptura )

X catodo anodo

Nota : Si en la descarga luminiscente normal la presion del tubo es bastante pequeña , el espacio oscuro catodico ocupa casi todo el tubo. En este caso el haz de electrones se desplaza desde el catodo hasta las paresdes del tubo casi libremente, es decir , sin sufrir colisiones con las moleculas del gas. Estos haces de electrones se denominan rayos catodicos . Por otra parte se llaman rayos canales , (positivos o anodicos ) a los haces de iones positivos que se desplazan libremente en sentido opuesto.Para obtenerlos en una descarga luminiscente , se hace un pequeño orificio ( canal ) en el catodo . Los iones positivos que caen en este orificio lo atraviesan y pasan ala region detras del catodo formando un haz de rayos canales. Volver Descarga a altas presiones A presiones altas y normales se observan varios tipos de descargas gaseosas : - descarga de corona o efluvio electrico - penacho o descarga radiante - chispa electrica - descarga en arco


descarga de corona: Se produce en un gas que se halla en un intenso campo electrico no uniforme, es decir, junto a electrodos cuyas superficies presentan pequeños radios de curvatura ( por ej. junto alas puntas de objetos , en los conductores de las lineas de alta tension , etc. ) La ionizacion del gas y su luminiscencia se produce solamente en espacios raltivamente pequeños junto al electrodo de superficie de pequeño radio de curvatura y recibe el nombre de capa de efecto corona . El electrodo correspondiente se llama electrodo de efecto corona. La region restante de la descarga , que se halla fuera de la capa de efecto corona ( o de las dos capas si la corona aparece en los dos electrodos ) se denomina region de la corriente negra. Cuando la corona aparece en el catodo , corona negativa , los iones positivos arrancan al catodo los electrones que originan la ionizacion volumetrica del gas. Cuando la corona aparece en el anodo , corona positiva , los electrones surgen junto al anodo por fotoionizacion del gas debido a la radiacion de la capa de efecto corona . En la region de corriente negra , la conductibilidad del gas es relativamente pequeña ya que se realiza solamentea costa de las particulas cargadas de un mismo signo que vienen de la capa de coronacion . Por eso la intensidad de corriente en el efecto corona , adiferencia de otrs clases de descarga automantenida , viene determinada por la resistencia de la region de la corriente negra y no por la resistencia de la parte exterior del circuito.

-

70 75 85 110 kV

En la figura se observa la iniciacion de una corona positiva (para una varilla de 2cm de diametro ) Se observa la variacion del “ volumen inicial ” en funcion del voltaje aplicado.

descarga radiante Al elevar la tension , el efecto corona adquiere la forma de penacho luminiscente, constituyendo un haz de intermitentes lineas quebradas


luminosas que salen de la punta del electrodo . Esta descarga se llama radiante , en penacho o simplemente penacho. descarga en chispa Si la tension entre los electrodos alcanza el potencial de ruptura Vr ( tension de ruptura de la chispa ) , el efecto corona se transforma en chispa electrica. La chispa electrica tiene la forma de intermitentes y brillantes lineas en zig-zag que se bifurcan , estos son canales de gas ionizado que atraviesan la region de descarga y desaparecen sustituyendose por nuevos . La chispa va acompañada de un gran desprendimiento de calor y una brillante luminosidad del gas . Los fenomenos que originan este tipo de descarga los originan las avalanchas de electrones y de iones que surgen en los canales de descarga , donde la presion aumenta alcanzando el valor de centenares de atmosferas y la temperatura se eleva hasta 104 ºC . Nota Un ejemplo de la chispa es el rayo , en este el canal de descarga puede tener de 10 a 25 cm de diametro y una longitud de varios kilometros siendo su intensidad maxima de intensidad de corriente de mas de 105 A. Nota A iguales condiciones , el potencial Vr para la corona positiva es menor que para la corona negativa. Nota La tension Vr y la tension de cebado para el efecto corona Vc dependen de la distancia d entre electrodos. Con la disminucion de d , la tension Vr baja mas deprisa que Vc , es decir , el intervalo de tensiones que va desde Vc hasta Vr disminuye. A la distancia critica dcr , se hace Vr = Vc Si d < dcr , tendremos que Vr < Vc y no puede haber efecto corona. Nota Los tipos de descarga descriptos se producen a altas tensiones (miles de Volts ) . Examinemos ahora un tipo de descarga que se produce a bajas tensiones ( decenas de volts )


descarga en arco La descarga en arco se produce a gran densidad de corriente siendo la tension entre los electrodos de varias decenas de voltios .

Es resultado de de una intensa emision termoionica del catodo incandescente . Los electrones se aceleran en el campo electrico y , chocando con las moleculas del gas las ionizan . Es por eso que la resistencia electrica del espacio gaseoso entre electrodos no es muy grande . Al elevar la intensidad de la corriente de descarga de arco, la conductibilidad del espacio gaseoso aumenta de tal manera , que la tension entre los electrodos

del arco cae . ( caracteristica decreciente corriente - tension )

catodo anodo columna del arco

V(x)

Va

Vc

x dc da

Distribucion de potencial tipicaa lo largo de un arco

La temperatura del catodo ( a la presion atmosferica ) alcanza los 3000 ºC . Al bombardear el anodo , los electrones forman en este un hoyo o crater del arco , con una temperatura de unos 4000 ºC ( a p = 760 mmHg.) . La temperatura del gas en el canal es de 5000 - 6000 ºC. Si la descarga se produce a una temperatura del catodo relativamente baja ( ej. lampara de mercurio ) el papel fundamental lo emplea la emision de campo de los electrones del catodo. (emision en frio )


Fisica Electrónica I

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