Fisica General [taringa.net]

F sica GeneralIgnacio Mart Bragado n [email protected] 2 de febrero de 2004

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(C) Ignacio Mart Bragado. [email protected] n

Indice general1. Distribucin de este documento o 2. Introduccin o 2.1. Signos empleados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Esquema 4. Introduccin al clculo vectorial o a 4.1. Magnitudes escalares y vectoriales . . . 4.1.1. Representacin matemtica . . . o a 4.2. Operaciones vectoriales unarias . . . . . 4.2.1. Operaciones unarias diferenciales 4.3. Operaciones vectoriales binarias . . . . . 4.3.1. Equivalencia . . . . . . . . . . . 4.3.2. Suma y resta . . . . . . . . . . . 4.3.3. Producto escalar . . . . . . . . . 4.3.4. Producto vectorial . . . . . . . . 4.3.5. Producto mixto . . . . . . . . . . 11 13 13 15 17 17 17 17 18 18 18 18 19 19 21 23 23 23 24 24 25 25 25 26 27 27 27 28 29 29 29 29 29 30 30 30 31

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5. Cinemtica a 5.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . o 5.2. Velocidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3. Aceleracin . . . . . . . . . . . . . . . . . o 5.4. Componentes intr nsecas de la aceleracin o 5.5. Clasicacin de movimientos . . . . . . . o 5.6. Composicin de movimientos . . . . . . . o 5.6.1. Translacin pura . . . . . . . . . . o 5.6.2. Rotacin pura . . . . . . . . . . . o 5.7. Resolucin de problemas . . . . . . . . . . o 5.7.1. Tiro parablico . . . . . . . . . . . o 5.7.2. Componentes intr nsecas . . . . . . 5.7.3. Clculo de trayectorias . . . . . . . a 6. Dinmica a 6.1. Introduccin . . . . . . . . . . . o 6.2. Leyes de Newton . . . . . . . . 6.2.1. Ley de la inercia . . . . 6.2.2. Segunda ley de Newton 6.2.3. Tercera ley de Newton . 6.3. Fuerzas especiales que aparecen 6.3.1. Normal . . . . . . . . . 6.3.2. Rozamiento . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . en problemas . . . . . . . . . . . . . . . . 3

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6.4. El momento lineal . . . . . . . . . . . . 6.4.1. Conservacin del momento lineal o 6.5. Conservacin de la energ . . . . . . . . o a 6.6. Resolucin de problemas . . . . . . . . . o 6.6.1. Planos inclinados . . . . . . . . . 6.6.2. Curvas . . . . . . . . . . . . . . . 6.6.3. Casos l mite . . . . . . . . . . . . 7. Consideraciones energticas e 7.1. Introduccin . . . . . . . . . o 7.2. Trabajo . . . . . . . . . . . 7.2.1. Trabajo conservativo 7.3. Potencia . . . . . . . . . . . 7.4. Energ . . . . . . . . . . . a 7.5. Conceptos previos . . . . . 7.5.1. Energ cintica . . a e 7.5.2. Potencial . . . . . . 7.6. Conservacin de la energ . o a 7.6.1. Rozamiento . . . . . 7.7. Impulso . . . . . . . . . . . 7.8. Gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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8. Dinmica de un sistema de part a culas 8.1. Conceptos y deniciones primarias . . 8.2. Centro de masas . . . . . . . . . . . . 8.2.1. Teorema de Pappus . . . . . . 8.3. Dinmica del centro de masas . . . . . a 8.3.1. Velocidad . . . . . . . . . . . . 8.3.2. Aceleracin . . . . . . . . . . . o 8.3.3. Momento lineal . . . . . . . . . 8.3.4. Energ . . . . . . . . . . . . . a 8.4. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . 8.4.1. Sistema de referencia del centro 8.4.2. Problemas de dos cuerpos . . . 8.4.3. Colisiones . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . de masas . . . . . . . . . . . .

9. Dinmica de la rotacin a o 9.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 9.1.1. Slido r o gido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.1.2. Analog . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . as 9.2. Momento de una fuerza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3. Momento angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.4. Momento de inercia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.4.1. Teorema de Steiner o de los ejes paralelos . . . . . . . . . . . 9.4.2. Teorema de las guras planas o de los ejes perpendiculares. . 9.4.3. Relacin del momento de inercia respecto a un punto con los o tres ejes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.5. Ecuacin de la dinmica de rotacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . o a o 9.5.1. Conservacin del momento angular . . . . . . . . . . . . . . . o 9.6. Energ de rotacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a o 9.7. Algunos problemas t picos de rotacin . . . . . . . . . . . . . . . . . o 9.7.1. Cuerpos rodantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.7.2. Poleas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.7.3. Esttica y equilibrios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a 4


INDICE GENERAL

9.7.4. 9.7.5. 9.7.6. 9.7.7.

Clculo de la aceleracin angular de un cuerpo . a o Clculo de momentos de inercia . . . . . . . . . . a Variacin de la forma del cuerpo que gira . . . . o Conservacin de la energ para cuerpos rodantes o a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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10.Conceptos generales de campos 10.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . o 10.2. Denicin . . . . . . . . . . . . . . . o 10.3. Formalismo matemtico . . . . . . . a 10.4. Flujo de un campo vectorial . . . . . 10.5. Gradiente de un campo . . . . . . . 10.6. Ley de Gauss . . . . . . . . . . . . . 10.7. Circulacin . . . . . . . . . . . . . . o 10.8. Representacin grca de los campos o a 10.8.1. Campo escalar . . . . . . . . 10.8.2. Campo vectorial . . . . . . .

11.Gravitacin y campo gravitatorio o 11.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 11.2. Ley de la gravitacin universal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 11.2.1. Enunciado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2.2. Las leyes de Kepler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2.3. Principio de superposicin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 11.3. Campo gravitatorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3.1. Concepto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3.2. Entidad matemtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a 11.4. Energ potencial gravitatoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a 11.5. Problemas concretos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.5.1. Clculo de la fuerza gravitatoria ejercida por un sistema de a part culas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.5.2. Clculo de la fuerza gravitatoria ejercida por un cuerpo continuo a 11.5.3. Problemas de satlites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 11.5.4. Velocidad de escape . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.5.5. Medida de la gravedad en la supercie de un planeta . . . . . 11.5.6. Clculo de la atraccin gravitatoria de algunos slidos simples a o o 12.Campo y potencial elctrico e 12.1. Preliminar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.2. Ley de Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.2.1. Principio de superposicin . . . . . . . . . . . . . o 12.3. Campo elctrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 12.4. Ley de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.5. Potencial y energ elctrica . . . . . . . . . . . . . . . . a e 12.5.1. Algunos casos particulares de potencial elctrico e 12.6. Condensadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.6.1. Asociacin de condensadores . . . . . . . . . . . o 13.Movimiento armnico simple o 13.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . o 13.2. Dinmica del sistema . . . . . . . . a 13.2.1. Ecuacin del movimiento . o 13.2.2. Periodicidad de la ecuacin o 13.2.3. Velocidad . . . . . . . . . . 13.2.4. Aceleracin . . . . . . . . . o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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INDICE GENERAL

13.3. Energ . . . . . . . . . a 13.3.1. Energ cintica a e 13.3.2. Energ potencial a 13.3.3. Energ mecnica a a 13.4. El pndulo simple . . . . e

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14.Ondas 14.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 14.1.1. Tipos de ondas . . . . . . . . . . . . . 14.2. Ecuacin general de una onda . . . . . . . . . o 14.3. Ecuacin de una onda armnica . . . . . . . . o o 14.3.1. Periodo y frecuencia . . . . . . . . . . 14.3.2. Longitud de onda y nmero de ondas u 14.4. Consideraciones energticas de las ondas . . . e 14.4.1. Energ . . . . . . . . . . . . . . . . . a 14.4.2. Potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.4.3. Intensidad . . . . . . . . . . . . . . . .

15.Fenmenos ondulatorios o 15.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 15.2. Principio de Huygens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.3. Interferencia entre ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.3.1. Ondas coherentes: Interferencias constructivas y destructivas 15.3.2. Ondas estacionarias: Propagacin en direcciones opuestas . . o 15.4. Otras propiedades de las ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.4.1. Difraccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 15.4.2. Polarizacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 15.4.3. Otras propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.5. Reexin y refraccin de la luz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o o 15.5.1. Reexin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 15.5.2. Refraccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 15.5.3. Principio de Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16.Electromagnetismo 101 16.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 o 16.2. Fuerza de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 16.2.1. Fuerza sobre una corriente elctrica . . . . . . . . . . . . . . 102 e 16.3. Campo magntico debido a una carga en movimiento . . . . . . . . . 102 e 16.3.1. Campo magntico producido por una corriente elctrica . . . 103 e e 16.4. Ley de Amp`re . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 e 16.5. Resolucin de problemas t o picos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 16.5.1. Part cula sometida a un campo magntico constante y uniforme104 e 16.5.2. Fuerza magntica experimentada por un conductor recto y e perpendicular al campo magntico . . . . . . . . . . . . . . . 104 e 16.5.3. Campo magntico creado por un conductor recto e innito . 104 e 16.5.4. Campo producido por una espira en su eje . . . . . . . . . . . 105 16.5.5. Campo magntico en el interior de un solenoide innito . . . 106 e 16.5.6. Fuerzas entre corrientes paralelas . . . . . . . . . . . . . . . . 107 17.Induccin electromagntica o e 17.1. Introduccin . . . . . . . . o 17.2. Ley de Faraday-Henry . . 17.2.1. Ley de Lenz . . . . 17.3. Fuerza electromotriz . . . 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 109 109 110 110


INDICE GENERAL

17.4. Autoinduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 17.4.1. Induccin mutua . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 17.5. Energ magntica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a e 17.6. Problemas y aplicaciones de induccin electromagntica o e 17.6.1. Generadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.6.2. Transformadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.6.3. Autoinduccin de un solenoide . . . . . . . . . . o

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18.La naturaleza de la luz. Dualidad onda corp sculo de la materia u 18.1. Introduccin histrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o o 18.2. El cuerpo negro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.3. El efecto fotoelctrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 18.3.1. Descripcin del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 18.3.2. Solucin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 18.4. Efecto Compton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.5. Naturaleza ondulatoria de la materia . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.6. Resumen: Dualidad onda-corpsculo de la luz y la materia . . . . . . u 19.Fundamentos de F sica Nuclear 19.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 19.2. El ncleo atmico . . . . . . . . . . . . . . . . . u o 19.2.1. Algunas deniciones . . . . . . . . . . . 19.2.2. Caracter sticas . . . . . . . . . . . . . . 19.3. Radiactividad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.3.1. Radiactividad . . . . . . . . . . . . . 19.3.2. Radiactividad . . . . . . . . . . . . . 19.3.3. Radiactividad . . . . . . . . . . . . . 19.4. Caracter sticas de los procesos radiactivos . . . 19.4.1. Cintica de las reacciones nucleares: Ley e 19.4.2. Las series radiactivas . . . . . . . . . . . 19.5. Reacciones nucleares . . . . . . . . . . . . . . . 19.5.1. Fisin nuclear . . . . . . . . . . . . . . . o 19.5.2. Fusin nuclear . . . . . . . . . . . . . . o A. Esquemas y formulario A.1. Clculo vectorial . . . . . . . . . . . . . . a A.2. Cinemtica . . . . . . . . . . . . . . . . . a A.2.1. Movimiento circular . . . . . . . . A.3. Dinmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . a A.3.1. Translacin . . . . . . . . . . . . . o A.3.2. Rotacin . . . . . . . . . . . . . . o A.4. Trabajo y Energ . . . . . . . . . . . . . a A.5. Movimiento armnico simple . . . . . . . o A.6. Campo y potencial elctrico y gravitatorio e A.7. Circuitos de corriente continua . . . . . . A.8. Electromagnetismo . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . de desintegracin o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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B. Movimiento de un cuerpo en el campo gravitatorio miento con el aire B.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o B.2. Planteamiento de la ley de Newton . . . . . . . . . . . B.3. Interpretacin de la ecuacin de Newton . . . . . . . . o o B.4. Conclusin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . oF sica General. http://www.ele.uva.es/imartin/libro/index.html

bajo el roza137 . . . . . . . . 137 . . . . . . . . 137 . . . . . . . . 137 . . . . . . . . 138 7

INDICE GENERAL

C. Tablas y frmulas utiles o C.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . o C.2. Clculo complejo . . . . . . . . . . . a C.3. Clculo vectorial . . . . . . . . . . . a C.4. Funciones elementales . . . . . . . . C.4.1. Trigonomtricas . . . . . . . e C.4.2. Logar tmicas y exponenciales C.5. Derivacin . . . . . . . . . . . . . . . o C.5.1. Propiedades generales . . . . C.5.2. Tabla de derivadas . . . . . . C.6. Integracin . . . . . . . . . . . . . . o C.6.1. Denicin y propiedades . . . o C.6.2. Tabla de integrales . . . . . . D. Agradecimientos Bibliograf a

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139 139 139 139 139 139 140 140 140 140 140 140 141 143 144

8


Indice de guras4.1. El angulo entre dos vectores y sus proyecciones. . . . . . . . . . . . . 5.1. Relacin vectorial entre unos y otros sistemas. El conductor ver la o a piedra que cae como rcp = rc rp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1. 6.2. 6.3. 6.4. Descomposicin de las fuerzas en un plano inclinado. . o Cul ser la aceleracin de este sistema? . . . . . . . a a o Distintas situaciones ante una curva. . . . . . . . . . . Desde qu altura podr una masa realizar un bucle?. e a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 26 33 34 36 37 46 56 70 75 81 86 87 90 91 92 93 97 97 98 98

7.1. A qu velocidad llegar al nal?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e a 9.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11.1. Campo g generado por una varilla delgada. . . . . . . . . . . . . . . 12.1. Asociacin de condensadores en serie y en paralelo. . . . . . . . . . . o 13.1. Descomposicin de las fuerzas en un pndulo. . . . . . . . . . . . . . o e 14.1. Periodo de una onda armnica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 14.2. Longitud de onda de una onda armnica. . . . . . . . . . . . . . . . o 15.1. Esquema de un fenmeno de interferencias. . . . . . . . . . o 15.2. Representacin de una interferencia (casi) constructiva. . . o 15.3. Representacin de una interferencia destructiva. . . . . . . . o 15.4. Experiencia de Young. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.5. Reexin de una onda. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 15.6. Explicacin segn el principio de Huygens de la reexin. . o u o 15.7. Refraccin de una onda. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 15.8. Explicacin segn el principio de Huygens de la refraccin. o u o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16.1. Geometr para calcular el campo magntico en el eje de una espira. 105 a e 16.2. Trayectoria para un solenoide innito. . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 17.1. Circuito con una resistencia y una autoinduccin. . . . . . . . . . . . 111 o 17.2. Corriente alterna. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 17.3. Esquema simplicado de un transformador. . . . . . . . . . . . . . . 114 18.1. Dibujo de un cuerpo negro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 18.2. Distribucin espectral de la radiacin emitida por un cuerpo negro a o o distintas temperaturas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 18.3. Dispositivo simplicado para la medicin del efecto fotoelctrico. . . 118 o e 9

INDICE DE FIGURAS

19.1. Serie radiactiva del uranio.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

10


Cap tulo 1

Distribucin de este o documentoEste libro ha sido escrito ntegramente por Ignacio Mart Bragado y todo su n material es original, incluyendo los grcos que contiene, excepto los iconos de ama pliacin, recuerda, nota, problema y resolucin que han sido tomados del proyecto o o GNOME (distribuido con licencia GPL) y modicados. Ha sido compuesto utilizanA do L TEXsobre un ordenador AMD K6 utilizando un sistema operativo GNU/Linux. Se permite la reproduccin de los contenidos de este libro siempre y cuando o quede absolutamente expl cita la procedencia de este documento y su autor y se conserve esta leyenda. No se permite la modicacin de ningn tpico de este libro. Si desea realio u o zar alguna correccin hgalo ponindose en contacto con el autor en la direccin o a e o [email protected] La direccin web original de este material es: o http://www.ele.uva.es/~imartin/libro/index.html

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CAP ITULO 1. DISTRIBUCION DE ESTE DOCUMENTO

12


Cap tulo 2

Introduccin oEste esquema pretende ser una pequea gu para resolver los problemas de n a f sica evitando las confusiones ms usuales. No obstante no existe un sistema que a resuelva los problemas de f sica, sino que, cada uno, presenta una faceta que hemos de descubrir haciendo uso de nuestra razn. o Este esquema no pretende ser un chuletario de los distintos tipos de problemas y como solucionarlos, sino slo una iniciacin bsica en el arte de resolver problemas o o a de f sica. El planteamiento de las ecuaciones que intervienen en los procesos f sicos es, a nivel general, algo complicado, puesto que son muchos los fenmenos que pueden o presentarse. En esta gu iremos desgajando los distintos procesos que pueden darse a y las ecuaciones involucradas. La creacin de este esquema ha sido un proceso complicado. Inicialmente conso tituy unos breves apuntes que se impart para un curso del (extinto o en v o an as de extincin) COU, pero se fueron aadiendo cosas y mezclando parte de los cono n tenidos bsicos de dicho curso con algunas consideraciones de a ndole ms prctica a a fruto de la experiencia en el aula. Actualmente el nivel de este libro hace que pueda ser utilizado para la asignatura de F sica de 1o de las carreras de ciencias. Para 2o de Bachillerato quizs su a nivel exceda un poco en algunos temas y no contenga otros. En cualquier caso la concepcin nal de este libro es como Curso de f o sica general y no como un libro de texto de ningn curso espec u co de Facultad ni Instituto.

2.1.

Signos empleadosNota

Cuando aparezca algn comentario de inters, si bien no sea importante u e para el desarrollo del tema, se tratar de esta manera. a Las partes del desarrollo que excedan un poco los objetivos de este libro, pero no por ello dejen de ser interesantes o importantes aparecern de esta a manera.

Ampliacin o

Aquellos prrafos que sean muy importantes o que sea conveniente a recordar, ya que pueden constituir algn dato esencial o un resumen de u todo lo dicho se indicarn de esta forma. a

Recuerda

P El enunciado de algunos problemas que sean posteriormente resueltos. 13

Problema

CAP ITULO 2. INTRODUCCION

R La resolucin del problema con los clculos y explicaciones pertio a nentes.

Resolucin o

14


Cap tulo 3

EsquemaPara plantear un problema de f sica se pueden seguir los siguientes pasos: Hacer un dibujo explicativo. Esto supone haber le antes bien el enunciado do comprendiendo exactamente qu datos se ofrecen y qu resultados se piden. e e Elegir un sistema de coordenadas adecuado, que ser aquel que nos facilite a la posterior resolucin del problema. Hay que ser coherente con el sistema de o coordenadas que se elija, reriendo posteriormente a l todas las cantidades e con sus correspondientes signos. La eleccin de un sistema de coordenadas no siempre es unica, pero en cualo quier caso hay que hacer una que otorgue sencillez al problema, por coincidir, generalmente, con algn punto particular que pueda dar posteriormente ms u a simplicidad al planteamiento o a los clculos. a Comprobar las fuerzas que intervienen en el problema. Suelen ser siempre menos de las que parecen. Sobre todo no hay que olvidar la fuerza de gravedad, de rozamiento, posibles tensiones, fuerzas elsticas1 as como sus reacciones. a Considerar las proyecciones sobre los ejes. Una vez comprobadas las fuerzas que intervienen en el problema habr que proyectarlas sobre los ejes del sisa tema de coordenadas, para poder as darlas un tratamiento vectorial. Esta proyeccin es ms sencilla de lo que suele parecer. Basta recordar las relacioo a nes sin y cos . Plantear las ecuaciones para cada eje. Pueden ser ecuaciones dinmicas del a tipo F = ma o cinemticas. Hay que ser conscientes de que la nica frmua u o F = ma, pero que, como sta es una ecuacin e o la que se suele emplear es vectorial, se descompone en tantas ecuaciones como dimensiones tenga el movimiento, o lo que es lo mismo, en tantas proyecciones como ejes tenga nuestro sistema de coordenadas elegido. Como en pasos anteriores ya hemos considerado las fuerzas que intervienen y sus proyecciones este paso no debe ser sino un recuento cuidadoso de las fuerzas que aparecen en un determinado eje o direccin ligndolas con la o a ecuacin correspondiente. o Este paso es estudiado ms ampliamente en los cap a tulos siguientes. Relacionar las ecuaciones planteadas con los datos que tenemos y los que queremos saber. Es decir, encontrar el sistema matemtico que nos lograr ena a contrar la solucin. o1 Cuando

hay muelles.

15

CAP ITULO 3. ESQUEMA

Resolver los sistemas matemticos involucrados. Este es un mero ejercicio a matemtico en el cual buscaremos la solucin al problema. a o Interpretar la solucin. La interpretacin de la solucin consiste en mostrarse o o o cr ticos hacia los resultados logrados, plantendose si estos son coherentes con a la intuicin, con lo que esperbamos que saliera, si responden bien al criterio o a de signos y sistema de coordenadas elegido, si tienen un orden de magnitud 2 apropiado y estn en las unidades oportunas, as como todo lo que nos parezca a oportuno indagar en nuestra propia solucin. o En caso de que el resultado parezca correcto lo cual, lamentablemente, no quiere decir que lo sea, podremos dar por concluido el problema. En caso contrario es conveniente volver a repasar todo el ejercicio, o la parte de la cual nos mostremos insegura, para ver si detectamos alguna inconsistencia.

2 Es

decir, si no son demasiado grandes o pequeos. n (C) Ignacio Mart Bragado. [email protected] n

16

Cap tulo 4

Introduccin al clculo o a vectorial4.1. Magnitudes escalares y vectoriales

Llamamos magnitud escalar, o simplemente escalar, a toda magnitud que puede expresarse simplemente con un unico nmero. Por ejemplo, el peso o la altura de u una persona es una magnitud escalar. Se denomina magnitud vectorial o vector a aquella medida para la cual necesitamos dar algo ms que un slo nmero. Por ejemplo, para saber la velocidad a o u del viento adems de su intensidad, es decir, tantos kilmetros por hora, se requiere a o conocer su direccin y sentido, y as saber si viene del norte hacia el sur, etc. . . Este o tipo de magnitudes se denominan vectores.

4.1.1.

Representacin matemtica o a

Matemticamente un escalar se representa con un unico nmero1 y un vector a u con una serie de coordenadas, tantas como dimensiones tenga el espacio en el que se representa. As un vector v se representa como v = (vx , vy , vz ) = vx + vy + vz k, siendo vx , vy y vz las componentes del vector, es decir, sus proyecciones sobre los ejes x,y y z. A su vez , y k son los vectores unitarios en las direcciones de los ejes x,y y z respectivamente.

4.2.

Operaciones vectoriales unarias

Se llama mdulo de un vector a lo que ste mide. Se calcula como o e |v| = v =2 2 2 vx + v y + v z .

(4.1)

Proyeccin de un vector sobre un eje es la sombra de dicho vector sobre el eje o si la luz que proyecta dicha sombra cayera justo perpendicularmente. As las proyecciones de un vector v sobre los ejes x,y y z sern vx , vy y vz respectivamente. a1 Que

normalmente pertenece al cuerpo de los nmeros reales u

17

CAP ITULO 4. INTRODUCCION AL CALCULO VECTORIAL

El inverso de un vector es dicho vector con sus proyecciones cambiadas de signo. La suma de un vector y su inverso da siempre el vector nulo. v = (vx , vy , vz ). Vector nulo es aquel vector cuyo mdulo es cero. Este vector es especial, pues carece o de direccin y sentido. o 0 = (0, 0, 0). Vector unitario de otro dado v es aqul que, teniendo la misma direccin y sentido e o que el que se da, presenta un mdulo igual a 1, se representa como v . As o v= v . |v|

4.2.1.

Operaciones unarias diferenciales

Para derivar un vector v respecto a un parmetro t se deriva componente a a componente. d d d d v = ( vx , vy , vz ). dt dt dt dt Para integrar un vector v respecto a un parmetro t se integra componente a a componente. v dt = ( vx dt, vy dt, vz dt).

4.3.

Operaciones vectoriales binarias

Las operaciones binarias necesitan dos vectores para poder operar sobre ellos. Las ms conocidas son: a

4.3.1.

Equivalencia

Dos vectores son iguales si sus coordenadas son iguales. Es decir a = b ax = b x , a y = b y , a z = b z .

4.3.2.

Suma y resta

La suma de varios vectores tambin se denomina resultante de dichos vectores. e Para sumar un vector a a otro b se suma componente a componente, es decir a + b = (ax + bx , ay + by , az + bz ). Para restar un vector a de otro b se suma el inverso del vector b, es decir: a b = (ax bx , ay by , az bz ). La resta de dos vectores iguales son es el vector cero. a a = 0. 18(C) Ignacio Mart Bragado. [email protected] n


4.3.3.

Producto escalar

El producto escalar de dos vectores da como resultado un escalar, como indica su nombre. Para multiplicar as escalarmente un vector a por otro b se opera a b = |a||b| cos(). (4.2)

Siendo el angulo que forman los vectores a y b entre ellos. El producto escalar de dos vectores, dadas sus componentes, se puede realizar tambin sabiendo que e a b = a x bx + a y by + a z bz . (4.3) Observando las relaciones que marcan (4.2) y (4.3) y teniendo presenta adems a la relacin del mdulo de un vector expuesta en (4.1) se pueden deducir las siguientes o o propiedades del producto escalar: Es nulo si alguno de los dos vectores es el vector nulo. Es nulo si los dos vectores son perpendiculares. Para proyectar un vector a sobre un eje marcado por un vector b basta con realizar la operacin o ab proyb (a) = . |b| Dados dos vectores se puede calcular el angulo que forma entre ellos usando la relacin o cos() = |a||b| ab = a x bx + a y by + a z bz a2 + a 2 + a 2 x y z b2 + b 2 + b 2 x y z .

4.3.4.

Producto vectorial

Introduccin o El producto vectorial, representado como a b o bien como a b, tiene las siguientes propiedades: Es perpendicular tanto a a como a b. Es decir, a b a y a b b. Su mdulo es ab sin , siendo el angulo que forman entre ellos. Tambin, o e a b = ab sin . Su sentido est dado por la regla del sacacorchos, entendiendo que hay que a mover el sacacorchos desde el primer vector al segundo. Clculo de las componentes de a b a Demostraremos en 4.3.4, quizs no muy rigurosamente, pero si ganando a cambio a mucho en simplicidad, como se puede llegar a este resultado. En cualquier caso, para hallar cuales son las componentes del vector producto vectorial basta con saber que si a = ax + ay + az k y b = bx + by + bz k, entonces: ab= ax bx ay by k az bz = (ay bz az by )+ (az bx ax bz )+ (ax by ay bx )kF sica General. http://www.ele.uva.es/imartin/libro/index.html

(4.4)

19


Expresin anal o tica del producto vectorial Ampliacin o Tomando a b = c henos exigido que tanto ac como que bc. Es decir ax c x + a y c y + a z c z bx cx + b y cy + b z cz = = 0 . 0 (4.5)

Adems parece lgico suponer que este nuevo vector deber ser indepena o a diente del sistema de coordenadas que elijamos, con lo cual vamos a tomar uno en el que el vector a coincida con el eje y y el b se encuentre contenido en el plano xy, formando entre ellos un angulo . Despejando cx en una de las ecuaciones (4.5) tenemos que cx = ay cy az cz ax (4.6)

y, sustituyendo en la otra se consigue que cy = bz cz ax + bx ay cy + bx az cz . b y ax (4.7)

Operando un poco en la expresin (4.7) de tal forma que podamos expresar o cz en funcin de cy tendremos que o cz = cy (by ax bx ay ) b x az b z ax (4.8)

y ahora no queda ms que ver el signicado de esta expresin para lograr el a o resultado nal. De las relaciones (4.5) tenemos que c debe ser perpendicular tanto a a como a b y, por tanto, en el caso concreto que hemos elegido, c debe estar en el eje z, es decir, c = k. Ahora bien, precisamente por esta misma razn o cy = 0 y, segn la relacin (4.8) cz deber ser tambin cero, cosa que no tiene u o a e sentido. Una posible solucin ser hacer ver que la relacin no es vlida porque o a o a estamos dividiendo por cero, y, ya que cy tambin es cero, igualar ambos e trminos. As tendr e amos cy = bx az bz ax y podr amos simplicar cy con el denominador2 . Una vez extra cy se tendr tambin que cz = by ax bx ay , do a e y slo quedar hallar cx usando nuevamente las ecuaciones (4.5). Quedar o a a, no en s demostrado, pero si razonado, el por qu de expresar el producto e vectorial de la manera reseada en (4.4). n

Clculo de reas con el producto vectorial a a Antes de nada: cmo es posible qu el producto vectorial, que da como resultado o e un vector, sea reutilizable para calcular un area?. Responder a esta pregunta es sencillo si, para ello, tenemos en cuenta el mdulo del producto vectorial, que ser un o a escalar. Sabemos ya que |a b| = ab sin donde representa el angulo formado por ambos vectores. Esto puede verse en la gura 4.1. Tambin nos damos cuenta que e b sin puede interpretarse como la altura del tringulo formado por a, b y la a unin de sus dos extremos. Con lo que resulta que |a b| resulta ser la base a por o la altura b sin , y por tanto |a b| = Atria 2 donde Atria es el area del tringulo anteriormente dicho. a2 Teniendo 0 . 0

presente que esta simplicacin est muy tomada por los pelos... ya que se trata de o a

20



b

b sin b cos Figura 4.1: El angulo entre dos vectores y sus proyecciones.

a

4.3.5.

Producto mixto

A veces se dene el producto mixto entre tres vectores a, b y c como a (b c). (4.9)

Este producto, cuyo resultado puede verse que va a ser un escalar, se puede calcular tambin como el determinante de la matriz 3 3 que se forma con las componentes e de los vectores, es decir ax bx cx ay by cy az bz cz

= a x bx c x + c x a y bz + a z bx c y a z by c x a y bx c z a x bz c y .

Una de las utilidades del producto mixto es que da el volumen de un paralelep pedo formado con las aristas de los vectores a, b y c, ya que si manejamos un poco (4.9) tenemos que: a (b c) = = =

a|b c| cos abc sin cos .

donde bc sin no es sino el area de la base del paralelogramo (ver seccin 4.3.4) y o a cos resulta ser la altura de dicho paralelep pedo. El area de la base por la altura nos da el volumen de este tipo de cuerpos geomtricos. e Ser un buen ejercicio para el lector intentar demostrar ms rigurosaa a mente estas ultimas armaciones

Ampliacin o


21


22


Cap tulo 5

Cinemtica a5.1. Introduccin o

Cinemtica es la parte de la f a sica que estudia el movimiento de los cuerpos, aunque sin interesarse por las causas que originan dicho movimiento. Un estudio de las causas que lo originan es lo que se conoce como dinmica. a Las magnitudes que dene la cinemtica son principalmente tres, la posicin, la a o velocidad y la aceleracin. o Posicin es el lugar en que se encuentra el mvil en un cierto instante de tiempo t. o o Suele representarse con el vector de posicin r. Dada la dependencia de este o vector con el tiempo, es decir, si nos dan r(t), tenemos toda la informacin o necesaria para los clculos cinemticos. a a Velocidad es la variacin de la posicin con el tiempo. Nos indica si el mvil se o o o mueve, es decir, si var su posicin a medida que var el tiempo. La velocidad a o a en f sica se corresponde al concepto intuitivo y cotidiano de velocidad. Aceleracin indica cunto var la velocidad al ir pasando el tiempo. El concepto o a a de aceleracin no es tan claro como el de velocidad, ya que la intervencin o o de un criterio de signos puede hacer que interpretemos errneamente cundo o a un cuerpo se acelera (a > 0) o cundo se decelera (a < 0). Por ejemplo, a cuando lanzamos una piedra al aire y sta cae es fcil ver que, segn sube e a u la piedra, su aceleracin es negativa, pero no es tan sencillo constatar que o cuando cae su aceleracin sigue siendo negativa porque realmente su velocio dad est disminuyendo, ya que hemos de considerar tambin el signo de esta a e velocidad.

5.2.

Velocidadr t

Se dene velocidad media como vm =

tomando los incrementos entre los instantes inicial y nal que se precisen. No obstante, aunque la velocidad media es una magnitud util, hay que destacar que en su clculo se deja mucha informacin sin precisar. As aunque sepamos que a o , la velocidad media de un mvil desde un instante 1 a otro 2 ha sido tantos metros o por segundo, no sabremos si los ha hecho de forma constante, o si ha ido muy lento al principio y rpido al nal o si. . . por eso se dene una magnitud que exprese a 23

CAP ITULO 5. CINEMATICA

la velocidad instantnea, es decir, la velocidad en cierto y determinado instante a y que pueda calcularse como una velocidad media donde los intervalos sean tan pequeos que pueda decirse exactamente a qu velocidad se desplazaba el mvil en n e o cada instante. Es fcil darse cuenta de que esta denicin se logra tomando como a o velocidad instantnea: a r v = l m t0 t y por tanto, coincide con la denicin de derivada respecto al tiempo. As pues se o dene nalmente d v = r. dt De esta denicin se obtienen algunas consecuencias: o La direccin de v va a ser siempre tangente a la trayectoria. o El mdulo de v puede calcularse, adems de operando sobre el vector v, sao a biendo que d |v| = s(t) dt siendo s(t) la distancia que el mvil ha recorrido sobre la trayectoria1 . o

5.3.

Aceleracin o

Aceleracin es la variacin de la velocidad en la unidad de tiempo. Se puede o o denir una aceleracin media entre dos instantes, inicial y nal, como o am = vf v i tf t i

y, de manera anloga a la velocidad, puede denirse una aceleracin instantnea a o a llevando estos instantes inicial y nal muy cerca uno del otro, hasta tener as que la aceleracin instantnea es la derivada de la velocidad respecto al tiempo o a a= d v(t). dt

5.4.

Componentes intr nsecas de la aceleracin o

Tomando el vector velocidad como un mdulo por un vector unitarios, es decir, o como v = |v| v y derivando se tiene que, utilizando la regla del producto para las derivadas (apndie ce C), d d v a = ( |v|) + |v| v . dt dttangencial normal

De estas dos componentes la primera se denomina aceleracin tangencial porque, o como se desprende de su propia denicin, su direccin es la del vector unitario v y o o es por tanto, tangente a la trayectoria. La otra componente es la aceleracin normal. o1 Intuitivamente, para un automvil r ser o an las coordenadas del coche vistas desde un sistema de referencia elegido, y s(t) ser la distancia recorrida por el automvil que va marcando el a o cuentakilmetros. o

24



De la aceleracin tangencial diremos que su mdulo es o o |at | = y su direccin o v= v . |v| d |v| dt (5.1)

Esta at se encarga de medir la variacin de la velocidad sin importarle su direccin o o ni sentido, sino solo su mdulo, es decir, su intensidad. o En cuanto a la aceleracin normal, se puede demostrar que su mdulo es o o |an | = |v|2 , R (5.2)

siendo R el radio de curvatura de la trayectoria, y que su direccin es siempre o perpendicular a la trayectoria y hacia el interior de la curva.

5.5.

Clasicacin de movimientos o

Los movimientos se pueden clasicar segn las componentes intr u nsecas de su aceleracin. o 1. at = 0 a) b) c) 2. an = 0. Movimiento rectil neo a velocidad constante. an = cte. Movimiento circular uniforme. an = cte. Movimiento circular acelerado.

an = 0 a) b) c) at = 0. Movimiento rectil neo a velocidad constante. at = cte. Movimiento rectil neo uniformemente acelerado. at = cte. Movimiento rectil neo acelerado.

3.

an = 0 y at = 0. Movimiento curvil neo.

5.6.

Composicin de movimientos o

Los problemas de composicin de movimientos tienen la dicultad de saber reso pecto a que sistema estamos resolviendo y por tanto determinar siempre las magnitudes respecto al sistema apropiado, bien el especicado por el problema, bien uno elegido adecuadamente. Es comn en este tipo de problemas la presencia de ms de u a un mvil y hay que ser muy cuidadoso para identicar correctamente que mviles o o se mueven y respecto a qu. e

5.6.1.

Translacin pura o

Sus relaciones, que pueden deducirse fcilmente de la suma vectorial y posterior a derivacin respecto al tiempo, son: o r = r + r0 v = v + v0 a = a + a0F sica General. http://www.ele.uva.es/imartin/libro/index.html

(5.3)

25


Piedra que cae. r cp rp rc Coche que avanza

Figura 5.1: Relacin vectorial entre unos y otros sistemas. El conductor ver la o a piedra que cae como rcp = rc rp . En donde intervienen el sistema quieto y el que se mueve, que es el primado. Las magnitudes con el sub ndice 0 son las relativas entre los sistemas de referencia. Una estrategia que suele resultar bastante inteligible de plantear es la siguiente: 1. 2. 3. Plantear un sistema jo, respecto al cual conocemos, al menos, cmo es el o movimiento de uno de los otros sistemas. Dibujar entonces el vector de posicin que buscamos (generalmente el de un o sistema respecto al otro). Relacionar estos vectores entre s como sumas unos de los otros.

Se ha dibujado esto en la gura 5.1. Una vez que conocemos el vector de posicin se puede extraer el resto de inforo macin derivando o realizando la operacin matemtica necesaria. o o a

5.6.2.

Rotacin pura o

En este caso suponemos que un sistema gira respecto al otro con una velocidad angular constante , pero manteniendo el origen en comn. u La frmula interesante es la que relaciona sus velocidades o v =v +r (5.4)

que presenta una dicultad un poco mayor de deduccin, y por eso no se expresa o aqu . Las magnitudes que aparecen en esta frmula son v, que es la velocidad que el o mvil presenta respeto al sistema jo. v , la velocidad del mvil vista desde el o o sistema que rota, y que es la velocidad angular con la cual el sistema mvil rota o respecto al jo, aunque siempre manteniendo en comn su origen de coordenadas. u Por ejemplo, si hubiera una mosca posada en el eje de un tocadiscos y girando con l a una cierta velocidad angular , que observara a un mosquito avanzar e por el disco con una velocidad v , vista desde el punto de vista de la mosca, que est rotando, en este caso: a v Ser la velocidad del mosquito vista desde el eje del tocadiscos, pero el a observador jo, es decir, sin girar. v es la velocidad con la cual la mosca, que gira, ve al mosquito desplazarse por el disco. 26(C) Ignacio Mart Bragado. [email protected] n


es la velocidad angular del disco. r es el vector de posicin del mosquito, en el sistema jo. o

5.7.5.7.1.

Resolucin de problemas oTiro parablico o

Se denomina tiro parablico, en general, a aquellos movimientos que suceden de o forma bidimensional sobre la supercie de la tierra. Para este tipo de mviles el movimiento se descompone en sus componentes 2 x o e y. El movimiento en x no sufre aceleracin, y por tanto sus ecuaciones sern o a Eje x x vx = x0 + v0x t = v0x (5.5)

pero en cambio en el eje y se deja sentir la fuerza de la gravedad, supuesta constante 3 y por tanto sus ecuaciones sern a Eje y y vy1 = y0 + v0y t 2 gt2 . = v0y gt

(5.6)

Algunas preguntas t picas del tiro parablico son calcular el alcance y altura o mxima. Estas preguntas se pueden contestar sabiendo que la altura mxima se a a alcanzar cuando vy = 0. De esta condicin se extrae el tiempo que tarda en alcanzar a o la altura mxima y sustituyendo en la ecuacin de las y se obtiene la altura mxima. a o a El alcance mximo se puede calcular razonando que, para cuando esto suceda, el a mvil volver estar al nivel del suelo y por tanto y = 0, sustituyendo se obtiene t o a y, sustituyendo ste en las x el resultado. Otras cantidades se pueden conseguir de e manera similar.x0 e y0 sern las coordenadas donde el mvil se encuentra en el instante a o t = 0, inicio del movimiento, y vx0 y vy0 la velocidad con la que se mueve en ese instante. Si nos han indicado que el mvil se mov con una velocidad o a v formando un angulo con la horizontal se puede ver muy fcilmente que, a entonces, vx0 = v cos y vy0 = v sin . A su vez el signicado de las variables x e y es el siguiente: stas nos e indican a que distancia horizontal (x) y altura (y) se encuentra el mvil en cada o instante de tiempo t, considerando que estamos tomando como origen para medir estas distancias horizontales y alturas desde el sistema de coordenadas respecto al cual estemos tomando todos los dems datos. a Se podr hacer un estudio ms complejo incluyendo el rozamiento del a a aire. Para esto habr que modicar las ecuaciones x e y a las nuevas ecuaciones a deducidas en el apndice B. e

Nota

Ampliacin o

5.7.2.

Componentes intr nsecasP Sea un mvil cuyo vector de posicin es o o r = (7 3t) + (5t 5t2 ) + 8k (m). Problema

Calcular su velocidad, aceleracin y componentes intr o nsecas de sta, e as como el radio de la trayectoria para t = 0,5s. F sica General. http://www.ele.uva.es/imartin/libro/index.html

27


R Derivo para encontrar v y a. Una primera vez v= y una segunda vez m d r = 3 + (5 10t) dt s a=

Resolucin o

m d v = 10 2 . dt s Ahora calculo el mdulo de la velocidad: o |v| = d dt 9 + (5 10t)2 = 34 100t + 100t2 m s

que, derivado respecto al tiempo nos dar el mdulo de at . a o |at | = 34 100t + 100t2 = m 100t 50 2 s2 34 100t + 100t

y multiplicando por el unitario de v, que es

nos da el vector at at =

3 + (5 10t) v= 34 100t + 100t2 100t 50 m (3 + (5 10t)). 2 34 100t + 100t2 s

Por ultimo podemos calcular an como a at . Haciendo las oportunas m sustituciones tendremos que para t = 0,5s, v = 3m , a = 10s2 , s m at = 0 s2 con lo cual an = 3s2 y de esta forma, podremos despejar el m radio de la trayectoria, que ser a R= v2 = 3m. an

5.7.3.Problema

Clculo de trayectorias aP Dado el vector de posicin de un mvil o o r = 15t + (200 5t2 ),

calcule la ecuacin de su trayectoria. o Resolucin o R Este tipo de problemas se resuelve en general despejando t en una de las ecuaciones de x o de y y sustituyendo en la otra, encontrando as x en funcin de y o al revs. En este caso tenemos que o e x x = 15t t = 15 y sustituyendo en tendremos y = 200 52 Vectores

y = 200 5t2 x 152

y = 200

1 2 x . 45

y .

vlida siempre que el tiro discurra en la supercie terrestre o apreciablemente a en la supercie terrestre.

3 Aproximacin o

28


Cap tulo 6

Dinmica a6.1. Introduccin o

As como la cinemtica se encarga de la descripcin del movimiento de los cuer a o pos, aunque sin entrar en detalles de la causa que hace mover a stos, la dinmica e a estudia precisamente por qu se mueven los cuerpos, es decir, cules son las causas e a que crean la variacin de su estado de movimiento. o

6.2.6.2.1.

Leyes de NewtonLey de la inercia

La ley de la inercia se podr enunciar como a Todo cuerpo permanece en su estado actual de movimiento con velocidad uniforme o de reposo a menos que sobre l acte una fuerza e u externa neta o no equilibrada. donde la fuerza neta de la que hablamos antes ser la suma vectorial de todas las a fuerzas que puedan actuar separadamente sobre el cuerpo. Esta es la razn por la cual es tan peligroso para los astronautas en o el espacio separarse de la nave sin un cordn que los una a ella, ya que si o chocan con algo y salen impulsados, como no acta ninguna fuerza sobre u ellos, seguirn desplazndose uniformemente y separndose de la nave sin a a a posibilidad de volver a ella (a no ser que tengan un pequeo impulsor). n

Recuerda

Nota

6.2.2.

Segunda ley de Newton

Esta ley es la ms importante en cuanto nos permite establecer una relacin a o numrica entre las magnitudes fuerza y aceleracin. Se podr enunciar como e o a La aceleracin que toma un cuerpo es proporcional a la fuerza neta o externa que se le aplica. La constante de proporcionalidad es la masa del cuerpo, con lo que numricamente e esta expresin se denota como o F = ma (6.1) o, en componentes Fi = mai , i = 1, 2, 3 29 (6.2) Recuerda

CAP ITULO 6. DINAMICA

donde F representa la resultante de todas las fuerzas externas al cuerpo, es decir, la suma de dichas fuerzas. F = Fj , j = 1, ... Esta expresin nos relaciona F , m y a de una forma un o voca. Bsicamente nos a dice que el resultado que producen una serie de fuerzas sobre un cuerpo es que dicho cuerpo se acelere en la misma direccin y sentido que la suma de las fuerzas que le o son aplicadas y con una intensidad o mdulo que ser la misma que la resultante o a de las fuerzas dividida entre la masa del cuerpo. NotaAs pues un cuerpo experimenta una aceleracin mientras est siendo o a sometido a una fuerza resultante no nula. Si dicha fuerza cesa el cuerpo adquirir un movimiento rectil a neo uniforme o se quedar quieto, segn el caso. a u

6.2.3.

Tercera ley de Newton

La tercera ley de Newton expresa una interesante propiedad de las fuerzas: stas e siempre se van a presentar en parejas. Se puede enunciar como Recuerda Si un cuerpo A ejerce, por la causa que sea, una fuerza F sobre otro B, este otro cuerpo B ejercer sobre A una fuerza igual en mdulo a o y direccin, pero de sentido contrario. o Gracias a esta ley1 se pueden entender fenmenos como que, para saltar hacia o arriba empujamos la Tierra con todas nuestras fuerzas hacia abajo!. Al hacer esto la Tierra tambin ejerce esta misma fuerza con nosotros, pero con sentido contrario e (es decir, hacia arriba) y como la masa de la Tierra es enorme en comparacin o con la nuestra, el resultado es que nosotros salimos despedidos hacia arriba pero la Tierra no se mueve apreciablemente. As tambin si empujamos una supercie e puntiaguda con mucha fuerza, podemos clavrnosla, porque dicha supercie tambin a e estar empujando nuestro dedo con la misma fuerza que nosotros a ella, y como la a supercie de la aguja es much simo menor la presin que esta hace sobre nuestro o dedo es muy grande. NotaEntonces, si a toda fuerza que se ejerce se opone otra de sentido contrario no deber anularse las fuerzas y nada se podr mover?. No, porque las an a fuerzas se ejercen en cuerpos diferentes. As en el ejemplo del salto, nosotros empujamos a la Tierra y la Tierra a nosotros, pero estas fuerzas no se anulan porque, como es evidente, nosotros y la Tierra somos cuerpos distintos.

6.3.6.3.1.

Fuerzas especiales que aparecen en problemasNormal

Por normal se entiende la fuerza con la que una supercie se opone a un cuerpo que se le sita encima. Si no existiera esta fuerza el cuerpo se hundir en la u a supercie. Esta es, por tanto, la fuerza de reaccin que, obediente al tercer principio o de Newton, la supercie opone al empuje que el cuerpo, por encontrarse encima, hace sobre ella. Esta fuerza es siempre normal a la supercie, es decir, perpendicular a sta. Para e calcular su valor hay que ser bastante cuidadoso y hacer un balance de las fuerzas en los ejes que tomemos, utilizando la normal para compensar las otras fuerzas de la forma en que sea necesario. Problema P Calcule la normal que una mesa ejerce sobre un cuerpo de 10kg si el cuerpo est en reposo. a1 Tambin e

llamada ley de accin y reaccin o o (C) Ignacio Mart Bragado. [email protected] n

30


R Si el cuerpo est en reposo signica que su aceleracin total es a o nula. Entonces aplicando la segunda ley de Newton a un eje vertical tendremos que 0=N P donde hemos supuesto que la mesa est perfectamente horizontal y por a tanto la normal tendr slo una componente en el eje y. As tendremos a o que N = P y por tanto en este caso N = mg. El clculo de la normal en un caso donde haya un cuerpo deslizndose por una a a rampa puede encontrarse en la seccin 6.6. o

Resolucin o

6.3.2.

Rozamiento

Entre dos supercies El rozamiento entre supercies se expresa como Fr = N, siendo siempre de sentido opuesto al del movimiento. Este resultado no se puede demostrar porque se trata de un resultado emp rico, es decir, fruto de la experimentacin. o El coeciente de rozamiento es adimensional y expresa as la relacin entre o la normal que el cuerpo ejerce, es decir, la fuerza con la que el cuerpo empuja la supercie debajo de la cual se encuentra, y el rozamiento que va a sufrir por causa de este empuje. Puede haber dos tipos de coeciente de rozamiento. Un esttico, a que se aplica cuando el cuerpo est quieto y que as utilizado en Fr = N nos va a a , ofrecer la fuerza mxima con la que el rozamiento se va a resistir a que se mueva un a cuerpo que est quieto, y un dinmico que, aplicado en la frmula de rozamiento, a a o nos dice la fuerza que el rozamiento est realizando contra un movimiento. a P Un cuerpo de 4kg est deslizando por una supercie lisa con coea ciente de rozamiento (dinmico) = 0,25. Si sobre este cuerpo no actan a u ms fuerzas que el peso y dicha fuerza de rozamiento con qu aceleraa e cin se mueve el cuerpo?. o R Aplicando la ecuacin de Newton al eje y del movimiento obteneo mos que, en este eje, las fuerzas que aparecen son el peso y la normal y, por tanto, N P = may . Como ay = 0 (un cuerpo sobre una supercie no va botando sobre ella, su altura, medida sobre la supercie, es siempre 0.) tendremos que N = mg. Aplicando ahora Fx = max tenemos que la unica fuerza en el eje x es la de rozamiento, y por tanto Fx = Fr = N = max ax = gm de donde ax = 2,45 s2 . El signo - se debe a que, como estamos suponiendo impl citamente que el cuerpo avanza hacia el signo positivo de las x, el rozamiento se opondr al avance y tendr, por tanto, signo a a negativo.

Problema

Resolucin o


31


Con un uido Rozamiento con un uido2 se expresa con Fr = Kv o bien Fr = Kv 2 u otras potencias de v. Una aplicacin algo compleja sobre la forma de utilizar o esta fuerza de rozamiento puede verse en el apndice B. No es sencillo demose trar por qu esta contribucin nos aporta el rozamiento contra un uido y, e o en algunos casos, es por medio de la experimentacin como se encuentra una o frmula emp o rica ms precisa. a

Ampliacin o

Tensin o En problemas que intervienen cuerdas o poleas tensin es la fuerza que liga unos o cuerpos y otros a travs de la cuerda. La tensin en cada extremo de una misma e o cuerda es siempre igual pero de sentido contrario. Si esta tensin supera un cierto o valor cr tico la cuerda se romper a.

6.4.

El momento lineal

La ley de Newton, expresada como F = ma puede ser utilizada tambin para e demostrar otras relaciones interesantes, siempre que se manipule adecuadamente. Por ejemplo, si denimos una cantidad p a la que llamaremos cantidad de movimiento, podemos decir que una fuerza es la encargada de variar la cantidad de movimiento sobre un cuerpo. De esta forma denamos p tal que F = d p. dt

La pregunta ser ahora tendr p alguna expresin conocida?. Supongamos que un a a o cuerpo con masa constante va a cierta velocidad v. Una fuerza sobre l deber produe a cirle una aceleracin y, por tanto variar su velocidad y su momento lineal. As pues o velocidad y momento lineal deben de ir relacionados de alguna forma. Efectivad mente tomando p = mv nos damos cuenta de que dt mv cuando m es constate es d m dt v = ma = F . Por tanto hemos descubierto una nueva magnitud p que nos ser de gran utilidad a para desarrollos sucesivos. NotaUna forma intuitiva de comprender el momento lineal es como una forma de medir la dicultad de llevar una part cula hasta el reposo. As es claro que, cuanto ms masivo sea un cuerpo y ms velocidad tenga, tanto ms nos a a a costar parar el movimiento de dicho cuerpo. a

6.4.1.

Conservacin del momento lineal o

Cuando la resultante de las fuerzas externas sobre un sistema es nula, qu sue cede con p?. Como la fuerza es la derivada del momento lineal respecto al tiempo, obtenemos que, cuando la fuerza total es cero, esta cantidad que se deriva debe ser constante y, por tanto, si F = 0 esto supone p = cte. Hemos obtenido as que esta magnitud tan interesante, el momento lineal, se conserva, es decir, no var cuando a, no aparecen fuerzas externas sobre un objeto. Por tanto podemos decir que pi = p f .2 Aire,

agua, aceite... (C) Ignacio Mart Bragado. [email protected] n

32


x

Ny

mg cos mg

mg sen

Figura 6.1: Descomposicin de las fuerzas en un plano inclinado. o La importancia de esta igualdad se podr ver mejor cuando hablemos de los a sistemas de part culas, concretamente en la seccin 8.3.3. o

6.5.

Conservacin de la energ o a

Cuando en un problema intervienen sobre el sistema unicamente fuerzas con servativas3 se pude aplicar el teorema de conservacin de la energ Esto supone o a. que Ei = E f , siendo Ei y Ef las sumas de las energ potenciales ms la energ cintica en los as a a e momentos i y f 4 . La explicacin de esta igualdad tan interesante no se expresa aqu porque se o ver ms concretamente en el cap a a tulo 7.4.

6.6.6.6.1.

Resolucin de problemas oPlanos inclinados

Es comn en los problemas la presencia de planos inclinados. En estos casos u habr que tener en cuenta que, as como la gravedad siempre se presenta vertical, la a normal ser perpendicular al plano inclinado, por lo que ningn sistema de coordea u nadas ortogonal tendr exactamente comprendidas las fuerzas en accin en sus ejes. a o Esta pequea dicultad se soslaya de una manera simple, se proyectan las fuerzas n sobre los ejes que estemos utilizando. Una buena eleccin suele ser tomar el eje y en la normal al plano inclinado, y el o eje x acorde con su supercie de deslizamiento. De esta forma la normal estar toa talmente comprendida en el eje y, y slo habr que considerar las proyecciones de o a g usuales; g cos para la normal y g sin la componente de la gravedad que hace desplazarse el veh culo hacia abajo en el plano inclinado. Todo esto se puede ver en la gura 6.1. P Un cuerpo desliza por una rampa inclinada 30o y con un coeciente3 Bsicamente, a 4 Llamados

Problema

siempre que no hay rozamiento. as por inicial y final.


33


1

2

m1

m2

Figura 6.2: Cul ser la aceleracin de este sistema? a a o de rozamiento = 0,2. Calcular la aceleracin con la que desciende o m suponiendo que g = 9,8 s2 . Resolucin o R Tomemos para enfocar este problema el grco representado en la a gura 6.1. Habremos de aplicar la ecuacin de Newton o F = ma para un sistema adecuado de ejes. Se van a tomar como ejes unos tales que el eje x presente la misma inclinacin que la rampa. De esta forma o planteando la ecuacin primero para el eje y: o Fy = may y como las fuerzas en el eje y son la normal (componente positiva) y la proyeccin sobre este eje y del peso (componente negativa) tendremos o que N mg cos 30 = ma. Ahora hay que darse cuenta que, en el eje y el cuerpo no se acelera porque, como en ningn momento se despega de la supercie, siempre u su y = y, por tanto, ay = 0. As que tenemos que N mg cos 30 = 0 N = mg cos 30. Para el eje x tenemos dos fuerzas, la proyeccin sobre nuestro eje x o del peso y la fuerza de rozamiento. As pues Fx = max mg sin 30 N = max y haciendo las oportunas sustituciones podemos despejar ax , que es la aceleracin del sistema. o ax = g sin 30 g cos 30 3,2 m . s2

Cuando aparecen varios cuerpos unidos por cuerdas hay que hacer este mismo anlisis para cada cuerpo, incorporando como fuerza la tensin que ejercen las cuera o das y dndose cuenta de que ax ser la misma para todos los cuerpos, puesto que a a si se encuentran unidos por cuerdas su movimiento ser solidario. a Problema 34 P Encontrar la aceleracin del sistema dibujado en la gura 6.2. o(C) Ignacio Mart Bragado. [email protected] n


Resolucin o

R Tomemos primero el cuerpo 1 y analicemos las fuerzas que aparecen sobre l. Podemos, aprovechando el anlisis del problema anterior, e a darnos cuenta de que un estudio de las fuerzas perpendiculares a la supercie va a darnos slo como resultado que N1 = m1 g cos . As que o las fuerzas horizontales sern, tomando como sentido positivo hacia la a derecha: 1. 2. 3. 1. 2. 3. La tensin, positiva. o La componente x del peso, de valor m1 g sin . El rozamiento, que ser 1 N1 = 1 m1 g cos . a Tensin, negativa para este cuerpo. T o Componente x del peso: m2 g sin . Rozamiento, 2 N2 = 2 m2 g cos .

Para el cuerpo 2 se tendrn las fuerzas: a

Queda ahora plantear el sistema de ecuaciones que resolver este problea ma. Antes hay que darse cuenta que la componente x de la aceleracin o debe ser la misma para ambos cuerpos, ya que van solidarios gracias a la cuerda. Llamaremos a esta componente de la aceleracin simplemente o a. T m1 g sin 1 m1 g cos = m1 a . T + m2 g sin 2 m2 g cos = m2 a Resolviendo este sistema (por ejemplo sumando las ecuaciones miembro a miembro) se obtiene fcilmente que a a= m2 sin 2 m2 cos m1 sin 1 m1 cos g. m1 + m 2

6.6.2.

Curvas

Cuando aparecen problemas de estabilidad en las curvas pueden ser de los tipos explicados a continuacin y cuya representacin se ha pretendido en la gura 6.3. o o Curvas sin peraltar En estos casos la fuerza de rozamiento es la que nos proporciona toda la componente normal que servir para tomar la curva. Siempre que tengamos que sta a e es mayor que la aceleracin normal el automvil ser capaz de tomar la curva, es o o a decir, el caso l mite se alcanza cuando Fr = man = m . Curvas peraltadas sin rozamiento En estos casos se toma la proyeccin de la normal sobre la horizontal como o causante de la fuerza centr peta. Este caso se puede ver en la gura 6.3b y se tiene, simplemente, que: 2 mv v2 R tan = = . mg RgF sica General. http://www.ele.uva.es/imartin/libro/index.html

v2 R

35


a) c) Fn

b)

N

Fr mg mg

FI - 1313 - J

mg ngulo mximo

Figura 6.3: Distintas situaciones ante una curva. Curvas peraltadas con rozamiento Este es un caso bastante ms complejo de analizar. Podr ser un buen ejercicio a a para el lector intentar demostrar que, en este caso, la velocidad l mite para tomar la curva siendo g la aceleracin de la gravedad, el coeciente de rozamiento, el o angulo de inclinacin de la curva y R el radio de la misma, es o v= Vuelcos En otras situaciones se pide que analicemos si vuelca o no un automvil. Se o considera que vuelca cuando la fuerza sobre el centro de masas supera el angulo que forma el centro de masas con alguno de los extremos donde se apoya el veh culo. Un dibujo puede verse en la gura 6.3. (Este apartado necesita actualizacin). o Rg + tan . 1 tan

6.6.3.

Casos l mite

Es comn la existencia de problemas en los que se nos pregunta por un caso u l mite, relacionado con cuando un mvil se saldr de un determinado recorrido, o a o podr dar una vuelta completa en un bucle, o similar. En estos casos hay que a tener en cuenta, simplemente, que un cuerpo permanecer adherido a una supercie a mientras exista una cierta reaccin de la supercie al cuerpo, es decir, mientras la o normal no sea nula. Cuando la normal es nula estamos ante el caso l mite. Tambin es muy conveniente recordar que, en la mayor de estos casos, los e a cuerpos siguen una trayectoria circular. Pues bien, habr que recordar que este a recorrido circular slo es posible si existe una aceleracin centr o o peta del mdulo o adecuado a la velocidad y radio de la trayectoria, (ver (5.1) y (5.2)) con lo que habr que realizar la descomposicin oportuna de fuerzas para ver qu parte es la a o e que suministra esta componente y, cuando las fuerzas exteriores no sean capaces de suministrar esta aceleracin normal, nos hallaremos con el caso l o mite y el cuerpo se saldr de su trayectoria circular o, en denitiva, dejar de hacerla. a a

Problema

P Calcular la altura m nima desde la que hay que dejar caer un objeto para que logre dar la vuelta a un bucle entero, como el dibujado en la gura 6.4. Se desprecian todos los rozamientos que pudiere haber. 36(C) Ignacio Mart Bragado. [email protected] n


A

h

B

R

Figura 6.4: Desde qu altura podr una masa realizar un bucle?. e a Resolucin o R Analizando las fuerzas que se ejercen sobre el cuerpo cuando ste e se encuentre en el punto B de la trayectoria, tenemos que, tomando como sentido positivo hacia arriba, el peso ser mg, la normal en a este caso es hacia abajo porque la fuerza que realiza la supercie sobre el cuerpo es siempre evitando que este atraviese la supercie, y en este caso atravesar la supercie supondr empujarla en exceso hacia a arriba, con lo cual, tomando N como el mdulo de la normal, la normal o ser N . Por ultimo el efecto de estas dos fuerzas ser producir una a a aceleracin pero, como en este caso el objeto est rotando, no ser una o a a aceleracin cualquiera sino una aceleracin puramente normal y, por o o tanto, de mdulo o v2 a= R y sentido tambin hacia abajo (hacia el centro de la curva). De esta e manera tendremos que el anlisis de fuerzas en la parte ms alta del a a bucle (punto B) es v2 mg N = m . R Qu signica esta frmula?. Lo que signica es que son el peso y la e o normal, los que empujan al cuerpo hacia abajo obligndole a girar y a realizar una trayectoria circular. Ahora bien, si mentalmente vamos disminuyendo v en la frmula, nos damos cuenta de que el trmino de o e la aceleracin normal va siendo ms pequeo, y por tanto la fuerza o a n centr peta tambin. Cmo se logra esto?. Como el peso es constante e o slo se puede lograr disminuyendo la fuerza que ejerce la normal. Cuando o la fuerza centr peta sea igual que el peso del cuerpo tendremos que en este instante la normal es cero. Y si es menor la fuerza centr peta que el peso?. Entonces deber amos tener una normal positiva, es decir, que empujara hacia arriba. Pero esto es imposible, porque claramente se ve que las supercies no absorben los cuerpos, que es lo que supondr que a 2 la normal tuviera signo contrario. Por lo tanto si m v < mg el cuerpo no R puede rotar correctamente y caer salindose del bucle. Intuitivamente a e sucede que, como la fuerza centr peta no necesita tanto peso, sobra componente vertical y, por tanto, el cuerpo cae. As pues deducimos que la velocidad l mite con la que debe llegar el 2 cuerpo arriba es tal que m v = mg v = gR. RF sica General. http://www.ele.uva.es/imartin/libro/index.html

37


Por ultimo, para relacionar esta velocidad con la altura utilizamos el teorema de conservacin de la energ ya que no hay rozamientos. As o a, A A Ec + E p B B Ec + E p

= =

1 2 2 mv

0 + mgh + 2mgR

mgh =

1 m 2

gR

2

+ 2mgR

y con un simple clculo se obtiene que a h= 5 R. 2

a Aunque entender intuitivamente de donde sale este 1 R ms de lo 2 que parece que se necesita para llegar al punto ms alto del bucle no a es sencillo, si puede intentarse pensando que, al llegar a la parte ms a alta del bucle se requiere un m nimo de energ cintica para seguir a e desplazndose hacia la derecha, pero la suciente para que el cuerpo a siga girando. Este m nimo lo proporciona esa altura extra.

38


Cap tulo 7

Consideraciones energticas e7.1. Introduccin o

Los conceptos de trabajo y energ son de gran importancia en f a sica, y tambin e son muy utilizados en la vida cotidiana. No obstante el uso habitual de estos conceptos en la vida diaria no siempre coincide con su idea f sica, por lo que habr que a tratar la intuicin con cierto cuidado cuando la apliquemos a las situaciones en las o que intervienen el trabajo y la energ a.

7.2.

TrabajoW = F dr. (7.1)

Se dene trabajo como

La unidad del trabajo es el Julio. Un Julio equivale a un N m. Si la fuerza aplicada es constante, entonces se puede decir que W = F r = F r cos , (7.2)

en donde es el angulo que existe entre la l nea de aplicacin de la fuerza y el o desplazamiento del cuerpo.Se tiene as que una fuerza aplicada perpendicularmente a un despla zamiento no produce trabajo. Por ejemplo, avanzar horizontalmente mientras se sujeta una bolsa no produce trabajo, porque la fuerza aplicada es vertical y, por tanto, perpendicular al desplazamiento. Cmo se puede entender esto o intuitivamente?. Realmente uno asocia la palabra trabajo con cansancio y, por tanto, parece que llevar una pesada bolsa deber producir trabajo f a sico, porque cansa. Para entender esta situacin podemos pensar que realmente no o es necesario sujetar personalmente la bolsa a cierta distancia del suelo, puesto que esta misma accin puede realizarla un soporte con ruedas, por lo que el o trabajo autntico consiste en desplazar el objeto paralelamente a las fuerzas e que se oponen a l, como podr ser en este caso el rozamiento del soporte con e a el suelo.

Nota

P Cunto es el trabajo que produce la normal sobre un cuerpo que a realiza un desplazamiento sobre una supercie cualesquiera? R Ninguno, porque la fuerza normal siempre es perpendicular al desplazamiento del cuerpo y por tanto, el trabajo (producido por la normal) ser nulo. a 39

Problema

Resolucin o

CAP ITULO 7. CONSIDERACIONES ENERGETICAS

Ahora bien. Cmo podemos denir el trabajo si la fuerza es variable, o si la o trayectoria es curva?. En ese caso suponemos vlida la denicin de trabajo para a o una trayectoria muy pequea (innitsima) y sumamos (integramos) a todos los n e pequeos trozos de trayectoria. n Es decir:2

W2 W 1 = Problema

1

F dr

(7.3)

P Un nio arrastra un trineo durante 100 metros. Para hacerlo tira n de una cuerda con una fuerza de 80 Newton formando un angulo con el suelo de 30o . Cul es el trabajo producido? a R Utilizando la frmula (7.2) tenemos simplemente que: o W = 80 100 cos 30 = 6928,20J

Resolucin o

Recuerda

Las deniciones de trabajo son: W W = = F dr F r = F r cos

7.2.1.

Trabajo conservativo

Trabajo conservativo es aquel producido por las fuerzas conservativas. Una fuerza es conservativa si el trabajo que realiza no depende del recorrido sino slo de o los puntos inicial y nal, es decir, independientemente del itinerario seguido. Si un cuerpo se desplaza desde un punto A hasta otro B bajo la accin de una fuerza cono servativa el trabajo realizado por dicha fuerza ser el mismo independientemente a del itinerario del cuerpo. Estas fuerzas son muy importantes porque para ellas se puede denir una magnitud denominada energ potencial (ver 7.5.2). Ejemplos de fuerzas conservativas a son las fuerzas constantes (aquellas cuyo valor es el mismo para todos los puntos del espacio) y centrales (las que presentan la forma funcional f (r) = f (r)). r Recuerda Trabajo conservativo es aqul que slo depende de los puntos inicial e o y nal de la trayectoria.

7.3.

PotenciaP = (7.4)

La potencia se dene como el trabajo realizado por unidad de tiempo, es decir dW dt donde, si el trabajo es constante, se puede expresar como W , t y si la fuerza es constante se puede decir que P = P = F v. La unidad de la potencia es el Watt o Vatio. (W ). 40(C) Ignacio Mart Bragado. [email protected] n

(7.5)

(7.6)


Recuerda

Potencia es el trabajo realizado por unidad de tiempo.La magnitud potencia puede servir para entender algunas situaciones de la vida cotidiana. Por ejemplo los motores de los coches (suponiendo que la presin que se ejerce sobre el acelerador es constante) desarrollan una potencia o que podemos considerar constante. Esto supone que, como se deduce de la frmula (7.6) la fuerza que puede desarrollar el motor multiplicada por la o velocidad es constante. Qu podemos explicar con esto?. Supongamos que e un automvil est ascendiendo por un puerto, y por tanto su motor debe de o a realizar una fuerza bastante considerable para contrarrestar la componente del peso que tira de l hacia atrs. El conductor se ve obligado a ir en una e a marcha corta, lo cual signica que la relacin entre la fuerza y la velocidad va o a ser de mucha fuerza frente a poca velocidad. El mismo conductor en cambio, en un llano, puede ir en una marcha muy larga y a gran velocidad, porque la fuerza que debe desarrollar el motor es poca, unicamente para vencer los rozamientos. Si este conductor es adelantado por un coche de gran potencia ver como, a efectivamente, si la potencia es mayor, el coche que le adelante puede desarrollar la misma fuerza que se necesita para ascender por el puerto, pero a una velocidad mayor.

Nota

P Calcula la potencia que debe tener una bomba de agua para ascender mil litros de agua por minuto a una altura de 10 metros. R Primero calculemos el trabajo que debe realizar esta bomba para ascender este agua. Usando la frmula para fuerzas constantes y notando o que la fuerza que debe realizar la bomba es paralela al desplazamiento y de mdulo igual al peso del agua que ha de ascender tendremos que, o W = F d = 1000 9,8 10 cos 0 = 9,8 104 J. Aplicando ahora la ecuacin de la potencia (7.5) tendremos que o P = 9,8 104 = 1,6 103 W. 60

Problema

Resolucin o

7.4.

Energ a

Se considera tcitamente la energ como la capacidad para hacer un trabajo, o a a bien el trabajo acumulado por un cuerpo. El concepto de energ es uno de los ms fruct a a feros de toda la f sica, pero tambin es bastante abstracto, dada la gran diversidad de formas en las que aparece, e por ello iremos viendo algunas, aunque antes necesitaremos denir unos conceptos previos.

7.5.7.5.1.

Conceptos previosEnerg cintica a e

Energ cintica es la que tiene un cuerpo por desplazarse a determinada veloa e cidad. Realmente resulta un poco sorprendente que un cuerpo, por el mero hecho de moverse, tenga un tipo de energ pero no tenemos ms que pensar que efectia, a vamente, en caso de un choque, por ejemplo, este cuerpo es capaz de producir un trabajo (de deformacin, o del tipo que sea) y por tanto, debe de tener una energ o a.F sica General. http://www.ele.uva.es/imartin/libro/index.html

41


Se puede demostrar la existencia de la energ cintica de varias formas. Una a e manera (que se deja como ejercicio al lector) es suponer que se est aplicando una a fuerza constante sobre un cuerpo y que, por tanto, utilizando la ley de Newton F = ma, tendremos un cuerpo sometido a una aceleracin constante y, usando las o ecuaciones del movimiento, relacionar la cantidad trabajo, que ser max con la a velocidad. Otra forma es calcular el trabajo que desarrolla un cuerpo sometido a una cierta fuerza paralela (para simplicar el clculo) del tipo que sea. Utilizando (7.3) tenemos a que2 2

W

=1 2

F dx =1

ma dx2

=1 2

m

dv dx = dt

m1

dx dv dt

=1

1 1 2 2 mv dv = mv2 mv1 . 2 2

Con lo cual se puede ver que el trabajo se acumula en forma de energ cintica a e cuya frmula es o 1 Ec = mv 2 (7.7) 2 Recuerda Energ cintica es la energ que tiene un cuerpo por desplazarse a e a con cierta velocidad y su valor es Ec = Nota 1 mv 2 . 2

En algunos libros de f sica se denomina a la energ cintica como T . a e

Es ms correcto expresarlo como a 1 1 mv 2 mv 2 , (7.8) 2 2 2 1 ste es el llamado teorema de las fuerzas vivas. e Para resolver un problema utilizando este teorema habr que elegir unos instana tes 1 y 2 y, calculando el trabajo y la energ en cada uno de estos instantes, el teoa rema nos permitir relacionar una de estas magnitudes con el resto. Generalmente a se busca una velocidad y se tiene el resto de datos. Hay que elegir convenientemente los puntos 1 y 2 para obtener lo que deseamos y, adems, intentar que el mximo a a nmero de estas magnitudes sea nulo, lo cual facilita el clculo. u a W2 W 1 = Problema P Se aplica una fuerza horizontal de 100N a un cuerpo de 2kg que est inicialmente en reposo. A qu velocidad se mover al cabo de 20 a e a metros?. R Apliquemos el teorema de las fuerzas vivas (7.8) a este problema y tendremos que f i W = Ec Ec siendo i y f los instantes inicial y nal, respectivamente. Vemos que, en i este caso, Ec es nula, porque el cuerpo parte del reposo, y que el trabajo ser, como la fuerza es paralela al desplazamiento, W = F d = 100 20 = a 2000J. Tendremos entonces que 2000J = 42 1 mv 2 2

Resolucin o



y por tanto v= 2 m 2000J = 44,72 . 2kg s

7.5.2.

Potencial

La energ potencial es aquella relacionada con fuerzas conservativas. Se dene a la energ potencial en un punto de tal forma que se cumpla a WAB = Ep (A) Ep (B) . Igualmente, unicando las deniciones (7.3) y (7.9) se puede decir que W = F ds = Ep (7.10) (7.9)

es decir, el trabajo realizado por una fuerza conservativa equivale a la disminucin o de la energ potencial, donde hemos llamado Ep = Ep2 Ep1 . a Es muy importante darse cuenta de la aparicin del signo en la frmula (7.10), o o consecuencia de la denicin (7.9) anterior. Dicho signo aparece tambin en las o e ecuaciones (7.11), (7.12), (7.13), y (7.14).Otra notacin para la energ potencial es, en vez de llamarla E p , denoo a minarla U . Intuitivamente la energ potencial es la que tiene un cuerpo por el mero a hecho de ocupar una determinada posicin en el espacio. As por ejemplo, veo remos ms adelante, concretamente en 7.5.2, que un cuerpo que se encuentre a a una cierta altura h sobre la supercie terrestre presenta, slo por este hecho, o una energ potencial. Podemos entender esto dndonos cuenta de que, efectia a vamente, un cuerpo, por el mero hecho de estar elevado respecto al suelo, tiene energ puesto que puede caer al suelo y, por tanto, desarrollar un trabajo a, durante su ca da.

Nota

Nota

Gravitatoria en la supercie terrestre Aplicando la denicin de potencial indicada en (7.10) tendremos que oy

Ep = Se tiene que

m(g)ds = mgy0

(7.11)

Ep = mgy siendo y la altura sobre el suelo o el nivel 0. En la integral aparece (-g) ya que el sentido de la fuerza de la gravedad es contrario al sentido en que se toman las alturas. La energ potencial cuando el valor de g se puede tomar constante a es Ep = mgh.F sica General. http://www.ele.uva.es/imartin/libro/index.html

Recuerda

43


Gravitatoria general Como se puede ver ms ampliamente en (11.1) todos los cuerpos se atraen entre a s con una fuerza que se rige por la ley de Newton de la gravitacin universal, es o decir, que el mdulo de la fuerza de atraccin es o o F = G Mm , r2

en donde el signo nos informa de que el sentido siempre es de atraccin. o As pues para calcular la energ potencial que un cuerpo de masa m tiene por a estar a una distancia r de otro de masa M no habr ms que calcular a a Ep = Recuerda F dr = G Mm dr = GM m r2 1 Mm dr = G . r2 r (7.12)

Energ potencial gravitatoria (en el caso general) es a Ep = G Mm . r

Nota

Tanto en esta frmula como en la frmula (7.14) un anlisis del signio o a cado estas expresiones y, ms concretamente, de la presencia de una r en el a denominador, nos indica que, para estas dos frmulas, el origen de las energ o as se toma en el innito, es decir, que la energ potencial de un planeta (por a ejemplo) es nula, cuando este planeta est totalmente aislado, es decir, innia tamente alejado, del otro.

Elstica a Para muelles y sistemas de fuerzas centrales que cumplan F = kr se tiene que, (tomando una unica dimensin) o Ep = Recuerda es Ep = Electrosttica a Dadas dos part culas con cargas q y Q, se comenta en el apartado 12.1 como el mdulo de la fuerza de atraccin entre ambas cargas es o o F =K Qq , r2 F dx = kx dx = 1 Kx2 2 (7.13)

La energ potencial de un sistema que obedece a la ley de Hooke a 1 Kx2 . 2

siendo r la distancia que existe entre ambas cargas. De esta forma se puede extraer fcilmente que la energ potencial electrosttica ser a a a a Ep = Recuerda F dr = K Qq dr = KQq r2 Qq dr =K 2 r r (7.14)

Energ potencial entre dos part a culas cargadas es Ep = K 44 Qq . r



7.6.

Conservacin de la energ o a

Cuando en un sistema slo aparecen fuerzas conservativas, se tiene entonces que o se cumple el siguiente teorema de conservacin de la energ o a Ep (A) + Ec (A) = Ep (B) + Ec (B) (7.15)

Siendo A y B dos momentos cualesquiera en la evolucin de la part o cula, y E p (A) y Ep (B) la suma de todas las energ potenciales que tenga el cuerpo en los puntos as A y B. Este teorema es muy util para la resolucin de ciertos aspectos de los problemas, o sobre todo los relacionados con la obtencin de la velocidad en determinados instano tes en un sistema conservativo. Esto se debe a que, por ejemplo, en un movimiento sin rozamientos de un cuerpo bajo el campo gravitatorio terrestre en supercie, particularizando (7.15) tenemos 1 1 2 mv 2 + mgy1 = mv2 + mgy2 2 1 2 de donde podremos despejar fcilmente la velocidad en uno y otro instante segn a u los datos que conozcamos. El teorema de conservacin de la energ dice que la energ total o a a en todos los instantes es la misma, siendo la energ total la suma de las a energ cinticas ms las potenciales. as e a Recuerda

P Un cuerpo desliza sin rozamiento por una pista de hielo. Si parte del reposo desde una altura de 7 metros sobre el suelo. A qu velocidad e estar cuando se encuentre tan slo a 1 metro sobre el suelo? a o R Llamemos A al instante inicial, en que encuentra parado y a 7 metros, y B al segundo instante, cuando viaja a una velocidad v y se encuentra a tan slo 1 metro. Tendremos entonces que oA A B B Ep + E c = E p + E c A B A en donde Ep = mg7, Ep = mg1, como parte del reposo Ec = 1 mv 2 = 0 2 porque vA = 0 y denominando vB a la velocidad cuando pasa por el 1 B 2 punto B tendremos que Ec = 2 mvB . Tendremos entonces que

Problema

Resolucin o

1 2 mg7 = mg1 + mvB v = 2

2g(7 1) 10,84

m . s

7.6.1.

Rozamiento

En el caso de que exista rozamiento u otras prdidas de energ no conservae a tivas podremos an seguir usando (7.15) siempre que tengamos la precaucin de u o introducir esta energ perdida por rozamiento con el signo oportuno. Por ejemplo a si tenemos un problema en el cual aparece la energ potencial en la supercie tea rrestre mgh y tambin una fuerza de rozamiento podr e amos plantear la ecuacin de o conservacin de la energ entre los instantes 1 y 2 como o a 1 1 2 mv 2 + mgy1 = mv2 + mgy2 + E , 2 1 2 donde se ha representado por E la energ que se ha perdido entre dichos instantes. aF sica General. http://www.ele.uva.es/imartin/libro/index.html

45


A

m v=0

h

g

v=? B

Figura 7.1: A qu velocidad llegar al nal?. e a Cuando aparezcan trabajos procedentes de fuerzas no conservativas los puedes poner comoA A B B Ec + E p = E c + E p + E

Recuerda

(7.16)

Donde E es el trabajo no conservativo. A su vez el trabajo de rozamiento puede calcularse teniendo presente que W = F d cos y que = 180o porque el rozamiento siempre se opone al desplazamiento. De esta forma se tendr que W = N gs pero, como el trmino E se sita en el a e u miembro derecho de la ecuacin (7.16) con valor positivo, simplemente o E = N s, donde N es la normal y s es el desplazamiento que ha realizado el cuerpo, es decir, la distancia durante la cual ha experimentado el rozamiento. Problema P Dejamos caer desde el reposo un cuerpo de masa m por una rampa de grados de inclinacin desde una altura h (ver gura 7.1). Si la rampa o ofrece un coeciente de rozamiento . A qu velocidad llegar al suelo? e a R Planteemos la ecuacin de conservacin de la energ expresada o o a en (7.16) y analicemos el valor de cada trmino. Antes llamaremos A al e instante en el cual el cuerpo se encuentra a cierta altura h y B cuando el cuerpo est ya al nivel del suelo con una velocidad v. As tendremos a queA Ep B Ep A Ec B Ec

Resolucin o

= =

mgh

E

mg0 = 0 1 2 = m0 = 0 2 1 mv 2 = 2 = N s

Donde queda por precisar que s es el espacio total recorrido por el cuerpo mientras bajaba por la rampa. Teniendo en cuenta que el espacio s es 46(C) Ignacio Mart Bragado. [email protected] n


la hipotenusa de

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