F´ısica II CF-342 Ingenier´ıa Plan Comu´n. · Corriente electrica´ Resistencias en serie...

Fısica II CF-342Ingenierıa Plan Comun.

Omar Jimenez Henrıquez

Departamento de Fısica,Universidad de Antofagasta,

Antofagasta, Chile,

I semestre 2011.

Omar Jim enez. Universidad de Antofagasta. Chile Fısica II CF-342. 1

Contenidos

1 Corriente electricaCorriente electrica

2 Resistencias en serie

3 Resistencias en paralelo

4 Fuerza electromotriz

5 Leyes de Kirchhoff


Corriente el ectrica Resistencias en serie Resistencias en paralelo Fuerza elec tromotriz Leyes de Kirchhoff

Corriente electrica

La corriente es la rapidez con la cualfluye la carga a traves de una superficie.Si ∆Q es la cantidad de carga que pasaa traves de un area A en un tiempo ∆t ,la corriente promedio es

Ip =∆Q∆t

Si la rapidez con que fluye carga varıa con el tiempo, lacorriente instantanea sera

I =dQdt

La unidad de corriente, en el sistema internacional de unidades(SI), es el ampere (A), donde

1A = 1Cs.



Corriente electrica

En el caso electrostatico el campo electrico al interior de unconductor es cero. Sin embargo, cuando hay una corrienteelectrica debe existir un campo electrico distinto de cero.

Cuando una diferencia de potencial es aplicada a traves delconductor, se genera un campo electrico el cual genera unafuerza electrica sobre los electrones y por tanto una corriente.

Por convencion se escoge la direccion de la corriente como ladireccion en la cual fluyen las cargas positivas y por lo tanto,los electrones se mueven en direccion opuesta.



Corriente electrica

Es comun referirse al movimiento de cargas como el movi-miento de portadores de carga. Por ejemplo, los portadores decarga en un metal son los electrones. Para determinar lacorriente electrica consideramos el siguiente esquema, cargaspositivas se mueven en la direccion del campo electrico,

∆Q = numero de cargasxcarga por partıcula

∆Q = (n∆xA)q

donde, n es el numero de cargas por uni-dad de volumen. Luego,

∆Q = (nvd∆tA)q



Corriente electrica

∆Q∆t

= (nvd A)q

I = nvdAq

donde, vd es la velocidad promedio de los portadores de cargallamada velocidad de deriva.

Durante cada recorrido libre, el campoelectrico produce una aceleracion uniformede los electrones en la direccion de lafuerza F = eE . Cada choque con losprotones de la red atomica reduce a cero lavelocidad acumulada. Luego, la aceleracionprovoca un nuevo aumento de la velocidadhasta el choque siguiente con la red.



Corriente electrica

Se define la densidad de corriente J en el conductor como lacorriente por unidad de area, como

J =IA

= nvd q

donde J tiene unidades de [A/m2].

El unico factor que modifica la velocidad de deriva es laaceleracion debida a la fuerza que el campo electrico ejercesobre los electrones, luego

vd ∝ E

como la intensidad de la corriente es proporcional a lavelocidad de deriva, tenemos

I ∝ E .



Corriente electrica

Ahora, en el caso de un conductor de seccion transversalconstante y longitud ℓ, una diferencia de potencial V entre susextremos genera un campo electrico E = V/ℓ, con lo cual

I ∝ V .

Luego, identificamos el factor de proporcionalidad entre V e Icomo la resistencia R, finalmente obtenemos la ley de Ohm

V = RI,

donde, la resistencia en el (SI) se mide en [Ω].



Corriente electrica

Ahora, desde la relacion I ∝ E , podemos obtener otra forma dela ley de Ohm. Expresando la misma proporcionalidad enfuncion de la densidad de corriente J = I/A, tenemos

J ∝ E ,

la constante de proporcionalidad entre la densidad de corrienteJ y el campo electrico E es la conductividad σ, de modo quepodemos escribir

~J = σ~E .

En un alambre conductor, se puede expresar la magnitud de ladensidad de corriente como

J = σE = σVℓ,

dado que la densidad de corriente J = I/A, tenemosOmar Jim enez. Universidad de Antofagasta. Chile Fısica II CF-342. 9


Corriente electrica

V =ℓ

σAI,

donde,

R =ℓ

σA, es la resistencia del conductor.

Por otro lado, el inverso de la conductividad de un material sele llama resistividad ρ,

ρ =1σ, luego tenemos

R = ρℓ

Adonde ρ tiene unidades de [Ωm].



Ejercicios

Un alambre de cobre de area en la seccion transversal de3 × 10−6[m2] lleva una corriente de 10[A]. Determine lavelocidad de deriva de los electrones en el alambre. Ladensidad del cobre es 8.95[g/cm3]. Sol: 0.245 [mm/s].

Calcule la resistencia de una pieza de aluminio de 10[cm]de longitud que tiene un area de seccion transversal de10−4[m2] con resistividad de 2.82 × 10−8[Ωm]. Repita elcalculo para una pieza de vidrio de resistividad 1010[Ωm].Sol: RAl = 2.82 × 10−5[Ω], Rvidrio = 1013[Ω].


Corriente el ectrica Resistencias en serie Resistencias en paralelo Fuerza electromotriz Leyes de Kir chhoff

Resistencias en serie

Cuando se conectan dos resistencias R1 y R2 como aparecenen la siguiente figura

se dice que estan conectadas en serie. Por el circuito circulasolo una corriente que llamamos I. Por la ley de Ohm tenemosque las caıdas de potencial en las resistencias son

V1 = R1I1

V2 = R2I2




Las suma de las caıdas de potencial en las resistencias R1 yR2 deben ser igual al voltaje suministrado por la baterıa, estacondicion viene de la conservacion de la energıa. Es decir,

V = V1 + V2.

Por otro lado, como tenemos solo una corriente en el circuito,por lo tanto, se cumple que

I = I1 = I2

Podemos reeemplazar el circuito anterior por uno completa-mente equivalente el cual tendra una corriente I y una dife-rencia de potencial entre sus extremos igual a V . Por lo tanto,para la resistencia equivalente se cumple tambien la Ley deOhm

V = ReqI




La siguiente figura esquematiza el proceso

Utilizando la condicion para el voltaje V = V1 + V2 y usando lasecuaciones que relacionan los voltajes y las corrientes tenemos

ReqI = R1I + R2I

simplificamos y obtenemos que la resistencia equivalente es

Req = R1 + R2

igual a la suma de las resistencias individuales.Omar Jim enez. Universidad de Antofagasta. Chile Fısica II CF-342. 14



De manera similar, la resistencia equivalente de dos o masresistencias conectadas en serie sera

Req = R1 + R2 + R3 + ...


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Resistencias en paralelo

Dos resistencia R1 y R2 se dice que estan conectadas enparalelo si aparecen como en la siguiente figura

La corriente total que circula por la baterıa es I, por conserva-cion de la carga, se distribuye en las dos posibles caminos queconectan a las resistencias. Por R1 circula una corriente I1 ypor R2 circula una corriente I2. En este caso se cumple que

I = I1 + I2




Aplicamos la ley de Ohm a las resitencias R1 y R2, con lo cualtenemos

V1 = R1I1

V2 = R2I2

Como las conexiones, entre las resistencias R1, R2 y la baterıa,son cables conductores entonces los voltajes o diferencias depotencial son iguales es decir V1 = V2 = V .

Un circuito equivalente reemplaza a las dos resistencia por unallamada Req por donde circula una corriente I y que tiene unadiferencia de potencial V entre sus extremos.



Resistencias en paraleloLo anterior se esquematiza en la siguiente figura

Ahora, desde la condicion I = I1 + I2 reemplazamos lasrespectivas cantidades y obtenemos

VReq

=VR1

+VR2

Simplificando la ecuacion anterior, obtenemos

1Req

=1

R1+

1R2




Con lo cual la resistencia equivalente es

Req =R1R2

R1 + R2

Si tenemos dos o mas resistencias conectadas en paralelo, laresistencia equivalente se puede obtener desde la siguientecondicion

1Req

=1

R1+

1R2

+1

R3+ ...



Potencia disipada en una resistencia

Si la diferencia de potencial entre los terminales de unaresistencia es V , el campo electrico realiza un trabajo Vdq paratransportar una carga positiva dq desde el extremo de mayorpotencial al de menor potencial.

dW = Vdq ⇒dWdt

= Vdqdt

⇒ P = V I.

Ahora, para materiales que satisfacen la ley de Ohm V = RI,tenemos que la potencia disipada en una resistencia es

P = V I = RI2 =V 2

R.

La potencia disipada se convierte en calor, este fenomeno seconoce como efecto Joule.



Ejercicios

1) Dos resistencias de 100[Ω] estan conectadas (a) en serie (b)en paralelo, a una baterıa de 24[V]. ¿Cual es la corriente quepasa por cada resistencia y cual es la resistencia equivalenteen cada circuito?

2) En el circuito representado en la figura, hallar (a) laresistencia equivalente, (b) las corrientes que circulan por cadaresistencia, (c) La potencia suministrada por la baterıa, (d) Lapotencia disipada en cada resistencia.



Fuerza electromotriz

Un dispositivo que suministre energıaelectrica recibe el nombre de generadorde fuerza electromotriz o generador defem ε.

El trabajo por unidad de carga sedenomina fem ε del generador. Cuandouna carga ∆Q atraviesa un generadorde fem, su energıa potencial aumenta enε∆Q.



Fuerza electromotriz

Despues circula una corriente por el conductor, perdiendo esaenergıa potencial electrica y transformandola en energıatermica. La energıa que el generador suministra por unidad detiempo es

P =∆W∆t

=ε∆Q∆t

= εI.

Dado que la baterıa tiene una resistencia interna llamada rparte del voltaje cae en esta resistencia y tambien parte de lapotencia disponible se disipa en esta resistencia interna.

Por ley de Ohm la caida de voltaje sera Vr = Ir , quedandodisponible como diferencia de potencial en el circuito lacantidad V = ε− Vr .



Ejercicio

Una baterıa tiene una fem de 12[V] y una resistencia interna de0.05[Ω]. Sus terminales se conectan a una resistencia de 3[Ω].

a) Encuentre la corriente en el circuito y el voltaje en lasterminales de la baterıa. Sol: I = 3.93[A], V = 11.8[V ].

b) Calcule la potencia disipada por la resistencia externa a labaterıa, la potencia disipada por la resistencia interna de labaterıa y la potencia entregada por la baterıa. Sol:PR = 46.3[W ], PRi

= 0.8[W ] y Pε = 47.2[W ].


Corriente el ectrica Resistencias en serie Resistencias en paralelo Fue rza electromotriz Leyes de Kirchhoff

Leyes de Kirchhoff

El problema usual en los circuitos electricos es calcular laintensidad de corriente y la tension entre los extremos de cadauno de sus elementos. En el caso general, en que exista masde un generador y mas una resistencia en el circuito, tenemos

∑ε−

∑RI = 0.

El primer termino, representa la fem total de los generadores yel segundo termino, la suma de las caıdas de tension en lasresistencias del circuito, incluidas las resistencias internas delos generadores.



Leyes de Kirchhoff

La caıda de tension es −RIen el sentido de la corriente,

y la fem es positiva en ladireccion en que serıadesplazada una carga

positiva, es decir



Ejercicio

El circuito contiene dos resistencias y dos fuentes de fem comose muestra en la figura. Las resistencias internas se handespreciado. Determine la corriente del circuito.

Aquı tenemos solo una corriente I, con locual

ε1 − R1I − ε2 − R2I = 0,

⇒ I =ε1 − ε2

R1 + R2= −

13[A].

Dado que el resultado de la corriente esnegativo esto nos indica que el sentidode la corriente es opuesto al supuestoinicialmente.



Leyes de Kirchhoff

Ahora, de la conservacion de la carga, es decir, las cargas nose crean ni se destruyen se llega a otra importante regla. Laintensidad de la corriente que llega a un punto debe ser lamisma que lo abandona, es decir

∑I = 0.

En este caso, las corrientes que llegan aun punto se les da un signo y a las quelo abandonan el signo opuesto. Luego,tenemos

I1 − I2 − I3 = 0.



Leyes de Kirchhoff

En algunos circuitos no es posible agrupar las resistenciascomo conectadas en serie o en paralelo, por ejemplo en elsiguiente caso,

Las reglas para resolver estosproblemas se llaman Leyes de Kirchhoff,que son las expresiones

∑ε−

∑RI = 0,

y∑I = 0.

La primera ecuacion es aplicable acualquier malla cerrada y la segunda alos nudos.



Leyes de Kirchhoff

Primero asignamos un sentido positivo para la circulacion de lacorriente en cada rama.

Si como resultado obtenemos un signo negativo esto indicaque el sentido de la corriente es opuesto al supuestoinicialmente.



Leyes de Kirchhoff

Luego, identificamos el numero de mallas, en este caso tene-mos tres, A, B y C, y para cada malla decidimos un sentidopara recorrerla, como se indica en la figura anterior. Lasecuaciones seran

Malla EcuacionA −R1I1 + R5I5 + R2I2 = 0B −R4I4 + R3I3 − R5I5 = 0C ε− R1I1 − R4I4 − R6I6 = 0

Nudo Ecuaciona I6 − I1 − I2 = 0b I2 − I3 − I5 = 0c I6 − I3 − I4 = 0d I4 − I1 − I5 = 0

Ahora, dependiendo del numero de incognitas debemos tenerigual numero de ecuaciones para resolver el problema.



Ejercicio

En el siguiente problema las baterıas son ideales, es decir susresistencias internas son cero. El valor R=4[Ω] y el valorV = 1[V ]. Si la corriente que pasa por la baterıa de 1[V ] esigual a 0.01[A] y la corriente que pasa por la resistencia 3R esde 0.08[A], como se indica en la figura, determine: a) Lacorriente que pasa por las resistencias de 2R y 4R. Indique susentido. b) La potencia suministrada por las baterıas de 1V y2V .



Ejercicio

c) La potencia disipada en cada resistencia. Compare lapotencia total suministrada por las baterıas con la potenciatotal disipada en las resistencias. ¿Se conserva la energıa?d) La diferencia de potencial Vd − Va al seguir el camino aed yal seguir el camino abcd.Sol: a) 0.13[A] en la 2R, 0.06[A] en la 4R,b) 0.01[W] en la 1[V], 0.26[W] en la 2[V],c) 0.0004[W] en la 4[Ω], 0.1352[W] en la 8[Ω], 0.0768[W] en la12[Ω], 0.0576[W] en la 16[Ω].d) 2[V].



Ejercicio

En el circuito de la figura, por la resistencia de 2[Ω] circula unacorriente de 10/11[A] hacia la derecha. Determine: a) Lascorrientes que circulan por las resistencias de 4[Ω] y 6[Ω].b) La potencia disipada por cada resistencia. c) La potenciasuministrada por cada baterıa. d) La diferencia de potencialVa − Vb.

Sol: a) 28/11[A] y 18/11[A], b) 1.65[W] en la 2[Ω] , 25.92[W] enla 4[Ω], 16.07[W] en la 6[Ω] c) 30.55[W] en la 12[V], 13.09[W]en la 8[V]. d) 20/11[V].


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