1

Física 3 – ECyT – UNSAM2012

Introducción al electromagnetismoDocentes:

Gerardo García BermúdezSalvador Gil

www.fisicarecreativa.com/unsam_f3

Clases 3 y 4

Campo y Potencial Eléctrico Ley de Gauss

2

Ley de Gauss

Clase 3 Revisión de los visto Campo Eléctrico Concepto de flujo de un campo

vectorial Ley de Gauss- Ley fundamental Aplicaciones

3

Electricidad y MagnetismoCuatro leyes básicas

Ley de Coulomb – Las cargas eléctricas se atraen o repelen

Ley de Gauss Magnetismo – No hay polo magnéticos aislados

Ley de Ampere – Las corrientes generan campos Magnéticos

Ley de Inducción de Faraday – Campos magnéticos en movimiento generan campos eléctricos. Tensiones eléctricas

4

Leyes básicas

Ley de Coulomb – Gauss Las cargas eléctricas se atraen o repelen

Ley de Gauss Magnetismo – No hay polo magnéticos aislados

221F

d

qqK

e

⋅=

5

Leyes básicas

Ley de Ampere – Las corrientes generan campos Magnéticos

A Ley de Inducción de Faraday – Un campo magnético variables (flujos variable) genera un campo eléctrico o tensión

6

Propiedades de las cargasConservación de la carga

Cuantización de la carga

Ley de Coulomb

Principio de superposición

La materia es de naturaleza esencialmente eléctrica, de hecho es la fuerza eléctrica la que liga los electrones al núcleo

221

02

2112 4

1d

qqd

qqkF e

⋅=⋅=πε

7

Principio de superposición de las fuerzas eléctricas

)()(ai iaNeta

qFqF ∑=

Las fuerzas eléctricas son muchísimas más fuertes que las fuerzas gravitatorias ~1040

rr

qqF ˆ

41

221

012

⋅=πε

8

Comparación entre las Fuerzas Eléctricas y Gravitacionales.

Junto a las fuerzas nucleares (Fuertes y débiles) son las cuatro fuerzas básicas del universo.

Hay una gran semejanza matemática de la Ley de Coulomb y la Ley de Gravitación Universal de Newton.

Semejanzas en r2 semejanzas en los productos mAmB y qAqB

Diferencias en las constantes

Diferencias en los signos.

221

r

qqkF

ee

⋅= 2

21

rmm

GFe

⋅=

9

Comparación entre las Fuerzas Eléctricas y Gravitacionales

Átomo de hidrógeno K=8.99 109 N/m2c2

G=6.67 10-11 N/m2kg2

Me=9.11 10-31 kg Mp=1.67 10-27 kg e= 1.6 10-19C

221

rqq

kFe

⋅=

221

rmm

GFe

⋅=Fe(N)= 8.2 10-8 N

Fg(N)= 3.6 10-47 N

Fe/Fg= 4.4 x 10-40

Las interacciones Eléctricas son Muchísimas más fuertes que las gravitatorias

10

Por lo tanto, la fuerza resultante sobre qa será

..+++= adacaba FFFF

∑=i

aiai

ia rr

qkq 2

o escrita de la siguiente forma:

∑=i

aiai

iaa r

rqq

F 3

041πε

Principio de superposición

Superpoción Lineal de las Fuerzas

11

CAMPO ELÉCTRICO

Campo Eléctrico; Fuerza por unidad de carga que se ejerce en un punto P de espacio sobre una carga de prueba q0

CAMPO ELÉCTRICO de UNA CARGA PUNTUALQ0Q

Q0, carga de prueba 0qF

E

=

EqF

⋅= 0rrQ

E ˆ4

12

0πε=

20

041

rqQ

F⋅=

πε

000qF

E Limq

→=

12

Líneas de Campo Eléctrico

Idea introducida por Faraday.Las líneas de campo en cada punto tienen la

dirección del campo.El número de líneas por unidad de área, es

proporcional a la intensidad del campo.Dan una idea grafica de la dirección e

intensidad del campo

13

Fotocopias e Impresoras LáserFotocopiadora Impresora Láser

Cilindro Fotosensible

El cilindro se carga

La imagen reflejada descarga selectivamente

El tonner se pega en la zona cargada

14

Las líneas de campo son, si ambas cargas son de signo contrario:

Campo Eléctrico (para un dipolo eléctrico )

+ -

15

Simetría Teorema: El Campo eléctrico siempre esta contenido

en el plano de simetría de una distribución de cargas

+ +

Plano de simetría

Plano de simetría

E E

+

+ +

16

Permite calcular el campo creado por una distribución

de cargasr

rrdq

krrq

kE eiii

ie

∫∑ ⋅==→

3)(

3

Distribuciones Continuas: densidades de carga :

Volumétrica ρ =dQ/dV, {C/m3}

Superficial σ =dQ/dA, {C/m2}

Linealλ =dQ/dL, {C/m}

Principio de superposición

SUMA VECTORIAL

17

Líneas de campo en esferas y planos

Esfera con carganegativa Plano positivo

Simetría esférica Simetría planar

Plano simetría

18

Campo de un Dipolo

+ -

y

y

d/2

θEx

d/2

r1θ

r2

El campo disminuye más rápido que para una carga puntual

Algo para recordar…

drq

rd

rq

senrq

Ex 3101

210

210

)1(

812/

41

41

πεπεθ

πε===4/222

1 dyr +=

32/320

)2()1(

))2/(1(4

1

y

d

yd

qEEE xxx +

=+=πε

+

−⋅⋅= ...22

31

41

30 y

dyqd

Ex πε

304

1yp

Ex ⋅≈πε

......!2

)1(!1

1)1( 2 +−+++=+ xnn

xn

x n

dqp .≡

19

Campo de un Dipolo Ejercicio

Ex

El campo disminuye más rápido que para una carga puntual

Algo para recordar…

drq

rd

rq

senrq

Ex 3101

210

210

)1(

812/

41

41

πεπεθ

πε===4/222

1 dyr +=

?)( =xEx

......!2

)1(!1

1)1( 2 +−+++=+ xnn

xn

x n

dqp .≡

+ -

y

d/2

r1r2

x

Ex

304

1yp

Ex ⋅≈πε

304

1xp

Ex ⋅≈πε

20

Campo de hilo cargado (L, Q)

2

000 )/2(1

14

1

LyyE

y+

≈ λπε

El campo disminuye más lentamente que para una carga puntual

λ=Q/L

rx

rdx

rdq

dEy 20

20 4

1cos

41 λ

πεθ

πε==

y

y0

Ey

x-x

rθ

θ

r

∫ +⋅=

2/

2/ 2/320

20

0 )(4

L

Ly yx

dxyE

πελ

2

0

200

2/

0 2/32

0

20

0 )2/(

2/2

1

)(42

yL

Lyyx

dxyE

L

y+

=+

⋅= ∫ λ

πεπελE

20

22 yxr +=

21

Campo eléctrico sobre el eje de un anillo cargado, Q, a

dE

dExθ

rrdq

Ed ˆ4

12

0πε=

204

1rad

dEθλ

πε=

θαλπε

cos4

12

0 rad

dEx =

αθλπε

πd

xaa

Ex ∫+=

2

02/3220 )(

cos4

12/322

02/322

0 )(41

)(cos

21

xaxQ

xaa

Ex +⋅=

+=

πεθλ

ε

Simetría

λ=Q/2π.a

22

CampoCampo eléctrico sobre el eje de un disco uniformemente cargado.

2/3220 )(4

1xa

xdQdEx +

⋅=πε

2/3220 )(

24

1xa

xdaadEx +

⋅⋅⋅⋅= πσπε

+

−=+⋅⋅= ∫ 22

00 2/322

0

12)(2 xR

xxadaax

ER

x εσ

εσ

σ =Q/πR2

Ex

23

CampoCampo eléctrico sobre el eje de un disco uniformemente

cargado de radios R∞

+

−=∞→ 22

0

12 xR

xLimER

x εσ

Ex

02εσ=xE

El campo es contante

24

Campo entre dos placas paralelas

++++++++++++++++

- - - - - - - - - - - - - - - - - -

Superposición S02ε

σ=xE

02εσ=xE

El campo uniforme confinado entre las placas

- - - - - - - - - - - - - - - - - -

++++++++++++++++

0=xE

0=xE

0εσ=xE

25

Resumen de Campo Eléctrico El Campo Eléctrico es un campo vectorial. Líneas de Campo: en cada punto tiene la dirección

y sentido de la fuerza eléctrica. Simetrías Es una propiedad del punto Para calcular el campo de una distribución-

Superposición Densidad de carga: λ,σ, ρ Campo de un Dipolo: p=q.d Campo de una línea de carga , Anillo, Disco, etc.

eFE

//

rr

rdqkr

r

qkE eii

i

ie

∫∑ ⋅==→

3)(

3

Concepto de Flujo

Flujo Flujo ≈≈ Lat.Lat. Fluxus Fluxus ≈≈ Fluir, manar. Fluir, manar.El flujo de un campo de velocidad

está asociado al caudal o volumen del liquido que para en la unidad de tiempo.

vA

v.dt Q=dVdt=

= A.v.dt/dt

Q=A.v.

Concepto de FlujoCaudal = volumen del

liquido que para en la unidad de tiempo.

vA

v.dt

Q=dVdt=

= A.v.dt/dt

v

v.dt

Q=A.v.

A A’θ A=A’.cos θ

Q=A.v=A’.v.cosθ

vAQ ⋅=

28

FLUJO o descarga de un líquido

AvAvv

⋅==Φ ) cos( θAvAv

v

⋅=⋅=Φ

∫ ⋅=Φ Sdvv

dtdAdtvdVv⋅Φ=⋅= ).(

Definición de FlujoCampo Vectorial

La “cantidad” de campo que atraviesa una superficie imaginaria S.

Si tenemos un campo vectorial,

podemos en general definir un flujo que pasa por una superficie S, asociado a dicho campo, definido por:

∫∫ ⋅=ΦSB

SdB

),,( zyxB

),,( zyxB

),,( zyxB

Flujo Eléctrico- Ley de GaussFlujo Eléctrico- Ley de Gauss

Es la cantidad de “líneas de campo que atraviesan las superficie S.”

Unidades de Flujo E= N-m2/C

∫∫ ⋅=ΦSE

SdE

El flujo eléctrico encerrado por una superficie cerrada es igual a la carga neta encerrada dividida ε0

31

Carl Friedrich Gauss 1777-1855Matemático, astrónomo y físico alemán. Contribuyó significativamente en muchos campos, teoría de númerosanálisis matemático,geometría diferencial, geodesia, magnetismo óptica. "el príncipe de las matemáticas" "el matemático más grande desde la antigüedad"

El cálculo de la órbita de Ceres en 1801, como entretenimiento, nombrado en 1807 director del Observatorio Astronómico de Göttingen

32

Flujo de campo

ε0Φ(S1)= +q

netaESqSdE =Φ=⋅∫ 00

εε

ε0Φ(S2)= -q

ε0Φ(S3)= 0

33

Ley de Gauss y Conservación de cargas

Para un campo vectorial A cualquiera

)(sumideros fuentes de Intensidad. ∝∫∫S

SdA

i=dq/dt ∫∫=s

SdJi

.Q

Conservación de la carga

∫∫−=s

SdJdtdQ

.J

J

J

J

34

Ley de Gauss del magnetismo

No hay polos magnéticos aislados Si B es campo magnético

Como no hay polos magnéticos aislados

Esta es ley de Gauss del magnetismo 0. =∫∫S

SdB

)(sumideros fuentes de Intensidad. ∝∫∫S

SdB

La ley de Gauss

La expresión anterior puede generalizarse La expresión anterior puede generalizarse para cualquier distribución de carga. El valor para cualquier distribución de carga. El valor del la carga de segundo miembro es la carga del la carga de segundo miembro es la carga neta interior a la superficie.neta interior a la superficie.

0

.ε

inE

qSdE∫∫ =≡Φ

La ley de Gauss y la ley de Coulomb tienen el mismo contenido físico. Sin embrago para caso no estáticos se considera al ley de Gauss como más fundamental. No tiene la implicancia de acción instantánea, implícitas en la ley de Coulomb.

Superficies GaussianasEs una superficie cerrada (imaginaria) Es una superficie cerrada (imaginaria) que rodea una distribución de cargas.que rodea una distribución de cargas.

0

.εq

SdEE ∫∫ =≡Φ

0.∫∫ =≡Φ SdE

E

37

Ley de Gauss- Ley de Coulomb

De la ley de Coulomb sabemos que:

Por la simetría del problema:

Ley de Gauss

∫∫∫∫ ⋅=⋅=Φ dSESdESE

rr

qE ˆ

41

2

0πε

=

ESd

//

Sd

24 rEdSE

E⋅==Φ ∫∫ π

0/εq

E=Φ

38

Ley de Gauss – ¿Cuándo se usa?

Sólo es útil para situaciones donde hay simetría.

Hay que usar la simetría para saber dónde E es constante y cuál es su dirección.

Hay que seleccionar una superficie cerrada en la cual E sea constante o donde el flujo sea cero (E perpendicular a la superficie).

Cuando conviene usar la ley de Cuando conviene usar la ley de Gauss para calcular camposGauss para calcular campos

La Ley de gauss es de validez universal Es “útil” para calcular campo E, cuando

por simetría podemos suponer que sobre una dada superficie E =constante y conocemos su dirección.

Hay que seleccionar una superficie cerrada en la cual E sea constante o donde el flujo sea cero (E perpendicular a la superficie).

Ejemplo- Hilo delgado de cargaEjemplo- Hilo delgado de cargaEste problema tiene Simetría cilíndrica.

• Tomamos una superficie Gauussina como se ve el la figura.

• La carga encerrada es q=λ l• Sobre las tapas ΦE=0, pues es

perpendicular a

• Sobre la cara lateral es paralelo a

• Por lo tanto

∫ =⋅⋅==Φπ

ελπ

2

0

2o

rEEdS

Sd

dS E

E

Sd

rE

λπε

02

1=

rr

Eo

ˆ2

1 λπε

=

41

Ley de Gauss- Campo de una placa plana

o

o

qEA

qAdE

ε

ε

=

=⋅∫∫

o

AAE

εσ=2

εσ2

=E

o

Eεσ

2=

Ejemplo-Ejemplo- Esférica maciza con una Esférica maciza con una distribución uniforme de carga distribución uniforme de carga

RadioRadio aa

ra

∫∫∫ ==⋅=ΦSSSEdSEdSESdE ..

2)( 41

r

QE

oar

⋅=> πε

r

a

r > a

0

2/4. επ QrE

E=⋅=Φ

1/r2

Ejemplo-Ejemplo- Esférica maciza con una Esférica maciza con una distribución uniforme de carga distribución uniforme de carga

RadioRadio aa

Er a ∫∫∫ ==⋅=Φ

SSSEdSEdSESdE ..

raQ

Eo

ar 3)( 41 ⋅=< πε

r < a

3

3

0

24.

a

rQrE

E επ =⋅=Φ

2)( 41

r

QE

oar

⋅=> πε

Ejemplo- Placa plana cargadaEjemplo- Placa plana cargadaEsfera cargada uniformementeEsfera cargada uniformemente

E rr ao

< = ρε3

Ea

rr a

o> = ρ

ε

3

23

Palca plana con distribución Palca plana con distribución de carga uniformede carga uniforme

Eo

= σε2

45

00

12

εσ

εσ ==E

Dos placas conductoras cargadas

Conclusiones

La ley de Gauss es útil para La ley de Gauss es útil para determinar campos cuando hay determinar campos cuando hay simetría en el problemasimetría en el problema

Ojo, Pero su validez es universal.Ojo, Pero su validez es universal.

47

Potencial Eléctrico

Clase 4 Revisión de los visto Campo Eléctrico- Ley de Gauss Trabajo y energía Concepto de Potencial eléctrico Campo y Potencial Aplicaciones

48

Expresión Matemática de la Ley de Gauss

Electricidad: El flujo de campo = carga al interior de una superficie Gaussiana

Magnetismo No hay polos aislados

Conservación de cargas

0. =∫SSdB

0εinS qSdE =∫ ⋅

∫−=S

SdJdt

dQ .

49

Ley de Gauss

El flujo de campo eléctrico a través de cualesquier superficie cerrada (gaussiana), es igual a la carga neta encerrada, por la misma, entre la constante ε0.

netaESqSdE =Φ=⋅∫ 00

εε

Si aplicamos la Ley de Gauss a Si aplicamos la Ley de Gauss a un conductor, cargado y un conductor, cargado y estado estacionario estado estacionario (Electrostática) Entonces: No (Electrostática) Entonces: No hay campo en su interior.hay campo en su interior.

Si tomamos una sup. Si tomamos una sup. Gaussiana, cercana a la Gaussiana, cercana a la superficie externa superficie externa qqnetaneta=0=0

La carga en el conductor esta La carga en el conductor esta en la superficie.en la superficie.

Ley de Gauss - Conductores

netaSqSdE =⋅∫

0

ε

51

Ejemplo 3

52

Superficies esféricas Gaussianas

a) carga puntual positiva

Flujo Positivo

a) carga puntual negativa

Flujo Negativo

53

Campo eléctrico de una carga puntual

r

EdA

Q

Considere una carga puntual q. El flujo en una esfera de radio r será:

0

24ε

π QrEdAESdE ===⋅=Φ ∫∫

netaESQSdE =Φ=⋅∫ 00 εε

204

1

r

QE

πε=

Por la simetría del problema:

y E=E(r)

y

rE ∝

20

.

4

1.

r

qQEqF

πε==

54

Campo eléctrico de una carga puntual

20

.

4

1.

r

qQEqF

πε==

netaESqSdE =Φ=⋅∫ 00

εε

0

24

επ q

rEdAESdE ===⋅=Φ ∫∫

2

0

14

1

rE

πε=

netaSQSdE =⋅∫

0ε

La ley de Gauss es equivalente a la ley de Coulomb

55

Textos R. Halliday, D. Resnick y M. Krane, Física para estudiantes de

ciencias e ingeniería, 4ª ed., vol. II (México, 1992). Sears, F. et al., Física Universitaria: Volumen II (Addison Wesley

Longman, México D.F., 1999). G. Wilson, Física, Prentice Hall, México, 1997. D. Giancoli, Física: Principios y aplicaciones, Prentice Hall,

México, 1997. Gettys, Keller, Skove Fisica Clásica y Moderna Mc Graw-Hill

México, 1996 http://www.anselm.edu/internet/physics/cbphysics/downloadsII.html

http://www.fisicarecreativa.com/unsam_f3/

56

Trabajo para mover una carga

∫∫ −==2

1

2

12,1

.. ldEqldFW

∫−=≡2

1

2,112

. ldEq

WV

Diferencia de Potencial= Trabajo por unidad de carga

Eq

.Eq

.Eq

.

F F F1 2

57

Trabajo para mover una carga

Eq

.Eq

.Eq

.

F F F

lEqW

∆=∆ ..

Potencial= Trabajo por unidad de carga

lEqW

V

∆−=∆=∆ .

xEVx

∆−=∆ . xV

Ex ∂

∂−=

yV

Ey ∂

∂−=zV

Ez ∂

∂−=max

∂∂−=

lV

E VE ∇−=

58

Trabajo para mover una carga

Si tomamos el Potencial en infinito como cero, el potencial es el trabajo para traer una carga desde infinito

yV

Ey ∂

∂−=z

VE

z ∂∂−=

VE ∇−=

xV

Ex ∂

∂−=

∫−=≡2

1

2,112

. ldEq

WV

Si conocemos el potencial, podemos calcular el campo y si sabemos el campo, podemos calcular el potencial

59

Carga Puntual

Si tomamos el Potencial en infinito como cero, el potencial es el trabajo para traer una carga desde infinitoVE ∇−=

∫−=≡2

1

2,112

. ldEq

WV

2

0

14

1

rE

πε=

=∆12

V

=−=−=−=∆ ∫∫∫ 2

1

2

1

2

0

2

112 4

1 r

r

r

r r

drdrErdEV

πε

−=−=∆

2101212

114

1rr

VVVπε

∞

−−=−= 114

1

20122 r

VVVπε

60

Física 3 – ECyT – UNSAM2010

Introducción al electromagnetismoDocentes:

Gerardo García BermúdezSalvador Gil

www.fisicarecreativa.com/unsam_f3

Clase 5

61

Potencial En general:

El trabajo para mover una carga de 1 a 2 no depende del camino.

La fuerza eléctrica (el potencial electrico) es conservativo

0.1,1

=−=∆ ∫CldEW

62

Carga Puntual

Si tomamos el Potencial en infinito como cero, el potencial es el trabajo para traer una carga desde infinitoVE ∇−=

∫−=≡2

1

2,112

. ldEq

WV

2

0

14

1

rE

πε=

rQ

rV0

41

)(πε

=

∫∫∫=v rdq

rV0

41

)(πε

Por el teorema de superposición

rr

rdqkr

r

qkE

eii

i

ie

∫∑ ⋅==→

3)(

3 SUMA VECTORIAL

SUMA Escalar

63

Trabajo y Energía Campo eléctrico no uniforme y trayectoria no rectilínea

Debemos dividir la trayectoria en pequeños desplazamientos infinitesimales, de forma que

∫∫ ⋅−=⋅=B

Ao

B

A ext

ext

ABrdEqrdFW

∫ ⋅−==−B

Ao

ext

ABAB

rdEq

WVV El potencial en este caso

será

B

AE

F

rd

Eqo

qo

64

Dipolo en campo Uniforme

-

+d

q

F=q.E θθτ senEdqsendF ..... == Ep ×=τ

θθθθ dsenEdqdsendFdW ⋅=⋅= .....

EpU.)( =θ)(cos.. θdEpdW −=

EEF

F θ

θU

0 180º

E

65

DÍPOLO ELÉCTRICO Es un sistema de dos cargas iguales y de signo contrario que se encuentran a pequeña distancia

Momento dipolar

Energía de un dipolo eléctricoTrabajo necesario

para girarlo en contra de un campo

eléctrico

Dipolo en un campo eléctrico uniforme

Ep ×=τ

EpU ⋅−=

66

Polarización Eléctrica

Cuando se coloca una carga positiva, los átomos se polarizan o alinean con el campo

Se rompe la simetría original, y los átomos se polarizarán, quedando la nube electrónica con carga negativa orientada hacia la localización de la carga positiva introducida. Ep

⋅= α α= Polarizabilidad

67

Dipolos

Esta orientación se conoce como polarización en donde un polo de los átomos está más positivamente cargado y el otro más negativamente cargado.

Cada átomo polarizado de esta forma se convierte en un dipolo.

Los dipolos de los átomos tienden a contrarrestar el efecto del campo eléctrico producido por la carga positiva introducida.

Por lo tanto, el campo eléctrico en cualquier punto del material será distinto al campo eléctrico que mediríamos cuando colocamos la misma carga eléctrica positiva en el espacio libre, sin la presencia del material y sus átomos formando dipolos.

68

POTENCIAL DE UN SISTEMA DE CARGAS PUNTUALES

Para una distribución discreta de cargas

∑ ∑==n n n

nn r

qVV

04

1πε

Para una distribución continua de cargas

⇔

Ley de Gauss

∫ ∫==r

dqdVV

oπε41

netaSQSdE =⋅∫

0ε

En un dado problema, ¿qué ley uso o qué calculo primero, el campo E o el potencial V(r)?

VE ∇−=

∫∞

−=r

ldErV

.)(

69

Cascarón Esférico hueco

=0

)( 2r

Qk

rE eR

Q

r ≥ R

r ≤ R

E(r)

Hay simetría Ley de Gauss

Primero el campo E

70

PotencialPotencial eléctrico en el interior y el exterior de un cascarón esférica de carga.

Cascarón Esférico hueco

=

RQ

k

r

Qk

rV

e

e

)(r ≥ R

∫∞−=

rdrrErV ').'()(

=0

)( 2r

Qk

rE e

r ≤ R

Después el potencial

71

2

cos 24 r

aqV

o

θπε

⋅=

Recordando la definición de momento dipolar eléctrico

qap ⋅= 2

22

ˆ.4

1 cos 4

1

r

rp

r

pV

oo

πεθ

πε=⋅=

V = 0 para α = 90º

No se requiere trabajo para llevar una carga de prueba desde el infinito hasta el dipolo a lo largo de la línea perpendicular al punto medio entre las dos cargas.

Dipolo - +

2a

P=2a.q-q q

- +

r

θ

r1r1

rar +=1 θcos2

222

1⋅⋅−+= rarar

)cos)/(1(1

θ⋅−≈ rarr

)cos)/(1(2

θ⋅+≈ rarr

No hay simetría – Primero V(r)

72

Campo creado por un dipolo

Dipolo = carga positiva y carga negativa de igual valor (q) situadas a una distancia muy pequeña ( d = 2a ).

Aproximación r>> l

- +-a a

rr-a

r+a

)()( 33 arar

qkar

ar

qkE

+

+−+−

−=

dqp = Momento dipolar - +

−⋅=

⋅∇−=∇−= p

rr

rrp

r

k

r

pkVE

)(3

cos32

θ

X

Z

Y

d

73

CONDUCTOR EN EQULIBRIO ELECTROSTÁTICO

Conductor: Material que se caracteriza por tener cargas libres que pueden moverse en su interior.

Si sometemos un conductor a un campo eléctrico externo, su carga libre se redistribuye hasta anular el campo eléctrico en su interior. En

estas condiciones se dice que el conductor está en Equilibrio Electrostático (E’ = Eo).

+++++++++++++ oE

'E

Cualquier exceso de carga se colocará en la superficie del conductor, ya que el campo eléctrico externo no es lo suficientemente intenso como para vencer las fuerzas de ligadura.

74

Condiciones que se deben cumplir en todo conductor

IToda la carga libre de un conductor se coloca en su superficie.

Dado un conductor, supongamos una superficie gaussiana justo en el interior de la superficie del conductor. Como E =0 dentro del conductor, también será nulo en todos los puntos de la superficie gaussiana. Por lo tanto el flujo a través de la superficie del conductor es cero.

Por el Teorema de Gauss

o

qε

=Φ intComo 0=Φ 0int =q

Por lo tanto si existe carga debe estar en la superficie del conductor

Conductor

75

El campo eléctrico en la superficie del conductor es perpendicular a dicha superficie y vale

oεσ

Para hallar el campo eléctrico en la superficie del conductor consideremos un elemento infinitesimal plano, con densidad superficial de carga σ. Como superficie gaussiana tomamos un cilindro con una cara en el exterior y otra en el interior del conductor

Si el conductor está en equilibrio electrostático, el E en la superficie debe ser perpendicular a dicha superficie. Así, sólo hay flujo a través de la cara superior.

o

intqs

ε==⋅=Φ ∫ EsdE

s q σ=into

Eεσ=

E

76

Distribución esférica, r ≥R

Distribución uniforme, r ≤R

2

04

1

r

QE

πε=

3

04

1

R

rQE

⋅=πε

Esfera cargada

R

E(r)

77

Distribución esférica, r ≥R

Carga uniforme, campo r ≤R

2

04

1

r

QE

πε=

3

04

1

R

rQE

⋅=πε

Esfera cargada

rQ

rV0

41

)(πε

=

)(21

41

)( 3

2

0

RVR

rQrV +⋅−=

πε

−= 2

2

0 223

41

)(R

r

R

QrV

πεR

78

Ejercicio: Ley de Gauss: Cascarón Esférico

Calcular Campo y Potencial en todo el espacio

R1 R2

r

79

2

04

1

r

qE

πε=

Cascaron esféricaUsando la ley de Gauss y las propiedades de simetría:

Para r ＜ R2

0=EEntre a r ＜ R2

Para r >R1

rrr

E0

3

2

033

44

1ερπρ

πε==

)(433

2

3

1RRq −= πρ

80

Electrostática

Campo electrostático y potencial

81

SUPERFICIES EQUIPOTENCIALES

Vamos a suponer una región del espacio en la que existe un campo eléctrico, representado por sus líneas de campo. El trabajo necesario para desplazar una carga de prueba, qo, una distancia infinitesimal a la largo de una de estas líneas será

rdFdW ⋅−=

En términos de incrementos

rEV ∆⋅−=∆

E alar perpendicu r∆ 0=∆V V constante

E a paralelo r∆ Variación máxima de

potencial

82

Superficies equipotenciales

Es el lugar geométrico de todos los puntos que se encuentran al mismo potencial. Cumplen la condición de encontrarse en un plano perpendicular al campo eléctrico

El trabajo desarrollado para mover una partícula de un punto A a otro punto B a lo largo de una superficie equipotencial es nulo, ya que

o

ABAB

qW

VV =−

A lo largo de una superficie

equipotencialBA VV = 0=ABW

83

Ejemplos de superficies equipotenciales

84

Conductor en un campo eléctrico

El campo interior siempre es nulo.

Deforma las líneas de campo exterior.

Se produce una redistribución de carga en la superficie debido a la fuerza eléctrica.

Sobre la superficie del conductor el campo es siempre perpendicular a al superficie

85

Potencial eléctrico

La fuerza eléctrica se puede expresar en función del campo eléctrico.

Por ser conservativa

Potencial eléctrico

Campo eléctrico = gradiente del potencial eléctrico

Unidades : el Voltio

)()( rEqrF

= )(rUF

∇−=

q

UV =

Energía potencial

Carga

)(rVE

∇−=

[ ] [ ]CJVV /==

Se puede elegir el origen de potencial

86

Superficies equipotenciales

El potencial es constante en todos sus puntos.

El vector gradientees ortogonal a S.

El gradiente va de menores a mayores valores de V.

1U

ctezyxV =),,(

V0

V1

V2

VN

0|||| =−=∆⋅∇−=∆⋅ ii VVrVrE

ij

ij

VV

VVrVrE

>

<−−=∆⋅∇−=∆⋅ ⊥⊥ 0)(

Vectores campo eléctrico

87

Superficies equipotenciales

Campo producido por un dipolo

Campo producido por una carga puntual

Campo uniforme

Superficie equipotencial Campo eléctrico

88

Referencias Física para estudiantes de ciencias e ingeniería - R. Halliday, D.

Resnick y M. Krane, 4ª ed., vol. II (México, 1992). Física II - SERWAY R. FISICA ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO Ed.

CENGAGE LEARNING- Mexico 2003 Física Universitaria: Volumen II Sears, F. et al., (Addison Wesley

Longman, México D.F., 1999). G. Wilson, Física, Prentice Hall, México, 1997. Física: Principios y aplicaciones, D. Giancoli, Prentice Hall, México,

1997. Física Clásica y Moderna Gettys, Keller, Skove -Mc Graw-Hill

México, 1996 http://www.anselm.edu/internet/physics/cbphysics/downloadsII.html

http://www.fisicarecreativa.com/unsam_f3/

89

Problema 1 Calcular Campo y Potencial para: Ley de Gauss (Calculamos E, por la simetría del

problema)

+Q

a

b

ra b

r

E

V(r)a b

Dentro del conductor E=0

+

+

+

+

+

++

+

+

+-

--

-

--

-

-

-

90

Problema 2

[ ]

−≈+= −

2

22/122

421

11

)2/(1

xd

xdx

r

-2Q

+Q

+Q

d/2

d/2

r

x

E

−=+−=

xrkQ

rQ

kxQ

kxV11

222

)(

222 )2/(dxr +=

2

2

2

2

8

1

42

11

111

x

d

xx

d

xxr−=−

−=≈−

3

2

82)(

xQd

kxV −= 4

2

43)(

xQd

kxE −=

91

Problema 3

92

93

Agradecimiento

Algunas figuras y dispositivas fueron tomadas de:

Clases de E. y M.de V.H. Ríos – UNT Argentina

Clases E. y M. del Colegio Dunalastair Ltda. Las Condes, Santiago, Chile

Ángel López

FIN