1

1.6.- Potencial eléctrico y

diferencia de potencial o

voltaje

2

Toda carga eléctrica positiva o negativa, tiene una energía potencial eléctrica debido a su capacidad para realizar trabajo sobre otras cargas.Un potencial es positivo si al conectar un cuerpo a tierra, por medio de un conductor eléctrico, los electrones fluyen desde el suelo al cuerpo; y será negativo si al conectarlo a tierra, los electrones fluyen del cuerpo al suelo. Por ello se considera que el potencial eléctrico de la tierra es cero.Una carga positiva, dentro de un campo eléctrico tiende desplazarse de los puntos donde el potencial eléctrico es mayor hacia los puntos donde éste es menor. Si la carga es negativa la tendencia de su movimiento es de los puntos de menor a los de mayor potencial eléctrico.Por definición el potencial eléctrico V en cualquier punto de un campo eléctrico es igual al trabajo T que se necesita realizar para transportar a la unidad de carga positiva q desde el potencial cero hasta el punto considerado.

∴→𝑉=𝑇𝑞

Ec. 1

3

El potencial eléctrico es una magnitud escalar como lo es cualquier tipo de energía, a diferencia del campo eléctrico.El potencial eléctrico se define también como la unidad de carga eléctrica positiva en un punto determinado.

∴→𝑉=𝐸𝑝

𝑞Al despejar la energía potencial de la ecuación 2 tenemos:

𝐸𝑝=𝑞𝑉 ( 𝐽𝑜𝑢𝑙𝑒𝑠)Esta ecuación señala que la energía potencial es igual al producto de la carga eléctrica por el potencial eléctrico.

Ec. 2

Ec. 3

4

Determinación del valor del potencial eléctrico en un punto de una cargaEn la figura se observa una carga positiva Q. Su campo eléctrico, está dirigido radialmente hacia afuera y una carga positiva q de prueba es obligada a acercarse, en contra de su repulsión, del punto 1 al 2.

++

++

+

+++

Q¥

+··12

q

infinito

La magnitud de la intensidad del campo eléctrico de la carga Q disminuye en relación inversa con el cuadrado de la distancia y su valor en el punto 1 y 2, será igual a:

𝐸1=𝑘𝑄𝑟12 𝐸2=

𝑘𝑄𝑟 22

r1

r2

Ec. 4

Fig. 1

5

La energía potencial es igual al trabajo realizado en contra de las fuerzas eléctricas cuando se mueve una carga q desde el infinito hasta el punto determinado. Por lo tanto para calcular la energía potencial existente entre una carga Q y otra carga q separadas por una distancia r, se emplea la expresión:

𝐸𝑝=𝑘𝑄𝑞𝑟

Finalmente, para calcular cuál es el valor del potencial eléctrico (V) en cualquier punto que se encuentre a una distancia r de una carga Q, tenemos que de acuerdo con la ecuación 2 y realizando la sustitución de la energía potencial ecuación 5, la ecuación finalmente es:

Ec. 5

𝑉=𝑘𝑞𝑟

Ec. 6

Superficie equipotencial, una superficie equipotencial es aquella que resulta de la unión de todos los puntos de un campo eléctrico que se encuentran al mismo potencial eléctrico.Las superficies equipotenciales son siempre perpendiculares en todos sus puntos a las líneas de fuerza del campo eléctrico, por ellos su forma dependerá de la del conductor.En el caso de una carga puntual o de un cuerpo esférico cargado, la forma de la superficie equipotencial será de esferas concéntricas de diferente radio, Fig. 2.

6

Fig. 2

Cuando se tienen varias cargas eléctricas, como se aprecia en la figura 3, y se desea calcular el potencial en determinado punto de ellas, éste se calcula de manera individual y luego se suman algebraicamente, ya que el potencial eléctrico es un escalar y no una magnitud vectorial.En el punto A el potencial eléctrico es igual a:

+

-

+

𝒒𝟏

𝒒𝟑

𝒒𝟐

𝒓𝟏

𝒓𝟑

𝒓𝟐A

𝑉 𝐴=𝑉1+𝑉 2+𝑉 3

Fig. 3

𝑉 𝐴=𝑉 1+𝑉 2+𝑉 3ó𝑉 𝐴=𝑘𝑞1𝑟1

+𝑘𝑞2𝑟 2

+𝑘𝑞3𝑟 3

Cuando la carga es negativa, como sucede con q3 de la figura 3, el potencial de dicha carga será también negativo.

Ec. 7

Diferencia de potencialEn términos prácticos en vida diaria, no es importante conocer el potencial eléctrico existente en determinado punto de un campo, sino cuál es la diferencia de éste entre dos puntos y con ello determinar la cantidad de trabajo necesario para mover cargas eléctricas de un punto a otro.La diferencia de potencial entre dos puntos cualesquiera A y B es igual al trabajo por unidad de carga positiva que realizan fuerzas eléctricas al mover una carga de prueba desde el punto A al B.

∴→𝑉 𝐴𝐵=𝑇 𝐴𝐵

𝑞Ec. 8

(V). de A a B calculado en Joules (J)

La diferencia de potencial entre dos puntos de un campo eléctrico es la misma, independientemente de la trayectoria de la carga durante su desplazamiento del punto A al B.

Nota: la diferencia de potencial también recibe el nombre de voltaje y tensión

Campo eléctrico uniformeUn campo eléctrico uniforme se tiene cuando existe un campo constante en magnitud y dirección, como el formado por dos placas metálicas planas y paralelas con cargas de igual magnitud, pero de signo contrario, figura

++

+

++

---

--

+

�⃗�

q

d

𝑽= �⃗� 𝒅

A BFig.4 La diferencia de potencial entre dos puntos cualesquiera de un campo uniforme es igual a:

𝑉=𝐸𝑑 Ec. 9

cualesquiera en un campo uniforme en volts (V)

De la ecuación 9 podemos despejar la magnitud de la intensidad del campo eléctrico y encontramos que su magnitud se calcula con la expresión:

𝐸=𝑉𝑑→

𝑣𝑜𝑙𝑡𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜

=𝑁𝐶

Ec. 10

La ventaja de medir la magnitud de la intensidad del campo eléctrico en función de la diferencia de potencial es que ésta se puede determinar con el uso de un voltímetro, lo cual no es así de simple si se requiere calcular la magnitud de la fuerza eléctrica recibida por una carga debida al campo. Es por ello que resulta práctico medir el valor de en volt/metro aunque, es igual a N/C

Resolución de problemas de

potencial eléctrico

Problema 1: para transportar una carga de 5 desde el suelo hasta la superficie de una esfera cargada se realiza un trabajo de 60 X 10-6 J. ¿Cuál es el potencial eléctrico de la esfera?Solución

Datos

T = Fórmula

Sustitución y resultado

;

𝑽=(𝟔𝟎𝑿 𝟏𝟎−𝟔 𝑱 )𝟓 𝑿𝟏𝟎−𝟔𝑪

=𝟏𝟐 𝑱𝑪

=𝟏𝟐𝑽

13

Problema 2: determine la carga transportada desde un punto a otro al realizarse un trabajo de 10 X 10-4 J, si la diferencia de potencial es 2 X 102 V.

Solución Datos

T = Fórmula

Sustitución y resultado

𝑉=𝑇𝑞

∴𝑞=𝑇𝑉

𝒒=(𝟏𝟎𝑿 𝟏𝟎−𝟒 𝑱 )𝟐 𝑿𝟏𝟎𝟐 𝑱 /𝑪

=𝟓 𝒙𝟏𝟎−𝟔𝑪

14

Problema 3: una carga de 7 se coloca en un determinado punto de un campo eléctrico y adquiere una energía potencial de 63 X 10-6 J. ¿Cuál es el potencial eléctrico en ese punto?Solución

Datos

Ep= Fórmula

Sustitución y resultado

𝑉=𝐸𝑝𝑞

V

15

Problema 4: determinar el potencial eléctrico a una distancia de 10 cm de una carga puntual de 8 nC.

Solución Datos

r= Fórmula

Sustitución y resultado

𝑉=𝑘𝑞𝑟

V

16

Problema 5: un conductor esférico de 20 cm de diámetro tiene una carga de 3 nC. Calcular:a) ¿Cuál es el potencial eléctrico en la superficie de la esfera?b) ¿Cuál es el potencial eléctrico a 30 cm de su superficie?

Solución Datos

Fórmula

Sustitución y resultado

𝑉=𝑘𝑞𝑟

?b) ?

a) V

b) V

17

Problema 6: una carga de prueba se mueve del punto A al B como se ve en la figura. Calcular:a) La diferencia de potencial si la distancia del punto A a la carga Q de 4 es de 20

cm y la distancia del punto B a la carga Q es de 40 cm.b) El trabajo realizado por el campo eléctrico de la carga Q al mover la carga de

prueba de 9 nC desde el punto A al B.

Q +A B

9 nC

18

Solución

𝑉 𝐴=𝑘𝑄𝑟 𝐴

=(9 𝑥109 𝑁𝑚2

𝐶2 )(4 𝑥 10−6𝐶 )

0.2𝑚=1.8 𝑥105𝑉

a) Para calcular la diferencia de potencia entre los puntos A y B, determinamos primero el potencial en A y en B

𝑉 𝐵=𝑘𝑄𝑟 𝐵

=(9𝑥 109 𝑁𝑚2

𝐶2 )(4 𝑥10− 6𝐶)

0.4𝑚=0.9𝑥 105𝑉

Por tanto, la diferencia de potencial es igual a:

𝑉 𝐴𝐵=𝑉 𝐴−𝑉 𝐵=1.8 𝑥105𝑉 −0.9𝑥 105𝑉=0.9 𝑥105𝑉

b) El trabajo realizado por el campo eléctrico de la carga Q para mover del punto A al B a la carga de prueba q es:𝑇 𝐴→𝐵=𝑞(𝑉 𝐴−𝑉 𝐵)

𝑇 𝐴→𝐵=(9𝑥10−9𝐶 ) (0.9𝑥105𝑉 )=8.1 𝑥10− 4 𝐽

19

Problema 7: si la diferencia de potencial o voltaje entre dos placas, que se encuentran separadas 1 cm es de 500 volts. Calcular:a) ¿Cuál es la magnitud de la intensidad del campo eléctrico entre las placas?b) Si una carga de 2 se encontrara entre las placas, ¿qué magnitud de fuerza

eléctrica recibiría?Solución Datos

Fórmula

Sustitución y resultado

;

m?b) ?

a) E

b) FN

b

20

Problema 8: una carga de 6 está separada 30 cm de otra carga de 3 . ¿Cuál es la energía potencial del sistema?

Solución Datos

Fórmula

Sustitución y resultado

;

r mk=?

Ep

21

Problema 9: calculara) El potencial eléctrico en un punto A que se encuentra a 20 cm de una carga de -5 .b) La energía potencial eléctrica si en el punto A se coloca una carga de 8 .

Solución Datos

Fórmula

Sustitución y resultado

;

a)

b

b)

La energía potencial es negativa por que debe realizarse un trabajo en contra del campo eléctrico para separar las cargas entre sí. En nuestro caso, se debe suministrar un trabajo de 18 X J por medio de una fuerza externa para mover la carga de 8 al infinito.

22

Problema 10: dos cargas cuyos valore son: y se encuentran a una distancia de 10 cm, calcular:a) ¿El potencial en el punto A?b) ¿El potencial en el punto B?b) ¿Cuál es la diferencia de potencial entre los puntos A y B?c) ¿Cuál es el trabajo que debe realizar el campo eléctrico para mover una carga de -3 del punto A al B?

3 cm 7 cm 2 cm

𝑞1=2𝜇𝐶 𝑞2=−2𝜇𝐶

A

B

23

Solución a) Cálculo del potencial eléctrico en el punto A:

𝑉 𝐴=𝑘𝑞1𝑟1

+𝑘𝑞2𝑟2

=(9𝑥 109 𝑁𝑚2

𝐶2 )(2 𝑥10− 6𝐶)

0.03𝑚+(9𝑥109𝑁𝑚2

𝐶2 )(−2 𝑥10− 6𝐶)

0.07𝑚=342.86𝑥 103𝑉

Cálculo del potencial eléctrico en el punto B.

𝑉 𝐵=𝑘𝑞1𝑟1

+𝑘𝑞2𝑟 2

=(9 𝑥109𝑁𝑚2

𝐶2 )(2𝑥10−6𝐶 )

0.12𝑚+

(9 𝑥109 𝑁𝑚2

𝐶2 )(−2𝑥10−6𝐶 )

0.02𝑚=−750 𝑥103𝑉

b) Cálculo de la diferencia de potencial entre los puntos A y B:

𝑉 𝐴𝐵=𝑉 𝐴−𝑉 𝐵=342.86 𝑥103𝑉 − (−750𝑥 103𝑉 )=1092.86 𝑥 103𝑉

Como el potencial de A es mayor que el de B el campo eléctrico realizará un trabajo positivo si una carga positiva se mueve del punto A al B. Pero, si la carga que se mueve del punto A al B es negativa, el trabajo realizado por el campo será negativo.

24

c) Cálculo del trabajo que realizará el campo eléctrico al mover una carga de -3 del punto A al B:

𝑇 𝐴→𝐵=𝑞(𝑉 ¿¿ 𝐴−𝑉 𝐵)=−3𝑥 10−6 (1092.86 𝑥 103𝑉 )=−3.28 𝐽 ¿

Como el trabajo que realiza el campo eléctrico es negativo, para mover la carga de -3 del punto A al B, una fuente de energía externa debe suministrar el trabajo de 3.28 J.

25

Problema 11: en la figura de la página siguiente se señalan tres puntos diferentes con su respectivo potencial eléctrico. Calcular:a) El trabajo total que debe realizar el campo eléctrico al transportar una carga

de 5 C del punto A al B y luego del punto B al C.b) Si la carga de 5 C pasa directamente del punto A al C, ¿Cuánto trabajo realiza el campo eléctrico?c) ¿Es el mismo trabajo si la carga pasa primero por B y luego llega a C que si de A pasa directamente a C?

A

B

C

9V

6V

12V

26

Solución

c) Como se observa el trabajo realizado por el campo eléctrico es el mismo si la carga pasa del punto A al B y luego del punto B al C que si del punto A pasa directamente al C. Esto confirma que el trabajo realizado por un campo eléctrico sobre una carga es el mismo, independientemente de la trayectoria seguida por esta. Por último, es importante señalar que el trabajo realizado para ir del punto A al B es positiva por que la carga positiva se mueve de un punto de mayor potencial a otro de menor potencial. En cambio, el trabajo realizado para ir del punto B al C o del A al C es negativo, pues la carga positiva se mueve de un punto de menor potencial a otro de mayor potencial.

𝑎 ¿𝑇 ¿𝐵→𝐶=𝑞 (𝑉 𝐵−𝑉 𝐶 )=5𝐶 (6𝑉 −12𝑉 )=−30 𝐽

𝑇 𝑇=𝑇 𝐴→𝐵+𝑇 𝐵→𝐶=15 𝐽+(−30 𝐽 )=−15 𝐽

𝑏¿𝑇 ¿𝐴→𝐶=𝑞 (𝑉 𝐴−𝑉 𝐶)=5𝐶 (9𝑉 −12𝑉 )=−15 𝐽