Flujo de Potencia.docx

8/12/2019 Flujo de Potencia.docx

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Flujo de Potencia.

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ndice.

Introduccin..2

Definicin del problema de Flujos de Potencia.3

Programa de Clculo de Flujos de Potencia .3

El problema de Flujos de Potencia.3

Ecuaciones de flujos de potencia.7

Tipos de barras..12

Formulacin y solucin del problema de flujos de potencia por el mtodo

de Gauss-Seidel12

Algoritmo para la solucin de flujos de potencia.16

Modificacin del algoritmo para la inclusin de barras PV19

Formulacin y solucin del problema de flujos de potencia por el mtodo

de Newton-Raphson.25

Comparacin entre los mtodos de Gauss-Seidel y Newton-Raphson33

Entradas y salidas tpicas de un Programa de Flujos de Potencia.34

Ejemplos de Programas conocidos para Flujos de Potencia35

Conslusin.36

Bibliografa.37


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Flujo de Potencia.

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Introduccin.

Los estudios de Flujos de Potencia son de gran importancia en la planeacin y diseo

de la expansin futura de los sistemas de potencia, as como tambin en la determinacin de

las mejores condiciones de operacin de los sistemas existentes.

La informacin principal que se obtiene de un estudio de flujos de potencia es la

magnitud y el ngulo de fase de la tensin en cada barra y las potencias activa y reactiva que

fluyen en cada lnea. Adems de estos valores, se pueden obtener informacin adicional que

son valiosas, a travs de la salida impresa de los programas de computadora que usan las

compaas elctricas de generacin.

En el siguiente material veremos el problema de los flujos de potencia, en donde el

objetivo del estudio de Flujos de Potencia es la de obtener los voltajes nodales (o de barras),

tanto en magnitud como ngulo de fase y una vez obtenidas estas variables, se podr

determinar los flujos en las lneas de transmisin, y en general de los elementos del sistema de

transmisin, dados los niveles de demanda y generacin. Veremos tambin algunas

caractersticas del estudio de flujos de potencia. Procederemos a obtener las ecuaciones de

flujos de potencia utilizando para ello un esquema de un sistema sencillo de dos barras, unidas

estas por una lnea de transmisin.

Tambin clasificaremos tres tipos de barras, las cuales tienen ciertas particularidades

que son esenciales para el estudio y la solucin de flujos de potencia. Seguidamente veremos

dos mtodos para la formulacin y solucin de flujos de potencia que son el mtodo de Gauss-

Seidel y el mtodo de Newton-Raphson concluyendo con una comparacin entre estos dos

mtodos, analizando las ventajas y desventajas de cada mtodo.


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Flujo de Potencia.

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Definicin del problema de Flujos de Potencia.

El estudio de Flujos de Carga o Flujos de Potencia, est relacionado tanto a la evolucin

de los sistemas elctricos, como a la evolucin de las computadoras digitales. Antes de la

dcada de los 40, la cantidad de interconexiones en los sistemas elctricos era muy pequea,

por lo cual los sistemas elctricos eran predominantemente radiales. Los estudios de estos

sistemas eran sencillos, se podan realizar sin recurrir a grandes clculos. Sin embargo, una vez

que la complejidad de los sistemas elctricos iba aumentando, tambin fue creciendo la

complejidad de los estudios. Afortunadamente la evolucin de los sistemas elctricos coincidi

con el avance de la computadora digital, la cual sera de gran ayuda en el estudio de flujos de

carga.

El objetivo del estudio de Flujos de Potencia es obtener los voltajes nodales, tanto

magnitud como ngulo de fase. Una vez obtenidas estas variables, se determinarn los flujos

en las lneas de transmisin, y en general de los elementos del sistema de transmisin, dados

los niveles de demanda y generacin.

Aunque la red se considera lineal, el modelo matemtico para el estudio de flujos de

potencia es no lineal, debido a que en su formulacin se utiliza de manera explcita la potencia

elctrica como el producto de la tensin por la intensidad, las cuales son cantidades complejas.

Las aplicaciones del estudio de flujos de potencia constituyen la herramienta esencial

para el anlisis, la planeacin y el diseo, tanto de los sistemas elctricos como de la operacin

y control de los mismos.

Programa de Clculo de Flujos de Potencia.

Un programa de clculo de Flujos de potencia es una herramienta computacional.

El propsito del programa de anlisis de Flujos de potencia es calcular con precisin los

voltajes de estado estacionario en todas las barras de una red, y a partir de ese clculo los

flujos de potencia real y reactiva en cada una de las lneas y transformadores, bajo la

suposicin de generacin y carga conocidas.

Es utilizada para analizar condiciones operacionales de los sistemas elctricos de

potencia que puedan ocurrir en la prctica. De modo que se pueda conocer de antemano cual

ser su desempeo, y puedan definirse acciones correctivas que sern tomadas para que losconsumidores sean atendidos con calidad de suministro de energa elctrica.

El problema de Flujos de Potencia.

Para la formulacin del problema de flujos de potencia, es imprescindible establecer la

relacin que existe entre la potencia activa P, la potencia reactiva Q, el mdulo de la

tensin |V|y el ngulo de fase (relacionado con la frecuencia).

Considerando una Lnea de Transmisin (LT) como el que se muestra en la figura 1, en

la cual se ha omitido la resistencia serie con el fin de simplificar el posterior anlisis, ya que el

valor de la resistencia es despreciable en comparacin con la reactancia.


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Fig. 1

La potencia aparente que va de la barra 1 a la barra 2 (S12) es:

Separando la parte real de la parte imaginaria, obtenemos:

La ltima expresin se debe a que la diferencia es muy pequea, por lo tanto .Lo anterior muestra que, por un lado, entre P y existe una fuerte dependencia y

entre Q y |V| por el otro. Debido a que est relacionado con la frecuencia, entonces un

exceso de MW generados tiende a elevar la frecuencia, mientras que un exceso de MVAR

generados tiende a elevar |V|. Tambin se puede observar que la frecuenciafes una variable

de efecto global, por lo tanto su cambio se siente en todo el sistema, mientras que |V| es una

variable de efecto local y sus cambios o variaciones no son uniformes y son ms grandes en las

barras con mayor exceso de Q.

Las caractersticas ms importantes del estudio de flujos de potencia se pueden

resumir de la siguiente manera:

1- Solamente los generadores pueden producir potencia activa P. La generacin debe serigual a la demanda ms las prdidas y esta ecuacin de balance de potencia debe

cumplirse en todo momento.

2- Los enlaces de transmisin pueden transmitir solamente ciertas cantidades depotencia (cargabilidad), debemos asegurarnos de operar dichos enlaces cerca de los

lmites de estabilidad o trmico.


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3- Se deben mantener los niveles de voltaje de operacin de ciertos buses (barras) dentrode ciertas tolerancias. Esto se logra mediante la generacin apropiada de potencia

reactiva Q.

4- Si el sistema elctrico de potencia, forma parte de un sistema ms grande (powerpool), deber cumplir con ciertos compromisos contractuales de potencia en puntos

de enlace con los otros sistemas vecinos.

5- Los disturbios ocurridos despus de grandes fallas en el sistema, pueden causar salidasde servicio. Los efectos de estos eventos pueden minimizarse mediante estrategias de

pre-falla apropiadas desarrolladas a travs de mltiples estudios de flujo de potencia.

6- Para llevar a cabo de manera apropiada y eficiente la tarea de planeacin, esimprescindible el uso extensivo de estudios de flujos de potencia.

El problema puede dividirse como sigue:

1- Formulacin de un modelo matemtico adecuado para la red. Debe escribirseadecuadamente las relaciones entre voltajes y potencias en el sistema interconectado.

2- Especificacin de las restricciones de potencia y voltaje que deben aplicarse a todas lasbarras o nodos.

3- Clculo numrico de las ecuaciones de flujos de potencia sujetas a las restriccionesmencionadas en el punto anterior. De estas ecuaciones obtenemos todos los voltajes

de la red.

4- Cuando todos los voltajes de barra han sido determinados, finalmente podremoscalcular los flujos de potencia en todos los elementos de transmisin, y con esto, las

prdidas de potencia.

Con el objetivo de plantear el problema bsico del anlisis de flujos de potencia, se

hace uso del sistema ms simple posible, sin perder generalidad, dado que el sistema,

consistente en dos barras, contiene los elementos bsicos de cualquier sistema elctrico.

El problema que se analizar, por ms simple que sea, contiene los elementos

suficientes para llevar a cabo el planteamiento.

El sistema elctrico mencionado se muestra en la figura 2, la cual contiene un

generador y una carga en cada barra y stas se unen con una lnea de transmisin, la cual se

modelar a travs de un circuito nominal.

Fig. 2. Sistema de dos barras.


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En este sistema, cada barra es alimentada por un generador que inyecta una potencia

SG1y SG2en las barras 1 y 2 respectivamente. A su vez, en cada barra existen cargas, que

consumen potencia SD1y SD2respectivamente, o lo que sera igual decir que inyectan potencias

SD1ySD2. Es importante mencionar que la convencin ms comn consiste en considerar

positiva la potencia inyectada en una barra, y una potencia extrada de una barra se puede

considerar como una potencia inyectada negativa. Tenemos tambin que las tensiones en las

barras 1 y 2 son V1y V2respectivamente. Estos voltajes son fasores. La lnea de transmisin

que une las dos barras se representa por medio de un circuito nominal.

En la figura 3, se puede observar la caracterstica de la lnea, con las admitancias Yshen

derivacin a cada lado de las barras, as como tambin la impedancia serieZser.

Fig. 3. Sistema de dos barras. Representacin de la lnea de transmisin.

En la siguiente parte del anlisis, se concentrar la inyeccin total en cada barra, es

decir, la suma de las inyecciones provenientes del generador y las cargas correspondientes,

por lo cual usaremos un smbolo adecuado, como se muestra en la figura 4, que defina la

naturaleza de una fuente de inyeccin de potencia nodal o de barra.

Fig. 4. Inyecciones netas de potencia.

Tal como se muestra en la figura 4, la potencia neta inyectada en cada barra est dada

por.

Para la barra 1:


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(1)Para la barra 2:

(2)Es importante notar que en la figura 4, las flechas de trazo grueso representan las

fuentes de inyeccin de potencia en ambas barras.

Tambin debemos observar que la potencia neta inyectada en cada barra, dadas por

las ecuaciones anteriores, se refiere a la denominada potencia de barra y se define como la

diferencia entre la potencia de generacin y la potencia de carga.

La parte real de las ecuaciones, que equivale a la potencia activa del generador, se

obtiene por manipulacin automtica del par de entrada, proporcionado por la mquina prima

(turbina), y su valor en todo momento debe cumplir con el balance de potencia, lo cual implica

que su valor debe ser igual a la suma de la demanda ms las prdidas. El criterio de frecuencia

constante indica que el balance se mantiene. En cuanto a la componente imaginaria de las

ecuaciones, que equivale a la potencia reactiva, se mantiene a travs de la manipulacin de la

corriente de campo en el generador, manteniendo el voltaje constante a un nivel

predeterminado en cada barra, lo cual constituye el criterio de que el balance en potencia

reactiva se mantiene.

Ecuaciones de flujos de potencia.

Se proceder a obtener el modelo bsico de las ecuaciones de flujos de potencia,

usando el sistema elctrico de dos barras.

La potencia inyectada a la barra 1, S1(potencia aparente), estar dada por la siguiente

expresin: , en donde I1es la corriente neta inyectada en la barra 1. Esta corrientese compone de dos trminos, refirindonos a la figura 4, vemos que una de las componentes

circula por la rama en derivacin Ysh, mientras que la otra circula por la rama serieZser. En el

primer caso, la corriente ser igual a V1.Ysh, mientras que en el segundo caso, su valor ser

(V1-V2).Yser, donde Yser es el inverso deZser.

Teniendo en cuenta lo anterior, tendremos para la corriente de la barra 1:

y de manera similar para la barra 2:

Si factorizamos las ecuaciones (3) y (4),se tiene:


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donde:

Se puede observar que los elementos anteriores son elementos de la matriz de

admitancias nodales (de barras o bus). Tomando en cuenta lo anterior, podemos definir los

siguientes vectores:

[] vector de corrientes de barra.

[] vector de voltajes de barra.

[ ] matriz de admitancias de barra.

Con las definiciones anteriores podemos escribir la siguiente ecuacin:

(6)Invirtiendo la ecuacin (6) nos conduce a la conocida forma alternativa

(7)

Adems sabemos que la matriz de impedancia de barra es:

[ ]

Estas ltimas dos ecuaciones matriciales son lineales, lo cual est acorde con el hecho

de que la red elctrica que estamos modelando es lineal. Sin embargo, en realidad son las

potencias y no las corrientes lo que conocemos, por lo cual al escribir estas ecuaciones en

funcin de la potencia, obtenemos:


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Fundamentalmente estas son las ecuaciones de flujos de potencia. Es importante

observar que estn en funcin de los voltajes nodales o de barras.

Las ecuaciones (8) pueden escribirse en una forma ms compacta y conveniente de la

siguiente forma:

O de una forma ms general, como:

En forma polar, cada voltaje de barra se define como magnitud |Vk| y ngulo k,

medido con respecto a alguna referencia angular (an no definida). Por otro lado, las

admitancias se definen como:

Con esto la ecuacin (10) quedara de la siguiente manera:

donde nes el nmero de barras en el sistema, para nuestro caso n = 2.

Si separamos en parte real e imaginaria la ecuacin (11), quedara de la siguiente

manera:

Desarrollando las ecuaciones (12) con n=2, tenemos:


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Estas ecuaciones son ecuaciones algebraicas, debido a que representan un modelo en

estado estable de corriente alterna, lo que las hace adems complejas. Por otro lado, son no

lineales, lo cual, salvo para los casos ms simples, las hace imposibles de resolver

analticamente, por lo que se requiere recurrir a una solucin numrica.

Por otro lado, el balance de potencia activa es representado por:

Observamos que la suma representa las prdidas de potencia activa.De la misma manera, tenemos que el balance de potencia reactiva resulta como sigue:

Tambin podemos ver que la suma representa las prdidas de potenciareactiva. Debemos mencionar que las denominadas prdidas de potencia reactiva, no tienen el

mismo sentido de prdidas en forma de calor, como en el caso de la potencia activa, sino

representan los requerimientos de energa reactiva de los elementos de transmisin.

Las funciones y por tanto las prdidas y sonfuncin de los voltajes.

Si revisamos con atencin las ecuaciones de flujos para este sistema de dos barras,

vemos que se tiene un total de 12 incgnitas, las cuales son: PG1, PG2, QG1, QG2, PD1, PD2, QD1,

QD2, |V1|, |V2|, 1, 2y solamente 4 ecuaciones. Aunque las ltimas dos incgnitas, los ngulos

de los voltajes, siempre aparecen en los argumentos de las funciones trigonomtricas en

forma de diferencias. Esto nos indica que debemos reducir de alguna manera el nmero deincgnitas con el fin de que sea igual al nmero de ecuaciones, es decir a 4 incgnitas.


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En este punto, es importante clasificar las variables involucradas en el modelo. Estas

variables del modelo, se pueden dividir en tres grupos:

a) Variables incontrolables o de perturbacin: en donde se representan las demandasPD1, PD2, QD1y QD2.

b) Variables de estado: donde estn representados los voltajes, tanto en magnitud comoen ngulo, |V1|, |V2|, 1y 2.

c) Variables de control:en donde se incluyen las generaciones, PG1, PG2, QG1y QG2.Evidentemente, debemos conocer las demandas, con lo cual se eliminan 4 variables

del grupo de incgnitas, quedando an as 8 incgnitas.

Una primera opcin para reducir el nmero de incgnitas, partiendo de que se

conocen las demandas, lo cual suponemos correcto, sera suponer las 4 variables de control, es

decir, las generaciones, y entonces terminar con un modelo matemtico consistente, que

incluye los voltajes y sus ngulos como incgnitas.

La propuesta anterior, aunque parezca buena y hasta cierto punto natural, resulta que

no es conveniente por varias razones. Si observamos las ecuaciones de flujos de potencia, nos

damos cuenta que los ngulos de los voltajes aparecen como argumento de funciones

trigonomtricas en forma de diferencias, 12, nunca en forma individual, por lo tanto no

podemos resolver estos valores en forma individual. Otra limitante a la propuesta es que no

podemos especificar las 4 potencias generadas, por la razn de que no se conocen las prdidas

por anticipado, pues stas son funcin de los voltajes, los cules a su vez son incgnitas. Lo

anterior implica que podemos especificar dos de estas potencias generadas, pero dejar libre

las otras dos para que adopten el valor correspondiente en el transcurso del proceso iterativo.

Estas dificultades, se pueden solventar como se indica a continuacin.

Primeramente, el problema de la diferencia angular se puede resolver si fijamos uno

de los ngulos, dejando el otro como incgnita; en efecto, esto es conveniente, ya que adems

nos permite disponer de una referencia fasorial, lo cual es necesario para darle sentido al

ngulo de un voltaje fasorial. Por lo tanto, si fijamos el valor de 1=0, entonces quedar como

referencia el fasor del voltaje de la barra 1. Con esto se ha reducido el nmero de incgnitas a

5: PG1, QG1, |V1|, |V2|y 2. De este grupo restante, debemos fijar otra variable ms para poder

intentar la solucin del problema de flujos de potencia. Matemticamente, cualquiera podra

ser, pero desde el punto de vista fsico existen limitantes. La eleccin estara entre |V1| y QG1,

pues una de stas eliminara a la otra, debido al fuerte acoplamiento que existe entre estas.

Hasta este punto, no se ha fijado ninguna magnitud de voltaje y es necesario mantener los

voltajes dentro de ciertos lmites, por lo que sera conveniente fijar |V1|, aprovechando la

presencia de un generador en esa barra, el cual puede, dentro de sus lmites de operacin,

mantener un voltaje de operacin constante. Adems, como no se conocen las prdidas de

potencia, tanto activa como reactiva, se requiere dejar sin especificar en una barra ambas

variables, con el fin de que al final de la solucin, exista esta holgura y poder cumplir con el

balance de potencia. Por lo tanto, al dejar libre las variables PG1 y QG1, debern quedar

definidos |V1| y 1, lo cual lo convierte en una referencia fasorial, como se ha mencionadoanteriormente.


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Con lo expuesto anteriormente, nos queda un grupo de 4 incgnitas, los cuales son PG1,

QG1, |V2|y 2, que constituyen un sistema de 4 ecuaciones con 4 incgnitas que por su

naturaleza no lineal, debern resolverse en forma numrica.

Tipos de barras.

La prctica general en los estudios de flujos de potencia es la de identificar tres tipos

de barras en la red.

1- Barra de referencia o compensador (en ingls swing o slack) , por su naturaleza deque las potencias tomarn los valores requeridos para que se cumpla el balance de

potencias en el sistema, aparte de que al fijar el ngulo de voltaje, estamos definiendo

una referencia fasorial.

2- Barra PQ o de carga. En cada barra que no tiene generacin, llamada barra de carga,En este tipo de barras, se especifican las potencias inyectadas a las barras, tanto activa

como reactiva, quedando libre la magnitud y el ngulo de voltaje.3- Barra PV o de generacin.En este tipo de barra, se especifican la potencia activa

inyectada a la barra as como la magnitud del voltaje.

En la siguiente tabla, se resumen estos conceptos.

Tipo de barraVariables conocidas o

especificadas

Incgnitas obtenidas en el

proceso de solucin

PD QD PG QG |V| PG QG |V|

Referencia X X X X X X

PQ X X X X X X

PV X X X X X X

Formulacin y solucin del problema de flujos de potencia por el mtodo de Gauss-Seidel.

El mtodo de Gauss-Seidel es un algoritmo iterativo para resolver sistemas de

ecuaciones algebraicas no lineales. Para iniciar, suponemos un vector solucin, a travs de una

seleccin basada en un buen juicio asociado a la experiencia prctica del problema que se

quiere resolver. Una de las ecuaciones es usada para obtener el valor mejorado de una

variable particular, sustituyendo los valores de las variables restantes, conocidos hasta ese

momento. El vector solucin se actualiza entonces inmediatamente respecto a esta variable. El

proceso se repite para todas las variables hasta completar una iteracin. El proceso iterativo se

repite entonces hasta que el vector converge a una precisin predeterminada. La convergencia

en este mtodo, es muy sensible a los valores elegidos para el arranque, pero para el estudio

de flujos de potencia, seleccionar un vector de arranque cercano a la solucin final puede

identificarse fcilmente, basado en experiencias previas.


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Para explicar el funcionamiento del mtodo Gauss-Seidel, empezaremos su

formulacin en un sistema que contiene nicamente barras tipo PQ y la barra de referencia.

Posteriormente se ver el mtodo para sistemas que contienen barras PV, como son la

generalidad de los casos reales. Las ecuaciones de cada barra, consistirn de la ecuacin del

voltaje de esa barra, en funcin de los voltajes de las barras vecinas a sta, y de la potencia

inyectada a dicha barra. Las ecuaciones de voltaje se obtienen como se indica a continuacin.

Para la i-sima barra, la corriente inyectada se obtiene de

pero sabemos que la corriente de barra es

por lo que despejando Iide la ecuacin (15) y sustituyendo en la (16) obtenemos

De esta ltima ecuacin, despejamos el voltaje de barra Vi

O bien en forma ms compacta como,

En las dos ltimas ecuaciones (18) y (19), es importante enfatizar la anotacin a la

derecha de dichas expresiones, es decir, que existe un trmino en la sumatoria para cada valor

de i, menos para i=k, que corresponde al ndice del voltaje despejado. Adems estamos

suponiendo que el ndice correspondiente a la barra de referencia es 1, por lo que se observaque ha sido excluido del rango de dicho ndice. Tambin debemos observar que los valores que

toma k, corresponden a las barras que estn conectadas a la barra i, por lo que an cuando el

rango se especifica como i = 2,,n, no necesariamente dicho ndice incluir los valores que se

muestran, por lo que la indicacin , significa todo k conectado a i. Por otro lado, la barrade referencia no requiere de ecuacin de voltaje, debido a que ste se especifica, por lo que

no constituye una incgnita. Por esta razn, el rango del ndice de la barra no contiene el valor

de 1.

La siguiente ecuacin


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que se obtiene a partir de un sistema de ecuaciones no lineales como el que se muestra a

continuacin:

a la cual se le aplica la expansin en serie de Taylor para cada una de las funciones que

constituyen el sistema de ecuaciones no lineales y denominando al vector

como vector de arranque y suponiendo que , son las correcciones requeridas

para que el vector sea la solucin, se tiene que al sustituir en la ecuacin anterior queda

de la siguiente manera:

y aplicando el Teorema de Taylor a cada una de las ecuaciones del conjunto (21). Para la

primera ecuacin se obtiene:


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en este caso 1es una funcin de potencias de , de grado mayor a 1, ascomo de derivadas de de alto orden def1. Si los estimados iniciales (vector de arranque) estn

cerca de la solucin, los valores de sern muy pequeos y por tanto sepodrn despreciar los trminos con potencias de grado superior.

De acuerdo a lo anterior, el sistema de ecuaciones tendr la forma

de donde, despejando los primeros trminos, y usando notacin matricial, obtendremos

El proceso se trabaja en forma iterativa, en cuyo caso el sistema general sera como

La ecuacin (20) es la base del algoritmo de Gauss-Seidel. Lo nico que falta es incluir

en las expresiones (21) (20) los superndices que especifiquen con precisin, las variables que

debern usarse en funcin del mtodo que emplearemos para resolver este sistema de

ecuaciones no lineales, que en el caso presente, se trata del mtodo de Gauss-Seidel, por lo

que recordando que en la solucin secuencial de las variables, usamos en el clculo de cada


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una de estas, el valor ms reciente de las dems variables (voltajes), en funcin de las cuales

est expresada cada una.

Con lo anterior, si usamos un superndice para expresar la iteracin asociada al valor

de cada variable, tendremos a partir de (21) y (20)

En forma compacta

Es importante observar que en (23), el voltaje de la barra 1 no tiene superndice

debido a que este voltaje corresponde a la barra de compensacin y como tal no cambia su

valor, porque en esa barra, el voltaje, tanto en magnitud como en ngulo, se especifican.

Con lo expuesto anteriormente, podemos describir el algoritmo basado en el mtodo

de Gauss-Seidel.

Algoritmo para la solucin de flujos de potencia.

Recordando la suposicin que nada ms existen barras PQ y barras de compensacin,

por el momento, los pasos que caracterizan dicho algoritmo son:

Paso 1:Con la demanda (PDi, QDi) conocidas, si existen barras con generadores

conectados a ellas, deberemos especificar sus potencias generadas PGiy QGi. Con lo anterior, se

conocen las inyecciones de potencias en todas las barras PQ, menos en las barras de

compensacin.

Paso 2:Ensamblar la matriz Ybarra. En el anlisis de flujos de potencia se usa solamente

la red de secuencia positiva, por lo que no existen elementos acoplados magnticamente en

dicha red. El procedimiento empleado para formar la matriz Ybarra, es el de inspeccin.

Paso 3: Clculo iterativo de los voltajes de barra (Vi, para i= 2,,n). Para iniciar el

proceso iterativo, suponemos un conjunto inicial de valores de voltajes. Es prctica comn en

sistemas de potencia suponer lo que se denomina un arranque plano, que consiste de

suponer un valor inicial de los voltajes de 1,0 por unidad en magnitud y un ngulo de 0 (cero

grados). Lo anterior se debe a que en los sistemas de potencia, la dispersin de voltajes no es

significativa, por lo que los valores de los voltajes son cercanos al nominal y sus ngulos

pequeos. Con el fin de darle versatilidad a un programa en computadora, las operaciones con

nmeros complejos podran desarrollarse y programarse como ecuaciones reales, dado que no

todos los compiladores incluyen el uso de variables complejas en sus prestaciones.


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En funcin a lo anterior, programamos 2(n1) ecuaciones en incgnitas reales. Si

definimos el voltaje como

Adems podemos reducir el tiempo de ejecucin, realizando fuera del lazo iterativo

algunas operaciones aritmticas, que permanecen invariables con las iteraciones. Usamos el

ndice 1 para la barra de compensacin.

Definamos

Por lo que tomando en cuenta lo anterior, tenemos

El proceso iterativo contina hasta que el cambio en magnitud del voltaje de barra

|Vi(i+1)

| entre dos iteraciones consecutivas, es menor que una cierta tolerancia, para todos los

voltajes de barras, esto es

Paso 4: Clculo de la potencia de la barra de compensacin. Con los voltajes obtenidos

en el paso 3, junto con V1que es una variable conocida, se obtiene

Paso 5:Clculo de flujos en las lneas. Es el ltimo paso de la solucin de flujos de

potencia, en el cual, adems de proporcionar los flujos en todos los elementos de transmisin,

nos permite calcular las prdidas, tanto en dichos elementos, como las prdidas totales de la

red. Para mostrar lo anterior, consideremos el diagrama mostrado en la figura 5, en donde

vemos un circuito , que puede representar un enlace de transmisin o algn otro elemento

de transmisin, como un transformador.


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Donde,

El algoritmo para barras PQ permanece sin cambios. Sin embargo existen limitantes en

la generacin de la potencia reactiva, como se mencion previamente; dichas limitantesrequieren que la demanda de Q en cualquier barra, permanezca dentro del rango

QminQmax.Si en alguna etapa del proceso de solucin, Q sale de estos lmites, se fijar a

Qmin Qmax, dependiendo del lmite violado, y la barra se convertir en barra PQ,

desechando las especificaciones previas de voltaje. Lo anterior implica que el proceso se

transfiere al paso 3, que se detalla a continuacin.

3- Si Qi(i+1)Qi,mn, entonces asignamos Qi(i+1) = Qi,mny tratamos la barra i-sima como PQ.Calcular entoncesAi

(i+1)y Vi(i+1)de las ecuaciones correspondientes. Por otro lado, si

Qi(i+1)

Qi,mx, entonces asignamos Qi(i+1)

= Qi,mxy la i-sima barra se convierte en PQ y

al igual que en el caso anterior actualizamos los valores deAi(i+1)y Vi

(i+1).

Con esto terminamos de resumir el proceso computacional. Recordar que hemos

asignado el ndice 1 para la barra de compensacin; si se quiere plantear la posibilidad de que

no se tenga esta restriccin, si es que se quiere ver como tal, habr que hacer los ajustes

correspondientes en la sumatorias de las ecuaciones.

Ejemplo.

El ejemplo est asociado al mtodo de Gauss-Seidel, se ejemplifica dicho mtodo a

travs de un sistema de cuatro barras, todas ellas, menos la de compensacin, barras tipo PQ.

Haremos una iteracin por el mtodo de Gauss-Seidel, tomando en cuenta que las dems

iteraciones necesarias para llegar a la solucin, sern iguales. El sistema del ejemplo semuestra en la figura 6.

Fig. 6. Sistema de 4 barras.

La tabla 1 que se muestra a continuacin, muestra los datos de las barras del sistema.


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Tabla 1. Datos de barras.

Barra Pi Qi Vi Tipo de barra

1 - - 1.040De

compensacin

2 0.5 -0.2 - PQ3 -1.0 0.5 - PQ

4 0.3 -0.1 - PQ

Por otro lado, la tabla 2 muestra los datos de los parmetros de las lneas de

transmisin del sistema del ejemplo.

Tabla 2. Parmetros de lneas.

Lnea R, pu X, pu G, pu B, pu

1-2 0.05 0.15 2.0 -6.0

1-3 0.10 0.30 1.0 -3.02-3 0.15 0.45 0.666 -2.0

2-4 0.10 0.30 1.0 -3.0

3-4 0.05 0.15 2.0 -6.0

Es importante observar que la Tabla 1 muestra, que aunque hay generadores en todas

las barras, estas sern del tipo PQ a condicin de que se proporcionen las potencias netas

inyectadas a las barras, lo cual constituye el caso de este ejemplo, en su parte inicial. De

acuerdo a los datos proporcionados en la Tabla 2, la matriz Ybarrapuede obtenerse fcilmente.

Dicha matriz resulta

De acuerdo a los datos y la matriz Ybarra, entonces procedemos a llevar a cabo la

primera iteracin.

Para la barra 2 tenemos,

Para la barra 3,


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Flujo de Potencia.

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Y para la barra 4,

Para la segunda parte del ejemplo, consideremos el mismo caso, con la diferencia de

que la barra 2 es ahora tipo PV, con |V2|= 1.04 pu. De nuevo usamos arranque plano, y

efectuamos la primera iteracin, tomando en cuenta que los lmites de reactivos en la barra 2

son: 0.2 Q2 1.0

Antes de calcular el voltaje de la barra 2, necesitamos evaluar la potencia reactiva en

dicha barra, por lo que

De lo anterior tenemos que


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Flujo de Potencia.

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Con el resultado anterior calculamos el ngulo del voltaje de la barra 2, que finalmente

es lo que buscamos, verificando previamente que no se violan los lmites de reactivos

especificados para dicha barra, lo cual es el caso presente, o sea Q2, mnn Q2(1)

Q2, mx.

Usando la ecuacin (30), obtenemos

De donde obtenemos

y entonces

Para el voltaje en la barra 3.

Finalmente para la barra 4


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Flujo de Potencia.

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Supongamos ahora que los lmites permisibles para la potencia reactiva en la barra 2

son cambiados, y supongamos ahora que 0.25 Q2 1.0 pu. Es obvio que el valor previamente

calculado de Q2= 0.2079, permanece igual. Sin embargo este valor ahora viola el lmite Q2, mn,

por lo que debemos entonces fijar el valor de dicha potencia reactiva inyectada a la barra 2, en

el valor del lmite violado, y convertir esta barra en una barra tipo PQ, con Q2= 0.25. Con esto

debemos recalcular los voltajes de las barras, con los nuevos valores tomados en cuenta. Los

valores de los voltajes en este caso son (tomando en cuenta arranque plano, como antes)

Voltaje en la barra 3,

Voltaje en la barra 4,


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Flujo de Potencia.

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Formulacin y solucin del problema de flujos de potencia por el mtodo de Newton-Raphson.

El mtodo de Newton-Raphson es una tcnica numrica para la solucin de sistemas

de ecuaciones algebraicas no lineales. Este mtodo es la base del planteamiento del problema

de flujos de potencia. El sistema de ecuaciones linealizado se escribe en forma completa como(31) y en forma compacta como (32).

Al vector , se le llama vector de desajustes, tambin llamado vector de residuos poralgunos autores. Este vector representa la diferencia entre los trminos independientes de

cada ecuacin, y el valor de dichos trminos en funcin de las incgnitas. Adems en este

punto es conveniente recordar que al vector , se le denomina vector de correcciones, puescontiene los valores que hay que agregar a las incgnitas de la k-sima iteracin para mejorar(corregir) el valor anterior, en funcin del cual se calcularon dichos valores.

La formulacin del mtodo de Newton-Raphson es directa, en el sentido de que si

recordamos que en esencia el problema de flujos consiste en calcular los voltajes nodales de la

red, tomando en cuenta una serie de restricciones, que en su expresin ms simple, consisten

de inyecciones de potencia conocidas. Dichas inyecciones constituyen las variables y de (31),

mientras que las funciones evaluadas en los valores de las incgnitas obtenidas en la iteracin

k-sima, son las expresiones de las potencias.

En otras palabras, los elementos de dicho vector de desajustes sern igual a


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Flujo de Potencia.

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donde las expresiones que definen a Pi y a Qi, son las expresiones que hemos venido usandoen varios puntos.

Por otro lado el vector de correcciones est compuesto por y .

Con lo anterior podemos ver que la formulacin general del problema de flujos en elmtodo de Newton-Raphson, es decir (31) en trminos de las variables del problema de flujos

de potencia como mencionamos ser

Donde se muestran explcitamente los renglones que corresponden a la i-sima barra,

en el vector de desajustes, y su interaccin con la barra m-sima, en el vector de correcciones.

Los elementos de la matriz Jacobiana muestran los elementos correspondientes a dicha

interaccin.

Si suponemos que el nmero total de barras del sistema (incluyendo la de

compensacin) es n, el nmero de barras PV es npv, y el nmero de barras PQ es npq. Vemos

que en el caso de las barras PQ, se asignarn ambos elementos en el vector de desajustes,

pues se conocen las inyecciones de potencia real y reactiva. Al mismo tiempo recordamos que

en estas barras (PQ), son incgnitas la magnitud de voltaje y el ngulo de ste, por lo que

aparecern ambos en el vector de correcciones, para este tipo de barra. Dado lo anterior, nos

damos cuenta que habrn dos ecuaciones para cada barra de este tipo.

Por otro lado, en el caso de las barras PV, nicamente se conoce la potencia activa

inyectada a la barra, por lo que aparecer nicamente el desajuste de potencia activa en elvector de desajustes correspondiente. Adems recordemos que en este tipo de barra se


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Flujo de Potencia.

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desconocen los ngulos de voltaje, por lo que aparecer el trmino correspondiente en el

vector de correcciones. Tomando en cuenta lo anterior, vemos que existir nicamente una

ecuacin para este tipo de barra.

En base a lo anterior vemos que el nmero de ecuaciones que constituyen el modelo

matemtico de flujos en el Newton-Raphson ser: 2 npq + npv. Es obvio que para la barra decompensacin no habr necesidad de escribir ecuacin, pues por un lado, no conocemos las

inyecciones de potencia activa ni reactiva, por lo que no existen dichos trminos en el vector

de desajustes; por otro lado, el voltaje de dicha barra ( magnitud y ngulo) no constituye

incgnita.

La formulacin anterior se conoce comoformulacin polar, debido a que las variables

se expresan en formato polar. Existe otra formulacin, denominadaformulacinrectangular,

que est basada en la expresin de las variables del problema en su forma rectangular, de ah

su nombre. Sin embargo, esta ltima formulacin no es tan popular como la formulacin polar,

debido fundamentalmente a que sta es ms eficiente en general; aunque podran existir

casos en que esto no sea as, estos casos seran especiales.

Hasta este punto vimos la formulacin general del modelo de flujos de potencia en su

forma polar. Enseguida entraremos en los detalles del mtodo, al desarrollar las expresiones

correspondientes a los elementos del vector de desajustes y de la matriz Jacobiana.

Definiendo el formato polar de voltajes y admitancias: Vi = |Vi|i, Yij = |Yij|il. Es

importante hacer notar que existen autores que prefieren utilizar un signo negativo en los

ngulos de la admitancia, debido al razonamiento, por supuesto correcto, de que la admitancia

de un elemento de transmisin, es esencialmente inductiva, razn por la cual la parte

imaginaria ser negativa, y por tanto si expresamos esta cantidad en forma polar, su ngulo

sera negativo. Sin embargo, lo contrario, que es la definicin que usaremos en este material,no debe causar ningn problema, pues finalmente es cuestin de respetar la definicin

durante el desarrollo de las expresiones mencionadas y ser consistente con su definicin.

Las expresiones de las cantidades que forman el vector de desajustes fueron definidas

previamente, ecuaciones (33), (34) y (35), las cuales combinadas nos proporcionan las

expresiones finales

Notar que el trmino |Vi|se introdujo dentro de la sumatoria, debido a que el ndice

de sta es k, y por tanto no se produce ninguna alteracin realmente en la expresin.

Para desarrollar las expresiones de la matriz Jacobiana, definimos las variables

matriciales del modelo como se indica


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Flujo de Potencia.

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La expresin matricial anterior implica las siguientes definiciones,

Las expresiones de la submatrizJ1 se obtienen como se muestra enseguida.

Primeramente, denominaremos elementos fuera de la diagonal de dicha submatriz, a aquellos

que indican la variacin de la potencia en una barra con respecto al ngulo de otra barra; en

contraparte, nos referiremos a los elementos de la diagonal de dichas submatrices, como los

elementos que indican la variacin de la potencia en una barra con respecto a la variacin del

ngulo en la misma barra. Con el fin de tener a la mano las expresiones que usaremos para

encontrar los elementos de la matriz Jacobiana, repetimos aqu las expresiones de la potencia,

ecuacin (35), incluso con una pequea variante, adecuada para este fin.

Para la potencia activa

mientras que para la potencia reactiva

Como se podr observar, las pequeas modificaciones son simplemente variantes de

las expresiones de potencia, en las que se ha separado, por conveniencia, el trmino para

k = i, y adems como Yik = |Yik|ik, por lo que tambin tendremos


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Flujo de Potencia.

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Con lo anterior obtenemos,

Elementos de

El proceso iterativo asociado a la ecuacin (38) se puede representar por la ecuacin

matricial

que muestra la ecuacin del Newton-Raphson en la iteracin l-sima. Es importante recordarque si tenemos npvbarras PV, entonces el mismo nmero de ecuaciones que involucran a Q y


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Flujo de Potencia.

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a V y sus correspondientes [J3]columnas de la matriz Jacobiana sern eliminadas. Entonces

existirnn 1 restricciones de potencia reactiva y el orden de la matriz ser igual a(2n

2 npv) x (2n 2 npv). Adems el orden de [J1] ser (n 1) x (n 1), mientras

que el orden de [J2]de(n 1) x (n 1 npv). Por otro lado el orden de [J3]es (n 1 npv) x (n 1), y finalmente el orden de [ ] 4J es

(n1

npv) x(n

1

npv).

Los trminos del vector de ajustes para la l-sima iteracin sern

y los nuevos estimados para los voltajes de barras

El procedimiento para el mtodo de Newton-Raphson es como sigue:

1- Para barras PQ, en los que se especifican Piespecy Qiespec, se debern inicializar lasmagnitudes y los ngulos de los voltajes, generalmente igual a las de la barra de

compensacin 1.0 en magnitud y 0.0 en ngulo, esto es, |Vi(0)| = 1.0 y i(0)= 0.0. Para

barras PV donde se especifican |Vi| y Piespec

, los ngulos de fase se inicializan igual a la

de la barra de compensacin, esto es, 0.0 i(0)

= 0.

2- Para barras tipo PQ, Pi(l)y Qi(l)se calculan por medio de las ecuaciones (35), mientrasquePi

(l)yQi

(l)se calculan por medio de las ecuaciones (47) y (48).

3- Para barras tipo PV, Pi(l) yPi(l)se calculan a travs de (35) y (47) respectivamente.4- Los elementos de la matriz Jacobiana, se calculan en este punto, usando las ecuaciones

(39) y (45`), es decir, en este punto se actualiza la matriz Jacobiana.

5- En este paso se resuelve el sistema de ecuaciones lineales de la ecuacin (46).6- Los nuevos valores de magnitud de voltaje y ngulo son calculados por medio de las

ecuaciones (49) y (50).

7- El proceso continuar hasta que los desajustes de potenciaPi(l)yQi(l), calculadas pormedio de las ecuaciones (47) y (48), cumpla con el criterio de convergencia deseado, el

cual se especificar como parte de los datos de inicializacin del programa.


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Flujo de Potencia.

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Si ocurre convergencia, entonces los valores de las variables obtenidas hasta estepunto, sern la solucin y se proceder a calcular los flujos en los elementos de transmisin y

las prdidas, tanto en estos como las prdidas totales del sistema.

Ejemplo.

Consideremos el sistema de tres barras que se muestra en la figura 7. La

Tabla 1, muestra los datos correspondientes a las barras; adems, para no complicar

innecesariamente el ejemplo, consideremos las tres lneas de transmisin iguales, con una

impedancia serie de 0.02 + j 0.08 pu, y una admitancia en derivacin total de j0.02 pu. La

fuente de potencia reactiva de la barra 3 tiene la restriccin 0QG3 1.5 pu. Se usar una

tolerancia de 0.01 para el desajuste de potencia.

Fig. 7. Sistema de tres barras.

Tabla 1. Datos de los buses (barras) del sistema.

Con los datos de las lneas de transmisin proporcionados, podemos ver fcilmente

que todos los trminos diagonales y de fuera de la diagonal de matriz Ybarra Ybus, son iguales

entre si, por lo que la matriz resulta


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Flujo de Potencia.

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Iniciamos la primera iteracin, con arranque plano V2(0)

= 1+j0 y 3(0)

= 0 . Con esto

tenemos que las potencias estimadas de las barras son

de donde sustituyendo en las ecuaciones anteriores obtenemos los siguientes valores para el

estimado de las potencias inyectadas a las barras

con estos valores podemos calcular los desajustes correspondientes,

Estos valores son los elementos del vector de desajustes. Estos valore sern

confrontados con la tolerancia , que se especific en los datos de entrada del programa. El

siguiente paso, una vez que se ha verificado que an no se tiene convergencia, es evaluar loselementos de la matriz Jacobiana, por medio de las ecuaciones desarrolladas previamente,

(35) al (45`), lo cual resulta en la matriz Jacobiana que se muestra a continuacin, dentro del

sistema de ecuaciones correspondientes al Newton-Raphson.

la matriz resulta en los valores siguientes


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Flujo de Potencia.

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Resolviendo el sistema de ecuaciones indicado abajo, obtenemos el vector de

correcciones de primera iteracin

con lo que los valores corregidos resultan

Calculamos ahora la potencia reactiva inyectada a la barra 3, ecuacin (35), en funcin

de las variables actualizadas, con el fin de verificar que cumpla con los lmites estipulados;resulta Q3

(1)= 0.4677, con lo cual calculamos la potencia generada, que es la que tiene

estipulado el lmite, como QG3(1)

= Q3(1)

+ QD3= 0.4677 + 0.6 = 1.0677, cuyo valor est dentro de

los lmites.

Si proseguimos de la manera que ejemplifica este ejemplo, en tres iteraciones

llegamos a los resultados que se muestran a continuacin,

Comparacin entre los mtodos de Gauss-Seidel y Newton-Raphson.

Es importante hacer una comparacin entre los mtodos de Gauss-Seidel (G-S) y

Newton-Raphson (N-R). Esta comparacin la hacemos sobre los formatos discutidos en las

presentes notas, es decir en el caso de la formulacin a travs de la matriz

Ybarra, dado que existen una cantidad importante de variantes, por ejemplo Zbarra, y las

formulaciones basadas en el elemento topolgico de lazo, la mayora de las cuales tiene

nicamente inters histrico.

La primera experiencia que se tiene entre estos dos mtodos es que mientras en el

mtodo de G-S la formulacin en formato rectangular trabaja bien, en el caso del mtodo de

N-R esta formulacin requiere ms memoria, que la formulacin vista en estas notas, o sea

que la formulacin polar. Adems el mtodo de G-S requiere menos operaciones aritmticas

por iteracin, debido a la dispersidad de la red y la simplicidad del mtodo; esto ltimo


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constituye una ventaja con respecto al mtodo de N-R. En el N-R los elementos de la matriz

Jacobiana deben calcularse en cada iteracin, por lo que el costo en tiempo por iteracin en

este mtodo es ms grande que en el G-S. Aproximadamente una iteracin del N-R es

equivalente a 7 iteraciones del G-S, para un sistema grande tpico. El tiempo en ambos

mtodos se incrementa con el nmero de barras.

La convergencia del G-S es lineal, lo cual lo hace de lenta convergencia. Mientras que

el N-R tiene una convergencia cuadrtica (algunos autores se refieren tambin como

logartmica), lo cual lo convierte en el mejor de los mtodos, desde el punto de vista de

convergencia por supuesto. Por otro lado, el nmero de iteraciones en el G-S se incrementa

con el nmero de barras, mientras que en el N-R, el nmero de iteraciones permanece

prcticamente constante, independiente del tamao del sistema. Se requieren, generalmente,

de 3 a 5 iteraciones para obtener la solucin. Con respecto al efecto de las caractersticas de la

red en el comportamiento de los mtodos, es interesante comentar que se ha observado que

el mtodo de G-S es afectado por la seleccin de la barra de compensacin y la presencia de

capacitores serie en las lneas de transmisin. Esto ltimo se debe a que en el G-S una

condicin para convergencia es que la matriz de coeficientes sea diagonalmente dominante, yla presencia de dichos capacitares serie, compromete dicha condicin. Por otro lado la

sensibilidad del N-R es mnima a estas condiciones, que pueden ser causa de una convergencia

pobre en el G-S.

Podemos concluir que para grandes sistemas, el N-R es ms rpido, ms preciso y ms

confiable que el G-S y tambin comparado con otros mtodos. De hecho se puede decir que

funciona bien para cualquier tamao de sistema y cualquier tipo de sistema y es apropiado

apara obtener la solucin de una amplia variedad de problemas mal condicionados. Por

supuesto todo esto tiene un costo; su programacin es considerablemente ms compleja y

tiene la desventaja de requerir ms memoria, an con el uso de almacenamiento compacto de

la matriz Jacobiana y la matriz de admitancias. En contraste las ventajas del G-S consisten en lafacilidad de su programacin, y una utilizacin ms eficiente de memoria, aunque por lo

discutido anteriormente, su uso queda restringido a sistemas de pequea escala.

Entradas y salidas tpicas de un Programa de Flujos de Potencia.

Las entradas y salidas de un programa de clculo de flujo de Potencia se determinan a

travs del tipo de barras existentes el sistema. En la siguiente tabla podemos observar que de

acuedo al tipo de barra, varan las entradas y salidas.


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Flujo de Potencia.

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Ejemplos de Programas conocidos para Flujos de Potencia.

PSCAD: A partir de un esquema electrico , permite simular su comportamiento y analizar los

resultados en un entorno grafico sencillo Permite dibujar el sistema electrico a estudiar mediante el uso de la biblioteca de

equipos y componentes de potencia, unidades de control y medida de parametros.

Se descubre comportamientos de sistemas electricos, especialmente aquellos de tipotransitorio de dificil analisis tradicional.

Se destaca por su gran biblioteca de modelos de componentes electricos y elementosde control.

Anarede:Formado por un conjunto de aplicaciones que incluye flujo de potencia, equivalencia de

redes. Dispone de un modelo de curva de carga, modelo de banco de capacitoresSe destaca por su robustez y confiabilidad.


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Conclusin.

Como conclusin podemos decir que el estudio de flujos de potencia es de vital

importancia para cualquier red de sistemas de energa elctrica, ya que proporciona un

mtodo de planeacin y diseo de la expansin futura de los sistemas de potencia, as como

tambin en la determinacin de las mejores condiciones de operacin de los sistemas ya

existentes.

Vimos cmo se presenta el problema de flujos de potencia, que consiste en la

determinacin de la magnitud y ngulo de voltaje en cada barra de una red de potencia bajo

condiciones de operacin especificadas. Tambin abarcamos los procedimientos o mtodos

iterativos de Gauss-Seidel y Newton-Raphson para resolver los problemas de flujos de potencia

como as tambin ejemplos prcticos de cada mtodo terminando con una comparacin entre

estos dos mtodos, resaltando las ventajas y desventajas de cada mtodo.

Cabe destacar que las aplicaciones del estudio de flujos de potencia constituyen la

herramienta esencial para el anlisis, la planeacin y el diseo, tanto de los sistemas elctricos

como de la operacin y control de los mismos.


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Bibliografa.

[1]J. J. Grainger, W. D. Stevenson Jr. Anlisis de sistemas de potencia. McGraw Hill (2001).

[2]http://www.itmorelia.edu.mx/electrica/Notas/Lino_Coria/Sistemas_de_Potencia/Flujos03.

pdf
http://www.itmorelia.edu.mx/electrica/Notas/Lino_Coria/Sistemas_de_Potencia/Flujos03.%20pdfhttp://www.itmorelia.edu.mx/electrica/Notas/Lino_Coria/Sistemas_de_Potencia/Flujos03.%20pdfhttp://www.itmorelia.edu.mx/electrica/Notas/Lino_Coria/Sistemas_de_Potencia/Flujos03.%20pdfhttp://www.itmorelia.edu.mx/electrica/Notas/Lino_Coria/Sistemas_de_Potencia/Flujos03.%20pdfhttp://www.itmorelia.edu.mx/electrica/Notas/Lino_Coria/Sistemas_de_Potencia/Flujos03.%20pdfhttp://www.itmorelia.edu.mx/electrica/Notas/Lino_Coria/Sistemas_de_Potencia/Flujos03.%20pdf

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