Flujo Gradualmente Variado en Canales de Seccion Variable

Ingeniería hidráulica en México, vol.XVI, núm. 1, pp. 57-62, enero-marzo de 2001


Flujo Gradualmente Variado en Canales de Sección Compuesta.Gilberto Sotelo ÁvilaUniversidad Nacional Autónoma de México

El autor demuestra que los perfiles del flujo gradualmente variado en canales prismáticos de sección compuesta se pueden determinar mediante la integración de la llamada ecuación dinámica, pero usando el número de Froude definido por Blalock y Sturm para este tipo de canales. Cuando no son prismáticos, también se aplica la ecuación de la energía por tramos y el cálculo sigue un proceso iterativo una vez definidos los tirantes críticos múltiples y la zona en que se desarrolla el perfil.

Palabras clave: canales de sección compuesta, flujo en canales de sección compuesta, flujo gradualmente variado, solución de la ecuación dinámica del flujo gradualmente variado, perfiles de flujo en canales de sección compuesta.


Aspectos generales

Es común que la canalización de los ríos que atraviesan ciudades, o de los emisores de aguas pluviales y combinadas, se realice utilizando canales artificiales de sección compuesta como la que se muestra en la ilustración 1a. También los ríos de planicie llegan a tener secciones del mismo tipo cuando se presentan avenidas cuyo caudal excede la capacidad del cauce principal y se producen desbordamientos que inundan la llanura, formando subsecciones laterales mas elevadas, como la que se presenta en la ilustración 1b. En dichas condiciones, la sección hidráulica del canal se compone de varias subsecciones que forman sistemas paralelos de flujo con la misma pendiente longitudinal, pero con características hidráulicas distintas; es decir, con velocidad media, tirante, perdidas de energía, etcétera, diferentes en cada subcanal, existiendo inclusive intercambio de masa y de momentum entre ellos.

Para abordar el flujo uniforme en canales con este tipo de geometría, la sección transversal se divide en subsecciones separadas por intercaras verticales, de dimensiones y rugosidad propias, con las cuales se calculan la velocidad media y el gasto en cada subcanal.

Para el cálculo del flujo crítico en los canales aquí tratados es necesario interpretar nuevas formas del número de Froude, a fin de que exista congruencia con el criterio de energía específica mínima o de momentum mínimo. Para el primer criterio, Blalock y Sturm (1981) encontraron la expresión que define al numero de Froude FB, de modo que este valga uno cuando la energía específica sea mínima. La expresión admite además la variación de la rugosidad con el nivel del agua y es congruente con la

aplicación de la ecuación de la energía en el cálculo del flujo gradualmente variado. Para determinar las condiciones críticas, Sotelo Ávila (1998) propuso un algoritmo de solución que acelera el cálculo. Para el criterio de momentum mínimo, Chaudhry et al. (1988) emplearon la definición del numero de Froude dada por Yen y propusieron además un algoritmo para encontrar el número y magnitud de los tirantes críticos, los cuales no difieren mucho de los obtenidos con el primer criterio.

La existencia de más de un tirante crítico (yc1, yc2,yc3) para un mismo gasto se debe a que satisfacen la condición de que FB = 1. El primer tirante crítico (yc1), ocurre cuando el flujo se aloja por debajo del nivel de inundación lateral; el segundo (yc2), cuando lo hace por encima de dicho nivel, ocurriendo un tercer tirante crítico (yc3) cuando existe un segundo nivel de inundación y el flujo se aloja arriba de dicho nivel.

El efecto de la presencia de tirantes críticos múltiples sobre el perfil del flujo se explica con la ilustración 2,


donde se muestra un canal prismático de sección compuesta de gran longitud, cuyo extremo aguas abajo termina en una caída libre. Existe un tirante normal yn de acuerdo con la pendiente, y se designa por y el tirante en la sección de cualquier perfil de flujo gradualmente variado. Se presentan entonces los casos que se muestran en la ilustración 2, con las explicaciones que siguen:

a) So es grande y yn < yc1 < ym. El perfil se calcula en la dirección del flujo, ya que es común que sea en régimen supercrítico (FB > 1) y quede controlado desde aguas arriba. Por tanto, la caída libre tiene un efecto sólo local y el flujo se mantiene uniforme (y = yn < yc1) dentro de la subsección central, de manera que su tratamiento es de sección sencilla. El tirante crítico yc1 se convierte en una condición de frontera.

b) So es menor que la del caso 2a, de modo que yc1 < yn < ym y FB < 1, donde ym es el nivel de la berma de inundación lateral. El perfil se desarrolla en régimen subcrítico, ocupando solo la subseccion central; el control queda en el extremo aguas abajo y el calculo se efectua hacia aguas arriba a partir del tirante inicial yc1 cerca del extremo final.

Su tratamiento también es de sección sencilla y yc1 es también condición de frontera.

c) So es más pequeña que la del caso 2b, de modo que ym < yn < yc2 y FB > 1. El perfil se desarrolla en régimen supercrítico controlado desde aguas arriba y la caída libre tiene un efecto sólo local. El valor de y queda comprendido en el intervalo: ym y yc2 y Hm H Hc2, donde Hm es la energía total respecto de cualquier nivel de referencia cuando el nivel del agua coincide con el de la berma (de la ecuación 9, haciendo y1 = ym). En la misma forma, Hc2 es la energía total critica para yc2 (de la ecuación 9, haciendo y1 = yc2).

d) La pendiente es menor que cualquiera de los tres casos anteriores, de modo que yn

> yc2. El perfil se desarrolla en régimen subcrítico y el cálculo principia con el tirante inicial en el extremo de aguas abajo.

Una exposición similar se puede hacer cuando el canal no es prismático, con la diferencia de que no existe tirante normal en este caso.

El tratamiento riguroso del flujo gradualmente variado en canales compuestos se torna mas complicado si se siguen los mismos lineamientos del flujo uniforme, siendo poco útil en la practica si no se hacen hipótesis simplificadoras que consideren las condiciones en que ocurren los perfiles de flujo.

Field et al. (1998) desarrollaron las ecuaciones diferenciales de continuidad, cantidad de movimiento y energía del flujo unidimensional no permanente en canales compuestos, incorporando los factores de corrección convencionales y para la distribución de la velocidad en la sección. Las ecuaciones resultantes no difieren de las ya conocidas, excepto que los autores interpretan a SE como la pendiente de la línea de energía en la ecuación de la energía y a Sf como la pendiente de la línea de fricción en la ecuación de cantidad de movimiento, pero aceptan que SE = Sf en flujo permanente.


Los resultados numéricos obtenidos con ambas ecuaciones no son iguales ni siquiera en flujo permanente, pero tampoco son muy diferentes; no obstante, los autores recomiendan utilizar la ecuación de cantidad de movimiento porque la consideran de mayor precisión que la de energía, si bien los resultados experimentales que ellos mismos presentan no comprueban su propia aseveración.

Calculo del flujo en canales de sección compuesta

El flujo gradualmente variado en un canal de sección compuesta ocurre de manera similar al uniforme: dividido en sistemas paralelos de flujo formados con las subsecciones del canal, cada uno con esfuerzos tangenciales de fricción, perdidas de energía, velocidad, etcétera, distintos en cada subcanal. Si el canal de sección compuesta es recto, el nivel de la superficie libre y la presión hidrostática se mantienen esencialmente constantes a través de la sección, si bien la velocidad media y la carga de velocidad son diferentes en cada subseccion y, por ende, la energía específica es distinta en cada una, como se muestra en la ilustración 1.

El tratamiento separado del flujo en cada subcanal, como se ha expuesto, implicaría complicaciones exageradas y sería poco práctico. Conviene, desde luego, utilizar un solo canal con el mismo nivel de la energía y

una perdida de energía común en toda la sección compuesta. Para ello se considera que la línea de energía total se ubica a la distancia V2g por encima de la superficie libre, como se muestra en la ilustración 1. La velocidad media V = Q/A corresponde a toda la sección compuesta y el coeficiente a se obtiene de la ecuación general, expresada en términos de la geometría de las subsecciones como sigue:

donde i ,Ki,Ai son el coeficiente de energía, el factor de conducción y el área de cada subsección, respectivamente, y A = Ai es el área total de la sección. Por otra parte, la pendiente de fricción en cada sección se obtiene de la ecuacion:

donde Q es el gasto total y K = Ki, el factor de conducción para toda la sección. De esta manera, los valores de y Sf, de importancia crucial en el análisis, se pueden calcular sin la valuación explicita de los gastos Q1,Q2..., etcétera, en las subsecciones, a partir únicamente de los factores de conducción en las mismas obtenidos de la ecuacion:

considerando o no el cambio de ni con el tirante, como lo expone Sotelo Ávila(1998).

Sin hacer el desarrollo completo, es sencillo cerciorarse de que cuando el canal es de sección compuesta, prismático o no, se aplica la ecuación dinámica de los no compuestos en la forma:


ya que FB satisface la condición: , como ocurre en los canales

de sección sencilla, con la definición convencional de numero de Froude para ellos. Además, So es la pendiente del canal y Sf es función de y, y esta dada por la ecuación 2.

En la ecuación anterior, FB es el número de Froude propuesto por Blalock y Sturm, definido como sigue:

La ecuación 3 es una diferencial ordinaria donde el término después del signo igual debe ser una función continua y derivable respecto de y, para que pueda resolverse. Su solución permite determinar el perfil de la superficie libre en un flujo permanente, pero queda bastante claro que la integración no puede llevarse a cabo analíticamente de modo general y tiene que lograrse numéricamente, como se hace en un canal de sección sencilla. Por ejemplo, una forma de la ecuación para una integración directa de Euler sería:

Conocido el valor y = y1 en x1, la ecuación anterior proporciona un valor estimado de ŷ2

en x2, el cual puede mejorarse al reiterar el calculo con los valores promedio de las dos secciones.

Técnicas mejoradas como las varias formas de integración de Runge-Kutta pueden usarse directamente con la ecuación 3. En particular, se ha extendido el uso de la rutina de Runge-Kutta de cuarto orden en computadora.

Sin embargo, el método mas ampliamente usado en canales de sección sencilla es el "método estándar por pasos" para calcular el perfil del flujo gradualmente variado en canales prismáticos y no prismáticos, como lo presentan Chow (1959), Henderson (1966), el Cuerpo de Ingenieros del Ejercito de los Estados Unidos de Norteamérica (1982) y Chaudhry (1993), entre otros. Para acelerar la convergencia con dicho método suelen utilizarse distintas técnicas.

Con el método se usa la ecuación de energía aplicada a tramos limitados por secciones transversales de geometría conocida, con el esquema que se muestra en la ilustración 3. La ecuación de la energía entre las secciones 1 y 2 establece que:

H1=H2+hf + he (8)


donde hf es la pérdida por fricción en el tramo y he la pérdida por cambio de sección, que en canales no prismáticos puede ser importante, también es:

Con donde en el tramo, se sustituye la pendiente de fricción de la ecuación 2 en la ecuación 8 y resulta:

Substituyendo las ecuaciones 9 y 10 en la ecuación 8 se debe cumplir que:

donde K1 = 1,K1,K2 = , 1, 2 (ecuación 1) son funciones del tirante en cada sección, como también lo son las áreas totales A1

y /A2 en las secciones 1 y 2; los símbolos 1

y 2 corresponden a sumatorias efectuadas en dichas secciones. Con flujo supercrítico en el canal, el cálculo de su perfil es hacia aguas abajo, siendo H1 constante y su valor dependiente del tirante y1 en dicha sección.

La ecuación por resolver en cada tramo es:

Se considera que y1 = y1,0 es un valor conocido del tirante en la sección x = x1

dentro del intervalo 0 a L en que se desarrolla un determinado perfil en un

régimen dado. Cuando se usa el método de Newton-Raphson el tirante y2 en la sección x = x2, resultante de la iteración i + 1, esta dado por la expresión:

donde la derivada se obtiene de la ecuación 10 en la forma:

De acuerdo con la definición de número de Froude de Blalock y Sturm en canales de sección compuesta, el valor de 2 (dKi/dy21), en la sección 2, según Sotelo Ávila (1998) puede obtenerse con la expresión:


La sustitución de la ecuación 17 en la ecuación 12 conduce a:

donde 2; es la sumatoria de términos en la sección 2, FB2 es el numero de Froude en la misma sección 2 obtenido de las ecuaciones 4 a 7 y el término dnj/dy2 es igual a cero cuando ni no varia con el tirante.

Si se desea incluir la variación de ni con el tirante, se considera que la expresión:

se usa en el cálculo de y 3 con las ecuaciones 5 y 7, donde N es la constante de Nikuradse, como lo expone Sotelo Ávila(1998).

Cuando el canal es de sección sencilla, desaparece la sumatoria en la ecuación 18 al no haber subsecciones, y FB se convierte en el número de Froude convencional, ya que d2/dy2 = 0 en la ecuación 14. Es el caso de los perfiles de flujo mostrados en las ilustraciones 2a y 2b.

Las consideraciones geométricas en la aplicación del método de Newton-Raphson muestran que la secuencia dada por la ecuación 13 converge a la raíz correcta y2

siempre que He sea una función monotónica creciente o decreciente en un intervalo reducido de y2, lo que significa que H´e(y) no cambie de signo; tampoco debe ocurrir un punto de inflexión en el intervalo, es decir, que H´´e(y) no cambie de signo.

Mediante un calculo previo se pueden determinar el tirante crítico en las distintas secciones fijas del canal y la energía especifica mínima que se requiere en ellas, con el fin de comparar esta con la energía disponible en la sección de características conocidas. Esto podría ocurrir en el caso del perfil del flujo mostrado en las ilustraciones 2c y 2d, donde el conocimiento de ym y yc2 en cada sección permite el calculo de Hm o de Hc mediante la ecuación 9.

El cálculo del perfil del flujo mostrado en la ilustración 2d es muy frecuente en la práctica, pero en general se realiza hacia aguas arriba, de manera que se conoce H2 y se desconocen y1 y H1 en la ecuación 8. La obtención previa del tirante crítico múltiple yc1, próximo a y2, permite obtener Hc1, la cual debe ser menor que H2; para que haya solución de la ecuación 8. En caso contrario (Hc1 > H2), la solución es que y1=yc y H1 = Hc1.

Conclusiones


En el desarrollo anterior se consideró la condición obligada en un flujo unidimensional de tener un solo valor de la energía en el canal de sección compuesta, de manera que la línea de energía y cualquier perdida asociada con ella sea común en toda la sección. Esto se logra al incorporar la variación de en la carga de velocidad media en cada sección y mediante la utilización del numero de Froude de Blalock y Sturm en las ecuaciones generales.

El perfil del flujo gradualmente variado en canales de sección compuesta, prismáticos o no, se determina así con la ecuación de energía y los métodos convencionales utilizados en los canales de sección sencilla.

Cuando el canal de sección compuesta opera con el flujo en la región inferior como si fuera de sección sencilla, el número de Froude FB se convierte en el convencional y los métodos expuestos se transforman en los que generalmente se usan en dicho canal.

Las dificultades que se encuentran con la convergencia en la técnica de solución de la ecuación 8 en canales de sección sencilla se repiten en los de sección compuesta, pero el conocimiento previo de la altura ym de las bermas y de los tirantes críticos múltiples en cada sección que limita los tramos permiten el cálculo del nivel de energía correspondiente a puntos de inflexión y elimina los casos de no solución.

Recibido: 03/08/1999 Aprobado: 27/01/2000

Referencias

Blalock, M.E.yT.W.Sturm, “Minimum specific energy in compound open channel" Journal of Hydraulics Division, ASCE, vol. 107, num. HYS, Reston, Estados Unidos, 1981, pp. 699-717. Chaudhry, M.F., Open channel flow, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, Estados Unidos, 1993. Chow, V.T., Open channel hydraulics, McGraw-Hill, Nueva York, 1959. Field, W.G., M.F. Lambert, y B.J. Williams, "Energy and momentum equations in one dimensional open channel flow", Journal of Hydraulic Research, IARH, vol. 36, num.1, Delft, Holanda, 1998, pp. 29- 42. Henderson, F.M., "Open Channel flow", Macmillan Series in Civil Enginnering, Nueva York, 1966. Hydrologic Engineering Center, "HEC-2, water surface profiles, computer program 723-X6-L202A, user's manual". U.S. Hydrologic Engineering Center, Davis, Estados Unidos, agosto de 1979. Sotelo Ávila, G., "Algoritmo del método de Blalock y Sturm para determinar los tirantes críticos múltiples en canales compuestos", Ingeniería Hidráulica en México, vol. XIII, num. 1, enero-abril, México, 1998, pp. 51-60.


Abstract

Sotelo Ávila. G., "Gradually varied flow in compound open channels", Hydraulic Engineering in Mexico (in Spanish), vol XVI, num. 1. pages 57-62. January-March, 2001.

The author shows that the computation of gradually-varied-flow profiles in prismatic compound channels involves the solution of the dynamic equation, but using the compound channel Froude number defined by Blalock and Sturm. The same equation is used for non-prismatic channels by dividing the channel into short reaches and carrying the computation step by step through an iterative process.

Key words: compound channels, flow in compound open channels, gradually varied flow. solution of the dynamic equation, gradually-varied-flow profiles in compound open channels.

Dirección institucional del autor:

Gilberto Sotelo Ávila Correo electrónico: [email protected]

Facultad de Ingeniería, UNAM, Edificio de Ingeniería Civil. Topográfica y Geodésica Circuito Exterior Ciudad Universitaria Coyoacán 04215 México, D.F. Teléfonos (01) 56 22 80 11 y 56 58 55 10 Fax (01)56 58 56 12

Flujo Gradualmente Variado en Canales de Seccion Variable

Documents

Transcript of Flujo Gradualmente Variado en Canales de Seccion Variable