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Mas

a

Maria del Rosario Pacheco SanchezPROFESOR:

Instituto Tecnológico de Orizaba

Flujo Reptante Alrededor de una Esfera

Presentación

• Arreola Hernández Camilo • Calis Pérez Carlos Jair • Beristain Morales Dulce A. • Garcia Huerta Sashiko • Orduña Gaytán Francisco • Romero Robles Gpe. Nayeli

Flujo muy lento que también se denomina flujo stokes.

El flujo alrededor de una esfera implica dos componentes de velocidad que no desaparecen.

Fluj

o re

ptan

te

Consideremos el flujo muy lento de un fluido incompresible alrededor de una esfera sólida, tal como se indica en la

Fig. 2.6 —1.

Fig. 2.6—1. utilizado para describir el flujo de un fluido alrededor de una esfera rígida.

Sist

ema

coor

dena

do

Analíticamente se ha encontrado que para un flujo muy lento, la distribución de la densidad de flujo de cantidad de movimiento, la distribución de presión, y los componentes de la velocidad, expresados en coordenadas esféricas, son:

• Estas ecuaciones son solamente válidas para «flujo reptante», que para este sistema tiene lugar cuando el número de Reynolds es inferior a aproximadamente 0,1. Esta región se caracteriza por la virtual ausencia de remolinos aguas abajo de la esfera.

Dis

tribu

ción

de

Velo

cida

dCUMPLE

ECUACIÓN HIDROSTÁTICA

CONDICIONES LÍMITE

• Los componentes de tensor de esfuerzo en coordenadas esfér icas pueden obtenerse a partir de la distribución de velocidad. Estas componentes son:

Notese que los esfuerzos normales para este flujo son distintos a cero,

excepto en r=R.

• En cada punto de la superficie de la esfera, el fluido ejerce una fuerza por área unitaria: sobre el solido que actúa en forma normal a la superficie. Como el fluido esta en la región de mayor r y la esfera esta en la región de menor r, es necesario añadir un signo de menos. La componente Z de la fuerza es: . Enseguida la multiplicamos por un elemento de superf icie e integramos sobre la superficie de la esfera para obtener la fuerza normal resultante en la dirección Z.

Inte

grac

ión

de la

fuer

za

Nor

mal

Según la ecuación 2.6-5. el esfuerzo normal Es cero en r=R y puede omitirse en la integral de la

ecuación 2.6-7. La distribución de presión en la superficie de la esfera es, según la ecuación 2.6-4

• Si sustituimos en la ecuación 2.6-7 y efectuamos la integración el termino que contiene a de cero. El termino que contiene la aceleración de gravedad de la fuerza de flotación, y el termino que contiene la velocidad de aproximación da la “resistencia de forma” como se muestra enseguida.

La fuerza de flotación es la masa

del fluido desplazado por la aceleración de la gravedad g

• En t odo pun to de l a superficie hay un esfuerzo c o r t a n t e q u e a c t ú a tangencialmente.

• La fuerza por área unitaria ejercida en dirección por el fluido (región mayor de r) sobre un solido (región menor de r) es

Inte

grac

ión

de la

fuer

za

Tang

enci

al

• Ahora lo multiplicamos esto por el elemento de superficie

• E in tegramos sobre toda la superficie esférica. Así se obtiene la fuerza resultante en la dirección Z

• La componente Z de esta fuerza por área unitaria es

La distribución de esfuerzo cortante sobre la superficie de la esfera, a partir de la ecuación 2.6-6 es

Res

iste

ncia

de

Fric

ción

Sustituyendo esa expresión en la integral de la ecuación 2.6-10

Se obtiene la resistencia de fricción

Fuer

za T

otal

del

Flu

ido Por tanto, la fuerza total F del fluido sobre la esfera esta

dada por la suma de las ecuaciones 2.6-nueve y 2.6-12

Ó bien

El primer termino es la fuerza de flotación, esta presente en un fluido en reposo; es la masa del fluido desplazado multiplicada por la aceleración de gravedad.

• El segundo termino, la fuerza cinética, resulta del movimiento del fluido.

• La relación se conoce como ley de stokes. Se usa para describir el movimiento de las partículas coloidales bajo un campo eléctrico. Esta ley solo es útil solo hasta un número de Reynolds aproximadamente 0,1.

Determinación de la viscosidad a partir de la velocidad final de caída de una esfera

Det

erm

inac

ión

de V

Isco

sida

d

Si una esfera, inicialmente en reposo, se deja caer en un fluido viscoso, adquiere un movimiento acelerado hasta que alcanza una velocidad constante («final»). Cuando se alcanza este estado, la suma de todas las fuerzas que actúan sobre la esfera es cero. La fuerza de gravedad actúa sobre el sólido en la dirección de la caída, y el empuje y la fuerza debida al movimiento actúan en sentido contrario:

En esta expresión, R es el radio de la esfera, ps la densidad de la esfera, p la densidad del fluido, y v la «velocidad final. Despejando u se obtiene

Este resultado es válido solamente cuando el número de Reynolds es menor que aproximadamente 0,1.