Folleto fractales
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El interés en estos objetos es que
proporcionan modelos que simulan
estructuras presentes en la
naturaleza y posibilitan la realización
de manipulaciones matemáticas que
podrían ser aplicadas a la realidad.
El brócoli romanesco, manifiesta un exquisito
diseño fractal una estructura fractal en la que
cada porción nace de la anterior y gesta la
siguiente.
Tanto los pulmones como el corazón tienen
estructura fractal. En la fotografía se
encuentra el de un manatí que, al igual que
en la mayoría de los animales presenta una
estructura fractal.
Como si se tratara de las arterias de un
violento pero lumínico dios, los relámpagos
acceden espontáneamente a un algorítmico
fractal en cuestión de instantes para luego
disolverse.
La papiroflexia modular, es un arte
japones muy hermoso, consiste en la
elaboración de módulos en papel,
que finalmente se imbrican para
construir verdaderas obras de arte.
Desde el punto de vista de la
educación, permite explorar la
geometría euclidiana y en esta
ocasión, un acercamiento a la
geometría fractal. Te invito a ser
parte de este fabuloso taller de
papirofexia, que te permitirá explorar
y acercarte al maravilloso mundo de
la geometría a través del doblado de
papel.
http://papiroflexia-modular-javier.blogspot.com/
http://matematicasrecreativas-javier.blogspot.com/
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27 Octubre de 2012
27 Octubre de 2012
En términos matemáticos la
definición es clara, pero al
intentar dar una definición
intuitiva de este objeto, es un
poco complicado, sin embargo,
podemos intentar dar una
aproximación al concepto. Una
característica de un fractal es su
autosimilitud, es decir, que
partes de él, son similares al todo,
sin importar lo pequeña de la
parte que se tome. También
podemos decir que un fractal es
un objeto que se crea después de
un proceso de iteración infinita.
Una característica común a todos
es su dimensión, que puede ser
no entera, son objetos
interdimensionales.
El mundo físico en que nos
movemos tiene tres dimensiones,
tenemos ancho, alto y
profundidad. Un plano tiene dos
dimensiones, los objetos son
planos. Una recta representa un
espacio de una dimensión y
finalmente un punto sería la
dimensión cero. ¿Cómo
representamos una cuarta
dimensión?
Tengamos en cuenta las
características de un fractal:
autosimilitud, iteración infinita e
interdimensionalidad. Esto nos
lleva a concluir que algunos
fractales, al no tener dimensión
entera, no son perceptibles a
nuestros sentidos. La herramienta
para aproximarnos a ellos, es
nuestra intuición. Analicemos
algunos ejemplos de fractales:
:
La esponja de Menger se construye a
partir de un cubo en tres
dimensiones. En este se extrae no
solo el cubo central, sino las caras
adyacentes al cubo central. La
esponja de Menger es el límite de
este proceso:
Pero, ¿Qué sucede en el infinito?
En cuanto a su superficie, el área es
mayor en cada iteración y en el límite
se vuelve infinita; mientras que el
volumen cada vez es más pequeño y
en el límite tiende a cero. Es decir que
este objeto encerrado en un cubo,
tiene superficie infinita, pero el
volumen es cero, ¿Qué objeto
cumple estas características? ¿Dónde
existe?
:
El árbol de Pitágoras es un plano
fractal construido a partir de
cuadrados, inventado por el profesor
Albert E. Bosman en 1942. Se inicia
con un cuadrado y sobre un lado se
construyen dos cuadrados, formando
un triángulo rectángulo. Este proceso
se repite infinitas veces.
Si el cuadrado más grande tiene una
dimensión LxL, todo el árbol de
Pitágoras encajará perfectamente
dentro de una caja de tamaño 6L x 4L.
:
Es una versión tridimensional del
triángulo de Sierpinski, se inicia con
un tetraedro, luego se construyen
cuatro tetraedros regulares en cada
vértice, se continúa iterando el
procedimiento con esos cuatro
tetraedros y así sucesivamente. La
figura límite que resulta al repetir el
proceso indefinidamente es el
tetraedro de Sierpinski.
En el infinito del proceso de
construcción, el volumen tiende a
cero, pero su superficie tiende al
infinito.
Nuevamente, ¿Qué objeto de
nuestro espacio cumple con estas
características?