Numeros racionales e irracionales Francisco Javier Cervigon Ruckauer
fOlleto práctico de matemáticas · racionales se utilizan para describir las fracciones como la...
55
FOLLETO PRÁCTICO DE MATEMÁTICAS ESCUELA DE GESTIÓN PÚBLICA Licda. M.B.A Rose Miriam Fernández Ortíz
Transcript of fOlleto práctico de matemáticas · racionales se utilizan para describir las fracciones como la...
FOLLETO PRÁCTICO DE MATEMÁTICAS
ESCUELA DE GESTIÓN PÚBLICA
Licda. M.B.A Rose Miriam Fernández Ortíz
TABLA DE CONTENIDO
INTRODUCCIO N _______________________________________________________________________ 1
El uso de las Matema ticas ___________________________________________________ 1
SISTEMA NUME RICO __________________________________________________________________ 4
Hoja de Trabajo 1_____________________________________________________________ 4
Hoja de Trabajo 2_____________________________________________________________ 6
CONJUNTOS __________________________________________________________________________ 8
Hoja de Trabajo 3_____________________________________________________________ 8
Hoja de Trabajo 4____________________________________________________________ 10
Hoja de Trabajo 5____________________________________________________________ 12
Hoja de Trabajo 6____________________________________________________________ 13
Hoja de Trabajo 7____________________________________________________________ 18
Hoja de Trabajo 8____________________________________________________________ 19
Hoja de Trabajo 9____________________________________________________________ 22
FRACCIONES ________________________________________________________________________ 28
Hoja de Trabajo 10 __________________________________________________________ 29
Hoja de Trabajo 11 __________________________________________________________ 30
ALGEBRA ___________________________________________________________________________ 32
Hoja de Trabajo 12 __________________________________________________________ 33
Hoja de Trabajo 13 __________________________________________________________ 34
GEOMETRI A ANALI TICA _____________________________________________________________ 36
Hoja de Trabajo 14 __________________________________________________________ 37
Hoja de Trabajo 15 __________________________________________________________ 38
Hoja de Trabajo 16 __________________________________________________________ 39
PROGRAMACIO N LINEAL ____________________________________________________________ 42
TABLA DE CONTENIDO Hoja de Trabajo 17 __________________________________________________________ 43
Hoja de Trabajo 18 __________________________________________________________ 44
Hoja de Trabajo 19 __________________________________________________________ 45
TOMA DE DECISIONES _______________________________________________________________ 48
Hoja de Trabajo 20 __________________________________________________________ 49
Hoja de Trabajo 21 __________________________________________________________ 50
Hoja de Trabajo 22 __________________________________________________________________________________________ 51
MATEMÁTICAS
1
INTRODUCCIO N
EL USO DE LAS MATEMÁTICAS
En cada momento de su vida utiliza las matemáticas sin darse cuenta, desde
el momento en que se levantó y calculó la hora exacta para llegar a tiempo a
su lugar de destino, cuando vio el reloj y realizó una resta para saber con
cuánto tiempo contaba, cuando decidió salir a comprar su almuerzo y sumó
el dinero que llevaba en la billetera, cuando entró al salón de clases y observó
cuántas personas habían y a qué género pertenecían, ¿hay más mujeres que
hombres?
Las matemáticas son indispensables en la toma de decisiones, las utilizamos
de forma inconsciente, y la razón de este curso es aprender a utilizar todas
esas herramientas que nos brinda para mejorar todos los aspectos decisivos
de la vida personal y del trabajo.
No existe la forma de aprender matemáticas si no se practica, solamente de
esta forma podrá comprender toda la teoría matemática que se le dará, es
por ello que se realizó este folleto, con la finalidad de una mejor comprensión
y puesta en práctica de esas herramientas que ya le he mencionado.
Espero que encuentre la razón de ser de esta materia, la ponga en práctica en
su vida y se dé cuenta de su importancia. Deje atrás el concepto de que las
matemáticas son una pérdida de tiempo, y piense en las ventajas que podrá
obtener si las sabe utilizar para su beneficio.
MATEMÁTICAS
3
MATEMÁTICAS
4
SISTEMA NUME RICO
Los números son a menudo clasificados de acuerdo a su uso. Por ejemplo, los
números naturales se utilizan para el conteo, los números negativos ase
utilizan para describir las deudas o temperaturas bajo cero, los números
racionales se utilizan para describir las fracciones como la mitad de una
naranja y los números irracionales se utilizan para ciertas distancias, como la
diagonal de un cuadrado de lado 1 pie, que no se puede expresar con una
fracción.
HOJA DE TRABAJO 1
INSTRUCCIONES: COLOQUE UNA V SI ES VERDADERO O UNA F SI ES FALSO.
1. 4√587 es irracional
2. -8 es |8| = 8 es valor absoluto
3. -42/3456 es irracional
4. 2 x 3 = 6 es propiedad de cerradura
5. 3 + 2 = 5 y 2 + 3 = 5 es propiedad conmutativa
6. ≤ significa menor que
7. 3 x 1 = 3 es propiedad neutro
8. √49 es desigualdad
9. -45/92 es entero
10. 8<87 es desigualdad
11. 455/145 es racional
MATEMÁTICAS
5
12. 2 es |2| = 2 es entero 13. 333>22 es desigualdad
14. 2 + 0 = 2 es propiedad neutro
15. ≥ significa menor que
16. 3 + 4 = 7 es propiedad neutro
17. ≠ significa desigualdad
18. 45/1 es entero
19. π es un número entero
20. < significa menor que
21. > significa menor que
22. 0 en la recta numérica es el punto de origen
23. 18.967 es un número irracional
24. 3 x 2 = 6 y 2 x 3 = 6 es propiedad neutro
25. ≤ significa mayor que
26. 3 + 1 = 4 es propiedad neutro
27. √49 es número irracional
28. -45/1 es entero
29. 8>87 es…
30. <> es desigualdad
MATEMÁTICAS
6
HOJA DE TRABAJO 2
INSTRUCCIONES: ESCRIBA LO QUE SE LE PIDE A CONTINUACIÓN:
1. 5 ejemplos de números enteros.
2. 5 ejemplos de números racionales.
3. 5 ejemplos de números irracionales.
4. Trace una recta numérica y encuentre los siguientes puntos:
a. 12
b. -4
c. 5
d. -7
e. 3
f. -11
g. -6
h. 9
i. 2
j. -1
5. 5 ejemplos de desigualdad
6. 5 ejemplos de valor absoluto
7. 2 ejemplos de propiedad de cerradura
8. 2 ejemplos de propiedad neutro
9. 2 ejemplos de propiedad conmutativa
10. 2 ejemplos de propiedad asociativa
MATEMÁTICAS
7
MATEMÁTICAS
8
CONJUNTOS
Un conjunto es una colección o agrupación de objetos o elementos que
responden a una misma categoría o grupo. Haciendo un análisis de los
miembros que lo conforman pueden existen los siguientes tipos:
Conjunto finito:
En este conjunto los elementos o miembros que los conforman pueden ser
enumerados o contados. Por ejemplo, el agrupamiento de todas las letras del
abecedario confirmaría un conjunto de esta clase.
Conjunto infinito:
En estos conjuntos, los miembros que lo conforman no pueden ser
enumerados ni contados. Un ejemplo de conjunto infinito sería todos los
granos de arena del planeta.
Conjunto unitario:
Estos conjuntos están conformados por un solo miembro o elemento, por
ejemplo, la letra A.
HOJA DE TRABAJO 3
INSTRUCCIONES: COLOQUE UNA V SI ES VERDADERO O UNA F SI ES FALSO.
1. A={ } es un conjunto unitario
2. B={1,2,3…} es un conjunto infinito
3. ∩ significa unión
4. Δ significa diferencia simétrica
5. C={a,e,i,o,u} es un conjunto finito
MATEMÁTICAS
9
6. significa diferencia
7. U significa unión
8. B={a} es un conjunto unitario
9. ∩ significa intersección 10. A={1,2,3…} es un conjunto infinito
11. B={x/x las estrellas del universo} es un conjunto de la forma descriptiva
12. M={gatos que hablan} es un conjunto vacío
13. P={x/x las letras del abecedario} es un conjunto finito
14. significa diferencia simétrica
15. Δ significa diferencia
MATEMÁTICAS
10
HOJA DE TRABAJO 4
INSTRUCCIONES: ESCRIBA LO QUE SE LE PIDE A CONTINUACIÓN:
1. 5 ejemplos de conjuntos en forma enumerativa.
2. 5 ejemplos de conjuntos en forma descriptiva.
3. 5 ejemplos de conjuntos cavíos.
4. 5 ejemplos de conjuntos unitarios.
5. 5 ejemplos de conjuntos infinitos.
6. 5 ejemplos de conjuntos finitos.
7. 2 ejemplos de unión de conjuntos con llaves.
8. 2 ejemplos de unión de conjuntos con diagramas.
9. 2 ejemplos de intersección de conjuntos con llaves.
10. 2 ejemplos de intersección de conjuntos con diagramas.
MATEMÁTICAS
11
Conocida también con Algebra de conjuntos, las operaciones entre conjuntos
son: unión, intersección, diferencia, diferencia simétrica y complemento.
Unión de conjuntos:
Al realizar esta operación se está conformando un nuevo conjunto, que se
llama conjunto solución, que contiene todos los elementos o miembros de los
conjuntos que se estén uniendo, sin que ninguno de sus miembros se repita en
el conjunto solución.
Intersección de conjuntos:
Esta operación entre conjuntos conforma un nuevo conjunto que contenga los
elementos o miembros comunes a los conjuntos que hagan parte de esta
operación.
Diferencia de conjuntos:
Cuando se analiza la diferencia entre A y B, se obtiene como respuesta
exclusivamente los elementos del conjunto A.
Diferencia simétrica de conjuntos:
Se presenta cuando se consideran todos los elementos que sólo pertenecen
los conjuntos, sin tener en cuenta lo que tienen en común. En otras palabras,
en la diferencia simétrica no se tiene en cuenta ningún elemento de la
intersección entre los conjuntos, los demás sí.
MATEMÁTICAS
12
HOJA DE TRABAJO 5
INSTRUCCIONES: REALICE LO QUE SE LE PIDE:
1. A={a, b, c, d} B = {d, e, f}
AUB
2. A={Juan, Pedro Pablo} B={María, Martha, Juana}
AUB
3. X={cuadrado, triángulo} Y={círculo, elipse}
XUY
4. M={auto, motocicleta} N={barco, lancha}
MUN
5. T={martillo, pinzas} S={desarmador}
TUS
6. D={árbol, palmera, arbusto} E={planta, flor, fruto}
DUE
7. G={perro, gato, loro} H={león, elefante, águila}
GUH
8. R={2, 4, 6, 8} P={1, 3, 5, 7, 9}
RUP
9. A={1, 2, 3, 4, 5, 6} B={2, 4, 6, 8}
AUB
10. C={1, 3, 5, 7} D={1, 3, 5, 7}
CUD
MATEMÁTICAS
13
HOJA DE TRABAJO 6
INSTRUCCIONES: DIAGRAME LO QUE SE LE PIDE:
A = {c, r, i, s, t, o } B = { a, m, i, g, o }
1. A∩B
A = { 4, 5, 6, 7, 8 } B = { 4, 6, 8 }
2. AUB
A = { c, a, l, o, r } B = {m, e, s }
3. A∩B
4. Utilizando las llaves, escriba los conjuntos que se le solicitan:
a. “A” cuyos elementos son las siete notas musicales.
b. “B” cuyos elementos son los nueve primeros números impares.
c. “C” cuyos elementos son los días de la semana.
d. “D” cuyos elementos son las primeras cinco consonantes del
abecedario.
e. “E” cuyos elementos son los números pares mayores que 8 y
menores que 20.
Continúa en la siguiente página
MATEMÁTICAS
14
5. Observe los diagramas y escriba dentro de llaves los elementos de cada
conjunto.
a. Conjunto A
b. Conjunto B
c. Conjunto C
d. A∩B
e. B∩C
A
B
C
6 8
4 9
1
10 5
3
2
7
11
MATEMÁTICAS
15
f. Conjunto A
g. Conjunto B
h. Conjunto C
i. Conjunto D
j. A∩B
k. B∩C
l. A∩B∩C
m. CVD
n. AUD
o. B∩D
11 17
8
6 5 7
9
10
1
4
12
14
2
18
16
C
B
A D
MATEMÁTICAS
16
p. Conjunto A
q. Conjunto B
r. A∩B
s. Conjunto A
t. Conjunto B
u. Conjunto C
v. A∩B
w. B∩C
x. A∩C
A
C
B 9 5 12 4
13 3
6
8
A
B
6
5
7
4
3 8
1
2
11 1
7
2
10
MATEMÁTICAS
17
y. Conjunto A
z. Conjunto B
aa. Conjunto C
bb. A∩B
cc. B∩C
dd. A∩C
A
B
C
16
9 15
7
10 11
5 2 14
12 8 4
13 6 1
3
MATEMÁTICAS
18
HOJA DE TRABAJO 7
INSTRUCCIONES: REALICE LO QUE SE LE PIDE:
A = {1, 2, 3, 4} B = {2, 4, 6, 8} C = {3, 4, 5, 6}
1. A – B
2. C – A
3. B – C
4. B – A
5. C – A
6. A – (B∩C)
7. (A – B)U(A – C)
8. (A – B)∩C
9. (AUB) – C
10. B – (A∩C)U(B C)
11. A B
12. C A
13. B C
14. B A
15. C A
A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} B = {3, 4, 5, 6, 8} C = {5, 8, 9, 10}
16. (AUB)UC
17. (AB) C
18. (A-B) -C
A = {3, 4, 5, 6} B = {4, 5, 7, 8} C = {2, 3, 4, 6, 8}
19. (A∩B) ∩C
20. (AB) ∩C
MATEMÁTICAS
19
HOJA DE TRABAJO 8
INSTRUCCIONES: REALICE LO QUE SE LE PIDE:
1. 1.- Sean A ={1,2,3,4} B ={2,4,6,8} C ={3,4,5,6}
Hallar:
a) AUB
b) AUC
c) BUC
d) BUB
2. ¿Cuál es conjunto formado por la intersección de los conjuntos {e, x, i,
t, o} y {t, r, i, u, n, f, o}?
3. Representa la unión de los conjuntos {e, x, i, t, o} y {t, r, i, u, n, f, o}
4. ¿Cuál es la intersección de los siguientes conjuntos:
A= {l, u, n, a} B= {t, r, i, u, n, f, o}
5. Obtener la diferencia A-B si A= {c, o, r, a, z, n} y B={h, i, p, e, r, t, n, s, o}
6. ¿Cuáles de los siguientes conjuntos son: vacíos, unitarios, finitos,
infinitos?
a) A = { x I x es día de la semana}
b) B = { vocales de la palabra conjunto}
c) C = { 1, 3, 5, 7, 9, . . . . .}
d) D = {x I x es un número par}
e) E = {x I x < 15}
f) F = {x I es la solución de y(x)=IxI }
7. Consideremos los conjuntos A={a ,b, d}, B={b ,d , e} y C={a ,b , e }.
Hallar:
a) A∪B
b) A∪C
c) B∪C
MATEMÁTICAS
20
d) B∪B
e) A∩B
f) A∪B∪C
g) A∩A
8. Se consideran los conjuntos A = (– 7, 3 ), B = [ – 2, 5 ), C = ( – 4, 9 ] y D =
[ – 1,8 ]. Hallar:
a) A∪B
b) A∩B
c) (B∪C)∩D
d) (B – A)∪(C – D)
e) (A – B) y ( B– A)
9. El equipo de fútbol-sala de la 3ª clase del instituto Megalío está
formado por Pedro, Diego, Hugo, Carlos, Roberto, Rolando y Edgar. El
equipo de Olimpiadas de Matemáticas de dicha clase está formado por
Andrea, Diego, Cristina, José Rolando y Edgar.
a) ¿Quiénes están en ambos equipos?
b) ¿Quiénes están en al menos uno de los dos equipos?
c) ¿Quiénes están en el equipo de fútbol-sala pero no en el
de las olimpiadas?
d) ¿Quiénes están únicamente en el equipo de las
olimpiadas?
e) ¿Quiénes están sólo en uno de esos dos equipos?
10. Se hizo una encuesta entre mil personas de Bratislava para determinar
el medio de comunicación empleado para para conocer las noticias del
día. 400 respondieron que se enteran de forma regular de los sucesos
del día a través de la televisión, 300 lo hacen a través de la radio. De las
cantidades anteriormente mencionadas, 275 corresponde al número
MATEMÁTICAS
21
de personas que utilizan ambos medios para estar al día en los
acontecimientos del mundo.
a) ¿Cuántas de las personas encuestadas se enteran de las
noticias sólo a través de la televisión?
b) ¿Cuántas de las personas entrevistadas lo hacen
únicamente a través de la radio?
c) ¿Cuántas de las personas investigadas no hacen uso de
ninguno de los dos medios?
MATEMÁTICAS
22
HOJA DE TRABAJO 9
INSTRUCCIONES: REALICE LO QUE SE LE PIDE:
1. Una persona comió queso o jamón en el desayuno, cada mañana
durante el mes de marzo. Si comió jamón 25 mañanas y queso 18
mañanas, ¿Cuántas mañanas comió queso y jamón?
a. 12
b. 13
c. 14
d. 15
e. 16
2. Al evaluar a un grupo de alumnos en Aritmética, Álgebra y
Trigonometría, se observó que ninguno sabía las tres materias, había
10 que sabían Aritmética, 9 Álgebra y 15 Trigonometría. Además 13
sabían dos cursos. ¿Cuántos sabían un curso nada más?
a. 5
b. 12
c. 8
d. 10
e. 7
3. En una ciudad el 60% de la población va al cine y el 35% va al teatro. Si
el 20% de los que van al cine van también al teatro, ¿Qué porcentaje no
va al cine ni al teatro?
a. 17%
b. 27%
c. 5%
d. 15%
e. 12%
MATEMÁTICAS
23
4. Durante el mes de agosto un joven visitó a su enamorada, fue a la
academia o al trabajo. Si no hubo día en que se dedicara a sólo dos
actividades y además visitó 15 días a su enamorada, fue a la academia
20 días y al trabajo 22 días, ¿Durante cuántos días trabajó?
a. 9
b. 10
c. 8
d. 11
e. 7
5. De una muestra recogida a 200 transeúntes se determinó lo siguiente:
60 eran mudos, 70 eran cantantes callejeros y 90 eran ciegos; de estos
últimos: 20 eran mudos y 30 eran cantantes. ¿Cuántos de los que no
son cantantes callejeros no eran mudos ni ciegos?
a. 22
b. 24
c. 26
d. 28
e. 30
6. De 500 postulantes a las universidades A, B y C, 320 no se presentaron
a A, 220 no se presentaron a B, 170 se presentaron a C, los que no
postularon a una sola universidad son 120. ¿Cuántos postularon a las
tres universidades?
a. 10
b. 11
c. 12
d. 13
e. 14
MATEMÁTICAS
24
7. En una clase de 96 alumnos, 36 practican natación, 40 básquetbol y 48
futbol. Si 7 practican los 3 deportes y 3 no practican ninguno de estos 3
deportes, ¿Cuántos practican uno y solo uno de estos deportes?
a. 72
b. 17
c. 20
d. 69
e. 42
8. Si el conjunto A tiene 34 elementos, el conjunto B tiene 18 elementos y
ambos conjuntos tienen 9 elementos comunes. ¿Cuántos elementos
pertenecen a A pero no a B?
9. Se observó en una reunión que: 46 personas usaban relojes; 24 usaban
pulseras y 12 usaban ambas cosas. ¿Cuántas personas asistieron a la
reunión si todos llevaban al menos una de las dos prendas?, ¿Cuántas
personas usan solamente pulseras?, ¿Cuántas personas emplean
solamente relojes?
10. En un restaurante donde asisten 40 personas, 19 toman solo café, 10
café con leche, el resto sólo leche. ¿Cuántos toman leche?
11. En una encuesta a 80 personas, 47 tienen refrigeradora, 56 tienen
computadora y 5 no tienen ninguno de los dos artefactos
12. Cien alumnos de un colegio solicitan beca y al hacer su estudio socio
económico, se establece que 60 tienen televisor y 78 tienen radio.
¿Cuántos tienen sólo radio, si se sabe además que 9 no tienen ni
televisor ni radio?
13. Durante todas las noches del mes de mayo, Marlene escucha música o
lee un libro. Si escucha música 21 noches y lee un libro 15 noches,
¿Cuántas noches escucha música y lee un libro solamente?
MATEMÁTICAS
25
14. José realiza un viaje mensual durante todo el año a Jutiapa o
Huehuetenango. Si 8 viajes fueron a Jutiapa y 11 viajes fueron a
Huehutenango, ¿Cuántos meses visitó los dos lugares?
15. En un jardín de infancia se consulta a 55 niños sobre la preferencia de
golosinas y contestan lo siguiente:
a. 31 niños les gustan los caramelos
b. 33 niños les gustan los chocolates
c. 29 niños les gustan las galletas
d. 19 niños les gustan los caramelos y chocolates
e. 17 niños les gustan los caramelos y galletas
f. 18 niños les gustan los chocolates y galletas
g. 10 niños les gustan los chocolates, caramelos y galletas
¿A cuántos niños no les gustan las golosinas? y ¿A cuántos les gusta
solo una golosina?
MATEMÁTICAS
27
MATEMÁTICAS
28
FRACCIONES
La fracción es un número, que se obtiene de dividir una totalidad en partes
iguales. Por ejemplo cuando se dice un cuarto de hora o una cuarta parte de
la torta, se está dividiendo la hora y la torta en cuatro partes y se considera
una de ellas. Se sabe que no es lo mismo un cuarto de hora que cuarta torta,
pero se "calculan" de la misma manera: dividiendo la totalidad (una hora o
una torta) en 4 partes iguales y tomando una de ellas.
Una fracción se representa matemáticamente por números que
están escritos uno sobre otro y que se hallan separados por una
línea recta horizontal llamada raya fraccionaria.
La fracción está formada por dos términos: el numerador y el denominador. El
numerador es el número que está sobre la raya fraccionaria y el denominador
es el que está bajo la raya fraccionaria.
Observe la imagen, se tiene media naranja, ¿cómo se escribe
esa cantidad?. La naranja entera se forma con dos mitades,
aquí se tiene una mitad entonces se escribe:
El número 1 es el numerador, indica el número de partes que se ha tomado de
la naranja.
El número 2 es el denominador, indica el número de partes iguales en que se
ha dividido la naranja.
MATEMÁTICAS
29
HOJA DE TRABAJO 10
INSTRUCCIONES: REALICE LAS SIGUIENTES OPERACIONES DE SUMA Y RESTA DE FRACCIONES.
1. (12/3 + 11/9) – (1/3 - 1/9)
2. 3/8 + 1/2 + 33/9
3. 11/10 + 21/2 + 4/8
4. 855/35 + 1434/36
5. (1 2/3 + 2 1/7) - (3 7/9 - 3 5/1)
6. 6/7 – 1/7
7. 21/15 – 11/54
8. 3/14 – 1/2
9. 252/2 – 21/8
10. (1/8 + 2/7) - (1/8 - 2/7)
MATEMÁTICAS
30
HOJA DE TRABAJO 11
INSTRUCCIONES: REALICE LAS SIGUIENTES OPERACIONES DE SUMA, RESTA, MULTIPLICACIÓN Y
DIVISIÓN DE FRACCIONES.
1. (18/3 + 12/5) (7/3 - 8/9)
(2 5/3 - 6 8/4) (32/8 + 24/7)
2. 3/6 + 8/2 + 63/9
3. 11/12 + 25/9 + 12/9
4. 855/35 + 1434/36
5. (5 2/23 + 1 14/7) (3 17/9 - 5 5/11)
(3 3/19 + 5 5/11) + (1/34 - 7/9)
6. 61/7 – 15/27
7. 27/15 x 14/74
8. 32/13 – 19/62
9. 285/72 x 222/18
10. (12/48 + 23/7) (31/8 - 23/7)
(6 6/9 + 15 1/2 - 4/8) + 7/5
MATEMÁTICAS
31
MATEMÁTICAS
32
ALGEBRA
Lenguaje Algebraico:
Expresa la información matemática mediante letras y números. Una
expresión algebraica es una combinación de letras, números y signos de
operaciones. Mediante el lenguaje algebraico se puede realizar una
traducción de enunciados.
El valor numérico de una expresión algebraica es el número que se obtiene al
sustituir las letras por números y realizar las operaciones indicadas.
Monomios:
Es una expresión algebraica formada por el producto de un número y de una
letra. Un monomio consta de un coeficiente y de una parte literal. El grado de
un monomio es el exponente de la letra.
Para sumar o restar monomios semejantes se suman o restan los coeficientes
y se deja la misma parte literal.
Para multiplicar monomios se multiplican los coeficientes y las partes
literales.
Ecuaciones:
Es una igualdad algebraica que solo es cierta para un determinado valor de la
incógnita. Un número es solución de la ecuación si al sustituir la incógnita por
este número la igualdad se verifica.
Se pueden resolver problemas en los que se plantea una relación de igualdad
mediante ecuaciones. Los pasos a seguir son:
Identificar la incógnita.
Plantear una ecuación.
Resolver la ecuación planteada.
MATEMÁTICAS
33
Comprobar la solución obtenida.
Dar la respuesta al problema.
HOJA DE TRABAJO 12
INSTRUCCIONES: REALICE LAS SIGUIENTES OPERACIONES DE SUMA Y RESTA ALGEBRAICA.
1. 9a – 3b + 5 – a – b + 4 – 5a + 4b – 9
2. x + y + z – 2x – 6y + 3z + x + 5y – 8z
3. -7a – 4b + 6c + 10ª – 20b – 8c – 5a + 24b + 2c
4. a2 – 5ª + 8 – a2 + 10a – 30 – 6a2 + 5a – 50
5. a3 + 2a – a2 + 4
6. -5x – 2y – 3z + 7x – 3y + 5z – 8x + 5y -3z
7. x3 -4x2y + 5x3 – 7xy2 -4x2y – 5x3
8. x4 – 3x2 + x3 + 4x
9. 4a – 5b – 3a + 6b – 8 – a + b
10. 3x – 5y + 6 – 6x + 8 – 20y – 20y + 12x – 12
11. (xy + 2xz – 3zm – 5mn) – (-4xz + 8xy – 5zm + 5mn)
12. (5x3 – 9y3 + 6x2y – 8xy2) – (14xy2 – 21x2y + 5x3 – 18)
13. (-x5y + 6x3y3 – 18xy5 + 42) – (8x6 + 9y6 – 11x4y2 – 11x2y4)
14. (a4 – 18a2b2 + 15b4) – (16a3b – 6ab3 + 9b4)
15. (x4 -8x2y2 + y4) – [(-6x3y + 5xy3 – 6) + (7x4 – 11x2y2 -5x3y – 6y4)]
16. (x2 – 5xy + 3y2) – [(9xy – y2) + (25x2 – 9xy + 7y2)]
17. [(x2y – 3y3) + (x3 + 3xy2)] – [(-5x2y + 11xy2 – 11y3) + (x3 + 8y3 – 4x2y +
6xy2)]
18. [(x4 – y4) + (-7xy3 + 17x3y – 4x2y2)+ (-x4 + 6x2y2 – 80y4)] – [(6 - x4) + (-x2y2
+ xy3 – 4)]
19. [(a2 – 3ab –b2) + (9b2 – 8ab + 19a2)] – [(3a2 – b2) + (-11ab + 9b2 – 14)]
20. [(3x – 4y + 5z) + (-7x + 8y - 11) + (-x + 2y – 7z)] - (x - y – 2z)
MATEMÁTICAS
34
HOJA DE TRABAJO 13
INSTRUCCIONES: REALICE LAS SIGUIENTES OPERACIONES DE MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN
ALGEBRAICA.
1. (-5a3b) (ab2)
2. (-15a4b3) (-16a2b3)
3. (-8a2b3) (-9x2ay4)
4. (x4 – 6x3y + 9x2y2 – 8) (3cy3)
5. (x3 -3x2y + 2xy2) (x2 -2xy – 8y2)
6. (8a3 – 9b3 + 6ab2 – 12a2b) (2ª + 3b)
7. (a4 – 3a3b + 2a2b2 + ab3) (-b2 –ab – a2)
8. (x4 + 3 – x2 + x3) (x2 – 2x +3)
9. (a4 – a3b + a2b2 –ab3 + b4) (a2 – 2b2 + ab)
10. (5m4 – 3m3 + 4m2 + 2m) (m4 – 3m2 -1)
11. (a + 2b – c) (a – b + c)
12. (14x3y4) ÷ (2xy2)
13. (54a2b2c3) ÷ (-6ab2c3)
14. (-8x2y3) ÷ (-8x2y3)
15. (5a4b5) ÷ (-6a4b)
16. (16x6y4) ÷ (-5y3)
17. (-2a2b6) ÷ (-3ab6)
18. (5m4 – 3m3 + 4m2 + 2m) ÷ (m4 – 3m2 -1)
19. (a + 2b – c) ÷ (a – b + c)
20. (x3 -3x2y + 2xy2) ÷ (x2 -2xy – 8y2)
MATEMÁTICAS
35
MATEMÁTICAS
36
GEOMETRI A ANALI TICA
El plano cartesiano está formado por dos rectas numéricas perpendiculares,
una horizontal y otra vertical que se cortan en un punto. La recta horizontal es
llamada eje de las abscisas o de las equis (x), y la vertical, eje de las
ordenadas o de las yes, (y); el punto donde se cortan recibe el nombre
de origen.
El plano cartesiano tiene como finalidad describir la posición de puntos, los
cuales se representan por sus coordenadas o pares ordenados.
Las coordenadas se forman asociando un valor del eje de las equis a uno de
las yes, respectivamente, esto indica que un punto (P) se puede ubicar en el
plano cartesiano tomando como base sus coordenadas, lo cual se representa
como:
P (x, y)
Para localizar puntos en el plano cartesiano se debe llevar a cabo el siguiente
procedimiento:
1. Para localizar la abscisa o valor de x, se cuentan las unidades
correspondientes hacia la derecha si son positivas o hacia la izquierda si son
negativas, a partir del punto de origen, en este caso el cero.
2. Desde donde se localiza el valor de x, se cuentan las unidades
correspondientes (en el eje de las ordenadas) hacia arriba si son positivas o
hacia abajo, si son negativas y de esta forma se localiza cualquier punto
dadas ambas coordenadas.
MATEMÁTICAS
37
HOJA DE TRABAJO 14
INSTRUCCIONES: ENCUENTRE LOS SIGUIENTES PUNTOS EN EL PLANO CARTESIANO, DEBE
ELABORARLO EN UNA HOJA MILIMETRADA, UTILICE UN PLANO PARA LOS 20 PUNTOS.
1. ( 18, 10)
2. ( -3, -15)
3. ( 2, -8)
4. ( 7, 4)
5. ( -5, 16)
6. ( -13, -10)
7. ( 0, 5)
8. ( 7, 0)
9. ( -6, -6)
10. ( 7, 13)
11. ( 5, 8)
12. ( -4, -2)
13. ( -2, 5)
14. ( -5, 2)
15. ( -15, 12)
16. ( 4, -17)
17. ( 8, -7)
18. ( 3, -11)
19. ( -5, 0)
20. ( 0, -7)
MATEMÁTICAS
38
HOJA DE TRABAJO 15
INSTRUCCIONES: ENCUENTRE LOS SIGUIENTES PUNTOS EN EL PLANO CARTESIANO, DEBE
ELABORARLO EN UNA HOJA MILIMETRADA, UTILICE UN PLANO PARA LOS 20 PUNTOS.
1. ( 34, 130)
2. ( -23, 355)
3. ( 112, -338)
4. ( 331, 324)
5. ( -225, 126)
6. ( -123, -10)
7. ( 30, 25)
8. ( 27, 278)
9. ( -26, -226)
10. ( 117, 213)
11. ( 25, 28)
12. ( -24, -112)
13. ( -12, 115)
14. ( -51, 12)
15. ( -125, 192)
16. ( 49, -147)
17. ( 87, -67)
18. ( 53, -131)
19. ( -59, 110)
20. ( 10, -27)
MATEMÁTICAS
39
HOJA DE TRABAJO 16
INSTRUCCIONES: ENCUENTRE LOS SIGUIENTES PUNTOS EN EL PLANO CARTESIANO, DEBE
ELABORARLO EN UNA HOJA MILIMETRADA, UTILICE UN PLANO PARA LOS 20 PUNTOS.
1. ( 34, -45)
2. ( 342, -44)
3. ( 33, 67)
4. ( 187, 63)
5. ( -37, 90)
6. ( -39, 99)
7. ( 0, 35)
8. ( 332, 0)
9. ( -33, -38)
10. ( 28, 87)
11. ( 23, 88)
12. ( -38, -80)
13. ( -12, 45)
14. ( -98, 2)
15. ( -122, 132)
16. ( 84, -127)
17. ( 80, -37)
18. ( 33, -131)
19. ( -35, 0)
20. ( 0, -77)
MATEMÁTICAS
41
MATEMÁTICAS
42
PROGRAMACIO N LINEAL
El método gráfico se emplea para resolver problemas que presentan sólo 2
variables de decisión. El procedimiento consiste en trazar las ecuaciones de
las restricciones en un eje de coordenadas X y Y para tratar de identificar el
área de soluciones factibles (soluciones que cumplen con todas las
restricciones).
La solución óptima del problema se encuentra en uno de los vértices de esta
área de soluciones creada, por lo que se buscará en estos datos el valor
mínimo o máximo del problema.
Maximización
Es un término que refiere a la búsqueda del máximo rendimiento. La
maximización consiste en aprovechar o explotar todo lo posible ciertos
recursos o funciones.
Por ejemplo: “Tenemos que comprar nueva maquinaria para maximizar la
explotación de cereales”, “Reducir los costos es una necesidad si queremos
maximizar las ganancias”, “Los empresarios se equivocan si quieren
maximizar sus utilidades a través del despido de empleados”.
La acción de maximizar puede desarrollarse de distintas maneras en el ámbito
de la economía y la producción. Puede intentar maximizarse una
determinada explotación a partir de la introducción de tecnología, el recorte
de costos o cualquier decisión que tienda a potenciar la productividad.
Minimización
Al igual que la maximización se refiere a la búsqueda del máximo
rendimiento, pero enfocándose en la reducción de costos.
MATEMÁTICAS
43
HOJA DE TRABAJO 17
INSTRUCCIONES: MAXIMIZACIÓN.
1. La empresa “El Escondite, S.A.” produce artículos de algodón y lino;
para ser elaborados pasan por las máquinas “A” y “B”. El artículo de
algodón necesita 5 horas hombre en la máquina “A” y 4 en la máquina
“B”; mientras que el artículo de lino necesita 6 horas hombre en la
máquina “B” y 3 en la máquina “A”. La máquina “B” dispone de 300
horas hombre, mientras que la máquina “A” dispone de 200. El artículo
de algodón genera una utilidad de Q. 600.00 mientras que el de lino
genera una utilidad Q. 550.00. Razone su respuesta.
2. En una granja se preparan dos clases de heno, P y Q, mezclando dos
productos A y B. Un saco de P contiene 8 kg de A y 2 de B, y un saco de
Q contiene 10 kg de A y 5 de B. Cada saco de P se vende a 300
quetzales. y cada saco de A 800 quetzales. Si en la granja hay
almacenados 80 kg de A y 25 de B, ¿cuántos sacos de cada tipo de
heno deben preparar para obtener los máximos ingresos?
MATEMÁTICAS
44
HOJA DE TRABAJO 18
INSTRUCCIONES: MAXIMIZACIÓN.
1. Una empresa donde produce sillas y mesas, tiene una ganancia por
mesa de 3 dólares, para construir una necesita invertir 2 horas máquina
y 1 hora hombre. Para la empresa producir una silla necesita invertir 6
horas máquina y 4 horas hombre donde tiene una ganancia de 5
dólares por silla. Nuestro máximo disponible por horas máquinas será
de dos 2 y el máximo disponible para horas hombre será de seis 6,
maximice.
2. Una compañía de auditores se especializa en preparar liquidaciones y
auditorías de empresas pequeñas. Tienen interés en saber cuántas
auditorías y liquidaciones pueden realizar mensualmente para
maximizar sus ingresos. Se dispone de 800 horas de trabajo directo y
320 horas para revisión. Una auditoría en promedio requiere de 40
horas de trabajo directo y 10 horas de revisión, además aporta un
ingreso de 300 dls. Una liquidación de impuesto requiere de 8 horas de
trabajo directo y de 5 horas de revisión, produce un ingreso de 100 dls.
El máximo de liquidaciones mensuales disponibles es de 60.
3. Una fábrica produce bombillas de bajo consumo que vende a 1 euro la
unidad y focos halógenos que vende 1.5 euros la unidad. La capacidad
máxima de fabricación es de 1000 unidades, además no se puede
fabricar más de 800 bombillas ni más de 600 focos, se sabe que la
fábrica vende todo lo que produce. Determine cuantas bombillas y
cuántos focos debe producir para maximizar sus ingresos.
MATEMÁTICAS
45
HOJA DE TRABAJO 19
INSTRUCCIONES: MINIMIZACIÓN.
1. Una campaña para promocionar una marca de productos lácteos se
basa en el reparto gratuito de yogures con sabor a limón o a fresa. Se
decide repartir al menos 30000 yogures. Cada yogur de limón necesita
para su elaboración 0.5 gramos de un producto de fermentación y cada
yogur de fresa necesita 0.2 gramos de este mismo producto. Se
dispone de 9 kilogramos de este producto para fermentación. El costo
de producción de un yogurt de limón es de Q 30 y Q. 20 uno de fresa.
Minimice.
2. Una compañía de química programa la producción de ciertos tipos de
mezclas, donde el material M es igual a 8 dólares por paquete y con un
peso de 4 kilos, el material N es igual a 5 dólares por paquete con un
peso de 2 kilos. Se requiere 100 kilos de la mezcla y se necesita
emplear no menos de 20 paquetes de N para hacer la mezcla. ¿Cuántos
paquetes se debe usar para minimizar los costos?
MATEMÁTICAS
47
MATEMÁTICAS
48
TOMA DE DECISIONES
El alto grado de competitividad del mercado y sus constantes cambios
requiere de decisiones rápidas y acertadas para el éxito de la empresa, la
técnica del Árbol de Decisiones facilitará la tarea de escoger las estrategias
adecuadas a seguir dentro de la empresa, por lo que se hace de vital
importancia el conocer y comprenderlo.
Entre las facilidades de utilizar un árbol de decisiones se puede encontrar que
permite plantear claramente el problema de tal manera que todas las
opciones sean analizadas, hacer un análisis rápido de todas las consecuencias
de las posibles decisiones. Ya que utiliza un esquema que cuantifica el costo
de los resultados y las probabilidades de que los diferentes resultados
aparezcan, ayuda a tomar decisiones adecuadamente.
Dentro de la Gerencia y la Administración financiera serán de gran ayuda
pues se logrará tener un mapa que pueda medir el riesgo y beneficios de las
decisiones tomadas, claramente será de mayor precisión en cuanto se pueda
contar con la mayor cantidad de información posible que permita elegir las
opciones que minimicen el riesgo y maximicen los beneficios.
La técnica del Árbol de decisiones facilitará la representación y análisis de
diferentes situaciones futuras de forma secuencial a través del tiempo, es de
gran utilidad cuando se debe optimizar diferentes decisiones. La técnica del
Árbol de Decisiones involucra varias alternativas, de tal manera que es
necesaria la identificación de todas para optimizar los resultados a obtener.
Debe tomar muy en cuenta las probabilidades de ocurrencia de cada una de
las consecuencias de las decisiones, cuanta mayor información se tenga de las
posibles consecuencias entonces serán más exactas las predicciones y mejores
las decisiones a tomar; será de gran utilidad si se examinan decisiones de
inversión o de financiamiento.
MATEMÁTICAS
49
HOJA DE TRABAJO 20
INSTRUCCIONES: ÁRBOL DE DECISIÓN.
1. Cierta empresa tiene la siguiente política de descuento a sus clientes: si
la compra del cliente es de $100.000 o superior, se le efectúa un 5% de
descuento; si la compra es inferior a $100.000, pero mayor o igual a
$50.000 se hace un descuento de un 2%. Si la compra es inferior a
$50.000 no se hace descuento. Ahora bien, los descuentos se efectúan
siempre y cuando el cliente cancele dentro de los siguientes 15 días.
2. Una empresa comercializadora tiene la siguiente política de descuentos
según el tipo de pago: si el comprador no es cliente habitual, puede
pagar con tarjeta de crédito o cheque al día. Si paga con cheque al día
accede a un 5,2% de descuento. Si el comprador es cliente habitual,
puede cancelar con cheque al día, a 30 ó a 45 días. Si paga con cheque
al día, tiene un 14,7% de descuento, y si cancela con cheque a 45 días,
un 6,5% de descuento.
MATEMÁTICAS
50
HOJA DE TRABAJO 21
INSTRUCCIONES: ÁRBOL DE DECISIÓN.
1. Una entidad financiera ofrece dos tipos de crédito: el “A” y el “B”. El
crédito “A” se tramita de la siguiente forma: si la persona que lo solicita
no es cliente de la entidad, debe presentar sus antecedentes
personales. Además, si es empleado debe presentar sus cuatro últimas
liquidaciones de sueldo, y si no es empleado, es decir, es
independiente, su última declaración de impuestos. Si la persona que
solicita el crédito es cliente de la entidad, se chequea si tiene un cierto
promedio mensual. Si lo tiene, sólo llena una solicitud simple. Si no
alcanza el promedio, si es empleado debe presentar sus cuatro últimas
liquidaciones y si es independiente su última declaración de impuestos.
El crédito “B” se tramita de la siguiente forma: sólo pueden acceder a
él los clientes de la entidad. Si es cliente antiguo, sólo llena una
solicitud simple. Si no tiene la suficiente antigüedad, se chequea su
promedio. Si tiene el promedio, se tramita su crédito. Si no, debe
presentar algún documento que acredite la propiedad de un bien raíz.
MATEMÁTICAS
51
HOJA DE TRABAJO 22
1. El proceso para determinar el porcentaje de rebaja de arancel
solicitado por alumnos de una institución educacional es la siguiente: el
departamento de bienestar, previa entrevista efectuada al alumno y
habiendo estudiado sus antecedentes, clasifica a los estudiantes en tres
categorías: A, B y C.
Si el alumno es antiguo y tipo C, se considera que no tienen los
suficientes antecedentes como para optar a un descuento. Si son
antiguos tipo B y en el semestre anterior no reprobaron ningún ramo,
se les da un 25% de rebaja, y si reprobaron como máximo 2 asignaturas
pero tienen en las restantes un promedio mayor o igual a 5, se les
concede un 5% de descuento. Si tal promedio es inferior a 5, sólo
acceden a un descuento del 8%. Si reprobaron más de 2 asignaturas, no
tienen derecho a este beneficio.
Si el alumno es antiguo tipo A sólo se le hará descuento si ha
reprobado como máximo 1 asignatura en el anterior semestre, y en las
restantes tiene un promedio mayor o igual a 4,8. De esta forma se le
hará un descuento de un 22%.
Si son alumnos nuevos, si son tipo A se les hará un 10% de rebaja; si
son B y no tiene otro tipo de beca un 15%. Si son tipo C y no tienen otra
beca un 10%, y con otro tipo de beca sólo un 5%.
