Forma General Escrito

Joseline Andrea Azurdia Marroquín 1

JOSELINE ANDREA AZURDIA MARROQUÍN 201213710

25 DE SEPTIEMBRE DE 2015

UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA ESCUELA DE FORMACIÓN DE PROFESORES DE ENSEÑANZA MEDIA

EFPEM PROFESORADO DE ENSEÑANZA MEDIA EN FÍSICA Y MATEMÁTICA

INFORME TEMÁTICO ESPECIAL DE GRADUACIÓN

EXÁMEN ESCRITO

UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA

ESCUELA DE FORMACION DE PROFESORES DE ENSEÑANZA MEDIA.

PROFESORADO DE ENSEÑANZA MEDIA EN FÍSICA Y MATEMÁTICA.

JOSELINE ANDREA AZURDIA MARROQUÍN.

201213710


INDICE

INTRODUCCIÓN GENERAL…………………………………………………... 1

FISICA…………………………………………………...……………………….. 2

HIDROSTÁTICA…………………………………………………...................... 3

PLAN DE UNIDAD………………………………………………………. 4

PLAN DE CLASE………………………………………………………… 8

CONTENIDO…………………………………………………………….. 10

HOJA DE TRABAJO CON CLAVE……………………………………. 42

POTENCIAL ELECTRICO……………………………………………………... 43

PLAN DE UNIDAD………………………………………………………. 44

PLAN DE CLASE………………………………………………………… 48

CONTENIDO……………………………………………………………... 50

HOJA DE TRABAJO CON CLAVE…………………………………….. 74

MATEMÁTICA…………………………………………………………………… 75

LA ELIPSE……………………………………………………………………….. 76

PLAN DE UNIDAD………………………………………………………. 77

PLAN DE CLASE………………………………………………………… 81

CONTENIDO…………………………………………………………….. 83


FACTORIZACIÓN………………………………………………………………. 101

PLAN DE UNIDAD………………………………………………………. 102

PLAN DE CLASE………………………………………………………… 106

CONTENIDO…………………………………………………………….. 108



INTRODUCCIÓN GENERAL

La Universidad de San Carlos de Guatemala, consciente de su rol como educador

profesional, en todos los ámbitos del conocimiento, estableció la carrera de Profesores

de Enseñanza Media especializada en Ciencias de la Matemática y Física, la cual está

adscrita a la Escuela de Formación de Profesores de Enseñanza Media -EFPEM-.

Previo a la graduación como profesor de enseñanza media, es necesario ejecutar un

examen privado de graduación, el cual tiene el propósito de permitir que el estudiante

demuestre su preparación mediante una clase modelo y el conocimiento de las

ciencias especializadas por medio de un documento escrito.

Dominar los temas de la especialidad de la carrera, demuestra que el docente es capaz

de transmitir el conocimiento sin ningún problema, y buscar la forma de facilitar el

aprendizaje del alumno, por medio de la didáctica y la pedagogía aprendida.

En el presente informe se hace un desglose un informe de los temas a desarrollar de

la especialidad del estudiante, en este caso serán temas de Física y Matemática.


FÍSICA

EXÁMEN ESCRITO


25-9-2015

1. CINEMÁTICA Y DINÁMICA DEL MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE (MAS)

PROFESORADO DE ENSEÑANZA MEDIA EN FÍSICA Y MATEMÁTICA



INTRODUCCIÓN

Muchos tipos de movimiento se repiten una y otra vez: la vibración de un cristal de cuarzo

en un reloj de pulso, la péndola oscilante de un reloj con pedestal, las vibraciones sonoras

producidas por un clarinete o un tubo de órgano y el movimiento periódico de los pistones

de un motor de combustión. Un cuerpo que tiene un movimiento periódico se caracteriza

por una posición de equilibrio estable; cuando se le aleja de esa posición y se suelta,

entra en acción una fuerza o torca para volverlo al equilibrio. Sin embargo, para cuando

llega ahí, ya ha adquirido cierta energía cinética que le permite continuar su movimiento

hasta detenerse del otro lado, de donde será impulsado nuevamente hacia su posición

de equilibrio. Imagine una pelota que rueda de un lado a otro dentro de un tazón redondo,

o un péndulo que oscila pasando por su posición vertical. Dicho movimiento periodico se

da en los sistemas masa-resorte y los péndulos, que es el movimiento armónico simple

y la deducción de las ecuaciones de aplicación.


OBJETIVOS

OBJETIVOS GENERALES

Estudiar la cinemática y dinámica del movimiento armónico simple de objetos que

aplican estos movimientos como.

Calcular experimentalmente la constante de movimiento armónico simple de un

resorte oscilando.

OBJETIVOS ESPECIFICOS

Determinar el trabajo realizado al estirar un resorte.

Establecer la constante k de un resorte a través del estudio de la deformación de un resorte.

Comparar los cambios de energía potencial gravitacional y de energía potencial elástica al pasar el sistema cuerpo – resorte oscilando entra la posición extrema superior e inferior.

Construir experimentalmente la relación entre fuerza aplicada de un resorte.


CINEMÁTICA Y DINÁMICA DEL MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE

El tipo de oscilación más sencillo sucede cuando la fuerza de restitución 𝐹𝑥 es

directamente proporcional al desplazamiento 𝑥 con respecto al equilibrio. Esto ocurre si

el resorte es ideal y obedece la ley de Hooke. Puede ser un resorte, un alambre, una

varilla, etc. es aquel que regresa a su configuración original después de haberse

deformado y luego liberado. Más aún, cuando dicho sistema se estira una distancia 𝑥

(para compresión, 𝑥 es negativa), la fuerza restauradora ejercida por el resorte está dada

por la ley de Hooke.

𝐹 = −𝑘𝑥

El signo menos indica que la fuerza restauradora siempre tiene dirección opuesta al

desplazamiento. La constante del resorte (o elástica) 𝑘 tiene unidades de 𝑁/𝑚 y es una

medida de la rigidez (dureza) del resorte. La mayoría de los resortes obedecen la ley de

Hooke si las deformaciones son pequeñas.

En algunas ocasiones es útil expresar la ley de Hooke en términos de la fuerza externa

𝐹𝑒𝑥𝑡 necesaria para estirar el resorte una cierta cantidad 𝑥. Esta fuerza es el negativo de

la fuerza restauradora, y por tanto

𝐹𝑒𝑥𝑡 = −𝑘𝑥

Esta ecuación da la magnitud y el signo correctos de la fuerza, ya sea 𝑥 positivo, negativo

o cero. La constante de fuerza 𝑘 siempre es positiva y tiene unidades de 𝑁/𝑚 (también

resultan útiles las unidades de 𝑘𝑔/𝑠2). Estamos suponiendo que no hay fricción, así que

la ecuación da la fuerza total que actúa sobre el cuerpo. Si la fuerza de restitución es

directamente proporcional al desplazamiento con respecto al equilibrio, según la

ecuación, la oscilación se denomina movimiento armónico simple, que se abrevia MAS.La

aceleración 𝑎𝑥 = 𝑑2𝑥/𝑑𝑡2 = 𝐹𝑥/𝑚 de un cuerpo en MAS está dada por

𝑎𝑥 =𝑑2𝑥

𝑑𝑡2= −

𝑘

𝑚𝑥


DEFINICIÓN DEL MOVIMIENTO ARMÓNICO Es el movimiento vibratorio que experimenta un sistema que obedece la ley de Hooke.

La figura ilustra un movimiento armónico simple (MAS). Debido a la semejanza de su

gráfica con las curvas de las funciones seno y coseno, el MAS se llama con frecuencia

movimiento sinusoidal o movimiento armónico. Una característica central del MAS es que

el sistema oscila a una sola frecuencia constante. Eso es lo que lo hace armónico

“simple”.

CIRCULO DE REFERENCIA Suponga que un punto 𝑃 se mueve con rapidez constante |𝑣0| alrededor de un círculo,

como se muestra en la figura. Este círculo se llama círculo de referencia para el MAS. El

punto 𝐴 es la proyección del punto 𝑃 sobre el eje 𝑥 , que coincide con el diámetro

horizontal del círculo. El movimiento del punto 𝐴 de ida y vuelta en torno al punto 𝑂 como

centro es el MAS. La amplitud del movimiento es 𝑥0, el radio del círculo. El tiempo que

emplea 𝑃 en dar una vuelta alrededor del círculo es el periodo 𝑇 del movimiento. La

velocidad, 𝑣0, del punto 𝐴 tiene una componente escalar en 𝑥 de

𝑣𝑥 = −|𝑣0| sin 𝜃

Cuando esta cantidad es positiva, �⃗�𝑥 apunta en la dirección 𝑥 positiva; cuando es

negativa, �⃗�𝑥 apunta en la dirección 𝑥 negativa.


PERIODO, RAPIDEZ ANGULAR FRECUENCIA DEL MAS

Periodo El periodo de un movimiento periódico de un sistema, uno que oscila o rota de manera

repetitiva, es el tiempo que requiere el sistema para completar un ciclo completo. En el

caso de la vibración, es el tiempo total para el movimiento combinado, atrás y adelante,

del sistema. El periodo es el número de segundos por ciclo.

El periodo de las oscilaciones cuando la fuerza es elástica depende de la masa del móvil.

𝑇 =1

𝑓=

2𝜋

𝜔= 2𝜋 √

𝑘

𝑚


Rapidez Angular Cuando un cuerpo comienza a oscilar en un MAS, no se puede elegir el valor de , pues

está predeterminado por los valores de 𝑘 y 𝑚 . Las unidades de 𝑘 son 𝑁/𝑚 , o bien,

𝑘𝑔/𝑠2, así que 𝑘/𝑚 está en (𝑘𝑔 𝑠2⁄ )/𝑘𝑔 = 𝑠−2. Cuando se obtiene la raíz cuadrada en al

ecuación anterior se obtiene 𝑠−1 o , mejor dicho, 𝑟𝑎𝑑/𝑠, porque se trata de una frecuencia

angular.

La rapidez angular es la cantidad que conecta la oscilación y el movimiento circular. Así

se interpreta 𝜔 como una expresión de la frecuencia angular del movimiento armónico

simple para un cuerpo de masa 𝑚, sobre el que actúa una fuerza de restitución con

constante de fuerza 𝑘:

𝜔 = √𝑘

𝑚

Frecuencia Es el número de vibraciones que se realizan en la unidad de tiempo o el número de ciclos

por segundo. Como 𝑇 es el tiempo para un ciclo, 𝑓 = 1/𝑇. La unidad de frecuencia es el

hertz, donde un 𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜/𝑠 es un hertz (𝐻𝑧).

𝑓 =𝜔

2𝜋=

1

2𝜋√

𝑘

𝑚


PERIODO Y AMPLITUD El periodo y la frecuencia del movimiento armónico simple están determinadas solamente

por la masa 𝑚 y la constante de fuerza 𝑘. En el movimiento armónico simple, el periodo

y la frecuencia no dependen de la amplitud 𝐴. Para valores dados de 𝑚 y 𝑘, el tiempo de

una oscilación completa es el mismo, sea la amplitud grande o pequeña.

Amplitud Una mayor 𝐴 implica que la masa alcanza valores mayores de y se somete a fuerzas de

restitución mayores. Esto aumenta la rapidez media del cuerpo durante un ciclo completo,

lo cual compensa exactamente la necesidad de recorrer una mayor distancia, de modo

que el tiempo total es el mismo.

En esencia las oscilaciones de un diapasón son movimiento armónico simple; ello implica

que siempre vibra con la misma frecuencia, sea cual fuere la amplitud. Esto permite usar

el diapasón como estándar para tono musical. Si no fuera por esta característica del

movimiento armónico simple, sería imposible hacer que los relojes mecánicos y

electrónicos que conocemos fueran exactos, o tocar afinadamente la mayoría de los

instrumentos musicales. Si encontramos un cuerpo oscilante cuyo periodo sí depende de

la amplitud, su movimiento no es armónico simple.

DESPLAZAMIENTO, VELOCIDAD Y ACELERACIÓN EN EL MAS

Desplazamiento

Una partícula describe un Movimiento Armónico Simple (M.A.S.) cuando se mueve a lo largo del eje X, estando su posición x dada en función del tiempo t por la ecuación

𝑥 = 𝐴 cos(𝜔𝑡 + 𝜙)

𝑥 = 𝐴 cos 𝜃,.describe la coordenada x para ambas situaciones. Si, en 𝑡 = 0, el fasor forma

un ángulo 𝜙, con el eje +𝑥, entonces en cualquier instante posterior t, este ángulo será

𝜃 = 𝜔𝑡 + 𝜙. Sustituyendo y dando la ecuación anterior.


Velocidad

A partir de la definición de velocidad de una partícula se obtiene: 𝑣 = 𝑑𝑥

𝑑𝑡

𝑣 = −𝐴𝜔 sin(𝜔𝑡 + 𝜙)

𝑣 = 𝜔√𝐴2 − 𝑥2

𝑣 =𝑘

𝑚√𝑥0

2 − 𝑥2

La velocidad es función periódica del tiempo, su valor depende de la posición de la partícula, presenta un valor máximo en el centro de la trayectoria y se anula en los extremos.

Velocidad máxima

𝑣𝑚𝑎𝑥 = ±𝐴𝜔

Aceleración

A partir de la definición de aceleración de una partícula se obtiene: 𝑎 =𝑑𝑣

𝑑𝑡

𝑎 = −𝐴𝜔2 cos(𝜔𝑡 + 𝜙)

𝑎 = −𝜔2𝑥

𝑎 = −𝑘

𝑚𝑥

La aceleración es función periódica del tiempo, su valor depende de la posición de la

partícula. La aceleración es proporcional al desplazamiento pero de sentido contrario,

Presenta un valor máximo en los extremos de la trayectoria y se anula en el centro

Aceleración máxima

𝑎𝑚𝑎𝑥 = ±𝐴𝜔2


ÁNGULO DE FASE Y AMPLITUD EN EL MAS

Ángulo de fase Si se conoce la posición y las velocidades iniciales 𝑥0 y 𝑣0𝑥 del cuerpo oscilante, se

puede determinar la amplitud 𝐴 y el ángulo de fase 𝜙 como sigue. 𝑣0𝑥 es la velocidad

inicial en 𝑡 = 0; si se sustituye 𝑣0𝑥 = 𝑣𝑥 y 𝑡 = 0 en la ecuación de la velocidad se ve que:

𝑣0𝑥 = −𝜔𝐴 sin 𝜙

Para calcular 𝜙, se divide la ecuación anterior entre la de desplazamiento cuando 𝑡 = 0.

Esto elimina 𝐴 y produce una ecuación de la que se puede despejar 𝜙:

𝑣0𝑥

𝑥0=

−𝜔𝐴 sin 𝜙

𝐴 cos 𝜙= −𝜔 tan 𝜙

𝜙 = tan−1 (−𝑣0𝑥

𝜔𝑥0)

Amplitud Para calcular la amplitud es fácil si se conoce 𝑥0 y 𝑣0𝑥 . La deducción es la siguiente:

Tomar la ecuación de desplazamiento cuando 𝑡 = 0

𝑥0 = 𝐴 cos 𝜙

Elevar al cuadrado:

(𝑥0)2 = (𝐴 cos 𝜙)2

𝑥02 = 𝐴2 cos 𝜙2

Tomar la ecuación de velocidad en 𝑥 cuando 𝑡 = 0

𝑣0𝑥 = −𝜔𝐴 sin 𝜙

Dividir entre 𝜔:

𝑣0𝑥

𝜔=

−𝜔𝐴 sin 𝜙

𝜔

𝑣0𝑥

𝜔= −𝐴 sin 𝜙


Elevar al cuadrado:

(𝑣0𝑥

𝜔)

2

= (−𝐴 sin 𝜙)2

𝑣0𝑥2

𝜔2= 𝐴2 sin 𝜙2

Sumar ambas ecuaciones

𝑥02 = 𝐴2 cos 𝜙2

𝑣0𝑥2

𝜔2=

𝐴2 sin 𝜙2

𝑥02 +

𝑣0𝑥2

𝜔2= 𝐴2(sin 𝜙2 + cos 𝜙2)

𝑥02 +

𝑣0𝑥2

𝜔2= 𝐴2

√𝑥02 +

𝑣0𝑥2

𝜔2= 𝐴

ENERGÍA DE UN OSCILADOR ARMÓNICO Una partícula animada de un MAS se llama oscilador mecánico, tiene energía cinética y

potencial. Cinética porque hay movimiento y potencial porque es producido por una

fuerza conservativa.

ENERGÍA CINÉTICA

𝐸𝑐 = 1

2 𝑚𝑣2 =

1

2 𝑚𝑘 (𝐴2 − 𝑥2) =

1

2 𝑘𝐴2 𝑐𝑜𝑠2 (𝜔𝑡 + 𝜑)

Es periódica, proporcional al cuadrado de la amplitud y depende de la posición, tiene un

valor máximo en el centro y mínimo en los extremos.


ENERGÍA POTENCIAL

𝐸𝑝 = ∫ 𝐹𝑑𝑥 = ∫ 𝑘𝑥 𝑑𝑥 = 1

2 𝑘𝑥2 =

1

2 𝑘𝐴2𝑠𝑒𝑛2 (𝜔𝑡 + 𝜑)

𝑥

0

𝑥

0

Es periódica, proporcional al cuadrado de la amplitud y depende de la posición, tiene un

valor máximo en los extremos y mínimo en el centro.

ENERGÍA MECÁNICA

𝐸𝑚 = 𝐸𝑐 + 𝐸𝑝 = 1

2 𝑘 (𝐴2 − 𝑥2 ) +

1

2 𝑘𝑥2 =

1

2 𝑘 𝐴2

No depende de la posición, solamente depende de las características del oscilador y de la amplitud. En ausencia de rozamientos (solo fuerzas

conservativas) es constante y la A también es

constante.

La única fuerza que actúa es el peso que se puede descomponer en su componente normal y tangencial. La componente normal se ve contrarrestada por la tensión del hilo y la componente

tangencial es la que va a dar lugar a la aceleración del movimiento.

𝐹𝑇 = −𝑚𝑔 𝑠𝑒𝑛 𝜃 ≈ − 𝑚𝑔 𝜃

Teniendo en cuenta esta aproximación para ángulos muy pequeños y la expresión de la

fuerza recuperadora:

𝐹𝑇 = −𝑚𝑔 𝑥

𝑙


𝐹𝑇 = −𝑚𝜔2 𝑥

𝜔2 = 𝑔

𝑙 →

4𝜋2

𝑇2 =

𝑔

𝑙

Solo si es pequeño se trata de una MAS

𝑇 = 2𝜋 √𝑙

𝑔

EL RESORTE (Douglas, 2008) Cuando un resorte esté en equilibrio, sobre él actúa el peso del cuerpo (y el resorte), que actúan hacia abajo y la reacción resorte. Si separamos hacia abajo una pequeña distancia x de la posición de equilibrio, el resorte

ejerce una fuerza recuperadora en sentido contrario de modo que cuando soltemos solo

actuará esta fuerza

Dado que la fuerza responsable del movimiento es la de la Ley de Hooke dará lugar a un

movimiento armónico simple de aceleración.

𝐹 = 𝑘𝑥

𝐹 = 𝑚 𝑤2𝑥

𝐾 = 𝑚 𝑤2

o 𝑇 = 2𝜋 √𝑚

𝑘

El periodo del resorte será mayor cuanto mayor sea la masa, oscilará más lentamente y

será menor cuanto mayor sea la constante recuperadora.


CONCLUSIONES

Cuando el resorte se estira o se comprime se aplica una fuerza a este, esta acción es el

trabajo que realiza en el resorte.

La constate de k es la constante de estiramiento de un resorte, un valor que representa

a cada resorte, que se mide en N/m, el cual refleja la fuerza que se aplica al resorte entre

el estiramiento que tiene el mismo.

Como estudio de historia El señor Robert Hooke (1635-1703), encontró que la

deformación y la fuerza elástica eran directamente proporcionales. Fe ∝ Δx. Esto es igual

tanto para los estiramientos o elongaciones como para las compresiones, es decir que el

estiramiento depende de la fuerza que se le aplique al resorte.

RECOMENDACIONES

Cuando se trata de hacer el experimento de resorte de una partícula a pueden salir

diferentes datos si no se tiene distinto tipos de resortes según su estiramiento.

En una diferencia de cálculos de constantes de resorte se puede establecer que la

constante k se toma como un valor único que es utilizado para cualquier tipo de resorte

ya definido en la teoría.

En lo experimental se debe tener cuidado a la hora de manipular el resorte de la partícula

para su movimiento armónico y cálculo de ellos.


BIBLIOGRAFIA

Douglas, G. (2008). Movimiento Armonico simple. En G. Douglas, Fisica Universitaria

para Ciencias e Ingenieria (págs. 416-420). México: Mc Graw Hill.

Semansky, S. &. (2009). Movimiento Armonico Simple. En S. &. Semansky, Física

Universitaria I (págs. 424-428). México: Pearson.

Serway, R. (2008). MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE. En R. Serway, Fisica

Universitaria Volumen I (págs. 456-458). México: Cencage Learning.


25-9-2015

2. CIRCUITO RLC




INTRODUCCIÓN

La física es una ciencia que se desarrolla a distintas escalas: hay descripciones que,

aunque no sean perfectas, permiten entender determinados fenómenos que involucren

ciertas escalas de tamaño o de energía, sin necesidad de utilizar teorías más avanzadas.

Es por ello que a lo largo del tiempo, Físicos con éxitos o con plantear teorías han

realizado investigaciones que mejoren la calidad de vida utilizando un tipo de corriente

diferente, como bien puede ser la corriente directa o alterna, en este caso, se basa en la

corriente alterna y sus componentes, conocer la importancia de cada uno de ellos y del

uso de los transformadores.


OBJETIVOS

OBJETIVOS GENERALES

Estudiar conceptos de la corriente Alterna

Comprender sobre los circuitos LRC y sus componentes.


Conocer la corriente que actúa sobre un transformador.

Aplicar los conocimientos adquiridos en el tema mencionado para la resolución de

problemas del tema.

Definir la Potencia en circuitos de corriente alterna.


CIRCUITOS RLC

George Westinghouse se inclinaba por la corriente alterna (ca), con

voltajes y corrientes que varían en forma sinusoidal. Westinghouse

argumentaba que con la ca se podían usar transformadores (los

cuales estudiaremos en este capítulo) para aumentar y reducir el

voltaje, pero no con cd; los voltajes bajos son más seguros de usar

por los consumidores, pero los altos voltajes y las

correspondientes corrientes bajas son mejores para la

transmisión de energía a grandes distancias para reducir al

mínimo las pérdidas de i2R en los cables. Finalmente prevaleció

el punto de vista de Westinghouse, y en la actualidad la mayoría

de los sistemas de distribución de energía para uso doméstico e

industrial operan con corriente alterna. Cualquier aparato que se

conecte a una toma de pared usa ca, y muchos dispositivos

energizados con baterías, como radios y teléfonos inalámbricos,

emplean la cd que suministran las baterías para crear o amplificar

corrientes alternas. Los circuitos de los equipos modernos de

comunicación, incluidos los localizadores y la televisión, también utilizan ampliamente la

ca.

EL CIRCUITO RLC EN SERIE Un inductor con inductancia L y un resistor de resistencia R están conectados en serie

entre las terminales de un capacitor cargado, para formar un circuito en serie L-R-C.

Como antes, el capacitor comienza a descargarse tan pronto como el circuito está

completo. Pero en virtud de las pérdidas

NIKOLA TESLA Físico estadounidense (1856-1943) Tesla nació en Croacia pero pasó casi toda su vida profesional como inventor en Estados Unidos. Fue una figura clave en el perfeccionamiento de la electricidad de corriente alterna, transformadores de alta tensión y transporte de energía eléctrica mediante líneas de transmisión de CA. El punto de vista de Tesla estuvo en desacuerdo con las ideas de Thomas Edison, quien se dedicó al uso de corriente directa para transmitir energía eléctrica. El método de CA de Tesla ganó.


Muchos de los circuitos de ca usados en sistemas

electrónicos prácticos implican resistencia, reactancia

inductiva y reactancia capacitiva. Un ejemplo sencillo es un

circuito en serie que contiene un resistor, un inductor, un

capacitor y una fuente de ca, como el que se ilustra en la

figura.

En este circuito, en virtud de la regla de Kirchhoff de las

espiras, el voltaje total instantáneo vad entre las terminales

de los tres componentes es igual al voltaje de la fuente en

ese instante. Demostraremos que el fasor que representa este voltaje total es la suma

vectorial de los fasores de los voltajes individuales.

Supongamos que la fuente suministra una corriente 𝑖 dada por 𝑖 = 𝐼 cos 𝜔𝑡. Como los

elementos de circuito están conectados en serie, la corriente en cualquier instante es la

misma en cada punto del circuito. Así, un solo fasor I, con longitud proporcional a la

amplitud de la corriente, representa la corriente en todos los elementos de circuito. Por lo

que se representa los voltajes instantáneos entre los extremos de 𝑅, 𝐿 y 𝐶 mediante los

símbolos 𝑣𝑅 , 𝑣𝐿 𝑦 𝑣𝐶 y los voltajes máximos con los símbolos 𝑉𝑅 , 𝑉𝐿 𝑦 𝑉𝐶. Se denota los

voltajes instantáneos y máximos de la fuente con 𝑣 y 𝑉. Por lo que queda demostrado

que la diferencia de potencial entre las terminales de un resistor está en fase con la

corriente en el resistor y que su valor máximo 𝑉𝑅 está dado por la ecuación:

𝑉𝑅 = 𝐼𝑅


El fasor 𝑉𝑅 en la figura “b” en fase con el fasor de corriente I, representa el voltaje a través

del resistor. Su proyección en el eje horizontal en cualquier instante da la diferencia de

potencial instantánea 𝑣𝑅 .

El voltaje a través de un inductor se adelanta 90º a la corriente. Su amplitud de voltaje

está dada por la ecuación:

𝑉𝐿 = 𝐼𝑋𝐿

El fasor 𝑉𝐿 en la misma figura representa el voltaje a través del inductor, y su proyección

sobre el eje horizontal en cualquier instante es igual a 𝑣𝐿.

El voltaje a través de un capacitor se retrasa 90º con respecto a la corriente. Su amplitud

de voltaje está dada por la ecuación:

𝑉𝐶 = 𝐼𝑋𝐶

El fasor 𝑉𝐶 en la misma figura representa el voltaje a través del capacitor y su proyección

en el eje horizontal en cualquier instante es igual a 𝑣𝑐.

La diferencia de potencial instantánea 𝑣 entre las terminales 𝑎 y 𝑑 es igual en todo

instante a la suma (algebraica) de las diferencias de potencial 𝑣𝑅 , 𝑣𝐿 𝑦 𝑣𝑐. Es decir, es

igual a la suma de las proyecciones de los fasores 𝑉𝑅 , 𝑉𝐿 𝑦 𝑉𝑐 . Pero la suma de las

proyecciones de estos fasores es igual a la proyección de su suma vectorial. Por lo tanto,

la suma de vectores V debe ser el fasor que represente el voltaje de fuente v y el voltaje

total instantáneo 𝑣𝑎𝑑 a través de la serie de elementos.

Para realizar esta suma vectorial primero se resta el fasor 𝑉𝑐 del fasor 𝑉𝐿. (Estos dos

fasores siempre están a lo largo de la misma línea, con sentidos opuestos.) Esto da el


fasor 𝑉𝐿 − 𝑉𝑐, que siempre forma un ángulo recto con el fasor 𝑉𝑅, por lo que, según el

teorema de Pitágoras, la magnitud del fasor V es:

𝑉 = √𝑉𝑅2 + (𝑉𝐿 − 𝑉𝐶)2 = √(𝐼𝑅)2 + (𝐼𝑋𝐿 − 𝐼𝑋𝐶)2 = 𝐼√𝑅2 + (𝑋𝐿 − 𝑋𝐶)2

Se define impedancia “Z” de un circuito de ca como la razón entre la amplitud del voltaje

entre las terminales del circuito y la amplitud de la corriente en el circuito. De la ecuación

anterior, la impedancia del circuito en serie LRC es:

𝑍 = √𝑅2 + (𝑋𝐿 − 𝑋𝐶)2

Por lo tanto:

𝑉 = 𝐼√𝑅2 + (𝑋𝐿 − 𝑋𝐶)2 = 𝐼𝑍

IMPEDANCIA Y ANGULO DE FASE

Impedancia La ecuación es análoga a V = IR, con la impedancia Z de un circuito de ca en el papel de

la resistencia R en un circuito de cd. Así como la corriente directa tiende a seguir la

trayectoria de menor resistencia, la corriente alterna tiende a seguir la trayectoria de

mínima impedancia.

𝑉 = 𝐼√𝑅2 + (𝑋𝐿 − 𝑋𝐶)2 = √𝑅2 + [𝜔𝐿 − (1 𝜔𝐶⁄ )]2


Angulo de Fase

El ángulo entre los fasores de voltaje y de corriente es el ángulo de fase del voltaje de

fuente v con respecto a la corriente i; es decir, es el ángulo con el que el voltaje de fuente

se adelanta a la corriente. De acuerdo con el diagrama,

tan 𝜙 =𝑉𝐿 − 𝑉𝐶

𝑉𝑅=

𝐼(𝑋𝐿 − 𝑋𝐶)

𝐼𝑅=

𝑋𝐿 − 𝑋𝐶

𝑅

tan 𝜙 =𝜔𝐿 − 1 𝜔𝐶⁄

𝑅

POTENCIA EN CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA Para un circuito de ca con corriente instantánea i y amplitud de corriente I,

consideraremos uno de sus elementos a través del cual la diferencia de potencial

instantánea es v, con amplitud de voltaje V. La potencia instantánea p entregada a este

elemento de circuito es

𝑝 = 𝑣𝑖

Primero, se ve lo que significa para los elementos individuales de circuito. Se supone que

en cada caso

𝑖 = 𝐼 cos 𝜔𝑡

Potencia en un Resistor La curva de potencia correspondiente a un resistor es simétrica con respecto a un valor

igual a la mitad de su valor máximo VI, así que la potencia media Pmed es:

𝑃𝑚𝑒𝑑 =1

2𝑉𝐼


Potencia de un Inductor A continuación, conectamos la fuente a un inductor L, como en la figura “a”. El voltaje v

= vL se adelanta 90° a la corriente. Cuando se multiplican las curvas de v e i, el producto

vi es negativo durante la mitad del ciclo cuando v e i tienen signos opuestos. La curva de

potencia, que se aprecia en la figura “b”, es simétrica con respecto al eje horizontal; es

positiva la mitad del tiempo y negativa la otra mitad, y la potencia media es igual a cero.

Cuando p es positiva, la energía se suministra para establecer el campo magnético en el

inductor; cuando p es negativa, el campo desaparece y el inductor devuelve energía a la

fuente. La transferencia neta de energía en un ciclo es igual a cero.

(Semansky, 2009)

Potencia de un Capacitor

Por último, conectamos la fuente a un capacitor C, como en la figura “a”. El voltaje v = vC

se retrasa 90° con respecto a la corriente. La figura “c” muestra la curva de la potencia;

de nuevo, la potencia media es igual a cero. Se suministra energía para cargar el

capacitor y se devuelve a la fuente cuando el capacitor se descarga. La transferencia

neta de energía en un ciclo es, una vez más, igual a cero.

Potencia de un Circuito de “ca” En cualquier circuito de ca, con cualquier combinación de resistores, capacitores e

inductores, el voltaje v a través de todo el circuito tiene un ángulo de fase con respecto

a la corriente i. Así, la potencia instantánea p está dada por:

𝑝 = 𝑣𝑖


El valor medio de cosωtsenωt es cero porque este producto es igual a ½ sen2ωt, cuyo

promedio en un ciclo es cero. Por lo tanto, la potencia media Pmed es:

𝑃𝑚𝑒𝑑 = 1

2𝑉𝐼 cos 𝜙 = 𝑉𝑅𝑀𝑆𝐼𝑅𝑀𝑆 cos 𝜙

RESONANCIA EN LOS CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA Gran parte de la importancia práctica de los circuitos L-R-C en serie estriba en la forma

en que tales circuitos responden a las fuentes de diferente frecuencia angular. Por

ejemplo, un tipo de circuito sintonizador usado en los receptores de radio es simplemente

un circuito L-R-C en serie. Una señal de radio de cualquier frecuencia dada produce una

corriente de la misma frecuencia en el circuito receptor, pero la amplitud de la corriente

es máxima si la frecuencia de la señal es igual a la frecuencia particular a la cual se

“sintoniza” el circuito receptor. Este efecto se llama resonancia.

Comportamiento de un circuito en Resonancia A medida que varía la frecuencia angular ω de la fuente, la amplitud de corriente I =V/Z

se modifica; el valor máximo de I se presenta a la frecuencia a la que la impedancia Z es

mínima. Este crecimiento máximo de la amplitud de corriente a cierta frecuencia se llama

resonancia. La frecuencia angular ω0 a la que se presenta el máximo de resonancia se

denomina frecuencia angular de resonancia. Ésta es la frecuencia angular a la que las

reactancias inductiva y capacitiva son iguales; por lo tanto, en la resonancia,

𝜔0 =1

√𝐿𝐶


TRANSFORMADORES (Douglas, 2008)Una de las grandes ventajas de la ca sobre la cd en la distribución de

energía eléctrica es que es mucho más fácil subir y bajar los voltajes con la ca que con

la cd. Para la transmisión a grandes distancias es deseable usar un voltaje tan elevado y

una corriente tan pequeña como sea posible; esto reduce las pérdidas de i2R en las líneas

de transmisión, y permite utilizar alambres delgados, con lo cual se reducen los costos

de los materiales. Las líneas de transmisión actuales operan de manera rutinaria con

voltajes eficaces del orden de 500 kV. Por otro lado, consideraciones de seguridad y

requerimientos de aislamiento imponen voltajes relativamente bajos en el equipo de

generación y en las líneas de distribución domésticas e industriales. El voltaje estándar

para el cableado doméstico es de 120 V en Estados Unidos y Canadá, y de 240 V en

muchos otros países. La conversión necesaria del voltaje se lleva a cabo por medio de

transformadores.

El símbolo de un transformador con núcleo de hierro en un circuito, como los que se usan

en los sistemas de distribución, es:

La fuente de ca ocasiona una corriente alterna en el primario, lo que establece un flujo

alterno en el núcleo; esto induce una fem en cada devanado, de acuerdo con la ley de

Faraday.

La fem inducida en el secundario da lugar a una corriente alterna en el secundario, y esto

entrega energía al dispositivo al que está conectado el secundario. Todas las corrientes

y las fem tienen la misma frecuencia que la fuente de ca.


La razón entre la fem secundaria 2 y la fem primaria 1 es, por lo tanto, igual en cualquier

instante a la razón entre las espiras del secundario y las espiras del primario:

휀2

휀1=

𝑁2

𝑁1

Las fem inducidas 1 y 2 son iguales a los voltajes entre terminales a través del primario

y el secundario, respectivamente; por lo tanto,

𝑉2

𝑉1=

𝑁2

𝑁1

(Semansky, 2009)


CONCLUSIONES

Un alternador o fuente de ca produce una fem que varía en forma sinusoidal con el

tiempo. Un voltaje o corriente sinusoidal se puede representar mediante un fasor, que es

un vector que gira en sentido antihorario con velocidad angular constante v igual a la

frecuencia angular de la cantidad sinusoidal. Su proyección sobre el eje horizontal en

cualquier instante representa el valor instantáneo de la cantidad

El voltaje entre las terminales de un resistor R está en fase con la corriente. El voltaje

entre las terminales de un inductor L se adelanta a la corriente en 90°

En un circuito de ca general, las amplitudes del voltaje y la corriente están relacionadas

mediante la impedancia del circuito Z.

Un transformador se utiliza para transformar los niveles de voltaje y de corriente en un

circuito de ca.

RECOMENDACIONES

La corriente alterna presenta ventajas decisivas de cara a la producción y transporte de

la energía eléctrica, respecto a la corriente continua: Generadores y motores más baratos

y eficientes, y menos complejos, posibilidad de transformar su tensión de manera simple

y barata (transformadores), también en la posibilidad de transporte de grandes

cantidades de energía a largas distancias con un mínimo de sección de conductores ( a

alta tensión), los motores muy simples, (como el motor de inducción asíncrono de rotor

en cortocircuito) y la reducción de algunos fenómenos eléctricos indeseables

(magnetización en las maquinas, y polarizaciones y corrosiones electrolíticas en pares

metálicos).


BIBLIOGRAFÍA

Douglas, G. (2008). CORRIENTE ALTERNA. En G. Douglas, Fisica Universitaria para

Ciencias e Ingenieria II (págs. 416-420). México: Mc Graw Hill.

Semansky, S. &. (2009). Corriente Alterna. En S. &. Semansky, Física Universitaria II

(págs. 424-428). México: Pearson.

Serway, R. (2008). CORRIENTE ALTERNA. En R. Serway, Fisica Universitaria Volumen

II (págs. 456-458). México: Cencage Learning.


25-9-2015

3. FLUIDOS Y FLUJOS IDEALES




OBJETIVOS

OBJETIVOS GENERALES

Estudiar la importancia de los fluidos y flujos ideales

Comprender la importancia de las ecuaciones de continuidad de Bernoulli para los

fluidos ideales y sus aplicaciones


Comprender la importancia de un flujo y el fluido ideal

Diferenciar el flujo laminar contra el flujo de fluido turbulento.

Conocer la rapidez del flujo en un tubo.

Utilizar la ecuación de Bernoulli para relacionar la presión y la rapidez de flujo en

diferentes puntos de ciertos fluidos


FLUIDOS Y FLUJOS IDEALES

Se debe considerar el movimiento de un fluido. El flujo de fluidos suele ser

extremadamente complejo, como se aprecia en las corrientes de los rápidos de los ríos

o en las flamas de una fogata, pero algunas situaciones se pueden representar con

modelos idealizados relativamente simples. Un fluido ideal es incompresible (su densidad

no puede cambiar) y no tiene fricción interna (llamada viscosidad). Los líquidos son

aproximadamente incompresibles en casi todas las situaciones, y también podemos tratar

un gas como incompresible si las diferencias de presión de una región a otra no son muy

grandes. La fricción interna en un fluido causa esfuerzos de corte cuando dos capas

adyacentes de fluido se mueven una en relación con la otra, como cuando un fluido fluye

dentro de un tubo o alrededor de un obstáculo. En algunos casos, se puede despreciar

estas fuerzas de corte en comparación con las fuerzas debidas a la gravedad y a

diferencias de presión.

El trayecto de una partícula individual en un fluido en movimiento se llama línea de flujo.

Si el patrón global de flujo no cambia con el tiempo, entonces tenemos un flujo estable.

En un flujo estable, cada elemento que pasa por un punto dado sigue la misma línea de

flujo. En este caso, el “mapa” de las velocidades del fluido en distintos puntos del espacio

permanece constante, aunque la velocidad de una partícula específica pueda cambiar

tanto en magnitud como en dirección durante su movimiento. Una línea de corriente es

una curva cuya tangente en cualquier punto tiene la

dirección de la velocidad del fluido en ese punto. Si el

patrón de flujo cambia con el tiempo, las líneas de corriente

no coinciden con las de flujo. Se considera sólo situaciones

de flujo estable, en las que las líneas de flujo y las de

corriente son idénticas.

Las líneas de flujo que pasan por el borde de un elemento de área imaginario, como el

área A en la figura, forman un tubo llamado tubo de flujo. De acuerdo con la definición de

línea de flujo, si el flujo es estable, el fluido no puede cruzar las paredes laterales de un

tubo de flujo; los fluidos de diferentes tubos de flujo no pueden mezclarse.


Se puede distinguir dos tipos principales de

flujo. Si el flujo es suave, de manera que las

capas vecinas del fluido se deslizan entre sí

suavemente, se dice que el flujo es

aerodinámico o laminar. En este tipo de flujo,

cada partícula del fluido sigue una trayectoria

uniforme, llamada línea de flujo, y esas

trayectorias no se cruzan entre sí (figura a).

Más allá de cierta rapidez, el flujo se vuelve turbulento. El flujo turbulento se caracteriza

por torbellinos pequeños y erráticos llamados remolinos (figura b).

Los remolinos absorben una gran cantidad de energía y aunque incluso en el flujo laminar

está presente una cierta cantidad de fricción interna, llamada viscosidad, ésta es mucho

mayor cuando el flujo es turbulento. Unas cuantas gotas de tinta o de colorante

derramadas en un líquido revelarán de inmediato si el flujo es laminar o turbulento.

ECUACIÓN DE CONTINUIDAD

Se considera el flujo laminar estable de un fluido a través de un tubo cerrado como se

ilustra en la figura. Primero se determina cómo cambia la rapidez del fluido con el tamaño

del tubo. La tasa de flujo de masa (o flujo másico) se define como la masa ∆𝑚 de fluido

que pasa por un punto dado por unidad de tiempo ∆𝑡:

𝑡𝑎𝑠𝑎 𝑑𝑒 𝑓𝑙𝑢𝑗𝑜 𝑑𝑒 𝑚𝑎𝑠𝑎 = ∆𝑚

∆𝑡


En la figura, el volumen de fluido que pasa por el punto 1 (es decir, por el área 𝐴1) en un

tiempo ∆𝑡 es 𝐴1∆ℓ1, donde ∆ℓ1 es la distancia que el fluido se desplaza en el tiempo ∆𝑡.

Como la velocidad del fluido que pasa por el punto 1 es 𝑣1 = ∆ℓ1/∆𝑡, la tasa de flujo de

masa que pasa por el área 𝐴1 es

∆𝑚1

∆𝑡=

𝜌1∆𝑉1

∆𝑡=

𝜌1𝐴1∆ℓ1

∆𝑡= 𝜌1𝐴1𝑣1

Donde ∆𝑉1 = 𝐴1∆ℓ1 es el volumen de la masa ∆𝑚1, y 𝜌1 es la densidad del fluido. De

forma similar, en el punto 2 (a través del área 𝐴2), la tasa de flujo es 𝜌2𝐴2𝑉2. Como ningún

fluido fluye por los lados, las tasas de flujo por 𝐴1 y 𝐴2 deben ser iguales. Por lo tanto,

como:

∆𝑚1

∆𝑡=

∆𝑚2

∆𝑡,

Tenemos

𝜌1𝐴1𝑣1 = 𝜌2𝐴2𝑣2

Ésta es la ecuación de continuidad.

Si el fluido es incomprensible (𝜌 no cambia con la presión), lo que es una aproximación

excelente para líquidos en la mayoría de los casos (y a veces también para gases),

entonces 𝜌1 = 𝜌2, y la ecuación de continuidad toma la forma

𝐴1𝑣1 = 𝐴2𝑣2 (𝜌 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒)

El producto 𝐴𝑣 representa la tasa de flujo de volumen (es decir, el volumen de fluido que

pasa por un punto dado por segundo), ya que ∆𝑉 ∆𝑡⁄ = 𝐴 ∆ℓ ∆𝑡⁄ = 𝐴𝑣, que en unidades

del SI es 𝑚3 𝑠⁄ . La ecuación anterior nos dice que donde el área transversal es grande,

la velocidad es pequeña, y donde el área es pequeña la velocidad es grande. Esto es

razonable y se comprueba al observar la corriente de un río, la cual fluye lentamente en

la pradera (donde el río es ancho) y aumenta su rapidez al pasar por una cañada

estrecha.


ECUACIÓN DE BERNOULLI Para esclarecer del por qué un avión puede volar o por qué un bote de vela puede

desplazarse en contra del viento, son ejemplos del principio que descubrió Daniel

Bernoulli, en relación con los fluidos en movimiento. En esencia, el principio de Bernoulli

establece que donde la velocidad de un fluido es alta, la presión es baja, y donde la

velocidad es baja, la presión es alta. Por ejemplo, un fluido con mayor rapidez ejercería

una mayor fuerza sobre un obstáculo que se interpusiera en su trayecto. Sin embargo,

esto no es lo que se quiere decir al referirse a la presión en un fluido y, además, no se

considera los obstáculos que interrumpen el flujo.

Bernoulli desarrolló la ecuación que expresa este

principio de forma cuantitativa. para obtener la

ecuación de Bernoulli, se supone que el flujo es

estable y laminar, que el fluido es incomprensible

y que la viscosidad es muy pequeña, de manera

que se puede ignorar. Para generalizar, se

supone que el fluido se mueve en un tubo de

sección transversal no uniforme que varía de

altura con respecto a un nivel de referencia dado.

Se considera la cantidad de fluido y se calcula el

trabajo efectuado para moverlo desde la posición

indicada en la figura "a" a la posición representada

en la figura "b". Este proceso, el fluido que entra

por el área 𝐴1 fluye una distancia ∆ℓ1 y obliga al fluido en el area 𝐴2 a moverse una

distancia ∆ℓ2. El fluido a la izquierda del área 𝐴1 ejerce una presión 𝑃1 sobre la sección

de fluido y efectúa un trabajo.

𝑊1 = 𝐹1∆ℓ1 = 𝑃1𝐴1∆ℓ1


En el área 𝐴2, el trabajo efectuado sobre nuestra sección de fluido es

𝑊2 = −𝑃2𝐴2∆ℓ2

El signo negativo está presente porque la fuerza ejercida sobre el fluido es opuesta al

movimiento (el fluido mostrado en color efectúa trabajo sobre el fluido a la derecha del

punto 2). También la fuerza de gravedad efectúa trabajo sobre el fluido. Como el efecto

neto del proceso mostrado en la figura es mover una masa 𝑚 de volumen

𝐴1∆ℓ1 (= 𝐴2∆ℓ2, ya que el fluido es incompresible) del punto 1 al punto 2, el trabajo que

realiza la gravedad es

𝑊3 = −𝑚𝑔(𝑦2 − 𝑦1)

Donde 𝑦2 y 𝑦1 son las alturas del centro del tuo arriba de un nivel de referencia arbitrario.

En el caso mostrado en la figura, este término es negativo ya que el movimiento es

ascendente, contra la fuerza de gravedad. El trabajo neto 𝑊 efectuado sobre el fluido es:

𝑊 = 𝑊1 + 𝑊2 + 𝑊3

𝑊 = 𝑃1𝐴1∆ℓ1 − 𝑃2𝐴2∆ℓ2 − 𝑚𝑔𝑦2 + 𝑚𝑔𝑦1

De acuerdo con el principio del trabajo y la energía, el trabajo neto efectuado sobre un

sistema es igual al cambio de su energía cinética. Así:

1

2𝑚𝑣2

2 −1

2𝑚𝑣1

2 = 𝑃1𝐴1∆ℓ1 − 𝑃2𝐴2∆ℓ2 − 𝑚𝑔𝑦2 + 𝑚𝑔𝑦1

La masa 𝑚 tiene un volumen 𝐴1∆ℓ1 = 𝐴2∆ℓ2 para un fluido incompresible. Se puede

sustituir 𝑚 = 𝜌𝐴1∆ℓ1 = 𝜌𝐴2∆ℓ2 y taibmén dividir entre 𝐴1∆ℓ1 = 𝐴2∆ℓ2, para obtener:

1

2𝜌𝑣2

2 −1

2𝜌𝑣1

2 = 𝑃1 − 𝑃2 − 𝜌𝑔𝑦2 + 𝜌𝑔𝑦1

Que reordenando para darle la forma

𝑃1 +1

2𝜌𝑣1

2 + 𝜌𝑔𝑦1 = 𝑃2 +1

2𝜌𝑣2

2 + 𝜌𝑔𝑦2


Ésta es la ecuación de Bernoullli. Como los puntos 1 y 2 pueden ser dos puntos

cualesquiera a lo largo de un tubo de flujo, la ecuación de Bernoulli se puede escribir

como

𝑃 +1

2𝜌𝑣2 + 𝜌𝑔𝑦 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒

La ecuación de Bernoulli es una expresión de la ley de la conservación de la energía, ya

que se obtuvo a partir del principio del trabajo y la energía.

APLICACIONES

Medidor Venturi Un tubo de Venturi es, en esencia, un tubo con una constricción estrecha (la garganta).

El flujo del aire se acelera al pasar por esta constricción, por lo que la presión es menor.

Un medidor Venturi (figura) sirve para medir la rapidez de flujo de gases y líquidos,

incluida la velocidad de la sangre en las arterias. Ejemplo de ello cuando el humo sube

por una chimenea y se debe en parte a que el aire caliente se eleva (es menos denso y,

por lo tanto, flota), aunque el principio de Bernoulli también desempeña un papel. Cuando

el viento sopla a través de la parte superior de una chimenea, la presión es menor ahí

que dentro de la casa. Por consiguiente, el aire y el humo son empujados hacia arriba a

lo largo de la chimenea por la presión más alta en el interior. Aun en una noche

aparentemente quieta, por lo general hay suficiente flujo del aire ambiental en la parte

superior de la chimenea para ayudar al flujo ascendente del humo.


Tubo de Pitot El tubo pitot es un medidor de flujo. Son

instrumentos sencillos, económicos y disponibles

en un amplio margen de tamaños. Es uno de los

medidores más exactos para medir la velocidad

de un fluido dentro de una tubería. Su instalación

simplemente consiste en un simple proceso de

ponerlo en un pequeño agujero taladrado en la

tubería. El tubo Pitot tiene sección circular y generalmente doblado en L. Consiste en un

tubo de pequeño diámetro con una abertura delantera, que se dispone contra una

corriente o flujo de forma que su eje central se encuentre en paralelo con respecto a la

dirección de la corriente para que la corriente choque de forma frontal en el orificio del

tubo.

Los manómetros de tubo de Pitot es un instrumento elemental para la medición de

velocidades de flujo de gases o de aire en canales. Los manómetros de tubo de Pitot son

una derivación de los clásicos tubos Prandtl, una combinación de tubo de Pitot para medir

la presión total y una sonda de medición de la presión estática. Estrechamente

relacionados con los manómetros surgen los anemómetros para medir velocidades de

flujo. La ventaja de los manómetros de tubo de Pitot frente a otros métodos de medición

consiste en el hecho de que un orificio relativamente pequeño sobre la pared del canal

en las zonas más importantes del recorrido es suficiente para realizar en cualquier

momento una medición rápida de la velocidad de flujo. Además, podrá utilizarlos a altas

temperaturas y a velocidades de flujo muy elevadas (hasta 120 m/s dependiendo del

modelo).


Botes de Vela Un bote de vela se puede mover contra el viento,

gracias al efecto Bernoulli, si las velas se colocan

en ángulo, como se observa en la figura. El aire

viaja rápidamente sobre la superficie frontal

abultada de la vela, y el aire relativamente quieto

detrás de la vela ejerce una presión mayor, lo que

da por resultado una fuerza neta sobre la vela,

�⃗�𝑣𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 Esta fuerza tendería a mover el bote hacia

los lados si no fuera por la quilla que se extiende verticalmente hacia abajo dentro del

agua, pues el agua ejerce una fuerza �⃗�𝑎𝑔𝑢𝑎 sobre la quilla casi en forma perpendicular a

ésta. La resultante de estas dos fuerzas �⃗�𝑅 es casi directamente hacia delante, como se

muestra.


CONCLUSIONES

Un fluido ideal es incomprensible y no tiene fricción interna (viscosidad).

Una linea de flujo es la trayectoria de una partícula de fluido.

Hay dos clases de flujos, en flujo laminar, las capas de fluido se deslizan suavemente

unas sobre otras. En flujo turbulento, hay gran desorden y el patrón de flujo cambia

constantemente.

La conservación de la masa en un fluido incompresible se expresa con la ecuación de

continuidad, la cual relaciona las rapideces de flujo, para dos secciones transversales de

un tubo flujo.

La ecuación de Bernoulli relaicona la presión p, la rapidez de flujo, la altura y de dos

puntos.

Un tubo de Pitot o tubo de remanso opera según las bases de la dinámica de fluidos y es

un ejemplo clásico para la aplicación práctica de las ecuaciones de Bernoulli.

El medidor Venturi sirve para medir la rapidez de flujo de gases y líquidos

RECOMENDACIONES

Tomar en cuenta el área de la sección transversal del tubo, ya que la ecuación de

continuidad establece que para un fluido incompresible que fluye en un tubo cerrado, el

producto de la velocidad del flujo y el área de la sección transversal del tubo permanece

constante.

Tomar en cuenta la viscosidad de un fluido, ya que la fricción es una fuerza entre capas

adyacentes de fluido cuando estas se mueven una sobre otra.


BIBLIOGRAFÍA

Douglas, G. (2008). MECANICA DE FLUIDOS. En G. Douglas, Fisica Universitaria para

Ciencias e Ingenieria II (págs. 350-361). México: Mc Graw Hill.

Semansky, S. &. (2009). MECANICA DE FLUIDOS. En S. &. Semansky, Física

Universitaria II (págs. 456-464). México: Pearson.

Bueche, F. (2007). FLUIDOS EN MOVIMIENTO. En R. Schaum, Fisica Universitaria

(págs. 142-143). México: McGrawHill.


25-9-2015

4. EL NÚCLEO ATÓMICO




INTRODUCCIÓN

Durante el siglo pasado, las aplicaciones de la física nuclear han tenido efectos inmensos

sobre la especie humana; algunos fueron benéficos y otros catastróficos. Muchas

personas tienen opiniones muy firmes sobre ciertas aplicaciones como bombas y

reactores.

Cada átomo contiene en su centro un núcleo extremadamente denso con carga positiva

que es mucho más pequeño que el tamaño general del átomo, se describirá las

propiedades, la estabilidad e inestabilidad, la energía y fuerzas de enlace y los modelos

atómicos utilizados mayormente.


OBJETIVOS

OBJETIVOS GENERALES

Conocer la importancia del núcleo atómico

Establecer las propiedades de los núcleos atómicos


Definir la energía de enlace de un núcleo

Conocer las fuerzas nucleares.

Describir los modelos más utilizados


EL NÚCLEO ATÓMICO

El núcleo atómico consiste en dos tipos de nucleones: protones y neutrones. Estos

nucleones se mantienen unidos por una interacción fuerte. Sin embargo, no todas las

combinaciones de protones y neutrones son posibles, debido a las limitaciones

impuestas por la interacción fuerte, la interacción de Coulomb y la mecánica cuántica.

ISÓTOPOS El número de protones, 𝑍, dentro del núcleo determina el elemento que se forma. 𝑍 Es

el número de carga, que a veces también es llamado número atómico. Para un

elemento dado, son posibles los números diferentes de neutrones, 𝑁. Núcleos del

mismo elemento con diferentes números de neutrones se llaman isótopos. El número

total de protones y neutrones combinados se llama número másico, 𝐴

𝐴 = 𝑍 + 𝑁

Son átomos que tienen el mismo número atómico (𝑍) pero diferentes números de

masa (𝐴).

Como ejemplo se puede considerar los dos isótopos del vanadio: 50

23 V y 51

23 V

Las composiciones atómicas de estos isótopos son:

50

23 V 23 protones 23 electrones 27 neutrones 51

23 V 23 protones 23 electrones 28 neutrones

Nótese que ambos átomos tienen 23 protones y 23 electrones, pero difieren en el

número de neutrones en el núcleo, lo cual significa que tienen masas atómicas

distintas.


FUERZAS NUCLEARES

Fuerza Nuclear Fuerte Para los núcleos estables una nueva fuerza es más fuerte que la fuerza eléctrica, se

le llamó fuerza nuclear fuerte. La fuerza nuclear fuerte es una fuerza de atracción que

actúa entre todos los nucleones, protones y neutrones por igual. Así, los protones se

atraen mutuamente mediante la fuerza nuclear fuerte al mismo tiempo que se repelen

unos a otros mediante la fuerza eléctrica. Los neutrones, en virtud de que son

eléctricamente neutros, sólo atraen a otros neutrones o protones mediante la fuerza

nuclear fuerte. Esta fuerza es mucho más complicada, ya que es una fuerza de corto

alcance, porque solo actúa sobre distancias cortas. Es muy fuerte entre dos nucleones

si están separadas aproximadamente a 10-15 m, pero en esencia es cero si está

separados por una distancia mayor que esta. Un núclido contiene demasiados o muy

pocos neutrones en relación con el número de protones, el enlace de los nucleones se

reduce; los núclidos que están muy desequilibrados en este aspecto son inestables.

Fuerza Nuclear Débil Cabe mencionar que hay un segundo tipo de fuerza nuclear que es mucho más débil

que la fuerza nuclear fuerte. Se llama fuerza nuclear débil, y uno está al tanto de su

existencia sólo porque se manifiesta en ciertos tipos de decaimiento radiactivo. Estas

dos fuerzas nucleares, la fuerte y la débil, junto con las fuerzas gravitacional y

electromagnética, comprenden las cuatro fuerzas básicas de la naturaleza, es decir es

para los núcleos inestables en donde se separa, y esto da por resultado el decaimiento

radioactivo.

ENERGÍA DE ENLACE Como se mencionó en el análisis del 12C de la sección anterior, la masa total de un

núcleo es inferior a la suma de las masas de sus nucleones individuales. Por lo tanto,

la energía de reposo del sistema ligado (el núcleo) es inferior a la energía de reposo

combinada de los nucleones independientes. Esta diferencia en energía se conoce

como la energía de enlace del núcleo y se puede interpretar como la energía que debe

agregarse a un núcleo para que se separe en sus componentes. Por lo tanto, a fi n de

poder separar un núcleo en protones y neutrones, debe entregársele energía al

sistema.


La correspondencia de la conservación de energía y la equivalencia einsteniana de

masa–energía muestran que la energía de enlace 𝐸𝑏 de cualquier núcleo de masa 𝑀𝐴

es:

𝐸𝑏(𝑀𝑒𝑉) = [𝑍𝑀(𝐻) + 𝑁𝑚𝑛 − 𝑀 (𝐴𝑍

𝑋)] × 931.494 𝑀𝑒𝑉/𝑢

donde 𝑀(𝐻) es la masa atómica del átomo de hidrógeno neutro, 𝑀 (𝐴𝑍

𝑋) representa la

masa atómica de un átomo del isótopo 𝐴𝑍

𝑋, 𝑚𝑛 es la masa del neutrón y todas las

masas están en unidades de masa atómica. La masa de los 𝑍 electrones incluidos en

𝑀(𝐻) se cancelan con la masa de los 𝑍 electrones incluidos en el término 𝑀 (𝐴𝑍

𝑋)

dentro de una pequeña diferencia asociada con la energía de enlace atómico de los

electrones.

NÚMEROS CUÁNTICOS El modelo mecánico-ondulatorio describe cada electrón en términos de cuatro

números cuánticos. Estos números permiten calcular la energía del electrón y predecir

el área alrededor del núcleo donde se puede encontrar el electrón. Estos números

son:

Número cuántico principal (n)

Este número cuántico relaciona la magnitud del volumen ocupado por la región

espacio-energética de manifestación probabilística electrónica (reempe), donde se

localiza el electrón diferencial. Determina casi exclusivamente la energía del orbital en

sistemas de un solo electrón, y aún es el determinante principal de la energía en

sistemas polielectrónicos.

Puede tener cualquier valor entero positivo; para los elementos conocidos en la

actualidad, los valores van de n=1 a n=7. La capa n=1 es la más cercana al núcleo y

tiene la menor energía. Los electrones que tienen un valor dado de n se dice que

están en la misma capa. Las capas se designan por letras mayúsculas, sin embargo


se prefiere el uso de números enteros para designarlas, sus correspondientes valores

se presentan en la siguiente tabla:

n 1 2 3 4 5 6 7

Designación K L M N O P Q

Número cuántico de momento angular ( l )

Anteriormente denominado auxiliar, adicional, secundario (por mala traducción),

subsidiario o azimutal (según los conceptos de Sommerfeld). Este número determina

el subnivel o subcapa dentro del nivel principal de energía. Indica la forma de la nube

electrónica (reempe) u orbital, alrededor del núcleo.

Puede tomar cualquier valor entero desde 0 hasta n – 1 . Sus valores pueden

calcularse por una relación sencilla: l = n - 1 pudiéndose obtener valores como 0

, 1 , 2 , 3 , . . . , n – 1 .

Por razones históricas, los orbitales con un valor dado de l se designan mediante una

letra minúscula característica.

l 0 1 2 3 4

Designación s p d f g

Los orbitales atómicos se encuentran en el espacio alrededor del núcleo en un orden

definido que corresponde a un conjunto de niveles de energía discretos. Estos

orbitales difieren en tamaño y en forma así como en energía. Los orbitales atómicos

se designan 1s, 2s, 2p, 3s, 3p, 3d, etc. Aquellos con la designación menor están más

cerca del núcleo y son inferiores en energía.

Número cuántico magnético ( ml )

Representa la orientación angular de los orbitales en el espacio. Cada subnivel consta

de uno o más orbitales electrónicos, y el número cuántico magnético describe el

número de orbitales de determinada clase en cada nivel principal de energía.


Puede tomar cualquier valor entero desde - l hasta + l , incluyendo cero. Esta

regla da el número correcto de orbitales: 2 l + 1 .

Número cuántico por spin ( m s )

Se relaciona con la posibilidad de que una reempe ya previamente ocupada por un

electrón, acepte o no al electrón diferencial. Este parámetro describe la orientación

de giro del electrón y sólo puede adquirir dos valores: el que permite la aceptación

del electrón diferencial y el que no la permite.

Se acostumbra anotar estos valores como + ½ ó - ½ . Las dos orientaciones

generalmente se designan por flechas las cuales representan el giro del electrón,

en dirección de las manecillas del reloj y en dirección contraria

Para describir este nuevo número cuántico, es

conveniente (pero técnicamente incorrecto) pensar

en el electrón como si estuviera girando alrededor

de su eje mientras orbita alrededor del núcleo. Sólo

existen dos direcciones para el espín del electrón,

como se ilustra en la figura. Si la dirección del espín

es como la que se muestra en la figura a, se dice

que el electrón gira hacia arriba. Si la dirección del

espín es como la que se muestra en la figura b, se

dice que el electrón gira hacia abajo. En presencia de un campo magnético, la energía

del electrón es ligeramente diferente para las dos direcciones del espín, y esta

diferencia explica el doblete de sodio.

MOMENTUM ANGULAR Y EL SPIN Para introducir el concepto de espín del electrón comencemos con una analogía. La

Tierra describe una órbita casi circular en torno al Sol y, al mismo tiempo, gira sobre

su eje. Cada movimiento tiene su cantidad de movimiento angular asociada, que son

cantidades de movimiento angulares orbital y espín, respectivamente. La cantidad de

movimiento angular total de la Tierra es la suma vectorial de ambas. Si hubiera que

modelar a la Tierra como un punto único, no tendría momento de inercia con respecto


a su eje de giro ni, en consecuencia, tendría cantidad de movimiento angular espín.

Pero si se incluye el tamaño finito de la Tierra en el modelo, se hace posible la cantidad

de movimiento angular espín.

En el modelo de Bohr, suponga que el electrón no sólo es una carga puntual, sino una

esfera giratoria pequeña que describe su órbita. Entonces, el electrón no sólo tiene

cantidad de movimiento angular orbital, sino también cantidad de movimiento angular

espín asociada con la rotación de su masa en torno a su eje. La esfera tiene una carga

eléctrica, por lo que el movimiento giratorio causa espiras de corriente, y un momento

magnético. En un campo magnético, el momento magnético espín tiene una energía

de interacción además de la del momento magnético orbital. Ésta y otras pruebas

experimentales han demostrado en forma concluyente que el electrón sí tiene una

cantidad de movimiento angular espín y un momento magnético espín, que no

dependen de su movimiento orbital sino que son intrínsecos del electrón mismo.

MODELOS NUCLEARES Los detalles de las fuerzas nucleares siguen siendo un área de investigación activa.

Se han propuesto varios modelos nucleares, resultando éstos útiles para la

comprensión de las características generales de los datos experimentales nucleares y

de los mecanismos responsables para la energía de enlace. Dos de estos modelos, el

modelo de gota de líquido y el modelo de capa se explican enseguida.

Modelo de gota líquida En el año de 1936 Bohr propuso tratar los nucleones

como si fueran moléculas en una gota de líquido. En este

modelo de gota de líquido, los nucleones interactúan con

fuerza entre sí y se someten a colisiones frecuentes

conforme zigzaguean de un lugar a otro dentro del

núcleo. Este movimiento de zigzagueo es similar al

movimiento de agitación térmica de las moléculas en una gota de líquido.

Cuatro efectos principales tienen influencia en la energía de enlace del núcleo en el

modelo de gota de líquido:


El efecto de volumen. La figura muestra que, para 𝐴 > 50, la energía de enlace por

cada nucleón es aproximadamente constante, esto indica que la fuerza nuclear de un

nucleón dado se debe únicamente a unos cuantos de sus vecinos más cercanos y no

a todos los otros nucleones que existen en el núcleo. En tal caso, en promedio, la

energía de enlace asociada con la fuerza nuclear para cada nucleón es la misma en

todos los núcleos: asociada a la interacción con unos cuantos vecinos. Esta propiedad

indica que la energía de enlace total del núcleo es proporcional a 𝐴 y, por lo tanto, al

volumen nuclear. La contribución de la energía de enlace a todo el núcleo es igual a

𝐶1𝐴, donde 𝐶1 es una constante ajustable que puede ser determinada si se hace

coincidir la predicción de un modelo con los resultados experimentales.

El efecto superficie. Porque los nucleones de la superficie de la gota tienen menos

vecinos que los del interior, los nucleones superficiales reducen la energía de enlace

en una cantidad proporcional a su número. Ya que el número de nucleones

superficiales es proporcional al área de la superficie 4𝜋𝑟2 del núcleo (modelado como

esfera), y porque 𝑟2 ∝ 𝐴2 3⁄ , el término de la superficie se puede expresar de la forma

−𝐶2𝐴2 3⁄ , donde 𝐶2 es una segunda constante ajustable.

El efecto de repulsión de Coulomb. Cada protón repele a los otros protones del núcleo.

La energía potencial correspondiente por cada par de protones de interacción es igual

a 𝑘𝑒𝑒 2/𝑟, siendo 𝑘𝑒 la constante de Coulomb. La energía potencial eléctrica total es

equivalente al trabajo requerido para ensamblar 𝑍 protones, inicialmente separados

por una distancia infinita, en una esfera de volumen 𝑉. Esta energía es proporcional al

número de pares de protones 𝑍(𝑍 − 1)/2 y es inversamente proporcional al radio

nuclear. En consecuencia, la reducción en la energía de enlace resultante debida al

efecto de Coulomb es igual a −𝐶3𝑍(𝑍 − 1)/𝐴1 3⁄ , donde 𝐶3 es también otra constante

ajustable.

El efecto de simetría. Otro efecto que reduce la energía de enlace está relacionado

con la simetría del núcleo en función de valores 𝑁 y 𝑍. Para valores pequeños de A,


los núcleos estables se inclinan a tener 𝑁 ≈ 𝑍. Cualquier asimetría de importancia

entre 𝑁 y 𝑍 para núcleos ligeros reduce la energía de enlace y hace que el núcleo sea

menos estable. Para 𝐴 más grandes, el valor de 𝑁 para núcleos estables naturalmente

es mayor que 𝑍. Este efecto puede ser descrito por un término de energía de enlace

de la forma −𝐶4(𝑁 − 𝑍)2/𝐴, siendo 𝐶4 otra constante ajustable. Para 𝐴 pequeñas,

cualquier asimetría de importancia entre los valores de 𝑁 y de 𝑍 hace que este término

sea relativamente grande y reduzca la energía de enlace. Para valores 𝐴 grandes, este

término reduce su valor de manera que causa poco efecto en la energía de enlace

global.

Si suma estas contribuciones, llega a una expresión para la energía de enlace total.

𝐸𝑏 = 𝐶1𝐴 − 𝐶2𝐴2 3⁄ − 𝐶3

𝑍(𝑍 − 1)

𝐴1 3⁄− 𝐶4

(𝑁 − 𝑍)2

𝐴

El Modelo de capas El modelo de gota de líquido describe relativamente bien el comportamiento general

de las energías de enlace nuclear. De cualquier modo, al estudiar las energías de

enlace con mayor detalle, aparecen las siguientes características:

La mayor parte de los núcleos estables tiene un valor par para 𝐴. Además, sólo ocho

núcleos estables tienen valores impares tanto para 𝑍 como para 𝑁.

La figura muestra una gráfica de la diferencia entre la energía de enlace por cada

nucleón calculada según la ecuación de energía de enlace y la energía de enlace

observada. Existe evidencia en los datos de picos uniformemente espaciados no

descritos por la fórmula semiempírica de la energía de enlace. Los picos se presentan

en valores de N o de Z, que se conocen como números mágicos:

𝑍 𝑜 𝑁 2, 8, 20, 28, 50, 82

Las gráficas de los datos experimentales muestran picos en la curva del radio en

función de 𝑁 en valores de 𝑁 que corresponden a los números mágicos.


Un grupo de isótonos es un grupo de núcleos que tienen el mismo valor de 𝑁 y

diferentes valores de 𝑍. Cuando se grafica el número de isótonos estables en función

de 𝑁, se presentan picos en la gráfica, otra vez en los números mágicos de la ecuación

de números mágicos.

Otras varias mediciones nucleares muestran un comportamiento anómalo en

los números mágicos

.

CONCLUSIONES

Un núcleo está formado por A nucleones (Z protones y N neutrones). Todos los núcleos

tienen aproximadamente la misma densidad.


La energía de enlace para un núclido dado se determina por la fuerza nuclear, que es

de corto alcance y favorece a pares de partículas, y por la repulsión eléctrica entre

protones.

Los núcleos estables ligeros tienen iguales números de protones y neutrones. Los

núcleos estables pesados tienen más neutrones que protones.

Dos modelos muy usados para el núcleo son el de gota líquida y el de capas

El modelo de gota líquida de estructura nuclear trata los nucleones como moléculas

en una gota de líquido.

El modelo de capas, o modelo de partícula independiente, supone que cada nucleón

existe en una capa y sólo puede tener valores de energía discretos. La estabilidad de

ciertos núcleos se puede explicar con este modelo.

RECOMENDACIONES

Los temas son interesantes para el estudio de la estructura nuclear, su

comportamiento, entre otras cosas, pero se debe de tomar en cuenta que deben

utilizarse para el bien de la humanidad, no para crear cosas que afecten la vida de los

habitantes en la Tierra.

BIBLIOGRAFÍA

Bauger, W. (2011). FISICA NUCLEAR. En W. Bauger, Fisica Universitaria para

Ciencias e Ingenieria (págs. 1325-1330). México: Mc Graw Hill.

Giancoli, D. (2008). FISICA NUCLEAR Y RADIOACTIVIDAD En D. Giancolli, Fisica

Universitaria (págs. 1104-1113). México: Pearson.

Semansky, S. &. (2009). FISICA NUCLEAR . En S. &. Semansky, Física Universitaria

II (págs. 1502-1522). México: Pearson.


MATEMÁTICA

EXÁMEN ESCRITO


25-9-2015

5. SISTEMA DE DOS ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DOS INCÓGNITAS




INTRODUCCIÓN

En Matemática existen diversas formas de resolver y encontrar las incógnitas, en

ocasiones en las ecuaciones lineales se representan dos incógnitas en una sola

ecuación. En este caso se representan dos ecuaciones de primer grado con dos variables

y conocer así la solución de este sistema por varios métodos, y su representación gráfica

de dicho sistema


OBJETIVOS

OBJETIVOS GENERALES

Conocer la importancia de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos

variables.

Describir los métodos de la solución del sistema


Describir el sistema de dos ecuaciones lineales con dos variables.

Definir de forma general el sistema de dos ecuaciones lineales con dos

variables.

Conocer los tipos de métodos de solución del sistema

Representar de forma gráfica el sistema


SISTEMA DE DOS ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DOS VARIABLES

Se llama sistema de ecuaciones a un conjunto de dos o más ecuaciones que tienen

idéntica solución, es decir, que las soluciones satisfacen a cada una de las ecuaciones

dadas; también se les llama sistema de ecuaciones simultaneas.

La Solución de un sistema de ecuaciones requiere de tantas ecuaciones independientes

como incógnitas se tengan que determinar; así un sistema de ecuaciones de primer grado

con dos incógnitas constara de dos ecuaciones independientes; así un sistema de

ecuaciones de primer grado con tres incógnitas constara de tres ecuaciones

independientes; etc.

Si un sistema tiene solución se dice que es un sistema posible o Compatible. Si la

solución es única diremos que el sistema es Compatible y determinado. Si tiene infinitas

soluciones diremos que el sistema es Compatible e indeterminado. Cuando el sistema no

tiene solución, diremos que las ecuaciones y el sistema son incompatibles.

Una expresión general de un sistema lineal de dos ecuaciones con dos variables es:

{𝑎1𝑥 + 𝑏1𝑦 + 𝑐 = 0, 𝑎1 ≠ 0 𝑏1 ≠ 0𝑎2𝑥 + 𝑏2𝑦 + 𝑐 = 0, 𝑎2 ≠ 0 𝑏2 ≠ 0

}

Las ecuaciones simultáneas con dos o más incógnitas son simultáneas cuando las

soluciones son las mismas.

Las ecuaciones equivalentes son las que se obtienen al multiplicar o dividir una ecuación

por un mismo número.

𝑥 + 𝑦 = 42𝑥 + 2𝑦 = 8

Son equivalentes porque dividiendo por 2 la segunda ecuación se obtiene la primera.

Las ecuaciones equivalentes tienen infinitas soluciones comunes. Ecuaciones

independientes son las que no se obtienen una de la otra.

Se debe entender que un sistema de ecuaciones es un conjunto de ecuaciones para las

cuales se busca una solución común. Una solución de un sistema de dos ecuaciones en

dos variables es una pareja ordenada que hace que ambas ecuaciones sean verdaderas.


Como la solución de un sistema satisface ambas ecuaciones simultáneamente, se dice

que se tiene un sistema de ecuaciones simultáneas. Cuando se encuentran todas las

soluciones de un sistema, se dice que hemos resuelto el sistema.

RESOLUCIÓN POR DIFERENTES MÉTODOS Tres son los métodos por resolver un sistema de ecuaciones.

El método de sustitución. Con este método se consigue que el sistema de ecuaciones con dos incógnitas acabe

convirtiéndose en una ecuación de primer grado con una incógnita. Para ello se utiliza

uno de los tres métodos de resolución. El siguiente sistema de ecuaciones:

{𝑥 + 𝑦 = 6𝑥 − 𝑦 = 4

El proceso es el siguiente:

1) Despejar una de las incógnitas, en este caso será 𝑥

2) El siguiente paso sería sustituir el resultado de despejar la incógnita en la primera

ecuación en el lugar de esa incógnita en la segunda ecuación. En nuestro caso,

sustituiremos el 6 − 𝑦 en el lugar de la 𝑥. Quedando así una sola incógnita: la 𝑦

𝑥 + 𝑦 = 6𝑥 − 𝑦 = 4

3) A continuación se harán las operaciones que se sabe para resolver ecuaciones con

una sola incógnita

−𝑦 − 𝑦 = 4 − 6

6 − 2𝑦 = 4

−2𝑦 = 4 − 6

−2𝑦 = −2

𝑦 = 1

4) Cuando se tenga ya el resultado de una de las incógnitas, se sustituye ese valor en

la operación del primer paso para averiguar cuánto vale la otra incógnita.

𝑥 = 6 − 𝑦


𝑥 = 6 − 1

𝑥 = 5

Por lo tanto, la solución al sistema es 𝑥 = 5 y 𝑦 = 1

Método de reducción El método de reducción

Con este método se obtiene que el sistema de ecuaciones con dos incógnitas acabe

reduciéndose un término. Para ello utilizaremos uno de los tres métodos de resolución.

El siguiente sistema de ecuaciones:

𝑥 + 2𝑦 = 6

𝑥 − 3𝑦 = 1

El proceso es el siguiente:

Caso 1.

1) Reducir el término de la 𝑥 . Como la 𝑥 está en la misma cantidad en las dos

ecuaciones, sólo se tiene que restar. Para ello debemos cambiar el signo a la segunda

ecuación y sumarlas en vertical :

𝑥 + 2𝑦 = 6

−𝑥 + 3𝑦 = −1

0 + 5𝑦 = 5

2) Despejar y obtener el valor de 𝑦

5𝑦 = 5

𝑦 = 1

3) Y por último, sustituir este valor para calcular la 𝑥 , en cualquiera de las dos

ecuaciones, en este caso será en la primera, quedando:

𝑥 + 2(1) = 6


𝑥 = 6 − 2

𝑥 = 4

Por lo tanto, la solución al sistema es 𝑥 = 4 y 𝑥 = 1

Caso 2

Para poder reducir se debe multiplicar el número que acompaña la incógnita y de la

primera ecuación por todos los miembros de la segunda ecuación. Y el número que

acompaña a la incógnita y en la segunda ecuación por toda la primera:

1) Para poder reducir se debe multiplicar el número que acompaña la incógnita 𝑦 de la

primera ecuación por todos los miembros de la segunda ecuación. Y el número que

acompaña a la incógnita 𝑦 en la segunda ecuación por toda la primera:

𝑥 + 2𝑦 = 6

𝑥 − 3𝑦 = 1

3(𝑥 + 2𝑦) = 6(3)

2(𝑥 − 3𝑦) = (2)1

3𝑥 + 6𝑦 = 18

2𝑥 − 6𝑦 = 2

2) Así obtener dos ecuaciones que tienen valores opuestos, de forma que al sumarlos

se va la 𝑦, por lo tanto, si se suman, la 𝑦 desaparece. Sólo queda despejar la 𝑥 para hallar

su valor.

3𝑥 + 6𝑦 = 18

2𝑥 − 6𝑦 = 2

5𝑥 + 0 = 20


𝑥 = 4

3) Por último, sustituir el valor para calcular 𝑦 y queda:

4 + 2𝑦 = 6

2𝑦 = 6 − 4

2𝑦 = 2

𝑦 = 1


El método de igualación En este método hay que despejar las incógnitas e igualarlas. Se puede elegir entre

despejar las 𝑥 o despejar las 𝑦. En cada caso una elección u otra puede ser la más fácil.

Ahora vamos a ver ambas posibilidades.

𝑥 + 𝑦 = 3

𝑥 − 𝑦 = 1

Caso 1

1) Se despeja la 𝑥 de las dos ecuaciones

𝑥 = 3 − 𝑦

𝑥 = 1 + 𝑦


2) Igualar

3 − 𝑦 = 1 + 𝑦

3) Resolver

−y − 𝑦 = 1 − 3

−2𝑦 = −2

Por lo tanto, la solución al sistema es𝑥 = 2 y 𝑦 = 1

Caso 2

1) Se despeja la 𝑦 de las dos ecuaciones

𝑦 = 3 − 𝑥

𝑦 = −1 + 𝑥

2) Igualar

3 − 𝑥 = −1 + 𝑥

2) Resolver

−2𝑥 = −4



TIPOS DE SOLUCIÓN

{𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐𝑑𝑥 + 𝑒𝑦 = 𝑓

Determinado

Compatible

Tipos de Sistema Indeterminado

Incompatible

Sistema compatible Si admite soluciones.

La compatibilidad de un sistema se determina a partir del determinante de la matriz 2x2

que constituye el sistema o equivalentemente de los cocientes de la primera ecuación y

la segunda.

Sistema compatible determinado

Si admite un número finito de soluciones; en el caso de dos

ecuaciones lineales con dos incógnitas, si el sistema es

determinado solo tendrá una solución. Su representación

gráfica son dos rectas que se cortan en un punto; los valores

de x e y de ese punto son la solución al sistema.

Un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas es compatible determinado

cuando:

𝑎

𝑑≠

𝑏

𝑒


En el ejemplo de la figura, dado el sistema

{−𝑥 + 2𝑦 = 4

𝑥 + 𝑦 = 5

Se puede ver, que:

−1

1≠

2

1

Lo que da lugar a que las dos rectas se corten en un punto, de valores:

𝑥 = 2𝑦 = 3

Siendo esta la solución del sistema

Sistema compatible indeterminado

El sistema admite un número infinito de soluciones; su

representación gráfica son dos rectas coincidentes.

Las dos ecuaciones son equivalentes y una de ellas

se puede considerar como redundante: cualquier

punto de la recta es solución del sistema.

Un sistema lineal de dos ecuaciones con dos

incógnitas es indeterminado si:

𝑎

𝑑=

𝑏

𝑒=

𝑐

𝑓

Por ejemplo con el sistema

{−𝑥 + 2𝑦 = 4

−3𝑥 + 6𝑦 = 12

Se puede ver:

−1

−3=

2

6=

4

12

Con lo que podemos decir que la primera ecuación multiplicada por tres da la segunda

ecuación, por lo tanto no son dos ecuaciones independientes, sino dos formas de

expresar la misma ecuación.


Tomando una de las ecuaciones, por ejemplo la primera, tenemos:

−𝑥 + 2𝑦 = 4 → 𝑦 =𝑥

2+ 2

Tomando la x como variable independiente, y la y como variable dependiente, según la

expresión anterior, asignando valoras a x obtendremos el correspondiente de y, cada par

(x, y), así calculado será una solución del sistema, pudiendo asignar a x cualquier valor

real.

Sistema Incompatible El sistema no admite ninguna solución. En este caso, su

representación gráfica son dos rectas paralelas y no

tienen ningún punto en común porque no se cortan. El

cumplimiento de una de las ecuaciones significa el

incumplimiento de la otra y por lo tanto no tienen ninguna

solución en común.

Un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas es incompatible si:

𝑎

𝑑=

𝑏

𝑒≠

𝑐

𝑓

Dado un sistema

{𝑥 + 𝑦 = 5𝑥 + 𝑦 = 1

Se puede ver que:

1

1=

1

1≠

5

1

La igualdad

1

1=

1

1


Determina la proporcionalidad entre las incógnitas, dos rectas paralelas, pero la diferente

proporcionalidad con los términos independientes determina un corte con el eje y disiento,

y dos rectas paralelas no se cortan en ningún punto. Dando lugar a la incompatibilidad

de las soluciones.

ANÁLISIS DE TIPOS Para poder determinar si, un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, corresponde

a uno de esos casos, podemos ver, según lo visto anteriormente, el siguiente criterio,

partiendo del sistema:

𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐𝑑𝑥 + 𝑒𝑦 = 𝑓

}

Podemos aplicar el siguiente árbol de decisión, para determinar el tipo de sistema que

es:

𝑎

𝑑

⟺𝑏

𝑒

𝑎

𝑑=

𝑏

𝑒

𝑎

𝑑=

𝑏

𝑒=

𝑐

𝑓

Compatible indeterminado

𝑎

𝑑=

𝑏

𝑒≠

𝑐

𝑓

Incompatible

𝑎

𝑑≠

𝑏

𝑒

Compatible Determinado

Para ello, comparamos en primer lugar la relación entre los coeficientes de las incógnitas,

si la relación entre los coeficientes de la 𝑥 y la 𝑦 es el mismo, el sistema es compatible

indeterminado o incompatible, si este coeficiente también es igual a la relacione entre los

términos independientes el sistema es compatible indeterminado, y si es distinto en

incompatible. Si la relación entre los coeficientes de la 𝑥 y la 𝑦 son distintos el sistema es

compatible determinado.

Este criterio es equivalente al análisis de los determinantes de las ecuaciones, aplicado

a un sistema de dos ecuaciones.


CONCLUSIONES

Un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas es un sistema lineal de

ecuaciones formado por sólo dos ecuaciones que admite un tratamiento particularmente

simple, junto con el caso trivial de una ecuación lineal con una única incógnita, es el caso

más sencillo posible de sistemas de ecuaciones, y que permiten su resolución empleando

técnicas básicas del álgebra cuando los coeficientes de la ecuación se encuentran sobre

un cuerpo

RECOMENDACIONES

Aplicar un método de enseñanza en donde el alumno vaya reconociendo y aplicando los

diferentes tipos de métodos, así se realiza un aprendizaje y conocimiento propio

Que el docente lleve de manera gráfica y aplique el tema en la vida diaria para obtener

un mejor conocimiento.

BIBLIOGRAFÍA

Gallego Palomero, A.Sistemas de ecuaciones (1989), Álgebra y Funciones, EdicionesSM

Lowy, Ernesto, Sistemas de ecuaciones (1987), Ediciones Baza.

García Muñoz, Matemáticas, ecuaciones no lineales e inecuaciones, 4 ESO. Cuaderno 3

(2007)m Edición Teide S.A.


25-9-2015

6. PROBABILIDADES




INTRODUCCIÓN

La probabilidad y la estadística son, sin duda, las ramas de las Matemáticas que están

en mayor auge en este siglo, y tienen una tremenda aplicabilidad en todos los aspectos

y ciencias, especialmente en las Ciencias Sociales, puesto que aquellas variables que

influyen en dichas ciencias, económicas, demográficas, suelen tener carácter aleatorio,

es decir, no son deterministas, y se fundamentan en predicciones a partir de datos

conocidos. Todo aquello que implique predicción nos lleva al terreno de la probabilidad.


OBJETIVOS

OBJETIVOS GENERALES

Conocer la importancia del tema de las probabilidades.

Describir las propiedades de los sucesos.


Describir los sucesos y espacios muestrales de una probabilidad.

Definir de diferentes enfoques la probabilidad.

Conocer los teoremas de probabilidad.

Representaciones gráficas de los sucesos.


PROBABILIDADES

HISTORIA Relatos antiguos sugieren que la teoría de la probabilidad se remonta a formas primitivas

de juegos de envite y azar. Gerolamo Cardan (1501-1576) afirmó que hace casi 2000

años los soldados romanos inventaron muchos de nuestros juegos de azar actuales sólo

como pasatiempo durante sus campañas para conquistar a la mayor parte del mundo

civilizado. Otros autores afirman que la teoría de la probabilidad tiene su origen en el siglo

XVI en Francia por los juegos de azar y se debe a la curiosidad de los jugadores que

acosaban con preguntas a sus amigos del mundo de las matemáticas (correspondencia

entre Pascal y Fermat). En el siglo XVII Jacob Bernouilli, miembro de una familia suiza

de matemáticos, estableció muchas de las leyes básicas de la probabilidad moderna.

Thomas Bayes (1702-1761) y Joseph Lagrange también se cuentan entre los pioneros

de la teoría de la probabilidad.

La definición clásica se debe a Laplace que en su monumental libro “Theorie análitique

des probabilités“ ( 1812), establece la definición de probabilidad de un suceso que puede

ocurrir sólo un número finito de veces, como la proporción del número de “ casos

favorables” entre el número total de “casos posibles”. Destacar por otra parte que la

axiomática del Cálculo de Probabilidades se debe a Kolmogorov (1933).

En la actualidad vemos que la teoría de la probabilidad ocupa un puesto destacado en

muchos asuntos de negocios. Los seguros y las prácticas actuariales tienen una base

firme en los principios de la teoría de la probabilidad. Por ejemplo, las primas de los

seguros de vida dependen de las tablas de mortalidad, que a su vez se basan en la

probabilidad de muerte a una edad concreta. La probabilidad también se aplica a la

estimación del número de unidades defectuosas en los procesos de fabricación, a la

verosimilitud de recibir pagos en las cuentas a cobrar y a las ventas potenciales de un

nuevo producto.

Ahora bien, la teoría de la probabilidad es una parte de las matemáticas, análoga al

álgebra o la geometría y su construcción será por tanto semejante. Para la construcción

de una teoría matemática se parte de un conjunto de aseveraciones, que se designan


con el nombre de axiomas, y mediante la lógica se deducen una sucesión de afirmaciones

que se designan con el nombre de teoremas.

La forma en que se eligen los axiomas no es aleatoria ni categórica, lo que se intenta con

estos postulados es “Idealizar la Realidad”.

Los fenómenos que se pueden estudiar y que están asociados con la realización de

cualquier experimento (acción bien definida que produce un resultado único y bien

definido) pueden ser de una tipología muy variada, pero una sencilla clasificación de los

mismos, que además, va a ser de gran interés para la Estadística es aquella que distingue

entre fenómenos determinísticos y aleatorios

CONCEPTOS BASICOS

Suceso Elemental Cada uno de los posibles resultados, que no se pueden descomponer en otros más

simples, de un experimento aleatorio.

Espacio Muestral “E” Conjunto de los sucesos elementales.

Suceso Subconjunto del espacio muestral.

Suceso Seguro Es el suceso formado por todos los sucesos elementales.

Suceso Imposible Es el suceso que no contiene ningún suceso elemental


OPERACIONES CON SUCESOS

𝐴 = {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑}, 𝐵 = {𝑐, 𝑑, 𝑒, 𝑓}

Unión De Sucesos

𝐴 ∪ 𝐵: Todos los sucesos elementales de A ó B

𝐴 ∪ 𝐵: {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒, 𝑓𝑔}

𝐴: {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑}, 𝐵 = { 𝑐, 𝑑, 𝑒, 𝑓, 𝑔}

Intersección De Sucesos

𝐴 ∩ 𝐵: Sucesos elementales que pertenecen simultáneamente a A y a B

𝐴 ∩ 𝐵: {𝑐, 𝑑}


Diferencia De Sucesos

𝐴 − 𝐵: Sucesos elementales que pertenecen al suceso A pero no al B

𝐴 − 𝐵: {𝑎, 𝑏}

Ejemplo: Se están utilizando 7 árboles, numerados del 1 al 7, para un experimento.

Definiendo el espacio muestral: 𝐸 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

Sean A y B los sucesos: 𝐴 = {1, 3, 5} 𝑦 𝐵 = {2, 3, 7}

𝐴 ∪ 𝐵: {1, 2, 3, 5, 7} 𝐴 ∩ 𝐵: {3} 𝐴 − 𝐵: {1, 5}

A-B


Sucesos Complementarios

.

𝐴𝑐: Es el suceso formado por todos los sucesos de E que no están en A

𝐴𝑐 = 𝐸 − 𝐴

𝐸 = {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒}, 𝐴 = {𝑏, 𝑐} 𝐴𝑐 = {𝑎, 𝑑, 𝑒}

Ejemplo:

𝐴: “𝑇𝑒𝑛𝑒𝑟 𝑒𝑙 𝑔𝑟𝑢𝑝𝑜 𝑠𝑎𝑛𝑔𝑢í𝑛𝑒𝑜 𝑂”

𝐴𝑐: " 𝑇𝑒𝑛𝑒𝑟 𝑒𝑙 𝑔𝑟𝑢𝑝𝑜 𝑠𝑎𝑛𝑔𝑢í𝑛𝑒𝑜 𝐴, 𝐵, ó 𝐴𝐵"

𝐸𝑐 = ∅ ∅𝑐 = 𝐸

Sucesos Incompatibles

Los sucesos A y B son incompatibles o mutuamente excluyentes si no pueden ocurrir

simultáneamente.

𝐴 = {𝑎, 𝑏} 𝐵 = {𝑑, 𝑒}

Ejemplo

𝐴 = "𝑆𝑒𝑟 𝑢𝑛 𝑟𝑒𝑝𝑡𝑖𝑙"

𝐵 = "𝑆𝑒𝑟 𝑢𝑛 𝑙𝑒ó𝑛"


PROPIEDADES DE LA UNIÓN DE SUCESOS

1. Asociativa 𝐴 ∪ (𝐵 ∪ 𝐶) = (𝐴 ∪ 𝐵) ∪ 𝐶

2. Conmutativa 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝐵 ∪ 𝐴

3.

𝐴 ∪ 𝐴 = 𝐴, 𝐴 ∪ 𝐴𝐶 = 𝐸

PROPIEDADES DE LA INTERSECCIÓN DE SUCESOS

1. Asociativa 𝐴 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶) = (𝐴 ∩ 𝐵) ∩ 𝐶

2. Conmutativa 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝐵 ∩ 𝐴

3.

𝐴 ∩ 𝐴 = 𝐴, 𝐴 ∩ 𝐴𝐶 = 𝐴𝐶 ∩ 𝐴

PROPIEDADES CONJUNTAS DE LA UNIÓN E INTERSECCIÓN DE SUCESOS

Distributiva 𝐴 ∪ (𝐵 ∩ 𝐶) = (𝐴 ∪ 𝐵) ∩ (𝐴 ∪ 𝐶)

𝐴 ∩ (𝐵 ∪ 𝐶) = (𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∩ 𝐶)

Ejemplo

𝑨 = {𝒂. 𝒃. 𝒄} 𝑩 = {𝒃, 𝒄, 𝒅, 𝒆} 𝑪 = {𝒄, 𝒆, 𝒇, 𝒈}

𝑨 ∩ (𝑩 ∪ 𝑪) = {𝒂, 𝒃, 𝒄} ∩ {𝒃, 𝒄, 𝒅, 𝒆, 𝒇, 𝒈} = {𝒃, 𝒄}


CONCEPTO DE PROBABILIDAD

Clásica Espacio muestral equiprobable “Todos los sucesos elementales tienen igual probabilidad

de ocurrir”

En estas condiciones se define la probabilidad del suceso A como:

𝑃(𝐴) =𝑁0𝐶𝑎𝑠𝑜𝑠 𝐹𝑎𝑣𝑜𝑟𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠 𝑎𝑙 𝑆𝑢𝑐𝑒𝑠𝑜 𝐴

𝑁0 𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝐶𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑃𝑜𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒𝑠=

𝐶 𝐹

𝐶 𝑃

Ejemplo

En una pareja, cada uno de sus miembros posee genes para ojos castaños y azules.

Teniendo en cuenta que cada uno tiene la misma probabilidad de aportar un gen para

ojos castaños que para ojos azules y que el gen para ojos castaños es dominante,

obtener la probabilidad de que un hijo nacido de esta pareja tenga los ojos castaños.

Solución

𝐸 = {𝐶𝐶, 𝐶𝐴, 𝐴𝐶, 𝐴𝐴 }

Casos Favorables= {𝐶𝐶, 𝐶𝐴, 𝐴𝐶}

Casos Posibles = {𝐶𝐶, 𝐶𝐴, 𝐴𝐶, 𝐴𝐴}

𝑃(𝑂𝑗𝑜𝑠 𝐶𝑎𝑠𝑡𝑎ñ𝑜𝑠) =𝐶𝐹

𝐶𝑃=

3

4

Diagramas de árbol El diagrama de árbol es un método para obtener los resultados posibles de un

experimento cuando éste se produce en unas pocas etapas.Cada paso del experimento

se representa como una ramificación del árbol


PRIMER

HIJO

SEGUNDO

HIJO

TERCER

HIJO

Ejemplo

“Una mujer es portadora de hemofilia. Aunque la mujer no tenga la enfermedad, puede

transmitirla a sus 3 hijos. Obtener las trayectorias para este experimento mediante un

diagrama de árbol”.

Suponiendo que es igualmente probable que se trasmita o no la enfermedad.

TRAYECTORIAS

AAA

AAB

ABA

ABB

BAA

BAB

BBA

BBB

TRAYECTORIAS

SSS

SSN

SNS

SNN

NSS

NSN

NNS

NNN

A

AA

B

BA

B

B

AA

B

BA

B

S

SS

N

NS

N

N

SS

N

NS

N


Obtener las probabilidades de los siguientes sucesos:

1. Ningún hijo tenga la enfermedad, (suceso A)

2. Dos hijos tengan la enfermedad, (suceso B)

𝑃(𝐴) =𝐶𝐹

𝐶𝑃=

1

8

𝑃(𝐵) =𝐶𝐹

𝐶𝑃=

3

8

Axiomático Algebra de sucesos, 𝛽: “Es el conjunto de todos los sucesos del Espacio Muestral”

Axiomas de la probabilidad

Consideremos una aplicación, 𝑃, del álgebra de sucesos en el conjunto de los números

reales.

Esta aplicación es una probabilidad si verifica los tres axiomas:

1. 𝐴 𝜖 𝛽, 0 ≤ 𝑃(𝐴)

2. 𝑃(𝐸) = 1

3. Sean 𝐴1, 𝐴2, … . , 𝐴𝑛, sucesos mutuamente incompatibles, 𝐴𝑖 ∩ 𝐴𝑗 = 𝐴𝑗 ∩ 𝐴𝑖 para

𝑖 ≠ 𝑗. Entonces se verifica

𝑃(𝐴1 ∪ 𝐴2 ∪ … .∪ 𝐴𝑛) = 𝑃(𝐴1) + 𝑃(𝐴2) + ⋯ + 𝑃(𝐴𝑛)

Ejemplo

Tres caballos, A, B, y C están siendo tratados con tres métodos experimentales distintos

para aumentar la velocidad con la que pueden correr. Después del tratamiento

intervienen en una carrera. El caballo C tiene doble probabilidad de ganar que B, y B

doble que A. Calcular las probabilidades de que gane cada uno.

Solución: 𝐸 = {𝐴, 𝐵, 𝐶} 𝑃(𝐴) = 𝑘 𝑃(𝐵) = 2𝐾 𝑃(𝐶) = 4𝑘


𝑃(𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) + 𝑃(𝐶) = 𝑃(𝐸) = 1 = 𝑘 + 2𝑘 + 4𝑘 = 7𝑘 = 1 ⇒ 𝑘 = 1 7⁄

𝑃(𝐴) = 𝑘 1 7⁄ 𝑃(𝐵) = 2 7⁄ 𝑃(𝐶) = 4 7⁄

Si suponemos que el espacio muestral es equiprobable, la definición axiomática de la

probabilidad coincide con la definición clásica

Ejemplo En el ejemplo anterior, supongamos que los tres caballos tienen la misma

probabilidad de ganar

Solución: 𝐸 = {𝐴, 𝐵, 𝐶} 𝑃(𝐴) = 𝑃(𝐵) = 𝑃(𝐶) = 𝑘

𝑃(𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) + 𝑃(𝐶) = 𝑃(𝐸) = 1 = 𝑘 + 2𝑘 + 4𝑘 = 7𝑘 = 1 = 𝑘 + 𝑘 + 𝑘 = 3𝑘 = 1 ⇒ 𝑘 = 1 3⁄

𝑃(𝐴) = 𝑃(𝐵) = 𝑃(𝐶) = 1 3⁄

PROPIEDADES DE LA PROBABILIDAD

1. ∀𝐴 ∈ 𝐵, 𝑃(𝐴𝐶) = 1 − 𝑃(𝐴)

Ejemplo. Se sabe que la probabilidad de curar la leucemia infantil es de 1/3. Por lo tanto,

la probabilidad de que no se cure la enfermedad será de 1 − 1 / 3 = 2 /3

2. 𝑃(𝐴) − 1 = 0

Ejemplo. Consideramos el experimento de lanzar un dado. La probabilidad de obtener 9

en una cara es igual a cero

3. Si 𝐴 ⊂ 𝐵 ⇒ 𝑃(𝐴) ≤ 𝑃(𝐵)

Ejemplo. En el experimento anterior, sea A el suceso obtener un número mayor que 4, y

B obtener un número mayor que 2

𝑃(𝐴)𝐶𝐹

𝐶𝑃=

2

6, 𝑃(𝐵) =

𝐶𝐹

𝐶𝑃=

4

6


4. 𝑃(𝐴 − 𝐵) = 𝑃(𝐴) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)

Ejemplo: En el experimento anterior, sea A el suceso obtener un número menor que 5 y

B el suceso obtener un numero par

𝐴 = {1, 2, 3, 4}, 𝐵 = {2, 4, 6}, 𝐴 − 𝐵 = {1,3}, 𝐴 ∩ 𝐵 = {2,4}

𝑃(𝐴 − 𝐵) = 𝑃(𝐴) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) =4

6−

2

6=

2

6

5. 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)

Ejemplo: En una población el 4% de las personas son daltónicas, el 18% hipertensas y

el 0.5% daltónicas e hipertensas. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona sea

daltónica ó hipertensa?

𝐴 = {𝐷𝑎𝑙𝑡ó𝑛𝑖𝑐𝑜}, 𝐵 = {𝐻𝑖𝑝𝑒𝑟𝑡𝑒𝑛𝑠𝑜}

𝑃(𝐴) =4

100, 𝑃(𝐵) =

18

100, 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) =

0.5

100

𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) =4

100+

18

100−

0.5

100= 0.125


6. 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐶) − 𝑃(𝐵 ∩ 𝐶) + 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶)

Ejemplo: En un parque natural se detectan tres plagas. El 25% de los árboles tienen la

enfermedad A, el 20% la B y el 30% la C. El 12% la A y la B, el 10% la A y la C, el 11%

la B y la C y el 5% tienen las tres enfermedades. Calcular las probabilidades siguientes:

1. Un árbol tenga alguna de las enfermedades

2. Un árbol tenga la enfermedad A pero no la B

3. Un árbol tenga la enfermedad B y C pero no la A

𝑃(𝐴) = 0.25; 𝑃(𝐵) = 0.2; 𝑃(𝐶) = 0.3; 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 0.12;

𝑃(𝐴 ∩ 𝐶) = 0.1; 𝑃(𝐵 ∩ 𝐶) = 0.11; 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶) = 0.05

1. 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) + 𝑃(𝐶) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐶) − 𝑃(𝐵 ∩ 𝐶) + 𝑃(𝐴 ∩

𝐵 ∩ 𝐶) = 0.25 + 0.2 + 0.3 − 0.12 − 0.1 − 0.11 + 0.05 = 0.47

2. 𝑃(𝐴 − 𝐵) = 𝑃(𝐴) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 0.25 − 0.12 = 0.13

3. 𝑃((𝐵 ∩ 𝐶) − 𝐴) = 𝑃(𝐵 ∩ 𝐶) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶) = 0.11 − 0.05 = 0.06


SEGUNDO

HIJO

TERCER

HIJO

PRIMER

HIJO

PROBABILIDAD CONDICIONAL. INDEPENDENCIA DE SUCESOS

Probabilidad condicionada

Probabilidad de que ocurra el suceso A, condicionado a que el suceso B haya

ocurrido ya

- Sean dos sucesos 𝐴 y B𝐵 ∈ 𝛽, con 𝑃(𝐵) > 0

𝑃(𝐴 𝐵⁄ ) =𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)

𝑃(𝐵)

- Si 𝑃(𝐴) > 0

𝑃(𝐵 𝐴⁄ ) =𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)

𝑃(𝐴)

𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴)𝑃(𝐵 𝐴⁄ ) = 𝑃(𝐵)𝑃(𝐴 𝐵⁄ )

𝑃(𝐴1 ∩ 𝐴2 ∩ 𝐴3) = 𝑃(𝐴1)𝑃(𝐴2 𝐴1⁄ )𝑃(𝐴3 𝐴1 ∩ 𝐴2⁄ )

Ejemplo: Una familia tiene tres hijos. Construir un diagrama de árbol y calcular las

siguientes probabilidades:

1. El primer hijo sea niña, A,

2. Exactamente dos sean niñas, B

3. Se cumplan ambas condiciones

4. Exactamente dos sean niñas, si el primero es niña

𝑃(𝐴) =4

8; 𝑃(𝐵) =

3

8; 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) =

2

8; 𝑃(𝐴 𝐵⁄ ) =

𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)

𝑃(𝐵)=

2 8⁄

4 8⁄=

2

4=

1

2

TRAYECTORIAS

MMM

MMH

MHM

MHH

HMM

HMH

HHM

HHH

M

MM

H

HM

H

H

MM

H

HM

H


Independencia de sucesos

El suceso A es independiente del suceso B si y sólo si se verifica:

𝑃(𝐴 𝐵⁄ ) = 𝑃(𝐴)

Si 𝑃(𝐴 𝐵⁄ ) ≠ 𝑃(𝐴) el suceso A es dependiente de B.

La independencia es una propiedad recíproca

El suceso A es independiente del suceso B

↕

El suceso B es independiente del suceso A

Dos sucesos son independientes si

𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴)𝑃(𝐵)

Si los sucesos A y B son independientes, se verifica.

- Los sucesos A y 𝐵𝑐 son independientes

- Los sucesos 𝐴𝑐 y 𝐵 son independientes

- Los sucesos 𝐴𝑐 y 𝐵𝑐 son independientes

Se dice que n sucesos son independientes si se verifica:

𝑃(𝐴1 ∩ 𝐴2 ∩ … . .∩ 𝐴𝑛) = 𝑃(𝐴1)𝑃(𝐴2) … 𝑃(𝐴𝑛)

TEOREMAS

Teorema de la probabilidad total Sean los sucesos 𝐴1, 𝐴2, … , 𝐴𝑛, que verifican:

⟨𝐴𝑖 ∩ 𝐴𝑗 = 0 𝑠𝑖 𝑖 ≠ 𝑗

𝐴1 ∪ 𝐴2 ∪ … ∪ 𝐴𝑛 = 𝐸

Los sucesos 𝐴𝑖, para 𝑖 = 1, … . 𝑛 son incompatibles dos a dos y exhaustivos

Sea un suceso 𝐵, con 𝑃(𝐵) > 0

Se conocen: 𝑃(𝐴𝑗) y: 𝑃(𝐵/𝐴𝑗), 𝑖 = 1, … . 𝑛


En las condiciones anteriores, este teorema nos proporciona la probabilidad total de que

ocurra el suceso B:

𝑃(𝐵) = ∑ 𝑃(𝐴𝑖)𝑃(𝐵/𝐴𝑖)

𝑛

𝑖=1

Teorema de Bayes Sean los sucesos 𝐴1, 𝐴2, … , 𝐴𝑛, que verifican:

⟨𝐴𝑖 ∩ 𝐴𝑗 = 0 𝑠𝑖 𝑖 ≠ 𝑗

𝐴1 ∪ 𝐴2 ∪ … ∪ 𝐴𝑛 = 𝐸

Los sucesos 𝐴𝑖, para 𝑖 = 1, … . 𝑛 son incompatibles dos a dos y exhaustivos

Sea un suceso 𝐵, con 𝑃(𝐵) > 0

Se conocen: 𝑃(𝐴𝑗) y: 𝑃(𝐵/𝐴𝑗), 𝑖 = 1, … . 𝑛

El Teorema de Bayes nos expresa la probabilidad de que ocurra un suceso determinado,

𝐴 𝑗, condicionado a que el suceso 𝐵 ya ha ocurrido

𝑃(𝐴𝑗 𝐵⁄ ) =𝑃(𝐴𝑗)𝑃(𝐵 𝐴𝑗⁄ )

∑ 𝑃(𝐴𝑗)𝑃(𝐵 𝐴𝑖⁄ )𝑛𝑖=1

Las probabilidades 𝑃(𝐴𝑗) se designan probabilidades a “priori”, o probabilidades de las

causas. Las probabilidades 𝑃 ( 𝐴𝑗/ 𝐵 ) se designan probabilidades a “posteriori”, si el

suceso B ya ha ocurrido, probabilidad de que sea debido a la causa

APLICACIONES La Física estadística clásica de fines del siglo XIX, y de la Física estadística cuántica del

siglo XX. Así como de la aplicación de los procesos estocásticos al estudio de los rayos

cósmicos descubiertos en el siglo XX, y a su aplicación a la Física Nuclear.

Aunque los fenómenos físicos y biológicos a los que se aplican los Procesos Estocásticos

son de naturaleza muy distinta, sin embargo el planteamiento matemático y su resolución

son iguales, y así por ejemplo conceptos como natalidad, mortalidad, inmigración o

contagio tan específicos de la Biología, han pasado a la Física.


CONCLUSIONES

El Cálculo de Probabilidades es una de las grandes ramas del árbol de las Matemáticas,

se le puede definir como la ciencia del azar y aunque esta definición no es exacta del

todo sí es muy aproximada. El Cálculo de Probabilidades permite el tratamiento

matemático y cuantitativo de las posibilidades de la realización de un hecho o fenómeno,

que todavía no ha sucedido, pero que puede suceder; es útil para la previsión de ciertos

hechos y fenómenos posibles, pero que no tienen por qué suceder necesariamente como

puede ser la predicción del tiempo meteorológico.

La palabra probabilidad afecta hoy en día a un amplio abanico de situaciones en nuestra

vida, lo cual se desprende del abundante uso que se hace de esta palabra en todos los

medios de comunicación, en nuestras casas y en todo el mundo científico. Y si bien

tenemos una idea de lo que es la probabilidad, muchas veces resulta difícil definirla de

una manera que se aplique a cada situación donde usamos el término y en la que

estemos de acuerdo la mayoría de las personas.

RECOMENDACIONES

El problema que nos concierne es cómo hacer llegar este bello concepto, altamente

abstracto en su expresión formal, a personas de otras disciplinas que no tienen una base

matemática para entenderlo. Es por ello que se recomienda con activar los conocimientos

de este tema con temas de probabilidad en la vida diaria.

Basta recordar que muchos modelos matemáticos parten de un simple hecho de la vida

que deseamos explicar. Y muchas veces sucede que se desarrolla toda una teoría a partir

de ese modelo abstracto, y luego resulta aplicable a muchas y muy variadas situaciones.


BIBLIOGRAFÍA

Walpole, Ronald. (2012). PROBABILIDAD. En Walpole, Probabilidad y Estadística (págs.

35-70). México: Pearson

Spiegel, Murray. (1976). PROBABILIDAD. En Spiegel, Probabilidad y Estadística (págs.

17-38). México: McGrawHill

Johnson, Robert, (1994). PROBABILIDAD. En Johnson, Estadística Elemental (págs.

147-166). México: Thomson


25-9-2015

7. TEOREMAS SOBRE DERIVADA




INTRODUCCIÓN

Aunque dada la ecuación de una función es posible obtener su respectiva función

derivada utilizando la definición, para algunas funciones este procedimiento resulta

sumamente tedioso. Surge entonces la necesidad de simplificar este proceso, lo cual

puede lograrse al estudiar los teoremas sobre derivadas..


OBJETIVOS

OBJETIVOS GENERALES

Conocer la importancia de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos

variables.

Describir los métodos de la solución del sistema


Describir el sistema de dos ecuaciones lineales con dos variables.

Definir de forma general el sistema de dos ecuaciones lineales con dos

variables.

Conocer los tipos de métodos de solución del sistema

Representar de forma gráfica el sistema


TEOREMAS SOBRE DERIVADAS

DERIVADAS El problema de encontrar la recta tangente a una curva y el problema de encontrar la

velocidad de un objeto involucran encontrar el mismo tipo de límite. Este tipo especial

de límite se denomina derivada y en las ciencias e ingeniería puede ser interpretada

como una razón de cambio.

Tangentes Si una curva C tiene la ecuación 𝑦 = 𝑓 (𝑥) y quiere usted

hallar la recta tangente a 𝐶 en el punto 𝑃(𝑎, 𝑓 (𝑎)), entonces

considere un punto cercano 𝑄(𝑥, 𝑓 (𝑥)), donde 𝑥 ≠ 𝑎 , y

calcule la pendiente de la recta secante 𝑃𝑄:

𝑚𝑃𝑄 =𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑎)

𝑥 − 𝑎

Después, acerque 𝑄 a 𝑃 a lo largo de la curva 𝐶, haciendo que x tienda a 𝑎. Si 𝑚𝑃𝑄

tiende un número 𝑚, entonces definimos la 𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑡 como la recta que pasa por 𝑃

con pendiente 𝑚. (Esto equivale a decir que la recta tangente es la posición límite de

la recta secante 𝑃𝑄 cuando 𝑄 tiene a 𝑃. (Véase la figura.)

Definición

La recta tangente a la curva 𝑦 = 𝑓 (𝑥) en el punto 𝑃(𝑎, 𝑓 (𝑎)) es la recta que pasa por

𝑃 con pendiente

𝑚 = lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑎)

𝑥 − 𝑎

Siempre que este límite exista.


Ejemplo

Encuentre la ecuación de la recta tangente a la parábola 𝑦 = 𝑥 2, en el punto 𝑃(1,1).

Solución

En este caso 𝑎 = 1 y 𝑓(𝑥) = 𝑥2, de modo que la pendiente es

𝑚 = lim𝑥→1

𝑓(𝑥) − 𝑓(1)

𝑥 − 1= lim

𝑥→1

𝑥2 − 1

𝑥 − 1= lim

𝑥→1

(𝑥 − 1)(𝑥 + 1)

𝑥 − 1= lim

𝑥→1(𝑥 + 1) = 1 + 1 = 2

Con la forma punto-pendiente de la ecuación de la recta, se encuentra que la ecuación

de la recta tangente en (1, 1) es

𝑦 − 1 = 2(𝑥 + 1) o bien 𝑦 = 2𝑥 − 1

Existe otra expresión para la pendiente de la recta tangente que a veces es más fácil

de usar. Si h = x - a, en este caso x = a + h, entonces la pendiente de la recta secante

PQ es

𝑚𝑃𝑄 =𝑓(𝑎 + ℎ) − 𝑓(𝑎)

ℎ

(Véase la figura, donde se ilustra el caso ℎ > 0 y 𝑄

está a la derecha de 𝑃 . Sin embargo, si ℎ < 0 , 𝑄

estaría a la izquierda de 𝑃.)

Note que conforme 𝑥 se aproxima a 𝑎, ℎ se acerca a 0

(puesto que ℎ = 𝑥 − 𝑎) y, por ende, la expresión de la

pendiente de la recta tangente, en la definición 1 se convierte en

𝑚 = limℎ→0

𝑓(𝑎 + ℎ) − 𝑓(𝑎)

ℎ

DERIVADAS La derivada de una función 𝑓 en un número 𝑥 = 𝑎, denotada por 𝑓′(𝑎), es

𝑓′(𝑎) = limℎ→0

𝑓(𝑎 + ℎ) − 𝑓(𝑎)

ℎ

Si este límite existe.


Si se escribe 𝑥 = 𝑎 + ℎ, entonces ℎ = 𝑥 − 𝑎 y ℎ tiende a 0 si y sólo si 𝑥 tiende a 𝑎.

En consecuencia, una manera equivalente de expresar la definición de la derivada,

como vimos en la búsqueda de rectas tangentes, es

𝑓′(𝑎) = lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑎)

𝑥 − 𝑎

Ejemplo

Encuentre la derivada de la función 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 8𝑥 + 9


𝑓(𝑎 + ℎ) − 𝑓(𝑎)

ℎ


𝑓[(𝑎 + ℎ)2 − 8(𝑎 + ℎ) + 9] − 𝑓(𝑎2 − 8𝑎 + 9)

ℎ


𝑎2 + 2𝑎ℎ + ℎ2 − 8𝑎 − 8ℎ + 9 − 𝑎2 + 8𝑎 − 9

ℎ


2𝑎ℎ + ℎ2 − 8ℎ

ℎ


ℎ(2𝑎 + ℎ − 8)

ℎ


(2𝑎 + ℎ − 8)

𝑓′(𝑎) = 2𝑎 − 8

Generalidades

Derivar en todo su dominio se refiere a funciones que es lo que se va a trabajar a

continuación, aunque también se pueden hacer derivadas de un punto.


DERIVADAS DE FUNCIONES POLINOMIALES Y EXPONENCIALES

Derivada de una constante Esta regla se expresa como:

𝑑

𝑑𝑥(𝑐) = 0

Demostración

Comenzando por la más sencilla de todas las funciones: la

función constante 𝑓(𝑥) = 𝑐. La gráfica de esta función es la

recta horizontal 𝑦 = 𝑐, la cual tiene pendiente 0, de modo

que debe tener 𝑓 ‘(𝑥) = 0 . (Véase la figura) Una

demostración formal, a partir de la definición de derivada,

también es fácil:

𝑓′(𝑥) = limℎ→0

𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)

ℎ= lim

ℎ→0

𝑐 − 𝑐

ℎ= lim

ℎ→00 = 0

Ejemplo

𝑑

𝑑𝑥6 = 0

Derivada de una potencia Esta regla se expresa como:

𝑑

𝑑𝑥(𝑥) = 1

Demostración

Enseguida, se consideran las funciones 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑛, donde 𝑛

es un entero positivo. Si 𝑛 = 1, la gráfica de 𝑓(𝑥) = 𝑥 es la

recta 𝑦 = 𝑥, la cual tiene pendiente 1 (véase la figura). De

modo que una demostración formal, a partir de la definición

de derivada, también es fácil:


𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)

ℎ= lim

ℎ→0

𝑥 + ℎ − 𝑥

ℎ= lim

ℎ→0

ℎ

ℎ= 1


Ejemplo

𝑑

𝑑𝑥(15𝑥) = 15

Regla de la Potencia Si 𝑛 es un entero positivo, entonces

𝑑

𝑑𝑥(𝑥𝑛) = 𝑛𝑥𝑛−1

Demostración

La fórmula: 𝑥𝑛 − 𝑎𝑛 = (𝑥 − 𝑎)(𝑥𝑛−1 + 𝑥𝑛−2𝑎 + ⋯ + 𝑥𝑎𝑛−2 + 𝑎𝑛−1)

Se necesita desarrollar (𝑥 + ℎ)𝑛 y, para hacerlo, se utiliza el teorema del binomio:


[𝑥𝑛 + 𝑛𝑥𝑛−1ℎ +𝑛(𝑛 − 1)

2 𝑥𝑛−2ℎ2 + ⋯ 𝑛𝑥ℎ𝑛−1 + ℎ𝑛] − 𝑥𝑛

ℎ


𝑛𝑥𝑛−1ℎ +𝑛(𝑛 − 1)

2 𝑥𝑛−2ℎ2 + ⋯ 𝑛𝑥ℎ𝑛−1 + ℎ𝑛

ℎ


[𝑛𝑥𝑛−1 +𝑛(𝑛 − 1)

2𝑥𝑛−2ℎ + ⋯ 𝑛𝑥ℎ𝑛−2 + ℎ𝑛−1]

𝑓′(𝑥) = 𝑛𝑥𝑛−1

Ejemplo

𝑑

𝑑𝑥(15𝑥3 + 3𝑥2 + 7𝑥 + 5) = 30𝑥2 + 6𝑥 + 7

Regla del múltiplo constante La derivada de una constante multiplicada por una función es la constante multiplicada

por la derivada de la función

Si 𝑐 es una constante y 𝑓 es una función derivable, entonces

𝑑

𝑑𝑥[𝑐𝑓(𝑥)] = 𝑐

𝑑

𝑑𝑥𝑓(𝑥)


Demostración

𝑔′(𝑥) = limℎ→0

𝑔(𝑥 + ℎ) − 𝑔(𝑥)

ℎ= lim

ℎ→0

𝑐𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑐𝑓(𝑥)

ℎ= lim

ℎ→0𝑐 [

𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)

ℎ]

= 𝑐 limℎ→0

[𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)

ℎ] = 𝑐𝑓′(𝑥)

Ejemplo

𝑑

𝑑𝑥(3𝑥4) = 3

𝑑

𝑑𝑥𝑥4 = 3(4𝑥3) = 12𝑥3

Regla de la suma Si 𝑓 y 𝑔 son derivables, entonces

𝑑

𝑑𝑥[𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)] =

𝑑

𝑑𝑥𝑓(𝑥) +

𝑑

𝑑𝑥𝑔(𝑥)

Demostración

Sea 𝐹(𝑥) = 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥), entonces

𝐹′(𝑥) = limℎ→0

𝐹(𝑥 + ℎ) − 𝐹(𝑥)

ℎ= lim

ℎ→0

[𝑓(𝑥 + ℎ) + 𝑔(𝑥 + ℎ)] − [𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)]

ℎ

= limℎ→0

[𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)

ℎ+

𝑔(𝑥 + ℎ) − 𝑔(𝑥)

ℎ]

= limℎ→0

𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)

ℎ+ lim

ℎ→0

𝑔(𝑥 + ℎ) − 𝑔(𝑥)

ℎ

= 𝑓′(𝑥) + 𝑔′(𝑥)

Ejemplo

𝑑

𝑑𝑥(𝑥8 + 12𝑥5 + 4𝑥4) = 8𝑥7 + 60𝑥4 + 16𝑥3

Regla de la diferencia Si tanto 𝑓 como 𝑔 son derivables, entonces

𝑑

𝑑𝑥[𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)] =

𝑑

𝑑𝑥𝑓(𝑥) −

𝑑

𝑑𝑥𝑔(𝑥)


Demostración

Sea 𝐹(𝑥) = 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥), entonces

𝐹′(𝑥) = limℎ→0

𝐹(𝑥 + ℎ) − 𝐹(𝑥)

ℎ= lim

ℎ→0

[𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑔(𝑥 + ℎ)] − [𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)]

ℎ

= limℎ→0

[𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)

ℎ−

𝑔(𝑥 + ℎ) − 𝑔(𝑥)

ℎ]

= limℎ→0

𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)

ℎ− lim

ℎ→0

𝑔(𝑥 + ℎ) − 𝑔(𝑥)

ℎ

= 𝑓′(𝑥) − 𝑔′(𝑥)

Ejemplo

𝑑

𝑑𝑥(2𝑥8 − 10𝑥2 − 3𝑥) = 16𝑥7 − 20𝑥 − 3

Regla del producto Si 𝑓 y 𝑔 son derivables, entonces

𝑑

𝑑𝑥[𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)] = 𝑓(𝑥)

𝑑

𝑑𝑥[𝑔(𝑥)] + 𝑔(𝑥)

𝑑

𝑑𝑥[𝑓(𝑥)]

En palabras, la regla del producto expresa que la derivada de un producto de dos

funciones es la primera función multiplicada por la derivada de la segunda función,

más la segunda función multiplicada por la derivada de la primera función.

Demostración

Se supone que 𝑢 = 𝑓(𝑥) y 𝑣 = 𝑔(𝑥) son funciones

positivas derivables. Entonces se puede interpretar el

producto 𝑢𝑣 como el área de un rectángulo. Si 𝑥 cambia

una cantidad ∆𝑥, entonces los cambios correspondientes

en 𝑢 y 𝑣 son:

∆𝑢 = 𝑓(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥) ∆𝑣 = 𝑔(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑔(𝑥)


Por lo que el nuevo valor del producto, (𝑢 + ∆𝑢)(𝑣 + ∆𝑣), puede interpretarse como el

área del rectángulo grande en la figura

El cambio en el área del rectángulo es

∆(𝑢𝑣) = (𝑢 + ∆𝑢)(𝑣 + ∆𝑣) − 𝑢𝑣

∆(𝑢𝑣) = 𝑢∆𝑣 + 𝑣∆𝑢 + ∆𝑢∆𝑣 = 𝑙𝑎 𝑠𝑢𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑡𝑟𝑒𝑠 á𝑟𝑒𝑎𝑠 𝑠𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒𝑎𝑑𝑎𝑠.

Si se divide entre ∆𝑥, se obtiene

∆(𝑢𝑣)

∆𝑥= 𝑢

∆𝑣

∆𝑥+ 𝑣

∆𝑢

∆𝑥+ ∆𝑢

∆𝑣

∆𝑥

Si ahora se hace ∆𝑥 → 0, se obtiene la derivada de 𝑢𝑣

𝑑

𝑑𝑥(𝑢𝑣) = lim

∆𝑥→0

∆(𝑢𝑣)

∆𝑥

𝑑

𝑑𝑥(𝑢𝑣) = lim

∆𝑥→0(𝑢

∆𝑣

∆𝑥+ 𝑣

∆𝑢

∆𝑥+ ∆𝑢

∆𝑣

∆𝑥)

𝑑

𝑑𝑥(𝑢𝑣) = 𝑢 lim

∆𝑥→0

∆𝑣

∆𝑥+ 𝑣 lim

∆𝑥→0

∆𝑢

∆𝑥+ ( lim

∆𝑥→0∆𝑢) ( lim

∆𝑥→0

∆𝑣

∆𝑥)

𝑑

𝑑𝑥(𝑢𝑣) = 𝑢

𝑑𝑣

𝑑𝑥+ 𝑣

𝑑𝑢

𝑑𝑥+ 0

𝑑𝑣

𝑑𝑥

𝑑

𝑑𝑥(𝑢𝑣) = 𝑢

𝑑𝑣

𝑑𝑥+ 𝑣

𝑑𝑢

𝑑𝑥

Ejemplo

𝑑

𝑑𝑥(𝑥3 + 2𝑥)𝑥2 = (𝑥3 + 2𝑥)

𝑑

𝑑𝑥𝑥2 + 𝑥2

𝑑

𝑑𝑥(𝑥3 + 2𝑥)

= (𝑥3 + 2𝑥)2𝑥 + 𝑥2(3𝑥2 + 2)

= 2𝑥4 + 4𝑥2 + 3𝑥4 + 2𝑥2

= 7𝑥4 + 6𝑥2


Regla del cociente Si 𝑓 y 𝑔 son derivables, entonces

𝑑

𝑑𝑥[𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥)] =

𝑔(𝑥)𝑑

𝑑𝑥[𝑓(𝑥)] − 𝑓(𝑥)

𝑑𝑑𝑥

[𝑔(𝑥)]

[𝑔(𝑥)]2

En palabras: en la regla del cociente se expresa que la derivada de un cociente es el

denominador multiplicado por la derivada del numerador, menos el numerador

multiplicado por la derivada del denominador, todo dividido entre el cuadrado del

denominador.

Demostración

Encontramos una regla para derivar el cociente de dos funciones derivables 𝑢 = 𝑓(𝑥)

y 𝑣 = 𝑔(𝑥) en gran parte de la misma manera que hemos encontrado la regla del

producto. Si 𝑥, 𝑢 y 𝑣 se incrementan por cantidades ∆𝑥, ∆𝑢 y ∆𝑣, entonces el cambio

correspondiente en el cociente 𝑢/𝑣 es

∆ (𝑢

𝑣) =

𝑢 + ∆𝑢

𝑣 + ∆𝑣−

𝑢

𝑣=

(𝑢 + ∆𝑢)𝑣 − 𝑢(𝑣 + ∆𝑣)

𝑣(𝑣 + ∆𝑣)=

𝑣∆𝑢 − 𝑢∆𝑣

𝑣(𝑣 + ∆𝑣)

Por tanto,

𝑑

𝑑𝑥(

𝑢

𝑣) = lim

∆𝑥→0

∆(𝑢 𝑣⁄ )

∆𝑥= lim

∆𝑥→0

𝑣∆𝑢∆𝑥 − 𝑢

∆𝑣∆𝑥

𝑣(𝑣 + ∆𝑣)

Cuando ∆𝑥 → 0, también ∆𝑣 → 0, porque 𝑣 = 𝑔(𝑥) es derivable y, por consiguiente,

continua. Así, al aplicar las leyes de los límites, se obtiene

𝑑

𝑑𝑥(

𝑢

𝑣) =

𝑣 lim∆𝑥→0

∆𝑢∆𝑥 − 𝑢 lim

∆𝑥→0

∆𝑣∆𝑥

𝑣 lim∆𝑥→0

(𝑣 + ∆𝑣)=

𝑣𝑑𝑢𝑑𝑥

− 𝑢𝑑𝑣𝑑𝑥

𝑣2

Ejemplo

𝑑

𝑑𝑥(

1 + 2𝑥

3 − 4𝑥) =

(3 − 4𝑥)𝑑

𝑑𝑥(1 + 2𝑥) − (1 + 2𝑥)

𝑑𝑑𝑥

(3 − 4𝑥)

(3 − 4𝑥)2

=2(3 − 4𝑥) − 4(1 + 2𝑥)

(3 − 4𝑥)2


=6 − 4𝑥 − 4 + 8𝑥

(3 − 4𝑥)2

=2 + 4𝑥

(3 − 4𝑥)2

APLICACIONES FÍSICAS DE LA DERIVADA

Velocidad media L a velocidad media es el cociente entre el espacio recorrido (𝛥𝑒) y el tiempo

transcurrido (𝛥𝑡).

𝑣𝑚(𝑡) =∆𝑒

∆𝑡=

𝑓(𝑡 + ∆𝑡) − 𝑓(𝑡)

∆𝑡

Velocidad instantánea La velocidad instantánea es el límite de la velocidad media cuando Δt tiende a cero,

es decir, la derivada del espacio respecto al tiempo.

𝑣(𝑡) = lim∆𝑡→0

∆𝑒

∆𝑡= lim

∆𝑡→0

𝑓(𝑡 + ∆𝑡) − 𝑓(𝑡)

∆𝑡= 𝑒′(𝑡)

Aceleración instantánea La aceleración instantánea es la derivada de la velocidad respecto al tiempo.

𝑎 = 𝑣′(𝑡)

Por tanto, la aceleración es la derivada segunda del espacio respecto al tiempo.

𝑎 = 𝑒′′(𝑡)


Ejemplo

El espacio recorrido por un móvil viene dado por la función 𝑒(𝑡) = 3𝑡2 − 𝑡 + 1. El

espacio se mide en metros y el tiempo en segundos.

1. Hallar la ecuación de la velocidad

𝑣(𝑡) = 𝑒′(𝑡) = 6𝑡 − 1

2. Hallar la velocidad en el instante 𝑡 = 0

𝑉(0) = 6(0) − 1 = −1 𝑚/𝑠

3. Hallar la ecuación de la aceleración.

𝑎(𝑡) = 𝑣’(𝑡) = 𝑒’’(𝑡) = 6 𝑚/𝑠2


CONCLUSIONES

Aquí se derivan todas las funciones básicas, los teoremas sobre la derivada de una

suma, diferencia, constante, multiplicación y cociente, son la base de otras

aplicaciones. El cálculo ha ayudado a otras ciencias encontrar la base de sus

ecuaciones.

Las derivadas son una base del cálculo, en base a los teoremas anteriores ayudan a

encontrar una base de otras funciones y sus gráficas dadas.

RECOMENDACIONES

Cuando las derivadas se calculan en situaciones aplicadas, se pide a los estudiantes

explicar su significado, ellos mismos van encontrando las aplicaciones dadas y así

ellos se les facilitan el aprendizaje respecto al tema dado.

Las aplicaciones a otras ciencias ayudan a relacionar la Matemática a otras ciencias y

a otros aspectos de la vida diaria.

BIBLIOGRAFÍA

Larson, R. (2007). DERIVADAS. En Larson, R., Cálculo (págs. 106-130). México: Mc

Graw Hill.

Stewart, J. (2012). REGLAS DE DERIVACIÓN. Stewart, J. Cálculo (págs. 173-193).

México: Cencage Learning

Thomas, G. (2010). REGLAS DE DERIVACIÓN. En Thomas, G. , Cálculo (págs. 115-

134). México: Pearson


25-9-2015

8. EXTREMOS DE UNA FUNCIÓN




INTRODUCCIÓN

Luego de conocer las reglas de derivación se encuentra en mejor posición para continuar

con mayor profundidad con las aplicaciones de la derivada. Conocer, cómo la derivada

afecta la forma de una gráfica de una función y, particularmente, cómo ayuda a localizar

valores máximos y mínimos de funciones. En la práctica muchos problemas exigen

minimizar un costo o maximizar un área, o bien, encontrar el mejor resultado posible para

una situación.


OBJETIVOS

OBJETIVOS GENERALES

Conocer los extremos de una función.

Describir los teoremas de los extremos de una función.


Describir de manera gráfica los extremos de una función.

Clasificar los extremos de una función.

Deducir los teoremas.

Representar de forma gráfica el tema


EXTREMOS DE UNA FUNCIÓN

VALORES EXTREMOS Definición

Sea 𝑓 definida en un intervalo 𝐼 conteniendo a 𝑐.

1. 𝑓(𝑐) es el mínimo de 𝑓 en 𝐼 sí 𝑓(𝑐) ≤ 𝑓(𝑥) para todo 𝑥 en 𝐼.

2. 𝑓(𝑐) es el máximo de 𝑓 en 𝐼 sí 𝑓(𝑐) ≥ 𝑓(𝑥)para todo 𝑥 en 𝐼.

El mínimo y el máximo de una función se llaman valores extremos o extremos de la

función en ese intervalo.

Observaciones

1. A los valores extremos, se les llama mínimo y máximo absolutos si se cumple

la desigualdad correspondiente para todo x en el dominio de 𝑓.

2. ¿Tiene 𝑓 un valor máximo o mínimo en 𝐼?. Una función puede no tener mínimo

o máximo en un intervalo, de hecho, puede carecer de ambos.

Comparando los dos primeros gráficos vemos que se pierde un máximo al cambiar el

intervalo cerrado [−1,2] por el abierto (−1,2)


En los gráficos, observamos que una discontinuidad (𝑥 = 0) puede afectar la

existencia de extremos sobre un intervalo cerrado o abierto.

El siguiente enunciado se trata de un teorema de existencia, pues asegura que existe

el máximo y el mínimo pero no dice cómo calcularlos.

Teorema de Valor Extremo. Si f es continua en un intervalo cerrado entonces f tiene máximo y mínimo en el

intervalo.

Por lo general una función que queremos maximizar o minimizar tiene como dominio

un intervalo I. Pero este intervalo puede ser, abierto, cerrado, semi-abierto e infinito.

Algunos de ellos contienen sus puntos frontera, otros no. Por ejemplo:

[𝑎, 𝑏] contiene a sus puntos frontera.

[𝑎, 𝑏) contiene sólo al punto frontera de la izquierda.

(𝑎, 𝑏] contiene sólo al punto frontera de la derecha.

(𝑎, 𝑏) no contiene puntos frontera.

A menudo los extremos de las funciones definidas en intervalos cerrados se presentan

en puntos frontera. Si c es un punto para el cual 𝑓′(𝑐) = 0 , lo llamamos punto

estacionario.

Los valores extremos con frecuencia se presentan en puntos estacionarios. Si 𝑐 es un

punto interior a 𝐼 en el que no existe 𝑓´, lo llamamos punto singular. Es un punto en

que la gráfica de 𝑓 tiene un vértice agudo, una tangente vertical, o tal vez da un salto.


Los valores extremos pueden darse en puntos singulares. Estas tres clases de puntos,

son la clave de la teoría de máximos y mínimos. Cualquier punto del dominio de f que

sea uno de estos tres tipos se llama punto crítico de 𝑓.

En la figura se ilustra el teorema del valor extremo. Observe que un valor extremo se

puede tomar más de una vez. Aun cuando el teorema del valor extremo es muy

aceptable a nivel intuitivo, su demostración es difícil, por consiguiente, se omite.

Máximo y mínimo local

El número 𝑓 (𝑐) es un

valor máximo local de f si 𝑓(𝑐) = 𝑓(𝑥) cuando 𝑥 está cerca de 𝑐.

valor mínimo local de f si 𝑓(𝑐) = 𝑓(𝑥) cuando 𝑥 está cerca de 𝑐.


Si decimos que algo es cierto cerca de 𝑐, queremos decir que es cierto en algún

intervalo abierto que contiene a 𝑐. Por ejemplo, en la figura se ve que 𝑓(4) = 5 es un

mínimo local porque es el menor valor de 𝑓 en el intervalo 𝐼. No es el mínimo absoluto

porque 𝑓(𝑥) tiene valores menores cuando

𝑥 está cerca de 12 (en el intervalo de 𝐾,

por ejemplo). De hecho 𝑓(12) = 3 es un

mínimo local y el mínimo absoluto. De

modo similar, 𝑓(8) = 7 es un máximo

local, pero no el máximo absoluto porque

𝑓 toma valores más grandes cerca de 1.

NÚMEROS CRÍTICOS Si 𝑓 está definida en un intervalo 𝐼 que contiene al punto 𝑐. Si 𝑓(𝑐) es un valor extremo

entonces 𝑐 debe ser un punto crítico de 𝑓; es decir, tendrá que ser uno de los tres

casos siguientes: (a) un punto frontera, (b) un punto estacionario de 𝑓(𝑓 ′(𝑐) = 0) y (𝑐)

un punto singular de 𝑓 en el que 𝑓 ′(𝑐) no exista.

En conclusión:

Un número crítico de una función 𝑓 es un número 𝑥 = 𝑐 en el dominio de 𝑓 tal que

𝑓′(𝑐) = 0 o 𝑓 = (𝑐) no existe.

Ejemplo

Encuentre los números críticos de 𝑓(𝑥) = 𝑥3

5⁄ (4 − 𝑥)

La regla del producto 𝑓′(𝑥) = 𝑥3 5⁄ (−1) + (4 − 𝑥) (3

5𝑥−2 5⁄ )

= −𝑥3 5⁄ +3(4 − 𝑥)

5𝑥2 5⁄=

−5𝑥 + 3(4 − 𝑥)

5𝑥2 5⁄=

12 − 8𝑥

5𝑥2 5⁄

Se obtienen los mismos valores escribiendo primero 𝑓(𝑥) = 4𝑥3

5⁄ − 𝑥8

5⁄ . Así que

𝑓′(𝑥) = 0 si 12 − 8𝑥 = 0; es decir 𝑥 =3

2 y 𝑓′(𝑥) no existe cuando 𝑥 = 0. Por tanto, los

números críticos son 3

2 y 0


Para hallar un máximo o un mínimo absolutos de una función continua sobre un

intervalo cerrado, observe que o es un extremo local [en cuyo caso, se presenta en un

número crítico] o se presenta en uno de los puntos extremos del intervalo. De este

modo, el siguiente procedimiento de tres pasos siempre funciona.

Método del intervalo cerrado Para hallar los valores máximo y mínimo absolutos de una función continua 𝑓 sobre un

intervalo cerrado [𝑎, 𝑏]:

1. Encuentre los valores de 𝑓 en los números críticos de 𝑓 en (𝑎, 𝑏).

2. Halle los valores de 𝑓 en los puntos extremos del intervalo.

3. El más grande de los valores de los pasos 1 y 2 es el valor máximo absoluto; el

más pequeño, el valor mínimo absoluto.

Ejemplo

Encuentre los valores absolutos máximo y mínimo de la función

𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 3𝑥2 + 1, −1

2≤ 𝑥 ≤ 4

Solución: dado que f es continua sobre [−1

2, 4] , se puede utilizar el teorema del

intervalo cerrado.

𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 3𝑥2 + 1

𝑓′ (𝑥) = 3𝑥2 − 6𝑥

𝑓′ (𝑥) = 3𝑥(𝑥 − 2)

Puesto que 𝑓’(𝑥) existe para toda 𝑥, los únicos valores críticos de 𝑓 ocurren cuando

𝑓’(𝑥) = 0; esto es, en 𝑥 = 0 o 𝑥 = 2. Se debe observar que cada uno de estos números

críticos está en el intervalo (−1

2, 4). Los valores de 𝑓 en estos números críticos son

𝑓(0) = 1 𝑓(2) = −3

Los valores de 𝑓 en los puntos extremos del intervalo son

𝑓 (−1

2) =

1

8 𝑓(4) = 17


Comparando estos cuatro números, vemos que el valor máximo absoluto es 𝑓 (4) =

17 y el valor mínimo absoluto es 𝑓 (2) = −3.

EXTREMOS RELATIVOS En la figura siguiente observamos que los valores extremos pueden ocurrir en puntos

interiores o terminales (fronteras) de un intervalo. Estos últimos se llaman extremos

terminales y los que ocurren en puntos interiores se llaman extremos relativos.

Definición de Extremos Relativos. Sea 𝑓 una función y 𝑐 ∈ 𝐷𝑜𝑚 𝑓 se dice que 𝑓 tiene:

1. Un máximo relativo (o máximo local) en el punto c si existe un 𝛿 > 0 tal que

𝑓(𝑐) ≥ 𝑓(𝑥), para todo 𝑥 ∈ (𝑐 − 𝛿, 𝑐 + 𝛿).

2. Un máximo relativo (o mínimo local) en el punto c si existe un 𝛿 > 0 tal que

𝑓(𝑐) ≤ 𝑓(𝑥), para todo 𝑥 ∈ (𝑐 − 𝛿, 𝑐 + 𝛿).

Los máximos y mínimos relativos de f reciben el nombre común de extremos relativos

de 𝑓.

Ejemplo

En la gráfica se ve que 𝑓 tiene un máximo en algunos puntos respecto a ciertos

intervalos y no respecto de otros. Análogamente sucede con el mínimo. Además

parece que la manera de obligar a esos puntos a ser extremos es escoger intervalos

suficientemente pequeños para producir una colina local o un valle. Esta es la idea

esencial de la definición anterior. La colina más alta corresponde al máximo absoluto

de 𝑓 y el valle más profundo corresponde al mínimo absoluto. Las otras colinas y los

otros valles corresponden a los máximos locales.


APLICACIONES Este tema de los extremos de una función se puede aplicar en temas de física.

Ejemplo

El telescopio espacila Hubble fue puesto en operación el 24 de abril de 1990 por el

trasbordador espacial Discovery. Un modelo para la velocidad del trasbordador

durante su misión desde el lanzamiento en 𝑡 = 0 hasta que los cohetes auxiliares de

combustible sólido se desprenden en el instante 𝑡 = 126 𝑠, está dado por

𝑣(𝑡) = 0.001302𝑡3 − 0.09029𝑡2 + 23.61𝑡 − 3.083

(En pies por segundo). Usando este modelo, estime los valores máximo y mínimo

absolutos de la aceleración del trasbordador entre el lanzamiento y el desprendimiento

de los cohetes auxiliares de combustible sólido.

Solución: Se pide hallar los valores extremos no de la función de velocidad dada sino

de la función de aceleración. Por consiguiente, primero necesita derivar para encontrar

la aceleración:

𝑎(𝑡) = 𝑣′(𝑡) =𝑑

𝑑𝑡(0.001302𝑡3 − 0.09029𝑡2 + 23.61𝑡 − 3.083)

= 0.003906𝑡2 − 0.18058𝑡 + 23.61

Aplicando ahora el método del intervalo cerrado a la función continua 𝑎 en el intervalo

0 ≤ 𝑡 ≤ 126. Su derivada es

𝑎′(𝑡) = 0.007812𝑡 − 0.18058

El único número crítico se presenta cuando 𝑎′(𝑡) = 0

𝑡1 =0.18058

0.007812≈ 23.12

Al evaluar a 𝑎(𝑡) en el número crítico y en los extremos, tiene

𝑎(0) = 23.61 𝑎(𝑡1) ≈ 21.52 𝑎(126) ≈ 62.87

De modo que la aceleración máxima es alrededor de 62.87 𝑝𝑖𝑒𝑠 𝑠2⁄ y la aceleración

mínima es alrededor de 21.52 𝑝𝑖𝑒𝑠 𝑠2⁄


CONCLUSIONES

En matemáticas, los máximos y mínimos de una función, conocidos colectivamente

como extremos de una función, son los valores más grandes o más pequeños, que

toma una función en un punto situado ya sea dentro de una región en particular de la

curva o en el dominio de la función en su totalidad

RECOMENDACIONES

Dar de manera didáctica el tema mediante gráficas y por medio de la observación que

ellos expliquen con sus propias palabras que entienden del tema y que relación tienen

las gráficas.

Utilizar las gráficas para un mejor aprendizaje.

Demostrar los teoremas en base a lo que se ha visto en clase.

BIBLIOGRAFÍA

Larson, R. (2007). APLICACIONES DE LAS DERIVADAS. En Larson, R., Cálculo

(págs. 106-130). México: Mc Graw Hill.

Stewart, J. (2012). APLICACIONES DE LAS DERIVADAS. Stewart, J. Cálculo (págs.

173-193). México: Cencage Learning

Thomas, G. (2010). APLICACIONES DE LAS DERIVADAS. En Thomas, G. , Cálculo

(págs. 115-134). México: Pearson


PEDAGOGÍA

EXÁMEN ESCRITO


25-9-2015

9. LA ESCUELA DEMOCRATICA




INTRODUCCIÓN

Las escuelas democráticas tienen como origen de una corriente pedagógica donde

profesores y profesoras, comprometidos con esta corriente educativa, hacen de la

democracia su estilo de vida y su ideal; el currículo que oficialmente se conocen adquere

un significado especial bajo una perspectiva social, democratica y ciudadana


OBJETIVOS

OBJETIVOS GENERALES

Definir la escuela democrática

Conocer las características


Describir los principios de la escuela democrática.

Analizar la estructura democrática.

Deducir las características.

Conocer las formas de aplicación de la democracia en institución educativa


LA ESCUELA DEMOCRATICA

HISTORIA En 1693, John Locke publicó Algunos Pensamientos sobre la Educación. En la

descripción de la enseñanza de niños, el declara, "Ninguna de las cosas que se van a

aprender, jamás deberían ser hechas para agobiarlos o imponerlas como tareas. Lo que

sea propuesto, en breve se vuelve fastidioso; la mente toma una aversión hacia ello,

aunque antes era cosa de deleite o indiferencia. Darle permiso a un niño pero tener la

orden de azotar su parte superior a cierto tiempo cada día, sin importar si se hubiera

empeñado en ello o no; permitirlo pero requerir de el como un deber, de forma que el

deba pasar muchas horas de la mañana y la tarde, y ver si el no estará pronto agotado

de algún juego a este ritmo". El libro de consejos de educación de Jean-Jacques

Rousseau, Émile, se publicó por primera vez en 1762. Émile, el alumno imaginario que

utiliza para su ilustración, fue solo para aprender lo que el pudiera apreciar como útil. Era

para disfrutar su lección y aprender a depender de su propio juicio y experiencia. "El tutor

no debe añadir preceptos, debe permitir que se descubran", escribió Rousseau, e insistió

en no hacer que Émile aprenda ciencia, pero permitir que la descubra. También dijo que

no deberíamos sustituir los libros por experiencias personales porque esto no nos enseña

a razonar; nos enseña a utilizar el razonamiento de otras personas; nos enseña a creer

en cosas grandes pero a nunca saber nada.

El conocido escritor Tolstoi fue el pionero en la apertura de una escuela de este tipo en

su Rusia natal a finales del siglo XIX. Pero la que sin duda mayor notoriedad ha alcanzado

es Summerhill, fundada por Alexander S.Neill, en Inglaterra. En la actualidad hay más

escuelas democráticas en el mundo, aunque siguen siendo una rareza.


DESARROLLO Las escuelas democráticas son una opción más entre las

consideradas escuelas “alternativas”. Se podría decir que las

escuelas alternativas son llamadas así porque son una opción

que es minoritaria frente a la prevalente.

La principal característica de las escuelas democráticas es que la participación en ellas

de los alumnos y del personal es libre e igualitaria. Esto se aplica mediante la toma de

decisiones conjuntas por parte de todos los participantes en lo relativo a la organización

cotidiana y el aprendizaje.

Los aspectos más significativos de estas escuelas son los relativos a:

Currículum

Características

Estructura y procesos democráticos

Calificaciones

Juegos

Castigos

Currículum No se sigue un currículum obligatorio prefijado, sino que

se enfatiza en el aprendizaje como fruto de la actividad

voluntaria y el mero interés del estudiante por realizarla.

Se estimula mucho el intercambio de ideas, la

conversación, entre los alumnos, ya que interactuar con otras personas es básico para

encontrar los propios intereses. A menudo los estudiantes de mayor edad son “tutores”

de los más jóvenes. En definitiva, el alumno es quien decide qué, cuándo, cómo y con

quién aprende.

Cada uno es responsable de su propia educación, y deben tomar decisiones

constantemente. Hay quien lo considera una forma de “unschooling”.


Características

La escuela como comunidad democrática y espacio para la solución de conflictos

La escuela es una comunidad de aprendizaje, en ella adquirimos conocimientos

científicos y desarrollamos habilidades, pero también es un espacio para aprender a

convivir y a desarrollarnos como personas. Este aprendizaje incluye el respeto a normas

y reglas, el establecimiento de relaciones de confianza y solidaridad, la resolución de

conflictos de manera no violenta y la convivencia democrática.

Crecer y convivir con los demás

La convivencia democrática requiere que se respeten las reglas y normas establecidas y

que todas las personas se traten de manera respetuosa. En la familia y en la escuela

podemos aprender a convivir porque en ellos se establecen las primeras relaciones

afectivas, se define la personalidad, se desarrollan valores, se aprende a proteger los

derechos de todos, dialogar y resolver conflictos de manera no violenta.

Relaciones de confianza en el trabajo escolar

Es importante contribuir a crear un ambiente de confianza en la escuela porque en estas

condiciones se respeta mas la dignidad, se realiza mejor el trabajo escolar y se fortalecen

los valores. A veces se abusa de la amistas, se crean relaciones dañinas y se genera en

el salón de clases un ambiente hostil y violento.

Un ambiente de confianza tiene características como:

*Creemos en lo que nos dicen nuestros compañeros y compañeras.

*Podemos hablar francamente de lo que sentimos, de lo que nos pasa y de lo que

opinamos.

*Compartimos secretos, miedos o inseguridades con algunos miembros del grupo.

Solidaridad, respeto y responsabilidad en el trabajo individual y de grupo

La solidaridad es un sentimiento, un valor y un principio de la acción moral que nos mueve

a colaborar con otras personas para resolver problemas comunes, para apoyar los


objetivos de otras personas o para ayudar a quienes tienen un problema, son víctimas de

una catástrofe, de una injusticia o la violencia.

La responsabilidad significa responder ante otros, cumplir con lo que tenemos que hacer

y asumir lo que nos corresponde. Es posible fortalecer la práctica de los valores durante

la realización del trabajo escolar y en la convivencia diaria.

Diferentes formas de ser y de pensar

La escuela como primer medio ajeno al medio familiar representa, una puerta para

ponernos en contacto con concepciones. La diversidad representa una oportunidad de

crecimiento. En la escuela se reúnen y conviven diaria mente personas de diferentes

edades, hombres y mujeres, jóvenes y adultos con distintas costumbres y valores,

personas con experiencias de vida muy diversas; por eso se considera que la escuela es

un espacio importante en la socialización para niños y adolecentes.

La diversidad nos enriquece, pero puede ser fuente de conflicto cuando no respetamos

las diferencias. Hay que analizar los desafíos y problemas que enfrentamos en la escuela

en cuanto al respecto a la diversidad.

Estructura Las escuelas democráticas tienen a menudo reuniones abiertas a todos los estudiantes

y personal, donde todos los presentes tienen voz y a veces igual voto.20 Algunas incluyen

a los padres. Estas reuniones escolares pueden cubrir todo desde cosas de poca

importancia hasta el nombramiento o despido del personal y la creación o anulación de

reglas, o gastos generales y la estructura del día escolar. En algunas escuelas se espera

que todos los estudiantes asistan a estas reuniones, en otras es voluntario.21 La reunión

principal de la escuela puede también establecer sub comités para lidiar con hechos

particulares, tales como la resolución de conflictos.


Decir que la democracia descansa en el consentimiento de las personas gobernadas

es casi un lugar común, pero en una escuela democrática es cierto que tienen derecho

a participar en el proceso de toma de decisiones todos los que están implicados

directamente en la escuela, incluidos los jóvenes. Por esta razón, las escuelas

democráticas están marcadas por la participación general en cuestiones de gobierno

y elaboración de política.

Las personas implicadas en las escuelas democráticas se ven a sí mismas como

participantes en comunidades de aprendizaje. Por su propia naturaleza, estas

comunidades son diversas y esa diversidad es algo que se aprecia, que no se

considera un problema. Este tipo de comunidades incluyen a personas que reflejan

las diferencias en la edad, la cultura, el origen étnico, el género, la clase

socioeconómica, las aspiraciones y las capacidades. Estas disparidades enriquecen

a la comunidad y la variedad de pareceres que puede considerar. Separar a las

personas de cualquier edad sobre la base de estas diferencias, o utilizar etiquetas

para formar estereotipos sobre ellas, sencillamente crea divisiones y sistemas de

posición social que empañan la naturaleza democrática de la comunidad y la dignidad

de los individuos contra quienes estas prácticas proceden con tanta dureza.

Aunque la comunidad estima la diversidad, tienen también un sentido del propósito

compartido. Por mucho que digan los privatizadores o los que quieren que la

racionalidad económica dirija las escuelas, la democracia no es simplemente una

teoría del interés propio que permite a las personas proseguir sus propias metas a

expensas de los otros; el bien común es un rasgo central de la democracia. Por esta

razón, las comunidades de quienes aprenden en las escuelas democráticas están

marcadas por otorgar importancia a la cooperación y la colaboración, más que ala

competición. Las personas ven su premio en los otros, y se toman medidas que

animan a los jóvenes a mejorar la vida de la comunidad ayudando a los demás.

En las escuelas democráticas las personas ponen de relieve constantemente la

igualdad estructural en todas estas disposiciones, y en las decisiones de política que

las apoyan. Aunque se entiende que el acceso inicial a las oportunidades educativas

en un aspecto necesario de las escuelas democráticas éste, por sí solo, no se

considera suficiente para su realización.


Los educadores comprometidos con la democracia se dan cuenta de que es probable

que las fuentes de desigualdad en la escuela se encuentren también en la comunidad.

Cómo mínimo, entienden que es demasiado fácil que la vida en el exterior disipe las

posibilidades que se originan en las experiencias democráticas en la escuela En

resumen, quieren la democracia a gran escala; la escuela es tan sólo uno de los sitios

en que se centran. Este es un punto crucial. El paisaje educativo está alfombrado con

los restos de reformas escolares fracasadas, muchas de las cuales fallaron debido a

las condiciones sociales que rodean las escuelas. Sólo las reformas que reconozcan

estas condiciones y entablen activamente combate con ellas cuentan con

probabilidades de tener un efecto duradero en la vida de los niños, los educadores y

las comunidades a las que las escuelas atienden.

Calificaciones Dada la ausencia de currículum oficial, es difícil poder establecer una clasificación de

estudiantes en función de sus logros. Por ello, las calificaciones no existen. Los

exámenes que se llevan a cabo son los que el estado exija y los que las universidades

requieran para ingresar en ellas

El juego: No hay ningún tipo de restricción a jugar. Los estudiantes pueden hacerlo tanto cuanto

quieran, y sin que nadie dirija el mismo. Los juegos electrónicos están también aceptados.

Gran parte del tiempo suele pasarse al aire libre. La mayor parte de los críticos a este

tipo de colegios centran sus dardos en la consideración (ampliamente aceptada) de que

jugar es perder el tiempo, a no ser que se trate de juegos educativos.

Castigos Contrariamente a lo que muchos podrían esperar, sí que existen los castigos o sanciones.

Generalmente, se crea la figura del mediador, que intenta que cuando surge un conflicto,

escuchando a las dos partes, éstas lleguen a una solución. Pero no siempre es posible.

Si la asamblea o el tribunal que se crea para dirimir estos problemas concluye que alguien

ha actuado de manera incorrecta, le puede imponer (o no) un castigo.


Otros Finanzas: Algunos ambientes de aprendizaje democrático son fundados por los padres,

algunos por obras de caridad. Las escuelas deben tener una escala proporcional basada

en los ingresos familiares. Existen escuelas democráticas financiadas con fondos

públicos en Canadá. e Israel

Tamaño: Las escuelas democráticas varían en tamaño desde pocos a cientos

estudiantes. Aún una persona sin educación puede ser descrita como alguien que

aprende de manera democrática, si la gente le trata con valores democráticos.

Rango de edad: La mezcla de edades en una política deliberada en algunas escuelas

democráticas. Puede incluir niños muy jóvenes, hasta bebés. Algunas escuelas

democráticas solo permiten estudiantes mayores.

Locación: La educación democrática no está limitada a un lugar en particular. Los

escenarios para las comunidades de aprendizaje democrático incluyen edificio de oficinas

calles de la ciudad y áreas rurales


CONCLUSIONES

La Educación Democrática es más que asambleas de alumnos, el voto en las aulas y la

generación de reglas internas por los alumnos. Es un movimiento que lleva los principios

de la democracia a la estructura escolar, esto implica una total modificación de la forma

en que concebimos la escuela. La Educación Democrática se basa en el respeto a los

niños y a los jóvenes. La Educación Democrática ocurre cuando se honra y se reconoce

a los niños como individuos que participan activamente en su camino por la educación.

La Educación Democrática es una educación basada en el sentido, la relevancia, la

alegría, la comunidad, el amor, y los derechos humanos.

RECOMENDACIONES

Tanto como el niño y el adolescente tienen un desarrollo mental, en donde va obteniendo

habilidades de destreza física e intelectual, es por ello que para el aprendizaje se debe

de dejar que ellos vayan construyendo su propio concepto de lo que están aprendiendo,

buscar metodologías y técnicas de aprendizaje donde ellos vayan descubriendo lo que

se quiere transmitir.

En Matemáticas hay muchas técnicas y metodologías, como lo es el método COPISI

donde ellos van construyendo con el material las ecuaciones que se quieren llegar a

construir o el número al que se quiere llegar.

En Física el docente puede utilizar experimentos donde ellos van activando los

conocimientos previos y además de tener la observación van a tener el tacto para ir

desarrollando de mejor manera el concepto de la clase.

BIBLIOGRAFÍA

Royer, J. (1978). TEORIA COGNOSCITIVA. En Royer, J. Psicología del aprendizaje

(págs 127-146). México: Limusa

Horrocks, J. (1989). DESARROLLO AFECTIVO Y COGNOSCITIVO. En Horrocks J.

Psicología del adolescente (págs 81-100). México: Trillas.

Woolfolk, A. (2010), DESARROLLO COGNOSCITIVO Y LENGUAJE. En Woolfolk, A.

Psicología educativa (págs 24-64). México: Pearson.


25-9-2015

10. EL DESARROLLO COGNITIVO




INTRODUCCIÓN

El desarrollo cognitivo se enfoca en los procedimientos intelectuales y en las conductas

que emanan de estos procesos. Este desarrollo es una consecuencia de la voluntad de

las personas por entender la realidad y desempeñarse en sociedad, por lo que está

vinculado a la capacidad natural que tienen los seres humanos para adaptarse e

integrarse a su ambiente. La modalidad más frecuente de analizar los datos y de emplear

los recursos cognitivos es conocido como estilo cognitivo. Cabe destacar que esto no

está vinculado a la inteligencia ni al coeficiente intelectual, sino que es un factor propio

de la personalidad. Otro concepto relacionado es el de prejuicio cognitivo, una distorsión

que afecta al modo en que una persona capta lo real. A nivel general, se habla de

distorsiones cognitivas cuando se advierten errores o fallos en el procesamiento de

información. La terapia cognitiva o terapia cognitiva-conductual, por último, es una forma

de intervención de la psicoterapia que se centra en la reestructuración cognitiva, ya que

considera que las distorsiones mencionadas anteriormente producen consecuencias

negativas sobre las conductas y las emociones.


OBJETIVOS

OBJETIVOS GENERALES

Definir el desarrollo cognitivo

Explicar las etapas del desarrollo cognitivo en el niño y el adolescente


Analizar las etapas de desarrollo tanto del niño como del adolescente.

Describir las emociones que presentan en cada etapa.

Definir las características de cada etapa cognoscitiva

Deducir como se debe de favorecer ese desarrollo en el niño y el adolescente.


DESARROLLO COGNOSCITIVO DEL NIÑO Y EL ADOLESCENTE

DEFINICIÓN Y NATURALEZA DE LA COGNICIÓN

La Cognición Es un término genérico que se usa para designar a todos los procesos por medio de los

cuales un individuo aprende e imparte significado a un objeto o idea, o bien a un conjunto

de objetos o ideas. Mediante los procesos cognoscitivos, la persona adquiere conciencia

y conocimientos acerca de un objeto. Entre estos procesos se cuentan los de percepción,

sensación, identificación, asociación, condicionamiento, pensamiento, concepción de

ideas, juicio, raciocinio, solución de problemas y memoria. Según Piaget, la cognición

entraña la conducta de estructuración que determina los diversos circuitos posibles entre

sujeto y objeto.

Desarrollo Cognoscitivo Se considera como una secuencia ascendente de etapas identificables, cada una de las

cuales es más compleja que la anterior. Por tanto, se puede diferenciar la conducta

cognoscitiva de las personas según las diferentes etapas de su desarrollo mental. El

conocimiento de la etapa de desarrollo cognoscitivo de un individuo permite predecir cual

será su más probable conducta de base cognoscitiva, y , al mismo tiempo, indica los

límites de los experimentos a los que se le podrá someter con provecho.

DESARROLLO COGNITIVO EN EL NIÑO Existen diferentes etapas evolutivas de desarrollo psicológico por las que pasan todas

las personas, cada una de ellas con sus características especiales. Es importante que

conozcamos cuales son estas etapas y qué es lo que las caracteriza para entender la

mentalidad de los niños y niñas y para enriquecer su desarrollo. Cada momento evolutivo

está definido, con las lógicas variaciones individuales, por unas características, que

debemos conocer para educar a los más pequeños

Áreas de desarrollo Las personas nos desarrollamos en diferentes áreas. Así se produce un desarrollo social,

afectivo, motor, del lenguaje y del pensamiento. Todas ellas están relacionadas, el

proceso de desarrollo es un proceso continuo y global. Todas las áreas están integradas

en el proceso mismo de crecimiento y todas se van desarrollando de forma conjunta,

interviniendo unas en otras.


Es importante conocer, todas las áreas del desarrollo, en este caso nos centraremos en

el desarrollo del pensamiento.

Etapas del desarrollo cognitivo (de pensamiento)

Piaget divide el desarrollo del pensamiento en las siguientes etapas:

1. Periodo Sensoriomotor (0-2 años))

La inteligencia de los niños y niñas es práctica, centrada en el sí mismo, y en el momento

presente en el aquí y ahora. El niño se relaciona con el mundo a través de los sentidos y

la acción.

A lo largo de este periodo se producen importantes adquisiciones, la acción de los bebés

evoluciona desde los reflejos innatos, que se convierten en hábitos. Poco después

aparecen las reacciones circulares (acciones encaminadas a mantener un resultado) y

con estas los primeros esquemas mentales. Más adelante el bebé se interesa por el

mundo exterior y descubre los procedimientos como forma de reproducir hechos y de

esta manera elabora ya acciones intencionadas. Al finalizar el periodo, adquiere la

capacidad de representación, esto es el concepto de constancia de objeto, es decir busca

el objeto escondido, sabe que esta presente aunque no lo tenga a simple vista, hace una

representación mental del mismo. Con esto entra ya en el siguiente estadio.

¿Qué podemos hacer para favorecer el desarrollo?

Enriquece las reacciones circulares, trata de que después de determinadas

acciones del bebé ocurra siempre el mismo resultado.

Permítele enriquecer estas reacciones circulares y elaborar esquemas mentales,

introduce pequeñas modificaciones. Veamos un ejemplo, si el bebé agita el

sonajero y repite la acción porque sabe que siempre ocurre el mismo resultado,

un sonido que le gusta, coge el sonajero y golpéalo contra la mesa por ejemplo,

para que el bebé vea como se producen modificaciones del hábito, empezará a

explorar.

Favorece el aprendizaje por ensayo error, para ello déjale experimentar, si el niño

juega con algún objeto, déjale que explore, que ensaye con él.


Proporciónale objetos que le permitan explorar el mundo más allá de sí mismo.

Utiliza para ello todo tipo de juguetes u objetos llamativos para él.

A partir de los 18 meses, comienza a jugar con él a esconder objetos. Muéstrale

el objeto y escóndelo por ejemplo bajo una servilleta, búscalo tú y alza la servilleta

enseñándole el objeto escondido. A continuación escóndelo de nuevo, y deja que

sea el niño el que busque el objeto escondido.

2. Pensamiento Pre-Operacional (2-7 años)

Se produce un avance en la forma de pensar. En esta etapa se produce un adelanto

extraordinario en la actividad representacional y aparece la función simbólica, los niños y

niñas utilizan símbolos para representar objetos, lugares y personas, puede retroceder y

avanzar en el tiempo. El pensamiento va más allá de los actos y los hechos inmediatos.

Pero en esta etapa el pensamiento es todavía rudimentario.

Características:

Egocentrismo. Los niños y niñas, entienden todo lo que pasa a su alrededor

partiendo de sí mismos. Ellos son el centro de todo lo que ocurre. Son incapaces

de ponerse en el lugar de otras personas. Son incapaces de distinguir los puntos

de vista propios de los de los otros. No son conscientes de otras perspectivas.

Incapacidad para conservar. No comprenden que ciertas características de los

objetos permanecen invariables, no cambian, cuando modifica su apariencia

externa. Veamos un ejemplo de esto, le mostramos al niño como pasamos una

cantidad de agua de un vaso a otro distinto (más estrecho y alto), no pueden

entender que haya la misma cantidad.

Razonamiento transductivo. Los niños y niñas en esta etapa razonan de lo

particular a lo particular. Se basa en muchas ocasiones en hechos desconectados

y hasta contradictorios.

Ausencia de clasificación jerárquica. No organizan objetos en clases basándose

en similitudes y diferencias entre ellos. Por ejemplo si les mostramos 6 canicas

blancas y 3 verdes, no es capaz de entender que el número total de canicas es

superior al de canicas blancas.


Se consolida el lenguaje y hay progreso en el comportamiento emocional y social.

Juego simbólico


Ten en cuenta en todo momento las características de la etapa y trata de adaptarte

al pensamiento del niño.

Emplea el juego simbólico. Juega con ellos a simbolizar cosas. Puedes jugar a los

médicos, a las tiendas, etc.

Aprovecha la actividad lúdica para Favorecer las representaciones y la función

simbólica.

Permite la exploración, exploración y experimentación

Al final de la etapa, a partir de los 5 años, intentaremos estimular al niño, pero con

paciencia y sin forzar su ritmo, para que vaya adquiriendo procesos de la siguiente

etapa. Intentaremos ayudarle a clasificar por ejemplo por colores, a explicarle

nuestros puntos de vista, etc. Pero sin forzar, no debemos pretender que el

pequeño lo comprenda pues tal vez no esté preparado para ello, pero le iremos

introduciendo en una nueva forma de pensamiento que él sólo ira alcanzando y

descubriendo.

3. Pensamiento de operaciones concretas (6-12 años)

Es una etapa que se sustenta en los logros de las etapas anteriores y se logran

importantes avances en el pensamiento. Los niños y niñas adquieren mayores nociones

y superan cualitativamente las posibilidades de su pensamiento. El pensamiento se

convierte en lógico. En esta etapa, comienza el razonamiento, los pensamientos dejan

de ser intuitivos y se basan en el razonamiento. Se aplica la lógica y comienza a pensar

en lo posible.. El pensamiento es reversible, flexible y mucho más complejo.

Características:

Conservación. En esta etapa comprenden que los objetos conversan ciertas

características

Reversibilidad. Son capaces de retroceder con el pensamiento y relacionar hechos

y fenómenos observados con anterioridad con hechos presentes.


La conservación y la reversibilidad les permiten coordinar puntos de vista.

Descentración. Su pensamiento ya no sólo se centra en un objeto u hecho, puede

establecer relaciones.

Capacidad de adoptar el papel de los demás, de ponerse en el lugar del otro.

Pensamiento lógico sobre lo concreto en el mundo inmediato. Pueden razonar,

pero sólo sobre cosas concretas que son reales.

Clasificación. Pueden organizar objetos en jerarquías de clases. Agruparlos según

similitudes o diferencias.

Seriación. Capacidad de organizar objetos en una serie que sigue un orden (por

ejemplo ordenar por altura creciente)


Desarrolla su capacidad de pensamiento reversible. Puedes emplear para ello por

ejemplo problemas de matemáticas, emplea problemas distintos pero similares,

déjale que los resuelva y le ayudas diciéndole “recuerdas el problema de ayer

¿cómo lo resolviste? ¿Qué hiciste mal?” poco a poco haz que los problemas sean

menos similares.

Ayúdale a identificar y plantear interrogantes a partir de la experiencia cotidiana.

Aprovecha para ello cualquier hecho, hazle preguntas y espera a que el responda,

pídele que te diga que se pregunta él ante ese hecho.

Haz que comprenda y establezca relaciones entre hechos y fenómenos del

entorno natural y social. Utiliza fenómenos relacionados y explícale las relaciones

causales entre los mismos. Más adelante empieza a hacerle preguntas ¿Por qué

crees que ocurre esto? ¿con que crees que está relacionado?

Dale oportunidades para que razone todo lo posible, sobre hechos concretos.

Apóyate en lo real y trata de hacerle pasar de lo concreto a lo abstracto. Para ello

primero transformaremos lo abstracto en lo concreto, emplea objetos cotidianos

para ejemplificar los conceptos abstractos, las cantidades por ejemplo, haz que

vean que el número 3 (concepto abstracto) significa que tienes una cantidad

determinada de algo, por ejemplo 3 canicas (objeto concreto). Después generaliza


ese concepto abstracto con varios ejemplos concretos, muéstrale que el número

3 simboliza 3 canicas, 3 naranjas, 3 lápices, 3 dados, etc.

Poco a poco introduce otros conceptos, como el de doble, mitad, etc. y procedes del

mismo modo, con objetos concretos le muestras lo que es doble y lo generalizas con más

objetos concretos.

4. Pensamiento Formal Abstracto (12 años en adelante)

Se logra la abstracción sobre conocimientos concretos observados, lo cual permite

emplear el razonamiento lógico inductivo y deductivo. Puede formular hipótesis, tiene en

cuenta el mundo de lo posible.

Características

Realidad concebida como subconjunto de lo posible. Se comprende que un

aspecto determinado puede deberse a un conjunto de factores. Son capaces de

prever situaciones. Porque pueden anticipar y ver diferentes posibilidades.

Carácter hipotético deductivo. Los adolescentes tienen ya la capacidad de buscar

un conjunto de explicaciones sobre algo, someterlas a prueba para comprobarlas.

Carácter proposicional. Para pensar sobre lo posible, no se basa solo en cosas

reales, ahora emplea además representaciones para pensar.

Pensamiento abstracto. Esto es pensar que sucede si…sin llegar a efectuar la

acción. Veámoslo, puede pensar que sucede si no llamo a mi abuela por su

cumpleaños, y anticipar lo que sucederá aunque no esté haciendo o no haciendo

la acción.


Emplea hechos cotidianos. Pregúntale que factores han provocado eso.

Haz debates con él. Deja que se exprese, exponle tu forma de pensar.

Analiza problemas éticos.

Pasa de lo concreto a lo abstracto, como en el periodo anterior, primero transforma

lo abstracto en ejemplos concretos y después estos los generalizas a lo abstracto.


Ayúdale a elaborar hipótesis y deducciones.

Pautas generales en todo el proceso de desarrollo

Al igual que en el proceso de desarrollo físico, y crecimiento del cuerpo, cuando

hablamos de desarrollo psicológico, cada persona sigue su propio ritmo personal.

El camino de desarrollo de cada uno es único. Es importante ser flexibles y

pacientes en este aspecto y respetar los diferentes ritmos de desarrollo.

Proporciona estímulos para favorecer el desarrollo, pero ten en cuenta que hay

procesos que no puede alcanzar. No fuerces al niño antes de tiempo para que

alcance metas que no son adecuadas.

Deja que sean ellos los que reflexionen y piensen. Si lo haces por ellos, corres el

riesgo de dejarle acomodado en una etapa más tiempo del necesario. Por lo tanto

fomenta la evolución de su pensamiento, dejándole solo ante el problema, déjale

que piense y en todo caso haz de guía para que alcance la solución, pero no se lo

resuelvas.

DESARROLLO COGNITIVO EN EL ADOLESCENTE La adolescencia es la etapa que marca el comienzo del desarrollo de procesos de

pensamiento más complejos (también llamados operaciones lógico formales), entre los

que se encuentran el pensamiento abstracto (por ejemplo, posibilidades), la capacidad

de razonar a partir de principios conocidos (construir por uno mismo nuevas ideas o

elaborar preguntas), la capacidad de considerar distintos puntos de vista según criterios

variables (comparar o debatir acerca de ideas u opiniones) y la capacidad de pensar

acerca del proceso del pensamiento.

La capacidad intelectual de los pequeños va madurando con el paso del tiempo, van

aprendiendo cómo es el mundo y poco a poco, se van construyendo una imagen de sí

mismos. Como bien sabemos, el tránsito de la infancia a la adolescencia no es fácil y es

aquí donde se producen muchos de los cambios más importantes que marcarán la

personalidad del joven.

Este periodo es cada vez más complejo debido a las incesantes exigencias que marca la

sociedad: más habilidades sociales, más destreza física e intelectual y una mayor

adaptación a los cambios que hay que afrontar individualmente. Si durante toda la


infancia, la educación que le han proporcionado familia y escuela no ha ido encaminada

a fomentar estas habilidades, el adolescente puede tener problemas de adaptación

considerables.

La personalidad y las emociones La personalidad del adolescente está marcada por:

Sus sentimientos son contradictorios.

Mantiene conflictos de dependencia-independencia.

Tiene necesidad de pertenecer a un grupo, pero por otro lado también demanda

aislamiento y soledad para encontrar su propia identidad.

Búsqueda de su identidad sexual, moral y religiosa.

Búsqueda de su autonomía y de su propio yo.

En cuanto a las vivencias emocionales podemos destacar:

Dificultad para expresar sentimientos.

Presentan con frecuencia altibajos emocionales.

Necesidad de autoestima, reconocimiento y aceptación.

Inseguridad

Facilidad para que afloren sentimientos de soledad, vergüenza y culpabilidad.

Buscan relaciones de pareja.

Cambios en el desarrollo cognitivo que se presentan durante la adolescencia

Durante la adolescencia (entre los 12 y 18 años de edad), el adolescente adquiere la

capacidad de pensar sistemáticamente acerca de todas las relaciones lógicas implicadas

en un problema. La transición desde el pensamiento concreto hacia las operaciones

lógico-formales se produce con el tiempo. El progreso que cada adolescente realiza en

el desarrollo de su capacidad de elaborar pensamientos más complejos se lleva a cabo

de formas diferentes. Cada adolescente elabora un punto de vista propio acerca del

mundo. Es posible que algunos apliquen las operaciones lógicas a la resolución de tareas

escolares antes de poder aplicarlas a los dilemas de su vida personal. La presencia de

cuestiones emocionales frecuentemente interfiere en la capacidad que el adolescente


tiene para pensar con mayor complejidad. La habilidad para considerar posibilidades y

hechos puede influir ya sea de manera positiva o negativa en la toma de decisiones.

El progreso que implica la transición desde un desarrollo cognitivo más simple a uno más

complejo se evidencia a través de ciertos indicadores, entre los que se incluyen los

siguientes

Adolescencia Precoz (11-13 años)

Cuando comienza la pubertad, el joven es aún más niño que adolescente, suele estar

muy confundido y ávido de nuevas experiencias. Los primeros impulsos sexuales

comienzan a llegar a su cuerpo y ya se va acercando a grupos de amigos con los que se

siente identificado, aunque de momento esas pandillas son pequeñas y suelen estar

formadas por personas del mismo sexo. Su moralidad se basa en conceptos y principios

poco flexibles y rotundos.

Durante la adolescencia precoz, los pensamientos más complejos se dirigen hacia la

toma de decisiones personales en el colegio o el hogar, entre las que se encuentran las

siguientes:

El adolescente que se encuentra en esta etapa comienza a demostrar la habilidad

para aplicar operaciones lógico-formales en las tareas escolares.

También comienza a cuestionar la autoridad y las normas de la sociedad.

Empieza a formar y verbalizar sus propios pensamientos y puntos de vista acerca

de diversos temas generalmente relacionados con su propia vida, como por

ejemplo:

- cuáles son los mejores deportes para practicar.

- cuáles son los grupos más convenientes para incluirse.

- qué aspecto personal es atractivo o deseable.

- qué reglas establecidas por los padres deberían cambiarse.

Adolescencia Media (14-15 años)

El joven ya se encuentra inmerso en mitad de la adolescencia con la crisis que ello

conlleva. Su intimidad, su aspecto y la sexualidad son tres de los aspectos que más le

preocupan. Vive con mucha intensidad el conflicto dependencia-independencia, es decir,


es egocéntrico pero al mismo tiempo también necesita del grupo, en el cual cada vez se

integra más imitando a los miembros y defendiéndolos, llegando incluso a adoptar las

normas del grupo porque las considera más valiosas que las de los adultos. En esta edad

suceden los primeros enamoramientos y es cuando se encuentra la identidad sexual de

cada uno. Al contrario de la fase anterior, aquí el grupo ya está formado por chicos y

chicas. En la esfera moral se van flexibilizando sus opiniones y sus normas morales son

cada vez más laxas, incluso claramente permisivas con aquello que le interesa y que le

sirve para justificar sus actos y satisfacer sus deseos.

Debido a que el adolescente cuenta ya con algo más de experiencia en el uso de los

procesos del pensamiento más complejos, el énfasis en la adolescencia media

frecuentemente se extiende e incluye cuestiones más filosóficas y futuristas, entre las

que se incluyen las siguientes:

El adolescente que se encuentra en esta etapa suele cuestionar con una mayor

profundidad.

Suele analizar también con una mayor profundidad.

Piensa acerca de su propio código ético y comienza a elaborarlo (por ejemplo,

"¿Qué creo yo que es lo correcto?").

Piensa acerca de diferentes posibilidades y comienza a desarrollar su propia

identidad (por ejemplo, "¿Quién soy?").

Piensa acerca de posibles metas para el futuro y comienza a considerarlas

sistemáticamente (por ejemplo, "¿Qué es lo que quiero?").

Piensa acerca de sus propios planes y comienza a elaborarlos.

Comienza a pensar a largo plazo.

El hecho de que el adolescente piensa sistemáticamente comienza a influir en su

relación con los demás.

Adolescencia tardía (16-18 años)

Los rasgos de adulto empiezan a aflorar en su cuerpo y en sus pensamientos, ya actúa

con más seguridad (aparente o real) y es capaz de tomar decisiones importantes. Su


personalidad está prácticamente formada, lo que va a ser de adulto estará estrechamente

ligado a lo que ha vivido en esta etapa. A nivel de relaciones sociales es más selectivo y

a la vez más extrovertido, necesita menos del grupo y puede involucrarse en relaciones

de pareja, aunque éstas son generalmente inestables. En esta época se desliga de las

opiniones y reglas morales del grupo forjándose y manifestando las suyas propias. Es en

esta última etapa, a un paso de la adulta, donde el adolescente es capaz de asumir la

responsabilidad individual de sus actos.

Durante la adolescencia tardía, los procesos de pensamiento complejos se utilizan para

concentrarse en conceptos menos egocéntricos y en la toma de decisiones, entre las que

se incluyen las siguientes:

El adolescente que se encuentra en esta etapa piensa con mayor frecuencia

acerca de conceptos más globales como por ejemplo, la justicia, la historia, la

política y el patriotismo.

Frecuentemente, desarrolla puntos de vista idealistas acerca de temas o

cuestiones específicas.

Es posible que se involucre en debates y que no tolere puntos de vista diferentes.

Comienza a dirigir el pensamiento hacia la decisión de optar por una carrera.

Comienza a dirigir el pensamiento hacia el rol que desempeñará en la sociedad

como un adulto.

Estimular un desarrollo cognitivo adecuado durante la adolescencia A continuación se enumeran algunas recomendaciones que ayudarán a estimular un

desarrollo cognitivo adecuado y positivo en el adolescente:

Incluya a los adolescentes en discusiones acerca de diversos temas, cuestiones y

hechos actuales.

Estimúlelos para que compartan sus ideas y pensamientos con usted.

Aliéntelos a pensar por sí mismos y a desarrollar sus propias ideas.

Ayúdelos a establecer sus propias metas.

Aliéntelos a pensar acerca de las posibilidades futuras.

Felicítelos y elógielos cuando toman buenas decisiones.


Ayúdelos a volver a evaluar por sí mismos las malas decisiones.

¿Por qué los adolescentes sufren crisis existenciales? Todos los jóvenes deben atravesar la crisis de la adolescencia con mayor o menor

intensidad, que va acompañada de un sentimiento de vacío que intentan llenar con

relaciones afectivas, amigos, ideas, diversión, aceptación social y religión.

En esta etapa hay que estar muy atento a los comportamientos de los adolescentes, ya

que pueden llenar ese vacío con prácticas poco recomendables como buscar diversión

junto con el consumo de drogas o alcohol, consumismo compulsivo, etc.

La crisis vital del adolescente forma parte de su desarrollo cognitivo y podríamos afirmar

que es la primera gran crisis vital de la persona, es la crisis de la identidad del yo. Es una

etapa muy frágil a nivel mental en la que el adolescente vive una situación de gran riesgo

para los trastornos psicológicos (sentimientos de angustia, tristeza, decepción y duda

sobre sí mismo).

Es labor de los padres estar muy pendientes de los cambios que sufren sus hijos durante

la pubertad, ya que ante el menor indicio de trastorno mental es muy importante acudir a

un buen especialista.


CONCLUSIONES

El niño durante todo su proceso de crecimiento se desarrolla buscando su propia

identidad, estableciendo vínculos emocionales, expresando sus sentimientos y

estableciendo relaciones emocionales de todo tipo. Además de estos cambios, también

experimenta un desarrollo cognitivo.

La capacidad intelectual de los pequeños va madurando con el paso del tiempo, van

aprendiendo cómo es el mundo y poco a poco, se van construyendo una imagen de sí

mismos. Como bien sabemos, el tránsito de la infancia a la adolescencia no es fácil y es

aquí donde se producen muchos de los cambios más importantes que marcarán la

personalidad del joven.

Este periodo es cada vez más complejo debido a las incesantes exigencias que marca la

sociedad: más habilidades sociales, más destreza física e intelectual y una mayor

adaptación a los cambios que hay que afrontar individualmente. Si durante toda la

infancia, la educación que le han proporcionado familia y escuela

no ha ido encaminada a fomentar estas habilidades, el adolescente puede tener

problemas de adaptación considerables.

RECOMENDACIONES

Tanto como el niño y el adolescente tienen un desarrollo mental, en donde va obteniendo

habilidades de destreza física e intelectual, es por ello que para el aprendizaje se debe

de dejar que ellos vayan construyendo su propio concepto de lo que están aprendiendo,

buscar metodologías y técnicas de aprendizaje donde ellos vayan descubriendo lo que

se quiere transmitir.

En Matemáticas hay muchas técnicas y metodologías, como lo es el método COPISI

donde ellos van construyendo con el material las ecuaciones que se quieren llegar a

construir o el número al que se quiere llegar.

En Física el docente puede utilizar experimentos donde ellos van activando los

conocimientos previos y además de tener la observación van a tener el tacto para ir

desarrollando de mejor manera el concepto de la clase.


BIBLIOGRAFÍA

Royer, J. (1978). TEORIA COGNOSCITIVA. En Royer, J. Psicología del aprendizaje

(págs 127-146). México: Limusa

Horrocks, J. (1989). DESARROLLO AFECTIVO Y COGNOSCITIVO. En Horrocks J.

Psicología del adolescente (págs 81-100). México: Trillas.

Woolfolk, A. (2010), DESARROLLO COGNOSCITIVO Y LENGUAJE. En Woolfolk, A.

Psicología educativa (págs 24-64). México: Pearson.

Forma General Escrito

Documents

Transcript of Forma General Escrito