Universidad de Santiago de Chile Facultad de Ingeniería Curso: Cálculo Avanzado

RESUMEN PEP1 CÁLCULO AVANZADO

1.- SERIE DE FOURIER

Se llama serie de Fourier de una función f(x) en el intervalo [-L,L] a:

]cos[)(1

0

xL

nsenBx

L

nAAxf n

n

n

Con:

L

l

dxxfL

A )(2

10

L

l

n dxxL

nxf

LA

cos)(

1

L

l

n dxxL

nsenxf

LB

)(

1

ATRIBUTOS DE LA FUNCIÓN

f seccionalmente continua en [a,b] si y sólo si:

(a) f es continua en [a,b] excepto en un número finito de puntos.

(b) )(lim xfax

y )(lim xfbx

existen y son finitos

(c) Si x0 e (a,b) y f no es continua en x0 entonces:

)(lim0

xfxx

y )(lim0

xfxx

existen y son finitos

f seccionalmente suave en [a,b] si f y f’ son seccionalmente continuas en [a,b].

CONVERGENCIA

f es seccionalmente suave en [-L,L] entonces la serie de Fourier de f(x) converge a:

(i)Extensión periódica de f(x) donde la función sea continua

(ii)

2

)()()(

xfxfxs

Donde la extensión periódica tenga una discontinuidad

IDENTIDAD DE PARSEVAL

f seccionalmente suave en [-L,L]

1

222

0

2 ][)(2)]([1

n

nn

L

L

BAAdxxfL

Profesor: Carlos Silva Cornejo Ayudante: Francisco Valenzuela Riquelme

DIFERENCIACIÓN E INTEGRACIÓN DE SERIES DE FOURIER

Diferenciación: Sea f(x) una función continua

xe seccionalmente suave de periodo 2L.

Entonces, la Serie de Fourier de f’(x) se puede obtener mediante diferenciación término a término. En particular si:

]cos[)(1

0

xL

nsenBx

L

nAAxf n

n

n

Entonces:

]cos[)´(1

xL

nBx

L

nsenA

L

nxf n

n

n

Integración: Sea f(x) seccionalmente continua en

[-L,L] con serie de Fourier

]cos[)(1

0

xL

nsenBx

L

nAAxf n

n

n

Entonces ],[ LLx se verifica:

1

0 cos)(n

x

Lnn

x

L

x

L

dttL

nsenBt

L

nAdtAdttf

DESARROLLO EN MEDIO RANGO

EXTENSIÓN IMPAR (SENO)

1

)(n

nsen xL

nsenBxs

Donde:

L

n dxxL

nsenxf

LB

0

)(2

EXTENSIÓN PAR (COSENO)

1

0cos cos)(n

n xL

nAAxs

Donde:

L

dxxfL

A0

0 )(1

L

n dxxL

nxf

LA

0

cos)(2

INTEGRAL DE FUNCIONES PARES E IMPARES

(a) Si f es par en [-L,L]

L

L

L

dxxfdxxf0

)(2)(

(b) Si f es impar en [-L,L]

L

L

dxxf 0)(

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS IMPORTANTES

)()()cos()cos()cos(

)cos()()cos()()(

sensen

sensensen

Entonces:

)]()([2

1)cos()( sensensen

)]cos()[cos(2

1)()( sensen

)]cos()[cos(2

1)cos()cos(

Además:

2

2cos1)(2 x

xsen

2

2cos1)(cos 2 x

x

2.- INTEGRAL DE FOURIER

Surgen del análisis de señales o funciones no periódicas. Si f(x) definida está definida en los reales

seccionalmente continua tal que

dttf )( converge.

Entonces la integral de Fourier de f se define como:

0

)]()()cos()([)( dwwxsenwBwxwAxI

Donde:

dxwxxfwA )cos()(1

)(

dxwxsenxfwB )()(1

)(

Nota: Para la estimación de la suma de una serie, surge la pregunta sobre ¿cómo sumamos y qué tan buena es esa aproximación? El matemático Suizo Leonhard Euler(1707-1783) calculó la suma de una famosa serie infinita de los números enteros positivos (1/12 + 1/22 + 1/32 ...), también conocida como Problema de Basilea. Aunque tiene infinitos términos, el resultado no es infinito sino un número exacto. Muchos matemáticos intentaron hallar la solución sin éxito (sólo se conocía el valor aproximado) y fue Euler quien lo consiguió: 1/12 + 1/22 + 1/32 + 1/42 ... = 1/1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 ... = π2/6=Φ El resultado equivale a 1,644934... y la aparicion de PHI en el resultado es una de las curiosades de la serie. Euler realizó este descubrimiento en 1735, cuando tenía solo 28 años, aunque hasta 1741 no lo perfeccionó de forma «rigurosa».

DESARROLLO EN MEDIO RANGO

Si f(x) definida está definida en los reales positivos

seccionalmente continua tal que

0

)( dttf converge.

Entonces la integral de Fourier en cosenos de f se define como:

0

)cos()()( dwwxwAxIC ;

0

)cos()(2

)( dxwxxfwA

la integral de Fourier en senos de f se define como:

0

)()()( dwwxsenwBxI S ;

dxwxxfwB )cos()(2

)(

Para el estudio de sistemas y señales, una señal x(t) es de energía finita, o simplemente de energía si cumple

con:

dttxE2

)( . Si E la señal es de

potencia. En la Ingeniería Eléctrica, las series, integrales y transformada de Fourier son los conceptos y herramientas básicas para tener una concepción de las distintas señales que requieren ser estudiadas. La voz humana es un ejemplo de una señal que requiere ser transmitida, filtrada y correctamente decodificada.

Es por esto que el dominio ω de la frecuencia resulta fundamental

CONVERGENCIA

Si f(x) es seccionalmente continua en [-L,L] y

dttf )( convergente, entonces:

2

)()()(

xfxfxI

Para todo x donde )(' xf L y )(' xf R existan.

FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL

CURVAS DE REFERENCIA

Hélice: Sea ),,(cos)( tsentttf

Doble hélice Hélice Turbinas

Círculo : la trayectoria r(t)=(cost,sent) describe un

circulo unitario x2+y2=1 Ejemplo: Colocamos un disco en el plano xy con su centro inicialmente en (0,1), de manera que la posición del centro en el tiempo esté dada por la trayectoria c(t)=(vt,1)

La curva descrita por el movimiento de un punto que está en borde de un círculo que rueda, se llama cicloide. La ecuación paramétrica que describe dicha trayectoria

es: ))cos1(),(()( tasenttatr Siendo t un parámetro real. Nota Histórica: Desde los tiempos antiguos, el círculo y la esfera han sido considerados las formas perfectas de la geometría. Para los griegos eran los símbolos de la simetría suprema de lo divino. ¿Qué formas de movimiento podrían ser las más adecuadas para describir el movimiento innmutable y eterno de los planetas? El matemático francés Blaise Pascal estudió el cicloide en 1649 a manera de distracción mientras padecía un fuerte dolor de muelas. Cuando el dolor desapareció, lo interpretó como una señal de que Dios no estaba en desacuerdo con sus ideas. Los resultados de Pascal movieron a otros matemáticos a investigar esta curva, y posteriormente fueron halladas numerosas e importantes propiedades. Una de éstas fue descubierta por el holandés Christian Huygens, quien la usó para la construcción de un reloj de péndulo “perfecto”. Otras curvas pueden obtenerse mediante la intersección de superficies. Un ejemplo clásico es la intersección de un plano con un cilindro o un cono, conformando una elipse.

Otras cónicas son posibles de obtener de la siguiente forma:

ECUACIÓN DEL SEGMENTO

La ecuación vectorial que une la punta del vector r0 con la del vector r1 es:

10)1()( rtrttr

10; t

REGULARIDAD DE UNA CURVA

Camino Regular: Se dice que r(t) describe un

camino regular si r’(t)

0 It

LONGITUD DE ARCO

b

a

dttrl )('

PARAMETRIZACIÓN POR LONGITUD DE ARCO

t

a

urdt

dsduurts )(')(')(

Si ))(),(),(()(' szsysxsr describe una curva de 3 y s

es parámetro de longitud de arco, entonces:

ds

rdsT

)(

VECTORES UNITARIOS

)('

)(')(

tr

trtT

)('

)(')(

tT

tTtN

)()()( tNtTtB

El conjunto de vectores )()()( tBtNtT

cumple con:

BNT

TBN

NTB

Además: )('')('

)('')('

trtr

trtrB

CURVATURA

)('')(')( srsTsk ;donde s es parámetro

longitud de arco

)('

)(')(

sr

sTtk

3

)('

)('')('

tr

trtr

PLANOS POR UN PUNTO DE LA CURVA

PLANO OSCULADOR

0),,( 000 Bzzyyxx

PLANO NORMAL

0),,( 000 Tzzyyxx

PLANO RECTIFICANTE

0),,( 000 Nzzyyxx

RECTAS POR UN PUNTO DE LA CURVA

RECTA TANGENTE

0),,(),,(),,( 321000 TTTtzyxzyx

RECTA NORMAL

0),,(),,(),,( 321000 NNNtzyxzyx

RECTA BINORMAL

0),,(),,(),,( 321000 BBBtzyxzyx

TORSIÓN

)()( sds

Bds N

Si 0ds

Bd entonces la torsión es cero y la curva es

denominada “plana” (contenida en el plano osculador) Además:

2

)('')('

)(''')('')(')(

trtr

trtrtrt

FÓRMULAS DE FRENET

(1)

Nkds

Td

(2)

BTkds

Nd

(3)

Nds

Bd

APLICACIÓN: MOVIMIENTO EN EL ESPACIO, VELOCIDAD Y ACELERACIÓN

Consideremos la trayectoria de la curva dada por:

Si ))(),(),(()( tztytxtr

Si x,y y z son funciones derivables 2 veces respecto al parámetro t, el vector velocidad , aceleración y el escalar rapidez se definen como:

Velocidad ))('),('),('()(')( tztytxtrtv

Aceleración ))(''),(''),(''()('')( tztytxtrta

Rapidez= 222 )(')(')(')(')( tztytxtrtv

COMPONENTES NORMAL Y TANGENCIAL DE LA ACELERACIÓN

El siguiente teorema establece que el vector aceleración está en el plano determinado por T(t) y N(t).

Teorema: Si r(t) es el vector posición de una curva suave C y N(t) existe, el vector aceleración lo podemos expresar por:

)()()( tNatTata NT

Donde:

2

2

dt

sd

v

avTav

dt

daT

2

22

'

dt

dsKaaa

v

avNaTva

TN

N

Nótese que la componente normal 0Na .La

componente normal de la aceleración también se llama componente centrípeta de la aceleración.

K es la curvatura y ds/dt es su rapidez.