Formulario Completo de Matematicas 4

7/24/2019 Formulario Completo de Matematicas 4

1/39


2/39


3/39


4/39


5/39


6/39


7/39


8/39


9/39


10/39


11/39


12/39


13/39


14/39


15/39


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17/39


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19/39


20/39


21/39

Recopilacin realizada por el Prof. Jess Pez 1

TABLA DE TRANSFORMADAS DE LAPLACE

F(s) f(t)

1. aF1(s) +bF2(s) af1(t) +bf2(t)

2. F(s/a) af(at)

3. F(s a) eatf(t)

4. easF(s) f(t a)u(t a) =

f(t a) t > a0 t < a

5. sF(s) f(0) f(t)

6. s2F(s) sf(0) f(0) f(t)

7. snF(s) sn1f(0)

sn2f(0) f(n1)(0) f(n)(t)

8. F(s) tf(t)

9. F(s) t2f(t)

10. F(n)(s) (1)ntnf(t)

11. F(s)

s t

0

f(u)du

12. F(s)

sn

t0

t0

f(u)du du= t0

(t u)n1(n 1)! f(u)du

13. F(s) G(s) t0

f(u)g(t u)du

Continua en la prxima pgina


22/39

2 Recopilacin realizada por el Prof. Jess Pez

TABLA DE TRANSFORMADAS DE LAPLACE (Continuacin)

F(s) f(t)

14.s

F(u)du f(t)

t

15. 1

1 esT T0

esuF(u)du f(t) = f(t+T)

16. F(

s)

s

1t

0

eu2/4tf(u)du

17. 1

sF(1/s) f(t

2)

18. 1

sn+1F(1/s)

0

tuf(u)

(u+ 1)du

19. F(s+ 1/s)

s2 + 1

nk=1

P(k)

Q(k)ekt

20. 1

2

0

u3/2es2/4uF(u)du

0

J0(2

ut)f(u)du

21. F(ln s)

s ln s tn/2

0

un/2Jn(2

ut)f(u)du

22. P(s)

Q(s)

t0

J0(2

u(t u))F(u)du P(s) = Polinomio de grado menor que nQ(s) = (s 1)(s 2) (s n)

Donde1, 2, . . . , n son todas distintas.

23. 1

s1

24. 1

s2 t

25. 1

sn n= 1, 2, 3, . . .

tn1

(n 1)! , 0! = 1

26. 1

sn n > 0

tn1

(n)



23/39



F(s) f(t)

27. 1

s a eat

28. 1

(s a)n n= 1, 2, 3,... tn1eat

(n 1)! , 0! = 1

29. 1

(s a)n n > 0 tn1eat

(n)

30. 1

s2 +a2sin at

a

31. s

s2 +a2 cos at

32. 1

(s b)2 +a2ebt sin at

a

33. s b

(s b)2 +a2 ebt cos at

34. 1

s2 a2sinh at

a

35. s

s2 a2 cosh at

36. 1

(s b)2 a2ebt sinh at

a

37. s b

(s b)2 a2 ebt cosh at

38. 1

(s a)(s b) a=b ebteat

ba

39. s

(s a)(s b) a=b 1

a b

aeat bebt



24/39



F(s) f(t)

40. 1

(s2 +a2)21

2a3(sin at at cos at)

41. s

(s2 +a2)2t sin at

2a

42. s2

(s2 +a2)2

sin at+at cos at

2a

43. s3

(s2 +a2)2 cos at 1

2at sin at

44. s2 a2

(s2 +a2)2t cos at

45. 1

(s2 a2)2at cosh at sinh at

2a3

46. s

(s2 a2)2t sinh at

2a

47. s2

(s2 a2)2sinh at+at cosh at

2a

48. s3

(s2 a2)2 cosh at+1

2at sinh at

49. s2 +a2

(s2 a2)2t cosh at

50. 1

(s2 +a2)3(3 a2t2)sin at 3at cos at

8a5

51. s

(s2 +a2)3t sin at at2 cos at

8a3

52. S2

(s2 +a2)3(1 +a2t2)sin at at cos at

83



25/39



F(s) f(t)

53. s3

(s2 +a2)3

3t sin at+at2 cos at

8a

54. s4

(s2 +a2)3(3 a2t2)sin at+ 5at cos at

8a

55. s5

(s2 +a2)3(8 a2t2)cos at 7at sin at

8

56. 3s2 a2

(s2 +a2)3t2 sin at

2a

57. s3 3a2s

(s2 +a2)31

2t2 cos at

58. s4 6a2s2 +a4

(s2 +a2)41

6t3 cos at

59. s3 a2s

(s2 +a2)4t3 sin at

24a

60. 1

(s2 a2)3(3 +a2b2) sinh at 3at cosh at

8a5

61. s

(s2 a2)3at2 cosh at t sinh at

8a3

62. s2

(s2 a2)3at cosh at+ (a2t2 1) sinh t

8a3

63. s3

(s2 a2)33t sinh at+at2 cosh at

8a

64. s4

(s2 a2)3(3 +a2l2) sinh at+ 5at cosh at

8a

65. s5

(s2 a2)3(8 +a2t2) cosh at+ 7at sinh at

8



26/39



F(s) f(t)

66. 3s2 +a2

(s2 a2)3t2 sinh at

2a

67. s3 + 3a2s

(s2 a2)3t2 cosh at

68. s4 + 6a2s2 +a4

(s2 2)41

6t3 cosh at

69. s3 +a2s

(s2 a2)4t3 sinh at

24a

70. 1

s3 +a3eat/2

3a2

3sin

3at

2 cos

3at

2 +e3at/2

71. s

s3 +a3eat/2

sa

cos

3at

2 +

3sin

3at

2 e3at/2

72. s2

s3 +a31

3(e at+ 2eat/2 cos

3at

2 )

73. 1

s3 a3eat/2

3a2

e3at/2 cos

3at

2

3sin

3at

2

74. s

s3 a3eat/2

3a

3sin

3at

2 cos

3at

2 +e3at/2

75. s2

s3 a31

3

e

at

+ 2eat/2

cos

3at

2

76. 1

s4 + 4a41

4a3(sin at cosh at cos at sinh at)

77. s

s4 +a4sin at sinh at

2a2



27/39



F(s) f(t)

78. s2

s4 + 4a41

2a(sin at cosh at+ cos at sinh at)

79. S3

s4 + 4a4cos at cosh at

80. 1

s4 a41

2a3(sinh at sin at)

81. s

s4 a41

2a2(cosh at cos at)

82. s2

s4 a41

2a(sinh at+ sin at)

83. s3

s4 a41

2(cosh at+ cos at)

84. 1

s+a+

s+b

ebt eat2(b a)

t3

85. 1

s

s+a

erf

at

a

86. 1

s(s a)eaterf

at

a

87. 1

s a+b eat

1

t beb2terfc(b

t)

88. 1

s2 +a2J0(at)

89. 1

s2 a2I0(at)

90.

s2 +a2 sn

s2 +a2 n >1 anJn(at)



28/39



F(s) f(t)

91.

s s2 a2n

s2 a2 n >1 anIn(at)

92. eb(s

s2+a2)

s2 +a2

J0(a

t(t+ 2b))

93. ebs2 +a2

s2 +a2

J0(a

t2 b2) t < b

0 t > b

94. 1

(s2 a2)3/2tJ1(at)

a

95. s

(s2 +a2)3/2 tJ0(at)

96. S2

(s2 +a2)3/2J0(at) atJ1(at)

97. 1

(s2 a2)3/2tI1(at)

a

98. s

(s2 a2)3/2 tI0(at)

99. s2

(s2 a2)3/2I0(at) +atI1(at)

100. 1

s(es 1)= eS

s(1 es)F(t) = n, nt < n + 1, n= 0, 1, 2, . . .

Vea tambin

101. 1

s(es r) = es

s(1 res) F(t) =[t]

k=1rk

Donde[t] = entero ms grande t

102. es 1

s(es r) = 1 ess(1 res)

F(t) = rn, n t < n+ 1, n= 0, 1, 2, . . .

103. ea/s

s

cos2

att



29/39



F(s) f(t)

104. ea/s

s3/2sin2

at

a

105. ea/s

sn+1 n >1 ( t

a)n/2Jn(2

at)

106. eas

s

ea2/4t

t

107. eas a

2

t3ea

2/4t

108. 1 eas

serf(a/2

t)

109. eas

serfc(a/2

t)

110. eas

s(

s+b)eb(bt+a)erfc(b

t+

a

2

t)

111. ea/s

sn+1 n >1 1

ta2n+1

x0

uneu2/4a2tJ2n(2

u)du

112. ln(s+a

s+b)

ebt eatt

113. ln[(s2 +a2)/a2]

2sCi(at)

114. ln[(s+a)/a]

sEi(at)

115. (+ ln s)s

ln t = constante de Euler =.5772156...

116. ln(s2 +a2

s2 +b2)

2(cos t cos bt)t



30/39



F(s) f(t)

117. 2

6s+

(+ ln s)2

sln2 t = constante de Euler =.5772156...

118. ln s

s(ln t+) = constante de Euler =.5772156. . .

119. ln2 s

s(ln t+)2 1

62 = constante de Euler =.5772156 . . .

120. (n+ 1) (n+ 1)ln s

sn+1tn ln t n >1

121. tan1(a/s) sin at

t

122. tan1(a/s)

sSi(at)

123. ea/s

s

erfc(

a/s) e2

at

t

124. es2/4a2erfc(s/2a)

2a

ea2t2

125. es2/4a2erfc(s/2a)

serf(at)

126. easerfc

as

s

1

(t+a)

127. easEi(as) 1

t+a

128. 1

a{cos(as){2 Si(as)}sin(as)Ci(as)}

1

t2 +a2

129. sin(as) {2 Si(as)}+cos(as) Ci(as)

t

t2 +a2



31/39



F(s) f(t)

130. 1

s{cos(as)2 Si(as)

sin(as) Ci(as)} tan

1(t/a)

131. 1

s{sin(as)2 Si(as)

+

cos(as) Ci(as)}1

2ln(

t2 +a2

a2 )

132. [

2 Si(as)]2 +Ci2(as) 1

t ln(

t2 +a2

a2 )

133. 0 N(t) = Funcin Nula

134. 1 (t) = Funcin Delta-Dirac

135. eas (t a)

136. eas

sU(t a) Vea tambin 32.163.

137. sinh sx

s sinh sa

x

a+

2

n=1

(1)nn

sinnx

a cos

nt

a

138. s cosh sa

sinh sx

4

n=1

(1)n2n 1sin

(2n 1)X2a

sin(2n 1)t

2a

139. cosh sx

s sinh as

t

a+

2

n=1

(1)nn

cosnx

a sin

nt

a

140. s cosh sa

cosh sx 1 +

4

n=1

(1)n2n 1cos

(2n 1)x2a

cos(2n 1)t

2a

141. sinh sx

s2 sinh sa

xt

a +

2a

2

n=1

(1)nn2

sinnx

a sin

nt

a

142. sinh sx

s2 cosh sa x+

8a

2

n=1(1)n

(2n 1)2 sin(2n 1)x

2a cos

(2n 1)t2a



32/39



F(s) f(t)

143. cosh sx

s2 sinh sa

t2

2a+

2a

2

n=1

(1)nn2

cosnx

a (1 cosnt

a )

144. cosh sx

s2 cosh sa t+

8a

2

n=1

(1)n(2n 1)2 cos

(2n 1)x2a

sin(2n 1)t

2a

145. cosh sx

s3 cosh sa

1

2(t2 + x2a2) 16a

2

3

n=1

(1)n(2n 1)3 cos

(2n 1)x2a

cos(2n 1)t

2

146. sinh x

s

sinh a

s

2

a2

n=1

(1)nnen22t/a2 sinnxa

147. coshx

s

cosh a

s

a2

n=1

(1)n1(2n 1)e(2n1)22t/4a2 cos(2n 1)x2a

148. sinhx

ss cosh a

s

2

a

n=1

(1)n1e(2n1)22t/4a2 sin(2n 1)x2a

149. coshx

s

s sinh as1

a +

2

a

n=1(1)

n

en22t/a2

cos

nx

a

150. sinh x

ss sinh a

s

x

a+

2

n=1

(1)nn

en22t/a2 sin

nx

a

151. cosh x

s

s cosh a

s 1 +

4

n=1

(1)n2n 1 e

(2n1)22t/4a2 cos(2n 1)x

2a

152. sinh xss2 sinh a

s

xta

+2a2t3

n=1

(1)nn3

(1 en22t/a2)sinnxa

153. coshx

s

s2 cosh a

s

1

2(x2a2) + t 16a

2

3

n=1

(1)n(2n 1)3 e

(2n1)22t/4a2 cos(2n 1)x

2a

154. J0(ix

s)

sJ0(ia

s) 12n=1 e2nt/a2J0(nx/a)xnJ1(n)

Donde1, 2, . . .son races positivas de j0() = 0



33/39



F(s) f(t)

155. J0(ix

s)

s2J0(ia

s)14 (x

2 a2) +t+ 2a2

n=1

eA2nt/a

2

J0(nx/a)3nJ1(n)

Donde1, 2, . . .son races positivas de J0() = 0

156. 1

as2tanh(

as

2)

Onda Triangular

157. 1

stanh(

as

2)

Onda Cuadrada

158. a

a2s2 +2coth(

as

2)

Seno Rectificado de Onda Completa

159. a(a2s2 +2)(1 eas)

Seno Rectificado de Media Onda

160. 1

as2 e

as

s(1 eas)

Onda Diente de sierra

161. eas

s

Escaln Unitario (Heavisides)

U(t

a)

162. eas(1 eas)

s

Pulso Rectangular - Funcin Ventana



34/39



F(s) f(t)

163. 1

s(1 eas)

Escalera

164. es +e2s

s(1 es)2

F(t) = n2, n t < n+ 1, n= 0, 1, 2, . . .

165. 1 es

s(1 res)

F(t) = rn, n t < n+ 1, n= 0, 1, 2, . . .

166. a(1 +eas)

a2s2 +2

F(t) = sin(t/a) 0ta0 t > a


35/39

ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN N

1

1 01(x) (x) ... (x) y (x)

n n

n nn n

d y d ya a a R

dx dx

Caso 3.

Cuando las races de la ecuacin polinmicas P(r)=0,

algunas de estas races son complejas:

1 1 1 2 1 1 3 2 2 4 2 2, , ,r i r i r i r i

Supongamos que las dems sean reales y distintas.

1 1 2

52

1 1 2 1 3 2

4 2 5

cos cos cos

cos ... n

x x xg

r x r xx

n

y c e x c e x c e x

c e x c e c e

El WRONSKIANO: Determinante.

1 2

1 2

1 2

1 2

...

...

...

. 0

.

.

...

n

n

n

n n n

n

f f ff f f

f f f

f f f

Entonces diremos que las funciones son

linealmente independientes.

ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES

HOMOHENEAS DE COEFICIENTES CONSTANTES.

1

1 1 01 ... y 0

n n

n nn n

d y d y dya a a a

dx dx dx

1

1 1 0(r) ... 0n n

n nP a r a r a r a

Como el polinomio es de grado n el polinomio

entonces se puede obtener n races.

Caso 1.

Cuando las races de P(r)=0, son reales y distintas:

1 2 3...

nr r r r

1 2

1 2 ... n

r xr x r x

g ny c e c e c e

Caso 2.

Cuando las races de P(r)=0, alguna de las races son

multiplicidad, consideremos:1 2

...k

r r r r y

donde r es la raz multiplicidad de k, y n-k son las

dems races y distintas

12 1

1 2 3 1... ...k n

r x r xrx rx rx k rx

g k k ny c e c xe c x e c x e c e c e

ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES NO

HOMOHENEAS DE COEFICIENTES CONSTANTE

1

1 1 01 ... y (x)

n n

n nn n

d y d y dya a a a R

dx dx dx

g p

g

p

Y Y Y

YY

Solucin generalSolucin particular

Segundo miembro de

la .ec .diferencial Races de la ecuacin caracterstica y for

la solucin particular, donde max{k

1.

mp x

1) El # 0 no es raz de la ecuacin

Caracterstica:

mp x

2) El # 0 es raz de la ecuacin caracters

mx p x

2.x

me p x

1) El # no es raz de la ecuacinCaracterstica:

x

me p x

2) El # es raz de la ecuacin

Caracterstica:s x

mx e p x

3.

cos( x)

sen( x)

n

m

P x

Q x

1) El # i no es raz de la ecuacin

Caracterstica:

cos( x) sen( x)k kP x Q x

2) El # i es raz de la ecuacin

Caracterstica:

cos( x) sen( xs

k kx P x Q x

4.

[ cos( x)

sen( x)]

x

n

m

e P x

Q x

1) El # i no es raz de la ecuaci

Caracterstica:

[ cos( x) sen( xx k ke P x Q x

2) El # i es raz de la ecuacin

Caracterstica:

[ cos( x) sen(s xk k

x e P x Q x


36/39

METODO DE VARIACION DE PARAMETROS

Teorema.

Dado la ecuacin diferencial.

1 0(x) y a (x) y f(x)y a Donde, 2 (x) 1a

coeficiente de y

Y la solucin general:

1 1 2 2(x) (x)gy c y c y

La solucin particular ser la siguiente:

1 1 2 2(x) (x) (x) (x)py c y c y

21

1 2

(x) y (x)(x) (x)

,

fc d

w y y ; 12

1 2

(x) y (x)(x) (x)

,

fc d

w y y

GENERALIZACION DEL TEOREMA ANTERIOR

(n 1)

1 1 0(x) y ... a (x) y a (x) y f(x)n

ny a

Solucin general:

1 1 2 2(x) (x) ... y (x)g n ny c y c y c

Solucin particular:

1 1 2 2(x) (x) (x) (x) ... (x) y (x)p n ny c y c y c

Donde cada c (x)i se calcula de:

1 2

v (x)f(x)(x) (x)

(x),..., (x)

ii

c dw y y

, donde v (x)i

representa el determinante obtenido de

1 2(x),..., (x)w y y mediante el reemplazo de la

columna " "i por la columna:

0

0

1

Para resolver ecuacin diferencial de Euler, se transform

una ecuacin diferencial homognea de coeficientes

contantes:

ln(x)tx e t , adems tdx

edt

De donde. tdy dyedx dt

;

2 2

22 2

td y d y dyedx dt dt

Tambin son ecuaciones diferenciales de Euler de la form

siguiente:

11

1 1

1 0

(ax b) (ax b) ...

( ) y 0

n nn n

n nn n

d y d ya a

dx dx

dya ax b adx

Para resolver:

ln(ax b)t

ax b e t . Adems

tdx e

dt a

tdy dyaedx dt

;

2 2

2 2

2 2

td y d y dya edx dt dt

ECUACIONES DIFERENCILES DE EULER

11

1 1 01 ... y 0

n nn n

n nn n

d y d y dya x a x a x a

dx dx dx

Donde0 1 2

...n

a a a a son constantes:


37/39


38/39

BECA BECA BECA

transformada de Laplace

0

( ) . ( ) ( )stL F t e f t d t

Segundo teorema de traslacin

( ) ( ) ( ) 0, .. .. ( ) ( ),L g t G s f t t a y f t g t a t

( ) ( ) ( ) ( )asL F t L u t a g t a e L g t

1 1( ) ( ) ( )as t t aL e G s u t a L G s

transformada inversa de Laplace

1( ) ( )f t L F s 1( ) ( ) ( ) ( )L f t F s f t L F s

Propiedad de transformada de derivadas ( ) ( ) (0)L f t sL f t f

2( ) ( ) (0) (0)L f t s L f t sf f

1

1

0

( ) ( ) (0)n

n n n k k

k

L f t s L f t s f

Linealidad

( ) ( ) ( ) ( )L af t bg t aL f t bL g t

1 1 1( ) ( ) ( ) ( )L aF s bG s cL F s dL G s

Propiedad de transformada de integrales

( ) ( ) ( ) ( ) ( )t

a

g t f u d u g t f t

0

1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )

t a

a

L f u d u L f t f u d us s

T de L escaln unitario

1( ) ( )as as

e eL u t a L u t a

s s

0

1 1

0

10 ( ) ( ) ( )

1........ ( ) ( ) ( )

t

t

a L f u d u L f t s

L F s L F s d us

Propiedad de cambio de escala

1 1

( ) ( ) ( ); 0ss

k

sL f kt l f t F kkk k

1 1( ) ( ) ( ); 0t ktL F kt kL F s kf kt k

0 0 0 0

1... ( ) ... ( )

t t t t

nL f u du dudu L f t

s

1 10 0 0 0

1( ) ... ( ) ...

t t t t

nL F s L F s du dudu

s

n es la cantidad de integrales en ambas formulas

Primer teorema de traslacin

( ) ( ) ( ) ( ) ( )at t t aL f t F s L e f t L f t F s a

1 1( ) ( ) ( )at at L F s a e L F s e f t

Propiedades de la derivacin de transformadas

( ) ( )L f t F s

( ) ( 1) ( )n

n n

n

d

L t f t L f tds

1 1( ) ( 1) ( )n

n n

n

dL F s t L F s

ds

FORMULARIO TRANSFORMADA DE LAPLACE


39/39

Propiedades de la integracin de transformadas

( ) ( )L f t F s

( )

( )s

f tL L f t ds

t

;

1 11( ) ( )s

L F s ds L F st

La integral que aparece se llama convolucin f y g se

representa por f*g; es decir:

0

( ) ( ) ( )

t

f g t f t u g u du

1 1 1( ). ( )L F s G s f g L f L g

Propiedades de la transformada de funciones peridicasSi fes una orden exponencial y es peridica con periodo

T>0 (f(x+T) = f(x)), entonces:

0( ) ( )

( )1

T

st

sT

e f t d t

L f te

Mtodo de Heaviside para transformada inversa de Lap

Sea( )

( )( )

P sF s

Q s donde el grado de ( ) ( )o oP s Q s y

( ) 0Q s entonces ( )Q s tiene n races, entonces:

11

( )( )( ) .

( ) ( )k

na t k

k k

P aP sL F s L e

Q s Q a

Propiedad de adicionales

1)

Si f(t) y f(t) son de orden exponencial, y si f(t) es

continua para todo t>0, entonces:

lim ( ) (0)s

sF s f

Aplicacin de la transformada de L a las ec. Diferenciale

Coef. Cte. 1

1 ( )

0

( ) ( ) (0)n

n n n k k

k

L y t s L f t s y

Coef. Variable. ( ) ( 1) ( )n

n n

ndL t f t L f tds

2) ( )L f t y 1 ( )L f t existe entonces:

0

lim ( ) lim ( )s t

sF s f t

La funcin delta de Dirac o funcin impulso unitario

Funcin delta de Dirac: 0

( ) lim ( ) ( )t U t U t

(Llamada tambin funcin impulso unitario) propiedades

i) 00,

0 0,( )

t t

t tt t

ii) 0( ) 1t t dt

El teorema de Convolucin

Sean f y g funciones continuas por tramos de orden

exponencial.

( ),L f F s ( )L g G s

0

( ) ( ) ( ). ( )

t

L f t u g u du F s G s

iii)0 0( ) ( ) ( )t t f t dt f t

aplicando en la transformada de Laplace , encontramos q

0

1 1( ) lim 1

se

L ts s

0

( ) ( ) .

t

L f t u g u du L f L g

1

0

( ). ( ) ( ) ( )t

L F s G s f t u g u du

00

( ) st

L t t e

Formulario Completo de Matematicas 4

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