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Formulario Análisis Vectorial Ing. Jorge Acevedo Mendoza

1.

Distancia entre dos

puntos

Punto

medio

Magnitud de un

vector

Suma de dos

vectores

Resta de dos

vectores

Multiplicación

escalar por vector

Dirección de los

vectores

Vector a partir de

dos puntos

Si 𝐏 = (𝒙𝟏, 𝒚𝟏) y 𝐐 = (𝒙𝟐, 𝒚𝟐)

𝒅 𝑷𝟏𝑷𝟐 = (𝒙𝟐−𝒙𝟏)𝟐 + (𝒚𝟐−𝒚𝟏)𝟐

𝒙𝟏 + 𝒙𝟐

𝟐,𝒚𝟏 + 𝒚𝟐

𝟐

Si 𝑨 =< 𝒂𝟏, 𝒂𝟐 > y 𝑩 =< 𝒃𝟏, 𝒃𝟐 >

𝑨 = 𝒂𝟏𝟐 + 𝒂𝟐

𝟐

𝑨 + 𝑩 =< 𝒂𝟏 + 𝒃𝟏, 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 >

𝑨 − 𝑩 =< 𝒂𝟏 − 𝒃𝟏, 𝒂𝟐 − 𝒃𝟐 >

𝒄𝑨 =< 𝑐𝒂𝟏, 𝒄𝒂𝟐 >

𝒕𝒂𝒏𝜽 =𝒂𝟐

𝒂𝟏

Si 𝑷 = (𝒙𝟏, 𝒚𝟏) y 𝑸 = (𝒙𝟐, 𝒚𝟐)

𝑷𝑸 =< 𝒙𝟐 − 𝒙𝟏, 𝒚𝟐 − 𝒚𝟏 >

Si 𝑷 = (𝒙𝟏, 𝒚𝟏, 𝒛𝟏) y 𝑸 = (𝒙𝟐, 𝒚𝟐, 𝒛𝟐)

𝒅 𝑷𝟏𝑷𝟐 = (𝒙𝟐−𝒙𝟏)𝟐 + (𝒚𝟐−𝒚𝟏)𝟐 + (𝒛𝟐−𝒛𝟏)𝟐

𝒙𝟏 + 𝒙𝟐

𝟐,𝒚𝟏 + 𝒚𝟐

𝟐,𝒛𝟏 + 𝒛𝟐

𝟐

Si 𝑨 =< 𝒂𝟏, 𝒂𝟐, 𝒂𝟑 > y 𝑩 =< 𝒃𝟏, 𝒃𝟐, 𝒃𝟑, >

𝑨 = 𝒂𝟏𝟐 + 𝒂𝟐

𝟐 + 𝒂𝟑𝟐

𝑨 + 𝑩 =< 𝒂𝟏 + 𝒃𝟏, 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐, 𝒂𝟑 + 𝒃𝟑 >

𝑨 − 𝑩 =< 𝒂𝟏 − 𝒃𝟏, 𝒂𝟐 − 𝒃𝟐, 𝒂𝟑 − 𝒃𝟑 >

𝒄𝑨 =< 𝑐𝒂𝟏, 𝒄𝒂𝟐, 𝒄𝒂𝟑 > Cosenos Directores

𝐜𝐨𝐬 𝜶 =𝒂𝟏

||𝐀||

𝐜𝐨𝐬 𝜷 =𝒂𝟐

||𝐀||

𝐜𝐨𝐬 𝜸 =𝒂𝟑

||𝐀||

Si 𝐏 = (𝒙𝟏, 𝒚𝟏, 𝒛𝟏) y 𝐐 = (𝒙𝟐, 𝒚𝟐, 𝒛𝟐)

𝑷𝑸 =< 𝒙𝟐 − 𝒙𝟏, 𝒚𝟐 − 𝒚𝟏, 𝒛𝟐 − 𝒛𝟏 >

x

z

y

𝛼

𝛾

𝛽

CONCEPTO 2 3


2.

Vector unitario

Producto Punto

Angulo entre dos

vectores

Producto cruz

Área del

paralelogramo

Área del triangulo

Volumen del

paralelepípedo

𝐔𝐀 =𝐀

||𝐀||

𝐔𝐀 = 𝐜𝐨𝐬 𝜽 𝒊 + 𝐬𝐞𝐧𝜽𝒋

𝐀 ∙ 𝐁 = 𝒂𝟏𝒃𝟏 + 𝒂𝟐𝒃𝟐

𝐀 ∙ 𝐁 = 𝑨 𝑩 𝐜𝐨𝐬 𝜽

𝐜𝐨𝐬 𝜽 =𝑨 ∙ 𝑩

𝑨 𝑩

_

𝐀𝐫𝐞𝐚 = 𝑨 × 𝑩

𝐀𝐫𝐞𝐚 = 𝟏

𝟐 𝑨 × 𝑩

_

𝐔𝐀 =𝐀

||𝐀||

𝐔𝐀 = 𝐜𝐨𝐬 𝜶 𝒊 + 𝐜𝐨𝐬 𝜷 + 𝐜𝐨𝐬 𝜸

𝐀 ∙ 𝐁 = 𝒂𝟏𝒃𝟏 + 𝒂𝟐𝒃𝟐 + 𝒂𝟑𝒃𝟑

𝐀 ∙ 𝐁 = 𝑨 𝑩 𝐜𝐨𝐬 𝜽

𝐜𝐨𝐬 𝜽 =𝑨 ∙ 𝑩

𝑨 𝑩

𝐀 × 𝐁 = 𝒊 𝒋 𝒌

𝒂𝟏 𝒂𝟐 𝒂𝟑

𝒃𝟏 𝒃𝟐 𝒃𝟑

= 𝒂𝟐 𝒂𝟑

𝒃𝟐 𝒃𝟑 𝒊 −

𝒂𝟏 𝒂𝟑

𝒃𝟏 𝒃𝟑 𝒋 +

𝒂𝟏 𝒂𝟐

𝒃𝟏 𝒃𝟐 𝒌

= 𝒂𝟐 𝒃𝟑 − 𝒂𝟑 𝒃𝟐 𝒊 − 𝒂𝟏 𝒃𝟑 − 𝒂𝟑 𝒃𝟏 𝒋 +

(𝒂𝟏 𝒃𝟐 − 𝒂𝟐 𝒃𝟏)𝒌

_

_

𝐕𝐨𝐥𝐮𝐦𝐞𝐧 = 𝑨𝒓𝒆𝒂 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒃𝒂𝒔𝒆 (𝑨𝒍𝒕𝒖𝒓𝒂)

= 𝑨 × 𝑩 𝑪 𝐜𝐨𝐬 𝜽

= (𝑨 × 𝑩) ∙ 𝑪

CONCEPTO 2 3

A

B

𝑨

x

z

y

𝑩

𝑪

𝜽 𝒉


3.

Identidad

Trabajo

Función Vectorial

Derivada de una

función vectorial

Integral indefinida

de una función

vectorial

Integral definida

de a a b de una

función vectorial

Longitud de arco

𝐜𝐨𝐬 𝜽𝒊 + 𝐬𝐞𝐧𝜽𝒋 = 𝒂𝟏

||𝐀||𝒊 +

𝒂𝟐

||𝐀||𝒋

𝒘 = 𝒇 ∙ 𝒅

𝒘 = 𝒇 𝒅 𝐜𝐨𝐬 𝜽

𝒓 𝒕 = 𝒇 𝒕 𝒊 + 𝒈 𝒕 𝒋

𝒓′ 𝒕 = 𝒇′ 𝒕 𝒊 + 𝒈′ 𝒕 𝒋

𝒓 𝒕 𝒅𝒕 = 𝒇 𝒕 𝒅𝒕 𝒊 +

𝒈 𝒕 𝒅𝒕 𝒋 + 𝑪

𝑫𝒐𝒏𝒅𝒆 𝑪 = 𝑪𝟏𝒊 + 𝑪𝟐𝒋

𝒓(𝒕)𝒅𝒕𝒃

𝒂

= 𝒇 𝒕 𝒅𝒕𝒃

𝒂

𝒊

+ 𝒈 𝒕 𝒅𝒕𝒃

𝒂

𝒋

𝑳 = 𝒓´(𝒕) 𝒅𝒕𝒃

𝒂

= 𝒇´(𝒕) 𝟐 + 𝒈´(𝒕) 𝟐 𝒅𝒕𝒃

𝒂

𝐜𝐨𝐬𝟐 𝛂 + 𝐜𝐨𝐬𝟐 𝛃 + 𝐜𝐨𝐬𝟐 𝛄 = 𝟏

𝒘 = 𝒇 ∙ 𝒅

𝒘 = 𝒇 𝒅 𝐜𝐨𝐬 𝜽

𝒓 𝒕 = 𝒇 𝒕 𝒊 + 𝒈 𝒕 𝒋 + 𝒉 𝒕 𝒌

𝒓′ 𝒕 = 𝒇′ 𝒕 𝒊 + 𝒈′ 𝒕 𝒋 + 𝒉′ 𝒕 𝒌

𝒓 𝒕 𝒅𝒕 = 𝒇 𝒕 𝒅𝒕 𝒊 + 𝒈 𝒕 𝒅𝒕 𝒋 +

𝒉 𝒕 𝒅𝒕 𝒌 + 𝑪

𝑫𝒐𝒏𝒅𝒆 𝑪 = 𝑪𝟏𝒊 + 𝑪𝟐𝒋 + 𝑪𝟑𝒌

𝒓(𝒕)𝒅𝒕𝒃

𝒂

= 𝒇 𝒕 𝒅𝒕𝒃

𝒂

𝒊 + 𝒈 𝒕 𝒅𝒕𝒃

𝒂

𝒋

+ 𝒉 𝒕 𝒅𝒕𝒃

𝒂

𝒌

𝑳 = 𝒓´(𝒕) 𝒅𝒕𝒃

𝒂

= 𝒇´(𝒕) 𝟐 + 𝒈´(𝒕) 𝟐 + 𝒉´(𝒕) 𝟐 𝒅𝒕𝒃

𝒂

CONCEPTO 2 3


4.

Ecuación

Cartesiana del

Plano

Ecuación de la

esfera forma

centro radio

Ecuación General

de la esfera

Velocidad

Aceleración

Rapidez

Componente

tangencial de la

aceleración

Componente

normal de la

aceleración

Gradiente

Derivada

Direccional

𝒂 𝒙 − 𝒙𝟏 + 𝒃 𝒚 − 𝒚𝟏 + 𝒄 𝒛 − 𝒛𝟏 = 𝟎

Donde P(x1,y1,z1) está en el plano y n= ai + bj + ck es normal al plano

𝒓𝟐 = 𝒙 − 𝒂 𝟐 + 𝒚 − 𝒃 𝟐 + 𝒛 − 𝒄 𝟐

Donde r es el radio y el centro de la esfera es P(a,b,c)

𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝒛𝟐 + 𝑨𝒙 + 𝑩𝒚 + 𝑪𝒛 + 𝑫 = 𝟎

𝑽 𝒕 = 𝒓´(𝒕)

𝒂 𝒕 = 𝐯´ 𝒕 = 𝒓´´(𝒕)

𝒗 𝒕 = 𝒓´(𝒕)

𝒂𝒕 =𝒓´ 𝒕 ∙ 𝒓´´(𝒕)

𝒓´(𝒕)

𝒂𝒏 = 𝒓´ 𝒕 × 𝒓´´(𝒕)

𝒓´(𝒕)

𝛁𝑭 𝒙, 𝒚, 𝒛 =𝝏𝑭

𝝏𝒙𝒊 +

𝝏𝑭

𝝏𝒚𝒋 +

𝝏𝑭

𝝏𝒛𝒌

𝐃𝐮𝐅(𝐱, 𝐲, 𝐳) = 𝛁𝑭(𝒙, 𝒚, 𝒛) ∙ 𝒖

Donde u es un vector unitario


5.

Divergencia

Rotacional

Criterio de las

segundas derivadas

parciales para

encontrar máximos

y/o mínimos

𝑺𝒊 𝑭 𝒙, 𝒚, 𝒛 = 𝑴 𝒙, 𝒚, 𝒛 𝒊 + 𝑵 𝒙, 𝒚, 𝒛 𝒋 + 𝑷 𝒙, 𝒚, 𝒛 𝒌

𝐝𝐢𝐯 𝐅 = 𝝏𝑴

𝝏𝒙+

𝝏𝑵

𝝏𝒚+

𝝏𝑷

𝝏𝒛

𝐫𝐨𝐭 𝐅 = 𝝏𝑷

𝝏𝒚−

𝝏𝑵

𝝏𝒛 𝒊 +

𝝏𝑴

𝝏𝒛−

𝝏𝑷

𝝏𝒙 𝒋 +

𝝏𝑵

𝝏𝒙−

𝝏𝑴

𝝏𝒚 𝒌

Sea 𝒇 una función con segundas derivadas parciales continuas en una región abierta

que contiene a un punto (a,b) para el cual:

𝑓𝑥 𝑎, 𝑏 = 0 𝑦 𝑓𝑦 𝑎, 𝑏 = 0

Para buscar los extremos relativos de 𝒇 considere la cantidad:

𝑑 = 𝑓𝑥𝑥 𝑎, 𝑏 𝑓𝑦𝑦 𝑎, 𝑏 − 𝑓𝑥𝑦 𝑎, 𝑏 2

𝟏. 𝑆𝑖 𝑑 > 0 𝑦 𝑓𝑥𝑥 𝑎, 𝑏 > 0, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑓 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑢𝑛 𝒎í𝒏𝒊𝒎𝒐 𝒓𝒆𝒍𝒂𝒕𝒊𝒗𝒐 𝑒𝑛 (𝑎, 𝑏)

𝟐. 𝑆𝑖 𝑑 > 0 𝑦 𝑓𝑥𝑥 𝑎, 𝑏 < 0, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑓 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑢𝑛 𝒎á𝒙𝒊𝒎𝒐 𝒓𝒆𝒍𝒂𝒕𝒊𝒗𝒐 𝑒𝑛 (𝑎, 𝑏)

𝟑. 𝑆𝑖 𝑑 < 0, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑎, 𝑏, 𝑓 𝑎, 𝑏 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑠𝑖𝑙𝑙𝑎

𝟒. 𝑆𝑖 𝑑 = 0, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑐𝑟𝑖𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜 𝑛𝑜 𝑙𝑙𝑒𝑣𝑎 𝑎 𝑛𝑖𝑛𝑔𝑢𝑛𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑐𝑙𝑢𝑠𝑖ó𝑛


6.

Teorema de Pitágoras

Ley de senos

Ley de cosenos

Propiedades del logaritmo

natural

Leyes de los exponentes

𝒄𝟐 = 𝒂𝟐+𝒃𝟐

𝐬𝐞𝐧𝛂

𝐀=

𝐬𝐞𝐧𝛃

𝐁=

𝐬𝐞𝐧𝛄

𝐂

𝐜𝟐 = 𝐚𝟐 + 𝐛𝟐 − 𝟐𝐚𝐛 𝐜𝐨𝐬 𝛂

𝒍𝒏𝑴𝑵 = 𝒍𝒏𝑴 + 𝒍𝒏𝑵

𝒍𝒏𝑴

𝑵= 𝒍𝒏𝑴 − 𝒍𝒏𝑵

𝒍𝒏𝑴𝑵 = 𝑵𝒍𝒏𝑴

𝒂𝒏𝒂𝒎 = 𝒂𝒏+𝒎

𝒂𝒏

𝒂𝒎= 𝒂𝒏−𝒎

(𝒂𝒏)𝒎 = 𝒂𝒎𝒏

a

b

c

C

A B

𝐬𝐞𝐧 𝛂

𝐬𝐞𝐧 𝛄

𝐬𝐞𝐧 𝛃

a

c b

𝛂

𝒂−𝒏 =𝟏

𝒂𝒏

𝒂

𝒃

𝒏=

𝒂𝒏

𝒃𝒏

(𝒂𝒃)𝒏 = 𝒂𝒏𝒃𝒏

𝒂𝒎

𝒏 = 𝒂𝒎𝒏

𝒍𝒏𝒆𝒙 = 𝒙

𝒆𝒍𝒏𝒙 = 𝒙

𝒍𝒏 𝟏 = 𝟎


7.

Identidades Trigonométricas

𝐬𝐞𝐧 𝒖 𝐜𝐬𝐜 𝒖 = 𝟏

𝐜𝐨𝐬 𝐮 𝐬𝐞𝐜 𝒖 = 𝟏

𝐭𝐚𝐧 𝒖 𝐜𝐨𝐭 𝒖 = 𝟏

𝐭𝐚𝐧 𝒖 =𝐬𝐞𝐧 𝒖

𝐜𝐨𝐬 𝒖

𝐜𝐨𝐭 𝒖 =𝐜𝐨𝐬 𝒖

𝐬𝐞𝐧 𝒖

𝐬𝐞𝐧𝟐 𝒖 + 𝐜𝐨𝐬𝟐 𝒖 = 𝟏

𝟏 + 𝐭𝐚𝐧𝟐 𝒖 = 𝐬𝐞𝐜𝟐 𝒖

𝟏 + 𝐜𝐨𝐭𝟐 𝐮 = 𝐜𝐬𝐜𝟐 𝒖

𝐬𝐞𝐧 𝟐𝒖 = 𝟐 𝐬𝐞𝐧 𝒖 𝐜𝐨𝐬 𝒖

𝐜𝐨𝐬 𝟐𝐮 = 𝐜𝐨𝐬𝟐 𝒖 − 𝐬𝐞𝐧𝟐 𝒖

𝐜𝐨𝐬 𝟐𝐮 = 𝟏 − 𝟐 𝐬𝐞𝐧𝟐 𝒖

𝐬𝐞𝐧 −𝒖 = − 𝐬𝐞𝐧 𝒖

𝐜𝐨𝐬 −𝒖 = 𝐜𝐨𝐬 𝒖

𝐭𝐚𝐧 −𝒖 = − 𝐭𝐚𝐧 𝒖

Identidades Hiperbólicas

𝐬𝐞𝐧𝐡𝟐 𝒖 − 𝐜𝐨𝐬𝐡𝟐 𝒖 = 𝟏 𝟏 − 𝐭𝐚𝐧𝐡𝟐 𝒖 = 𝐬𝐞𝐜𝐡𝟐 𝒖

𝟏 − 𝐜𝐨𝐭𝐡𝟐 𝐮 = − 𝐜𝐬𝐜𝐡𝟐 𝒖

𝐬𝐞𝐧𝐡𝐮 + 𝐜𝐨𝐬𝐡𝐮 = 𝒆𝒖 𝐬𝐞𝐧𝐡𝐮 − 𝐜𝐨𝐬𝐡𝐮 = 𝒆−𝒖

𝒔𝒆𝒏𝒉𝟐𝒖 = 𝟐𝒔𝒆𝒏𝒉𝒖𝒄𝒐𝒔𝒉𝒖

𝒄𝒐𝒔𝒉𝟐𝒖 = 𝒔𝒆𝒏𝒉𝟐 𝒖 + 𝒄𝒐𝒔𝒉𝟐 𝒖

𝒄𝒐𝒔𝒉𝟐𝒖 = 𝟐𝒔𝒆𝒏𝒉𝟐 𝒖 + 𝟏

𝒄𝒐𝒔𝒉𝟐𝒖 = 𝟐𝒄𝒐𝒔𝒉𝟐 𝒖 − 𝟏

Definiciones de Funciones Hiperbólicas.

𝐬𝐞𝐧𝐡 𝒙 =𝒆−𝒙 − 𝒆−𝒙

𝟐

𝐜𝐨𝐬𝐡 𝒙 =𝒆−𝒙 + 𝒆−𝒙

𝟐

𝐭𝐚𝐧𝐡 𝒙 =𝐬𝐞𝐧𝐡𝒙

𝐜𝐨𝐬𝐡 𝒙=

𝒆−𝒙 − 𝒆−𝒙

𝒆−𝒙 + 𝒆−𝒙

𝐜𝐬𝐜𝐡 𝒙 =𝟏

𝐬𝐞𝐧𝐡𝒙=

𝟐


𝐬𝐞𝐜𝐡 𝒙 =𝟏

𝐜𝐨𝐬𝐡 𝒙=

𝟐


𝐜𝐨𝐭𝐡 𝒙 =𝐜𝐨𝐬𝐡 𝒙

𝐬𝐞𝐧𝐡 𝒙=




8.

DERIVADAS

dx

dfC

dx

xCfd

)( 1

dx

dx

1)( nn

nxdx

xd

dx

dg

dx

df

dx

xgxfd

)()(

dx

dunu

dx

ud nn

1)( dx

du

uuSen

dx

d

2

1

1

1)(

dx

duv

dx

dvuuv

dx

d)(

dx

du

uuCos

dx

d

2

1

1

1)(

2)(

v

dx

dvu

dx

duv

v

u

dx

d

dx

du

uuTan

dx

d2

1

1

1)(

dx

duee

dx

d uu )( dx

du

uuCot

dx

d2

1

1

1)(

dx

duaaa

dx

d uu ln)( dx

du

uuuSec

dx

d

1

1)(

2

1

dx

du

uu

dx

d 1)(ln

dx

du

uuuCsc

dx

d

1

1)(

2

1

dx

duCosuSenu

dx

d)(

dx

duCoshuSenhu

dx

d)(

dx

duSenuCosu

dx

d)(

dx

duSenhuCoshu

dx

d)(

dx

duuSecTanu

dx

d 2)( dx

duuSechTanhu

dx

d 2)(

dx

duuCscCotu

dx

d 2)( dx

duuCschCothu

dx

d 2)(

dx

duSecuTanuSecu

dx

d)(

dx

duSechuTanhuSechu

dx

d)(

dx

duCscuCotuCscu

dx

d)(

dx

duCschuCothuCschu

dx

d)(


9.

Principales Integrales Indefinidas.

Reglas Generales de Integración

𝐚𝐝𝐱 = 𝒂𝒙

𝒂𝒇(𝒙)𝐝𝐱 = 𝒂 𝒇(𝒙)𝐝𝐱

(𝐮 ± 𝐯 ± 𝐰 … )𝐝𝐱 = 𝒖𝒅𝒙 + 𝒗𝒅𝒙 + 𝒘𝒅𝒙

𝐮𝐝𝐯 = 𝒖𝒗 − 𝒗𝒅𝒖

𝐮𝐧𝐝𝐮 =𝒖𝒏+𝟏

𝒏 + 𝟏 , 𝒏 ≠ −𝟏

𝐝𝐮

𝐮= 𝒍𝒏|𝒖|

𝐞𝐮𝐝𝐮 = 𝐞𝐮

Intégreles que contienen lnx

𝐥𝐧𝐱 𝐝𝐱 = 𝒙𝒍𝒏𝒙 − 𝒙

𝐱𝐥𝐧𝐱 𝐝𝐱 =𝒙𝟐

𝟐(𝒍𝒏𝒙 −

𝟏

𝟐)

𝐱𝐦𝐥𝐧𝐱 𝐝𝐱 =𝒙𝒎+𝟏

𝒎 + 𝟏 𝒍𝒏𝒙 −

𝟏

𝒎 + 𝟏

𝐥𝐧𝐱

𝐱 𝐝𝐱 =

𝟏

𝟐𝒍𝒏𝟐𝒙

𝐥𝐧𝐱

𝐱𝟐 𝐝𝐱 = −

𝒍𝒏𝒙

𝒙−

𝟏

𝒙

𝐥𝐧𝟐𝐱 𝐝𝐱 = 𝒙𝒍𝒏𝟐𝒙 − 𝟐𝒙𝒍𝒏𝒙 + 𝟐𝒙

𝐥𝐧𝐧𝐱 𝐝𝐱

𝐱=

𝒍𝒏𝒏+𝟏𝒙

𝒏 + 𝟏

𝐝𝐱

𝐱𝐥𝐧𝐱= 𝒍𝒏(𝒍𝒏𝒙)

𝐥𝐧𝐧𝐱 𝐝𝐱 = 𝒙𝒍𝒏𝒏𝒙 − 𝒏 𝒍𝒏𝒏−𝟏𝒙𝒅𝒙

𝐱𝐦𝐥𝐧𝐧𝐱 𝐝𝐱 =𝒙𝒎+𝟏𝒍𝒏𝒏𝒙

𝒎 + 𝟏−

𝒏

𝒎 + 𝟏 𝒙𝒎𝒍𝒏𝒏−𝟏𝒙𝒅𝒙

Integrales que contienen a2-x2

𝐝𝐱

𝐚𝟐 − 𝐱𝟐=

𝟏

𝟐𝒂𝒍𝒏

𝒂 + 𝒙

𝒂 − 𝒙

𝐱𝐝𝐱

𝐚𝟐 − 𝐱𝟐= −

𝟏

𝟐𝒍𝒏 𝒂𝟐 − 𝒙𝟐

𝐱𝟐𝐝𝐱

𝐚𝟐 − 𝐱𝟐=

𝒂

𝟐𝒍𝒏

𝒂 + 𝒙

𝒂 − 𝒙

𝐱𝟑𝐝𝐱

𝐚𝟐 − 𝐱𝟐= −

𝒙𝟐

𝟐−

𝒂𝟐

𝟐𝒍𝒏 𝒂𝟐 − 𝒙𝟐

𝐝𝐱

𝐱(𝐚𝟐 − 𝐱𝟐)=

𝟏

𝟐𝒂𝟐𝒍𝒏

𝒙𝟐

𝒂𝟐 − 𝒙𝟐


10.

𝐝𝐱

𝐱𝟐(𝐚𝟐 − 𝐱𝟐)= −

𝟏

𝒂𝟐𝒙+

𝟏

𝟐𝒂𝟑𝒍𝒏

𝒂 + 𝒙

𝒂 − 𝒙

𝐝𝐱

𝐱𝟑(𝐚𝟐 − 𝐱𝟐)= −

𝟏

𝟐𝒂𝟐𝒙𝟐+

𝟏

𝟐𝒂𝟒𝒍𝒏

𝒙𝟐

𝒂 − 𝒙

𝐝𝐱

(𝐚𝟐 − 𝐱𝟐)𝟐= −

𝒙

𝟐𝒂𝟐(𝐚𝟐 − 𝐱𝟐)+

𝟏

𝟒𝒂𝟑𝒍𝒏

𝒂 + 𝒙

𝒂 − 𝒙

𝐱𝐝𝐱

(𝐚𝟐 − 𝐱𝟐)𝟐=

𝟏

𝟐(𝐚𝟐 − 𝐱𝟐)

Integrales que contienen 𝐱𝟐+𝐚𝟐

𝐝𝐱

𝐱𝟐+𝐚𝟐= 𝒍𝒏 𝒙 + 𝐱𝟐+𝐚𝟐

𝐱𝐝𝐱

𝐱𝟐+𝐚𝟐= 𝐱𝟐+𝐚𝟐

𝐱𝟐𝐝𝐱

𝐱𝟐+𝐚𝟐=

𝒙 𝐱𝟐+𝐚𝟐

𝟐−

𝒂𝟐

𝟐𝒍𝒏 𝒙 + 𝐱𝟐+𝐚𝟐

𝐱𝟑𝐝𝐱

𝐱𝟐+𝐚𝟐= 𝐱𝟐+𝐚𝟐 𝟑 𝟐 − 𝒂𝟐 𝐱𝟐+𝐚𝟐

𝐝𝐱

𝐱 𝐱𝟐+𝐚𝟐=

𝟏

𝟐𝒍𝒏

𝒂 + 𝐱𝟐+𝐚𝟐

𝒙

𝐝𝐱

𝐱𝟐 𝐱𝟐+𝐚𝟐= −

𝐱𝟐+𝐚𝟐

𝐚𝟐𝐱

𝐝𝐱

𝐱𝟑 𝐱𝟐+𝐚𝟐= −

𝐱𝟐+𝐚𝟐

𝟐𝐚𝟐𝐱𝟐+

𝟏

𝟐𝐚𝟑𝒍𝒏

𝒂 + 𝐱𝟐+𝐚𝟐

𝒙

𝐱𝟐+𝐚𝟐 𝐝𝐱 =𝐱 𝐱𝟐+𝐚𝟐

𝟐+

𝐚𝟐

𝟐𝒍𝒏(𝐱 + 𝐱𝟐+𝐚𝟐)

𝐱 𝐱𝟐+𝐚𝟐𝐝𝐱 = 𝐱𝟐+𝐚𝟐 𝟑 𝟐

𝟑

Integrales que contienen eax

𝐞𝐚𝐱𝐝𝐱 =𝐞𝐚𝐱

𝐚

𝐱𝐞𝐚𝐱𝐝𝐱 =𝐞𝐚𝐱

𝐚 𝒙 −

𝟏

𝒂

𝐱𝟐𝐞𝐚𝐱𝐝𝐱 =𝐞𝐚𝐱

𝐚 𝒙𝟐 −

𝟐𝒙

𝒂+

𝟐

𝒂𝟐

𝐱𝐧𝐞𝐚𝐱𝐝𝐱 =𝐱𝐧𝐞𝐚𝐱

𝐚−

𝒏

𝒂 𝐱𝐧−𝟏𝐞𝐚𝐱𝐝𝐱

𝐞𝐚𝐱 𝐬𝐞𝐧 𝐛𝐱 𝐝𝐱 =𝐞𝐚𝐱 𝐚 𝐬𝐞𝐧 𝐛𝐱 − 𝐛 𝐜𝐨𝐬 𝐛𝐱

𝐚𝟐 + 𝐛𝟐

𝐞𝐚𝐱 𝐜𝐨𝐬 𝐛𝐱 𝐝𝐱 =𝐞𝐚𝐱 𝐚 𝐜𝐨𝐬 𝐛𝐱 + 𝐛 𝐬𝐞𝐧 𝐛𝐱

𝐚𝟐 + 𝐛𝟐

Integrales que contienen x2+a2

𝐝𝐱

𝐱𝟐+𝐚𝟐=

𝟏

𝒂𝐭𝐚𝐧−𝟏

𝒙

𝒂

𝐱𝐝𝐱

𝐱𝟐+𝐚𝟐=

𝟏

𝟐𝒍𝒏(𝐱𝟐+𝐚𝟐)

𝐱𝟑𝐝𝐱

𝐱𝟐+𝐚𝟐= 𝒙 − 𝒂 𝐭𝐚𝐧−𝟏

𝒙

𝒂


11.

𝐝𝐱

𝐱(𝐱𝟐+𝐚𝟐)=

𝟏

𝟐𝒂𝟐𝒍𝒏

𝒙𝟐

𝐱𝟐+𝐚𝟐

𝐝𝐱

𝐱𝟐(𝐱𝟐+𝐚𝟐)= −

𝟏

𝒂𝟐𝒙−

𝟏

𝒂𝟑𝐭𝐚𝐧−𝟏

𝒙

𝒂

𝐝𝐱

𝐱𝟑(𝐱𝟐+𝐚𝟐)= −

𝟏

𝟐𝒂𝟐𝒙𝟐−

𝟏

𝟐𝒂𝟒𝒍𝒏

𝒙𝟐

𝐱𝟐+𝐚𝟐

Integrales de funciones trigonométricas más

comunes

𝐬𝐞𝐧𝐚𝐱 𝐝𝐱 = −𝒄𝒐𝒔𝒂𝒙

𝒂

𝐜𝐨𝐬𝐚𝐱 𝐝𝐱 =𝒔𝒆𝒏𝒂𝒙

𝒂

𝐬𝐞𝐜𝟐𝐚𝐱 𝐝𝐱 =𝒕𝒂𝒏𝒂𝒙

𝒂

𝐜𝐨𝐬𝟐𝐚𝐱 𝐝𝐱 = −𝒄𝒐𝒕𝒂𝒙

𝒂

𝐬𝐞𝐜𝐚𝐱 𝐭𝐚𝐧𝐚𝐱 𝐝𝐱 =𝒔𝒆𝒄𝒂𝒙

𝒂

𝐜𝐬𝐜𝐚𝐱 𝐜𝐨𝐭𝐚𝐱 𝐝𝐱 = −𝒄𝒔𝒄𝒂𝒙

𝒂

𝐭𝐚𝐧𝐚𝐱 𝐝𝐱 =𝒍𝒏 𝒔𝒆𝒄𝒂𝒙

𝒂

𝐜𝐨𝐭𝐚𝐱 𝐝𝐱 =𝒍𝒏 𝒔𝒆𝒏𝒂𝒙

𝒂

𝐬𝐞𝐜𝐚𝐱 𝒅𝒙 =𝒍𝒏 𝒔𝒆𝒄𝒂𝒙 + 𝒕𝒂𝒏𝒂𝒙

𝒂

𝐜𝐬𝐜𝐚𝐱 𝐝𝐱 =𝒍𝒏 𝒄𝒔𝒄𝒂𝒙 − 𝒄𝒐𝒕𝒂𝒙

𝒂

Integrales de funciones hiperbólicas comunes

𝐬𝐞𝐧𝐡𝐚𝐱 𝐝𝐱 =𝒄𝒐𝒔𝒉𝒂𝒙

𝒂

𝐜𝐨𝐬𝐡𝐚𝐱 𝐝𝐱 =𝒔𝒆𝒏𝒉𝒂𝒙

𝒂

𝐬𝐞𝐜𝐡𝟐𝐚𝐱 𝐝𝐱 =𝒕𝒂𝒏𝒉𝒂𝒙

𝒂

𝐜𝐬𝐜𝐡𝟐𝐚𝐱 𝐝𝐱 = −𝒄𝒐𝒕𝒉𝒂𝒙

𝒂

𝐬𝐞𝐜𝐡𝐚𝐱 𝐭𝐚𝐧𝐡𝐚𝐱 𝐝𝐱 = −𝒔𝒆𝒄𝒉𝒂𝒙

𝒂

𝐜𝐬𝐜𝐡𝐚𝐱 𝐜𝐨𝐭𝐡𝐚𝐱 𝐝𝐱 = −𝒄𝒔𝒄𝒉𝒂𝒙

𝒂

𝐭𝐚𝐧𝐡𝐚𝐱 𝐝𝐱 =𝒍𝒏 𝒄𝒐𝒔𝒉𝒂𝒙

𝒂


12.

Valores exactos de las funciones trigonométricas de algunos ángulos.

Angulo A Angulo A sen A cos A tan A cot A sec A csc A

en grados en

radianes

0° 0 0

1

0

±∞

1 ±∞

15° π/12 1

4 6 − 2 1

4 6 + 2 2 − 3 2 + 3 6 − 2 6 + 2

30° π/6 1

2 1

2 3

1

3 3 3

2

3 3 2

45° π/4 1

2 2

1

2 2 1 1 2 2

60° π/3 1

2 3

1

2 3

1

3 3 2

2

3 3

75° 5π/12 1

4 6 + 2

1

4 6 − 2 2 + 3 2 − 3 6 + 2 6 − 2

90° π/2 1 0 ±∞ 0 ±∞ 1

105° 7π/12 1

4 6 + 2 −

1

4 6 − 2 − 2 + 3 − 2 − 3

− 6 + 2 6 − 2

120° 2π/3 1

2 3 −

1

2 − 3 −

1

3 3 −2

2

3 3

135° 3π/4 1

2 2 −

1

2 2 −1 −1 − 2 2

150° 5π/6 1

2 −

1

2 3 −

1

3 3 − 3 −

2

3 3 2

165° 11π/12 1

4 6 − 2 −

1

4 6 + 2 − 2 − 3 − 2 + 3 − 6 − 2 6 + 2

180° π 0 −1 0 ±∞ −1 ±∞

195° 13π/12 −1

4 6 − 2 −

1

4 6 + 2 2 − 3 2 + 3 − 6 − 2 − 6 + 2

210° 7π/6

−1

2 −

1

2 3

1

3 3 3 −

2

3 3 −2

225° 5π/4 −1

2 2

−1

2 2 1 1 − 2 − 2

240° 4π/3 −1

2 3 −

1

2 3

1

3 3 −2 −

2

3 3

255° 17π/12 −1

4 6 + 2 −

1

4 6 − 2 2 + 3 2 − 3 − 6 + 2 − 6 − 2

270° 3π/2 −1 0 ±∞ 0 ±∞ −1

285° 19π/12 −1

4 6 + 2

1

4 6 − 2 − 2 + 3 − 2 − 3 6 + 2 − 6 − 2

300° 5π/3 −1

2 3

1

2 − 3 −

1

3 3 2 −

2

3 3

315° 7π/4 −1

2 2

1

2 2 −1 −1 2 − 2

330° 11π/6 −1

2

1

2 3 −

1

3 3 − 3

2

3 3 −2

345° 23π/12

−1

4 6 − 2 1

4 6 + 2 − 2 − 3 − 2 + 3 6 − 2 − 6 + 2

360° 2π 0 1 0 ±∞ 1 ±∞

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