Facultad de Ingeniería Ayudante: Francisco Valenzuela Riquelme Curso: Ecuaciones Diferenciales

RESUMEN SOLUCIÓN EN SERIE

DE POTENCIAS

1.- SERIES DE POTENCIAS

Una serie de potencias en un punto x0 es una expresión de la forma:

0

0 )(n

n

n xxa (*)

1.1.- TEOREMA 1: CONVERGENCIA DE SERIES DE POTENCIAS

Para determinar el radio de convergencia R, un método que a menudo resulta fácil es el criterio del cuociente:

LRL

a

a

n

n

n

1lim 1

Observación: Si n

n

n a

a 1lim

no existe, se deben

emplear

otros métodos para calcular R, ejemplo el criterio de la raíz.

(i) Si L>0 R>0 y la serie (*) converge absolutamente

para Rxx 0

Es decir se cumple:

0

0 )()(n

n

n xxaxf RxxRx 00

Entonces f(x) es infinitamente diferenciable

RxxRx 00 y podemos obtener sus

derivadas derivando término a término en la serie de potencias.

Además, el radio de convergencia de esta nueva serie de potencias es también R.

También se tiene:

cn

xxadxxf

n

n

n

0

1

0

1

)()(

RxxRx 00

(ii) Si L>0 R y la serie (*) converge

absolutamente x

(iii) Si 0 RL y la serie (*) sólo converge

absolutamente x

2.- PUNTOS ORDINARIOS Y PUNTOS SINGULARES

Para la ecuación del tipo:

0)(')('')( 012 yxayxayxa (1)

Escrita en su forma normal:

0)(')('' yxQyxPy (2)

Se dice que x0 es un punto ordinario de la ecuación (2) si P(x) y Q(x) son analíticas en x0

Un punto que no es ordinario es un punto singular

PUNTOS SINGULARES REGULARES E IRREGULARES

Regular ( ) ( )

( ) ( )

Irregular No regular

Si x0 es un punto singular regular de (1), se calcula la ecuación indicial:

0)1( 00 QrPrr

Donde:

)()( 00

0

xPxxP límxx

)()( 2

00

0

xQxxQ límxx

*Las raíces de la ecuación indicial se llaman exponentes

o índices de la singularidad x0

3.- SOLUCIÓN EN TORNO A UN PUNTO ORDINARIO

Si x0 es un punto ordinario de (1), entonces se tiene 2 soliciones analíticas L.I de la forma:

0

0 )(n

n

n xxa

En ocasiones se utiliza el cambio de coordenadas:

0

0 )(n

n

ntatxxt

4.- MÉTODO DE FROBENIUS

Si x=x0 es un punto singular regular de la ecuación (1), existe al menos una solución en serie de la forma:

0

0

0

00 )()()()(n

rn

n

n

n

n

r xxcxxcxxx

Facultad de Ingeniería Ayudante: Francisco Valenzuela Riquelme Curso: Ecuaciones Diferenciales

CASOS DE LAS RAÍCES INDICIALES

o Suponemos r1>r2 raíces reales

(1) r1 r2 y r1 r2 Z :

1

22

1

11

)(1)(

)(1)(

2

1

k

k

k

r

k

k

k

r

xrcxx

xrcxx

(2) r1=r2:

1

112

1

11

)´()()ln()(

)(1)(

1

1

k

k

k

r

k

k

k

r

xrcxxxx

xrcxx

(3) r1 r2 y r1 r2 Z :

1

212

1

11

)´()()ln()(

)(1)(

2

1

k

k

k

r

k

k

k

r

xrcxxxcx

xrcxx

*la constante c puede ser cero

o Si se tiene raíces complejas del tipo ir :

1

2

1

1

'1)ln()(

1)lncos()(

k

k

k

k

k

k

xcxsenxx

xcxxx

5.- PROPIEDADES FACTORIALES

DOBLE FACTORIAL

!2

)!2(

)12(!2

)!12()12(.........531!)!12(

!2

)!12()12(.........531!)!12(

!2!)!2(

k

k

nk

kkk

k

kkk

kk

kk

k

k

6.- TRANSFORMADA DE LAPLACE