Facultad de IngenieraAyudante: Francisco Valenzuela Riquelme Curso: Ecuaciones DiferencialesRESUMENSOLUCINENSERIE DEPOTENCIAS 1.- SERIES DE POTENCIAS Una serie de potencias en un punto x0 es una expresin de la forma: =00) (nnnx x a (*) 1.1.- TEOREMA 1: CONVERGENCIA DE SERIES DE POTENCIAS Para determinar el radio de convergencia R, un mtodo que a menudo resulta fcil es el criterio del cuociente: LR Laannn1lim1= =+ Observacin: Si nnnaa1lim+ no existe, se deben emplear otros mtodos para calcular R, ejemplo el criterio de la raz. (i) Si L>0 R>0 y la serie (*) converge absolutamente paraR x x < 0 Es decir se cumple: = =00) ( ) (nnnx x a x fR x x R x + < < 0 0 Entonces f(x) es infinitamente diferenciable R x x R x + < < 0 0 y podemos obtener sus derivadas derivando trmino a trmino en la serie de potencias.Adems, el radio de convergencia de esta nueva serie de potencias es tambin R. Tambin se tiene: cnx x adx x fnnn++=}=+0101) () ( R x x R x + < < 0 0 (ii) Si L>0 = Ry la serie (*) converge absolutamente 9 e x(iii) Si0 = = R Ly la serie (*) slo converge absolutamente 9 e x 2.- PUNTOS ORDINARIOS YPUNTOS SINGULARES Para la ecuacin del tipo: 0 ) ( ' ) ( ' ' ) (0 1 2= + + y x a y x a y x a(1) Escrita en su forma normal: 0 ) ( ' ) ( ' ' = + + y x Q y x P y(2) Se dice que x0 es un punto ordinario de la ecuacin (2) si P(x) y Q(x) son analticas en x0 Un punto que no es ordinario es un punto singular PUNTOS SINGULARES REGULARES E IRREGULARES Regular(

)()(

)

()

Irregular No regular Si x0 es un punto singular regular de (1), se calcula la ecuacin indicial: 0 ) 1 (0 0= + + Q r P r r Donde:) ( ) (0 00x P x x Plmx x =

) ( ) (20 00x Q x x Qlmx x = *Las races de la ecuacin indicial se llaman exponentes o ndices de la singularidad x0 3.- SOLUCIN EN TORNO AUNPUNTO ORDINARIO Si x0 es un punto ordinario de (1), entonces se tiene 2 soliciones analticas L.I de la forma: =00) (nnnx x a En ocasiones se utiliza el cambio de coordenadas: == =00) (nnnt a t x x t | 4.- MTODO DE FROBENIUS Si x=x0 es un punto singular regular de la ecuacin (1), existe al menos una solucin en serie de la forma: =+= = =0000 0) ( ) ( ) ( ) (nr nnnnnrx x c x x c x x x | Facultad de IngenieraAyudante: Francisco Valenzuela Riquelme Curso: Ecuaciones Diferenciales CASOS DE LAS RACES INDICIALES oSuponemos r1>r2 races reales (1) r1r2y r1r2 eZ : |.|

\| + =|.|

\| + ===12 211 1) ( 1 ) () ( 1 ) (21kkkrkkkrx r c x xx r c x x|| (2) r1=r2: ==+ =|.|

\| + =11 1 211 1) ( ) ( ) ln( ) () ( 1 ) (11kkkrkkkrx r c x x x xx r c x x| || (3) r1r2y r1r2 eZ : ==+ =|.|

\| + =12 1 211 1) ( ) ( ) ln( ) () ( 1 ) (21kkkrkkkrx r c x x x c xx r c x x| || *la constante c puede ser cero oSi se tiene races complejas del tipo| o i r = : |.|

\| + =|.|

\| + ===1211' 1 ) ln ( ) (1 ) ln cos( ) (kkkkkkx c x sen x xx c x x x| || |oo 5.- PROPIEDADES FACTORIALES DOBLE FACTORIAL ! 2)! 2 () 1 2 ( ! 2)! 1 2 () 1 2 ( ......... 5 3 1 ! )! 1 2 (! 2)! 1 2 () 1 2 ( ......... 5 3 1 ! )! 1 2 (! 2 ! )! 2 (kkn kkk kkkk kk kk kkk=++= = += + = += 6.- TRANSFORMADA DE LAPLACE