Formulario PARDO (Algebra) - Copia

Av. Collasuyo O-17 (Detrás de la UNSAAC) Telf.: 315018 1


TÍTULO DE LA OBRA

Formulario de ÁLGEBRA EDICIÓN 2012 Derechos Reservados © AUTORES:

Prof.: William Mostacero Montoya

Prof.: Elio Necochea Aybar DIAGRAMACIÓN Y ARTE CENTRO DE CÓMPUTO ACADEMIA PARDO * Wilfredo Cárdenas Jincho E-mail: [email protected]

Academia PARDO R.D. 1560 Av. Collasuyo O – 17 (detrás de la UNSAAC) Teléfono: (084) 315018 CUSCO / PERÚ

Prohibida la reproducción de esta obra

por cualquier medio, total o parcialmente, sin permiso expreso y/o legal del editor.


LEYES DE EXPONENTES

Leyes principales:

I. Producto de bases iguales:

m n m na .a a

II. Cocientes de bases iguales:

mm n

n

aa

a

III. Exponente cero:

0

a 1 a 0

IV. Exponente negativo:

m

m

1a

a a 0

V. Potencia de un producto:

p

m n m.p n.pa b a b

VI. Potencia de un cociente:

pm m.p

n n.p

a a

b b

VII. Potencia negativa de un

cociente:

m ma b

b a

VIII. Potencia de potencia

pnm m n p

a a

Nota:

pn

pnm m

Exponente dePotencia deexponentePotencia

a a

IX. Exponente fraccionario:

mn

n ma a

Nota:

mn nma a

X. Raíz de un producto:

n n n n

a b c a b c

XI. Raíz de un cociente:

nn

n

a a

b b


XII. Raíz de raíz:

m n p mnpa a

EXPRESIONES CON UN NÚMERO

LIMITADO DE RADICALES:

1. m n m.n.ppq I s (qn I)p s

a . a . a a

2. nm m m mm

"n " radicales

. . . a a

3.

nn

m 1

m 1mm m m m

"n" radicales

a. a. a ... a a

Expresiones al Infinito

n n n n 1a a a... a

n n n n 1a a a... a

mm n 1nn n n n 1

"m" r adicales

a a a... a

b bb bbx b

x b

xx

x a

ax a

a a 1 a a 1 ... a

a a 1 a a 1 ... a 1

ECUACIONES EXPONENCIALES

Propiedades:

1. Para bases iguales:

m na a m = n

2. Para exponentes iguales:

m ma x a = x

3. Para bases y exponentes

iguales:

x yx y x = y

También llamada: “Ley de

Analogía”


GRADO DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS

GRADO DE UN MONOMIO:

Grado Relativo.- Esta determinado

por el exponente de dicha

variable

Grado Absoluto.- Esta

determinado por la suma de los

exponentes de dichas variables:

Ejemplos:

MONOMIO 4 5 12

M(x,y,z) 7x y x

GRADOS

RELATIVOS

GR(x) = 4

GR(y) = 5

GR(z) = 12

GRADO

ABSOLUTO 4 + 5 + 12 = 21

GRADO DE UN POLINOMIO:

Grado Relativo.- Determinado por

el exponente de mayor grado.

Grado Absoluto.- Determinado por

el término de mayor grado.

Ejemplos:

POLINOMIO P(x,y)=3x5

y7

– 2x9

y2

GRADOS

RELATIVOS

GR(x) = 9

GR(y) = 7

GRADO

ABSOLUTO

Es el grado del

primer término: 12

OPERACIONES CON POLINOMIOS:

Dado los polinomios P(x) de grado

m y Q(x) de grado n ; siendo

m > n

Operación Procedimiento Grado

resultante

Adición:

P(x) + Q(x)

El grado

resultante es el

del polinomio

de mayor

grado.

m

Sustracción:

P(x) – Q(x) m

Multiplicación:

P(x) . Q(x)

Sumando los

grados de los

factores.

m + n

División:

P(x) Q(x)

Restando el

grado del

dividendo

menos el

grado del

divisor

m – n

Potenciación:

[P(x)]k

Multiplicando

el grado de la

base y el

exponente.

m k

Radicación:

KP(x)

Dividimos el

grado del

Radicando

entre el índice.

m

k


POLINOMIOS ESPECIALES

1. POLINOMIO HOMOGÉNEO:

Todos sus términos poseen igual

grado.

Ejemplo:

5 8 12 10 3

G 13G 13 G 13

P(x,y) 4x y 7xy x y

Se dice que: P(x,y) es

homogéneo, cuyo grado de

homogeneidad es 13.

2. POLINOMIO ORDENADO:

Presentan un orden ascendente

o descendente en los

exponentes de sus variables.

Ejemplo:

9 2 7 8 4 10 2 15P(x,y) x y 4x y 3x y x y

El polinomio está ordenado con

respecto a “x” en forma

decreciente y con respecto a

“y” en forma creciente.

3. POLINOMIO COMPLETO:

Es aquel que tiene desde su

máximo exponente, en forma

consecutiva, hasta el grado

cero (término independiente)

Ejemplo:

P(x) = 2x4

– 3x3

+ 8x2

– x + 5

P(x,y) = x3

+ 3x2

y + 3x y2

+ y3

OBSERVACIONES:

En todo polinomio completo y

ordenado de una sola

variable se cumple que el

número de términos estará

determinado por el grado del

polinomio aumentado en la

unidad.

# términos Gº 1

En todo polinomio completo y

ordenado (en general para

todo polinomio) se cumple

que su suma de coeficientes

se obtiene reemplazando a la

variable o variables con las

cuales se está trabajando por

la unidad.

Coeficientes P(1)

Análogamente el término

independiente (T.I.) se obtiene

reemplazando a la(s)

variable(s) por cero.

T.I. = P(0)

4. POLINOMIOS IDÉNTICOS:

Dos polinomios, del mismo

grado y con las mismas

variables, serán idénticos si los

coeficientes de sus términos

semejantes en ambos son

iguales.

Ejemplo:

5 2 5 2ax bx c 3x 7x 9

Se cumple que:

a = 3 ; b = –7 ; c = 9


5. POLINOMIO IDÉNTICAMENTE

NULO:

Cuando los coeficientes de sus

términos son nulos o ceros.

Ejemplo:

Si: ax3

+ bx + c = 0

Se cumple:

a 0 ; b 0 ; c 0

NOTA: Se dice que un

polinomio es Mónico, cuando el

coeficiente principal es la unidad.

PRODUCTOS NOTABLES

I. BINOMIO AL CUADRADO (T. C. P.)

(trinomio cuadrado perfecto)

* 2 2 2a b a 2ab b

* 2 2 2a b a 2ab b

Observación: 2 2a b b a

Corolario: Identidad de Legendre:

* 2 2 2 2a b a b 2 a b

* 2 2a b a b 4ab

II. DIFERENCIA DE CUADRADOS.

* 2 2a b a b a b

* 2n 2n n n n nx y x y x y

III. DESARROLLO DE UN BINOMIO AL

CUBO.

* 3 3 2 2 3a b a 3a b 3ab b

forma desarrollada.

* 3 3 3a b a b 3ab a b

forma abreviada: Cauchy

* 3 3 2 2 3a b a 3a b 3ab b

forma desarrollada.

* 3 3 3a b a b 3ab a b

forma abreviada: Cauchy

IV. SUMA Y DIFERENCIA DE CUBOS.

* 3 3 2 2a b a b a ab b

* 3 3 2 2a b a b a ab b


V. DESARROLLO DE UN TRINOMIO AL

CUADRADO.

2 2 2 2a b c a b c 2ab 2ac 2bc

forma desarrollada.

2 2 2 2

a b c a b c 2 ab ac bc

forma abreviada.

VI. PRODUCTOS DE BINOMIOS CON

UN TÉRMINO COMÚN: STEVIN

* 2x a x b x a b x ab

VII. DESARROLLO DE UN TRINOMIO

AL CUBO.

* 3 3 3 3 2 2

2 2 2

a b c a b c 3a b 3ab

3b c 3ac 3bc 6abc

*

3 3 3 3a b c a b c

3 a b a c b c

VIII. IDENTIDAD DE ARGAND.

* 2m m n 2n 2m m n 2n

4 2m 2n 4n

x x y y x x y y

x x y y

* 4k 2k 2k k 2k kx x 1 x x 1 x x 1

XI. IGUALDADES CONDICIONALES.

1. Si: a b c 0 ; se demuestra:

* 2 2 2a b c 2 ab ac bc

*

3 3 3a b c 3abc

Importante (Ojito)

* 4 4 4 2 2 2 2 2 2a b c 2 a b a c b c

* 5 5 5a b c 5abc ab ac bc

2. Si: 2 2 2

a b c ab ac bc

Donde: a, b, c

Entonces: a = b = c

3. Si se verifica que:

a2

+ b2

+ c2

+ … + n2

= 0

Será posible, cuando:

a = b = c = … = n = 0

Teorema:

La expresión:2

ax bx c es un

TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

si, y sólo si se verifica que:

2b 4ac .


COCIENTES NOTABLES

FORMA GENERAL:

n nx a

x a

; donde: x; a son las

bases y n N

Condiciones que deben de

cumplir:

a) Deben tener las bases iguales

b) Deben tener los exponentes

iguales.

FORMULA DEL TÉRMINO GENERAL

DEL DESARROLLO DE LOS

COCIENTES NOTABLES:

n k k 1kT (signo)x a

Donde k es el lugar pedido y n es

el exponente de los bases en el

numerador.

Regla para el signo:

a) Cuando el divisor es de la forma

(x–a) todos los términos son

positivos.

b) Cuando el divisor es de la forma

(x+a) los términos de lugar par

son negativos y los términos de

lugar impar son positivos.

PROPIEDAD:

Si:

m n

p q

x a

x a

; origina un cociente

notable

Entonces se cumple: m n

p q

Además:

m nNúmero de términos

p q

PROPIEDADES

– El cociente notable de:

n nx a

x a

es un polinomio homogéneo de

grado de homogeneidad (n–1);

es un polinomio de “n” términos

completo y ordenado con

respecto a ambas variables.

- Se puede determinar el término

central de un cociente notable

siguiendo estas

consideraciones:

1. Si el número de términos es

par:

1C n

2

T T

2C n 2

2

T T

2. Si el número de términos:

impar

C n 1

2

T T

- Si contamos los términos a partir


del último, para hallar el término

de lugar “k” sólo

intercambiamos los exponentes;

así:

k 1 n kkt (signo)(x) (a)

FACTORIZACIÓN

Es la transformación de un

polinomio en una multiplicación

indicada de sus factores primos o

sus potencias.

No todos los polinomios se pueden

factorizar. De acuerdo a las

características que presenten los

polinomios se pueden aplicar tal o

cual criterio, por ejemplo:

ax2y

2+bxy

3z+cx

3my

4

Factor

Común

Ax2n

+Bxny

m+Cy

2m

Aspa

Simple

Ax2n

+Bxny

m+Cy

2m+Dx

n+Ey

m+F

Aspa

doble

Ax4n

+Bx3n

+Cx2n

+Dxn+E

Aspa

Doble

Especial

Ax3+Bx

2+Cx+D

Divisores

Binómicos

FACTOR DE UN POLINOMIO:

Un polinomio f(x) de GRADO NO

NULO, es considerado factor de

otro polinomio P(x) si existe un

único polinomio q(x) tal que:

es decir, la división de P(x) entre

f(x) es exacta.

Ejemplo:

De P(x) = x(x2

– 1)(x + 2), sus

factores son:

x; x+1; x–1; x+2; x2

+2x; …;

x(x+1)(x-1)(x+2)

POLINOMIO IRREDUCTIBLE:

Un polinomio es irreductible sobre

un determinado campo numérico

si no admite ser expresado como

la multiplicación de dos o más

factores sobre el mismo campo.

TEOREMA

Todo polinomio de primer

grado es irreductible en

cualquier campo numérico.

NOTA: Los conjuntos

numéricos considerados como

CAMPOS NUMÉRICOS son los

P(x) ≡ f(x) . q(x)

2

x 9x 22 x 2 x 11

factorización

producto


racionales ( ) , los reales ( ) y

los complejos ( ) .

Propiedades de los polinomios

irreductibles en un campo

numérico

*) Todo polinomio de primer

grado es irreductible

*) Si el polinomio P es irreductible

lo es también cualquier

polinomio cP donde “c” es un

elemento de dicho campo

(c 0) .

FACTOR PRIMO:

Es un factor irreductible de un

polinomio sobre un determinado

campo.

Ejemplo:

P(x) = 5(x – 2)2

(x2

+ 3x + 1)

Sus factores primos en Q, son:

x – 2 ; x2

+ 3x + 1

en cambio (x – 2)2

no es primo,

puesto que es divisible por: (x – 2).

Conteo de Factores Primos:

El número de factores primos de

un polinomio (factorizado) se

obtiene contando los factores

primos que se encuentran como

base de una potencia y que

contienen a la variable, es decir,

los factores distintos que se hallan

contenidos.

Ejemplos:

Q(x) = x(x – 4)2

(x2

+1)5

(x2

+ y2

)

Tiene 4 factores primos.

2 lineales: x ; x – 4

2 cuadráticos: x2

+ 1 ; x2

+ y2

P(x) = 5(x – 1)4

(x + 2)2

(x – 1)2

Tiene 3 factores primos.

Número de Factores Algebraicos:

Este número de factores

algebraicos también se les

denomina divisores.

Número de factores

Dado: x y z

Factores primos son 3: x , y , z

Factores algebraicos:

(+1)(+1)(+1) – 1

Factores o divisores:

(+1)(+1)(+1)

Ejemplo: Dado 2

(x 2)(y 1)

* Factores primos: 2

* Factores algebraicos:

(1+1)(2+1) – 1 = 5

* Divisores: (1+1)(2+1) = 6

CRITERIOS DE FACTORIZACIÓN

CRITERIO DEL FACTOR COMÚN

El factor común es el que figura

en cada uno de los términos. De

no haber, se puede obtener

agrupando convenientemente los

términos.

CRITERIO DEL ASPA SIMPLE

Es apropiado para factorizar

polinomios de la forma:


2n n m 2m

P x;y AX BX Y CY

CRITERIO DE LAS IDENTIDADES

Es necesario recordar:

2 2

3 3 2 2

3 3 2 2

2 2 2

3 3 2 2 3

a b (a b)(a b)

a b (a b)(a ab b )

a b (a b)(a ab b )

(a b) a 2ab b

(a b) a 3a b 3ab b

CRITERIO DEL ASPA DOBLE

Este método se utiliza para

factorizar polinomios de la forma:

2m m n 2n m n

P x;y AX BX Y CY DX EY F

Pasos que se deben seguir:

Ordenar el polinomio de

acuerdo a la forma general

mostrada.

Si faltase algún término, se debe

completar con ceros; pero de

acuerdo a donde le

corresponda.

Se aplica tres aspas simples

como se muestra en el esquema

y los factores se toma

horizontalmente.

CRITERIO DEL ASPA DOBLE ESPECIAL

Se utiliza para factorizar

polinomios de la forma:

4m 3m 2m m

P x AX BX CX DX E

En particular polinomios de cuarto

grado

4 3 2

P x AX BX CX DX E

Procedimiento de factorización:

Ordenar el polinomio en orden

descendiente completando los

términos faltantes con ceros.

Se descomponen los términos

extremos tratando de que el

aspa simple entre ellos se

aproxime al término central.

CRITERIO DE LOS DIVISORES

BINÓMICOS O EVALUACIÓN

BINÓMICA

Este método se emplea para

factorizar polinomios de una

sola variable y de cualquier

grado.

2n n m 2m n m

AX BX Y CY DX EY F

n1a x

n2a x

n1c y

n2c y 2f

1f

4 3 2

P(x) AX BX CX DX E

21 1 1a x c x e

22 2 2a x c x e

Lo que

le falta


Se basa en el criterio de

divisibilidad de polinomios y por

lo tanto usa el criterio del

teorema del resto en forma

inversa.

Si: P x x a R P a 0 ;

luego x a es un divisor o

factor de P x

Ceros de un polinomio (Ceros

Racionales)

Es el conjunto de valores que

puede tomar la variable de un

polinomio y hacer que el valor

numérico sea igual a cero:

Ejemplo:

Sea 3 2

P x x 6x 11x 6

Para: x 1

3 2

P 1 1 6 1 11 1 6 0

Luego podemos decir que: “1 es

un cero del polinomio P x ”

¿Cómo debes determinar los

posibles ceros de un polinomio?

1) Si el polinomio tiene como

primer coeficiente la unidad:

En este caso los posibles ceros

racionales estarán dados por los

divisores del término

independiente con signo doble

( ) .

Si: 3 2

P x x 6x 11x 6

Divisores

Entonces los posibles ceros están

determinados por:

div 6: 1 ; 2 ; 3 ; 6

2) Si el primer coeficiente del

polinomio es diferente de la

unidad.

En este caso se toman los

valores fraccionarios que

resultan de dividir los divisores

del término independiente entre

los divisores del primer

coeficiente.

Divisores del términoPosibles independiente

ceros =Divisores del primer

Racionales coeficiente

Sea el polinomio:

3 2

P x 6 x 11x 6x 1

Posibles ceros:

Posibles ceros:

1 1 1

1; ; ; 2 3 6

CRITERIO DE LOS ARTIFICIOS

Este método consiste en darle una

forma adecuada al polinomio;

divisores del término

independiente 1

divisores del primer

coeficiente 6

1

1, 2, 3, 6


operando en forma conveniente,

realizando cambios de variable o

sumando y restando una misma

cantidad con la finalidad de hacer

más sencilla su factorización.

1. CAMBIO DE VARIABLE: Consiste

en buscar expresiones iguales

directa o indirectamente a

través de ciertas

transformaciones para luego

proceder a un cambio de

variable que permitirá

transformar una expresión

aparentemente compleja en

otra más simple.

2. “QUITA Y PON” O REDUCCIÓN A

DIFERENCIA DE CUADRADOS:

Consiste en sumar y restar una

expresión (quitar y poner) de

modo tal que haciendo ciertas

reducciones logres formar un

trinomio cuadrados perfecto y

como consecuencia de ésta

situación se forme una

diferencia de cuadrados.

3. SUMAS Y RESTAS ESPECIALES:

Consiste en sumar y restar una o

varias expresiones en forma

conveniente de tal modo que se

formen uno de los trinomios:

2 2

x x 1 ó x x 1

ambos componentes de una

diferencia o suma de cubos.

RADICACIÓN

DEFINICIÓN.- Son aquellos que se

caracterizan porque dentro de un

radical se encuentran contenidos

otros radicales ligados con otras

expresiones a traves de las

operaciones de suma o resta

Ejemplos:

A B ; 3 x y ;

a b c d

CONVERSIÓN DE RADICALES

DOBLES A SIMPLES:

CASO 1:

A C A CA B

2 2

Donde: 2

C A B

Raiz exacta

Regla práctica de transformación:

A 2 B x y

x+y x.y

( x y )


CASO 2:

Estos radicales bajos ciertas

condiciones adoptan la forma

siguiente:

a b c d x y z

a b c d x y z

CASO 3:

Radicales de la forma: 3

A B

Estos radicales podrán adoptar la

forma siguiente:

3A B = x y

Donde :

3 2C A B

Además : 3

A 4 x 3x C

A su vez : 2

y x C

RACIONALIZACIÓN

CASO I:

Denominador F.R. Resultado

n q

a n q

n n qa

a

CASO II:

Cuando el denominador es de la

forma:

n n2 2a b


a b a b a b

CASO III:


3 3a b 3 32 23a ab b a+b

3 3a b 3 32 23a ab b a – b

ECUACIONES

CLASIFICACIÓN DE LAS

ECUACIONES

I. De acuerdo al Grado: Pueden

ser de primer grado, segundo

grado, tercer grado, etc.

II. De acuerdo a sus coeficientes:

Pueden ser con coeficientes

numéricos o literales.

III. De acuerdo a sus incógnitas:

Pueden ser ecuaciones con 1,

2, 3, etc. incógnitas. Ejm.

x + y + z = 9 (Ecuaciones con

3 incógnitas)

x + y = 5 (Ecuaciones con 2

incógnitas)

IV. De acuerdo a sus soluciones:

Pueden ser:

A. Ecuación Posible o

Compatible:


Son aquellas ecuaciones que

tienen o admiten solución y

pueden ser:

1. Determinadas: Si tienen un

número limitado de

soluciones: Ejm.

(x 3)(x 2) 0 C.S. 3; 2

2. Indeterminadas: Si tienen un

número ilimitado de

soluciones: Ejm.

x 3 x 3

2 2

4x 12x 9 4x 12x 9

B. Ecuación imposible,

incompatible o absurda:

Es aquella ecuación que no

admite solución, o cuya

solución no satisface a la

ecuación: Ejm.

2x 4 2x 7

2

0x 3

ECUACIONES DE PRIMER GRADO

Llamadas también ecuaciones

lineales tienen la siguiente forma

general:

ax b 0 ; donde: b

xa

Discusión de la raíz:

1. Si: a 0 y b 0 ; la ecuación

es determinada y el valor de “x”

es único: b

xa

.


es determinada y la ecuación

tiene solución única: x = 0.

3. Si: a 0 y b 0 ; la solución es

incompatible.


es indeterminada.

ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

Son aquellas que tienen la

siguiente forma general:

2ax bx c 0 para: a 0

Resolución de una ecuación de

2º grado.

1. Por factorización: La ecuación

se factoriza y cada uno de los

factores se iguala a cero.

2. Por fórmula general: (Baskara)

2b b 4ac

x2a

Donde: 2

b 4ac es el

discriminante de la ecuación

cuadrática y denotamos por:

2b 4ac

Estudio de las raíces de una

Ecuación de 2º grado: Las raíces

de la ecuación de segundo

grado dependen de la cantidad

subradical. (Discriminante). Casos

que se presentan:

Si: > 0

Las raíces son reales y

diferentes.


Si: = 0

Las raíces son reales e

iguales.

Si: < 0

Las raíces son

complejas y

conjugadas.

Propiedades de las raíces:

Sea: 2

ax bx c 0 ; donde x1

x2 son raíces. Luego se

cumple:

1) Suma de raíces: 1 2b

x xa

2) producto de raíces: 1 2c

x xa

OTRAS PROPIEDADES:

1) 1 2|x x |a

2)

1 2

1 1 b

x x c

3) 2 2

1 2 1 2 1 2x x x x 4x . x

4) Si las raíces son simétricas:

1 2x x 0 b = 0

5) Si las raíces son recíprocas:

1 2x x 1 a = c

6) Sean las ecuaciones:

2

ax bx c 0 …(I) a 0

2

mx nx c 0 …(II) m 0

Si estas ecuaciones poseen las

mismas soluciones se cumple:

a b c

m n p

FORMACIÓN DE UNA ECUACIÓN DE 2º

GRADO

2 1 2 1 2x ( x x ) x ( x x ) 0

ECUACIONES BICUADRADAS

PROPIEDADES DE LAS RAÍCES

Sea: 4 2

ax +bx + c = 0 ;

y sus raíces: 1 2 3 4x , x , x , x

1) 1 2 3 4x x x x 0

Suma de raíces.

2) 1 2 3 4c

x x x xa

Producto de raíces.

3) 1 2 3 4b

x x x xa

Producto binario.

Formación de una Ecuación

Bicuadrada

Si las raíces son: x1 , x

2 , x

3 , x

4 ; la

ecuación se formara haciendo.

2 2 3 4(x x )(x x )(x x )(x x ) 0

x4+(x

1. x

2 + x

3. x

4) x

2 + (x

1. x

2 . x

3. x

4)=0

DESIGUALDADES E INECUACIONES


DESIGUALDAD: Es aquella relación

que se establece entre 2 números

reales y que nos indica que tienen

diferente valor.

NOMENCLATURA:

> : mayor que

< : menor que

: mayor o igual que

: menor o igual que

TEOREMAS FUNDAMENTALES DE LAS

DESIGUALDADES:

1. a > b y m R a m > b m

2. a > b y m > 0 a.m > b.m

y a

m >

b

m

3. a > b y m < 0 a.m< b.m

y a

m <

b

m

4. a > b y m # impar R

m mm m

a b y a b

5. a > b y m # par R

m m m ma b y a b a;b R

6.

1 1a b

a b

7. x y

b 1 b b x y

8. x y

a b 1 b b x y

INTERVALO: Es aquel subconjunto

de los números reales

definiéndoseles como aquel

conjunto de valores comprendido

entre dos limites, llamado límite

superior o supremo y límite inferior

o ínfimo.

CLASES DE INTERVALOS:

1. Intervalo Abierto: Se caracteriza

porque es un intervalo en el

cual no se considera a los

extremos se representa: ó

x a,b a x b

2. Intervalo Cerrado: Es aquel

intervalo en el cual se considera

a los extremos y se representa:

x a,b a x b

INECUACIONES DE PRIMER GRADO

Forma general: ax + b > 0 ó

ax + b < 0

Para resolver una ecuación lineal

se transforma para todos los

x

a b

x

a b


términos que contiene a la

variable “x” al primer miembro y

las constantes al segundo

miembro y luego en la recta

numérica se identifica el intervalo

al cual pertenece la variable.

INECUACIONES DE ORDEN

SUPERIOR

Forma general:

2

ax bx c 0 ó

2

ax bx c 0

CRITERIOS A SEGUIR PARA RESOLVER

ESTE TIPO DE INECUACIONES

1. El coeficiente principal debe ser

positivo y la inecuación debe

estar reducida de modo que el

segundo miembro figure el cero.

2. La expresión debe estar

factorizada para luego igualar

cada factor a cero.

3. Se ubican dichos valores sobre

la recta numérica (puntos

críticos).

4. Se empieza por asignar el signo

(+) en el último intervalo y luego

en los demás intervalos de

variación se alternan los signos

(), (+), (), (+),.... de derecha a

izquierda.

5. La solución de la inecuación

estará dada por las zonas

positivas si el sentido de la

desigualdad es (>) o por las

zonas negativas si el sentido de

la desigualdad es (<).

Recordar:

JENA

(+) >

(–) <

Cuando los factores de P(x) son

todos lineales y algunos ceros son

de multiplicidad mayor que uno.

Suponiendo que (x-r) es el factor

que se repite “m” veces entonces

puede ocurrir lo siguiente:

1. Si m es par

Cuando un factor esta elevado

a un exponente “par” los signos

de los intervalos no son

alternados (se repite el mismo

signo)

2. Si m es impar

Cuando un factor esta elevado

a un exponente impar los signos

en los intervalos no se alteran

INECUACIONES FRACCIONARIAS

Los puntos críticos obtenidos del

denominador siempre son

“ABIERTOS”.

INECUACIONES IRRACIONALES

INECUACIONES CON RADICALES

Para resolver inecuaciones con

radicales se debe tener

precaución con los signos sobre

todo cuando eliminamos los

radicales se requiere hacer un


análisis del campo de variación

de la variable contenida en el

radical toda vez que la solución

dependa de este campo.

TEOREMAS:

1. 2

a b a 0 b 0 a b

2. Si:

2

a 0 b 0

a b

a 0 b 0 a b

3. Si: a b 0

a 0 b 0

Nota: Observe que el índice

radical es impar y cuando ello

ocurre el conjunto de valores

admisibles es todo R entonces la

existencia de la expresión ya está

garantizada solo nos quedaría

transformar esta ecuación en otra

equivalente para poder

determinar su conjunto solución.

INECUACIONES EXPONENCIALES

1. x y

b 1 b b x y

2. x y

0 b 1 b b x y

VALOR ABSOLUTO

DEFINICIÓN: El valor absoluto de

un número real “x” denotado por

|x|; se define de la siguiente

manera:

x; si : x 0

|x| 0; si : x 0

x; si : x 0

EJEMPLOS:

* |3| = 3

* |–5| = – (–5) 5

Conclusión: El valor absoluto de

un número real cualquiera será

siempre positivo o cero.

PROPIEDADES:

1. |x| 0

x R

2. |x|2

= x2

x R

3. |x| = |–x|

x R

4. |x.y| = |x|.|y|

x,y R

5. x x

y y

x,y R y 0

6. |x y | |x| |y |

Desigualdad triangular.

ECUACIONES CON VALOR

ABSOLUTO

1. |x| = 0 x = 0


2. |x| = a

a 0

x a y x a

NOTITA: Si: |x| = –a; la

ecuación es incompatible, es

decir no tiene solución.

3. Si: |x|=|y| x = y ó x = –y

INECUACIONES CON VALOR

ABSOLUTO

1. |x| y y 0 –y x y

2. |x| y x y ó x –y

3. |x| |y| (x+y)(x–y) 0

4. |x| |y| (x+y)(x–y) 0

POTENCIACIÓN

FACTORIAL DE UN NÚMERO:

Es el producto de los “n” primeros

números naturales y representados

por el símbolo n! .

n 1 2 3 ... n 1 n

donde n N n 1

Simbologías:

n! Kramp ; n notación inglesa

PROPIEDADES:

1. Por convención: 0! 1

2. Por definición: 1! 1

3. n! n n 1 !

4. Si: a! b! Se cumple que: a=b

5.1 1! 2 2! 3 3!

n n! n 1 ! 1, n

6.

1 2 3 n 11

2! 3! 4! n 1 ! n 1 !

ANÁLISIS COMBINATORIO:

nk

nC

k n k

PROPIEDADES:

1. n1C n

2. 0

n nnC C 1

3. Degradación de índices:

Ambos índices:n n 1k k 1

nC C

k

Solo índice superior:

n n 1k k

nC C

n k

Solo índice inferior:

n nk k 1

n k 1C C

k

4. Combinaciones Complementarias:

n nk n kC C

5. Suma de combinaciones:

n n n 1k k 1 k 1C C C

TEOREMA

Si: n nk pC C

k p

k p n

6. Suma de C.B. de inferiores

iguales y superiores

decrecientes:


m m 1 m 2 n m 1n n n n n 1 ; n

7. Suma de equivalentes en la

versión de complementos:

m m 1 m 2 n m 1m n 0 m nm n 1 m n 2

Donde: m,n , m n

8.

9. m m m m m m 11 3 5 7 m 1 2

Donde: m impares

10.

Donde: m pares

11.

BINOMIO DE NEWTON

TÉRMINO GENERAL

TEOREMA

Si: n

x y

n n k kk 1 kT x y

; x,y

0 k n n

TÉRMINO CENTRAL

TEOREMA

Si: 2n

x y

2n n ncentral núnico

T x y

LOS TÉRMINOS CENTRALES

TEOREMA

Si: 2n 1

x y ; x, y ; n

2n 1 n 1 n1er central nT x y

2n 1 n n 12do central n 1T x y

Observar:

2n 1 2n 1n n 1

LOS TÉRMINOS T Y T’ EQUIDISTANTES

DEL DESARROLLO DE n

x y

TEOREMA

n n k kk+1 kT x y

n k n kk+1 kT ' x y

SUMA DE COEFICIENTES DE

n

x y

En:

n n

coef x y 2 ; Luego de

hacer: x y 1

n

coef x y 0 ; Luego de

hacer: x y 1

SUMA DE EXPONENTES DEL

DESARROLLO DE n

x y

m m m m m m0 1 2 3 m 2 ; m

m m m m m m 10 2 4 6 m 1 2

m n m n m n m n m np 0 1 2 0 p pp 1 p 2 ...


n n 1

Exp ; n2

MATRICES

Se llama matriz de orden

" m n " a un conjunto

rectangular de elementos ija

dispuestos en “m” filas y en “n”

columnas. El orden de una matriz

también se denomina dimensión o

tamaño, siendo m y n números

naturales.

El primer subíndice (i) indica la fila,

el segundo (j) la columna. Así, el

elemento 32a es el que está en

la tercera fila y la segunda

columna

11 12 1n

21 22 2n

ij

m1 m2 mn

a a a

a a aA

a

a a a

El número total de elementos de

una matriz m nA es mn.

Matrices Iguales: Dos matrices

ij m nA (a ) y ij p qB (b )

Son iguales, sí y solo sí, tienen en

los mismos lugares elementos

iguales:

m n a b

p q c d

Es decir:

m a , n b ; p c , q d

TIPOS DE MATRICES

Hay algunas matrices que

aparecen frecuentemente y que

según su forma, sus elementos,

reciben nombres diferentes:

FILA: Aquella matriz que tiene una

sola fila, siendo su orden 1 n

1 3A 7 2 5

COLUMNA: Aquella matriz que

tiene una sola columna, siendo su

orden m 1 .

3 1

7

A 1

6

TRANSPUESTA: Dada una matriz A,

se llama transpuesta de A, a la

matriz que se obtiene cambiando

ordenadamente las filas por las

columnas.

Se representa por t

A ó T

A

Si es ij m nA a

Su transpuesta es t

ji n mA a


1 2 5A

3 4 7

;

t1 3

A 2 4

5 7

MATRIZ NULA: Todos sus elementos

son ceros:

0 0

0 0

MATRIZ CUADRADA.- Aquella matriz

que tiene igual número de filas

que de columnas, m = n,

diciéndose que la matriz es de

orden n.

Diagonal principal: Son los

elementos 11a , 22a , ... , nna

Diagonal secundaria: Son los

elementos ija con i j n 1

Traza de una matriz cuadrada: es

la suma de los elementos de la

diagonal principal tr A

3

1 9 6

A 0 2 1

2 4 5

Tr(A) 1 2 5 Tr(A) 8

MATRIZ DIAGONAL.- Es una matriz

cuadrada que tiene todos sus

elementos nulos excepto los de la

diagonal principal

7 0 0

A 0 5 0

0 0 2

MATRIZ ESCALAR.- Es una matriz



diagonal principal que son iguales

7 0 0

A 0 7 0

0 0 7

MATRIZ IDENTIDAD.- Es una matriz



diagonal principal que son iguales

a 1. También se denomina matriz

unidad.

1 0 0

I 0 1 0

0 0 1

2

1 0I

0 1

MATRIZ TRIANGULAR.- Es una matriz

cuadrada que tiene todos los

elementos por encima (por

debajo) de la diagonal principal

nulos.

a) Triangular superior: Si son nulos

los elementos por debajo de la

diagonal principal. Es decir:

1 3 5

A 0 4 1

0 0 9

T. superior

b) Triangular inferior: Si son nulos los

elementos por encima de la

diagonal principal. Es decir:


1 0 0

A 5 4 0

2 8 7

T. inferior

Matriz Simétrica:

Si A es una matriz simétrica

entonces está debe ser igual a su

transpuesta, es decir:

TSi: A A A es simétrica

Matriz Antisimétrica:

También llamada matriz

hemisimétrica, se dice que una

matriz es antisimétrica, si esta es

igual a la negativa de su

transpuesta, es decir:

TSi: A A A es antisimétrica

NOTITA: Los elementos de la

diagonal principal son ceros.

Operaciones con Matrices

1. Adición y/o sustracción de

matrices:

la condición necesaria y

suficiente para que 2 matrices

se pueda efectuar una adición

o sustracción es que estas

posean el mismo orden (m n) .

2. Multiplicación de una Matriz por

un escalar:

Se define del siguiente modo:

ij ijm n m nk A k a k a

3. Multiplicación de matrices

Dadas las matrices A y B existe

le producto matricial A B si y

solamente si el # de columnas

de A es igual a # de filas de B.

IMPORTANTE

Siendo A una matriz, e I una matriz

identidad, ambas matrices

cuadradas del mismo orden,

entonces se verifica que:

1° A . I = I . A = A

2° In

= I, con n número

natural.

3°

Una matriz A se dice

INVOLUTIVA si se cumple

que A2

= I

PROPIEDADES:

Si A, B, C, son matrices que

cumplen los requisitos para la

adición y multiplicación, se tiene:

1° A(B+C)=AB + AC

2° (A+B)C = AC + BC

3° ABC = (AB)C = A(BC)

4° Si AB=, no necesariamente

A= ó B=

5° Si AB = AC, no

necesariamente B = C

6° Si A = B, entonces AC=BC

ik kjm p p nA B a b

son iguales


7° A2

= A . A

8° A = A = ; A y son m.c.

de igual orden

Sean A y B matrices cuadradas

no singulares:

1. 1 1 1AB B A

2. 1

1A A

3. 11

A A

NOTA:

1. t t tA B A B

2. t

tA A

3. Si A y B son matrices

conmutables se

cumple: A B B A

4. Si: 2

A I A es involutiva

5. Si: 2

A A A es

idempotente

Siendo A, B matrices

cuadradas.

6. 2 2 2

(A B) A AB BA B

Cofactor de un elemento: Si A es

una matriz cuadrada de orden "n"

el cofactor del elemento ija se

denota por ijc y se define así:

i jij ijc 1 M

MATRIZ DE COFACTORES

Si A es un matriz cuadrada de

orden "n" se define la matriz de

cofactores de A y se denota por:

Cofact A a aquella matriz que

tiene por elementos a cada de los

cofactores de los elementos de la

matriz A.

ADJUNTA DE UNA MATRIZ

Consideremos una matriz n–

cuadrada ijA (a ) sobre un

cuerpo K. La adjunta de A,

denotado por adj A , es la

transpuesta de la matriz de

cofactores de A, es decir:

t

Adj A cofact A

MATRIZ INVERSA

Se llama matriz inversa de una

matriz cuadrada nA y la

representamos por 1

A

, a la

matriz que verifica la siguiente

propiedad:

1 1A adjA

A

A 0

1 1A A A A I

Decimos que una matriz

cuadrada es "regular si su

determinante es distinta de cero, y

es "singular si su determinante es

igual a cero.

A 0 Matriz Regular

A 0 Matriz Singular


NOTA:

Si:

a bA

c d

Se tiene: 1 d b1

Ac aA

DETERMINANTE

Definición: El determinante es una

función que aplicada a una

matriz cuadrada la transforma en

una escalar.

Notación: det (A) ó A :

Calculo de un determinante para:

a) Matriz de orden dos:

Dado:

11 12

21 22

a aA

a a

11 22 12 21det(A) A a a a a

b) Matriz de orden tres:

para este caso pueden

emplearse las siguientes reglas:

– Regla de Sarrus

– Menores complementarios

PROPIEDADES DE LAS

DETERMINANTES

1. Si en un determinante se

cambian las filas por columnas

y las columnas por filas, el valor

del determinante no se altera.


intercambian entre si dos filas o

dos columnas el determinante

cambia de signo.

3. Si un determinante tiene 2 filas

o 2 columnas iguales, el

determinante es cero.


multiplican o dividen todos los

elementos de una fila o

columna por un mismo número

el determinante quedará

multiplicado o dividido por este

número.

Observación:

Si un determinante tiene en

todos los elementos de una fila

o columna un factor común

este se puede sacar como

factor común del determinante.

5. Si todos los elementos de la fila

son nulos el determinante es

nulo.

6. Si un determinante tiene dos

filas cuyos elementos

correspondientes son

proporcionales el determinante

es nulo.

7. Si un determinante a los

elementos de una fila o

columna se les aumenta o se

les resta los de la otra fila o

columna paralela multiplicados

por un mismo número el valor

del determinante no varía.

8. El determinante de una matriz

triangular superior o inferior (o

puede ser diagonal) siempre es

igual al producto de los

elementos de su diagonal

principal.


SISTEMA DE ECUACIONES

MÉTODO DE LAS DETERMINANTES:

Este método permite emplear el

concepto de determinante

especialmente para la resolución

de aquellos sistemas en donde

existen 3 ó más incógnitas

mediante un conocido

procedimiento llamado la regla

de Cramer

Regla de Cramer:

En todo sistema lineal de “n”

ecuaciones con “n” incógnitas el

valor de cada incógnita es una

fracción cuyo denominador es el

determinante del sistema y el

numerador es este mismo

determinante en el que se ha

reemplazado la columna de los

coeficientes de la incógnita por

los términos independientes es

decir por aquellos términos

ubicados en el segundo miembro

de cada ecuación.

Sea el sistema lineal:

1 1 1 1a x b y c z d

2 2 2 2a x b y c z d

3 3 3 3a x b y c z d

llamaremos:

s Determinante del sistema

x Determinante de x

y Determinante de y

z Determinante de z

Donde debe recordarse que:

1 1 1

s 2 2 2

3 3 3

a b c

a b c

a b c

;

1 1 1

x 2 2 2

3 3 3

d b c

d b c

d b c

1 1 1

y 2 2 2

3 3 3

a d c

a d c

a d c

;

1 1 1

z 2 2 2

3 3 3

a b d

a b d

a b d

Finalmente según la regla de

Cramer la solución del sistema se

obtiene así:

x

s

x

:

y

s

y

;

z

s

z

ESTUDIO DE LAS RAÍCES EN LOS

SISTEMAS LINEALES:

Sea el sistema:

1 1 1

2 2 2

a x b y c

a x b y c

Por la regla de cramer:

x

s

x

;

y

s

x

1. El sistema es compatible

determinado:

Si: s 0

Las rectas son secantes


2. El sistema será incompatible o

absurdo:

Si: s 0 y x 0 ó y 0

Las rectas son paralelas

3. El sistema será indeterminado

Si: s x y0 y 0

Las rectas son coincidentes

RELACIONES

Definiciones Previas:

Par Ordenado.- Es un conjunto de

dos elementos que guardan un

orden denotado de la forma (a, b)

donde:

a : primer componente.

b : segundo componente.

Propiedades:

1. (a ; b) (b ; a)

2. Si: a m

(a;b) (m;n)b n

PRODUCTO CARTESIANO

Definición.- Dados dos conjuntos no

vacíos A y B se llama Relación R de A

en B a todo subconjunto del

producto cartesiano AB definida

por una cierta condición o

proposición. R A B es decir:

R:A B a,b A B / a A y b B

PROPIEDADES DEL PRODUCTO

CARTESIANO:

I. El producto cartesiano de A por B

no es conmutativo:

A B B A

En particular:

A B B A A B

II. El número de elementos del

producto cartesiano de A B es

igual al producto del número de

elementos del conjunto A por el

número de elementos del conjunto

B, es decir:

n A B n A n B

RELACIÓN BINARIA

Definición.- Dados dos conjuntos no

vacíos A y B se llama Relación R de A

en B a todo subconjunto del

producto cartesiano A B definida

por una cierta condición o

proposición. R A B es decir:

R:A B a,b A B / a A y b B

Si R es una relación de A en B, se

denota así:

R : A B , ó , A BR

Donde al conjunto A se denomina

conjunto de partida y al conjunto B

conjunto de llegada.

DOMINIO Y RANGO DE UNA RELACIÓN

DOMINIO DE R

Es el conjunto que tiene por

elementos a todas las primeras

segundas componentes de los pares

ordenados pertenecientes a la

relación, es decir:

Dom R x / x ; y R

RANGO DE R

Es el conjunto que tiene por

elementos a todas las segundas

componentes de los pares

ordenados pertenecientes a la

relación, es decir:


Ran R y / x ; y R

CLASES DE RELACIONES:

1. RELACIÓN REFLEXIVA: Sea “R” una

relación en “A” diremos que “R” es

una relación REFLEXIVA, si para

todo A el par ordenado

a;a R .

2. RELACIÓN SIMÉTRICA: Sea “R” una


una relación SIMÉTRICA si

a;b R implica (b,a)

pertenece a “R”: Es decir “R” es

SIMÉTRICA (a,b) R (b,a) R

3. RELACIÓN TRANSITIVA: Sea “R” una


una relación TRANSITIVA si tenemos

a;b R , b;c R implica

a;c R . Es decir “R” es

transitiva si a, b, c A (a,b)

R (b,c) R (a,c) R.

4. RELACIÓN DE EQUIVALENCIA: Sea

“R” una relación en “A” diremos

que “R” es una relación de

EQUIVALENCIA si es reflexiva,

simétrica y transitiva a la vez.

Calculo del DOMINIO y RANGO de

una relación de R en R.

DOMINIO: Aislar la variable “y”,

analizar todos los valores posibles

que pueda tomar la variable “x” de

manera que y R.

RANGO: Aislar la variable “x”,

analizar todos los valores posibles

que toma la variable “y” de manera

que x R.

GEOMETRÍA ANALÍTICA

SISTEMA DE COORDENADAS

CARTESIANAS

Este sistema está constituido por

un plano y dos copias de la recta

Real perpendiculares entre sí. El

punto de intersección de estos

dos ejes coincide con el CERO de

ambos ejes.

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS

Sean: 1 2A x ,x y 2

2 2B x ,y

1x

2y

Y

1y

1 1A(x ,y )

2 1(x x )

2 2B(x ,y )

2 1(y y )

X

2x

C

XxO

y

P x,y

Y

Primera Componentex: o Abscisa

Segunda Componentey:

u Ordenada


En el triángulo rectángulo ABC,

mediante el teorema de Pitágoras

se tiene:

2 2 2

2 1 2 1d(A,B) x x y y

2 2

2 1 2 1d(A,B) x x y y

Igualdad de Pares Ordenados.-

Sean:

1 1A x ,y y 2 2B x ,y 2

,

entonces se tiene que:

1 22 1A B x x y y

Suma de Pares Ordenados.- Sean:

1 1A x ,y y 2 2B x ,y 2

,

entonces se tiene que:

1 2 1 2A B x x , y y

Punto Medio de un Segmento.-

Sean los puntos: 1 1P x ; y y

2 2Q x ; y . Si M x; y el punto

medio del segmento PQ.

COORDENADAS DEL BARICENTRO

DE UN TRIÁNGULO:

1 2 3 1 2 3x x x y y yG ,

3 3

ÁREA DE UNA REGIÓN TRIANGULAR:

Sean 1 1A x ;y , 2 2B x ,y y

3 3C x ,y los vértices de un

triángulo cualquiera dado, siendo

“S” su área, entonces:

ECUACIÓN DE LA RECTA

ANGULO DE INCLINACIÓN DE UNA

RECTA

Es el ángulo formado por el eje “x”

y la recta medido en sentido

antihorario.

G

1 1A x ,y

2 2B x ,y

3 3C x ,y

1 1P x ; y

2 2Q x ; y

M x; y

Y

X

1 2 1 2x x y y

M ;2 2

y

x

A

C

B

O

1 1

2 2

3 3

x y 11

S x y 12

x y 1

Área del triángulo

Se debe tomar

el valor absoluto

del determinante


PENDIENTE DE UNA RECTA (m)

Es un número real que se obtiene

al calcular la tangente de dicho

ángulo:

2 1

2 1

y ym

x x

LA RECTA: Es un conjunto de

puntos tal que al tomar dos puntos

cualesquiera la pendiente es

constante.

I. Ecuación Pendiente – Intercepto

con el eje “y”

II. Ecuación Simétrica:

III. Forma Cartesiana

Se tiene:

1

1

2 1

2 1

y ym

x x

y ym

x x

1 1x ,y

2 2x ,y

y

x

m Tg

0 180

x

y

x

y

y m=

x

Teniendo dos puntos de una

recta se puede hallar la pendiente

de toda recta; usando

1m Tg60 3

60

x

y

1L

120

x

y

2L

2m Tg120 3

y

x

m

L

0,bL : y mx b

x yL : 1

a b

y

x

0,b

a,0

x,y

2 2x ,y

1 1x ,y

Punto móvil


1 2 1

1 2 1

y y y y

x x x x

FORMA GENERAL

Es decir de la forma:

L : Ax By C 0

A, B y C son coeficientes no

todos nulos a la vez

La recta es horizontal cuando

A 0 y B 0

La recta es vertical cuando

B 0 y A 0

La recta es oblicua cuando:

A 0 y B 0 de pendiente

Am

B

PROPIEDADES

RECTAS PARALELAS

Si: 1 2L / /L 1 2m m

RECTAS PERPENDICULARES

Rectas perpendiculares (no son los

ejes cartesianos)

Si: 1 2L / /L 1 2m m 1

DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA

RECTA

L : ax by c 0 1 1P(x ,y )

1 11

2 2

ax by cd P ,L

a b

INTERSECCIÓN DE RECTAS.-

La intersección de las rectas

1 1 11L : a x b y c 0

2 22 2L : a x b y c 0

yB

A

2 1(x x )

2 1(y y )

L

x

1L 2L

y

x

1L

2L

y

x

y1 1 1P (x ,y )

dL : ax by c 0

x


será un punto o o oP (x ,y ) el cual

se hallará resolviendo el sistema

de ecuaciones:

1 1 1

2 2 2

a x b y c 0 .... (I)

a x b y c 0 .... (II)

1 2o o oP (x ,y ) L L

IV. Distancia entre Rectas Paralelas

1 2

2 2

C Cd

A B

V. Menor Angulo entre dos rectas

2 1

1 2

m mTg

1 m m

ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA

Se llama circunferencia al

conjunto de puntos del plano que

se encuentran a una distancia

constante (radio) de un punto fijo

(centro) de ese plano.

d(C,P) r 2 2 2

(x h) (y k) r

A esta ecuación se conoce como

la Ecuación Ordinaria o Forma

Ordinaria de la ecuación de una

circunferencia.

OBSERVACIÓN:

La circunferencia de centro en el

origen de coordenadas y radio r

tiene por ecuación:

2 2 2x y r “Forma Canónica”

ECUACIÓN GENERAL DE LA

CIRCUNFERENCIA

Ecuación que tiene la forma:

2 2x y Dx Ey F 0

Donde:

Centro D/2 ; E/2

2 21Radio r D E 4F

2

Siempre que se cumpla la

condición:

2 2D E 4F 0

Recuerda:

y

k

hO

P x;y

C h;k

x

d

1 1L : Ax By C 0

2 2L : Ax By C 0

1L

2L

Secantes Tangentes Exterior


ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA

Dada una recta L y un punto fijo F

L. La parábola es el conjunto de

puntos tal que la distancia de

dichos puntos a F y a L son

iguales. Al punto fijo se le llama

Foco y a L se le llama Directriz.

Elementos:

V : Vértice F : Foco

LR : Lado Recto L : Directriz

p : Parámetro 1L : Eje Focal

d(P,F)e

d(P,L) pero e 1

d P,F d P,L

donde: e: excentricidad

Ecuacion de la Parabola con Eje

Focal Paralelo al Eje "x".-

: 2y k 4p x h

V(h,k) ; L : x h p

F(h p , k) ; LR 4 p

Ecuación de la Parábola con Eje

Focal Paralelo al Eje "y".

Y1L

L

p

p V

L F R

X

P(x,y)

Y LL

R

V Fp 0

X

Y LL

R

VF

p 0

X

X

L

L R

V

F

p 0

Y

X

L

L R

V

F

p 0

Y


: 2

x h 4p y k

V(h,k) ; L : y k p

F(h , k p) ; LR 4 p

Forma General:

2x Dx Ey F 0

Eje Focal / / al eje " y "

(o coincidente con el eje Y)

2y Dx Ey F 0

Eje Focal / / al eje " x "

(o coincidente con el eje x)

ECUACIÓN DE LA ELIPSE

La elipse se define como el

conjunto de puntos P x,y , tales

que la suma de las distancias de

P a los focos 1F , 2F es igual a

una constante “2a” (a es el radio

mayor de la elipse

1 2d(P,F ) d(P,F ) 2a

1 2

1 2

d(P,F ) d(P,F )e

d(P,L ) d(P,L )

0 e 1

donde: e: excentricidad

c a e

Elementos:

C : Centro 1V y 2V : Vértices

1F y 2F : Focos 1L y 2L : Directrices

L' : Eje Focal 1 2V V : Eje Mayor

1 2B B : Eje Menor LR : Lado Recto

Ecuación de la Elipse con Eje

Focal Paralelo al Eje "X".-

22

2 2

y kx hE : 1

a b

C(h,k) ; V(h a,k)

F(h c,k) ; B(h, k b)

L: a

x he

;

22b

LRa

L

R

1V 2V1F 2F

1B

2B

C

a

b a

c

a / e1L 2L

X

Y

Y1L 2L

1V 2V1F 2FC

1B

2BX


Ecuación de la Elipse con Eje

Focal Paralelo al Eje "Y".-

2 2

2 2

(y k) (x h)E : 1

a b

C(h,k) ; V(h,k a)

F(h,k c) ; B(h b,k)

a

L : y ke

;

22b

LR a

FUNCIONES

Definición.- Dados dos conjuntos

no vacíos A y B, F es una función

de “A” en “B” si y solo si para cada

xA existe a lo más un elemento

y B tal que el par (x, y) F .

Es decir que dos pares ordenados

distintos no pueden tener la misma

primera componente.

La igualdad mostrada: y F(x)

nos expresa la regla de

correspondencia de la función

real F.

DOMINIO Y RANGO DE UNA

FUNCIÓN.

Dominio.- Denominado también

pre-imagen, es el conjunto de

todos los primeros elementos de la

correspondencia que pertenecen

al conjunto de partida A.

Rango.- Denominado también

imagen o contradominio, es el

conjunto de los segundos

elementos de la correspondencia

que pertenecen al conjunto de

llegada B.

Regla de correspondencia de una

función.

F (x,y) R R / x Dom(F) y F(x)

La igualdad mostrada: y F(x)

nos expresa la regla de

correspondencia de la función

real F.

Propiedad Geométrica:

Una relación F , es una

función real de variable real si y

solo si toda recta vertical corta a

la gráfica de F a lo más en un

punto.

X

Y

F

"F es una función"

Fig. 1

X

YG

"G no es una función"

Fig. 2

Y

X

2L

1L

1B

1V

2V

2B

1F

2F

C


CLASES DE FUNCIONES:

FUNCIÓN INYECTIVA O UNIVALENTE:

Una función F es inyectiva si a

cada elemento del rango le

corresponde un único elemento

del dominio.

Ejemplo 1:

Sea la función numérica F

representada por el diagrama

sagital.

Es decir:

F 1,1 , 2,3 , 3,2 , 4,4 , es

Inyectiva puesto que a cada

elemento del rango le

corresponde solo un elemento del

dominio.

Ejemplo 2:

Analicemos a la función G

definida por el diagrama sagital.

G 1,3 , 2,1 , 3,2 , 4,1 ,

no es Inyectiva, pues el elemento

“1” del rango le corresponden dos

elementos del dominio: "2 4"

RECONOCIMIENTO GRÁFICO:

Si F es una función real de

variable real Inyectiva, entonces

toda recta horizontal debe cortar

a su gráfica en un solo punto.

1er. Ejemplo:

Sea la función F cuya gráfica es:

Reconocemos que es una función

Inyectiva, dado que la recta

horizontal mostrada corta a su

gráfica en sólo un punto.

2do. Ejemplo:

Sea la función G cuya gráfica es:

1

2

3

4

A1

2

3

4

B

F

1

2

3

4

A1

2

3

B

G

Y

X

Horizontal

Y

X

Horizontal


Reconocemos que no es una

función Inyectiva, dado que la

recta horizontal mostrada corta a

su grafica en más de un punto.

DEFINICIÓN PRÁCTICA

Una función F es Inyectiva si para

cada:

1 2x , x FDom , se cumple la

relación.

1 2 1 2F x F x x x

FUNCION SURYECTIVA,

SOBREYECTIVA O EPIYECTIVA

Una función F es suryectiva si el

rango o imagen de f coincide con

el conjunto de llegada B es decir:

Rango F B

FUNCION BIYECTIVA

Una función es biyectiva si esta es

inyectiva y suryectiva a la vez.

FUNCIONES ESPECIALES

1. FUNCIÓN IDENTIDAD:

Se simboliza por I. Su regla de

correspondencia es: I x x es

decir:

F x x

- Dom I

- Ran I

- Su gráfico es una recta que

pasa por el origen y es

bisectriz del primer cuadrante

(forman 45º).

2. FUNCIÓN CONSTANTE:

Se simboliza por C. Su regla de

correspondencia es: C x k

es decir:

F x k

- Dom C

- Ran C k

- Su gráfica siempre es una

recta horizontal (paralela al

eje x).

y

x45º

y x

y k

y

x


3. FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO:

Se simboliza por . Su regla de

correspondencia F x y x

es decir:

x ; x 0

y x 0 ; x 0

x ; x 0

- Dom F

- Ran F y 0,

- Su gráfica: y x es:

4. FUNCIÓN CÚBICA:

- Regla de correspondencia:

3F x y x

- Dom F

- Ran F

- Gráfica: 3

y x

5. FUNCIÓN RAÍZ CUADRADA:


F x y x

- Dom F 0,

- Ran F 0,

- Gráfica: y x

6. FUNCIÓN MÁXIMO ENTERO:

- Símbolo:


F x y x

- Donde x , se define:

x y y x y 1

y

- Dom F

- Ran F

x

x

y xy x

y 3y x

x

y xy

x

y xy

x


7. FUNCIÓN SIGNO:

- Símbolo: Sgn


F x y Sgn x

Es decir:

1; x 0

y Sgn x 0; x 0

1; x 0

- Dom F

- Ran F 1,0,1

- Gráfica:

8. FUNCIÓN PAR:

Es el conjunto de pares

ordenados x,f x en los

cuales se verifica:

- Regla de

correspondencia:

f x f x

- Dom F

- Gráfica: se caracteriza por ser

simétrica respecto al eje "y".

Ejemplos: 2f x x

4f x x

f x Cos x

Si F es una función Par, debe

verificarse que:

F x F x ; x F x F Dom Dom

Se reconoce gráficamente por

su simetría al eje Y.

9. FUNCIÓN IMPAR:

Es el conjunto de pares

ordenados x,f x en los

cuales se verifica que cuando x

cambia de x a –x, la función

cambia de signo.


f x f x

- Dom F

Ejemplos: 3f x x

1f x

x

f x Sen x

y Sgn x

y

1

0 x

1

y

x

F x F x

P

x x


Si F es una función Impar, debe

verificarse que:

F x F x ; x F x F Dom Dom

Se reconoce gráficamente por

su simetría respecto al origen

“O” de coordenadas.

10. FUNCIÓN ESCALÓN UNITARIO:

Se simboliza por “ U ”, su regla

de correspondencia viene dada

por:

y F(x) U(x)

Es decir:

0 ; x 0

y U x1 ; x 0

Donde:

F ... x F 0 ;1 Dom Ran

Su grafica es:

ÁLGEBRA DE FUNCIONES

Dadas dos funciones reales F y G

cuyas reglas de correspondencia

son: F x G x , se definen

cuatro operaciones: Adición,

Sustracción, Multiplicación y

División, de la siguiente manera:

I. Adición:

F G x ,y / y F x G x

F G F G Dom Dom Dom

II. Sustracción:


F G F G Dom Dom Dom

III. Multiplicación:


F G F G Dom Dom Dom

IV. División:

F F xx ,y / y

G G x

FF G G x 0

G

Dom Dom Dom

COMPOSICIÓN DE FUNCIONES

Dadas dos funciones reales F y G ,

la composición de F con G

denotado por F G y que se lee: F

compuesta con G, es la función

cuyo Dominio consiste en los

elementos: x Dom G tales que

G x FDom , cuya regla de

correspondencia es:

y

x

F x

F x

x

x

y

x

1

0


F G x F G x

Donde:

F G x / x G G x F Dom Dom Dom

Además: G F Ran Dom

Observación:

a) La composición de funciones no

es conmutativa, es decir:

F G G F

b) En particular, si:

F G G F F G

FUNCIÓN INVERSA

Sea F una función Real definida por:

F x ,y / x F Dom ; si F es una

función Inyectiva, se define su

función Inversa denotado por: 1

F

,

ó, *

F , de la siguiente manera.

1F y ,x / x F Dom

Donde:

1F F

Dom Ran

1F F

Ran Dom

PROPIEDADES IMPORTANTES DE LA

FUNCIÓN INVERSA

Dada una función Inyectiva F y su

inversa 1

F

se cumplen:

I. 1

1F F

Inversa de Inversa

II. 1

F F I ; I FDom Ran

III. 1

F F I

; I FDom Ran

IV. 1 1 1F G G F

V. La aplicación F: A B ,

admite Inversa

LOGARITMOS

Definición:

Número

log b N = x logaritmo

Base

xb N

Nota:

b 0 b 1 N 0

Propiedades:

1. En el campo de los números

reales, no existe logaritmo de

números negativos.

2. La base de un logaritmo debe

ser siempre positiva y diferente

de la unidad.

3. Identidad logarítmica

fundamental:

blog Nb N

4. El logaritmo de la unidad en

cualquier base es cero:

blog 1 0

5. El logaritmo de la base será

siempre igual a la unidad:


blog b 1

6. Logaritmo de un Producto:

b b blog (AB) log A log B

7. Logaritmo de un cociente

b b bA

log log A log BB

8. Logaritmo de una potencia

nb blog a nlog a

9. Logaritmo cuya base es una

potencia:

n bb

1log A log A

n

nm

a

mlog a

n

10. Cambio de base:

xb

x

log Nlog N

log b

11. Regla de la cadena:

b Nlog N log b 1

12. Si un número tiene como

exponente a un logaritmo y se

intercambia simultáneamente el

número de este con el que

hace de base, la expresión no

se altera.

b ba xlog log=x a

13. En todo sistema de logaritmos,

si se eleva a la base y al

número a una misma potencia

"n" cualquiera, el resultado es

igual al logaritmo dado.

También si sacamos una misma

raíz al número y a la base el

resultado no se altera.

nn

b blog A log A

nn

b blog A log A

14. Cologaritmo

b bcolog N log N

15. Antilogaritmo

xbantilog x b

b blog antilog x x

SISTEMAS DE LOGARITMOS.

Importantes:

1. Sistema de Logaritmos Vulgares,

decimales o de Briggs.

logbN ; donde b = 10

Se denota por: log N.

Todo logaritmo decimal tiene 2

partes:

Una parte decimal llamada:

MANTISA.


Una parte entera llamada:

CARACTERÍSTICAS:

Así : log N = ab, cdef

Característica : ab

Mantisa : chef

La MANTISA se determina

mediante las tablas

logarítmicas.

La característica del logaritmo

de un número con "n" cifras

enteras es (n–1).

2. Sistema de Logaritmos

Neperianos o Naturales.

logbN; donde : b = e (épsilon)

e 2,71828182 . . .

Se denota por: ln N

Función Exponencial

Es aquella función que tiene la

forma: x

y a ; donde "x" variable

independiente; "y" variable

dependiente y la base "a" una

constante.

Ejm: x

y 2 ; x

y 0,4

En general la representación

gráfica cartesiana de la función

exponencial.

I Caso:

Cuando a 1 : x

y F x a

Asumiendo a 2 ; dando

valores.

x 3 2 1 0 1 2 3

1 1 1y 0 1 2 4 8

8 4 2

…

…

Representación Gráfica

Conclusiones:

– expDom

expRan 0;

– En una función creciente:

expx Dom (en todo su

dominio); la función x

y a es

positiva para todo valor de "x".

– Es un función inyectiva, y por

consiguiente posee inversa.

– En una función continua,

expx Dom

II Caso:

0 a 1 ; (asumiendo a 1/2 )

xy F x a

x 3 2 1 0 1 2 3

1 1 1y 8 4 2 1 0

2 4 8

… …

… …

x

F x a a 1

Dom f

Características:

- Es decreciennte

- Corta el eje y,

en el pto. 0;1

- No corta al eje x

Ran f

y

x0

1

Dom f

Ran f

Características:

- Es creciennte

- Corta el eje y,

en el pto. 0;1

- No corta al eje x

y

x0

1

xF x a a 1


– expDom

expRan 0;

– En una función decreciente:

expx Dom (en todo su

dominio); la función x

y a es

positiva para todo valor de "x".

– Es una función inyectiva, y por

consiguiente posee inversa.

– En un función continua,

expx Dom

Función Logarítmica

Es la función que tiene la forma:

xy loga , la función logarítmica

es la inversa de la función

exponencial.

ay log x y

x a

I Caso:

a 1 (asumiendo a 2 )

1 1 1x 0 1 2 4 8

8 4 2

y 3 2 1 0 1 2 3

… …

… …

– expDom

expRan


expx Dom

– Corta al eje x, en el punto 1;0

– No corta al eje "y".

II Caso:

0 a 1 (asumiendo a 1/2 )

1 1 1x 8 4 2 1 0

2 4 8

y 3 2 1 0 1 2 3

… …

… …

y

2

1

2 4 8 x

ay log x a 1

y

21 2 4 8 x

ay log x 0<a 1


– expDom

expRan


expx Dom

– Corta al eje x, en el punto 1;0

– No corta al eje "y".

PROGRESIÓN

PROGRESIÓN ARITMÉTICA (P.A.)

Símbolos:

a1 = primer término.

an = término enésimo.

r = razón.

n = # de términos.

Sn = Suma de los “n” primeros

términos.

tc = término central.

Notación de una P.A.

1 2 3 n 1 na , a , a , a , a

n n 1r a a

1. Fórmula para hallar un término

cualquiera:

n 1a a (n 1) r

2. En una P.A. de un número impar

de términos el tc es igual a la

semisuma de los extremos:

1 nc

a at

2

En una progresión de 3 términos

el segundo término es media

aritmética de los otros dos.

Sea la P.A. a1.a

2.a

3

1 320

2

a aa

3. Fórmula para hallar la suma de

los “n” términos:

1 nn

a aS = .n

2

1n

2a (n 1)rS = n

2

4. Interpolación de medios

aritméticos o diferenciales entre

dos números dados.

Sea: P.A. 1 n

"m" mediosaritméti cos

a ............. a

n 1i

a ar=

m 1

PROGRESIONES GEOMÉTRICAS

(P.G.)

Símbolos: t1 :

primer termino

tn :

termino enésimo

q : razón

n : número de términos

Sn :

Suma de “n” términos


Pn : Producto de “n”

términos

Notación de una P.G.

t1 : t

2 : t

3 : ........ : t

n-1 : t

n

n

n 1

tq

t

1. Fórmula para hallar un término

cualquiera:

n 1n 1t t q

2. En una progresión de un número

impar de términos el término

central es igual a la raíz

cuadrada del producto de los

extremos.

central 1 nt t .t

En una P.G. de 3 términos el

segundo término es media

geométrica entre el primero y el

tercero.

Sea: t 1 2 3: t : t 2 1 3t t .t

3. Fórmula para hallar la suma de

los “n” términos:

n 1n

t q tS

q 1

n1

nt (q 1)

Sq 1

4. Límite suma de los términos de

una P.G. decreciente ilimitada:

1tLim S =1 q

5. Interpolación de medios

geométricos:

Sea: 1 n"m"mediosgeométri cos

t ......................t

nm 1i

1

tq

t

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