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FORMULARIO

1. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DE VARIABLE CONTINUA. LA NORMAL

1.1. Función de densidad o Función de probabilidad de una variable continua

Función de densidad o de la curva de Gauss: ( )2

2

1

2

1

−⋅−

= σµ

πσ

x

exf

El área bajo la curva y=f(x) es igual a 1.

Cálculo de la probabilidad a partir de la función de densidad:

( ) =≤≤ bxaP área bajo la curva en el intervalo [a,b]

En un triángulo: ( ) ( )2

habbxaP

⋅−=≤≤ h = Altura del triángulo.

En un rectángulo: ( ) ( ) habbxaP ⋅−=≤≤ h = Altura del rectángulo.

En un trapecio: ( ) hBb

bxaP ⋅+=≤≤2

h = Altura del trapecio.

1.2. Distribución normal

X∼∼∼∼N(µ,σ) � Variable aleatoria continua X sigue una distribución normal N(µ,σ).

X = Variable aleatoria discreta. � Número de éxitos.

xi = Valores que puede tomar la variable aleatoria continua.

n = Número de veces que se repite el experimento.

µ = Media. pn ⋅=µ

σ = Desviación típica. qpn ⋅⋅=σ

Función de distribución F(x): ( ) ∫ ∞−

−=

xt

dtexF 2

2

2

1

π

F(x) = Representa el área encerrada bajo la curva f(x) desde −∞ hasta x.

1.3. Distribución normal estándar

Z∼∼∼∼N(0,1) � Variable aleatoria continua Z sigue una distribución normal estándar N(0,1).

Z = Variable tipificada de X.

µ=0 σ=1

Función de densidad o de la curva de Gauss: ( ) 2

2

2

1 z

ezf−

=π

Función de distribución F(z): ( ) ∫ ∞−

−=

zt

dtezF 2

2

2

1

π

F(x) = Representa el área encerrada bajo la curva f(z) desde −∞ hasta x.

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1.4. Cálculo de la probabilidad en la normal estándar

Cálculo de la probabilidad en la normal estándar N(0,1) � ( ) ( ) ( )kzPkzPk <=≤=φ

( )kφ � Es la probabilidad de que se produzcan k éxitos.

k = Número de éxitos.

K = de 0 a 4, de centésima en centésima.

( ) ( )kFk =φ = Función de distribución.

Leer Tabla de áreas bajo la curva normal estándar N(0,1).

Manejo de la tabla de áreas bajo la curva normal estándar N(0,1):

• Cálculo de la probabilidad ( )kzP ≤ conocido el valor de k. � El valor de k se busca así:

- Unidades y décimas en la columna de la izquierda.

- Centésimas en la fila de arriba.

- El número que nos da la tabla es el valor de ( ) ( ) ( )kzPkzPk <=≤=φ

• Cálculo del valor de k conocida la probabilidad ( )kzP ≤ . � El valor de ( )kzP ≤ se busca así:

- El valor de ( ) ( ) ( )kzPkzPk <=≤=φ es el número que está en la tabla.

- Unidades y décimas en la columna de la izquierda.

- Centésimas en la fila de arriba.

Reglas para hallar probabilidades en la normal estándar N(0,1):

• Si 0≥k � ( ) ( ) ( )kzPkzPk <=≤=φ � Leer la tabla.

• Si 0≥k � ( ) ( ) ( )kkzPkzP φ−=≤−=≥ 11

• Si 0<− k � ( ) ( ) ( )kkzPkzP φ−=≥=−≤ 1

• Si 0<− k � ( ) ( ) ( )kkzPkzP φ=≤=−≥

• Si ba <<0 � ( ) ( ) ( )azPbzPbzaP ≤−≤=≤≤

• Si 0<−<− ba � ( ) ( )azbPbzaP ≤≤=−≤≤−

1.5. Cálculo de la probabilidad en la normal cualquiera

Cálculo de la probabilidad en la normal cualquiera N(µ,σ) � Tipificación:

• Paso de una normal N(µ,σ) a una normal estándar N(0,1). � Pasamos X∼N(µ,σ) a Z∼N(0,1).

• σ

µ−= xz

• Con el valor de “z” se busca en la tabla de la normal estándar N(0,1).

Si X∼N(µ,σ), el cálculo de la probabilidad es: ( )

−≤≤−=≤≤σ

µσ

µ kz

hPkzhP

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1.6. Distribución binomial se aproxima a la normal

X∼∼∼∼B(n,p) se parece mucho a x’∼∼∼∼N(µ,σ)

Teorema de Moivre:

Condiciones: 5≥⋅ pn , 5≥⋅ qn

Pasamos X∼B(n,p) a X∼N(µ,σ).

Pasamos X∼N(µ,σ) a Z∼N(0,1).

Reglas para calcular probabilidades mediante el paso de una binomial B(n,p) a una normal N(µ,σ):

• ( ) ( )5,0'5,0 +<<−== xxkPkxP

• ( ) ( )5,0'5,0 −<<−=<≤ bxaPbxaP

• ( ) ( )5,0'5,0 +<<+=≤< bxaPbxaP

• ( ) ( )'5,0 xaPxaP <+=<

• ( ) ( )'5,0 xaPxaP <+=<

• ( ) ( )5,0' −≤=< bxPbxP

• ( ) ( )5,0' +≤=≤ bxPbxP

1.7. Ajuste de un conjunto de datos a una distribución normal

Disponemos de una serie de N observaciones relativas a n individuos. En cada observación,

contamos el número k de ellos que cumplen una determinada condición.

En definitiva, tenemos una tabla de frecuencias cuya variable X toma los valores

xi = 0, 1, … , n

Para estudiar si esa serie de datos obtenidos experimentalmente puede provenir de una

distribución normal N(µ,σ), procedemos del siguiente modo:

• Calculamos la media x de los datos y la desviación típica σ de la distribución empírica.

• Comparamos la distribución empírica con la teórica normal N(µ,σ), con x=µ y empíricaσσ = .

Para ello:

- Para efectuar la comparación, partimos el recorrido de la variable en intervalos, [xk , xk+1], y

averiguamos cómo se repartirían en esos intervalos n individuos en la distribución teórica N(µ,σ). Así, calculamos los valores de la tabla de probabilidades.

- Hallamos la diferencia, en cada intervalo, de los números empírico y teórico,

| fi teórica a - fi empírica |

- Según que la mayor de las diferencias sea suficientemente pequeña o no, aceptamos o rechazamos la hipótesis de que los datos provienen de una normal.

o Si la mayor de las diferencias es suficientemente pequeña, suponemos que el ajuste es bueno. � Los datos iniciales provenían de una distribución normal.

o Si la mayor de las diferencias es grande, suponemos que el ajuste no es bueno. � Los

datos iniciales no provenían de una distribución normal.