Formulario PDS – Transformada Z

x[n] X(Z)

1. an zz−a

;∀|z|>|a|

2. a−nu [−n ] ;∀a>0 1

1−az;∀|z|<|1a|

3. nanaz

(z−a)2;|z|>|a|

4. nz

(z−1)2

5. n2z2+z

(z−1)3=z (z+1)(z−1)3

6. n2an−1z(a+z )(z−a)3

7. n3z( z2+4 z+1)

(z−1)4

8. n4z( z3+11 z2+11 z+1)

(z−1)5

9. n5z( z4+26 z3+66 z2+26 z+1)

(z−1)6

10. cos nωτz(z−cosωτ )z2+2 zcosωτ+1

11. sin nωτzsinωτ

z2+2 zcosωτ+1

Formulario PDS – Transformada Z

12. u[n]{1; n≥00 ;n<0=1n} z

z−1;∀|z|>1

13. u[−n ] 11−z

;∀|z|<1

Desplazamiento en el tiempo (a la derecha)

14. x [n−n0]z−n0 X (z )

Desplazamiento en el tiempo (a la izquierda)

15. x [n+n0 ] u[n] zn0[X ( z )−∑m=0

n0−1

x [m ] z−m];∀n0>0Desplazamiento en el tiempo

16. x [n ]u[n−n¿¿0]¿ X ( z )−∑m=0

n0−1

x [m ] z−m; n≥0n0≥0

Desplazamiento en el tiempo

17. x [n ]u[n+n¿¿0]¿ X(z)

Cambio de escala (1)

18. ∝n x [n]z {x [n ] }│

z→ z∝=X ( z∝ )

Cambio de escala (2)

19. ∝n x [n ] ; si|∝|=1→∝=eiω0X ( z ∙e−iω0 ) ;ω= z

∝

Diferencia

20. x [n ]−x [n−n¿¿0 ]¿ X ( z )−z−n0 X ( z )=X ( z)(1−z−n0)

21. u [n ]−u [n−n¿¿0 ]¿ 1−z−n0

1− z−1

Derivada de la transformada Z

22. nx [n] −z ddzX ( z )=−z d

dzz {x [n] }

23. z {n2 x [n] }=z {n∙nx [n] } z2 d2

dz2X (z )+ z ddz

X ( z )

24. n2 x [n] z3 d3

dz3X ¿- z ddz

X ( z )

25. nu [n ]

Formulario PDS – Transformada Z

z(z−1)2

26. nanu [n]az

(z−a)2

27. n2anu[n] az (z+a)(z−a)3

28. cosωn x [n]

12 [ x ( z e−iω )+ x ( z eiω ) ]

29. sinωn x [n]i2 [ x ( z e iω)−x ( z e−iω) ]

30. ancosωnz2−az cosω

z2−2azcosω+a2

31. ansinωnaz sinω

z2−2azcosω+a2

32. δ [n] 1

33. δ [n−n0]1zn0

34. x [n ]=x [n ]│z→ z−1 X ( z−1)

Notas: De las propiedades de desplazamiento (14 y 15)

x [n−n0 ]=x [n−n0 ]u [n ]=x [n−n0 ]u [n−n0 ]≠x [n ]u [n−n0 ]

x [n ]=x [n ] u [n ]=x [n ]u [n+n0 ]≠x [n+n0 ]u[n]

z {x [n ]u [n+n0 ] }=z {x [n ] }=X (z)

Formulario PDS – Transformada Z

De las propiedades de cambio de escala (18 y 19)18. Cuando ∝ es una constante real19. Cuando ∝ es imaginario

z {∝n x [n]}=z {(e i ω0)n x [n ]}=z {x [n]}│z→ z

ei ω0=eiω 0 z

=X (z ∙ e−iω0)